第四章 静定结构的位移计算一25

∆ = ∑∫ (Mκ + Nε + Qγ o )ds − ∑ Rk ck
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
§4-4 静定结构由于荷载所引起的位移
研究对象：静定结构、线性弹性材料。 研究对象：静定结构、线性弹性材料。
∆ = ∑∫ ( Mκ + Nε + Qγ o )ds
的表达式。 重点在于解决荷载作用下应变 κ、 、 o ε γ 的表达式。 一、计算步骤 的方程，可经由荷载→ （1）在荷载作用下建立 MP .NP .QP 的方程，可经由荷载→内力 ） 应力→应变过程推导应变表达式。 →应力→应变过程推导应变表达式。 （2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学可知 ）由上面的内力计算应变， MP NP QP κ= ε= γo = k EI EA GA k--为截面形状系数
A 1
∆Q
M
α A
Q = 1⋅ sin α
Q
α A
1 ⋅ ∆ Q − Q ⋅ dη = 0
B M = 1 ⋅ sin α ⋅ a
虚功方程： 虚功方程：1 ⋅ ∆ m − M ⋅ dθ = 0
∆m = M ⋅ dθ
∆Q = Q ⋅ dη
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移dλ 悬臂梁在截面B 试求A 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 ∆N 。
T = mϕ A + mϕ B = m(ϕ A + ϕ B ) = m∆
P ∆A A B ∆B P
m A
B m
这里∆是与广义力相应的广义位移。 这里 是与广义力相应的广义位移。 是与广义力相应的广义位移 表示AB两截面的相对转角。 表示AB两截面的相对转角。 AB两截面的相对转角
ϕA
∆ ϕB
第4章 静定结构的位移计算
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
小结： 小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； 形式是虚功方程，实质是几何方程； 在拟求位移方向虚设一单位力， （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件 求出与已知位移相应的支座反力。 求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力 系； （3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。 特点是用静力平衡条件解决几何问题。 单位荷载其虚功正好等于拟求位移。 单位荷载其虚功正好等于拟求位移。
l 2
1）列出两种状态的内力方程： 列出两种状态的内力方程：
l 0 ≤ x ≤ AC段 段 2
(b) 虚设状态
N =0
Q = −1
NP = 0
QP = 0
MP = 0
l ≤ x ≤l CB段 2 段
M = −x
l ≤ x ≤l CB段 2 段
1 T11 = dT = P1 ∆ 11 2
∫
再加P2，2在自身引起的位移Δ22上作的功 再加P P 在自身引起的位移Δ A 1 ∆11 产生位移的原因 O ∆Kj T22 = P2 ∆ 22 位移发生的位置 2 Δ12与P1无关 过程中， 的值不变， T 在Δ12过程中，P1的值不变， 12=P1∆12 实功与虚功
NP = 0
2
N =0
Q = −1
q l MP = − x − 2 2
l QP = −q x − 2
M = −x
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
l 0 ≤ x ≤ AC段 段 2
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
1.2
10
9
A
A1
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P NN P kQ QP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ ∆ = ∑∫ ds EI EA GA 二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架 MM P ∆ = ∑∫ ds EI （2）桁架 NN P NN P NN Pl ∆ = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds = ∑ EA EA EA
∆ = ∑ ∫ ( Mκ + N ε + Q γ o )ds
若结构的支座还有位移，则总的位移为： 若结构的支座还有位移，则总的位移为：
∆ = ∑∫ ( Mκ + Nε + Qγ o )ds − ∑ Rk ck
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
K
K′
∆
t1 t2
c2
c1
1
R1
R2
ds ds dλ ds ds ds ds
合 肥 工 业 大 学
§4-3 计算结构位移的一般公式
一、虚力原理 ——虚设力系求刚体体系位移 已知 c1 求 ∆
c1
C A a b P=1 A C B a b B
∆=?
设虚力状态
R1 ⋅ a + P⋅ b = 0
虚功方程
b R1 = − a
1⋅ ∆ + R1 ⋅ c1 = 0
b ∆ = c1 a
R1
ds
i
dη
R
α
d∆ R
i
dη
dθ
γo
dθ
1 三种变形： （1）三种变形：κ = R
ε
γo
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
dλ
ds
i
ds
ds dλ
ds
dη
R
α
d∆
R
dη
γo
dθ
dθ
i
1
α
（2）微段两端相对位移： 微段两端相对位移： ds dθ = = κ ⋅ ds R
M , N ,Q
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
例1、悬臂梁在截面B处由于 例2、悬臂梁在截面B处由于某 某种原因产生相对转角dθ， 种原因产生相对剪位移dη，试 试求A点在i－i方向的位 求A点在i－i方向的位移 ∆Q 。 移∆m 。
B dθ
i
A
α
i
∆m
dη
B
α A
∆Q
a
B
a
dθ
1 A
i
B
∆m
i
结构力学
主讲：左小晗 主讲：
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
§4-1 计算结构位移的目的
一、计算位移有三个目的： 计算位移有三个目的： a）验算结构的刚度； 验算结构的刚度； 为超静定结构的内力分析打基础； b）为超静定结构的内力分析打基础； 建筑起拱。 c）建筑起拱。 如屋架在竖向荷载作用下， 将各下弦杆做得比实际长度短 些，拼装后下弦向上起拱。 下弦各结点产生虚线所示 位移：
（3）拱
MM P NN P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
试计算悬臂梁A 例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移 ∆AV ,EI = C 。 q x P=1
A C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态
B A
x
C
B
l 2
l 0≤x≤ AC段 段 2
β
不产生内力， 产生变形产生位移
不产生内力和变形 产生刚体移动
β =
∆ l
位移是几何量，自然可用几何法来求， 位移是几何量，自然可用几何法来求，如 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。 但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基 础是虚功原理。 础是虚功原理。 计算位移时，常假定： σ=Eε； 小变形； 计算位移时，常假定：1）σ=Eε；2）小变形； 3） 具有理想约束的体系。 线弹性体系。 具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正 比，计算位移可用叠加原理。 计算位移可用叠加原理。
i
B
dλ
B
α A
∆N
Ai
由平衡条件： 由平衡条件：
N = 1⋅ cosα
虚功方程： 虚功方程：
1 ⋅ ∆ N − N ⋅ dλ = 0
∆N
1
N
B
N
α A
∆ N = N ⋅ dλ
当截面B同时产生三种相对位移时， 当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生 的位移∆ 即是三者的叠加， 的位移∆，即是三者的叠加，有：
P m β ∆
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
3）若广义力是等值、反向的一对力P 若广义力是等值、反向的一对力
T = P∆ A + P∆ B = P(∆ A + ∆ B ) = P∆
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改变， AB两点的相对位移。 表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 AB两点间距的改变 两点的相对位移 若广义力是一对等值、 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
∑
∫(
)
3、位移计算的一般步骤: 、位移计算的一般步骤: (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 表达式; (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
第4章 静定结构的位移计算
合 肥 工 业 大 学
二、产生位移原因主要有三种： 产生位移原因主要有三种： a）荷载作用； 荷载作用； 温度改变和材料胀缩； b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
∆ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ d 2w M Q N κ = 2 d x κγε -t +t