HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期秋(期末考试总复习)26.微专题：构造等腰三角形的技巧【教材变式】
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第一学期期末教学质量监测八年级数学（沪科版）（本检测题满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共36分）1. 如果直线AB 平行于轴，则点A 、B 的坐标之间的关系是（ ） A.横坐标相等B.纵坐标相等C.横坐标为0D.纵坐标为02. 若点P （13++m m ，）在直角坐标系的x 轴上，则点P 的坐标为（ ）A.（0，－2）B.（2，0）C.（4，0）D.（0，－4）3. 下列图中不是轴对称图形的是( )4. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-与矩形ABCO的边OC 、BC 分别交于点E 、F ，已知OA=3，OC=4，则 △CEF 的面积是（ ）A ．6B ．3C ．12D ．第4题图5. 已知直线=k -4（k＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的关系式为（）A．=- -4 B．=-2 -4C．=-3 +4 D．=-3 -46. 正比例函数（≠0）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（）A B C D7. 在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（）A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜138. 如图所示，两个全等的等边三角形的边长为1 m，一个微型机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动，行走2 012 m停下，则这个微型机器人停在（）A.点A处B.点B处C.点C处D.点E处9. 如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确第8题图10. 如图所示，是一个风筝的图案，它是以直线AF 为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（ ）A.△ABD ≌△ACDB.AF 垂直平分EGC.直线BG ，CE 的交点在AF 上D.△DEG 是等边三角形11. 数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（ ）A.60°B.30°C.45°D.50° 12. 以下各命题中，正确的命题是（ ）（1）等腰三角形的一边长为4 cm ，一边长为9 cm ，则它的周长为17 cm 或22 cm ； （2）三角形的一个外角等于两个内角的和； （3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等； （4）等边三角形是轴对称图形；（5）三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．第9题图第10题图第11题图A ．（1）（2）（3）B ．（1）（3）（5）C ．（2）（4）（5）D ．（4）（5）二、填空题（每小题3分，共24分）13. 已知是整数，点在第二象限，则 _____．14. 如图所示，已知函数和的图象交于点（-2，-5），根据图象可得方程的解是 .15. 如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD=DN ．其中正确的结论是 （将你认为正确的结论的序号都填上）．16. 如图所示，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠3=20°，则∠2= . 17. 如图所示，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE ，若∠BAD=39°，则第14题图第15题图第16题图∠BCE= 度.18. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△PBG 的周长的最小值是 . 19. 小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带 去．第17题图第21题图第18题图第19题图20. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为．三、解答题（共60分）21.（6分）如图，在平面网格中每个小正方形的边长为1.（1）线段CD是线段AB经过怎样的平移后得到的？（2）线段AC是线段BD经过怎样的平移后得到的？22. （6分）已知一次函数的图象经过点A（2，0）与B（0，4）．（1）求一次函数的关系式，并在直角坐标系内画出这个函数的图象；（2）如果（1）中所求的函数的值在-4≤≤4范围内，求相应的的值在什么范围内．23. （8分）如图所示，A、B分别是轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6.（1）求△COP的面积；（2）求点A的坐标及p的值；（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数关系式.第24题图第23题图24. （8分）如图所示，△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ．求证：GD=GE ．25. （8分）（1）如图（1）所示，以A B C △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形AB D E 和正方形AC F G ，连结EG ，试判断A B C △与A E G △面积之间的关系，并说明 理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图（２）所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？FBD第25题图（1）（2）26. （8分）如图所示，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；沿CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小.（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．第26题图27. （8分）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．28. （8分）将两个等边△ABC 和△DEF （DE ＞AB ）如图所示摆放，点D 是BC 上的一点（除B 、C 点外）．把△DEF 绕顶点D 顺时针旋转一定的角度，使得边DE 、DF 与△ABC 的边（除BC 边外）分别相交于点M 、N ． （1）∠BMD 和∠CDN 相等吗？（2）画出使∠BMD 和∠CDN 相等的所有情况的图形.（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD 和∠CDN 相等的理由．第27题图第28题图参考答案1. A 解析：∵ 直线AB 平行于轴，∴ 点A 、B 的坐标之间的关系是横坐标相等．2. B 解析：∵ 点P （13++m m ，）在直角坐标系的x 轴上，∴ ，解得，∴ 点P 的坐标是（2，0）．3. C 解析：由轴对称图形的性质，A 、B 、D 都能找到对称轴，C 找不到对称轴，故选C.4. B 解析：当y=0时，-=0，解得=1， ∴ 点E 的坐标是（1，0），即OE=1. ∵ OC=4，∴ EC=OC-OE=4-1=3. ∵ 点F 的横坐标是4， ∴ y=×4-=2，即CF=2.∴ △CEF 的面积=×CE ×CF=×3×2=3．故选B ．5. B 解析：直线 =k -4（k ＜0）与两坐标轴的交点坐标为（0，-4）， ∵ 直线 =k -4（k ＜0）与两坐标轴所围成的三角形面积等于4， ∴ 4××=4，解得k=-2，则直线的关系式为y=-2 -4． 故选B ．6. A 解析：因为正比例函数（≠0）的函数值随的增大而增大，第7题答图所以，所以答案选A.7. B 解析：如图所示，延长AD到E，使DE=AD，连接BE．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE.∵AC=5，AD=4，∴BE=5，AE=8.在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE，∴AB边的取值范围是3＜AB＜13．故选B.8. C 解析：∵两个全等的等边三角形的边长均为1 m，∴机器人由A点开始按ABCDBEA的顺序沿等边三角形的边循环运动一圈，即为6 m.∵2 012÷6=335……2，即行走了335圈余2 m，∴行走2 012 m停下时，这个微型机器人停在C点．故选C．9. B 解析：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP，∴△ARP≌△ASP（HL），∴AS=AR，∠RAP=∠SAP.∵AQ=PQ，∴∠QPA=∠QAP，∴∠RAP=∠QPA，∴QP∥AR.而在△BPR和△QPS中，只满足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，∴无法得出△BPR≌△QPS.故本题仅①和②正确．故选B．10. D 解析：A.因为此图形是轴对称图形，正确；B.对称轴垂直平分对应点连线，正确；C.由三角形全等可知，BG=CE，且直线BG，CE的交点在AF上，正确；D.题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．故选D．11. A 解析：∵台球桌四角都是直角，∠3=30°，∴∠2=60°.∵∠1=∠2，∴∠1=60°，故选A．12. D 解析：（1）等腰三角形的一边长为4 cm，一边长为9 cm，则三边长可能为9 cm，9 cm，4 cm，或4 cm，4 cm，9 cm，因为4+4＜9，所以它的周长只能是22 cm，故此命题错误；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故此命题错误；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等错误，必须是夹角；（4）等边三角形是轴对称图形，此命题正确；（5）如果三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形，正确.如图所示：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C.∵AD是角平分线，∴∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形．故选D．13. -1 解析：因为点A在第二象限，所以，所以.又因为是整数，所以.14.=-2 解析：已知两直线的交点坐标为（-2，-5），所以方程的解为.15. ①②③ 解析：∵ ∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，∴ △ABE ≌△ACF.∴ AC=AB ，∠BAE=∠CAF ，BE=CF ，∴ ②正确.∵ ∠B=∠C ，∠BAM=∠CAN ，AB=AC ，∴ △ACN ≌△ABM ，∴ ③正确.∵∠1=∠BAE-∠BAC ，∠2=∠CAF -∠BAC ，又∵ ∠BAE=∠CAF ，∴ ∠1=∠2，∴ ①正确.∴ 题中正确的结论应该是①②③.16. 50° 解析：如图，由三角形外角的性质可得∠4=∠1+∠3=50°，∵ ∠2和∠4是两平行线间的内错角，∴ ∠2=∠4=50°．17. 39 解析：∵ △ABC 和△BDE 均为等边三角形，∴ AB=BC ，∠ABC =∠EBD=60°，BE=BD.∵ ∠ABD=∠ABC +∠DBC ，∠EBC=∠EBD +∠DBC ，∴ ∠ABD=∠EBC ，∴ △ABD ≌△CBE ，∴ ∠BCE=∠BAD =39°．18. 3 解析：要使△PBG 的周长最小，而BG=1一定，只要使BP+PG 最短即可．连接AG 交EF 于M ．∵ △ABC 是等边三角形，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，∴ AG ⊥BC.又EF ∥BC ，∴ AG ⊥EF ，AM=MG ，第16题答图∴A、G关于EF对称，∴P点与E重合时，BP+PG最小，即△PBG的周长最小，最小值是2+1=3．19. 2 解析：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去.只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．20. 20°或120°解析：设两内角的度数为、4.当等腰三角形的顶角为时，+4+4=180°，=20°；当等腰三角形的顶角为4时，4++=180°，=30°，4=120°.因此等腰三角形顶角的度数为20°或120°．21. 解：（1）将线段AB向右（或下）平移3个小格（或4个小格），再向下（或右）平移4个小格（或3个小格），得线段CD.（2）将线段BD向左平移3个小格（或向下平移1个小格），再向下平移1个小格（或向左平移3个小格），得到线段AC．22. 分析：根据A、B两点可确定一次函数的关系式.解：（1）由题意得20,2, 4,4,a b ab b+==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得∴这个一次函数的关系式为，函数图象如图所示．（2）∵，-4≤≤4，∴-4≤≤4，∴0≤≤4．23. 解：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，则PF=2．第22题答图∵C（0，2），∴CO=2．∴S△COP=×2×2=2．（2）∵S△AOP=6，S△COP=2，∴S△COA=4，∴OA×2=4，∴OA=4，∴A（-4，0）.∴S△AOP=×4|p|=6，∴|p|=3.∵点P在第一象限，∴p=3.（3）∵S△BOP=S△DOP，且这两个三角形同高，∴DP=BP，即P为BD的中点. 作PE⊥轴于点E，则E（2，0），F（0，3）．∴B（4，0），D（0，6）．设直线BD的关系式为y=k+b（k≠0），则解得∴直线BD的函数关系式为y=+6．第24题答图24. 分析：从图形看，GE ，GD 分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC 和△GBD ．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．方法不止一种，下面证法是其中之一．证明：过E 作EF ∥AB 且交BC 的延长线于F ．在△GBD 及△GEF 中，∠BGD=∠EGF(对顶角相等)， ①∠B=∠F(两直线平行，内错角相等)． ②又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F ，所以△ECF 是等腰三角形，从而EC=EF ．又因为EC=BD ，所以BD=EF ． ③由①②③知△GBD ≌△GFE (AAS)，所以 GD=GE ．25. 解：（1）A B C △与A E G △的面积相等.理由如下：过点C 作C M A B⊥于M ，过点G 作G N E A ⊥交EA 的延长线于N ，则A M C ∠=90A N G ∠=. 四边形A B D E 和四边形A C F G 都是正方形， 90,180.B A EC A G A B A E A C A G B A CE A G ∴∠=∠===∴∠+∠=，， 180,,E A G G A N B A C G A N ∠+∠=∴∠=∠,A C M A G N ∴△≌△BD 第25题答图.11··22A B C A E G C MG N S A B C MS A E G N ∴===△△，， .A B C A E GS S ∴=△△ （2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和， 这条小路的占地面积为(2)a b +平方米．26. 分析：（1）由折叠的性质知：=BC ，然后在Rt △中，求得cos ∠的值，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB ′的度数；（2）首先根据题意得：GC 平分∠BCB ′，即可求得∠GCC ′的度数，然后由折叠的性质知：GH 是线段CC ′的对称轴，可得GC ′=GC ，即可得△GCC ′是正三角形．解：（1）由折叠的性质知： =BC ，在Rt △中，∵ cos ∠=，∴ ∠=60°，即∠BCB ′=60°.（2）根据题意得：GC 平分∠BCB ′，∴ ∠GCB=∠GCB ′=∠BCB ′=30°，∴ ∠GCC ′=∠BCD-∠BCG=60°.由折叠的性质知：GH 是线段CC ′的对称轴，∴ GC ′=GC ，∴ △GCC ′是正三角形．27. 分析：（1）根据AD ∥BC 可知∠ADC=∠ECF ，再根据E 是CD 的中点可证出△ADE ≌△FCE ，根据全等三角形的性质即可解答．（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF 即可．证明：（1）∵ AD ∥BC （已知），∴ ∠ADC=∠ECF （两直线平行，内错角相等）.∵ E 是CD 的中点（已知），∴ DE=EC （中点的定义）．∵ 在△ADE 与△FCE 中，∠ADC=∠ECF ，DE=EC ，∠AED=∠CEF ， ∴ △ADE ≌△FCE （ASA ），∴ FC=AD （全等三角形的性质）．（2）∵ △ADE ≌△FCE ，∴ AE=EF ，AD=CF （全等三角形的对应边相等）. 又BE ⊥AE ，∴ BE 是线段AF 的垂直平分线，∴ AB=BF=BC+CF. ∵ AD=CF （已证），∴ AB=BC+AD （等量代换）．28. 分析：（1）根据三角形内角和定理以及外角性质即可得出；（2）根据（1）分类画出图形，即可解答；（3）根据三角形的内角和与平角的定义，即可得出.解：（1）相等．（2）有四种情况，如下：第28题答图（3）选④证明：∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴∠B=∠EDF=60°，∴∠ADB+∠BMD+∠B=180°，∠EDF+∠ADB+∠CDN=180°，∴∠BMD=∠CDN．。
HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期秋(期末考试复习资料)5.类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算
类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算◆类型一 直接利用内角和或结合方程思想求角的度数1．△ABC 中，∠A ＝60°，∠C ＝70°，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．90°2．(太和县期末)在△ABC 中，已知∠A ＝2∠B ＝3∠C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状无法确定3．如图，在△ABC 中，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC ＝________度．4．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝70°，∠C ＝30°.(1)∠BAE 的度数为________；(2)∠DAE 的度数为________；(3)探究：小明认为如果只知道∠B －∠C ＝40°，也能得出∠DAE 的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【方法10】◆类型二 利用外角的性质求角的度数5．(柳州中考)如图，图中∠1的大小等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°第5题图第6题图6．如图，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE ，∠A ＝60°，则∠D 的度数是【方法10】( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．60°◆类型三 综合内外角求角的度数7．如图，∠B ＝20°，∠A ＝∠C ＝40°，则∠CDE 的度数为________．第7题图第8题图8．(和县期末)如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于F ，∠A ＝70°，∠ACD ＝20°，∠ABE ＝28°，则∠CFE 的度数为( )A ．62°B ．68°C ．78°D ．90°9．★如图，△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角的平分线交于点P .(1)若∠ABC ＝50°，∠A ＝70°，求∠P 的度数；(2)若∠A ＝68°，求∠P 的度数；(3)根据以上计算，试写出∠P 与∠A 的数量关系．◆类型四 在三角板或直尺中求角的度数10．(当涂县期末)如图所示，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠3＝20°，则∠2＝________.第10题图第11题图11．(瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°12．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．◆类型五 与平行线相结合求角的度数13．如图，AB ∥CD ，直线PQ 分别交AB 、CD 于点F 、E ，EG 是∠DEF 的平分线，交AB 于点G .若∠PF A ＝40°，那么∠EGB 的度数为( )A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°第13题图第14题图14．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，交AB 于点E ，∠A ＝45°，∠BDC ＝60°，则∠BDE ＝________度．15．如图，A 点在B 点的北偏东40°方向，C 点在B 点的北偏东75°方向，A 点在C 点的北偏西50°方向．(1)试证明△ABC 为直角三角形；(2)求∠ACB 的度数．◆类型六 与截取或折叠相关求角的度数16．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB ＝________．第16题图第17题图17．在△ABC 中，∠B ＝70°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1＋∠2等于________．18．如图．(1)将△ABC 纸片沿DE 折叠成图①，此时点A 落在四边形BCDE 内部，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A 落在BE 或CD 上时，分别写出图②中∠DAE 与∠2、图③中∠DAE 与∠1之间的关系式(不必证明)；(3)若折成图④，写出∠A 与∠1、∠2之间的关系式(不必证明)．参考答案与解析1．A 2.C3．18 解析：设∠A ＝x ，则∠C ＝∠ABC ＝2x .在△ABC 中，∠C ＋∠ABC ＋∠A ＝180°，即2x ＋2x ＋x ＝180°，所以x ＝36°，所以∠C ＝2x ＝72°.在直角△BDC 中，∠DBC ＝90°－∠C ＝90°－72°＝18°.方法点拨：三角形中给出的条件含比例，不易直接求出时，一般需要设未知数，根据三角形的内角和列方程求解．4．解：(1)40° 解析：在△ABC 中，∵∠B ＝70°，∠C ＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－70°－30°＝80°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°； (2)20° 解析：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°.由(1)可知∠BAE ＝40°，∴∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝40°－20°＝20°；(3)可以．∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝12∠BAC －(90°－∠B )＝12(180°－∠B －∠C )－90°＋∠B ＝90°－12∠B －12∠C －90°＋∠B ＝12(∠B －∠C )．又∵∠B －∠C ＝40°，∴∠DAE ＝12×40°＝20°.5．D6．B 解析：∵∠ACE 是△ABC 的外角，∴∠ACE ＝∠A ＋∠ABC .∵∠DCE 是△BCD的外角，∴∠DCE ＝∠D ＋∠CBD .∵BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE ，∴∠CBD ＝12∠ABC ，∠DCE ＝12∠ACE ，∴∠D ＋12∠ABC ＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠D ＝12∠A ＝12×60°＝30°.故选B. 7．80° 8.A9．解：(1)∵∠ABC ＝50°，∠A ＝70°，∴∠ACB ＝180°－∠ABC －∠A ＝180°－50°－70°＝60°，∠CBD ＝180°－∠ABC ＝130°，∠BCE ＝∠A ＋∠ABC ＝120°.∵BP 、CP 分别平分∠CBD 、∠BCE ，∴∠PBC ＝12∠CBD ＝65°，∠PCB ＝12∠BCE ＝60°.在△PBC 中，∠P ＝180°－∠PBC －∠PCB ＝180°－65°－60°＝55°；(2)∵∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCE ＝∠A ＋∠ABC ，又∵BP 、CP 分别平分∠CBD 、∠BCE ，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12∠CBD ＋12∠BCE ＝12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＋∠A )＝12(180°＋∠A )＝90°＋12∠A .在△PBC 中，∠P ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－(90°＋12∠A )＝90°－12∠A .∵∠A ＝68°，∴∠P ＝90°－34°＝56°；(3)∠P＝90°－12∠A.10．50°11.B12.75°13.C14.1515．(1)证明：过A作AF∥BD交BC于F.∵BD∥CE，∴BD∥AF∥CE，∴∠BAF＝∠DBA，∠CAF＝∠ACE.由题意可得∠DBA＝40°，∠ACE＝50°，∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝∠DBA ＋∠ACE＝40°＋50°＝90°，∴△ABC为直角三角形；(2)解：由(1)可知∠BAC＝90°.由题意可得∠DBC＝75°，∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°，∴∠ACB＝90°－35°＝55°.16．14°17.250°18．解：(1)延长BE、CD，交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知∠DAE＝∠DPE.连接AP.由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EP A，∠2＝∠DAP＋∠DP A，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A；(2)图②中，∠2＝2∠DAE；图③中，∠1＝2∠DAE；(3)图④中，∠2－∠1＝2∠A.。
八年级上册数学期末考试总复习知识提纲沪科版
八年级上册数学期末考试总复习知识提纲沪科版数学复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，下面小编给大家分享一些八年级上册数学复习提纲沪科版，希望能够帮助大家，欢迎阅读八年级上册数学复习知识提纲沪科版(一)运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来小编就为大家整理了这篇人教版八年级数学全等三角形知识点讲解，希望可以对大家有所帮助。
沪教版八年级上册数学复习资料
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（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=（a+b）（a-b）a2+2ab+b2=（a+b）2a2-2ab+b2=（a-b）2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1.平方差公式（1）式子：a2-b2=（a+b）（a-b）（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2 和（a-b）2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =（a+b）2a2-2ab+b2 =（a-b）2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组（am+ an）和（bm+ bn），这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=（am +an）+（bm+ bn）=a（m+ n）+b（m +n）做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式（m+n），因此还能继续分解，所以原式=（am +an）+（bm+ bn）=a（m+ n）+b（m+ n）=（m +n）??（a +b）.这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +（p+q）x+pq=（x+q）（x+p）进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成（x+q）（x+p）的形式.（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-（y-x），（x-y）2=（y-x）2，（x-y）3=-（y-x）3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.（八）分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本.5.通分的关键：确定几个的公分母.通常取各分母的所有因式的次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
沪科版八年级上册数学复习提纲
沪科版八年级上册数学复习提纲沪科版八班级上册数学复习提纲全等三角形一.学问框架二.学问概念1.全等三角形：两个三角形的样子、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动(或称变换)使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
3.三角形全等的判定公理及推论有：(1)“边角边”简称“SAS”(2)“角边角”简称“ASA”(3)“边边边”简称“SSS”(4)“角角边”简称“AAS”(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。
4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。
5.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系)，②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(挨次和对应关系从已知推导出要证明的问题).在学习三角形的全等时，老师应当从实际生活中的图形动身，引出全等图形进而引出全等三角形。
通过直观的理解和比较发觉全等三角形的奥妙之处。
在经受三角形的角平分线、中线等探究中激发同学的集合思维，启发他们的灵感，使同学体会到集合的真正魅力。
轴对称一.学问框架二.学问概念1.对称轴：假如一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。
2.性质：(1)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(2)角平分线上的点到角两边距离相等。
(3)线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
(4)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
(5)轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合，简称为“三线合一”。
沪科版数学八年级上册期末总复习【新教材】
5、在平面直角坐标系中，点M（1，2）可由点N（1，0）怎样 平移得到，写出简要过程。
6、三角形ABC中BC边上的中点为M，在把三角 形ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位后， 得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐标 为（-1，0），则M点坐标为 。
知识要点: 1.函数,变量,常量; 2.函数的三种表示法; 3.正比例函数:定义,图象,性质; 4.一次函数:定义,图象,性质; 5.一次函数的应用. 6.一次函数与一元一次方程,一元一次不 等式,二元一次方程组的关系.
沪科版八年级上册数学 期末知识点复习
y
3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3
x
-1
-2 -3
在平面内有公共原点而且互相垂直的两条 数轴，构成了平面直角坐标系.
y
A点的坐标 记作A( 2，1 )
-3 -2
2 1 -1 O -1 -2 1
A
2 3
x
规定：横坐标在前, 纵坐标在后 B( 3，-2 )？
1 2
已知点A（10，5），B（50，5），则直线AB的位置特点是（A ） A.与x轴平行 B.与y轴平行 C.与x轴相交，但不垂直 D.与y轴相交,但不垂直
六：象限角平分线上的点
1.已知点A（2，y ),点B（x ，5 ）,点A、B在一、三 5 2； 象限的角平分线上, 则x =____,y =____ 2.已知点A（2a+1，2+a）在第二象限的平分线上，试 求A的坐标。 3.已知点M（a+1，3a-5）在两坐标轴夹角的平分线上， 试求M的坐标。 (1). 若点P在第一、三象限角的平分线上,则P( m, m ). (2). 若点P在第二、四象限角的平分线上则P( m, -m ).
八年级上册数学复习知识提纲沪科版
八年级上册数学复习知识提纲沪科版数学复习的最后阶段，对于知识点的总结梳理，应重视教材，立足基础，下面我给大家分享一些八年级上册数学复习提纲沪科版，希望能够帮助大家，欢迎阅读!八年级上册数学复习知识提纲沪科版(一)运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式平方差公式(1)式子：a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)×(a+b).学好数学的关键就在于要适时适量地进行总结归类，接下来我就为大家整理了这篇人教版八年级数学全等三角形知识点讲解，希望可以对大家有所帮助。
沪科版八年级数学上册期末复习讲义(含答案)
期末复习(一) 平面直角坐标系01 知识结构图02 重难点突破重难点1 平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】 (长沙中考)若点P(2m ＋1，3m －12)在第四象限，则m 的取值范围是(C )A ．m ＜13B ．m ＞－12C ．－12<m<13D ．－12≤m<13根据点所在的位置和平面直角坐标系内点的坐标特征，构建方程或不等式(组)求解即可．1．(淮北月考)若点P(a ＋1，1－2a)在x 轴上，则a 的取值为(B ) A ．a ＝－1 B ．a ＝12C ．a ＝2D ．a ＝－1或a ＝122．(济宁中考)已知点P(x ，y)位于第四象限，并且x ≤y ＋4(x ，y 为整数)，写出一个符合上述条件的点P 的坐标(1，－2)(答案不唯一)．3．(阜阳颍东区期末)已知点P(2，－6)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，则a－b＝4．重难点2建立坐标系表示点的坐标【例2】(蚌埠段考)象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种．由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动．如图是一方的棋盘．如果“帅”坐标是(0，1)，“卒”坐标是(2，2)，那么“马”坐标是(C)A．(－2，1)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，2)根据点的坐标建立坐标系的方法：若(a，b)是某坐标系中的点，当a＞0(a＜0)时，向左(向右)|a|个单位长度的铅直线即为y轴；当b＞0(b＜0)时，向下(向上)|b|个单位长度的水平线即为x轴．4．如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示点A，(0，4)表示点B，那么点C的位置可表示为(C) A．(0，3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，0)第4题图第5题图5．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x 轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是(B)A．景仁宫(4，2) B．养心殿(－2，3)C．保和殿(1，0) D．武英殿(－3.5，－4)重难点3图形在坐标系中的平移【例3】(大连中考)在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′.已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为(B)A．(4，2) B．(5，2) C．(6，2) D．(5，3)图形中任意一点的平移方向和距离都与图形的平移保持一致，所以我们可以通过图形上某一点的坐标变化确定出图形的平移方向和距离，从而确定其他点平移后对应点的坐标．6．(亳州高炉学校期末)点P(x，y)平移后得到点P′(x＋1，y－2)，其平移的方式是(D)A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7．(兰州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则点B1的坐标为(B)A．(1，2)B．(2，1)C．(1，4)D．(4，1)重难点4坐标系中的对称问题【例4】(广西中考)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于x轴对称，那么点B的对应点B′的坐标为(C)A．(－1，4) B．(1，－4)C．(－1，－4) D．(－4，1)点M(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．8．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是(－2，3)，先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是(B) A．(－3，2) B．(2，－3)C．(1，－2) D．(－1，2)第8题图第9题图9．如图，在平面直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在点C处，那么点C的横坐标是－2.重难点5坐标系中的规律探索问题【例5】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，设坐标轴的单位长度为1 cm，整点P从原点O出发向右或向上运动，速度为1 cm/s，则点P运动1 s后可以到达(0，1)，(1，0)两个整点；它运动2 s后可以到达(2，0)，(1，1)，(0，2)三个整点；运动3 s后它可以到达(3，0)，(2，1)，(1，2)，(0，3)四个整点；….问：(1)当整点P从点O出发4 s后可以到达的整点是(4，0)，(3，1)，(2，2)，(1，3)，(0，4)；(2)当整点P从点O出发8 s后，在平面直角坐标系中描出它所能到达的整点，并顺次连接这些整点；(3)当整点P从点O出发14s后可到达整点(9，5)的位置．【思路点拨】由动点在第一象限运动所到达的整点坐标可知，这些整点的横、纵坐标的和等于运动的秒数，所以由此规律可以推得出发后4 s可以到达的整点及要到达整点(9，5)需要的时间．通过观察、猜想、验证找到整点的横、纵坐标与运动的秒数之间的关系，然后由规律写出答案．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中规律排列，如：(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)，…，根据这个规律，第17个点的坐标为(6，－1)．11．(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B 是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝6n－3(用含n的代数式表示)．03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标为(a，b)，则ab的值为(B)A．1 B．2 C．－1 D．－2第1题图 第2题图2．(安徽模拟)如图，小手盖住的点的坐标可能是(B) A ．(3，－4) B ．(－4，－3) C ．(－4，3) D ．(4，2)3．如图，在平面直角坐标系中，点P(－3，5)关于y 轴的对称点的坐标是(B )A ．(－3，－5)B ．(3，5)C ．(3，－5)D ．(5，－3)4．(六安校级月考)在平面直角坐标系中，点A(－2，－2m ＋3)在第三象限，则m 的取值范围是(C ) A ．m<－32B ．m>－32C ．m>32D ．m<325．已知点M 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则M 点的坐标为(D ) A ．(1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(2，1)或(2，－1)或(－2，1)或(－2，－1)6．(蚌埠四校联考)对任意实数x ，点(x ，x 2－2x)一定不在(C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．如图是做课间操时，小明，小刚和小红三人的相对位置，如果用(4，5)表示小明的位置，(2，4)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为(D )A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(1，2)8．已知正方形ABCD 的边长为3，点A 在原点，点B 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴负半轴上，则点C 的坐标是(C )A ．(3，3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(－3，－3)9．(安徽模拟)甲、乙两位同学用围棋子做游戏，如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是(说明：棋子的位置用数对表示，如A 点在(6，3))(C )A ．黑(3，7)；白(5，3)B ．黑(4，7)；白(6，2)C ．黑(2，7)；白(5，3)D ．黑(3，7)；白(2，6)10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(0，－3)，C(－2，1)．若将B 点向右平移2个单位长度后再向上平移4个单位长度到达B 1点．若设△ABC 的面积为S 1，△AB 1C 的面积为S 2，则S 1，S 2的大小关系为(B )A ．S 1≥S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1<S 2D ．S 1>S 2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．已知两点A(4，2)，B(4，－3)，则经过A ，B 两点的直线与y 轴平行．12．(蚌埠期末)在平面直角坐标系中，点M(－3，－4)先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时点M 的坐标为(0，－6)．13．已知点A(a ，3)，过点A 向x 轴、y 轴作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的图形的面积是15，则a 的值是±5．14．如图，已知A 1(1，0)，A 2(1，－1)，A 3(－1，－1)，A 4(－1，1)，A 5(2，1)，…，则点A 2 019的坐标是(－505，－505)．三、解答题(本大题共5小题，满分40分)15．(6分)(陕西中考)已知点P(a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围． 解：依题意，得点P 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，2a －1<0.解得－1＜a ＜12.∴a 的取值范围是－1＜a ＜12.16．(6分)如图，面积为12的△ABC 向x 轴正方向平移至△DEF 的位置，相应坐标如图所示(a ，b 为常数)． (1)求点E ，D 的坐标(用含a ，b 的式子表示)； (2)求四边形ACED 的面积．解：(1)E(－a ，0)，D(－2a ，b)．(2)由题意，得OE ＝－2a －(－a)＝－a ，AD ＝－2a ，OA ＝b. ∵S △ABC ＝12＝12(－a)b ，∴－ab ＝24.∴S 四边形ACED ＝－2ab －(－12ab)＝－32ab ＝36.17．(9分)各写出3个满足下列条件的点，并在平面直角坐标系中描出它们：(1)横坐标与纵坐标相等；(2)横坐标与纵坐标互为相反数； (3)横坐标与纵坐标的和是6.观察各小题中3个点的位置，指出它们有什么特点．解：(1)答案不唯一，如(1，1)，(6，6)，(－2，－2)，它们在第一、三象限的角平分线上．图略． (2)答案不唯一，如(1，－1)，(－2，2)，(3，－3)，它们在第二、四象限的角平分线上．图略． (3)答案不唯一，如(2，4)，(3，3)，(－2，8)，它们在直线x ＋y ＝6上．图略．18．(9分)(淮北杜集区月考)△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，已知A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2)．(1)作△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1向右平移4个单位长度，作出平移后的△A 2B 2C 2；(3)在x 轴上求作一点P ，使PB 1＋PC 2的值最小，并写出点P 的坐标(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示． (2)如图所示．(3)如图所示，作出B 1关于x 轴的对称点B′，连接B′C 2，交x 轴于点P ，此时PB 1＋PC 2的值最小，可得点P 的坐标为(2，0)．19．(10分)在平面直角坐标系中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“识别距离”，给出如下定义： 若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|x 1－x 2|； 若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1(x 1，y 1)与点P 2(x 2，y 2)的“识别距离”为|y 1－y 2|. (1)已知点A(－1，0)，点B 为y 轴上的动点．①若点A 与点B 的“识别距离”为2，写出满足条件的B 点的坐标(0，2)或(0，－2)； ②直接写出点A 与点B 的“识别距离”的最小值为1；(2)已知C(m ，34m ＋3)，D(0，1)，求点C 与点D 的“识别距离”的最小值及相应的C 点坐标．解：依题意，得|m －0|＝|34m ＋3－1|.解得m ＝8或－87.当m ＝8时，“识别距离”为8； 当m ＝－87时，“识别距离”为87.所以当m ＝－87时，“识别距离”最小，为87，此时C(－87，157)．期末复习(二) 一次函数01 知识结构图02 重难点突破重难点1 自变量的取值范围【例1】 已知函数y ＝2x ＋1x －2，则自变量x 的取值范围是(D ) A ．x ≠2 B ．x ＞2C ．x ≥－12D ．x ≥－12且x ≠2几种常见类型函数自变量的取值范围如下：1．(西昌中考)下列函数中自变量x 的取值范围是x ＞1的是(A )A ．y ＝1x －1 B ．y ＝x －1C ．y ＝1x －1D ．y ＝11－x2．(泰州中考)要使y＝3－xx－1有意义，则x应该满足(C)A．0≤x≤3 B．0＜x≤3且x≠1C．1＜x≤3 D．0≤x≤3且x≠1重难点2函数图象【例2】(合肥月考)合肥万达主题公园的“极速升降”项目惊险而刺激，乘坐着先匀速“极速上升”到达顶端，立即又以相同的速度下降到达地面．下列最能反映乘坐时距离地面的高度y(m)与运行时间x(s)之间函数关系的图象是(C)A B C D判断函数图象从以下几方面考虑：(1)看图象的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图象呈上升趋势，反之，呈下降趋势；(2)看图象的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图象是直线，函数随着自变量的变化不均匀变化的，图象是曲线；(3)表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值时，图象与横轴平行．3．小兵从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小兵的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系．下列说法错误的是(D)A．他离家8 km共用了30 minB．他等公交车时间为6 minC．他步行的速度是100m/minD．公交车的速度是350 m/min4．(广元中考)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元/度计算(未超过部分仍按每度电0.60元/度计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(C)A B C D重难点3 一次函数的图象和性质【例3】 (蚌埠期末)直线y ＝－kx ＋k －3与直线y ＝kx 在同一坐标系中的大致图象可能是图中的(B )A B C D一次函数的图象和性质，列表如下：k ＞0k ＜0一二三一三一三四一二四二四二三四5．(呼和浩特中考)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．(怀化中考)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B )A .12B .14C ．4D ．8 重难点4 一次函数与方程(组)、不等式的关系【例4】 如图，若直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P(a ，2)，则关于x 的不等式x ＋1≥mx ＋n 的解集为x ≥1．一次函数与不等式关系密切，求解的关键是从“形”的角度观察对应的自变量的取值范围．7．(安徽模拟)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(－2，－1)和B(－3，0)两点，则不等式组12x ＜kx ＋b ＜0的解集为－3＜x ＜－2.第7题图第8题图8．(北京中考)如图，直线y1＝kx＋b过点A(0，2)，且与直线y2＝mx交于点P(1，m)，则不等式组mx＞kx＋b ＞mx－2的解集是1＜x＜2.重难点5一次函数的应用【例5】(荆门中考)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16 460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？【思路点拨】(1)A城运往C乡的农机为x台，则可得A城运往D乡的农机为(30－x)台，B城运往C乡的农机为(34－x)台，B城运往D乡的农机为[40－(34－x)]台，从而可得出W与x的函数关系；(2)根据题意，可知w≥16 460，从而求得x的取值范围，且x为整数，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；(3)根据题意，得W ＝(140－a)x＋12 540，所以当a＝200时，可得w与x的函数关系式，然后由函数的增减性可算出w的最小值，从而得到结论．【解答】(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝140x＋12 540(0＜x≤30)．(2)根据题意，得140x＋12 540≥16 460，∴x≥28.∵x≤30，∴28≤x≤30.∴有3种不同的调运方案．第一种调运方案：从A城调往C乡28台，调往D乡2台，从B城调往C乡6台，调往D乡34台；第二种调运方案：从A城调往C乡29台，调往D乡1台，从B城调往C乡5台，调往D乡35台；第三种调运方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．(3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x＋12 540，∴当a＝200时，W最小＝－60x＋12 540，此时x＝30，W最小＝10 740.此时的方案：从A城调往C乡30台，调往D乡0台，从B城调往C乡4台，调往D乡36台．解最优方案问题的步骤：(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数模型；(3)利用待定系数法求得一次函数表达式；(4)确定自变量的取值范围；(5)根据一次函数增减性确定自变量取值；(6)作答．9．(淮北月考)移动公司推出两种话费套餐，套餐一：每月收取月租34元后，送50分钟的通话时间，超过部分每分钟收费0.20元，并约定每月最低消费40元，低于40元一律按40元收取；套餐二：每月没有最低消费，但每分钟均收取0.40元的通话费用．若分别用y1，y2(单位：元)表示套餐一、套餐二的通话费用，用x(单位：分钟)表示每个月的通话时间．(1)分别求y 1，y 2关于x 的函数表达式；(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并直接写出两个函数图象的交点坐标； (3)①结合图象，如何选择话费套餐，才可使每月支付的通话费用较少？②若小亮的爸爸这个月的通话费用是64元，求这两种套餐的通话时间相差多少分钟？解：(1)y 1＝⎩⎨⎧40（0≤x ≤80），0.2x ＋24（x ＞80），y 2＝0.4x(x ≥0)．(2)过点A(0，40)和点(80，40)画线段AB ，且过点B(80，40)和点P(120，48)画射线BP ，得到折线ABP 就是函数y 1的图象；过点O(0，0)和点P(120，48)画线段OP 就得y 2的图象．这两个函数图象的交点坐标为(120，48)．(3)①由图象可知，当x ＜120时，y 2＜y 1，选择套餐二每月支付的通话费用较少； 当x ＝120时，y 2＝y 1，选择两种套餐每月支付的通话费用一样多； 当x ＞120时，y 2＞y 1，选择套餐一每月支付的通话费用较少；②由于64＞40，当y 1＝64时，0.2x ＋24＝64，解得x ＝200；当y 2＝64时，0.4x ＝64，解得x ＝160.两种套餐的通话时间相差200－160＝40(分钟)．(套餐一比套餐二通话时间多40分钟)03 复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．(淮北濉溪县期末)函数y ＝2x ＋1中自变量x 的取值范围是(A ) A ．x ≥－12B ．x ≥0C ．x ≥12D ．x ＞－122．若正比例函数的图象经过点(－1，2)，则这个图象必经过点(D ) A ．(1，2) B ．(－1，－2) C ．(2，－1) D ．(1，－2)3．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是(D ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．24．一次函数y ＝(k －2)x ＋3的图象如图所示，则k 的取值范围是(B )A ．k ＞2B ．k ＜2C ．k ＞3D ．k ＜35．(温州中考)已知点(－1，y 1)，(4，y 2)在一次函数y ＝3x －2的图象上，则y 1，y 2，0的大小关系是(B ) A ．0＜y 1＜y 2 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＜y 2＜0 D ．y 2＜0＜y 16．(淮北月考)按照下列运算程序，当输入x ＝－2时，输出的y 的值是(A )输入x ―→y ＝2x －3（x ≤－1）y ＝x 2＋x ＋1（x ＞－1）―→输出yA ．－7B ．－5C ．1D ．3 7．小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是(D )A .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝12x －1B .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－x C .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －8y ＝12x －3D .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2y ＝－12x －1第7题图 第8题图8．(宜宾中考)如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是(C ) A ．乙前4秒行驶的路程为48米B ．在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C ．两车到第3秒时行驶的路程相等D ．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度9．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 从起点B 出发，沿BC ，CD 逆时针方向向终点D 匀速运动．设点P 所走过路程为x ，则线段AP ，AD 与长方形的边所围成的图形面积为y ，则下列图象中能大致反映y 与x 函数关系的是(A )10．(枣庄中考)如图，直线y ＝23x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，当PC ＋PD 值最小时，点P 的坐标为(C )A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－32，0)D ．(－52，0)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．(眉山中考)若函数y ＝(m －1)x |m|是正比例函数，则该函数的图象经过第二、四象限．12．一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y 随x 的增大而减小．这个函数表达式为y ＝－x ＋3(答案不唯一)(写出一个即可)．13. (淮北月考)某图书馆规定，图书借阅费用标准是：借阅图书3天内(含3天)2元，借阅图书超过3天，超过的部分每天收费1.1元．小红同学在该图书馆借阅一种图书阅读了x 天(x>3)，则她借阅图书的费用y(元)与借阅时间x(天)之间的函数表达式是y ＝1.1x －1.3(x>3)．14．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米； ②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米．其中正确的结论是②③.(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共4小题，满分40分)15．(8分)已知y 与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－6.(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若点M(m ，4)在这个函数的图象上，求m 的值． 解：(1)根据题意，设y ＝k(x ＋2)． 把x ＝1，y ＝－6代入，得 －6＝k(1＋2)．解得k ＝－2.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2(x ＋2)， 即y ＝－2x －4.(2)把点M(m ，4)代入y ＝－2x －4，得4＝－2m －4.解得m ＝－4.16．(10分)如图，直线AB 与x 轴交于点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，－2)． (1)求直线AB 的表达式；(2)若直线AB 上一点C 在第一象限且点C 的坐标为(2，2)，求△BOC 的面积．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b(k ≠0)． 将A(1，0)，B(0，－2)代入表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－2. ∴直线AB 的表达式为y ＝2x －2. (2)S △BOC ＝12×2×2＝2.17．(10分)设关于x 的一次函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2，则称函数y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2)(其中m ＋n ＝1)为此两个函数的生成函数．(1)当x ＝1时，求函数y ＝x ＋1与y ＝2x 的生成函数的值；(2)若函数y ＝a 1x ＋b 1与y ＝a 2x ＋b 2的图象的交点为P ，判断点P 是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．解：(1)当x ＝1时，y ＝m(x ＋1)＋n(2x)＝m(1＋1)＋n(2×1)＝2m ＋2n ＝2(m ＋n)． ∵m ＋n ＝1，∴y ＝2.(2)点P 在此两个函数的生成函数的图象上． 理由：设点P 的坐标为(a ，b)， ∵a 1×a ＋b 1＝b ，a 2×a ＋b 2＝b ， ∴当x ＝a 时，y ＝m(a 1x ＋b 1)＋n(a 2x ＋b 2) ＝m(a 1×a ＋b 1)＋n(a 2×a ＋b 2) ＝mb ＋nb ＝b(m ＋n)＝b.∴点P 在此两个函数的生成函数的图象上．18．(12分)(绥化中考)周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km )与小芳离家时间x(h )的函数图象．(1)小芳骑车的速度为20km /h ，H 点坐标为(32，20)；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？解：(2)设直线AB 的表达式为y 1＝k 1x ＋b 1， 将点A(0，30)，B(0.5，20)代入y 1＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，0.5k 1＋b 1＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－20，b 1＝30.y 1＝－20x ＋30. ∵AB ∥CD ，∴设直线CD 的表达式为y 2＝－20x ＋b 2. 将点C(1，20)代入表达式，得b 2＝40. ∴y 2＝－20x ＋40.设直线EF 的表达式为y 3＝k 3x ＋b 3. 将点E(43，30)，H(32，20)代入表达式，得⎩⎨⎧43k 3＋b 3＝30，32k 3＋b 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－60，k 3＝110.∴y 3＝－60x ＋110.联立⎩⎨⎧y ＝－60x ＋110，y ＝－20x ＋40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75，y ＝5.∴点D 坐标为(1.75，5)．30－5＝25(km )．∴小芳出发1.75 h 后被妈妈追上，此时距家25 km .(3)将y ＝0代入直线CD 的表达式，得 －20x ＋40＝0.解得x ＝2.将y ＝0代入直线EF 的表达式，得 －60x ＋110＝0.解得x ＝116.2－116＝16(h )＝10(分钟)．答：小芳比预计时间早10分钟到达乙地．期末复习(三)三角形中的边角关系、命题与证明01知识结构图02重难点突破重难点1三角形的三边关系【例1】(莆田中考)已知三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是(B) A．13 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”是判断三条线段能否构成三角形的重要依据．在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加，然后判断其和是否大于第三边．只需选取较小的两边相加，判断其和是否大于最大边即可．1．(湛江中考)在下列长度的四根木棒中，能与长度为3 cm，7 cm的两根木棒钉成一个三角形的是(C)A．3 cm B．4 cmC．9 cm D．10 cm2．(合肥瑶海区期中)如图，为估计荔香公园小池塘岸边A，B两点之间的距离，小明在小池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15 m，OB＝10 m，则A，B间的距离可能是(B)A．5 mB．15 mC．25 mD．30 m3．(濉溪期中)一等腰三角形，一边长为9 cm，另一边长为5 cm，则等腰三角形的周长是19_cm或23_cm．重难点2命题与逆命题【例2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是有两个角互余的三角形是直角三角形．对于一些简单命题的逆命题可直接交换此命题的条件和结论，而遇到一些高度概括的命题时，则需改写后再交换．特别注意：在交换一个命题的条件和结论时，语言表达要准确，防止用词不当而造成错误．例如，本题的逆命题就不能写成“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．4．(泉州中考)下列四个命题中，是假命题的是(B)A．三角形三边垂直平分线的交点有可能在一边上B．过三点一定可以画三条直线C．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分D．三角形的内角和等于180°5．(南京中考)请写出一个原命题是真命题，逆命题是假命题的命题：对顶角相等(答案不唯一)．6．(福建中考)请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例：α＝50°，β＝60°，α＋β>90°(答案不唯一)．重难点3三角形的内角和定理及推论【例3】如图，已知在△ABC中，D点在AC上，E点在BC的延长线上．求证：∠ADB＞∠CDE.【思路点拨】因为∠ADB和∠CDE并不在一个三角形上，所以没有办法直接证明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，∠DCB正好是∠ADB和∠CDE联系的桥梁．【解答】∵∠DCB是△DCE的一个外角，(外角定义)∴∠DCB＞∠CDE.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∵∠ADB是△BCD的一个外角，(外角定义)∴∠ADB＞∠DCB.(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)∴∠ADB＞∠CDE.(不等式的性质)证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝．7．如图，已知AB∥CD，则(A)A．∠1＝∠2＋∠3B．∠1＝2∠2＋∠3C．∠1＝2∠2－∠3D．∠1＝180°－∠2－∠38．(安庆调研)如图甲，四边形纸片ABCD中，∠B＝120°，∠D＝50°.若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图乙所示，则∠C等于(C)A．80°B．85°C．95°D．110°重难点4推理与证明【例4】如图1，已知直线l1∥l2，直线l3分别和直线l1，l2交于点C，D，在C，D之间有一点P，如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化？若点P在C，D两点的外侧运动时(P 点与点C，D不重合)，试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间又有怎样的关系？【思路点拨】若P点在C，D之间运动时，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC＋∠PBD；若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则可以分为图2和图3两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.【解答】若P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由：如图1，过点P作PE∥l1，则∠APE ＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD，即∠APB＝∠PAC＋∠PBD.若点P在C，D两点的外侧运动时(P点与点C，D不重合)，则有两种情形：①如图2，结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC.又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∴∠APB＝∠BPE－∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.②如图3，结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD.又∵l1∥l2，∴PE∥l1.∴∠APE＝∠PAC.∴∠APB＝∠APE－∠BPE，即∠APB＝∠PAC－∠PBD.解答动态问题时，要从动中求静，运用分类讨论的数学思想方法，在运动变化过程中探索问题的不变性，既要考虑问题的一般情形，也要考虑问题的特殊情形．9．如图，A，B，C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D.求证：BD∥CE.证明：∵∠1＝∠2，∴AD∥BE.∴∠D＝∠DBE.∵∠3＝∠D，∴∠3＝∠DBE.∴BD∥CE.03复习自测一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列语句不是命题的是(C)A．三角形的两边之和大于第三边B．射线不是几何图形C．同位角相等吗D．两个锐角的和不可能大于90°2．(茂名中考)若某三角形的两边长分别为3和4，则下列长度的线段能作为其第三边的是(B)A．1 B．5 C．7 D．93．(十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(B)A．40°B．50°C．60°D．70°第3题图第4题图4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是(B)A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6 D．x＞65．直角三角形两锐角平分线相交所夹的钝角为(B)A．125°B．135°C．145°D．150°6．已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C ．80°D ．90°7．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，则这个三角形是(B ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形8．(合肥瑶海区期末)一副三角板有两个直角三角形如图叠放在一起，则∠α的度数是(A)A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°9．(呼伦贝尔中考)锐角三角形的三个内角是∠A ，∠B ，∠C ，如果α＝∠A ＋∠B ，β＝∠B ＋∠C ，γ＝∠C ＋∠A ，那么α，β，γ这三个角中(A )A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EG ⊥AD ，且分别交AB ，AD ，AC 及BC 的延长线于点E ，H ，F ，G ，则下列四个式子中正确的是(C )A ．∠1＝12(∠2－∠3)B ．∠1＝2(∠2－∠3)C ．∠G ＝12(∠3－∠2)D ．∠G ＝12∠1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．将命题“两点确定一条直线”改写成“如果……那么……”的形式：如果过两个已知点作直线，那么能且只能作一条直线．12．如图，点B ，C ，E ，F 在一直线上，AB ∥DC ，DE ∥GF ，∠B ＝∠F ＝72°，则∠D ＝36°．第12题图 第13题图13．(宿迁中考)如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为32.14．(合肥四十二中期中)如图，已知△ABC 的面积是60.若CD ，BE 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中线，则四边形ADOE 的面积为20．。
上海8年级数学第一学期期末复习大纲
八年级数学第一学期期末复习大纲—— —— 论15 大基本问题与10大背诵内容.（一）二次根式的性质有哪些？b（二）如何进行二次根式的化简？答：（1）被开方数是整式或单项式，要分解因数.（2）被开方数是多项式，要分解因式.（3）被开方数是真分数、假分数或分式，要分母有理化.（4）被开方数是带分数，要先化成假分数，再分母有理化. （5）被开方数是小数，要先化成分数，再分母有理化.（三）如何进行二次根式的四则混合运算？答：（1）加减法：先把每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.（2）二次根式的乘除法：两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.（3）分母有理化：分子、分母同时乘以分母的有理化因式.注意：（1（一项是本身）.b .nb （两项变符号）（20<），不等号方向要改变.（四）一元二次方程的解法有哪些？答：（1）开平方法：左边是平方，右边是常数.（较常用）（2）因式分解法：把方程化成一般式，左边能因式分解.（最常用）（3）配方法：把方程化成一般式，如果二次项系数不等于1，方程的每一项同时除以二次项系数，把二次项系数化成1，再把常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后用开平方法求解.（基本不用）注意：要结合原方程的结构特点，灵活选用这四种方法.（五）如何应用一元二次方程的根的判别式判断根的情况？注意：（1）“”读作等价于，等价于前后的部分可以互为因果关系.（2）注意前提条件：二次项系数0.a ≠（六）如何进行二次三项式2ax bx c ++的因式分解？答：先把二次三项式2ax bx c ++写成方程20ax bx c ++=，用求根公式求出方程的两个根12,,x x 再应用公式212()()ax bx c a x x x x ++=--分解因式. 注意：（1）不要漏写二次项系数.a（2）字母是y 时，要计算12,,y y 分解结果也写成字母y 的代数式；有时还要把xy看作一个整体计算12(),(),xy xy 分解结果也写成xy 的代数式.（3）如果240,b ac -<那么2ax bx c ++在实数范围内不能因式分解. （七）一元二次方程的应用题有哪些类型？答：（1）长方形面积问题：一般设宽为x ，表示出长和面积，再根据题意，找出等量关系，列方程求解.（2）增长率问题：设增长率为x ，如果增前量是,a 增长次数是n ，那么增后量是(1).n a x +设减少率为x ，如果减前量是,a 减少次数是n ，那么减后量是(1).n a x - 注意：线段的长度大于0，两点的距离大于等于0，减少率不能超过100%，由于解要满足这些实际情况，所以要把不符合题意的解舍去.（八）如何求函数的定义域？答：（1）函数解析式的右边是整式或奇次根式，函数的定义域是一切实数.（2）函数解析式的右边是分式，函数的定义域是分母不为0的一切实数.（3）函数解析式的右边是偶次根式，函数的定义域是使被开方数大于等于0的一切实数.（4）函数解析式的右边是零次幂，函数的定义域是使底数不等于0的一切实数.（5）当函数的定义域要同时满足多个条件时，函数的定义域是解集的公共部分.（6）当遇到实际问题时，函数的定义域要使实际问题有意义.（九）正比例与反比例的定义分别是什么？它们有什么联系？联系：两个变量成正(反)比例，函数的定义域是不确定的，但是都不能取0.（十）正比例函数，反比例函数的定义，图像，图像的画法，性质分别是什么？注意：已知正(反)比例函数的一组非零对应值，就能求出函数的解析式.注意：函数的表示方法有3种：解析法，列表法，图像法.解答关于函数的图像的问题时，先把图像还原成生活中的实际情况，再利用基本数量关系求解. 画实际问题的函数图像，所画图像一般都是标准函数图像的一部分.（十一）几何证明题有哪几种类型？答：（1）证明线段相等：①线段的中点的定义；②三角形的中线的定义；③全等三角形的对应边相等；④等角对等边；⑤线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；⑥角的平分线上的点到角的两边的距离相等；⑦同圆的半径相等；⑧正方形的四条边长相等.（2）证明角相等：①角的平分线的定义；②同(等)角的余(补)角相等；③对顶角相等；④两直线平行，同位角相等；⑤两直线平行，内错角相等；⑥三角形的角平分线的定义；⑦全等三角形的对应角相等；⑧等边对等角；⑨等边三角形的性质.（3）证明垂直：①垂直的定义；②等腰三角形的三线合一；③勾股定理的逆定理. 注意：（1）几何证明最常用的方法是：证明三角形全等，有时要证明两次全等，有时要添加辅助线，构造全等三角形.（2）几何证明的一般思路是：先分析由已知条件能推出哪些中间结果，再分析求证结论需要哪些中间结果，找出“已知条件—中间结果—求证结论”之间的因果锁链，这种思路简称：“条件结论两头凑”.（十二）几何证明题的常用辅助线有哪些？答：（1）平行线法：已知两直线平行，可以添加与这两条直线都平行的直线，得到相等的角.（2）中点对称法：遇见线段的中点，一般通过延长线段，构造关于中点中心对称的两个全等三角形，得到相等的线段和角.（3）截长补短法：遇见线段的和差关系，一般在较长线段上截取较段线段，构造全等三角形，得到相等的线段和角. 或者延长较短线段等于较长线段，构造全等三角形，得到相等的线段和角.（4）运动法：遇见图形中存在相等的线段，且关键元素分离很远，这时可以通过图形的运动（平移，旋转，翻折）把一个图形转移到另一个位置，使得相等的线段重合，把关键元素转移到同一个三角形中.注意：关键元素是指：已知条件中的边和角，求证结论中的边和角.（5）遇见点在线段的垂直平分线上，一般联结这个点和线段的两个端点，得到的两条连线的长度相等.（6）遇见点在角的平分线上，一般过这个点作角的两边的垂线段，得到的两条垂线段的长度相等.（7）遇见直角三角形斜边上的中点，一般联结中点和直角顶点，得到的三条线段的长度相等.（8）内割法与外补法：遇见四边形问题，一般通过添加辅助线把四边形切割成三角形，或者外补成长方形来解决.（十三）如何写出一个命题的逆命题？常用的互逆定理有哪些？答：先把原命题写成“如果…，那么…”的形式，再把题设和结论互换，就得到它的逆命题.为了符合逻辑关系，写逆命题时，要增删一些语句. 常用互逆定理有：（十四）常用的轨迹有哪些？如何用交轨法作图？交轨法作图：当作图要同时满足两个条件时，先作出满足第一个条件的点的轨迹，再作出满足第二个条件的点的轨迹，两条轨迹的交点就是所求作的图形.注意：在进行复杂的几何作图时，一般先画大致图形，根据大致图形确定作图顺序，再作出求作图形，注意保留作图痕迹，写好结论.（十五）直角三角形有哪一种特殊的判定方法？直角三角形的性质有哪些？注意：（1）先画图，确定直角边和斜边后，再应用勾股定理.（2）在三个正整数中，如果较小的两个数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数组. 常用的勾股数组有：①3、4、5；②5、12、13；③6、8、10；④7、24、25；⑤8、15、17；⑥9、12、15；⑦9、40、41；⑧10、24、26.。
沪科版数学八年级上册总复习
B（5，2）
x
C（-1，-4）
A（5，-4）
例3 已知点A（6，2），B（2，－4）。
求△AOB的面积（O为坐标原点）
y
4 D 2 O -4 -2 -2
A
2
4
6
x
C -4
B
y
A （-2 ， 8 ） （-11 ， 6 ） B
C （-14 ， 0 ）
E
D
0 DLeabharlann X．4.如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 （– 2，8），（– 11，6），（– 14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标 增加2，所得的四边形面积又是多少？
注：判断点的位置关键抓住象限内点的
坐标的符号特征.
四：坐标轴上点的坐标符号
y
3
第二象限 2 第一象限
1
-4 -3 -2 -1 -1 O 1 2 3
A(3,0)在第几象限 ?
x
第三象限 -2 第四象限
-3
注：坐标轴上的点不属于任何象限。
四：坐标轴上点的坐标符号
1.点P(m+2,m-1)在x轴上,则点P的坐标是 ( 3, 0 ) .
5、在平面直角坐标系中，点M（1，2）可由点N（1，0）怎样 平移得到，写出简要过程。
6、三角形ABC中BC边上的中点为M，在把三角 形ABC向左平移2个单位，再向上平移3个单位后 ，得到三角形A1B1C1的B1C1边上中点M1此时的坐 标为（-1，0），则M点坐标为 。
知识要点: 1.函数,变量,常量; 2.函数的三种表示法; 3.正比例函数:定义,图象,性质; 4.一次函数:定义,图象,性质; 5.一次函数的应用. 6.一次函数与一元一次方程,一元一次不 等式,二元一次方程组的关系.
沪科版八年级上册数学期末考试试题
沪科版八年级上册数学期末考试试卷一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）1．在平面直角坐标系中，点P （1，1）位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ． 5 cm ，3 cm ，1 cmB ．2 cm ，5 cm ，8 cmC ．1 cm ，3 cm ，4 cmD ．1.5 cm ，2 cm ，2.5 cm3．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，直线OA 是某正比例函数的图象，下列各点在该函数图象上的是( )A ．(－4，16)B ．(3，6)C ．(－1，－1)D ．(4，6)5．如图，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A=30°，AB=AC ，则∠BDE 的度数为（ ）A. 67.5°B. 52.5°C. 45°D. 75°6．已知11P (3,)y -，22P (2,)y 是一次函数2y x b =-的图象上的两个点，则12y y ，的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定7．如图，在△ABC 中，边BC 的垂直平分线l 与AC 相交于点D ，垂足为E ，如果△ABD 的周长为10 cm ，BE =3 cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．9 cmB ．15 cmC ．16 cmD ．18 cm8．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t （分钟），所走的路程为s （米），s 与t 之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）A ．小明中途休息用了20分钟B ．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C ．小明在上述过程中所走的路程为6600米D ．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度9．如图，在△ABC 和△DEC 中，AB DE =，若添加条件后使得△ABC ≌△DEC ，则在下列条件中，不能添加的是A ．BC EC =，B E ∠=∠ B ．A D ∠=∠，AC DC =C ．B E ∠=∠，BCE DCA ∠=∠D ．BC EC =，A D ∠=∠10．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，点E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD ＝2DC ，A ．25B ．30C ．35D ．40二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 函数241x y x +=-的自变量x 取值范围是 ．12．“对顶角相等”这个命题的逆命题是____________________，它是一个________命题(填“真”或“假”)．13．如图，在△ABC 中，∠B=63°，∠C=51°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数__________________°14．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y （米）与挖掘时间x （天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有 ．（在横线上填写正确的序号）三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．在△ABC 中，∠A+∠B=∠C ，∠B=2∠A ，（1）求∠A 、∠B 、∠C 的度数；（2）△ABC 按边分类，属于什么三角形？△ABC 按角分类，属于什么三角形？16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（−3，5），B（−4，3），C（−1，1）.（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；并填写出△A1B1C三个顶点的坐标.A1 （_________，_________）；B1 （_________，________）；C1 （_________，_________）.（2）求△ABC的面积.四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），试求出关于x的不等式kx+3≤6的解集．18．如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：OP是线段AB的垂直平分线．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C．△ABC中，∠A=50°，求∠DBA+∠DCA的度数．20．如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠D=50°，求∠B的度数．21.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE。
沪科版八年级上学期期末总复习课件
例题：匀速直线运动的甲、乙两物体， 它们通过的路程之比为3:2，所用时间之 比是3:4，则它们的速度之比是？
例题2：匀速直线运动的甲、乙两物体， 它们通过的路程之比为3:2，所用速度之 比是4:3，则它们的时间之比是？
第四节 科学探究：速度的变化
“测平均速度”实验中已有的器材是小车，斜面、金属片，
第三章 声的世界
2021/10/14
声音的产生：声音是由物体的 振动 产生的
声音的传播 声音的传播需要 介质 ， 真空 不能传声 声音在不同介质中传播速度 不同 。
响度:声音的 大小 ,与声源振动的幅度有关
乐音的特性 音调:声音的 高低 ,与声源振动的快慢有关
声
音色：反映声音的品质和特色
的ห้องสมุดไป่ตู้
世
在声源（产生）处减弱
1.一只小蜜蜂离采蜜的花源3km，需要飞30min才能 到达，求它的平均速度是多少？
*2.有两艘潜艇一前一后，两者相距L，且两者始终 保持相同的速度V同向前进，后面潜艇的水下声 呐系统发出声呐信号，到达前面的潜艇时立即被 反求射：回 后来 艇。 从已 发知 出声信呐号信到号接在收水信中号传的播时的间速 ？度为V0.
内容：一切物体在没有受外力作用的时候， 总保持匀速直线 运动状态或 静止 状态
原来静止的物体 不受力 保持静止 理解 原来运动的物体 不受力 保持运动
力
惯性：物体保持 运动状态 不变的性质
与
合力的概念
运 动
力的合成
方向相同：F合=F1+F2
同一直线上 合力方向：与二力方向一至
的二力合成 方向相反：F合=F1-F2 合力方向：与大的那个力一至
（2）把凸透镜放在50cm刻度线处，将它正对平行 光，当光屏移动到图所示位置时，屏上1呈0 现出最 小最亮的光斑，则此凸透镜的焦距f＝___cm；
HK沪科版 初二八年级数学 上册第一学期(期末考试复习资料)6.解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧
解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧——明模型，先观察，再猜想，后证明◆类型一全等三角形的基本模型1．如图，AC＝AD，BC＝BD，∠A＝50°，∠B＝90°，则∠C＝________．【方法12】第1题图第2题图第3题图2．如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF＝AC，BC＝7，CD＝2，则AF的长为________．3．如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为()A．2 B．4 C．4.5 D．34．如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F.(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)猜想BD、CE有何特殊位置关系，并说明理由．◆类型二证明线段间的等量关系一、等线段代换5．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l 于D，CE⊥l于E，若BD＞CE，试问：(1)AD与CE的大小关系如何？请说明理由；(2)线段BD，DE，CE之间的数量关系如何？并说明理由．【方法13】二、截长补短法6．★如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜想线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系，并证明．【方法12】三、倍长中线法7．★在△ABC中，AB＝8，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是【方法12】()A．6＜AD＜8B．2＜AD＜14C．1＜AD＜7D．无法确定参考答案与解析1．110° 2.3 3.A4．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD ＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE；(2)解：BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE.5．解：(1)AD与CE的大小关系为AD＝CE.理由如下：∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA ＝∠AEC＝90°，∴∠CAE＋∠ACE＝90°.∵∠BAC＝∠90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAD ＝∠ACE .又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE (AAS )，∴AD ＝CE ；(2)线段BD ，DE ，CE 之间的数量关系为BD ＝DE ＋CE .理由如下：由(1)可知△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE .又∵AE ＝DE ＋AD ，∴BD ＝DE ＋CE .6．解：AE ＝AB ＋DE .证明如下：在AE 上截取AF ＝AB ，并连接CF .∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠CAF .又∵AC ＝AC ，∴△BAC ≌△F AC (SAS )，∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF .∵∠ACE ＝90°，∴∠ACF ＋∠FCE ＝90°，∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∴∠FCE ＝∠DCE .又∵C 为BD 的中点，∴BC ＝DC ，∴DC ＝FC .又∵CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE (SAS )，∴DE ＝FE ，∴AE ＝AF ＋FE ＝AB ＋DE .7．C 解析：如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接CE .在△ABD 和△ECD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ED ，∠ADB ＝∠EDC ，DB ＝DC ，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴CE ＝AB .在△ACE 中，CE －AC ＜AE ＜CE ＋AC ，即2＜2AD ＜14，∴1＜AD ＜7.故选C.。