期末复习(一) 三角形
期末复习(一) 直角三角形
期末复习(一) 直角三角形各个击破命题点1 直角三角形的性质与判定【例1】 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D.(1)如图1，若∠C ＝30°，求证：BD ＝14BC ；(2)如图2，若∠C ＝45°，写出点D 到△ABC 的三个顶点A ，B ，C 的距离的关系；(3)在(2)的基础上，如果点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动过程中保持AN ＝BM ，请判断△DMN 的形状，请证明你的结论．【思路点拨】 (1)先由同角的余角相等可以得到∠BAD ＝∠C ＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以在Rt △ABD 和Rt △ABC 中分别找出BD 与AB ，AB 与BC 的关系，从而得出BD 与BC 的数量关系；(2)根据∠C ＝45°，∠BAC ＝90°，可得△ABC 是等腰直角三角形．又AD ⊥BC ，由等腰三角形三线合一的性质可知，D 为直角三角形斜边的中点．再由直角三角形斜边中线的性质，即可求出AD ，BD ，DC 之间的关系；(3)先由题目所给的条件证明△BDM ≌△ADN ，从而得到MD ＝DN 及∠BDM ＝∠ADN ，进而可得∠MDN ＝∠ADB ＝90°.【解答】(1)证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠B ＋∠C ＝90°，∠B ＋∠BAD ＝90°.∴∠BAD ＝∠C ＝30°.∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ， 在Rt △ABC 中，AB ＝12BC. ∴BD ＝14BC. (2)∵∠C ＝45°，∠BAC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∵AD ⊥BC ，∴D 为BC 的中点．∴AD ＝BD ＝CD.(3)△DMN 是等腰直角三角形．证明：∵BM ＝AN ，∠B ＝∠DAN ＝45°，BD ＝AD ，∴△BDM ≌△ADN(SAS)．∴MD ＝ND ，∠BDM ＝∠ADN.∴∠MDN ＝∠ADB ＝90°.∴△MDN 是等腰直角三角形．【方法归纳】 (1)由直角三角形斜边中线的性质可得到两条线段之间的数量关系；(2)由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．1．如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于(D)A ．5B ．6C ．7D ．82．一个三角形的三个角的度数之比是3∶3∶6，则这个三角形是等腰直角三角形．3．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E.如果DE ＝1，求BC 的长．解：连接AD.∵DE 垂直平分AB ，∴AD ＝BD ，∠DEB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°.在Rt △BDE 中，∠B ＝30°，∴DE ＝12BD.∴BD ＝2. ∵AD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠B.∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝120°－30°＝90°.又∵∠C ＝30°，∴AD ＝12CD.∴CD ＝2AD ＝2BD ＝4. ∴BC ＝CD ＋BD ＝4＋2＝6.命题点2 勾股定理及其逆定理【例2】 如图，四边形ABCD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝3，CD ＝1，∠A ＝90°，求∠ADC 的度数．【思路点拨】 首先在Rt △BAD 中，利用勾股定理求出BD 的长，而由题意可知，△ABD 为等腰直角三角形，则∠ADB ＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD 是直角三角形，即可求出答案．【解答】 连接BD.在Rt △BAD 中，∵AB ＝AD ＝2，∴∠ADB ＝45°，BD ＝AD 2＋AB 2＝2 2.在△BCD 中，DB 2＋CD 2＝(22)2＋12＝9＝CB 2，∴△BCD 是直角三角形．∴∠BDC ＝90°.∴∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝45°＋90°＝135°.【方法归纳】 当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．4．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有(D)A ．②B ．①②C ．①③D ．②③5．如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣。
章末复习一三角形人教版广东八年级数学上册完美课件
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知识点 3 三角形的内角和与外角和 【例 3】 (苏州中考)如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC＝90°， ∠B＝30°.现将三角板叠放在一把直尺上，使得点 A 落在直尺的一边上， AB 与直尺的另一边交于点 D，BC 与直尺的两边分别交于点 E，F.若 ∠CAF＝20°，则∠BED 的度数为 80° ．
三边的长可能是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
第11章第9课时 章末复习(一) 三角形-2020秋人教版（广东）八年级 数学上 册课件
第11章第9课时 章末复习(一) 三角形-2020秋人教版（广东）八年级 数学上 册课件
2．(惠州期末)如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是( C ) A．180° B．360° C．540° D．720°
演讲完毕，谢谢观看！
【变式 1】 (泰州中考)已知三角形两边的长分别为 1，5，第三边长为 整数，则第三边的长为 5 .
【例 2】 (黄石中考)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE， BF 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°， 则∠EAD＋∠ACD＝( A ) A．75° B．80° C．85° D．90°
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三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)
期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一三角形的有关概念1.已知AD,AE分别是△ABC的中线和角平分线,则下列结论中错误的是()A.BD=BCB.BC=2CDC.∠BAE=∠BACD.∠BAC=2∠CAD2.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC中,BC边上的高是;(2)在△AEC中,AE边上的高是.3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x千米远,则x的值应满足()A.x=3B.x=3或x=7C.3<x<7D.3≤x≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A.5B.6C.12D.166.△ABC的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有个.7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是(写出一个即可).类型三三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为234,则∠B的度数为()A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是()图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC 的度数.图QM3-4类型四命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题:.12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.图QM3-5类型一分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为.16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB的度数.图QM3-8类型三创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;如图QM3-10②,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的两条三等分线分别对应交于点O1,O2,则∠BO1C=×180°+∠A,∠BO2C=×180°+∠A.请说明理由;根据以上阅读理解,猜想n等分时[内部有(n-1)个交点],用含n的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB(2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△BCO,△BDO,△CEO.(2)∠1是△BCD和△BDO的内角.(3)以CE为一条边的三角形有2个,分别是△BCE和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP)=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE∥CF,∴∠2=∠1=30°.∵AE平分∠BAD,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x,AC=2x,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,则AB=,AC=.答:边AB的长为6,边AC的长为4;或者边AB的长为,边AC的长为.17.解:①2x+3x+10≤30,解得x≤4,即x可取1,2,3,4.当x等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x等于3时,三边长分别为6,9,10;当x等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a∥b,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A作射线AB∥a,那么AB∥b,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC,∵a∥b,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC,∠ECA=∠3-∠ACB,∴(∠1-∠BAC)+(∠3-∠ACB)=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB)=180°.在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D,即∠AEB=∠2+∠3+(∠C+∠D).连接PE并延长至点F,易知∠AEF=∠2+∠APF,∠BEF=∠3+∠BPF,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB,∴∠APB=(∠C+∠D)=30°.21.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.证明:如图,在△ABC中,过点A作EF∥BC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=×180°+∠A.在题图②中,∵∠O1BC=∠ABC,∠O1CB=∠ACB,∴∠BO1C=180°-∠O1BC-∠O1CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=120°+∠A=×180°+∠A.同理,∵∠O2BC=∠ABC,∠O2CB=∠ACB,∴∠BO2C=180°-∠O2BC-∠O2CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=60°+∠A=×180°+∠A.通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=×180°+-∠A.。
人教版 八年级数学 上册 期末总复习—第十一章 三角形
课堂练习 A 组 复习与三角形有关的线段：
1．若三角形的两边分别为 3 和 5 ，则第三边长m 的取值范围是__2__<_m__<__8_．
A 组 复习与三角形有关的线段：
2．如图：
A
（1）若AD ⊥BC，垂足
为D，则：
∠_A_D__B_
F
=∠_A__D_C_
= 90°；
B
DE
C
A 组 复习与三角形有关的线段：
c.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边 作垂线，所得线段叫做三角形的高.
④三角形三边间的关系： 三角形两边的和大于第三边.
⑤三角形的稳定性及应用： 三角形具有稳定性.
⑥多边形的对角线、内角和、外角和： n 边形的对角线条数等于 n(n 3，) 内角和等于
2 （n-2）·180°，外角和等于360°.
如图，在△ABC 中，∠BAC =80°，
∠ABC =60°.
A
（1）∠C = 40° ；
F
（2）若AE 是△ABC 的
O
角平分线，则：
∠AEC = 100° ；
（3）若BF 是△ABC 的 B 高，与角平分线
E
C
AE 相交于点O，则∠EOF = 130° ．
典型例题
例1 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ， 则三角形的周长是 22或26 ．
②∠A：∠B：∠C =1：2：3，③∠A = 90°－∠B，④
∠A =∠B =∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件
有（ ）C
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
练习1（3）已知一个多边形的内角和是外角 和的2倍，则这个多边形的边数为___6___.
沪科版八年级数学上册期末复习-三角形
沪科版八年级数学上册期末复习2一、三角形1、三角形的分类：（1）按边分类：（2）按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形2、三角形三边的关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边.3、三角形内角和定理、外角及其推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（2）推论1：直角三角形的两个锐角互余.（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.（4）推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4、三角形中的重要线段（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部.5、命题（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.（2）命题分为真命题和假命题.（3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理. 如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.（5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.二、全等三角形1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.3、全等三角形的判定 （1）“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF （2）.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中，∵ BE BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF（3）“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF（4）“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵AB DEBC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF 另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法. （5对应相等的两个直角三角形全等.（HL ）在Rt △ABC 和Rt △DEF 中， ∵ AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF三、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称. 这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.3、轴对称性质与判定：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段. （2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系四、线段的垂直平分线1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.五、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.六、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°.3、判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. （2）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.七、直角三角形含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.八、角平分线1、性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、三角形三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.【考点习题】 一、选择题1、三角形的三边分别为3，a 21-，8，则a 的取值范围是（ ）A ．36-<<-aB ．5-<a 或2->aC ．52<<aD ．25-<<-a 2、如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、 CE 的中点，且ABC S ∆＝4cm 2，则阴影S 等于( )A ．2cm 2B ．1 cm 2C ．21 cm 2 D ．41 cm 23、如图，a ∥b ，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝（ ）A 、100°B 、105°C 、110°D 、115°（第2题） （第3题）4、若△ABC 的三个内角满足关系式∠B ＋∠C=3∠A ，则这个三角形（ ）A ．一定有一个内角为45°B ．一定有一个内角为60°C ．一定是直角三角形D ．一定是钝角三角形 5、下列命题中正确的是（ ）A ．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B ．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A>∠B>∠C，那么∠A>60°，∠C<60°6、如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE ≌△ACD的是（）A.AD=AEB. ∠AEB=∠ADCC. BE=CDD. AB=AC（第6题）（第7题）（第8题）7、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。
【人教版】八年级上《三角形》期末复习试卷及答案
【⼈教版】⼋年级上《三⾓形》期末复习试卷及答案第⼀学期⼋年级数学期末复习专题三⾓形综合练习姓名：_______________班级：_______________得分：_______________⼀选择题：1.在数学课上.同学们在练习画边AC上的⾼时.有⼀部分同学画出下列四种图形.请判断⼀下正确的是（）A. B. C. D.2.有5根⼩⽊棒,长度分别为2cm,3cm,4cm,5cm,6cm,任意取其中的3根⼩⽊棒⾸尾相接搭三⾓形,可搭出不同的三⾓形的个数为( )A.5个B.6个C.7个D.8个3.已知三⾓形三边长分别为2,2x,13,若x为正整数,则这样的三⾓形个数为( ).A.2B.3C.5D.134.在△ABC中，三边长分别为、、，且＞＞，若=8，=3，则的取值范围是（）A.3＜＜8B.5＜＜11C.6＜＜10D.8＜＜115.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（）A.6B.7C.8D.96.在△ABC中，∠A=55°，∠B⽐∠C⼤25°，则∠B等于（）A.50°B.75°C.100°7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC 等于（）A.60°B.60°C.70°D.75°8.如图，是⼀块三⾓形的草坪，现要在草坪上建⼀个凉亭供⼤家休息，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在( )A.△ABC的三条中线的交点处B.△ABC三边的垂直平分线的交点处C.△ABC的三条⾓平分线的交点处D.△ABC三条⾼所在直线的交点处9.⼀个多边形内⾓和是1080o，则这个多边形的对⾓线条数为（）A.26B.24C.22D.2010.在△ABC中，⾼AD和BE所在的直线交于点H，且BH=AC，则∠ABC等于( )A.45°B.120°C.45°或135°D.45°或120°11.⼀个正多边形的外⾓与它相邻的内⾓之⽐为1：4，那么这个多边形的边数为（）A.8B.9C.10D.1212.如图，在四边形ABC D中，AC平分∠BAD，AB>AD，下列结论正确的是A.AB-AD>CB-CDB.AB-AD=CB-CDD.AB-AD与CB-CD的⼤⼩关系不确定.13.⼀个多边形截去⼀个⾓后，形成另⼀个多边形的内⾓和为720°，那么原多边形的边数为( )A.5B.5或6C.5或7D.5或6或714.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A.6＜AD＜8B.2＜AD＜14C.1＜AD＜7D.⽆法确定15.将⼀副直⾓三⾓板，按如图所⽰叠放在⼀起，则图中∠的度数是（）A.45oB.60oC.75oD.90o16.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°17.⼀个多边形少加了⼀个内⾓时，它的度数和是1310°，则这个内⾓的度数为（）A.120°B.130°C.140°D.150°18.正n边形的每⼀个外⾓都不⼤于40°，则满⾜条件的多边形边数最少为（）A.七边形B.⼋边形C.九边形D.⼗边形19.如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°20.如图，△ABC的⾓平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（）A.只有①③B.只有②④C.只有①③④D.①②③④⼆填空题:21.⼀个三⾓形的两条边长为3，8，且第三边长为奇数，则第三边长为_______．22.如图，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的⾯积是1，那么△A1B1C1的⾯积_______．23.如图，D为△ABC的BC边上的任意⼀点，E为AD的中点，△BEC的⾯积为5，则△ABC的⾯积为．24.已知⼀个多边形的内⾓和与外⾓和的差是1260°，则这个多边形边数是．25.如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三⾓形所在的平⾯内的点为A1，若∠A=30°，∠BDA1=80°，则∠CEA1的度数为．26.如图所⽰，D是△ABC的边BC上的⼀点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，则∠DAC= ．27.明到⼯⼚去进⾏社会实践活动时,发现⼯⼈师傅⽣产了⼀种如图所⽰的零件,⼯⼈师傅告诉他:AB∥CD,∠BAE=40°,∠1=70°,⼩明马上运⽤已学的数学知识得出了∠ECD的度数，聪明的你⼀定知道∠ECD= .28.如图，分别以五边形的各个顶点为圆⼼，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的⾯积为 cm2．30.如图，在△ABC中E是BC上的⼀点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的⾯积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF= ．三简答题:31.如图所⽰，在△ABC中，AE、BF是⾓平分线，它们相交于点O，AD是⾼，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．32.请根据下⾯x与y的对话解答下列各⼩题：X：我和y都是多边形，我们俩的内⾓和相加的结果为1440°；Y：x的边数与我的边数之⽐为1：3．（1）求x与y的外⾓和相加的度数？（2）分别求出x与y的边数？（3）试求出y共有多少条对⾓线？33.如图，长⽅形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E 运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的⾯积等于32cm2？34.四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的⾓平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的⾓平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．35.（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．36.平⾯内的两条直线有相交和平⾏两种位置关系．(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB,CD外部,则有∠B=∠BOD,⼜因为∠BOD是△POD的外⾓,故∠BOD=∠BPD+∠D.得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB，CD内部,如图②,以上结论是否成⽴？若成⽴，说明理由；若不成⽴，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针⽅向旋转⼀定⾓度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．37.如图，已知四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外⾓∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β.(1)如图1，若α+β=，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=45°，请写出α、β所满⾜的等量关系式；(3) 如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．38.直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO⾓的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的⼤⼩是否会发⽣变化？若发⽣变化，请说明变化的情况；若不发⽣变化，试求出∠AEB的⼤⼩．（2）如图2，已知AB不平⾏CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的⾓平分线，⼜DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的⾓平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的⼤⼩是否会发⽣变化？若发⽣变化，请说明理由；若不发⽣变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA⾄G，已知∠BAO、∠OAG的⾓平分线与∠BOQ的⾓平分线及延长线相交于E、F，在△AEF 中，如果有⼀个⾓是另⼀个⾓的3倍，试求∠ABO的度数．39.△ABC中，三个内⾓的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D.(1)如图1，猜想∠AOC与∠ODC的关系，并说明你的理由；(2)如图2，作∠ABC外⾓∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.①求证：BF∥OD；②若∠F=40o，求∠BAC的度数.40.已知△ABC中，∠A=30°．(8分)(1)如图①，∠ABC、∠ACB的⾓平分线交于点O，则∠BOC= °．(2)如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C= °.(3)如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n-1（内部有n-1个点），求∠BO n-1C（⽤n的代数式表⽰）．(4)如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n-1，若∠BO n-1C=60°，求n的值．参考答案1、C2、C3、A4、D5、D6、B7、C8、B9、D 10、C 11、C 12、A 13、D14、A 15、C 16、C 17、B 18、C 19、B 20、C 21、7或9 22、7 23、10 24、⼗⼀．25、20° 26、24°．27、30° 29、5°30、2 ．31、解：∵AD是⾼∴∠ADC=90°∵∠C=70°∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°∵∠BAC=50°，∠C=70°，AE是⾓平分线∴∠BAO=25°，∠ABC=60°∵BF是∠ABC的⾓平分线∴∠ABO=30°∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=125°32、【解答】解：（1）360°+360°=720°；（2）设X的边数为n，Y的边数为3n，由题意得：180（n﹣2）+180（3n﹣2）=1440，解得：n=3，∴3n=9，∴x与y的边数分别为3和9；（3）9×（9﹣3）=27条，答：y共有27条对⾓线．33、【解答】解：①如图1，当P在AB上时，∵△APE的⾯积等于32，∴×2x?8=32，解得：x=4；②当P在BC上时，∵△APE的⾯积等于32，∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP=32，∴10×8﹣（10+8﹣2x）×5﹣×8×5﹣×10×（2x﹣10）=32，解得：x=6.6；③当P在CE上时，∴（10+8+5﹣2x）×8=32，解得：x=7.5＜（10+8+5），此时不符合；答：4或6.6．34、【解答】解：（1）∵∠A=145°，∠D=75°，∴∠B=∠C==70°；（2）∵BE∥AD，∠A=145°，∠D=75°，∴∠ABE=180°﹣∠A=35°，∠BED=180°﹣∠D=105°，∵∠ABC的⾓平分线BE交DC于点E，∴∠CBE=∠ABE=35°，∴∠C=∠BED﹣∠EBC=40°；（3）∵∠A=145°，∠D=75°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣∠A﹣∠C=140°，∵∠ABC和∠BCD的⾓平分线交于点E，∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠DCB）=70°，∴∠BEC=110°．35、【解答】解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=30°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=80°，∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；（2）∵三⾓形的内⾓和等于180°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B．36、解：(1)不成⽴，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.证明：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，⼜∵∠BPD＝∠BED ＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D(2)∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D(3)由(2)的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E且∠AGB＝∠CGD，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°37、（1）150 （2）°（3）平⾏38、【解答】解：（1）∠AEB的⼤⼩不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO⾓的平分线，∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=45°，∴∠AEB=135°；（2）∠CED的⼤⼩不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠PAB+∠MBA=270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的⾓平分线，∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，∴∠BAD+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°，∴∠F=45°，∴∠FDC+∠FCD=135°，∴∠CDA+∠DCB=225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的⾓平分线，∴∠CDE+∠DCE=112.5°，∴∠E=67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的⾓平分线相交于E，∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的⾓平分线，∴∠EAF=90°．在△AEF中，∵有⼀个⾓是另⼀个⾓的3倍，故有：①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．∴∠ABO为60°或45°．39、(1)∠AOC=∠ODC；(2)①略(2分)；②80°.40、（1）105（2）80（3）（4）n=5。
三角形期末复习
三角形全章复习学案一．三角形概念1．下列说法正确的有（）①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④2．如图中三角形的个数是（）A．6B．7C．8D．93．一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长．二．三角形的角平分线、中线和高4．下面四个图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（）A．B．C．D．5．在下列图形中，正确画出△ABC的边BC上的高的是（）A．B．C．D．6．如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（）A．△ABC中，AD是边BC上的高B．△ABC中，GC是边BC上的高C．△GBC中，GC是边BC上的高D．△GBC中，CF是边BG上的高7．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1B．2C．3D．48．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为cm2．9．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．10．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．第8题第9题第10题第12题11．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．12．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝（）A．1B．2C．3D．413．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的根据是（）A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．长方形是轴对称图形D．三角形有稳定性三．三角形三边关系14．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（）A．5，5，5B．3，2，1C．5，6，12D．3，5，815．现有两根木棒，它们的长是20cm和30cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）A．10cm B．50cm C．60cm D．40cm16．已知锐角三角形的边长是2，3，x，那么第三边x的取值范围是（）A．1＜x＜B．C．D．17．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种四．三角形内角和定理、外角定理18．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°19．如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．钝角或直角三角形20．适合条件∠A＝∠B＝∠C的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形21．如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF＝度．22．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°23．如图，△ABC中，∠A＝55°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DB的度数为．第18题第21题第22题第23题24．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．25．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上的一点，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝10°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．15°C．10°D．30°26．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°27．如图△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A．19.2°B．8°C．6°D．3°28．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．第26题第27题第28题29．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．五．线段垂直平分线的性质30．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD＝4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为．31．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝，∠EFC＝度．33．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°第32题第33题第34题34．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．35．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．（1）求∠P AQ的度数．（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．36．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF＝∠ACF．六．等腰三角形的性质37．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°38．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12B．16C．20D．16或2039．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°40．如图，在△P AB中，P A＝PB，M，N，K分别是P A，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°41．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数是．42．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝．43．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明．（2）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明：（3）若D在底边BC的延长线上，（2）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？44．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a＝3，b＝3，c＝4B．a：b：c＝2：3：4C．∠B＝50°，∠C＝80°D．∠A：∠B：∠C＝1：1：245．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个46．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC 是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）47．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF＝BE+CF．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，BF＝3，则CE的长度为．49．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．50．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB＝3，则PP′＝．第51题第52题第53题51．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．52．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．653．如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取P A ＝CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为七．命题与定理54．有下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补；④有两个角是锐角的三角形是直角三角形．其中是真命题的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个55．下列命题是真命题的个数为（）①直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；②过一点有只有一条直线与已知直线垂直；③0的平方根和算术平方根都是0；④27的立方根是±3；⑤同旁内角互补．A．1个B．2个C．3个D．4个56．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．57．写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题：．八．作图—基本作图58．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS59．工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS60．如图△ABC．（1）尺规作图BC边上的中线AD；（2）如果AB＝5，AC＝8，求△ACD与△ABD的周长之差；（3）直接写出△ABC与△ACD的面积之间的大小关系．2．在△ABC中，AB＝AC．（1）尺规作图：求作AC的垂直平分线DE，分别交BC，AC于点D，E；（2）在（1）的条件下，连接AD，若AB＝BD，求∠B的度数．3．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠C＝30°，线段DC与DB有怎样的数量关系？试说明理由．4．尺规作图：已知∠α，∠β，求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不写作法，但要保留作图痕迹）5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠B＝60°，∠C＝26°．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）（2）记（1）中所作AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点F，连接AE．求∠DAE的度数．全等三角形模型复习和拓展两个三角形可以经过哪些图形变换后全等？1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD3．如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组4．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC5．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，图中有对全等三角形．8．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．9．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．10．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．12．如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．14．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．15．如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．16．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．。
章节复习(一)三角形
期末章节复习(一)三角形考点1三角形的三边关系1．下列各线段中，能与长为4，6的两条线段组成三角形的是（）A．2 B．8 C．10 D．122．若三角形三边长分别为2，x，3，且x为偶数，则这样的三角形个数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为__________．4．a，b，c为△ABC的三边，化简|a－b－c|－|a＋b－c|＋2a结果是__________．5．一个等腰三角形的周长为22 cm，若一边长为6 cm，求另外两边长．考点2三角形的高、中线与角平分线6．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF第6题第7题图第9题图第10题图第12题图7．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4 cm.若AB＝16 cm，则AC＝_______cm.考点3三角形的稳定性8．下列图形具有稳定性的是（）A B C D考点4三角形的内角和定理与外角性质9．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于点E，∠C＝40°，∠D＝20°，则∠ABC为（）A．50°B．60°C．70°D．80°10．将一副三角板按图中的方式叠放，则∠1的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．110°11．△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定有一个内角为45°D．一定有一个内角为60°12．如图，在△ABC中，∠A＝x°，∠B＝2x°，∠ACB＝6x°，则∠BCD的度数是_______．13．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为126°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为____________．14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝AD＝DC，试判断△BAC的形状．15．如图，已知△ABC和△CDE，点E在AB边上，且AB∥CD，EC为∠AED的平分线．若∠BCE＝30°，∠B＝44°，求∠D的度数．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于M，N两点．(1)求∠BMC的度数；(2)若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC，∠BNC的度数．考点5多边形及其内角和、外角和17．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为__________．18．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_________．19．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD.(1)若∠1＝48°，求∠2的度数；(2)求证：AB∥DE.复习自测一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5 cm，8 cm，2 cm B．5 cm，8 cm，13 cmC．5 cm，8 cm，5 cm D．2 cm，7 cm，5 cm2．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是（）A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形两边之差小于第三边D．直角三角形的两个锐角互余第2题图第3题图第4题图第6题图3．如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4 cm2，则△ABM的面积为（）A．8 cm2B．4 cm2C．2 cm2D．以上答案都不对4．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°5．小方画了一个有两边长为3 和5 的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．13 C．8 D．11或136．将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．不能作为正多边形内角的度数的是（）A．120°B．108°C．144°D．145°8．如图，在△ABC中，∠BDC＝110°，点D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，则∠A＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°第8题图第10题图第11题图第12题图9．已知三角形的三边长分别为2，a－1，4，则化简|a－3|＋|a－7|的结果为（）A．2a－10 B．10－2a C．4 D．－410．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α＋β B．γ＝α＋2β C．γ＝α＋β D．γ＝180°－α－β二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，图中共有______个三角形．第13题图第14题图第15题图12．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B＝∠F＝72°，则∠D＝__________．13．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为_______．14．根据如图所示的已知角的度数，求出其中∠α的度数为_______．15．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为2 520°，则原多边形有________条边．16．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝__________．三、解答题(共46分)17．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等？18．(10分)如图所示，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°，∠C＝54°.(1)求∠ADB的度数；(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．19．(12分)已知一个正多边形相邻的内角比外角大140°.(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；(2)直接写出这个正多边形的边数．20．(14分)在平面直角坐标系中，将等腰直角三角板OAB(∠OAB＝∠OBA＝45°)的直角顶点放在O点，直角边OB，OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为(0，4)．图1 图2 图3(1)如图1，D为AB上一点，且S△AOD＝S△BOD，求点D的坐标；(2)若另一直角三角板(∠OFE＝30°)的直角顶点放在O点(如图2)，直角边OF，OE分别在x轴、y轴上，EF交AB 于点G，∠AOB的平分线与∠AGF的平分线相交于点P，求∠P的度数；(3)如图3，M，N为x轴、y轴上两点，∠ANM的平分线与∠ABx的平分线相交于点Q，下列两个结论：①∠NMO－∠OAB∠Q的值不变；②∠NMO＋∠OAB∠Q的值不变，其中有且仅有一个是正确的，请你选出正确的结论，并求出其值．。
第1章三角形期末复习训练2022-2023七年级上学期鲁教版数学
2022-2023七年级上学期鲁教版数学（第1章三角形）期末复习训练一、选择题1.如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是( )A. B.C. D.2.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )A. AB=DEB. ∠A=∠DC. AC=DFD. AC//FD3.现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.下列说法：(1)周长相等的两个三角形是全等三角形；(2)周长相等的两个圆是全等图形；(3)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等；(4)所有的正方形是全等图形；(5)在△ABC中，当∠A=12∠C，∠B=13∠C时，这个三角形是直角三角形．正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是( )A. ∠ABC=∠DCBB. AB=DCC. AC=DBD. ∠A=∠D6.如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，若△ABC的面积为24cm2，则△CDE的面积为( )A. 8cm2B. 6cm2C. 4cm2D. 3cm27.下列叙述中，正确的是．( )A. 三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的射线，叫做三角形的角平分线B. 连接三角形一个顶点和它对边中点的直线，叫做三角形的中线C. 从三角形一个顶点向它的对边画垂线，这条垂线叫做三角形的高D. 三角形的三条中线总在三角形的内部8.根据下列条件，不能画出唯一△ABC的是( )A. AB=5，BC=3，AC=6B. AB=4，BC=3，∠A=50°C. ∠A=50°，∠B=60°，AB=4D. AB=10，BC=20，∠B=80°9.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是( )①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①③10.为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB 的长．那么△ABC≌△ADC的理由是( )A. SASB. AASC. ASAD. SSS二、填空题11.如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC//DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．12.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于3平方厘米，则△ABC的面积为_________平方厘米13.如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM.已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是秒．14.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为______．15.如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法中： ①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A; ②作线段BC=a; ③连接AB，AC，△ABC 为所求作的三角形.正确顺序应为(填序号)．16.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S是．三、解答题17.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：如图，∠α，直线l及l上两点A，B．求作：△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90∘，∠BAC=∠α．18.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．(1)求证：∠AEB=∠DEB;(2)若∠A=100∘，∠C=50∘，求∠AEB的度数．19.如图，在△ABC中，∠A=60°，角平分线BD，CE交于点O．(1)求∠BOC的度数；(2)点F在BC上，BF=BE，试说明：△COD≌△COF；(3)BE，CD，BC三条线段之间有怎样的数量关系？请直接写出结果．20.如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD．(1)如图，若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请你说明DE=DF;(2)如图 ②，若G是AD上一点(A、D除外)，GE⊥AB，GF⊥AC，垂足分别为E，F，请问：GE=GF成立吗?并说明理由;(3)如图 ③，若(2)中GE，GF不垂直于AB，AC，要使GE=GF，需添加什么条件?并在你添加的条件下说明GE=GF．21.如图，BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，P在BD的延长线上，且BP=AC，点Q 在CE上，CQ=AB.求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．22.在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．(1)如图1，若∠BAC=90°，①试说明：△ABD≌△ACE；②求∠BCE的度数；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．答案D C B B B B D B B A11. AB=ED(答案不唯一)12. 1213. 414. 515. ② ① ③16. 5017.略18.(1)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE．在△ABE和△DBE中，{AB=DB,∠ABE=∠DBE, BE=BE,∴△ABE≌△DBE(SAS)，∴∠AEB=∠DEB．(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE，∵∠A=100∘，∠C=50∘，∴∠ABC=30∘，∴∠ABE=15∘，∴∠AEB=180∘−∠A−∠ABE=180∘−100∘−15∘=65∘．19.解：(1)在△ABC中，∠A=60°，BD和CE分别平分∠ABC和∠ACB，所以∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12×(180∘−60∘)=60∘．所以∠BOC=180°−60°=120°．(2)因为BD平分∠ABC，所以∠EBO=∠FBO．在△OBE和△OBF中，{OB=OB,∠OBE=∠OBF, BE=BF,所以△OBE≌△OBF(SAS)．所以∠BOE=∠BOF．因为∠BOC=120°，所以∠BOE=60°．所以∠BOF=∠COF=∠COD=60°．在△COD和△COF中，{∠COD=∠COF, OC=OC,∠OCD=∠OCF,所以△COD≌△COF(ASA)．(3)BC=BE+CD．20.(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD，在△AED和△AFD中，{∠DAE=∠DAF,∠AED=∠AFD, AD=AD,∴△AED≌△AFD，∴DE=DF．(2)GE=GF成立．理由如下：∵GE⊥AB，GF⊥AC，∴∠AEG=∠AFG，在△AEG和△AFG中，{∠EAG=∠FAG,∠AEG=∠AFG, AG=AG,∴△AEG≌△AFG，∴GE=GF．(3)(答案不唯一)添加AE=AF，理由如下：在△AEG和△AFG中，{AE=AF,∠EAG=∠FAG, AG=AG,∴△AEG≌△AFG，∴GE=GF．21.证明：(1)∵BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABP和△QCA中，{BP=AC,∠ABP=∠ACQ, AB=CQ,∴△ABP≌△QCA(SAS)，∴AP=AQ．(2)由(1)知△ABP≌△QCA，∴∠P=∠CAQ，∵BD⊥AC，∴∠P+∠CAP=90°，∴∠CAQ+∠CAP=90°，即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ．22.解：(1)①因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS)．②由①可得△ABD≌△ACE，所以∠B=∠ACE．所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．所以∠BCE=∠B+∠ACB．因为∠B+∠ACB=180°−∠BAC=90°，所以∠BCE=90°．(2)α+β=180°，理由：因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,所以△ABD≌△ACE(SAS)．所以∠B=∠ACE．所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．所以∠B+∠ACB=β．因为α+∠B+∠ACB=180°，所以α+β=180°．。
解三角形 高一期末复习
解三角形一、知识梳理：三角形中的有关公式：（1）内角和定理：π=++C B A ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方。
（2）正弦定理：R R CcB b A a (2sin sin sin ===为三角形外接圆的半径）. ①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②R a A 2sin = R b B 2s i n = RcC 2s i n =③=a R A 2sin ⋅ R B b 2s i n⋅= R C c 2sin ⋅= 已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解(3)余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：)(21sin 2121c b a r C ab ah S a ++===（其中r 为三角形内切圆半径） 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意π=++C B A 这个特殊性：C B A -=+π,2cos 2sin ,sin )sin(CB AC B A =+=+；（2）求解三角形中含有边角混合关系问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
二、典型例题：题型一：利用正、余弦定理解三角形1、在ABC ∆中，若,60,2,6 ===B BC AC 则______=C 。
2、下列条件判断三角形解的情况，正确的是_______①30,16,8===A b a ，有两解； ②60,20,18===B c b ，有一解； ③90,2,15===A b a ，无解 ④150,25,30===A b a ，有一解 3、设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长（2）求)cos(C A -的值.题型二：判断三角形形状1、在ABC ∆中，,cos sin 2sin C B A =且C B A 222sin sin sin +=，试判断ABC ∆的形状。
2020年秋人教版八年级数学上册期末复习专题《三角形》(含答案)
期末专题《三角形》一、选择题1.如图，已知S△ABC=12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是( )A.10B.8C.6D.42.如图,D为△ABC内部一点,E、F两点分别在AB、BC上,且四边形DEBF为矩形,直线CD交AB于G点.若CF=6,BF=9,AG=8,则△ADC的面积为何？（）A.16B.24C.36D.543.如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，1C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，那么△A2B2C2的面积是（）A.7B.14C.49D.504.已知a,b,c是△ABC的三条边,对应高分别为h，h b，h c，且a:b:c=4:5:6，则么h a：h b：h c等于a（）A.4：5：6B.6：5：4C.15：12：10D.10：12：155.如图，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则△ABC的面积为（）A.300B.315C.279D.3426.已知三角形三边长分别为2,2x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为( ).A. 2B. 3C. 5D. 13二、填空题7.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是8.如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF= ．9.如图，A，B，C分别是线段AB，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积1_______．10.如图，D，E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S，△CEF1的面积为S2，若S△ABC=6，则S1-S2的值为．三、解答题11.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分，求这个三角形的腰长。
1期末复习(平面直角坐标系、等腰三角形、全等三角形)
期末专题复习（直角坐标系）一、概念复习1、直角坐标系：横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）、原点。
直角坐标系的平面叫直角坐标平面。
2、点的坐标：点P 对应的有序数对叫点的坐标，P （a,b ）a 叫横坐标，b 叫纵坐标。
3、平面直角坐标系把平面分成四个象限：x 轴、y 轴不属于任何象限。
第一象限（＋，＋）、第二象限（－，＋）、第三象限（－，－）、第四象限（＋，－） 4、经过点P （a ，b ）且垂直于x 轴（或平行于y 轴）的直线表示为：直线x = a 经过点P （a ，b ）且垂直于y 轴（或平行于x 轴）的直线表示为：直线y = b 5、平行于坐标轴的直线上的两点间的距离：平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ）、B （x 2，y ）的距离是 21x x AB -= 平行于x 轴的直线上的两点C （x ，y 1）、D （x ，y 2）的距离是 21y y CD -= 6、点P （a ，b ）沿着坐标轴（沿与x 轴或y 轴）平行的某一方向平移m （m>0）个单位 则；向右平移所对应的点的坐标为（a+ m ，b ）； 向左平移所对应的点的坐标为（a- m ，b ） 向上平移所对应的点的坐标为（a ，b+ m ）；向下平移所对应的点的坐标为（a ，b- m ） 7、对称点的坐标特征 直角坐标平面内有点M （a ，b ） 与点M （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标是（a ，- b ） 与点M （a ，b ）关于 y 轴对称的点的坐标是（- a ，b ） 与点M （a ，b ）关于原点对称的点的坐标是（- a ，- b ）二、典型例题1、点A （-3，2）向左平移4个单位到B ，则B 点的坐标是___________2、点N （3，-4）沿x 轴翻折与M 重合，那么点M 的坐标是___________3、将点Q （10，2）绕原点O 旋转180°后落到P 处，则P 点的坐标是___________4、直角坐标平面内，点A （-2，3）向____平移______个单位后就和点B （2，3）重合5、点P 在第三象限，且点P 到x 轴和到y 轴的距离都是3，则点P 坐标是_______________6、如果点M （3a-1,5+b ）与点（b -2，a ）关于原点对称，则a=_______,b=__________7、在x 轴上有A 、B 两点，AB =10，若点A 的坐标是（2，0），那么点B 的坐标是___________ 8、在直角坐标平面内，设点P （x,y ）,若xy>0,则点P 在_________象限。
人教版四年级下册数学 期末专项复习 三角形
小学数学试卷一.选择题(共5小题)1.一个直角三角形中，()直角。
A.可能没有B.只有一个C.最多有2个D.3个角可能都是2.下面最具有稳定性的图形是()。
A.B.C.D.3.如果一个三角形的两条边的长度分别是10cm 、15cm ，那么第三条边的长度()。
A.比25cm 短B.比5cm 长C.比6cm 长，比24cm 短D.比5cm 长，比25cm 短4.3cm 、5cm 、ccm 这三条线段若能围成一个三角形，满足条件的整数c 有()个。
A.3B.4C.5D.无数5.一个三角形的内角和是180∘，把这个三角形对折，得到一个小三角形，这个小三角形的内角和是()。
A.180∘B.90∘C.360∘D.无法确定二.填空题(共10小题)6.在一个三角形中，∠1=72∘，∠2=48∘，∠3=() ∘。
在一个等腰三角形中，如果一个底角是36∘，那么顶角是（） ∘。
7.一个三角形的三条边都是整厘米数，已知其中的两条边分别是5厘米和8厘米，那么第三条边最长是()厘米，最短是(8.有两根小棒分别长7厘米和5厘米，请你再添上一根整厘米数的小棒，使这三根小棒摆成一个三角形。
第三根小棒的长度可以是()厘米。
9.一个等腰三角形（如图），它的一个底角是()；按角分，它是()三角形。
10.看图填空。
(1)如图，沿着虚线折一折，∠1、∠2和∠3组成了一个()角，是() ∘。
(2)如图，将三角形沿虚线剪下，然后旋转拼到上面，这样∠1、∠2和∠3组成了一个()角，是() ∘。
(3)通过折、剪、拼，我们可以得知，三角形的内角和等于() ∘。
11.等边三角形中，三条边都()，三个角都是() ∘，按角分，等边三角形也是()三角形。
12.如图，∠1=65∘，∠2=（）°。
13.在一个等腰三角形中，其中两条边的长度分别是5厘米和12厘米，这个等腰三角形的周长是()厘米。
14.一个三角形的两个内角分别是62∘和56∘，它的另一个内角是(） ∘。
八上数学三角形期末综合复习
三角形综合复习考点一三角形边、角及重要线段1.如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，∠EBC＝42°，则∠BAC＝（）A．159°B．154°C．152°D．138°2.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高D．垂直平分线3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE﹣BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BEC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．100°B．125°C．142°D．110°5．若一个三角形三个内角度数的比为3：4：11，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形6．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为75°，则等腰三角形的顶角大小为（）A．70°B．40°C．70°或50°D．40°或80°7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE 于点H，现有如下结论：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中说法正确的是（）A．①②③④B．①②③C．②④D．①③8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，△ABC的周长为36，AD＝12，则△ADC的周长为．9．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝102°，则∠A的度数是．10. 如图，点D、E在△ABC边上，沿DE将△ADE翻折，点A的对应点为点A′，∠A′EC＝α，∠A′DB＝β，且α＜β，则∠A等于（用含α、β的式子表示）．11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为．考点二全等三角形证明1.如图，E、B、F、C四点在同一条直线上，EB＝CF，∠DEF＝∠ABC，添加以下哪一个条件不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．DF∥AC C．AC＝DF D．AB＝DE2.如图，已知点A、D、C、F在同一直线上，AB＝DE，AD＝CF，添加下列条件后，仍不能判断△ABC≌△DEF 的是（）A．BC＝EF B．∠A＝∠EDF C．AB∥DE D．∠BCA＝∠EDF3.如图，要测量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再作BF的垂线DE，且使A、C、E在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC．用于判定两三角形全等的最佳依据是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS4．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE 的条件有（）个．A．1B．2C．3D．45．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A．30°B．15°C．25°D．20°6.如图，把△ABC的中线CD延长到E，使DE＝CD，连接AE，若AC＝4且△BCD的周长比△ACD的周长大1，则AE＝．7．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s 的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等．8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DB⊥BC于点B，分别以点D和点B为圆心，以大于DB的长为半径作弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，延长AB交EF于点G，连接DG，下面是说明∠A＝∠D的说理过程，请把下面的说理过程补充完整：∵DB⊥BC（已知）∴∠DBC＝90°（）①∵∠C＝90°（已知）∴∠DBC＝∠C（等量代换）∴DB∥AC（）②∴＝③（两直线平行，同位角相等）；由作图法可知：直线EF是线段DB的（）④∴GD＝GB，线段⑤（上的点到线段两端点的距离相等）∴＝（）⑥，∵∠A＝∠1（已知）∴∠A＝∠D（等量代换）．9. 如图，AC⊥BD于点C，F是AB上一点，FD交AC于点E，∠B与∠D互余．（1）试说明：∠A＝∠D；（2）若AE＝1，AC＝CD＝2.5，求BD的长．10. 如图，△ACB与△CED都是等腰直角三角形，∠BCA＝∠DCE＝90°，且点D在线段AB上，连接AE．（1）求证：①△BCD≌△ACE；②∠DAE＝90°；（2）若AB＝8，当点D在线段AB上什么位置时，四边形ADCE的周长最小？请说明并求出周长的最小值．11. 如图，A、E、F、D四点在同一直线上，CE∥BF，CE=BF，∠B=∠C．（1）△ABF与△DCE全等吗？请说明理由；（2）AB与CD平行吗？请说明理由．12．如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：（1）AF＝DE（2）若OP⊥EF，求证：OP平分∠EOF．考点三三角形压轴题1.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒．（1）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；（2）当t＝5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC＝（3）当t＝时，△BPC的面积为18．3．探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DE＝BD+CE．4．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB（填“是”或“不是”灵动三角形）；（2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．5．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：DF＝EF．。
七年级数学期末复习《三角形复习课》课案(教师用)
课案教师用三角形（复习课）【理论支持】巴班斯基“教学过程最优化”理论：教学过程最优化不是一种特殊的教学方法或教学手段，而是科学地指导教学、合理地组织教学过程的方法论原则；是在全面考虑教学规律、教学原则、教学任务、现代教学的形式和方法、该教学系统的特征以及内外部条件的基础上，教师对教学过程作出的一种目的性非常明确的安排，是教师有意识地、有科学根据地选择一种最适合于某一具体条件的课堂教学的模式和整个教学过程的模式，组织对教学过程的控制，以保证教学过程在规定的时间内发挥从一定标准看来是最优的作用，获得可能的最大效果。
本章主要研究三角形的边、高、中线、角平分线，三角形的稳定性，三角形的内角、外角，多边形的有关概念及其内角和。
教科书在学生已有的对三角形认识的基础上，首先整理了与三角形有关的线段，给出它们的符号表示；按照边的关系对三角形进行分类；通过探究三角形三边的大小关系，得出了两边之和大于第三边的结论；并从实际问题出发研究三角形的稳定性和四边形的不稳定性；对于三角形的内角，学生已经知道“三角形的内角和等于180”的结论，本章主要是对这个结论进行简单推理。
教科书通过探索把一个三角形的三个内角拼成一个平角的不同方法，找出说明三角形的内角和为180的思路，并对这个结论进行了简单推理，通过对三角形内角和等于180的简单论证，使学生进一步感受推理的作用；对于三角形的外角，通过探究得出了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”等结论。
三角形是最常见的几何图形，也是最简单的一种多边形，在几何研究中，常常将多边形分割成三角形，利用三角形的性质来研究多边形的问题，本章就采用这种将多边形分割成三角形的方法来研究多边形的内角和，并探究得出了多边形的外角和等于360的结论。
本章在最后一节安排了一个课题学习“镶嵌”，使学生综合利用所学有关多边形的知识解决实际问题。
【教学目标】1．通过小结本章的知识结构，培养学生分析、归纳、总结的能力。
期末复习：解三角形
高三期末复习：解三角形一、知识点梳理： 1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=也可以写成第二种形式：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+=3、疑点：解三角形问题解决过程中，注意：① 角的联系：π=++C B A ② 角的范围：),0(,,π∈C B A ③ 边角的关系与转换，如：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21=== 二、诊断练习：1、判定下列三角形的形状（1）在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。
（2）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。
（3）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，请判断△ABC 的形状。
（4）在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。
（5）在三角形ABC 中,sinA=sin sin sin cosB+cosCB CA +=,判断三角形的形状2、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，则△ABC 的面积__________；3、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为__________；4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则tanC 的值__________； 5、在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，则△ABC 的面积__________； 三、典型例题1、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求BAtan tan 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．2、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．3、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．4、在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=26，090θ<< )且与点A 相距海里的位置C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.四、课后练习：1、等腰三角形顶角的正弦值为2524，则底角的余弦值为__________； 2、在ΔABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则ΔABC 的形状一定是__________三角形；3、在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断，其中正确的是__________； ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+4、在直角三角形ABC 中，A 、B 为锐角，则sinAsinB 的取值范围是__________；5、在ΔABC 中，sinA ︰sinB ︰sinC ＝2︰3︰4，则cos C ＝__________；6、给出下列四个命题，则正确的命题为__________；⑴ 若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形 ⑵ 若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形 ⑶ 若cosA·cosB·cosC ＜0, 则△ABC 是钝角三角形 ⑷ 若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A) = 1, 则△ABC 是等边三角形7、已知△ABC 中，135cos ,54sin ==B C ，则A cos ＝__________； 8、在ABC ∆中，D 为BC 中点，45,30,BAD CAD ∠=︒∠=︒2=AB ,则AD =__________；9、已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC++⋅的最大值为__________； 10、在△ABC 中，求证：2222112cos 2cos ba b B a A -=-11、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （1）求B 的大小； （2）求cos sin A C +的取值范围．12、在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．13、如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120 ．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的 半径OA 的长（精确到1米）．。
期末复习-三角形三大模型三大专题满分突破
D E A F B
7
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连接AO并延长，交BC于K. (1) 求证:AK+BC＜AB+AC;
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8、 如图，在 ABC中，AB＞AC＞BC , O为 ABC内任一点，
1 (2) 求证: ( AB AC BC )＜OA OB OC＜AB AC BC. 2
D A
2. “8”字模型 角的关系： A B C D
B
C
B A
边的关系： AB CD
AD BC
O
C
D
3. “角分线”模型 (1). 如右图 OB , OC 分别是 ABC , ACB 的角 平分线。 角的关系： BOC 90
0
A
1 A 2
O
B
C
2
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（2） ，如图②，点 P 在△ABC 内部，∠BPC 与∠A 的大小关系是 （3） ，如图③，点 P 是∠ABC、∠ACB 平分线的交点，此时∠BPC 与 ∠A 的大小关系是 （4） ，如图④，点 P 是∠ABC 平分线和∠ACB 外角平分线的交点，∠ BPC 与∠A 的大小关系是 (5),如图⑤，点 P 是∠ABC 和∠ACB 两外角平分线的交点，∠BPC 与 ∠A 的大小关系是 (6),在上述五种情景中，选择其中一种情况说明理由。 （7） ，如图⑥，在△ABC 中，∠C=90° ，点 P 是∠ABC 平分线和∠BAC 外角平分线的交点,则∠P 的度数为
11
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【考点】平面镶嵌（密铺） 【专题】规律性 【分析】 （1）第一次铺完用 1× 2 块，第二次铺完共用 3× 4 块，第三次铺完 后，共用 5× 6 块，所以第 4 次铺完后，共使用的木板数为 7× 8 块； （2）第 10 次铺完后，共使用的木板数为 19× 20 块； （3）第 n 次铺完后，共使用的木板数为（2n-1）× 2n 块． 【解答】解： （1）第 4 次铺完后，共使用的木板数为 7× 8=56； （2）第 10 次铺完后，共使用的木板数为 19× 20=380； （3）第 n 次铺完后，共使用的木板数为 2n（2n-1）=4n2-2n． 【点评】解决本题的关键是得到共使用的木板数的变化规律．
期末复习——直角三角形
A
∴ ∠BAD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B C
D
是等腰三角形， 边上的高恰好等于 例4：已知 ：已知∆ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于 是等腰三角形 BC边长的一半，求∠BAC的度数。 边长的一半， 的度数。 边长的一半 的度数 2、当BC为腰时，设∠B为顶角，分下面几种情况讨论： 、 为腰时， 为顶角， 为腰时 为顶角 分下面几种情况讨论： 为锐角时， （1） 顶角 为锐角时，如图： ） 顶角B为锐角时 如图： B
PO平分∠AOB, 平分∠ 平分 PA⊥OA,PB⊥OB ⊥ ⊥ AP=BP
练一练 1、在∆ABC中，如果∠A+ ∠B= ∠C,则∆ABC 、 中 如果∠ 则 直角三角形 为 _____________. 2、 已知 △ABC中，∠C＝900，AB边上的中 、 已知Rt△ 中 ＝ 边上的中 线长为2， 线长为 ，且AC＋BC＝6，则 S ∆ABC ＝ 5 。 ＋ ＝ ， 3、如图，在△ABC中，∠C=90°， 、如图， 中 ° ∠B=30°，AB的垂直平分线交 ° 的垂直平分线交 BC于D，垂足为 ，BD=4厘米， 厘米， 于 ，垂足为E， 厘米 B . 则AC= 2 3
B D E C
例2、如图，已知 、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于 ， ， ， 相交于 点O，若AB=5，AC=7，BD=6。 ， ， ， 。 求∠BCD的度数 的度数
解：∵AB=AD 在线段BD的中垂线上 ∴点A在线段 的中垂线上（到线段两端距离相等的点在这条 在线段 的中垂线上（ 线段的垂直平分线上） 线段的垂直平分线上） 同理点也在BD的中垂线上 同理点也在 的中垂线上 A AC⊥BD且平分 且平分BD ∴AC⊥BD且平分BD ∵BD=6 ∴BO=3 ∵AB=5 D B AO2+BO2=AB2 (勾股定理 得 AO=4 勾股定理)得 勾股定理 O ∵AC=7 C ∴OC=3 ∴△BOC等腰直角三角形 等腰直角三角形 ∴∠BCO=45°,同理∠DCO=45° 同理∠ ∴∠ ° 同理 ° ∴∠BCD=90° ∴∠ °
直角三角形知识梳理
证明：∵∠ABC＝90°，且点 E 是 AC 的中点， ∴EB＝12AC． 同理：ED＝12AC． ∴EB＝ED． ∴∠EBD＝∠EDB．
18．(8 分)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，已知： OA＝1，OB＝2，OC＝3，OD＝4，CD＝5．求四边形 ABCD 的周长．
解：∵OC＝3，OD＝4，CD＝5，∴△DCO 为直角三角形，且∠COD ＝90°． 在 Rt△ DAO 中，AD＝ 12＋42＝ 17， 在 Rt△ BAO 中，AB＝ 12＋22＝ 5， 在 Rt△ BCO 中，BC＝ 22＋32＝ 13， ∴四边形 ABCD 的周长为 17＋ 5＋ 13＋5．
1z 如图，Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则∠A′DB＝( C ) A．40° B．30° C．20° D．10°
2．如图，在△ ABC 中，CD⊥AB 于 D，且 E 是 AC 的中点．若 AD＝ 6，DE＝5，则 CD 的长等于( D )
重难点 4 角平分线的性质和判定 【例 4】 如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平 分线交于 P 点，PD⊥AC 于 D，PH⊥BA 于 H，求证：AP 平分∠HAD． 【思路点拨】 过 P 作 PF⊥BE 于 F，根据角平分线的性质可得 PH＝ PF，PF＝PD，有 PD＝PH，再根据角平分线的判定可得结论．
证明：连接 AC． 在 Rt△ ABC 和 Rt△ ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， ∴Rt△ ABC≌Rt△ ADC(HL)． ∴BC＝DC． ∵BE⊥EF，DF⊥EF， ∴∠E＝∠F＝90°．
在 Rt△ BCE 和 Rt△ DCF 中， BC＝DC， BE＝DF， ∴Rt△ BCE≌Rt△ DCF(HL)．