2018届湖南省高三十三校联考试卷即长郡中学第8次月考文科数学试题及答案 精品
长郡中学2018届高考模拟卷(二)数学(文科)
长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q I 等于( ) A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a r ,b r 满足||3a =r ,||2b =r ,a r 与b r 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥r r r,则实数m的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( )A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（ ） A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x-≤的解集为（）A．2 1, 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．[]1,1-D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的四面体A OEF-中，下列结论中错误的是（）A．AO⊥平面EOFB．直线AH与平面EOF所成角的正切值为22C．异面直线OH和求AE所成角为60︒D．四面体A OEF-的外接球表面积为6π12.已知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>与过原点的直线交于A、B两点，右焦点为F，120AFB∠=︒，若AFB∆的面积为43E的焦距的取值范围是（）A．[2,)+∞B．[4,)+∞C．[23,)+∞D．[43,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x，y满足约束条件10,0,240,x yx yx y--≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=-的最大值为．14.双曲线22221x ya b-=(0a>,0b>)的渐近线与圆22(2)1x y+=相切，则此双曲线的离心率为 ．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，3CD =.（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X <<5070X ≤≤70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑0.30.55≈0.90.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围；（2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.炎德•英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（文科）答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin 4A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin 8C ==， 又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin 16B AC A C A C =+=+=. （2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 24S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD =而OD OC O =I ，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC I 平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影， 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =得1122BCD S ∆===， 在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 6024OCD S ∆=︒=， 所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即11213334d ⋅⋅=⋅，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为26. 19.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里： 当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元，当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元，当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-， 化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++， 据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+， 于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =， 故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M .21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得1102x -=<，2112x =>， 则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意， 综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x xλ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =>，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数，故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h e λ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ， 综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<， 所以，集合{}|11A x R x =∈-<<.（2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-，∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->，∴()()()f ab f a f b >-.------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学一、把握好课堂的每一分钟如今的数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。
2018届湖南省长沙市重点中学高三第八次月考文科数学试题及答案
湖南省长沙市重点中学2018届高三第八次月考数学文 4.(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1.已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N =A ．{|01}x x <≤B ．{|13}x x ≤<C ．{|04}x x <≤D ．{|0x x <或4}x ≥ 2.若复数221z i i=++,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为A ．1 BCD ．23.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是INPUT “n ＝”； n k ＝1 p ＝1WHILE k<＝n p ＝p*k k ＝k ＋1WENDPRINT p ENDA ．120B ．720C ．1440D ．5040 4.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ,则“1-=a ”是“21l l ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知y x ,的取值如下表:从散点图可以看出y x 与线性相关,且回归方程为 0.95y x a =+,则a = A. 3.2B ．3.0 C. 2.8D ．2.66.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的 表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7.已知向量b a ,满足||1,(1,a b ==,且()b a a +⊥,则a 与b 的夹角为 A . 60 B . 90 C . 120 D . 1508.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，(其中0022A ππωϕ>>-<<，，),其部分图像如图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7正视图 俯视图左视图A ．()sin (1)2g x x π=+B ．()sin (1)8g x x π=+C ．()sin(1)2g x x π=+D ．()sin(1)8g x x π=+9.若函数()x x f x ka a -=-(a >0且1a ≠)在(,-∞+∞)上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图象是10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元 .答案 ABB ADA CBC D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.若直线24sin :=⎪⎭⎫⎝⎛-πθρl 与曲线()为参数t ty t x C ⎩⎨⎧==2:相交于B A ,两点， 则AB = ．12.已知数列121,,,9a a 是等差数列,数列1231,,,,9b b b 是等比数列,则212b a a +的值为_____________.13.已知函数()f x 在()+∞,0内可导,且满足x e e f x x +=)(,则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为_____________________14.过椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的右顶点作圆222b y x =+的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则C 的离心率为__________15.对于定义域为[]1,0的函数()f x ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的]1,0[∈x ,总有0)(≥x f ②1)1(=f③若0,021≥≥x x ,121≤+x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立 则称函数)(x f 为理想函数.（Ⅰ）若函数)(x f 为理想函数,则=)0(f ________；（Ⅱ）下列结论正确的是_________________.(写出所有正确结论的序号) ①函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；②若函数)(x f 是理想函数,假定存在]1,0[0∈x ,使得]1,0[)(0∈x f ,且00)]([x x f f =,则00)(x x f =. 答案11.23 12.103 13.012=--y x 14. 2315.（Ⅰ）0（Ⅱ）①②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.(Ⅰ)求图中x 的值及平均成绩； (Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,求2人成绩都不低于90分的概率.解:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =. 3平均成绩为()748518.07554.0651.095554506.0=⨯+⨯+⨯+++⨯. 6分 (Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人. 从成绩不低于80分的12学生中随机选取2人共有66种取法，从成绩不低于90分的3名学生中随机选取2人共有3种取法，故所求的概率为.221663= 12分17. (本小题满分12分)如图,设D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,且AD AB =,记βα=∠=∠ABC CAD ,. (Ⅰ)证明：02cos sin =+βα； (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.解(Ⅰ)因为(),22222πββπππα-=--=∠-=BAD 所以.02cos sin ,2cos )22sin(sin =+-=-=βαβπβα即 6分(Ⅱ)()αβββπαsin 3sin ,sin 3sin sin ==-=∆所以中，由正弦定理得在DCAC DC ADC . 由(1)有()1sin 23sin 1sin 22cos sin 22-=-=-=ββββα，所以,即3,20.33sin 23sin ,03sin sin 322πβπβββββ=<<-===--因此又或解得12分18.(本小题满分12分)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中，E AD AA ,21==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥ ；(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由.(Ⅰ)连D A 1,1111111111,,AD A B DA D A A B AD D A AD AA ⊥⊥⊥=所以平面又，所以因为所以D B A AD 111平面⊥,又因为11B A ∥DE ,所以，因此平面D B A E B 111⊂11B E AD ⊥. 6分(Ⅱ)取棱1AA 的中点P ,则有//DP 平面1B AE ，其中AP 的长为1.证明如下: 取PF B AA PF F AB 的中位线，所以为则的中点111,∆∥，又且111121B A PF B A =ED ∥PF B A ED B A ，所以且111121=∥，且ED PF ED =所以DP ∥EF 又 DP AEB EF AEB DP ，所以平面平面11,⊂⊄∥平面1B AE . 12分19.(本小题满分13分)已知不在x 轴上的动点P 与点()0,2F 的距离是它到直线l ：21=x 的距离的2倍.（Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交E 于C B ,两点，试判断以线段BC 为直径的圆是否过定点?并说明理由.解：(1)设P (x ,y )12||2x =-化简得x 2－23y =1(y ≠0). 4分(2)由题意可设过点F 的直线的方程为2+=ky x ,代入1322=-y x 得()09121322=++-ky y k由题意知3k 2-1≠0且△＞0,设()()2211,,,y x C y x B ，则⎩⎨⎧1391312221221-=--=+k y y k k y y 8分设()0,1-A ,因为()()()()()()()()()09133613199313311,1,1222221212212121212211=+---+=++++=+++=+++=++=⋅k k k k y y k y y k y y ky ky y y x x y x y x AC AB ⊥∴,故以线段BC 为直径的圆过定点()0,1-A . 13分20.(本小题满分13分)对于任意的*n N ∈（n 不超过数列的项数），若数列{}n a 满足：n n a a a a a a ⋅⋅=+++ 2121，则称该数列为K 数列. （Ⅰ）若数列{}n a 是首项12a =的K 数列，求3a 的值；（Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列.(1)试求1n a +与n a 的递推关系；(2)当时且1031<<≥a n ,试比较na a a 11121+++ 与316的大小.解（Ⅰ）有题意可得.222,2222121==+=+a a a a a a a ，所以即又,42233321321a a a a a a a a =++=++，即所以343=a . 3分（Ⅱ）(1)因为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列，所以()11111≥===∑n a a n i i n i i ① 111111+=+==∑n i i n i i a a ②两式相减得()11111111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++n a a a n i i n n ③ 则()20111111≥≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n a a a n i in n ④两式相除得()2111111111≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n a a a a a nn n n n ,整理得()2121≥+-=+n a a a nn n 又1221211,1111a a a a a a -=⋅=+所以. 综上所述，1+n a 与递推关n a 系为⎩⎨⎧≥+-=-=+2,11,121n a a n a a n nn n . 8分(2)()41613161314343,143214311010124223121≥≥>=+-⎪⎭⎫⎝⎛≥<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<-=<<<+n a a a a a a a a n n ，又所以，从而，所以因为又当1111121---=≥+n n n a a a n 时，,所以 当时，3≥n.31611111111111111111111111121132121≥-=--=---+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+++++++n n n n n n a a a a a a a a a a a a a13分21.(本小题满分13分)已知函数()x a x x f ln 1)(2+-=有两个极值点,,21x x 且.21x x < (Ⅰ)求实数a 的取值范围，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)证明:42ln 21)(2->x f . 解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为()()()0,22,,02='+-='+∞x f xax x x f 且有两个不同的根，且，即的判别式故21084022,,221<>-=∆=+-a a a x x x x.00.22112211121>>-+=--=a x a x a x ，故又，因此a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛210，. 4分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当.因此()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()22212121122,2,1x x x x a ax x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ，其中. 9分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h所以42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫ ⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在.即42ln 21)(2->x f . 13分。
长郡中学2018界高三月考试卷
长郡中学2018界高三月考试卷（二）数 学（文科）长郡高三文科数学备课组组稿本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列集合中，是集合{}x x x A 5|2<=的真子集的是（ ）A ．{}5,2B ．()∞+，6 C ．()5,0 D ．()5,1 2.某市国庆节7天假期的楼房认购量（单位：套）与成交量（单位：套）的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量做出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增量大于10月7日成交量的增量，上述判断中错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.设复数()R b bi z ∈+=1，且4i 3z 2+-=，则z 的虚部为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．44.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（ ）A ．41π-B ．12π C. 4π D ．121π- 5.在等比数列{}n a 中，若84,a a 是方程0232=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ） A ．2± B ．2- C.2 D ．2±6.若点()y x P ,在线段AB 上运动，且()()2004，，，B A ，设y x T 22l o g lo g +=，则（ ）A ．T 有最大值2B ．T 有最小值1 C.T 有最大值1 D ．T 没有最大值和最小值7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6 C.1.8 D ．2.48.变量y x 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则()222y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C.5 D ．299.已知函数()x x x f 2cos sin =，则下列关于函数()x f 的结论中，错误的是（ ） A ．最大值为1 B ．图象关于直线2π-=x 对称 C.既是奇函数又是周期函数 D ．图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43x 中心对称10.已知函数()a x f x x --=+124没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1-<a B ．0≤a C. 0≥a D ．1-≤a11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆为锐角三角形，且满足()C B cos 21sin +C A C A sin cos cos sin 2+=，则下列等式成立的是（ ）A ．b a 2=B ．a b 2= C.B A 2= D ．A B 2=12.已知函数()e e x ea x x f ,1(13≤≤++-=是自然对数的底）与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]403-e ， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e ， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,213e eD ．[)+∞-,43e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量()()2,1,2,==b m a ，若b a ⊥，则=+b a ．14.已知函数()xexx x f 22+=，()x f '为()x f 的导函数，则()0'f 的值为 ． 15.已知θ为锐角，且5528cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-42tan πθ ． 16.正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2sin 8)sin(2BC A =+. （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b . 18. 设数列n a 的前n 项和为n S ，且1212--=n n S ，{}n b 为等差数列，且()112211,a b b a b a =-=.（Ⅰ）求数列n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ,地面ABCD 是菱形， 60=∠BAD ,2=AB ,O PD ，6=为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（Ⅰ）证明：平面⊥EAC 平面PBD ；（Ⅱ）若//PD 平面EAC ，求三棱锥EAD P -的体积.20. A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2014年1月-2014年12月内空气质量指数API 进行监测，如表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（Ⅰ）若A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API（记为t ）的关系为：3003001001000,1500,40040>≤<≤≤⎪⎩⎪⎨⎧-=t t t t P ，，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]600200，∈P 元的概率； （Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为中度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气中度污染与供暖有关？下面临界值表供参考.参考公式：*++++-=))()()(()(22d b c a d c b a be ad n K 21. 已知函数()()()()R a x x a xf ∈---=ln 212.（Ⅰ）若曲线()()x x f x g +=上点()()11g ，处的切线过点()2,0，求函数()x g 的单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,10，上无零点，求a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cos 24πθρ.（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点)02(，P 作斜率为1的直线l 与圆C 交于B A ,两点，试求PBPA 11+的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|121|+--=x x x f 的最大值为k . （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）若()0,0211>>=+n m k nm ，求证：22≥+n m .炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（二）数学（文科）参考答案一、选择题1-5:DCAAC 6-10:CBCDA 11、12：AA二、填空题13.5 14.2 15.43-16.1:3 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）∵()2sin 8sin 2B C A =+, ∴()B B cos 14sin -=，∵1cos sin 22=+B B ，∴()1cos cos 11622=+-B B ，∴()()01cos 15cos 17=--B B , ∴1715cos =B . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知178sin =B ， ∵2sin 21=∙=∆B ac S ABC ， ∴217=ac ， ∴17152172cos 222222⨯⨯-+=-+=c a B ac c a b()415173615215222=--=--+=-+=ac c a c a ，∴2=b .18. 【解析】（Ⅰ）当1=n 时，111==S a ， 当2≥n 时，121121212212----=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n n n n n n S S a ， 经验证当1=n 时，此式也成立，所以121-=n n a ， 从而2,1211211==-==a a b b a b ， 又因为{}n b 为等差数列，所以公差()12211,2-=⋅-+=∴=n n b d n ， 故数列{}n a 和{}n b 通项公式分别为：12,211-==-n b a n n n . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()112122112--⋅-=-=n n n n n c ， 所以()1210212252321-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T ……①①2⨯得()()n n n n n T 21223225232121321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ……② ①-②得：()()n n n n T 2122222112⋅--++++=--()()()()n n n n n n n n 2323212421212212122111∙---=∙---+=∙----+=+-.∴数列{}n c 的前n 项和()n n n T 2323∙-+=.19. 【解析】（Ⅰ）证明：∵⊥PD 平面ABCD ,⊂AC 平面ABCD ， ∴PD AC ⊥.∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥.又∵D BD PD = ,∴⊥AC 平面PBD . 而⊂AC 平面EAC ,∴平面⊥EAC 平面PBD .（Ⅱ）∵//PD 平面EAC ,平面 EAC 平面OE PBD =, ∴OE PD //,∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点.取AD 中点H ，连结BH ，∵四边形ABCD 是菱形，60=∠BAD ，∴AD BH ⊥,又⊥∴=⊥BH D PD AD PD BH ,. 平面PAD ,323==AB BH . ∴PAD B PAD E EAD P V V V ---==212236221613121=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=∆BH S PAD .20. 【解析】（Ⅰ）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失()600200，∈P 元”为事件A . 由6004004200≤-<t ，得250150≤<t ，额数为39， ∴10039)(=A P . （Ⅱ）根据题中数据得到如表：2K 的观测值()841.3575.47030158572286310022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 所以有95%的把握认为A 市本年度空气中度污染与供暖有关. 21. 【解析】（Ⅰ）∵()()()x a x a x g ln 223----=，∴()xa x g 23'--=，∴()a g -=11'， 又()11=g ，∴101211-=--=-a ，解得：2=a . 由()02223'<-=--=xx x x g ，解得：20<<x ， ∴函数()x g 在（0,2）递减；（Ⅱ）∵()0<x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，恒成立不可能，故要使()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，无零点，只需任意()0,21,0>⎪⎭⎫ ⎝⎛∈x f x 恒成立，即对1ln 22),21,0(-->∈∀x xa x 恒成立，令())21,0(,1ln 22∈--=x x x x l ， 则()()2122ln 2'--+=x x x x l ， 再令()22ln 2-+=x x x m ，)21,0(∈x ， 则()0)1(2'2<--=xx x m ， 故()x m 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，递减，于是()02ln 2221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛>m x m ，从而()0'>x l ，于是()x l 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，递增， ∴()2ln 4221-=<lx l ， 故要使1ln 22-->x x a 在⎪⎭⎫⎝⎛210，恒成立，只要[)+∞-∈,2ln 42a ， 综上，若函数()x f y =在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上无零点，则a 的最小值是2ln 42-. 22. 【解析】（Ⅰ）由)4cos(24π+=θρ，可得θθρsin 4cos 4-=，∴θρθρρsin 4cos 42-=，∴y x y x 4422-=+，即8)2()2(22=++-y x ；（Ⅱ）过点)02(，P 作斜率为1的直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,22,222t y t x 代入8)2()2(22=++-y x 得04222=-+t t ，B A ,对应的参数为21,t t ，则4222121-=-=+t t t t ，，由t 的意义可得261111212121=-=+=+t t t t t t PB PA . 23. 【解析】（Ⅰ）∵()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+<<---≥--=,1,3,11,13,1,3x x x x x x x f∴()x f 的最大值为()21=-f ，因此2=k . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得：)0,(,2211>=+n m nm . ∴222221122221211)2(212=∙⨯+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m m n n m n m n m ，当且仅当12==n m 时取等号.∴22≥+n m .。
长郡中学2018届高三文科第三次月考文科试卷
! 求圆 4 的极坐标方程. " ! 直线 1 与圆 4 交于点 . $ 求线段 .9 的长 & +# ( ! 9$ " %" & ! " ! 本小题满分! 选修0 # 不等式选讲 # . $分" ) % 已知,! $ 不等式,! ( "" ( ' ") ! "" .的解集是' " ) ! "1 # & # # 1 # 1 ! 求' 的值. " ! " ,! ) "" 存在实数解$ ! 若, " 2 求实数< 的取值范围 & < " $ .
文科数学试题! 长郡版" 第! 共 "页" & 页!
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数学---湖南省长沙市长郡中学2018届高三(上)开学试卷(文)(解析版)
湖南省长沙市长郡中学2018届高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}，集合B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{2} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）复数1﹣等于（）A．﹣i B．+i C．+i D．﹣i3．（5分）长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼．一次他骑ofo共享单车时，骑的同一辆车第二次开锁（密码为四位数字）时忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB恰好被点（0，1）平分，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣3=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x﹣y+1=0 5．（5分）函数f（x）=sin2x的图象与函数的图象关于直线x=m对称，则m的值不可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知，，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．b＞c＞a8．（5分）如图所示，边长为1的正方形网格中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．129．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i=（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）函数的图象可能为（）A．B．C．D．11．（5分）定义：F：（x，y）=x+y2，若∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，则实数k的取值范围为（）A．k≤﹣3或k≥2 B．k≤﹣2或k≥﹣1C．k≤﹣2或k≥2 D．k≤﹣3或k≥﹣112．（5分）已知函数f（x）=ln x+2x，过点（2，5）可作曲线y=f（x）切线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知x，y满足则的最大值是．14．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，则点P到该抛物线焦点的距离为．15．（5分）数列{a n}满足：，则a1+a2+…+a30=．16．（5分）已知边长为4的正方形ABCD中，AC与BD交于点E，且F、G分别是线段EC 和线段EB的中点，则（+）•=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且S n+1=3S n+1，n∈N*，c n=log3a2n．（Ⅰ）求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ），记数列{b n}的前n项和为T n，求证：．18．（12分）如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．19．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，长郡中学高三兴趣研究小组利用暑假空闲期间做了一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（Ⅰ）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系；（Ⅱ）根据统计数据建立一个2×2列联表；（Ⅲ）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．附：20．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），A，B，C，D是椭圆上的四个动点，且AB∥CD，，线段AC与BD交于椭圆E内一点P（m，n）．当点P的坐标为（0，0），且A，B分别为椭圆E的上顶点和右顶点重合时，四边形ABCD的面积为4．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）证明：当点A，B，C，D在椭圆上运动时，（n≠0）是定值．21．（12分）已知函数（a≠0）．（Ⅰ）若f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，且f（x）在区间（0，+∞）上存在最大值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=b=1时，求不等式xf（x）﹣m≤0恒成立时m的最小整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为H，I，J，K，求||HI|﹣|JK||的值．【参考答案】一、选择题1．D【解析】根据题意，x2﹣6x﹣7＜0⇒﹣1＜x＜7，即A={x∈R|x2﹣6x﹣7＜0}={x|﹣1＜x＜7}，又由B={﹣2，1，0，1，2}，则A∩B={1，0，1，2}；故选：D．2．A【解析】1﹣=1﹣=1﹣=．故选：A．3．A【解析】∵密码为四位数字，忘记了密码的中间两位，只记得第二位数字是偶数，第三位数字非零且是3的倍数，∴基本事件总数n=5×3=15，∴小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是p=．故选：A．4．D【解答】当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程，此时AB的中点不在F点，∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，（k2+1）x2+（2﹣2k）x﹣2=0，∵弦AB的中点F坐标为（0，1），x1+x2=∴k=1，∴直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故选：D．5．B【解析】由题意，令f（x）=g（x）即sin2x=cos（2x﹣），可得：cos（﹣2x）=cos（2x﹣），即﹣2x+2kπ=2x﹣．∴x=kπ，k∈Z．当k=﹣1时，可得x=，当k=0时，可得x=当k=1时，可得x=，∴m的值不可能．故选：B．6．D【解析】∵已知，，∴为锐角，cos（﹣θ）==，∴sin（﹣2θ）=2sin（﹣θ）cos（﹣θ）==cos2θ，cos（﹣2θ）=2﹣1==sin2θ，则=sin2θcos+cos2θsin=+=，故选：D．7．A【解析】∵＞（）0=1，=＞=＞20=1，＜=1．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．B【解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P﹣ABCD，四个侧面三角形P AB、P AD、PBC、PCD全等，底面四边形ABCD为菱形，侧面积S=4×，底面积S=2×．∴该几何体的表面积为．故选：B．9．C【解析】第一次执行循环体后：S==，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后：S=+=，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后：S=++=1，i=4，不满足退出循环的条件，第一次执行循环体后：S=+++=，i=5，满足退出循环的条件，故输出的i值为5，故选：C10．A【解析】f（﹣x）===﹣f（x），∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，∵﹣1≤sin x≤1，∴当x＞1时，f（x）＜0，排除B，当x→+∞时，sin x﹣x→﹣∞，∴f（x）→0，且f（x）＜0，排除C，故选：A．11．C【解析】由题意，∃x∈[0，1]，满足不等于F（x+k，2x）+F（2x，x+k）≥6，∴x+k+（2x）2+2x+（x+k）2≥6，即5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6≥0令g（x）=5x2+x（3+2k）+k2+k﹣6，∵∃x∈[0，1]，根据根的分布，函数g（x）≥0有解即可．可得：g（0）≥0．解得：k≤﹣3或k≥2，或g（1）≥0．可得k2+3k+2≥0，解得：k≤﹣2或k≥﹣1．综上可得：k≤﹣2或k≥﹣1．故选：C．12．C【解析】设切点为P（x0，ln x0+2x0），f（x）=ln x+2x的导数为f′（x）=+2，则f′（x0）=+2，则切线方程y﹣ln x0﹣2x0=（+2）（x﹣x0），代入（2，5）得，5﹣ln x0﹣2x0=（+2）（2﹣x0），即有2﹣ln x0=，方程的一个根x0=1，令y=2﹣ln x0﹣，函数在x＞2时是减函数，f（e）=1﹣＞0，f（e2）=﹣＜0，函数存在另一个零点，所以切线有两条．故选：C．二、填空题13．2【解析】x，y满足，对应的平面区域如下图示：由于=1+2×，其中表示平面上一定点（4，1）与可行域内任一点连线斜率，由图易得当该点为B（﹣3，﹣）时，的最大值是：=，则的最大值是1+2×=2．故答案为：2．14．3【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），点P是抛物线y2=4x上的点，且点P到原点的距离为，设P（x，y），可得，解得x=2，y=±2，点P到该抛物线焦点的距离为：=3．故答案为：315．﹣840【解析】当n=1时，a1cos=1，可得a1=﹣2，当n=2时，a1cos+a2cos=4，可得a2=﹣6，当n=3时，a1cos+a2cos+a3cos=9，可得a3=5，则a1+a2+...+a30=（﹣2﹣6+5）+（﹣14﹣18+11）+...+（﹣110﹣114+59）=（﹣2﹣14﹣...﹣110）+（﹣6﹣18﹣...﹣114）+（5+11+ (59)=﹣20+×10×9×（﹣12）﹣60+×10×9×（﹣12）+50+×10×9×6 =﹣560﹣600+320=﹣840．故答案为：﹣840．16．﹣16【解析】以AB为所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，则A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），E（2，2）∴F（3，3），G（3，1）∴=（﹣3，1），=（﹣2，﹣2），=（3，1），∴+=（﹣3，1）+（﹣2，﹣2）=（﹣5，﹣1），∴（+）•=（﹣5，﹣1）•（3，1）=﹣16故答案为：﹣16三、解答题17．（Ⅰ）解：当n≥2时，a n+1=S n+1﹣S n=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，两式相减得：a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，∴．∵a1=1，∴a2=2S1+1=2a1+1=3，即．∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而，则c n=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）有：=，∴==，由于T n随着n的增大而增大，∴T n最小值为．∴，∴．18．解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．19．解：（Ⅰ）在等高条形图中，两个深颜色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深颜色条的高可以发现，女性中雾霾天外出戴口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出戴口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（Ⅱ）2×2列联表如下：（Ⅲ）由（Ⅱ）中数据，计算得：，所以，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．20．解：（Ⅰ）由题可知：，解得a=2，b=1，所以椭圆E的标准方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），将点A，B的坐标代入椭圆方程得：，．两式相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣4（y1+y2）（y1﹣y2），∵，∴（x1+x2）﹣2（y1+y2）=0，①将点C，D的坐标代入椭圆方程，同理可得：（x3+x4）﹣2（y3+y4）=0，∵AB∥CD，∴由AP=λPC（λ＞0），得（m﹣x1，n﹣y1）=λ（x3﹣m，y3﹣n），即，即x1=m（λ+1）﹣λx3，y1=n（λ+1）﹣λy3，②由BP=λPD，同理可得：x2=m（λ+1）﹣λx4，y2=n（λ+1）﹣λy4，③由①②③得：2m（λ+1）﹣λ（x3+x4）﹣2[2n（λ+1）﹣λ（y3+y4）]=0，整理得：2m（λ+1）﹣4n（λ+1）﹣λ[（x3+x4）﹣2（y3+y4）]=0，即2m（λ+1）﹣4n（λ+1）=0，∵λ+1≠0，n≠0，∴，所以是定值．21．解：（Ⅰ）=．∵f（x）在点x=e处的切线与x轴平行，∴f'（e）=0，∴b=0．因此，当a＞0时，在区间（0，e）上为正，在区间（e，+∞）上为负，因此f（x）在区间（0，e）上为增函数，在区间（e，+∞）上为减函数，即函数f（x）在x=e处取得唯一的极大值，即为最大值；当a＜0时，f（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）为增函数，即函数f（x）有最小值，无最大值．因此实数a的取值范围是（0，+∞）．（Ⅱ）当a=b=1时，设g（x）=xf（x）=ln x﹣e x，在区间（0，+∞）上为减函数，又g'（1）=1﹣e＜0，，因此存在唯一实数，使，由此得到，x0=﹣ln x0；此时g（x）在区间（0，x0）上为增函数，在区间（x0，+∞）上为减函数，由单调性知=，又，故，因此xf（x）﹣m≤0恒成立时m≥﹣2，即m的最小整数值为﹣2．22．解：（Ⅰ）∵曲线C1：ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1．∵曲线C2：ρ=（ρ•cosθ+4）•cosθ．∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（Ⅱ）不妨设四点在C上的排列顺次至上而下为H，I，J，K，它们对应的参数分别为t1，t2，t3，t4，如图，连结C1，J，则△C1IJ为正三角形，∴|IJ|=1，||HI|﹣|JK||=||HI|﹣|IK|+|IJ||=||t1|﹣|t4|+1|=|﹣（t1+t4）+1|，把曲线C的参数方程为（t为参数）代入y2=4x，得：，即3t2+8t﹣32=0，故，∴||HI|﹣|JK||=．。
推荐-长郡中学2018届高三第一次月考文科数学(2018-9)精品
W2
[ 1 (x 160
40) 2
100] 5
( 159 x2 160
119 x) 5 2
5(x 30)2 4 9 5。0
10 分
当 x=30 时， W 2|max=4950 （万元）。 从而 10 年的总利润为 3975 4950 （万元）。
8
3975 8 4950 1000 ，故该规划方案有极大实施价值。
实施规划后的前 5 年中，由题设 P
1 (x
40) 2
160
100 知，每年投入
3分 30 万元时，有最
大利润 Pmax
795 （万元）。
8
前 5 年的利润和为 795 5 3975 （万元）。
6分
8
8
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，而用剩下的（ 60－ x）万
元于外地区的销售投资，则其总利润为
6、已知全集 U 0,1,2,3, 4,5 ，集合 M 0,3,5 ,M U N
集合 N 共有
A.4 个 B.6
个 C.8
个 D.16 个
0,3 ，则满足条件的
（
）
7 、 在 高 200mm 的 山 顶 上 ， 测 得 山 下 一 塔 顶 和 塔 底 的 俯 角 分 别 为 30 、60 ， 则 塔 高 为
B. {3, 4}
C. {2, 3, 4} D. {1, 2, 3, 4}
2 、 在 等 差 数 列 an 中 ， 若 a4 a 6 a 8 a 1 0a 11220 ， 则 a9
A . 14
B . 15
3、已知 cos2
3 ，则 sin 4 5
cos 4
A． 3 5
湖南省长沙市长郡中学2018届高三上学期第13次周测数学理试题 含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =->，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则A B =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．()(),02,-∞+∞ D ．()(),01,-∞+∞2.已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.设,αβ是两个不同的平面，直线l 满足l β⊄，以下命题中错误的命题是（ ） A ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ B ．若//,//l ααβ，则//l β C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若,l ααβ⊥⊥，则//l β4.已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3510,,a a a 成等比数列，则（ ） A ．140,0a d dS >> B ．140,0a d dS >< C ．140,0a d dS <> D ．140,0a d dS <<5.如图给出了计算111124660++++的值的程序框图，其中①②分别是（ ）A ．30,2i n n <=+B ．30,2i n n ==+C ．30,2i n n >=+D ．30,1i n n >=+ 6.已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ） A ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 7.已知实数,x y 满足43120220220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，若()0z kx y k =+<的最大值为5，则实数k 的值为（ ） A ．43-B ．-3C ．2918-D ．192- 8.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B ．20x y ±= C0y ±= D ．20x y ±= 9.已知()f x 是定义在()0,+∞上的函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112210x f x x f x x x -<-，记()()0.20.2sin 3log 27,,3log 2sin 7f f f a b c ππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A B 1++ C ．外接球的表面积为4π11.已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交AB AC 、于M N 、，若(),0,0AM mAB AN nAC m n ==>>，则m n +的最小值为（ ） A ．43 B ．53C ．2D ．3 12.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ，设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下命题：①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②()2f x 在⎡⎣上具有性质P ；③若()f x 在2x =处取得最大值1，则()[]1,1,3f x x =∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭．其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为__________．14.已知向量()()1,3,3,a b m ==，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 夹角为__________．15.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的,x y R ∈，都有()()()f x y xf y yf x =+成立．数列n a 满足()3n n a f n N +=∈，且13a =， 则数列的通项公式为n a =____________．16.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5,8,AB AC BC AD ===⊥底面,ABC G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为钝角，且tan b a B =． （1）证明：2A B π-=；（2）求sin 2sin B C +的取值范围． 18.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形，1,,//2AB AD CD AB AD AB CD ==⊥，点M 是PC 的中点．（1）求证：//MB 平面PAD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值； 19.（本小题满分 12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,35,35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）．（1）求a 的值；并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）． 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(),P x y 为动点，已知点)(),AB ，直线PA 与PB 的斜率之积为定值12-． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若()1,0F ，过点F 的直线l 交抛物线E 于,M N 两点，以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，求直线l 的方程． 21.（本题满分12分）设函数()()()()222cos 1ln 1,f x x x x x g x k x x ⎛⎫=--+++=+ ⎪⎝⎭．其中0k ≠． （1）讨论函数()g x 的单调区间； （2）若存在(]11,1x ∈-，对任意21,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()126f x g x k -<-成立，求k 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ,P ρθθ=+的点极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-． （1）解不等式()4f x >； （2）若存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题13. 13- 14. 30° 15. 3n n 16. 6349π三、解答题17.（1）证明：由tan b a B =及正弦定理得sin sin cos sin B b BB a A==，因为ABC ∆中，sin 0B ≠，所以cos sin B A =，即sin sin 2B A π⎛⎫+=⎪⎝⎭；由A 为钝角，所以,22B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2B A π+=，即由0sin B <<2133334sin 81616B ⎛⎫<--+≤⎪⎝⎭，所以sin 2sin B C +的取值范围是3316⎤⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.（1）证明：取PD 中点H ，连结,MH AH ，因为M 为PC 中点，所以1//,2HM CD HM CD = 因为1//,2AB CD AB CD =，所以//AB HM 且AB HM =， 所以四边形ABMH 为平行四边形，所以//AH BM ． 因为BM ⊄平面,PAD AH ⊂平面PAD ， 所以//BM 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）取AD 中点O ，连结PO ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分取BC 中点K ，连结OK ，则//OK AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系．．．．．．．．．．．．7分设2AB =，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --， ()(2,2,0,1,2,BC PB =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 平面BCD的法向量(OP =，设平面PBC 的法向量(),,n x y z =， 由00BC n PB n ⎧=⎨=⎩得22020x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则(1,1,3n =．．．．．．．．．．．．10分15cos ,5OP n OP n OP n==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.（1）由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 解得0.03a =；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）．．．．．．．．．．． 3分而50个样本小球重量的平均值为：0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）．．．．．．．．．．．．．．．．5分故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则13,,5XB X ⎛⎫⎪⎝⎭的可能取值为0、1、2、3，．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()0320133146414480,155********P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()23233314121412,35512555125P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴6448121301231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（或者13355EX =⨯=）．．．．．．．．．12分 20.（1122x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．2分 整理得2212x y +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分 ∴所以所求轨迹E 的方程为()22102x y y +=≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）当直线l 与x 轴重合时，与轨迹E 无交点，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 当直线l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时,1,M N ⎛⎛ ⎝⎝，以MN 对角线的正方形的另外两个顶点坐标为1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不合题意；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 当直线l 与x 轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线()():10l y k x k =-≠，()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点1212,122x x x x Q k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得()2222214220k x k x k +-+-=，得212221224212221k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．8分 所以2222,2121k k Q k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段MN 的中垂线m 的方程为：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，整理得直线2:21x km y k k =-++，则直线m 与y 轴的交点20,21kR k ⎛⎫⎪+⎝⎭，注意到以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上，当且仅当RM RN ⊥，即112222,,02121kk RM RN x y x y k k ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ()()212121222202121k k x x y y y y k k+-++=++，①由()()221212122121221212221k y y k x x x x k k y y k x x k ⎧=-++=-⎡⎤⎪⎣⎦⎪+⎨⎪+=+-=-⎪+⎩，②将②代入①解得 1k =±，即直线l 的方程为()1y x =±-，综上，所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．12分21.（1）()()3222122k x k g x kx x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 当0k >时，令()0g x '>，得1x >，∴()g x 的递增区间为()1,+∞，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分令()0g x '<，得1,0x x <≠，∴()g x 的递减区间为()(),0,0,1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分0k <当时，同理得()g x 的递增区间为()(),0,0,1-∞；递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()()2sin 1ln 112sin ln 1f x x x x x '=-+++=++，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵当(]1,1x ∈-时，2sin y x =及()ln 1y x =+均为增函数，∴()f x '在(]1,1-为增函数，又()00f '=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当(]0,1x ∈时，()0f x '>，从而，()f x 在()1,0-上递减在(]0,1上递增，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()f x 在(]1,1-上的最小值为()02f =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∵()()126f x g x k -<-，∴()()126f x k g x <-+，∴()()min min 6f x k g x <-+，当0k >时，∴()()min 13g x g k ==，∴462k ->-，∴1k >．当0k <时，()()min 25g x g k ==，∴662k ->-，∴23k >， 又0k <，∴0k <时不合题意，综上，()1,k ∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.（1）曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为22240x y x y +--=，化为标准方程为：()()22125,3,2x y P π⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,3P ，直线l 的参数方程为cos 33sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2211152t ⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理得：)2130t t +--=，显然有0∆>，则12123,1t t t t =-+=+，121212133,PA PB t t t t PA PB t t t===-=+=+=-=， 所以11PA PB PA PB PA PB ++==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 23.（1）∵()231f x x x =++-，∴()332,234,1232,1x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．2分()342324x f x x ⎧<-⎪>⇔⎨⎪-->⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分2x ⇔<-或01x <≤或1x >．．．．．．．．．．．．．．．．5分 综上，不等式()4f x >的解集为()(),20,-∞-+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）存在3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()1a f x +>成立⇔()()min 1a f x +>．．．．．．．．．．．．7分 由（1）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+，∴32x =-时，()()min 52f x =．．．．．．．．．．． 8分53122a a +>⇔>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴实数a 的取值范围为32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
湖南省2018学年高三长郡,雅礼等四校联考数学文科试卷2018.3
长沙市一中、长郡中学湖南师大附中、雅礼中学数 学 试 题（文科）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A 、B ，则""""A B A B B A =⋂=⋃是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．数列4),2(}{*112=∈≥=+-n n n n n a N n n a a a a 且满足，则下列各式等于16的是（ ）A ．n a 2B ．121-+n a aC ．121+⋅n a aD ．121-⋅n a a3．直线14,),3(22=++=y x k x k y 直线被椭圆变化时当截得的最大弦长是（ ）A ．4B ．2C ．334 D ．不能确定4．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，0)(=⋅+，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5．一正四棱锥的高为22，侧棱与底面所成的角为45°，则此正四棱锥的斜高等于（ ）A ．32B ．34C ．62D ．226．若实数y x y x y x y x 2,11,53:,+≤-≤-≤+≤则实数满足条件的取值范围为（ ）A ．[2，8]B ．[4，8]C ．[6，8]D ．[3，6]7．将123)(x x +的展开式中各项重新排列，使含x 的正整数次幂的项互不相邻的排法共有多少种？A ．1013313A A ⋅ B ．3111010A A + C ．99413A A ⋅ D ．3111010A A ⋅ 8．定义行列式的计算方法：,1221221122211211a a a a a a a a -=则函数111121113111)(23-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x xx f 在任何一点处切线的倾斜角的取值范2009学年高三四校联考围是 （ ）A ．),43[ππB ．]43,3(ππC ．),43[)2,0(πππ⋃ D ．),43[)3,0(πππ⋃ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。
2018届湖南省长郡中学高三月考(五)数学(文)试题(解析版)
2018届湖南省长郡中学高三月考（五）数学（文）试题一、单选题1．已知R 为实数集，集合2{|230}A x x x =-++≤，则R C A =（ ） A. ()1,3- B. []1,3- C. ()3,1- D. []3,1- 【答案】A【解析】求解二次不等式2230x x -++≤可得： {}|13A x x x =≤-≥或，结合补集的定义可得： ()1,3R C A =-. 本题选择A 选项.2．若122018,,,x x x 的平均数为3，标准差为4，且()32i i y x =--， 122018,,,i x x x = ，则新数据122018,,,y y y 的平均数和标准差分别为（ ） A. -9 12 B. -9 36 C. 3 36 D. -3 12 【答案】D【解析】由平均数和标准差的性质可知，若123,,,,n x x x x 的平均数为x ，标准差为s ，则： 123,,,,n kx b kx b kx b kx b ++++ 的平均数为kx b +，标准差为k s ， 据此结合题意可得：122018,,,y y y 的平均数为： ()3323--=-，标准差分别为3412⨯=， 本题选择D 选项. 3．已知直角梯形ABCD 中， //AB CD ， AB AD ⊥， 4AB =， 6CD =， 5AD =，点E 在梯形内，那么AEB ∠为钝角的概率为（ ） A.225π B. 425π C. 12 D. 14【答案】A【解析】以AB 为直径,在梯形ABCD 中半圆内的区域为满足∠AEB 为钝角的区域,AB =4,故半圆的面积是2π,梯形ABCD 的面积是645252+⨯=,∴,满足∠AEB 为钝角的概率为225p π=. 本题选择A 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.4．已知复数1a iz i-=-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】由题意结合复数的运算法则可得： ()()()()()()111112a i i a a i z i i -+++-==-+，复数z 为纯虚数，则： 10{ 10a a +=-≠，据此可得： 1a =-.本题选择B 选项.5．已知圆()()22212x y r -+-=上有且只有两个点到直线43350x y +-=的距离等于1，则半径r 的范围是（ ）A. ()4,6B. (]4,6C. [)4,6D. []4,6 【答案】A【解析】圆心到直线的距离为： 5d ==，据此可知，满足题意时有： 51,46r r -<∴<<, 表示为区间的形式即()4,6. 本题选择A 选项.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. 2B. 4+C. 2+D. 5 【答案】C【解析】解：该几何体是棱长分别为2,2,1 的长方体中的三棱锥： P ABM - ，其中： 2,2ABM PMA PMB PAB S S S S ==== ，该几何体的表面积为： 222++=+ 本题选择B 选项.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.7．变量,x y 满足约束条件22{24 41x y x y x y +≥+≤-≥-，则目标函数332x y z +-=的取值范围是（ ）A. 3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []2,3-D. ⎡⎤⎣⎦【答案】D【解析】不等式表示的区域为如图所示的阴影部分,三个交点坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭. 目标函数3333m x y x y =+-=-+,即33y x m =+-∴目标函数过(2,0)时,取得最大值为9,过1,32⎛⎫⎪⎝⎭时,取得最小值为32，∴目标函数33m x y =+-的取值范围是3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则332x y z +-=的取值范围是⎡⎤⎣⎦.本题选择D 选项.8．cos y x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】当0x =时， 1y =，选项A 错误； 当x π=时， 1y ππ=-<，选项D 错误；()()cos f x x x f x -=-+≠，函数不是偶函数，选项C 错误；本题选择B 选项.9．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（ ）A. (),1-∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. (),0-∞ 【答案】D【解析】不等式()3xx e >+即()31xx f x e e->，，构造函数， 令()()31xx f x g x e e =--，则()()()'3'0xf x f xg x e -+=<， 据此可得函数()g x 是R 上的单调递减函数， 又()()0003010f g e e=--=，结合函数的的单调性可得： 不等式()3x f x e >+的解集是(),0-∞.本题选择D 选项.点睛：利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.10．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.B. C. 0 D. 12【答案】A【解析】由程序框图可知22017sin0sin sin......sin 333S ππππ=++++ ， 因为26sin0sinsin......sin 0333ππππ++++= 即一个周期即6个值相加为0，因为201863362=⨯+，所以sin0sin3S π=+=故选A11．在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由正弦定理得,所以,因此，中有一钝角, 角必为锐角,因为 ,所以,即角的最大值为,选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．设点()0,1A ， ()2,1B -，点C 在双曲线22:14x M y -=上，则使ABC ∆的面积为3的点C 的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】AB 的长度AB ===设C 到AB 的距离为d ,则由132S =⨯=,得d ==. 设AB 的直线方程为y =kx +1，则由121k -=+得1k =-,即AB 的方程为:y =-x +1，即x +y -1=0. 设与直线x +y -1=0平行的直线为x +y +c =0.得y =-x -c ,代入双曲线M : 2214x y -=,得2238440x cx c +++=.当直线和双曲线相切时,判别式()226412440c c ∆=-+=,即c =即相切的直线方程为0x y +=或0x y +=.直线0x y +=和10x y +-=的距离d ==<，此时ABC 的面积为3的点C 有两个.直线0x y +=和10x y +-=的距离2d ==<，此时ABC 的面积为3的点C 有两个.综上可得：使ABC ∆的面积为3的点C 的个数为4. 本题选择A 选项.点睛：解决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件； (2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．13．P 是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则P 到长方体各个面所在平面的距离的最大值是__________． 【答案】252【解析】13=，等于长方体外接球的直径，则长方体外接球半径132R =，宽、高分别为3,4的长方形对角线长度为5，球心到该面的距离为6=， 由于P 到长方体各个面所在平面的距离为d ，则d 的最大值为1325622+=. 14．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC 知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．（1）试确定受奖励的分数线；（2）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上的概率．【答案】（1）86．（2）310P =【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图知，小长方体面积为对应概率，因此竞赛成绩在90100 分的人数为0.0121010012⨯⨯=，不足20，故受奖励分数线在8090 之间，设受奖励分数线为x ，()900.021********x x -⨯⨯=-⇒=（2）先按分层抽样确定分数在 8690 的抽取2人，分数在90100 的抽取3人，再利用枚举法确定所有的可能情况10种，满足条件的只有3种，最后根据古典概型概率求法得结果 试题解析：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在90100 分的人数为0.0121010012⨯⨯=，竞赛成绩在8090 的人数为0.021010020⨯⨯=，故受奖励分数线在8090 之间，设受奖励分数线为x ，则()900.020.012100.20x -⨯+⨯=，解得86x =，故受奖励分数线为86．（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在8690 的人数为8，分数在90100 的人数为12，利用分层抽样，可知分数在 8690 的抽取2人，分数在90100 的抽取3人，设分数在8690 的2人分别为12,A A ，分数在90100 的3人分别为123,,B B B ，所有的可能情况有()()()()()()()()()()12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 满足条件的情况有()()()121323,,,,,B B B B B B ，所求的概率为310P =【考点】频率分布直方图，分层抽样，古典概型概率 【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法.（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题15．已知()1,2a =， ()415,6a b -=--，则a 与b 的夹角的余弦值为__________． 【答案】45【解析】设(),b x y =，结合题意可得： ()()()41,24,414,24a b x y x y -=-=--，据此可得方程组： 1415{ 246x y -=--=-，解得： 4{ 2x y ==，即()4,2b = ，据此有：()()1,24,2448a b ⋅=⋅=+=，a ==，b ==则向量a与b 夹角的余弦值为：45=.16．设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ∀∈， y D ∃∈，使()()2f x f y C +=（C为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ．给出下列四个函数：①2y x =；②2xy =；③ln y x =；④2sin 1y x =+．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________． 【答案】③【解析】原问题等价于对于任意的x 1∈D ,存在唯一的x 2∈D ,使f (x 1)+f (x 2)=4成立的函数。
湖南省2018届高三·十三校联考 第一次考试
湖南省2018届高三·十三校联考 第一次考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{}1M x x =<，{}2,x N y y x R ==∈，则集合()U C M N ⋃等于（ ） A ．(],1-∞- B ．()1,2- C ．(][),12,-∞-⋃+∞ D ．[)2,+∞2. 若()11z i i i -=-+ (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ）A B 1 C ．1 D 3.如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）A ．1eB ．11e- C.11e - D ．21e e -- 4．“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()22112x y -+-=（）相切”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．若双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为（ ）A ．326．函数()()22x f x x x e =-的图象大致是（ ）A ．B ． C.D ．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（ ）A ．6k <B ．7k < C. 6k > D ．k >7 8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．6πB ．7π C. 8π D ．12π9．已知n T 为数列212n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若101013n T >+恒成立，则整数n 的最小值为（ ）A ．1026B ．1025 C.1024 D ．102310.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设(),,0a b m m >为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b =，则b 的值可以是（ ）A ．2011B ．2012 C.2013 D ．201411．如图，12,A A 为椭圆22195x y +=长轴的左、右端点，O 为坐标原点，,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则22OS OT +=（ ）A ．14B ．12 C. 9 D ．712．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，若对(),0,1p q ∀∈，且p q ≠，有()()112f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),18-∞B ．(],18-∞ C.[)18,+∞ D ．()18,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.函数()()()3sin 3f x x x θθ=---是奇函数，则tan θ等于 ． 14.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的体积为V =球，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为 ． 15.双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、是E 左支上一点，且112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为 ． 16.已知函数()2cos2xf x x π=，数列{}n a 中，()()()*1n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S = ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且满足()sin sin cos cos sin A B A B C π+=--⎡⎤⎣⎦，（1）试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（2）若1a b c ++=+ABC∆面积的最大值.18.为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为1：2：3，其中第2组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，12,AC AA AB BC ====，01160AAC ∠=，平面1ABC ⊥平面11AAC C ，1AC 与1AC 相交于点D .（1）求证：1BC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角1C AB C --的余弦值.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上的点到右焦点F 1，F 到，点(),0C m 是线段OF 上的一个动点. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A B 、两点，使得()CA CB BA +⊥？并说明理由.21. 已知函数()()22ln 0f x x x a x a =-+>.（1）当2a =时，试求函数图像过点()()1,1f 的切线方程；（2）当1a =时，若关于x 的方程()f x x b =+有唯一实数解，试求实数b 的取值范围；（3）若函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，且不等式()12f x m x ≥恒成立，试求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy 中，过点()1,2P --的直线l 的参数方程为1cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()sin tan 20a a ρθθ=>，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N .（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若PM MN =，求实数a 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()313f x x ax =-++. （1）若1a =，解不等式()4f x ≤；（2）若()f x 有最小值，求实数a 的取值范围.试卷答案 一、选择题1.A {}{}11M x x x x =<=-1<<,{}{}2,0x N y y x R y y ==∈=>.又∵U R =,∴()[)1,U C M N ⋃=-+∞，故选A.2.D ∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()11111122i i iz i ii i +===+--+，则z 的D. 3．D 所求概率为()()112111x edxe e e --=⨯--⎰，故选D. 4．B 当0m =时，圆()()22112x y -+-=的圆心()1,1到直线0x y +=，等于半径，此时圆与直线相切；若直线0x y m +-=与圆()()22112x y -+-=相切，=，解得4m =或0．故应选B ．5．A6．B 由()00f =，解得0x =或2x =，所以函数()f x 有两个零点，又A ，C 不正确，所以()()22x f x x e '=-，由()0f x '>，解得x >或x <，由()0f x '<，解得x <x =D 不成立，故选B ． 7．C 2,134562624120720,,,,k s k k k k s s s s s ===========⇓⇓⇓⇓⇓，7k =，结束循环，故选C ．8．B 由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为2141+22+11=72ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 9.C 因为211122nn n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以112n n T n =+-,101010111013111013101422T +=-+=-,又101013n T >+， 所以整数n 最小值为1024.故选C ．10.A 因为()()20102010010190101010120391011010101a C C C =+===-=-+-+，所以a 被10除得的余数为 1，而2011被10除得的余数是1，故选A ．11.A 设()()()1122,,,,,Q x y T x y S x y ，12,QA QA 斜率分别为12,k k ，则,OT OS 的斜率为12,k k ，且212253399y y y k k x x x =⋅==-+--，所以()21222222111112145159k OT x y x k x k +=+=+=+，同理()2222245159k OS k +=+，因此()()()2222221211222121125451451451451812559595959k k k k OS OT k k k k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭+=+=+++++ ()22211122211145181251267014595959k k k k k k +++=+==+++.故选A ． 12．C 因为()()2l n 1f x a x x =+-，所以()()()21l n 111f x a x x +=++-+⎡⎤⎣⎦，所以()()1212af x x x '+=-++. 因为(),0,1p q ∈，且p q ≠，所以()()112f p f q p q+-+>-恒成立()()()()11211f p f q p q +-+⇔>+-+恒成立()12f x '⇔+≥恒成立，即()()212012ax x x -+≥<<+恒成立，所以()()22201a x x >+<<恒成立，又因 为()0,1x ∈时，()282218x <<+<，所以18a ≥.故选C.二、填空题13.5316. 10200 三、解答题17.【解析1】（1）∵()sin sin cos cos sin A B A B C +=+， 由正、余弦定理，得22222222b c a c a b a b c bc ca ⎛⎫+-+-+=+ ⎪⎝⎭，化简整理得：()()()222a b a b a b c ++=+， ∵0a b +>，所以222a b c +=， 故ABC ∆为直角三角形，且090C ∠=；（2）∵2221a b c a b c ++=++=，∴(12a b =++≥=+，当且仅当a b =≤.故2111224ABC S ab ∆=≤⨯=， 即ABC S ∆面积的最大值为14.【解析2】（1）由已知：()sin sin cos cos sin A B A B C +=+， 又∵()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， ∴()sin sin cos 0A B C +=，而0A B C π<<、、，∴sin sin 0A B +>， ∴cos 0C =，故090C =，∴ABC ∆为直角三角形.（2）由（1）090C =，∴sin ,cos a c A b c A ==.∵1a b c ++=+，∴c =∴2211112sin cos sin cos 222ABCS ab c A A A A ∆⎛⎫+=== ⎪ ⎪，令sin cos A A t +=，∵02A π<<，∴1t <≤，∴2211213221322212211ABCt t S t t ∆⎛⎫+-+-+⎛⎫===- ⎪⎪ ⎪++⎝⎭. 而()211f t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在(上单调递增， ∴()max 14ABC S f∆==. 18.【解析】（1）设该校报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为123,,p p p ，则由条件可得：()2131123230.0370.01351p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩， 解得，1230.125,0.25,0.375p p p ===， 又因为2120.25p n==，故48n =. 所以该校报考飞行员的人数为48人.（2）由（1）可得，估计抽到一个报考学生的体重超过60公斤的概率为12510.7568P +=-⨯=； 依题有53,8XB ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3353,0,1,2,388kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴随机变量X 的分布列为：则1251501235125125125128EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，或515388EX np ==⨯=. 19.【解析】（1）证明：设AC 的中点为M ，连1BM C M 、.∵01112,60AC AA AAC ==∠=，∴四边形11AAC C 为菱形，且1ACC ∆为正三角形，∴1C M AC ⊥. ∵AB BC ==BM AC ⊥.而1BMC M M =，∴AC ⊥平面1BC M ，∴1AC BC ⊥. ∵四边形11AAC C 为菱形，则有1CD AC ⊥， 又平面1ABC ⊥平面11AAC C ，平面1ABC 平面111AAC C AC =，∴CD ⊥平面1ABC ， ∴1CD BC ⊥，又∵AC CD C =，∴1BC ⊥平面11AAC C . （2）如图，∵1AC C M ⊥，∴111AC C M ⊥，以1C 为原点，以1111C A C M C B 、、所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵01112,60,AC AA AAC AB BC ==∠===， ∴12BC =.从而，有()()(),,0,0,2A M B ，()()12,0,0,A C -. ∴()()1,0,0,2AM BM =-=-. 设面ABC 的法向量为(),,1n x y =，则0320n AM x n n BM y ⎧=-=⎛⎫⎪⇒=⎨⎪⎝⎭=-=⎪⎩， 又面1ABC 的法向量为()1A C =-，设二面角1C AB C --的大小为θ，由图知θ为锐角， 则1117cos cos ,7n AC n n ACθ==. 20.【解析】（1）由题意可知1a c -=-，=，解得1a b c ===，∴椭圆的方程为2212x y +=. （2）由（1）得()1,0F ，所以01m ≤≤.假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为()1y k x =-，代入2212x y +=，得()2222214220k x k x k +-+-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，① ∴()121222221k y y k x x k -+=+-=+， ∴()()211222242,,2,2121k k CA CB x m y x m y m k k ⎛⎫-+=-+-=- ⎪++⎝⎭. ∵()CA CB AB +⊥，且AB 的方向向量为()1,k ， ∴()22224220122121k k m k m k m k k --+⨯=⇔-=++， ① 当102m ≤<时，12m k m =-，即存在这样的直线l ； ②当112m ≤≤时，k 不存在，即不存在这样的直线l . 21.【解析】（1）当2a =时，有()222ln f x x x x =-+.∵()()221222x x f x x x x-+'=-+=，∴()12f '=， ∴过点()()1,1f 的切线方程为：()121y x +=-，即230x y --=.（2）当1a =时，有()22ln f x x x x =-+，其定义域为：{}|0x x >， 从而方程()f x x b =+可化为：23ln b x x x =-+，令()23ln g x x x x =-+，则()2123123x x g x x x x -+'=-+=， 由()01g x x '>⇒>或102x <<；()1012g x x '<⇒<<. ∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 且()15ln 2,1224g g ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 又当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞.∵关于x 的方程23ln b x x x =-+有唯一实数解，∴实数b 的取值范围是：2b <-或5ln 24b >--. （3）∵()f x 的定义域为：{}()222|0,22a x x a x x f x x x x-+'>=-+=. 令()20220f x x x a '=⇒-+=.又∵函数()f x 有两个极值点()1212x x x x <、，∴2220x x a -+=有两个不等实数根()1212x x x x <、， ∴1002a ∆>⇒<<，且212111,22x x a x x +==-， 从而121012x x <<<<. 由不等式()12f x m x ≥恒成立()21111222ln f x x x a x m x x -+⇒≤=恒成立， ∵()()()22111111111221222ln 112ln 1x x x x x f x x x x x x x -+-==--+-， 令()1112ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭，∴()()2112ln 01h t t t '=-+<-，当102t <<时恒成立， ∴函数()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()13ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭， 故实数m 的取值范围是：3ln 22m ≤--. 22.【解析】（1）∵001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩（t 为参数）， ∴直线l 的普通方程为10x y --=.∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =. （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点,M N 对应的参数分别是()1212,0,0t t t t >>， 则12,PM t PN t ==， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =， 将001cos 452sin 45x t y t ⎧=-+⎨=-+⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨=+⎪⎩，又∵212t t =，∴14a =. 23.【解析】（1）1a =时，()3134f x x x =-++≤，即311x x -≤-， 1311x x x -≤-≤-，解得102x ≤≤，所以解集为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为()()()132,3134,3a x x f x a x x ⎧++≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，所以()f x 有最小值的充要条件为3030a a +≥⎧⎨-≤⎩， 即33a -≤≤。
湖南省长沙市长郡中学2018届高三实验班选拔考试文数试题Word版含答案
绝密★启用前长郡中学2017～2018学年新高三实验班选拔考试文科数学试卷本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，时量120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合{}{}0,1,0,1A B ==-，若A C B ⊆⊆，则符合条件的集合C 的个数为 A ．1B ．2C ．4D ．82．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则1z z z =+在复平面上对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．长郡中学将参加摸底测试的1200名学生编号为1，2，3，…，1200，从中抽取一个容量为50的样本进行学习情况调查，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组中抽出的学生编号为20，则第四组中抽取的学生编号为 A ．68 B ．92 C ．82 D ．170 4．在菱形ABCD 中，()()1,2,2,1A C -，则BA AC =A ．5B ．－5C ．D ． 5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>与圆2223:2016D x y ax a +-+=交于,A B 两点，若四边形OADB （O 为原点）是菱形，则椭圆C 的离心率为A ．13B ．12C D 6．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与它其中蕴含的奇偶归一思想有关．右图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i 分别为 A ．a 是偶数？；6 B ．a 是偶数？；8 C ．a 是奇数？；5 D ．a 是奇数？；77．已知数列{}n a 是等差数列，若()()121122n n n T na n a a a n -=+-+++≥…，且237,16T T ==，则n a = A ．1n + B ．21n -C ．31n -D ．43n -8．已知函数()()()cos 30f x x ϕϕπ=+<<，将()f x 的图象向右平移6π个单位所得图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，将()f x 的图象向左平移()0θθ>个单位所得图象关于y 轴对称，则θ的值不可能．．．是 A ．4π B ．512π C ．712π D ．1112π9．若函数(),0ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞10．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22222:14y x C b a-=，若以12,C C 四个顶点为顶点的四边形的面积为1S ，以12,C C 四个焦点为顶点的四边形的面积为2S ，则12S S 取到最大值时，双曲线1C 的一条渐近线方程为 A ．12y x =B．2y x =C．y =D ．2y x = 11．如图，在四棱锥P ABCD-中，,//,4,A B A D B C A D P A A D A B⊥====⊥平面，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且//EF PCD 平面，PD 与CEF 平面交于点H ，则线段CH 的长度为AC ．D ．12．已知函数()2cos f x x x a π=++在()0,π上有两个不同的零点()1212,x x x x <，给出下列结论：①()10f x '<；②()20f x '>；③12x x π+<．其中错误结论的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
长郡中学2018届高三文科第三次月考文科参考答案
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湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 及答案
长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.2. 复数的虚部是（）A. B. C. D.3. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若，满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.7. 执行如图所示俄程序框图，若输入的，则输出的（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程的（）A. B. C. D.9. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A. B. C. D.10. 已知，，，是球表面上的点，平面，，，，则球的表面积等于（）A. B. C. D.11. 已知函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，，则方程在区间上的解得个数是（）A. B. 6 C. 7 D. 912. 偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为边长为2的正三角形，则__________．14. 若过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为__________．15. 设等差数列的前项和为，已知，为整数，且，则数列的前9项和为__________．16. 为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设函数（）在处取最小值．（1）求的值；（2）在中，，，分别是角，，的对边，已知，，，求角．18. 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点．（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积．19. 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和．请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，为等边三角形，且其面积为，为椭圆的右顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由．21. 已知定义域为的函数（常数）．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的最大整数值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知点，直线:（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为，．（1）求直线和曲线的普通方程；（2）求．23. 选修4-5：不等式选讲设函数．（1）设的解集为集合，求集合；（2）已知为集合中的最大自然数，且（其中，，为正实数），若恒成立，求实数的最大值．长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（文科）解析第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解二次不等式可得：，则，由Venn图可知图中阴影部分为：．本题选择D选项．2. 复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z====﹣i，∴z的虚部是﹣1．故选：D．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，则，3. 一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．详解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为4的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S三棱柱=2××2×4+3×4×4=．故选：C．点睛：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．5. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由|x﹣2|≤5可得﹣5≤x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤7，即可判断出结论．详解：由|x﹣2|≤5可得﹣5≤x﹣2≤5，解得﹣3≤x≤7，故“|x﹣2|≤5”是“﹣3≤x≤7”的充要条件，故选：C．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 若，满足约束条件则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，），代入目标函数z=x+y得z=1+=．即目标函数z=x+y的最大值为．故选：B．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7. 执行如图所示俄程序框图，若输入的，则输出的（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得第一次执行循环体后：；第二次执行循环体后：；第三次执行循环体后：b=2018，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出i=3，故选：B．点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，它的一个焦点落在抛物线的准线上，则双曲线的方程的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用抛物线的准线方程，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求解即可．详解：双曲线的一条渐近线的方程是，可得b=a，它的一个焦点落在抛物线y2=16x的准线上，可得c=4，即16=a2+b2，a=2，b=2．所求的双曲线方程为：．故选：C．点睛：本题考查双曲线标准方程的求法，涉及双曲线的渐近线、抛物线的交点等知识，属于基础题.9. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为故选10. 已知，，，是球表面上的点，平面，，，，则球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为平面，，所以四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，又因为，所以，所以球的表面积为，故选A.考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由平面，，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.11. 已知函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，，则方程在区间上的解得个数是（）A. B. 6 C. 7 D. 9【答案】D【解析】分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．详解：∵当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），令f（x）=0，则x2﹣x+1=1，解得x=1又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴在区间∈[﹣1.5，1.5]上，f（﹣1）=f（1）=0，f（0）=0f（1.5）=f（﹣1.5+3）=f（﹣1.5）=﹣f（﹣1.5）∴f（﹣1）=f（1）=f（0）=f（1.5）=f（﹣1.5）=0又∵函数f（x）是周期为3的周期函数则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，那么，函数在区间内有零点，即存在使得这个也就是方程的根，由此可判断根所在区间.12. 偶函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，设g（x）=，结合题意求导分析可得函数g（x）在（0，）上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数g（x）为偶函数，进而将不等式转化为g（x）>g（），结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得x的取值范围．详解：由当时，有，可得：cosx+f（x）sinx＜0根据题意，设g（x）=，其导数为g′（x）=，又由时，有cosx+f（x）sinx＜0，则有g′（x）＜0，则函数g（x）在（0，）上为减函数，又由f（x）为定义域为的偶函数，则g（﹣x）===g（x），则函数g（x）为偶函数，⇒>f（）⇒>⇒g（x）>g（），又由g（x）为偶函数且在（0，）上为减函数，且其定义域为，则有|x|<，解可得：﹣＜x＜0或0＜x＜，即不等式的解集为；故选：C．点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 为边长为2的正三角形，则__________．【答案】-2【解析】分析：利用向量数量积定义即可求出.详解：由向量数量积定义可知，故答案为：-2点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14. 若过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为__________．【答案】4【解析】分析：求出圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0的圆心和半径r，再求出点（1，1）与圆心（3，2）间的距离d，|AB|的最小值|AB|min=2．详解：圆x2+y2﹣6x﹣4y+4=0的圆心为（3，2），半径r==3，点（1，1）与圆心（3，2）间的距离d==，∴|AB|的最小值|AB|min=2=2=4．故答案为：4点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。