第3章 静定梁

ql qx 2 =M° M x2 2 Q q( l - x)cos Qo cos 2 N -q( l - x)sin -Qo sin 2
斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。
18
斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。
15
RB=7kN
16
9 Q图（kN）
x 26 4 M图（kN.m） 28
H
－
7 7 23
7
30
8 36.1 8 CE段中点D的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 8 4 弯矩在H点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 8 最大弯矩,一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！！
q(l - 2 x) x qx 2 ql 2 代入上式： 2 2 12
MG
1 2 q(l - 2 x) M B - x qx 2 2
ql 2 解得： M B 12 3- 3 6 l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解得： x
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MB=ql2/12
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 qL ql2/8
＋
－ Q图 qL
14
10kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55
30 20 30 5 m/2 m m/2 M 图 (kN.m) 30
A 1m RA=17kN 17 ＋
4kN/m 由 Q 可得： 16kN.m H=QC－qx=0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ x＝Q /q＝9/4＝2.25(m) G C B C D ＝M +(CH段 E Q图的面积） F M H C ＝26+9 ×2.25÷2 1m 2m 2m 1m 1m ＝36.1（kN.m) 8kN
M N
M
N
Q
Q
图示均为正的轴力和剪力
3
2、截面内力计算方法： 截面法：截开、代替、平衡。
举例1
内力的直接算式： 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。 剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕 截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。 弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩 及外力矩产生相同的受拉边。
q
10
B NB MB
MB
QB
YB °
MB
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql /8 l
2
m/2 m m/2 l l
Mmax=FPab/l a l
b
当 a=b=l/2 时，Mmax=FPl/4
13
ql A
q
ql /2
B
ql2/4
D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
F
ql
l/2
ql
l/2
例：求截面1、截面2的内力 N2=50 －141×cos45o
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
5kN/m
1
5
=－50kN Q2= －141×sin45°＝－100kN
1 2 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m + M2＝375kN.m （左拉） N1=141×0.707=100kN
qa2/2
qa
qa2/2
qa2
qa2/2
M图（kN.m）
23
40k N
A 2m B 2m C 2m D 1m
80k N· m E 2m 2m 1m F
20k N/m
G 4m 2m H
50
40
20
40
40
40
20 M
40 (kN· m)
24
例：确定图示三跨连续梁C、D铰的位置，使边跨的跨中弯矩 与支座处的弯矩的绝对值相等
5m
45° 141kN
125kN.m
5m
Q1= 50 +5×5－141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10－50×5 －5/2×5² =812.5kNm (下拉）
6
§3.2 荷载与内力之间的关系
1 ） 微分关系 Q ↓↓↓↓↓↓↓ Q+d dN/dx= － q x qx N+d N Q dQ/dx=－qy ， qy向下为正 →→→→→ N x M+d dM/dx=Q M M 微分关系给出了内力图的形状特征 dx y 2） 增量关系
20
桥梁示意图、计算简图、构造层次图、传力途径
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多跨静定梁是主从结构，其受力特点是：力作用在基本部 分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部 分都受力。 多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力， 但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。 q qa qa
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MA
q
MB
MB MB
＋
M°
MB
q
↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 2）直杆情况 A 1、首先求出两杆端 弯矩，连一虚线； ↓ ↓ ↓↓ ↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2、然后以该虚线为 NA 基 线，叠加上简支梁 MA QA 在跨间荷载作用下的 q MA 弯矩图。 ↓ ↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓ 对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静 YA° 定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段 M' 内各相邻截面间是连续的 MA M° 还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。举例
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ MB
MA
l
MB MA
ql2/8
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§3.5多跨静定梁(statically determinate multi-span beam)
(由基本部分及附属部分组成)
A
B
C
D
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
H
E
F H
A
B
C
D
E
F ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
将各段梁之间的约束解除仍能平衡其上外力的称为基本部分, ABC，DEFG是基本部 不能独立平衡其上外力的称为附属部分， 分，CD，GH是附属部分。 附属部分是支承在基本部分的，要分清构造层次图。
无何载区段 均布荷载区段
↓↓↓↓↓↓
返回
集中力偶作用处
集中力作用处 发生突变
Q图
平行轴线
＋
－
＋
P
无变化
－
发生突变 m 两直线平行
M图
斜直线
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
尖点指向即P的指向
注备
Q=0区段M图 平行于轴线
Q=0处，M 达到极值
集中力作用截 面剪力无定义
集中力偶作用面 弯矩无定义
q 、M q Q、 、Q M 、M q 、q Q 、 、 Q M 、 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 零、平、斜、抛 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
a
a
a
2a
a
a
a
qa 2qa
qa
qa
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa/2
qa/2
qa/2
-3qa/4
9qa/4
22
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
qa
a
2qa
qa
a
a 3qa/4
＋
2a qa qa/2
－
a 9qa/4
＋
a
a
qa/2
qa/4
qa
－
qa/2 7qa/4
－
qa/2
qa2
Q图（kN）
qa
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A G B C D E F
l/2 MG=ql2/12
ql2/24
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MG=ql2/8
由于多跨静定梁设置了带伸臂的基本部分，这不仅使中 间支座处产生了负弯矩，它将降低跨中正弯矩;另外减少了附 属部分的跨度。因此多跨静定梁较相应的多个简支梁弯矩分 布均匀，节省材料，但其构造要复杂一些！！
ΔN=－PX ΔQ=－Py
qy
Q N m
M
Px Py
Q+ΔQ
N+ΔN M+ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征 由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去 3） 积分关系： 该段qy的合力； QB=QA－∫qydx 右端弯矩等于左端弯矩加上 MB＝MA+∫Qdx 该段剪力图的面积。
7
内力图形状特征
16
§3.4简支斜梁计算
q
q+q0

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q0l ql
q
q q0 cos

l
斜梁：
17
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
YA 由整体平衡：
↓↓↓↓↓↓
M Q
ql 2
N
= YA
o
x YA
x
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
YA
由分离体平衡可得：
YA°
2 ql ql qx Y Ao M o x2 2 2 ql Q - qx 2
弯 矩 图 对 误 判 别
不 求 或 少 求 反 力 画 弯 矩 图