复变函数课件：1_1复数及其表示
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复变函数课件-第一节_复数_
∴ cos 3θ = cos3 θ − 3cos θ sin 2 θ = 4 cos3 θ − 3cos θ
sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ = 3sin θ − 4 sin 3 θ
复变函数起源简介
二十世纪以来, 复变函数已经被广泛应用到 理论物理、弹性理论和天体力学等方面, 与 数学中其它分支的联系也日益密切。致使 经典的复变函数理论, 如整函数与亚纯函数 理论、解析函数的边值问题等有了新的发展 和应用。并且, 还开辟了一些新的分支, 如 复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数 论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟 保形变换等。另外, 在种种抽象空间的理论 中, 复变函数还常常为我们提供新思想的模 型。
另外，也可把公式(1.11)中的 Argz 换成 argz （某个特定值）， 若 argz 为主值时，则公式两端允许相差 2π 的整数倍，即有
Arg ( z1 z2 ) = argz1 + argz2 + 2kπ z1 Arg ( ) = argz1 − argz2 + 2kπ z2
复变函数起源简介
直到十七世纪和十八世纪, 随着微积分的发 明与发展, 情况才逐渐有了改变。另外的原 因, 是这个时期复数有了几何的解释, 并把 它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。 复变函数论产生于十八世纪。1774 年, 欧拉 在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分 导出的两个方程。而比他更早时, 法国数 学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中, 就已经得到了它们。因此, 后来人们提到这 两个方程, 把它们叫做“达朗贝尔- 欧拉方 程”。
2、复平面:
复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C 为复平面.作映射：
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复数及复变函数.ppt
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
例如，设 z1 1, z2 i, 则 z1 z2 i,
Argz1 2n, (n 0, 1, 2,),
A故Arrgg3(zz21z22)2(m2πm2n),2kπ(m, (k02,k01,,,1只2,,须2),k,),m n 1.
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
9
三、复数的共轭运算
6
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
14
2. 复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 . 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
r
o
Pz x iy
x
x
复变函数与积分变换
教材:《复变函数与积分变换》
朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社
参考教材：1. 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室 编著,高等教育出版社 2. 《复变函数与拉普拉斯变换》,金忆丹编著,浙江大学出版 社 3. 《复变函数与积分变换》,马柏林等编 复旦大学出版社
复变函数第三版课件第一章
3
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
二、复数的三角不等式
关于两个复数 z1与z2
的和与差的模，有下列不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
(3) | z1 z2 || z1 | | z2 | (4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 ||
§1.1 复数 §1.2 复数的表示
§1.1复数
(Complex number)
一、复数的概念 二、复数的四则运算
三、复平面
一. 复数的概念
对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 1 , i称为虚单位。
复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . 设复数 z1 x1 iy1 z2 x2 iy2 则z1 z2 x1 x2 , y1 y2 （表示的唯一性）
(3)z
z1 z2
x1x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
例如 (3 2i) (2 3i)
(z2 0)
复数的运算满足如下交换律、结合律、
分配律。
(1) z1 z2 z2 z1
z1z3 z2z1;
(2) (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ) z1(z2z3 ) (z1z2 )z3;
n
n
当k 0,1,2,.n 1时， w有n个互不相同的值:
w
1
zn
n
r
i
e
2k
n
n r[cos(1 2k ) i sin( 1 2k )]
n
n
其中r=|z|,θ=argz.
k 0, 1, 2,, n 1
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
复变函数课件
第一章 复数与复平面
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
1. 复数域
目录
2. 复平面
3.复球面及无穷大
§1 复数及其几何表示
1、复数域
(1)复数的概念 形如 z x iy 的数称为复数 复数
或
z x yi
如果两个复数z1和z2的实部和虚部分别相等，那么 称这两个复数为相等。
x及y分别称为z的实部和虚部，分别记作 y Im z x Re z 及
o
r
1
z1
r1
2
r2
z2
x
结论：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
即先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角 2 , 再把它的模扩大到 r2 倍, 就得到z1 z2 .
由除法定义，我们还有
z1 | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 ) z2 | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | (cos Argz1 i sin Argz1 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z2 | (cos Argz2 i sin Argz2 )(cos Argz2 i sin Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | (cos 2 Argz2 sin 2 Argz2 ) | z1 | [cos( Argz1 Argz2 ) i sin( Argz1 Argz2 )] | z2 | z1 | z1 | Arg z1 Argz Argz , 1 2 z z2 | z2 | 2
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
复变函数第一课
复变函数的应用
复变函数的应用，涉及的面很广，有很多复 杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点 对应有物理量的一个区域，对它们的计算就 是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候， 就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题 ，他在运用复变函数论解决流体力学和航空 力学方面的问题上也做出了贡献。
z0 2(cos
3
i sin
3
) 1 i 3
z1 2cos i sin 2 5 5 z 2 2 cos i sin 1 i 3 3 3
第 一 节 复 数 及 其 代 数 运 算
四、曲线的复数方程
已知曲线 F x, y 0, ：
z1 Arg z2 Argz1 Argz2 （指集合相等）
4. 共轭复数的运算
第 一 节 复 数 及 其 代 数 运 算
z1 z1 1 z1 z2 z1 z2 ； z1z2 z1 z2 ； z2 z2 2 z z
例3 求
4
1 i.
即
w0 2 cos i sin , 16 16 9 9 8 w1 2 cos i sin , 16 16
8
w1
y 1+i
2
8
2
w0 x
17 17 8 w2 2 cos i sin 16 16 25 25 w3 2 cos i sin 16 16
不包含z为负实轴及原点
1 3i 例1 设 z , 求 Re( z ), Im( z )与z z. i 1 i
复变函数课件1-1
或 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ).
18
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铃
1.5 复数的Hamilton(代数对)形式的定义
1835年， Hamilton给出如下定义： 称一个有序数对z=(x,y)为一个复数。其中x,y为实数。 要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地 （x,y) ≠（y,x) 。 (x,y)=x+iy 实部 Rez=x 虚部：Imz=y 虚单位 (0,1)=i 数零0=(0,0)=0+0i
数式）、复数的四则运算、乘幂、根式。
难点：乘幂和根式，复数在几何上的应用。
6
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1、复数域
1.1 虚单位:
实例 : 方程 x 1在实数集中无解 .
2
对虚数单位的规定:
(1 ) i 1;
2
(2) i 可以与实数进行四则运算
7
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铃
虚数单位的性质:
i i;
x y .
2 2
23
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模的性质
x z, y z, z x y , z z z z2 .
2
三角不等式 (1 ) z 1 z 2 z 1 z 2 ; ( 2 ) z1 z 2 z1 z 2 .
C z | z x iy , x , y R 称 为为复数集
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等
设：z1=x1+i·1 z2=x2+i·2 z1 =z 2 x1 x2 , y1 y2 y y
复变函数与积分变换课件1.1-复数
a2 b2 c2
毕达哥拉斯定理 （勾股定理）
15
无
理 传说学派成员希帕苏斯在考虑了一 数个问题：边长为1的正方形，其对角线 的长度是多少呢？
发 他发现这一长度既不能用整数或者
重 大
现分数表示，而只能用一个新数来表示.
突
破
—
16
第一次数学危机
希帕苏斯的发现导致了数学史上第 一个无理数 2 的诞生.后来，人们又陆 续发现了许多无理数.
工作经历： 中国矿业大学，物理实验教师 佛山市国星光电股份有限公司，LED研发工程师 湖北省宜昌市，公务员 佛山科学技术学院自动化学院，青年特聘研究员
获得荣誉：
2017年5月，获得第四届全国激光雷达大会青年优秀论文奖 2017年11月，获得 2017 年博士研究生国家奖学金 2018年5月，获得深圳大学优秀毕业研究生奖学金（全校10%） 2018年6月，获得广东省优秀学生（研究生阶段）荣誉称号（全省0.25%） 2018年8月，获得 “深创杯”国际大学生创新创业大赛 “突出双创项目奖”（指导老师）
复数领域的推广和发展 。
(虚数史话) 49
第 一
第一章 复数与复变函数
章
复 §1.1 复数
数 与
§1.2 复数的三角表示
复 变
§1.3 平面点集的一般概念
函 §1.4 无穷大与复球面
数
§1.5 复变函数
50
§1.1 复数
第 一
§1.1
复数
章 一、复数及其运算
复 数
二、共轭复数
与
复 变
函
数
51
§1.1 复数
复变函数
与积分变换
1
一、教学及考核方式
复变函数课件1-1
u v , u v x y y x
比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论 文中已经得到这两个方程，有的教科书称这两个 方程为达朗贝尔——欧拉方程。
拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。
19
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家 Cauchy、德国数学家 Rieman和Weierstrass的巨大努 力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到 数学学科的许多分支。例如，著名的代数学基本定理：
把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入 14
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783）
• 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17岁取得硕
士学位，30岁右眼失明， 60岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个数 学分支，对后世影响深远。
复变函数的引入 15
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数 的关系，並写出以下公式：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。 用复变函数理论来证明是非常简洁的。 柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论
的奠基者。
20
近几十年来，复变函数论又有了很大的进展 ，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法 国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作 ，开拓了复变函数更广阔的领域。
机械与电气工程学院 1 复变函数与积分变换
序言 2
• 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。 其中包括两大分支：
• 一是实变函数论（研究以实数作为自变量的 函数，高等数学研究的就是这一类函数）；
• 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的 函数）这门课就是介绍复变函数论。
比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论 文中已经得到这两个方程，有的教科书称这两个 方程为达朗贝尔——欧拉方程。
拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。
19
十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家 Cauchy、德国数学家 Rieman和Weierstrass的巨大努 力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到 数学学科的许多分支。例如，著名的代数学基本定理：
把三角函数引入复数 运算之中。
复变函数的引入 14
• 欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783）
• 瑞士数学家。 • 13 岁入大学，17岁取得硕
士学位，30岁右眼失明， 60岁完全失明。 • 著作非常多，深入每个数 学分支，对后世影响深远。
复变函数的引入 15
• 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数 的关系，並写出以下公式：
一元n次方程
a0zn a1zn1 an1z an 0 (a0 0)
（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。 用复变函数理论来证明是非常简洁的。 柯西，黎曼，维尔斯特拉斯是复变函数论
的奠基者。
20
近几十年来，复变函数论又有了很大的进展 ，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法 国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作 ，开拓了复变函数更广阔的领域。
机械与电气工程学院 1 复变函数与积分变换
序言 2
• 函数论是数学研究中的一个十分重要的领域。 其中包括两大分支：
• 一是实变函数论（研究以实数作为自变量的 函数，高等数学研究的就是这一类函数）；
• 另一是复变函数论（研究以复数为自变量的 函数）这门课就是介绍复变函数论。
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Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
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二、复数的几何表示
1. 复平面的定义 2. 复数的模(或绝对值)
y z x iy
y
P (x, y)
r
记为 z r x2 y2 .
o
x
x
和解题能力训练，大连理工大学出版社 3 华中理工大学数学系，复变函数与积分变
换，高等教育出版社
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第一节 复数及其表示
一、复数的概念及代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的积与商 四、小结与思考
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一、复数的概念及代数运算
1.复数的概念
x z, y z,
z x y, z z z 2 z2 .
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例3 求复数 1 z (z 1) 的实部、虚部和模. 1 z
解 因为
1 z (1 z)(1 z) 1 z (1 z)(1 z)
1
|
z |2 2i Im | 1 z |2
z
所以
Re1 1
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
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例2 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
z z
1 | |1
z z
|2 |2
,
Im
1 1
z z
|
2 Im 1 z
z |2
,
1 1
z z
2
1 1
z z
1 1
z z
1
|
z |2 |1
2 Re z |2
z
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所以
1 z
1 | z |2 2Re z .
1 z
|1 z|
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例1 将下列复数表示为 x iy 的形式.
i 1 i .
1 i
i
解
(1) i i(1 i) 1 i , 1 i 1 i
1 i (1 i)(1 i) 2
i
i 1i 3 1i 1i i 2 2
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
练习 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4)
(m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数.
答案： (1)m 6或m 1. (2)m 4.
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2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和(差):
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辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
z 0 辐角的主值
arctan y , x
x 0,
arg
z
π 2
arctan
, y
()π,
x 0, y ()0, x 0, y ()0,
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数Biblioteka 积:z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
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因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z1
(2) z1 z2 z1 z2 .
o
z1
x
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6.复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
复变函数与积分变换
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课程特点：
1. 复变函数一些概念和定理与数学分析相平 行。注意二者不同之处。 2. 基本公式， 定理掌握。 3. 积分变换有应用背景，公式多，计算量大。
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参考书目
1 钟玉泉 ， 复变函数论， 高等教育出版社 2 刚家泰，谭欣欣，复变函数全程学习指导
虚
复数： z = x + iy 部
实 部
虚数 单位
或 z = x+ yi. 实部和虚部分别 记作 x Re(z), y Im( z).
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对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算.
一般地，如果 n是正整数, 则 i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别 相等.
复数 z 等于 0 当且仅当它的实部和虚部同时 等于0. 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个 复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
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3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y z x iy
P (x, y)
Argz 1 2kπ
( k为任意整数).
o
x
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角. 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im(z)2(实数);
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z). 以上各式证明略.
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x
(其中 arctan y )
π,
2
x2
x 0, y 0.
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4. 利用平行四边形法则求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减
法运算一致.
y
y
z2
z1 z2
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
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5. 复数和差的模的性质