【小初高学习]2017届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.5 垂直关系课时规范训练 文 北师

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何 7.5 垂直关系课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．(2016·佳木斯名校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为lβ，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或mβ，又lβ，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，lβ，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为lβ，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．(2014·高考广东卷)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.答案：D3．(2016·重庆模拟)在一个45°的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45°，则此直线与二面角的另一个面所成的角为( )A．30°B．45°C．60° D．90°解析：如图，二面角α－l－β为45°，ABβ，且与棱l成45°角，过A作AO⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角α－l －β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12，∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．答案：A4．设l ，m ，n 为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题 ①若l ⊥α，则l 与α相交②若m α，n α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α ③若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α ④若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则l ∥n 其中正确命题的序号为________．解析：由于垂直是直线与平面相交的特殊情况，故①正确；由于m 、n 不一定相交，故②不正确；根据平行线的传递性，故l ∥n ，又l ⊥α，故n ⊥α从而③正确；由m ⊥α，n ⊥α知m ∥n ，故l ∥n ，故④正确．答案：①③④5．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ­ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152； ④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解析：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若PA ⊥平面ABC ，则PA ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P ­ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知PA ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM最短，在Rt △ABC 中，CM min ＝125，∴S △PCM min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④6．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为________．解析：将直四棱锥补成长方体如图：球O 的直径2R ＝32＋32＋62＝43， ∴R ＝2 3.S △OAB ＝12×23×3＝3 3.答案：3 37. (2016·山东高考预测题)如图，已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，D 是棱AA 1上的任一点，M ，N 分别为AB ，BC 1的中点．(1)求证：MN ∥平面DCC 1；(2)试确定点D 的位置，使得DC 1⊥平面DBC .解：(1)证法一：如图，连接AC 1，因为M ，N 分别为AB ，BC 1的中点，故MN ∥AC 1， 又AC 1平面DCC 1，MN 平面DCC 1，故MN ∥平面DCC 1.证法二：如图，取BC 的中点G ，连接GN ，GM ，则GN ∥CC 1，又CC 1平面DCC 1，GN 平面DCC 1，故GN ∥平面DCC 1.同理可知GM ∥平面DCC 1，又GN ，GM 是平面NMG 内的两条相交直线，故平面NMG ∥平面DCC 1，又MN 平面NMG ，故MN ∥平面DCC 1.(2)当点D 为AA 1的中点时，满足DC 1⊥平面DBC .证明：由题意可知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，而AC ，CC 1是平面AA 1C 1C 内的两条相交直线，故BC ⊥平面AA 1C 1C ，又DC 1平面AA 1C 1C ，故DC 1⊥BC .在△CDC 1中，CD ＝22，DC 1＝22，CC 1＝4，满足CD 2＋DC 21＝CC 21，所以DC 1⊥DC ，又BC ，DC 是平面DBC 内的两条相交直线，故DC 1⊥平面DBC .8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面PAB . 解：(1)证明：∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD .∵平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊥AD ， ∴PH ⊥平面ABCD .(2)连接BH ，取BH 中点G ，连接EG . ∵E 是PB 的中点， ∴EG ∥PH . ∵PH ⊥平面ABCD ， ∴EG ⊥平面ABCD ， ∴EG ＝12PH ＝12，V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212. (3)证明：取PA 中点M ，连接MD ，ME . ∵E 是PB 的中点， ∴ME ＝12AB .又∵DF ＝12AB ，∴ME ＝CF .∴四边形MEFD 是平行四边形， ∴EF ∥MD . ∵PD ＝AD ， ∴MD ⊥PA . ∵AB ⊥平面PAD ， ∴MD ⊥AB . ∵PA ∩AB ＝A ， ∴MD ⊥平面PAB ， ∴EF ⊥平面PAB .[B 级 能力突破]1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：如图，取底面ABCD 的中心O ，连接PA ，PC ，PO .∵AC ⊥平面DD 1B ，又PO 平面DD 1B ，∴AC⊥PO.又O是BD的中点，∴PA＝PC.同理，取B1C与BC1的交点H，易证B1C⊥平面D1C1B，∴B1C⊥PH.又H是B1C的中点，∴PB1＝PC，∴PA＝PB1＝PC.同理可证PA1＝PC1＝PD.又P 是BD1的三等分点，∴PB≠PD1≠PB1≠PD，故点P到正方体的顶点的不同距离有4个．答案：B2．(2016·山西四校联考)在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是( )A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥nD．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β解析：对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真题；对于B，∵如果要一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选D.答案：D3．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：∵PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，排除A.又BD⊥AB，BD⊥PA，∴BD⊥面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.对于C选项，∵BD∥AE，∴BD∥面PAE，∴BC与面PAE不平行，排除C.又∵PD与面ABC所成角为∠PDA，∵AD＝2AB＝PA，∴∠PDA＝45°，故选D.答案：D4．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连结四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．解析：把四面体ABCD放置在如图所示的长方体中，显然命题①错误；因四个面对应的三角形的三边分别对应相等，即它们为全等的三角形，所以②正确；当ABCD为正四面体时，夹角之和等于180°，所以③错误；因每组对棱中点的连线分别与长方体的棱平行，且都经过长方体的中心，所以④正确；而命题⑤显然成立．故应填②④⑤.答案：②④⑤5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是________．解析：由于ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以A－A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.答案：①②③6．(2016·淮南模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在的直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)解析：由条件可得AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD ，故①正确；∵PA ⊥平面ABCD ，∴平面PAB 、平面PAD 都与平面ABCD 垂直，故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD ＞PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错．答案：①③7．在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，AB ＝2，点E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABEF 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，如图，设AD 的中点为P .(1)当E 为BC 的中点时，求证：CP ∥平面ABEF ；(2)设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A ­CDF 的体积取最大值？并求出这个最大值．解：(1)证法一：取AF 的中点Q ，连结QE ，QP ，则QP ∥DF ，且QP ＝12DF .又DF ＝4，EC ＝2，且DF ∥EC ，所以EC ∥DF ，且EC ＝12DF ，所以PQ ∥EC ，且PQ ＝EC ，故四边形PQEC 为平行四边形，所以CP ∥QE ， 又QE 平面ABEF ，CP 平面ABEF ， 所以CP ∥平面ABEF .证法二：如图，取FD 的中点M ，连接PM ，CM . 在△ADF 中，P ，M 分别为DA ，DF 的中点，所以PM ∥AF ，且PM ＝12AF .又DF ＝4，EC ＝2，且DF ∥EC ， 所以FM ∥EC ，且FM ＝EC ， 即四边形EFMC 为平行四边形， 所以EF ∥MC .又PM ∩MC ＝M ，AF ∩EF ＝F ， 所以平面PMC ∥平面ABEF .又PC 平面PMC ，所以CP ∥平面ABEF .(2)因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ， 又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC ， 所以平面AFD ⊥平面EFDC . 已知BE ＝x (0<x ≤4)， 所以AF ＝x ，FD ＝6－x ， 点A 到平面ECDF 的距离为x .故V A ­CDF ＝13×12×2×(6－x )·x ＝13(6x －x 2)＝13[－(x －3)2＋9]＝－13(x －3)2＋3. 所以当x ＝3时，V A ­CDF 取最大值，最大值为3.。