复变函数课件：1_1复数及其表示

Re(z) 3 , Im( z) 1 ,
2
2
z
z
Re(z)2
Im( z )2
32
2
1 2
2
5. 2
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二、复数的几何表示
1. 复平面的定义 2. 复数的模(或绝对值)
y z x iy
y
P (x, y)
r
记为 z r x2 y2 .
o
x
x
因为 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 故
(1) z1 z2 z1 z2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z1
(2) z1 z2 z1 z2 .
o
z1
x
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6.复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
共轭复数的性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(2) z z;
(3) z z Re(z)2 Im(z)2(实数);
(4) z z 2Re(z), z z 2i Im(z). 以上各式证明略.
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例1 将下列复数表示为 x iy 的形式.
i 1 i .
1 i
i
解
(1) i i(1 i) 1 i , 1 i 1 i
1 i (1 i)(1 i) 2
i
i 1i 3 1i 1i i 2 2
(2) i 1 i i2 (1 i)2 1 2i
1i i
(1 i)i
和解题能力训练，大连理工大学出版社 3 华中理工大学数学系，复变函数与积分变
换，高等教育出版社
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第一节 复数及其表示
一、复数的概念及代数运算 二、复数的几何表示 三、复数的积与商 四、小结与思考
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一、复数的概念及代数运算
1.复数的概念
x z, y z,
z x y, z z z 2 z2 .
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例3 求复数 1 z (z 1) 的实部、虚部和模. 1 z
解 因为
1 z (1 z)(1 z) 1 z (1 z)(1 z)
1
|
z |2 2i Im | 1 z |2
z
所以
Re1 1
1 i
(1 2i)(1 i) 3 1 i.
2
22
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例2 设 z 1 3i , 求 Re(z), Im( z) 与z z. i 1i
解 z 1 3i i 3i(1 i) 3 1 i, i 1 i i i (1 i)(1 i) 2 2
虚
复数： z = x + iy 部
实 部
虚数 单位
或 z = x+ yi. 实部和虚部分别 记作 x Re(z), y Im( z).
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对虚数单位的规定: (1) i2 1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行 四则运算.
一般地，如果 n是正整数, 则 i 4n 1, i 4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
x
(其中 arctan y )
π,
2
x2
x 0, y 0.
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4. 利用平行四边形法则求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的向量的加减
法运算一致.
y
y
z2
z1 z2
z2
z1
o
z1
x
o
x
z1 z2
z2
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5wenku.baidu.com 复数和差的模的性质
z z
1 | |1
z z
|2 |2
,
Im
1 1
z z
|
2 Im 1 z
z |2
,
1 1
z z
2
1 1
z z
1 1
z z
1
|
z |2 |1
2 Re z |2
z
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所以
1 z
1 | z |2 2Re z .
1 z
|1 z|
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z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
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练习 实数m取何值时, 复数 (m2 3m 4)
(m2 5m 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数.
答案： (1)m 6或m 1. (2)m 4.
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2. 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ,
1. 两复数的和(差):
复变函数与积分变换
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课程特点：
1. 复变函数一些概念和定理与数学分析相平 行。注意二者不同之处。 2. 基本公式， 定理掌握。 3. 积分变换有应用背景，公式多，计算量大。
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参考书目
1 钟玉泉 ， 复变函数论， 高等教育出版社 2 刚家泰，谭欣欣，复变函数全程学习指导
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辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的0
称为 Argz 的主值, 记作0 arg z.
z 0 辐角的主值
arctan y , x
x 0,
arg
z
π 2
arctan
, y
()π,
x 0, y ()0, x 0, y ()0,
3. 复数的辐角
在 z 0 的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y z x iy
P (x, y)
Argz 1 2kπ
( k为任意整数).
o
x
说明 任何一个复数 z 0有无穷多个辐角. 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别 相等.
复数 z 等于 0 当且仅当它的实部和虚部同时 等于0. 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个 复数称为共轭复数. 与 z 共轭的复数记为z, 若 z x iy, 则 z x iy.
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