清华大学本科生高等数学微积分B(2)第七周讲课提纲(第一型曲线积分第1类曲面积分)

a a ax dx dx a 2 ． 0 2 2 ax x
x y z 0, 2 例 2：计算曲线积分 I L x dl ，其中 L ： 2 2 2 2 x y z R .
2 2 2 解：根据对称性， x dl y dl z dl ．所以 L L L
n
引例： （1）空间曲线段的质量
m lim ( xk , yk , zk ) lk ．
0
k 1
z=f(x,y)
（2）准线在 x y 平面，母线平行于 z 轴的柱面面积
n
S lim f ( xk , yk )lk ．
0
k 1
L
1．第一型曲线积分的定义 定义：设 L 是一可求长的曲线，函数 f ( x, y, z ) 在 L 上有定义．对 L 的任意划分 lk ， 任取 ( xk , yk , zk ) lk ，若极限
n
0
lim f ( xk , yk , zk ) lk
k 1
存在，则称函数 f ( x, y, z ) 在 L 上可积，极限值称为 f ( x, y, z ) 在 L 上第一型曲线积分，记作
L f ( x, y, z)dl ．
Note1： L 称为积分路径；封闭曲线上的积分记作 f ( x, y, z)dl ．
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特别说明：本周将前面剩下的内容找齐．含参积分的内容根据课时情况处理，不是教学 基本要求． P189 2,5（曲线积分） ；P199 2,4（1） （2） （3） （曲面积分）
§12.5 第一型曲线积分与第一型曲面积分
一、第一型曲线积分


Problem：如何证明存在性？ 例 1：计算曲线积分 I 解：
a a x cos , 2 2 参数方程：取 L ： [0, π] ，则 y a sin 2
I
L
L
x 2 y 2 dl ，其中 L ： y ax x 2 (a 0) ．
（2）积分路径的可加性，即
L1 L L2
(B)
( A)
L f ( x, y, z)dl
f ( x, y, z )dl f ( x, y , z )dl ．
L1 L2
3．第一型曲线积分的计算
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x x(t ), 定理：设曲线 L ： y y (t ), t [ , ] 是一光滑曲线．若函数 f ( x, y, z ) 在 L 上连续，则 z z (t )
2 I x dl L
1 1 2 ( x 2 y 2 z 2 )dl R 2 dl πR3 ． 3 L 3 L 3
π
a 2 2 cos d a 2 ．
0
直角坐标方程：因为 L ： y ax x 2 ，所以
a
I
L
x 2 y 2 dl
0
a 2x ax 1 2 2 ax x
2
dx
2

a
0
a 2x ax 1 2 2 ax x
L
Note2： f ( x, y, z )dl 存在的充分条件是：曲线 L 可求长，且函数 f ( x, y, z ) 在 L 上连续．
L
2．第一型曲线积分的性质 Note：第一型曲线积分与定积分及重积分有类似的性质． （1）第一型曲线积分与积分路径的方向无关，即
L( A) f ( x, y, z )dl L ( B) f ( x, y, z )dl ．
Note1：公式的构成，积分限的大小；
L ： r r ( ) C1[ , ] ，
L f ( x, y)dl

f ( r ( )cos , r ( )sin ) r ( ) 2 +r ( ) 2 d ．
证明： （只证积分值的大小） 对 L 的任意划分 lk ，与其对应的 [ , ] 的划分为 {tk } ，其中
x 2 y 2 dl
a2 2
0 cos 2 d a
π

2
．
a 2
a
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π 极坐标方程：若取 L ： r a cos , [0, ] ，则 2
I
L
x 2 y 2 dl

π 2 0
(acos cos ) 2 ( a cos sin ) 2 (a cos )2 ( a sin ) 2 d
L f ( x, y, z)dl 存在，且
L f ( x, y, z)dl
Note2：平面曲线的情况．
L ： y y ( x ) C1[ a, b] ， f ( x, y )dl f ( x, y ( x )) 1+y ( x ) 2 dx ；
L a b

f ( x (t ), y (t ), z (t )) x (t ) 2 +y (t ) 2 +z (t ) 2 dt ．
lk
tk
t k 1
x(t )2 +y (t ) 2 +z (t ) 2 dt x ( k ) 2 +y ( k ) 2 +z ( k )2 tk ．
取 ( xk , yk , zk ) ( x( k ), y ( k ), z ( k )) lk ，则
n
L
n
f ( x, y , z )dl lim f ( xk , yk , zk ) lk
0
k 1
lim f ( x( k ), y ( k ), z ( k )) x( k )2 +y ( k ) 2 +z ( k ) 2 tk
0
k 1
f ( x(t ), y (t ), z (t )) x(t )2 +y (t ) 2 +z (t ) 2 dt ．