2018-2019数学北师大版选修1-1 第二章1.2 椭圆的简单性质(一) 作业2

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2018-2019学年北师大版选修2-1-3.1.2椭圆的简单性质-课件(69张)

x
1.直接算出a、c带公式求e
2.几何意义：e为∠OPF2的正弦值
变式训练1：
• 若椭圆
x2 9
+
y2 m9
率为1/2，求m的值.
=1的离心
3. 已知a2、c2直接求e2
4.已知a2、b2不算c直接求e
e2
c2 a2
e
1
b2 a2
题型二：方程法
例2.已知椭圆的两个焦点为F1和F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2 ，∠AF2 F1 =60°，求该椭圆的离心率。
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
长半轴长为a,短半轴长为b.(a>b)
e c a
a2=b2+c2 (a b 0)
二.离心率的常见题型及解法
题型一：定义法
例1.已知椭圆方程为 x2 + y2 =1，
求椭圆的离心率； 16
8
y
P
a
F1(-c,0) o c F2(c,0)
把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称；把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称；
把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆
关于( 原点 )对称；
练习：根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
A.
2 2
B.
3 3
C.12
D.13
p
60°
F1
F2
x
三：向量法之垂直问题
(2010·武汉调研)如图 3，已知 A、B 两点分别是椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，而 F 是椭圆 C 的右焦点，若A→B·B→F＝0，则椭圆 C 的离心率 e＝________.

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5．用0到9这10个数字， (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？ (2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？
解：(1)可以组成 9A39＝4536 个四位数．
适合题意的四位奇数共有
A15·A18·A28＝2240 个．
(2)0 到 9 这 10 个数字构成的三位数共有 A19·A110·A110＝900 个，分为三类：
比赛的场数是( )
A．C25＋C28＋C23
B．C25C28C23
C．A25＋A28＋A23
D．C216
解析：分三类：一年级比赛的场数是 C25，二年级比赛的
场数是 C28，三年级比赛的场数是 C23，再由分类加法计数原理
可求．答案：A
知识点二
有限制条件的组合问题
2.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉 3盏不相邻的灯，则关灯方案有( )
知识点三
排列与组合的综合应用
4.4 种不同的种子，选出 3 种种在三块不同的地上，每
一块地只能种一种，则不同的种法有( )
A．C34A33种
C．C34A13种解析：分两步完成：
B．C23A33种 D．A34A13种
第一步先选种子，有 C34种选法；第二步再种地，有 A33种种法；共有 C34A33种不同种法．答案：A
§1.2 排列与组合
§1.2.2 组合
课时作业32 组合的应用
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
[目标导航] 1．会解决一些简单的组合问题． 2．体会简单的排列组合综合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้堂对点训练
知识点一
无限制条件的组合问题
1.某校一年级有 5 个班，二年级有 8 个班，三年级有 3

2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1-2 椭圆的简单性质二精品

1.2 椭圆的简单性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； (2)|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝ (1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].注：直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系的判断例1 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定反思与感悟直线与椭圆的位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．反思与感悟此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式求出最小距离．跟踪训练2 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．类型二弦长及中点弦问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通用方法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为 3.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且直线l的方程为y＝kx＋3(k>0)，若O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．1．经过椭圆x 216＋y 23＝1的中心的直线与椭圆的两个交点间距离的最大值为( )A ．6B ．8C ．10D ．162．经过椭圆x 29＋y 26＝1的焦点与椭圆长轴垂直的直线与椭圆的相交弦的长度为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠34．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB所在的直线方程为________________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解．答案精析问题导学知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.知识点三思考有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．题型探究例1 A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]跟踪训练1 解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.例2 解设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 跟踪训练2 解设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为 x －y ＋3＝0，最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即P 点坐标为(－83，13)．例3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310.所以线段AB 的长度为310. (2)当直线l 的斜率不存在时，不合题意．所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为 y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.跟踪训练3 解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究解可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2，又|AB |＝2510－8m 2，∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12·2510－8m 2·|m |2 ＝25(54－m 2)m 2 ≤25·(54－m 2)＋m 22＝14，当且仅当54－m 2＝m 2时，等号成立，此时m ＝±104∈[－52，52]． ∴所求直线的方程为x －y ±104＝0. 跟踪训练4 解 (1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，即b ＝3t ，其中t >0，又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点，因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0. 解得x 1＝0或x 2＝－83k4k 2＋3.∵k >0，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2|－83k4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k4k 2＋3，原点O 到直线l 的距离为d ＝31＋k 2. ∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·31＋k 2＝12k 4k 2＋3＝124k ＋3k ≤1243＝3，当且仅当4k ＝3k ，即k ＝32时， △OAB 面积的最大值为 3.当堂训练1．B 2.D 3.B 4.x －2y ＋3＝05．解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329，化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.。

北师大版高中数学选修1-1《2.1.2 椭圆的简单性质(第2课时)》优秀课件

若AF1, F1F2, F1B成等比数列,求椭圆的离心率.
3.地球运行的轨道是长半轴长a 1.50108 km，离心率e 0.02的椭圆，
太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最远距离和最近距离.
（地球、太阳近似看成是点）
1.2椭圆的简单性质（2）
椭圆C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的两个焦点分别为F1, F2，
c
a
b2 1 a2 ,
构建参数 a与c或a与b的齐次等量关系是求离
心率值
的左右顶点分别为A1, A2，
的关键.
且以线段A1 A2为直径的圆
【解答】
与直线bx ay 2ab 0相切,
圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径,
求椭圆C的离心率.
y
又以线段A1A2为直径的圆, 圆心O(0,0), 半径r a,
高中学数
北师大版-高中数学选修1-1 第二章圆锥曲线与方程第一节椭圆
1.2 椭圆的简单性质(2)
1.2椭圆的简单性质（2）
椭圆的标准方程
图形
对称性范围顶点离心率
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
y
2a
2b
B2
y2 x2 1(a b 0)
a 2 2b b2
y A2
F2
P
O
x
F1
1.2椭圆的简单性质（2）
求适合下列条件的椭圆标准方程:
(3)长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点P(3,0). 先定型后定量.
【错解】（3）2a 6b, a 3,
【正解】
当焦点在x轴上时, 点P是长轴的一个端点 ,
b 1;

高中数学北师大版选修1-1学案：第二章 1.2 椭圆的简单性质(一)

1.2椭圆的简单性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的简单性质已知两椭圆C 1、C 2的标准方程：C 1：x 225＋y 216＝1，C 2：y 225＋x 216＝1.思考1怎样求C 1、C 2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2椭圆具有对称性吗？思考3椭圆方程中x ，y 的取值范围分别是什么？梳理知识点二椭圆的离心率思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的________，用e表示．(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近1，椭圆越______，当e越接近______，椭圆就越接近圆．类型一椭圆的简单性质引申探究已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．例1求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．类型二求椭圆的离心率命题角度1与焦点三角形有关的离心率问题例2设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．反思与感悟涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝1－b 2a2求解．跟踪训练2椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．命题角度2利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)例3(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________． (2)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．反思与感悟若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．跟踪训练3若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．类型三利用椭圆的简单性质求方程例4求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，且与y 轴的一个交点为(0，－10)，该点与最近的焦点的距离为10－5；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练4椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程．1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)2.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为() A.15B.25 C.55D.2553．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆标准方程是()A.x 22＋y 24＝1B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1D.x 28＋y 25＝1 4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为13，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．答案精析问题导学知识点一思考1对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．思考2有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．思考3C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.梳理F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤ax轴、y轴和原点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)2a2b知识点二思考如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝ca，记e＝ca，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．梳理(1)离心率(2)(0,1)扁0题型探究例1解已知方程化成标准方程为x2 16＋y29＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e ＝c a ＝74.又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．引申探究解把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1，可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2.又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.所以椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝c a ＝53.跟踪训练1解椭圆方程化为标准形式为x 24＋y 2m ＝1，且e ＝12.(1)当0<m <4时，长轴长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2,0)， B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，长轴长和短轴长分别为833，4，焦点坐标为F 1(0，－233)，F 2(0，233)，顶点坐标为A 1(0，－433)，A 2(0，433)，B 1(－2,0)，B 2(2,0)．例2解(1)由|AF 1|＝3|F 1B |， |AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0，且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得 |AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|· |BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.跟踪训练23－1 例3(1)33解析直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a，∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )．∴kBF 1＝－b 2a －0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac ，∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c )，令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423， ∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.(2)[22，1) 解析椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，－b ≤y ≤b .由题意知，以F 1F 2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，则c ≥b ，即c 2≥b 2，所以c 2≥a 2－c 2，所以e 2≥1－e 2，即e 2≥12.又0<e <1，所以e 的取值范围是[22，1)．跟踪训练335解析由题意知2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得 5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0， ∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．例4解(1)由题意知a ＝10， a －c ＝10－5，则c ＝ 5.所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以所求椭圆的方程为y 210＋x 25＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80，所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.跟踪训练4解∵椭圆过点(3,0)， ∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3，∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.当堂训练1．D2.D3.B4.[4－23，4＋23] 5．解(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∵e ＝c a ＝4a ＝13，∴a ＝12，从而b 2＝a 2－c 2＝128，∴椭圆的标准方程为y 2144＋x 2128＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.。

高中数学北师大版选修1-1课件：第2章 §1 1.2 第1课时椭圆的简单性质

2.已知椭圆方程，如何确定椭圆的几何性质？探究提示： 1.通过对椭圆几何性质的研究，椭圆的焦点在椭圆的长轴上.即焦点在标准方程较大分母对应的轴上. 2.首先看方程是否为标准方程，若不是标准方程，先化为标准方程. 其次由标准方程先确定焦点位置.然后写出a,b的值,这样就可确定椭圆的性质.
第十一页，编辑于星期日：二十三点三十一分。
类型三与离心率有关的问题【典型例题】
1.(2012·新课标全国卷)设F1,F2是椭圆E：
x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)的左、右焦点，P为直线
上x 一3点a ，△F2PF1是底
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( 2 )
A. 1
B. 2
2
3
C. 3
D. 4
4
5
第二十七页，编辑于星期日：二十三点三十一分。
第十四页，编辑于星期日：二十三点三十一分。
【拓展提升】确定椭圆的几何性质的四个步骤
提醒：由椭圆标准方程确定a2,b2的值，则
ec a
1
b2 a2
.
第十五页，编辑于星期日：二十三点三十一分。
【变式训练】已知：椭圆 x2 y2 的1 离心率 e 10则，实数
5k
5
k的值为______.
【解析】当k>5时，e c k 5 10 , k 25 .
a
题过程中用到了整体思想和方程思想.
2.求解椭圆离心率要特别注意e的范围，因为a>c>0,所以0<e<1. 3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几何性质，找关系，列等式.
第三十页，编辑于星期日：二十三点三十一分。
【解析】1.选C.设直线 x与x3轴a交于点M，则∠PF2M=60°，在

2018-2019学年北师大版选修1-1 2.1.2椭圆的简单性质课件 (24张)

2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？ b就越大，此时椭圆就越圆
4.离心率
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近圆。
三、内容升华
两个范围，三对称四个顶点，离心率
椭圆方程
椭圆范围的几何对称性性质顶点
即 A1(-a,0)、 A2(a,0)、 B1(0,-b)、B2(0,b) *顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭 y 圆的顶点。
B2(0,-b)
A1(-a，0)
F1
o
B (0,-b)
F2 A2(a，0)
3.顶点
*长轴、短轴:线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。且它们的长分别等于2a和2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 y
例题
x2 y2 1 9 4 2 2 x2 y2 y x (2) 1 或 1 100 64 100 64
五、课后作业
（1）反思知识的形成过程，掌握研究问题的方法；（2）研究的范围、对称性、顶点、离心率；设计意图：课后作业的设置体现了本节课研究方法的延伸，作业（1）强调研究方法的重要性，作业（2）是对学生学习效果的一种检验
离心率
-a x a -b y b
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
-a y a
x y 2 1 2 b a (a b ) -b x 0b
2
2
对称轴： x轴、 y轴对称中心：原点
(±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
c e ( 0<e<1 ) a
2
对称性

北师大版高中数学选修1-12.1.2椭圆的简单性质.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.2 椭圆的简单性质课时目标 1.掌握椭圆上点的集合范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝______，长轴长＝______焦点焦距对称性对称轴是__________，对称中心是______ 离心率2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A .x 236＋y 216＝1 B .x 216＋y 236＝1 C .x 26＋y 24＝1 D .y 26＋x 24＝1 3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1 D ．06.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎤0，12C .⎝⎛⎭⎫0，22D .⎣⎡⎭⎫22，1 题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_________________________________．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．三、解答题如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25 D .1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．1.2椭圆的简单性质知识梳理1.焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点(±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c)焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e<1 2.一＝二 > 没有 < 作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c)2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝ca ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4. ∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]6. C [∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP|>c 恒成立，由椭圆性质知|OP|≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b>c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e<1，∴0<e<22.]7.x 245＋y236＝1 解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．x ＋2y －4＝0解析设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F(c,0)，B(0，b)．设P(x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e<1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0.解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m)－(x 2＋m) ＝x 1－x 2，∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x. 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac.∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P(x 0，y 0)，M(x ，y)，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12. 又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．。

2019-2020高中北师大版数学选修1-1 第2章 §1 1.2 椭圆的简单性质

1．2 椭圆的简单性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响．(难点)椭圆的简单性质哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？[提示] 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝ca ，记e ＝ca ，则0<e <1，e 越大，∠BF 2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越圆．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为b .( ) (2)椭圆的离心率越接近0，椭圆越扁．( ) (3)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．已知椭圆的方程为y 29＋x 216＝1，则此椭圆的长轴长为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8D [该椭圆的标准方程为x 216＋y 29＝1，故a ＝4，故长轴长＝2a ＝8.] 3．椭圆x 225＋y 216＝1的离心率是( ) A .34 B .541C .45D .35D [由题意可得a ＝5，b ＝4，c ＝3，故e ＝c a ＝35.]4．设P (m ，n )是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，则m 的取值范围是________． [答案] [－5,5]椭圆的简单性质【例1】求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解] 已知椭圆方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，可知，此椭圆的焦点在x 轴上，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是F 1(－7，0)和F 2(7，0)，四个顶点坐标分别是A 1(－4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，－3)和B 2(0,3)．求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.1．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 把椭圆的方程化为标准方程为x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.椭圆性质的简单应用【例2】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1D .x 212＋y 24＝1(2)已知椭圆在x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且焦距为8，则此椭圆的标准方程为__________．思路探究：(1)由椭圆的定义及离心率的值求出a ，c ，进而得到a 2，b 2，得到椭圆方程．(2)由题意得到等腰直角三角形，求出b ，c 值即可．[解析] (1)根据题意，因为△AF 1B 的周长为43，所以|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，所以a ＝3.又因为椭圆的离心率e ＝ca ＝33，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3－1＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b .∴b ＝c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，∴椭圆方程为x 232＋y 216＝1. [答案] (1)A (2)x 232＋y 216＝1利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝ca 等.2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，则椭圆的标准方程为________．[解析] ∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝23， ∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23. ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. [答案] x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1椭圆的离心率[探究问题]1．已知椭圆的两个焦点F 1、F 2，点A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，求椭圆的离心率．[提示] 设F 1F 2＝2c ，由题意知，△AF 1F 2中，∠A ＝90°，∠AF 2F 1＝60°，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .∵|AF 1|＋|AF 2|＝3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．[提示] ∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2.又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴(a ＋c )(3a －5c )＝0.∵a ＋c ≠0，∴3a －5c ＝0，∴3a ＝5c ， ∴e ＝c a ＝35.【例3】已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则该椭圆的离心率为________．思路探究：由AB ⊥F 1F 2且△ABF 2为正三角形可求出|F 1F 2|的长度，再利用椭圆的定义求解．[解析]因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33.[答案]33求椭圆离心率或其范围的常用方法(1)定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝ca直接求解.(2)转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的顶点坐标是()A．(－1,0)、(1,0)B．(－6,0)、(6,0)C．(－6，0)、(6，0) D．(0，－6)、(0，6)D[椭圆的标准方程为x2＋y26＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()A.32B.34C.22D.23A[椭圆方程可化为x2＋y214＝1，∴a2＝1，b2＝14，∴c2＝34，∴e2＝c2a2＝34，∴e＝3 2.]3．若焦点在x轴上的椭圆x22＋y2m＝1的离心率为12，则m等于________．[解析]∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝2，c＝2－m，e＝ca＝2－m2＝12.故2－m2＝14，∴m＝32.[答案]324．离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________．[解析]∵椭圆经过(2,0)点，∴(2,0)为椭圆的顶点．若a ＝2，则由e ＝c a ＝32，得c ＝3，b ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.若b ＝2，则由a 2－c 2＝4，且c a ＝32得a 2＝16，∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. [答案] x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝15．求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解] 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m .∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，0，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m .离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.。

高中数学北师大版选修1-1第二章《椭圆与双曲线的经典性质及法则》word知识点拨素材

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM=⋅，即0202y a x b K AB =。

高中数学北师大选修1-1 2.1.2《椭圆的简单几何性质》课时1

x2
椭圆的标准方程为：
y2
1；
4 16
x2 y2
综上所述，椭圆的标准方程是
1 或
41
x2 y2 1 4 16
y
l
Md H
oF
x
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？
若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它到定直线 l: 的距离的比是常数 (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
c a
且0
<
e
<1离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆
x
a
离心率
焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？
图形
方程范围
B2 y
A1 F1 O
F2 A2 x
B1
x2 a2
y2 b2
1
a b 0
|x| a |y| b
A2 y
F2
B1
O
F1
B2 x
A1
y2 x2 a 2 b2 1(a b 0)
【易错提醒】忽视椭圆焦点的位置情况致误
【例2】(2014·大理高二检测)若椭圆
1
x2 k4
y2 4
1的
离心率为 2 ,则k=
.
【解析】当焦点在x轴上时① ,a2=k+4,b2=4,
∴c2=k.∵e=
1 2
,∴
c2 a2
1, 4
即 k 1,
k4 4
∴ k 4.
3
当焦点在y轴上时,a2=4,b2=k+4,
椭圆的简单几何性质
焦点的位置
图形
焦点在x轴上
Hale Waihona Puke 焦点在y轴上标准方程

北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件第二章 1.2 椭圆的简单性质

-8-
1.2 椭圆的简单性质
探究一
探究二
首页
探究三
探究一
自主预习
探究学习
当堂检测
思维辨析
椭圆的性质
3
【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= 2 ,求m的值
及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.
3
分析应先将椭圆方程化为标准形式,用m表示a,b,c,再由e= 2 求
出m的值,最后再研究椭圆的相关性质.
-9-
1.2 椭圆的简单性质
探究一
首页
探究二
探究三
自主预习
探究学习
当堂检测
思维辨析
2
2
解椭圆方程可化为 + =1(m>0),

+3

(+2)
因为 m=
>0,
+3
+3

所以 m>
,所以焦点在 x 轴上,
+3

,c=
+3
即 a2 =m,b2 =
由
3
e= 2 得
+2
+3
=
2 - 2 =
2
∴椭圆的标准方程为 9
2
+ =1
5
(2)由题意知焦点在 x 轴上,
2
故可设椭圆的标准方程为2
+
2
或
9
+
2
+ 2=1(a>b>0).

2
=1.
5
2

2 =1(a>b>0),且两焦点为
F'(-3,0),F(3,0).

数学北师大版高中选修2-1椭圆的简单性质

1.2 椭圆的简单性质(第一课时)金溪一中郑蔚文教学目标：1、知识与技能：(1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形；(2)培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

2、过程与方法：能用坐标法发现椭圆的简单性质以及解决与椭圆有关的简单问题，在解决问题过程中，体会a、b、c、e的几何意义以及椭圆性质的应用。

3、情感、态度与价值观：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。

教学重点：椭圆的简单几何性质以及探究过程。

教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。

教学方法：学生自主探索，教师启发引导。

教学手段：多媒体辅助教学。

教学过程：一、问题情境(播放国家大剧院的图片)同学们，这座雄伟壮观的椭球形建筑是咱们的国家大剧院，它的室内地面和轮廊线都是椭圆形的。

为什么国家大剧院最终选择椭球形设计呢？其根本原因是椭球是非常美观的，这源于椭圆之美，那么椭圆到底美在何处？它具有哪些特性？这就是我们今天要研究的课题——椭圆的性质。

二、建立模型1、通过具体实物，利用几何直观探索发现椭圆的性质让学生拿出课前自己剪好的椭圆纸板，小组讨论交流椭圆纸板的制作过程，从中发现椭圆有哪些性质？并问：你能找到椭圆纸板的中心吗？(对折两次，折痕为中心，引出对称轴与顶点)给你一张矩形纸，能不能剪出比矩形纸更大的椭圆？这说明了什么呢？(引出椭圆的范围)导语：有没有同学剪的椭圆纸板是不对称的？是不是可以说任意的椭圆都是对称的呢？2、通过椭圆标准方程22x a +22y b =1(a>b>0)，利用代数方法得出椭圆的性质。

(1)对称性——椭圆关于x 轴、y 轴，原点对称(证明略)。

(2)顶点——椭圆有四个顶点A 1(-a,0)、A 2(a,0)、B 1(0,-b)、B 2(0,b)，结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴、短半轴，点明方程中a ，b 的几何意义。

高中数学北师大选修1-1课件：第2章§11.2第1课时椭圆的简单性质

教师用节配套课性1.2椭圆的简单性质第1课时椭圆的简单性质t1M•家基础盪聲提示如果您加见石木"件旳辻鸡中出"••字叭泉・溝吳用幷宥幻灯片・可・椭圆的标准方程、图像及性质焦点的位■ ■ 4标准方程焦点在X 轴上黒—— -------------------= + y = l(a>b>0)L b焦点在y 轴上2 x 2,图形B ；y BiJ>42-+- = l(a>b>0)y _________X对称性对称轴x 轴和y 轴一,对称中心®0)范围xG [-a, a],vG「一b.b"!xW E-b, b], vG r-a. al思考：要确定椭圆的标准方程，需要确定什么？提示：首先要确定焦点的位置，其次需要确定a,b两个量.【知识点拨】L 对椭圆是轴对称与中心对称图形的解读心代”方程不改变伽关于翩丽以-xf 疑方程不改变（ -------------------------- 同时以-兀代匸以-丁代；（椭圆关于咂可—二［椭圆关于原点对称）?+p =1（a〉3•椭圆的离心率对椭圆〃扁的程度"的影响越摆型乖越接近°,从而、越小K _______________ _________________ J 輕¥越接近0 J C越接近0,从而朋-8越接近a_________ __ ________ J q椭圆越扁］咻圆越接近于圆］当且仪当a=b时）c=0 j这时两个焦点重合，［图形变为圆______________4•对椭圆几何性质的挖掘(1)通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，长为⑵椭圆上到中心距离最远和最近的点分别在长轴端点和短抽端点上.2b2妙孩愛处逆圭g类型一利用标准方程研究简单性质【典型例题】1 •椭圆的伟占坐标为•顶占坐标为・2求椭圆9x516y2=144的丽長二短#由樂、离丿常■蕉点坐标和顶点坐标.r y2=1【解题探究】1•如何判断焦点的位置？2•已知椭圆方程,如何确定椭圆的几何性质？探究提示-L通最褊圆几何性质的研究，椭圆的焦点在椭圆的长轴上•即焦点在标准方程较夫分母对应的霸上.2•首先看方程是否为标准方程，若不是标准方程，先化为标准方程•其次由标准方程先确定焦点位置撚后写出a,b的值这样就可确定椭圆的性质.【解析】L由方程的形式知，椭圆的焦点在x轴上，且a2二4炉二—a二a?- b2=3 z故a二2,b二l,c二八焦点坐标为(土,0),顶点坐标为(±2 , 0) , (0 , ±1).答案：(士,0) (±2,0) #(0,±1)2 •已知方程化成标准方程为 2 2于是a=4 , b二3 , ••椭圆罅地长那豆轴长分别是2a二8和2b=6 , 离心率，又知焦点在x轴上,16两旗点坐标分别是四个顶点坐标分别是（40；1（血（0厂誑和（0,3）.C 二J16-9 二仇e 二一二——a 4【互动探究】若把题2中方程改为9护+16X—144,写出椭圆的相应性质. 【解题指南】转化为标准方程后，写出a , b ,啲值其性质.【解析】化为标准方程为所以焦点在y轴上.a=4 b—3二长轴长2a=8 ,短轴长2b二6 z离心率焦点坐标为和顶点坐标为(0,4) , (0 z -4) , (3,0)和(・3 , 0).(0,77) (0,-77),，再求【拓展提升］确定椭圆的几何性质的四个步骤提醒：曲25 3【变式训练】已知：椭圆 k 的值为 ______ .【解析】当k>5时，当0<k<5时，综上,或3. 答案：或3的离心率则实数— 5 kk 用325Vioe = ------5k = 3.类型二利用几何性质求标准方程【典型例题】1 •椭圆的长轴长为一个焦点坐标为(2, 0),则它的标准方程为_______ -2经过点P(4,0)和Q(0,・3)的椭圆标准方程为 ______ •3•已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为且G 上一点到G的两七佛的距离之和为12,则椭圆G的方程为_______ ・2V10,22【解题探究】L焦点坐标在求椭圆标准方程时的作用是什么?2.题2中椭圆的焦点在哪个轴上?3.离心率在求椭圆标准方程时的作用是什么?探究提示：L给出焦点坐标，就能确定c的值z其次也可以确定标准方程的形式.2.椭圆的焦点在长轴上，由题意知，P , Q是椭圆的顶点,且|4|＞卜3|,故焦点在x轴上3 •因为所以给定离心率即确定了参数a,b的关系.【解析】L因为椭圆的一个焦点坐标为(2 z 0),故不妨设其标准方程为由题意・••所求标准方霁v2答案：—+ ^- = l(a>b>0).c = 2,2a = 2V10,a = V10,/.b2 =a2—c2 =6.10 62 •由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以P , Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a二4,b二3•且长轴、短轴分别在x轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为答案：2 2=116 9 =13•依题意设椭圆G的方程为 2 2••椭圆上一点到其两个焦点的距犁垃N F（a>b >0）. 「诂圆的鲁2'率为 a b解得b?二9,・・.椭圆G的方程为答案：73 . 7a2-b2 _ A/3 . ^36-b2 _ *9 ■ ■= 9 ■ ■=2 a 2 6 22 2—36 92 2—136 9【互动探究】将1题中条件“一个焦点坐标为(2, 0)”改为“焦距为4”，试求椭圆的标准方程.【解析】由题意所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为当焦点在y 轴上时,椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程密励a 二V10,c = 2, b2 = a2 -c2二6.【拓展提升】L求椭圆标准方程的基本思路2 2—1,10 62 2 2 2—1 —1. 10 6 10 6(1)定位置:根据题意确定焦点的位置.(2)定形式：根据焦点的位置,用待定系数法确定方程的形式.(3)定系数：根据题意列出等量关系，求参数a,b的值.2 •待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项(1)基本步骤：⑵注意事项量中，能确;轴长、离心;【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程：椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】设椭圆的长半轴长为a ,短半轴长为b ,焦距为2c , 则b = 1 , 即a2 = 4.所以椭圆的标准方程是或类型三与离心率有关的问题【典型例题】1.（2012-新课标全国卷）设片,尸2是椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点，P为直线上一点，A/zPh是底角为30。