第6章刚体的平面运动习题解答080814.
合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
刚体平面运动习题
第8章 刚体平面运动习题1.是非题（对画√，错画×）8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。
（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。
（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。
（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。
（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。
8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。
8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。
3.简答题8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。
题8-11图(a) (b)(c)8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图(a) (b) (c)8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？题8-13图B8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以匀角加速度α绕O轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=ϕ，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。
题8-16图题8-17图8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。
理论力学第6章 刚体的平面运动分析
于是，平面图形的平面运动分解为随同基点A的平移 （牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。
刚体平面运动时 ，刚体上各点的轨迹 、速度与加速度各不 相同。 平移运动的轨迹
、速度和加速度随基
点选取的不同而不同 。
平面运动的转动角速度以及角加速度 都与基点的位置无关
＝ lim
1 2 lim t 0 t t 0 t
A
vA
AC ＝
0
vA
瞬时速度中心的概念－速度瞬心的特点
y´
vC A
P
S
0
C
1. 瞬时性－不同的瞬时， 有不同的速度瞬心； 2. 唯一性－某一瞬时只 有一个速度瞬心；
vA
x´
vA
A
3. 瞬时转动特性－平面图 形在某一瞬时的运动都可以视 为绕这一瞬时的速度瞬心作瞬 时转动.
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
瞬时速度中心法
瞬时速度中心的概念 应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法 几种特殊情形下瞬时速度中心位 置的确定
瞬时速度中心的概念
y´
P
vA
平面图形S上的基点A，基点 速度vA ,平面图形角速度 0 。 过A点作vA的垂直线PA，P A上各点的速度由两部分组成：
S
应用瞬时速度中心确定刚体平面 运动的速度 —— 速度瞬心法
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体平面运动实例
刚体的平面运动—— 刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。
前面研究了点的复合运动。这里研究刚体 的平面运动。刚体的平面运动可以看做与点的 复合运动相对应。是两个典型代表对象的典型 复合运动。
刚体的平面运动
O1O2 0.05 + O1 A = + 0.1 D tan 30 tan 30D
ω ABD =
0.2 = 1.072 rad / s 0.1866
ω ABD
P
vD = PD ⋅ ω ABD = ( PA + AD ) ⋅ ω = (0.1866 + 0.05) ⋅1.072 = 0.254 m / s
O1 B 与连杆间成 30° 角．如 OA = r , AB = 2 3r , O1 B = 2r ,求在该瞬时，滑块 B 的切向和法
向加速度。 解: AB 杆作平面运动,速度分析如图
vB cos 60D = v A , vB = 2v A = 2rωO
n 2 2 故 B 点的法向加速度： aB = vB / O1 B = 2rωO
刚体的平面运动(一)
一、填空题 1、刚体的平面运动可分解为 随基点的平移 和 绕基点的转动 ； 平移的速度和加速度 与基 点的选择有关，_转动的角速度和角加速度_与基点的选择无关。
2、若已知刚体上任一点的速度 v 和刚体的角速度 ω ，那么速度瞬心的位置应在_过该点与 v 垂 直的直线上_，距该点的距离_____ v / ω _____；若瞬心在无穷远，则此时角速度为__零___， 刚体作___瞬时平移__。 3、刚体定轴转动时，轴上各点的速度__为零___，加速度__为零__；而绕速度瞬心转动时，速 度瞬心的速度__为零__，加速度 二、判断题 (× ) 1、刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨迹都在同一平面内。 (× ) 2、平面图形上任意两点的速度在固定坐标轴上的投影相等。 (√) 3、平面图形的角速度不等于零，则图形上不可能存在两个或两个以上速度为零的点。 (√) 4、作平面运动的平面图形上(瞬时平动除外)，每一瞬时都存在一个速度瞬心。 三、选择题 1、一圆盘作平面运动,如图所示的速度分布情况中,可能出现的是 A.图(a) B.图(b) C.图(c) A 。 D.图(d) 不一定为零 。
刚体的简单运动习题及答案
刚体的简单运动习题及答案刚体的简单运动习题及答案刚体是物理学中的一个基本概念，它指的是在运动过程中形状和大小不发生改变的物体。
在学习刚体的运动时，我们可以通过一些简单的习题来加深对刚体运动的理解。
下面，我将为大家提供一些常见的刚体运动习题及答案。
习题一：平抛运动小明站在一个高处，手中拿着一个小球，以一定的初速度将球水平抛出。
假设空气阻力可以忽略不计，请问球的运动轨迹是什么形状？答案：球的运动轨迹是一个抛物线。
在平抛运动中，刚体在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上受到重力的作用，所以球的轨迹是一个抛物线。
习题二：滚动运动一个圆柱体沿着水平面滚动，它的质心速度和边缘速度哪个更大？答案：质心速度和边缘速度相等。
在滚动运动中，刚体的质心沿着运动方向做匀速直线运动，而刚体的边缘点则具有线速度和角速度的叠加效果。
由于圆柱体的每个点都有相同的角速度，所以质心速度和边缘速度相等。
习题三：转动惯量一个均匀的圆盘和一个均匀的长方体，它们的质量和半径（或边长）相同，哪个的转动惯量更大？答案：圆盘的转动惯量更大。
转动惯量是刚体旋转时惯性的量度，它与刚体的质量分布有关。
由于圆盘的质量分布更加均匀，所以它的转动惯量更大。
习题四：平衡条件一个悬挂在绳子上的物体处于平衡状态，绳子与竖直方向的夹角是多少？答案：绳子与竖直方向的夹角等于物体所受的重力与绳子张力的夹角。
在平衡状态下，物体所受的重力与绳子张力必须保持平衡，即两者的合力为零。
因此，绳子与竖直方向的夹角取决于物体所受的重力与绳子张力的大小关系。
习题五：平移运动和转动运动一个刚体在平面上做平移运动时，它的转动惯量是多少？答案：在平移运动时，刚体的转动惯量为零。
平移运动是指刚体的质心沿直线运动，此时刚体没有绕任何轴心旋转，所以转动惯量为零。
通过以上习题的解答，我们可以更好地理解刚体的运动特性。
刚体的运动涉及到平抛运动、滚动运动、转动惯量和平衡条件等方面的知识，通过解答这些习题，我们可以加深对刚体运动的理解，提高解题能力。
刚体的平动、定轴转动与平面运动
0 d r dr
dt
dt
d dr
dt
r dt
dr
dt
2
2
v 2 2 r 3
几个有意义的问题
几个有意义的问题
几个有意义的问题
几个有意义的问题
§6-4 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体的平面运动—— 刚体上处于同一平面内 各点到某一固定平面的距离保持不变。
vA=2m/s 求：（1）杆端 B 的速度 vB
（2）AB 杆角速度 AB
vBA
解：取A点为基点
vBvAvBA
vBvA c3 o 0 t23m /s
vB AvA /si3n 04m /s
AB
vBA 2rad/s AB
B vA vB
AB
30°
A vA
例 题9 已知： AB=l=200mm;
B C O1
aC 1aC aAaAsin
vC 12aAco ,saC 1aAsin
rr
rr
v C1
a
C
1
C1
an
O1 C 1
例 题7 已知: ; v ; r
v
求：卷盘的角加速度
r
O
解：由定轴转动公式
vr
对此式求导：
半径的表达式：
r
ro
2
思考题
试计算杆端A点和C点的 速度、加速度，并画出其 方向。
a
C
A
an
b
BБайду номын сангаас
a
O
a
例 题 3 已知：h; vo
运动学习题-第六章
运动学/刚体的平面运动分析习题
11
6-16 题(续2)
r 200 1 sin sin 9 . 6 L 1200 源自 1A r OaA
0
anA
L
aBA B anB R O1 a
运动学/刚体的平面运动分析习题 7
6-10 题(续)
ω AB
O
B
vA 20 2 AP 1.5 cos / cos 45 20 2 2
O vO A
C
45+
14 . 1rad/s
应用速度投影定理：
vB
vA
v cos v cos 45 B A
vB vA
运动学/刚体的平面运动分析习题
12
020????smrvoa2202???abvoocvbvap??o?????abcoab?????45oapoac专业文档9610题续???????45coscosabvv应用速度投影定理
第六章
刚体的平面运动分析习题
6-2
6-6 6-10 6-11 6-16
运动学/刚体的平面运动分析习题 1
6-2 题
杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运 动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角表示杆的角速度。
解法1：
tg1
v0t h
h
B
C
A
B
AB
v0 d h 2 dt v 0t 1 h
A
v0
v0 1 h 1 tg 2
解：
工程力学A 参考习题之刚体的平面运动习题及解答
刚体的平面运动习题及解答已知：OA 的转速n=40r/min,OA=r=0.3 m求：图示瞬时，筛子BC 的速度。
解: A ，B 两点速度如图所示,图中ππω3460n 2==rad/s由速度投影定理得： 0B A cos60.v v = 解出筛子BC 平动的速度为：m/s513.2r 2 v 2v A B ===ω 254.0.==ωCD v D m/s已知：1m.0DE BD OA===,,m 31.0EF =s /rad 4OA =ω;求 EF 杆的角速度ω和滑块F 的速度F v 。
解: 各点速度分析如图所示, AB 杆为瞬时平动,故4.0.OA OA A B ===ωv v m/sBC 杆的速度瞬心为点D ，三角形DEC 绕D 点作定轴转动，得BB CE v B Dv .DE DC.DE v ===v由 FEE Fv v v +=解出462.0cos30v 0E F ==v m/s ，333.1EF FEEF ==v ω rad/s已知：滚子纯滚动，m12r R AB OA====,s /rad 2=ω求 图示瞬时点B 和点C 的速度与加速度。
解: 先作速度分析如图（a ）所示, C2.R A B ===ωv vm/s42rB B ===ωωv rad/s2.828.r 22.C ===ωωB PC v m/s取A 为基点，对B 点作加速度分析如图（a ）所示 有BAn BA A B n B a a a a a ++=+ττ大小：？r vB22R ω ？ 0R BA 2=ω 方向： 如图所示向AB 轴投影得 0a B =τ，故B 点加速度为8rvaa B2Bn B === 2s /m最后取B 为基点，对C 点作加速度分析如图（b ）所示，即CBCB n B C a a a a τ++=大小：？r vB2r B 2ωr rar BB ==τα方向： 如图所示 故C 点加速度为11.31aaa CB2n B2C =+=2s/m已知：r OA =,r 32AB = ，轨道半径2r B O 1=，OA 杆的角速度和角加速度为O ω和O α； 求： 图示瞬时滑块B 的加速度。
刚体平面运动
刚体平面运动一、是非题（正确或是用√，错误或否用×，填入括号内。
）1. 刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例。
（ √ ）2. 刚体作瞬时平动时，刚体的角速度和角加速度在该瞬时一定都等于零。
（ × ）3. 轮子作平面运动时，如轮上与地面接触点C 的速度不等于零，即相对地面有滑动，则此时轮子一定不存在瞬时速度中心。
（ × ）4. 若在作平面运动的刚体上选择不同的点作为基点时，则刚体绕不同基点转动的角速度是不同的。
（ × ）5. 某刚体作平面运动，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理[][]AB B AB A v v =永远成立。
（ √ ）6. 作平面运动的刚体，某瞬时若角速度、角加速度同时为零，则此时刚体上各点的速度与加速度均相等。
（ √ ）7. 接上题，在上述条件下，有结论：刚体作平动。
（ × ）8. 设A 为平面运动刚体上的任意一点，I 为刚体在某时刻的速度瞬心，则A 点的运动轨迹在此处的曲率半径等于A 、I 间的距离。
（ × ）9. 我们知道，作平面运动的刚体上任意两点A 、B 之间有相对速度，因此，如果将一坐标系固定在此刚体上，在此坐标系中所观察到的A 、B 点之速度一般来说不相等。
（ × ）10. 刚体作平面运动时，若某瞬时其上有二点加速度相同，则此瞬时刚体上各点的速度都相同。
（ √ ）11. 平面图形上任意两点的速度在任一直线上的投影始终相等。
（ × ）12. 平面图形瞬时平动时，其上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。
（ √ ）13. 刚体平动必为刚体平面运动的特例，但刚体定轴转动不一定是刚体平面运动的特例。
（ × ）14. 请判断下述说法是否正确：A. 刚体的平动是平面运动的特殊情况。
（ × ）B. 刚体的平面运动是平动的特殊情况。
（ × ）C. 刚体的定轴转动是平面运动的特殊情况。
第6章刚体的平面运动习题解答080814.
第六章 刚体的平面运动本章要点一、刚体平面运动的描述1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ϕϕ=.2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。
其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。
因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。
二、平面运动刚体上点的速度1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即BA A B v v v +=，其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。
2投影法速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即AB A AB B v v ][][=3瞬心法任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。
平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。
绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。
面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即ωCM v M =，其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。
若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。
解题要领：1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。
2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。
3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是常用的方法。
理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析
理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析第6章刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。
曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度= 0，转角= 0。
试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。
00解：sx A(Rr)coA001(Rr)sin 为常数，当t = 0时，== 02起始位置，P与P重合，即起始位置AP 水0平，记，则AP从起始水平位置至图示A CP CP AP位置转过习题6-1图因动齿轮纯滚，故有，即rRR r 0， A rr将代入、、得动齿轮以A为基点的平面运动方程为：y2x1R r2 (R t r)costA 2r A22(Rr)sintA 26－2 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v沿水平向右运动，如图所示。
试以杆与铅垂线的夹角表示杆的角速度。
解：杆AB作平面运动，点C的 B B P速度v沿杆AB如图所示。
作速度Cv和v的垂线交于点P，点P即为C C 杆AB的速度瞬心。
则角速度杆cosvcoso0000h 为 A v A v 2ABAPACh习题6－2图习题6－2解图6－3 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。
试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度与有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。
ABvv ARR A解：B2R2R习题v = v Bv = v vv BA B6-3解图习题6-3图AB6036－4 直径为mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。
速度＝12 rad/s，＝设杆BC在水平位置时，滚子的角，＝，BC＝270mm。
试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。
解：杆BC 的瞬P 心在点P，滚子O的瞬心在点D BC v C B vBD C B B B 12603cos30vBD B270sin30O BCBPBP O v 习题6-4图 D 8rad/svPC 习题6-4解图CBC/s 6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
第6章刚体的平面运动习题解答080814
小轮半径相对平移坐标系,也即固定坐标系得转角为
,而,
可得小轮平面运动方程为
，、
6—4图示机构中,已知m，m，m,ｍ;rad／ｓ。在图示位置时，曲柄OA与水平线ＯB垂直；且B、Ｄ与F在同一铅直线上,又.求EF得角速度与点Ｆ得速度。
平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心得分布与绕定轴转动时得分布相同,但有本质区别。绕定轴转动时,转动中心就是一个固定不动得点,而速度瞬心得位置就是随时间而变化得。
面图形内任意一点得速度，其大小等于该点到速度瞬心得距离乘以图形得角速度，即
,
其方向与ＣＭ相垂直并指向图形转动得一方。若在某瞬时,,则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体得角加速度不为零。
第六章刚体得平面运动
本章要点
一、刚体平面运动得描述
1刚体得平面运动方程:，,、
２平面图形得运动可以瞧成就是刚体平移与转动得合成运动：刚体得平面运动(绝对运动)便可分解为随动坐标系(基点）得平移(牵连运动)与相对动坐标系(基点)得转动(相对运动)。其平移部分与基点得选取有关,而转动部分与基点得选取无关.因此,以后凡涉及到平面图形相对转动得角速度与角加速度时,不必指明基点,而只说就是平面图形得角速度与角加速度即可。
二、平面运动刚体上点得速度
1基点法:平面图形内任一点得速度,等于基点得速度与点绕基点转动速度得矢量与，即
，
其中得大小为，方向垂直于AＢ，指向与图形得转动方向相一致.
2投影法
速度投影定理:在任一瞬时,平面图形上任意两点得速度在这两点连线上得投影相等,即
3瞬心法
6刚体的平面运动
车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动
9
再例如: 平面图形Ｓ在∆ｔ时间内从位置I运动到位置II
①以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点转 ∆ϕ1 角到A'B' ②以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点转 ∆ϕ 2 角到A'B'
∆ 图中看出：AB// A'B'' // A''B' ， ϕ1 = ∆ϕ 2 于是有
14
三．速度瞬心法 1. 问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化．于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？ ２．瞬时速度中心（简称速度瞬心） 瞬时速度中心（简称速度瞬心） 平面图形S，某瞬时其上一点O速度vO , 图形角速度ω，沿 vO方向取半直线OL, 然 后顺ω 的转向转90 至OL‘的位置,在OL’上 取长度 OI
可确定出I点为速度瞬心
Q v A = l ω , AI = l ∴ ω AB = v A / AI = l ω / l = ω （ v B = BI ⋅ ω AB = 2 l ω ( ← )
方向⊥OA, vB方向沿BO直线 根据速度投影定理 [vB ]AB = [v A ]AB
I
）
试比较上述三Βιβλιοθήκη 方法的特点。o= vO / ω vIO = OI ⋅ ω = vO
则： 方位⊥IO，指向与vO 相反。所以
15
vI=0
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 速度等于零， 速度等于零 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心（I）． 速度瞬心（ 速度瞬心 ３．速度瞬心又称为瞬时转动中心 设某瞬时平面图形的角速度为ω， 速度瞬心在I点。以I点为基点，有：
理论力学_第06章_刚体的平面运动分析_4 (NXPowerLite)
vB= vA+ vBA
x´ 其中， B点相对速度(定轴转动线速度)：
(B点绕A点 作定轴转动)
vBA = ω ×rB
任意点的速度 = 基点绝对速度 + B点相对速度 (矢量和)
速度分析： 速度投影法
速度投影定理法：
用速度投影定理分析平面 图形上点的速度的方法
vBA vB
B
rAB B vA A A vA
定轴转动
曲柄滑块机构
直线平移
刚体平面运动的模型简化
刚体平面运动： 刚体上处于同一平面内的各点到固定平面的
距离保持不变 运动轨迹在各平面内
S2面内：
S和A点到S1面的距离相同，S点相对A 点转动或静止（两点间距固定，不可
能相对平动；二者可同时平动）；
面内各点运动可由SA直线的运动代表
A1A2线上：
yP
r2 (l-l1) l
sin ωt
平面运动分解（平移+转动）
在t内，平面图形由位置I运动到Ⅱ， 线段从AB运动到A´B´
A点处地安放平移坐标系，其原点A称为基 点。
由平面运动方程可见: A点固定不动，刚体作定轴转动 线段AB方位不变（=常数），刚体作平移
平面运动分解为随基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）
B 速度分析： 瞬时速度中心法
rAB B A A vA
vA
vB= vA+ vBA vBA = ω ×rB
瞬时速度中心的概念
只有vA和vBA共线时, 合速度才可能为0
y’ vCA
P
C
S
vA
0 A
vA
过A点作vA的垂直线PA，PA上各点的速度由两
理论力学习题解答(第六章)
6－1在图示四连杆机构中，已知：匀角速度O ω，OA =B O 1=r 。
试求在°=45ϕ且AB ⊥B O 1的图示瞬时，连杆AB 的角速度AB ω及B 点的速度。
解：连杆AB 作平面运动，由基点法得BA A B v v v +=由速度合成的矢量关系，知φcos v A BA =v杆AB 的角速度)(/AB /O BA AB 2122+==ωωv （逆时针）B 点的速度2245/r cos v O A B ω=°=v （方向沿AB ）6－2. 在图示四连杆机构中，已知：3.021===L B O OA m ，匀角速度2=ωrad/s 。
在图示瞬时，11==L OB m ，且杆OA 铅直、B O 1水平。
试求该瞬时杆B O 1的角速度和角加速度。
解：一．求1ω60230..OA v A =×=⋅=ω m/s取A 为基点，则有BA A B v v v += 得 23.0/6.0ctg v v A B ===ϕ m/sm09.2)3.01()3.0/6.0(sin /v v 2/122A BA =+×==ϕ杆B O 1的角速度67630211../BO /v B ===ω rad/s 顺时针 二．求1ε取点A 为基点，则有n BA A a a a a a ++=+ττBA nB B将上式向X 轴投影21222857s /m .B O /ctg v )sin AB /v (OA ctg a )sin /a (a a a sin a cos a sin a BBA n B n BA A B nBA A n B B +=⋅+⋅+⋅−=++−=−=+−ϕϕωϕϕϕϕϕττ杆B O 1的角加速度7.1923.0/8.57/11===B O a B τεrad/s 2逆时针6－3.图示机构中，已知：OA =0.1m ， DE =0.1m ，m 31.0=EF ，D 距OB 线为h=0.1m ；rad 4=OA ω。
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,而 ，
可得小轮平面运动方程为
， .
6-4图示机构中，已知 m， m， Байду номын сангаас， m； rad/s。在图示位置时，曲柄OA与水平线OB垂直；且B、D和F在同一铅直线上，又 。求EF的角速度和点F的速度。
解：如图所示，对各构件进行速度分析.
1） 杆作平面运动.因 ，所以 杆为瞬时平移，得
，
，
.
6-2杆AB的A端沿水平线以等速v运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R，如图所示。如杆与水平线的夹角为 ，试以角 表示杆的角速度。
解：解法一：杆AB作平面运动。选取 为基点，由速度基点法
，
作图示几何关系，图中 ，解得
，
AB杆的角速度为 （逆时针）.
解法二：在直角三角形△ACO中， ，对时间求导，得
其中， ，解得AB杆的角速度为
，
（负号表示角速度转向与 角增大的方向相反，即逆时针）
6-3半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄OA以等角加速度 绕O轴转动，当运动开始时，角速度 ，转角 。求动齿轮以中心A为基点的平面运动方程。
解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄OA固结的转动坐标系 ，和在动齿轮的A点建立平移坐标系 ，如图所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系
，
其中 ， ， ， ， 分别为 点的曲率半径。
特殊地，当刚体作瞬时平移时， ，有加速度投影定理
.
解题要领
1加速度基点法一般涉及6个加速度矢量，其中3个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而 的方向与 垂直为已知，剩下5个因素中只可以存在2个未知量。
2一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。
二、平面运动刚体上点的速度
1基点法：平面图形内任一点 的速度，等于基点 的速度与 点绕基点转动速度的矢量和，即
，
其中 的大小为 ，方向垂直于AB，指向与图形的转动方向相一致。
2投影法
速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即
3瞬心法
任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。
第七章刚体的平面运动习题解答
6-1椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以角速度 绕O轴匀速转动，如图所示。如 ，并取C为基点，求椭圆规尺AB的平面运动方程。
解：AB杆作平面运动，设 时， ，则 。选AB杆上的 点位基点，建立平移坐标系 ，在图示坐标系中， 杆在固定坐标系 的位置由坐标 确定，所以 杆的平面运动方程为：
第六章刚体的平面运动
本章要点
一、刚体平面运动的描述
1刚体的平面运动方程： ， ， .
2平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。
平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。
面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即
，
其方向与CM相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时， ，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。
.
2） 杆作平面运动.由 找得 杆的速度瞬心为D点，所以， 杆上的速度分布好像与三角板 一起绕 作定轴转动一样，得
，方向如图示.
3） 杆作平面运动.由 找得 杆的速度瞬心为 ，故有
，（顺时针）；
，（方向向上）。
6-5图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD构成。已知曲柄的角速度 rad/s， mm， mm， mm。当 mm铅直时，AB平行于 ，且 、A、D在同一直线上，角 。求三角板ABD的角速度和点D的速度。
4当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。速度基点法能且只能解2个未知量，因此，在涉及的3个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。
5应用速度投影法时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。
3加速度基点法最多涉及6个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。投影式中等号一边是 点加速度的投影，另一边是基点 的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能写成“平衡方程”的形式。
4加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。
5可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬心法”。
解：如图机构中，主动曲柄OA作定轴转动，
，
杆作平面运动，在图示瞬时，由 知， 杆作瞬时平移，有
解题要领：
1建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。
2由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。
3平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是常用的方法。
解： 杆和 杆作定轴转动，三角板 做平面运动，由 找得三角板 的速度瞬心为 点，如图所示.故
，
三角板ABD的角速度：
，（逆时针）.
D点的速度：
.
6-6图示双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。OA以匀角速度 rad/s转动。已知 mm， mm， mm， mm， mm。求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，曲柄OD和连杆DE的角速度。
6在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。
三、平面运动刚体上点的加速度
平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即
，
进一步，当基点A和所求点B都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为