第一讲(随机事件,频率与概率)

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随机事件的频率与概率

随机事件的频率与概率

随机事件的频率与概率1.随机事件的频率随机事件的频数与频率:在相同的条件下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数,称事件A 出现的比例n n A f A n )(为事件A 出现的频率. 2.随机事件的概率一般来说,随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A 发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上,这个常数可以用来度量事件A 发生的可能性的大小,称为事件A 的概率,记作P(A).3.频率与概率的区别和联系(1) 频率本身是随机的,在试验前不能确定。

做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。

(2) 概率是一个确定的数,与每次试验无关。

是用来度量事件发生可能性大小的量。

(3) 频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率。

例1.某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表所示:(1)计算表中击中10环的各个频率;(2)这名运动员射击一次,击中10环的概率是多少分析:(1)分清m ,n 的值,用公式nm 计算; (2)观察各频率是否与某一常数接近,且在它附近摆动.解:(1)(2)从上表可以看出,这名运动员击中10环的频率在附近波动,且射击次数越多,频率越接近,故可以估计,这名运动员射击一次,击中10环的概率约为.点评:在相同条件下,随着试验次数的增加,随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定,我们就可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性的大小,而将频率作为其近似值.从中要进一步体会频率与概率的定义及它们的区别与联系.如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次,当试验的次数n 很大时,我们可以将事件A 发生的频率n m 作为事件A 发生的概率的近似值,即P(A)≈nm . 例2.为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下方法:先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾,试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析:用样本估计总体.解:设水库中鱼的尾数为n,n 是未知的,现在要估计n 的值,将n 的估计值记作nˆ. 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的,从库中任捕一尾鱼,设事件A 为“带有记号的鱼”,易知P(A)=n2000. 第二次从水库中捕出500尾鱼,其中带有记号的鱼有40尾,即事件A 发生的频数n A =40,由概率的统计定义知50040)(≈A P . 所以500402000≈n . 解得n≈25 000,即nˆ=25 000.故可以估计水库中约有鱼25000尾.点评:随着试验次数的变化,事件发生的频率也可能发生变化,但总体来看频率趋于一个稳定值,所以我们也可借助于频率来对一些实际问题作出估计. 例3.某校举办2021年元旦联欢晚会,为了吸引广大同学积极参加活动,特举办一次摸奖活动.凡是参加晚会者,进门时均可参加摸奖,摸奖的器具是黄、白两色的乒乓球,这些乒乓球的大小和质地完全相同.另有一只密封良好且不透光的立方体木箱(木箱的上方可容一只手伸入).拟按中奖率为101设大奖,其余109则为小奖,大奖奖品的价值为40元,小奖奖品的价值为2元.请你运用概率的有关知识设计一个摸奖方案以满足校方的要求. 分析:借助于现有的乒乓球,使一种情况产生的可能性为101即可,并将其定为大奖的条件.解:方案一:在箱子里放10个乒乓球,其中1个黄色的,9个白色的.摸到黄球时为大奖,摸到白球时为小奖.方案二:在箱子里放5个乒乓球,3个白色的,2个黄色的.每位参加者在箱子里摸两次,每次摸一个乒乓球,并且第一次摸出后不放回.当摸到2个黄色乒乓球时为大奖,其他情况视为小奖.点评:概率知识来源于生活、生产实残,由实际问题可以总结出发生某一事件的可能性的大小,在实际生活中设计某一活动的实施方案,一般可以以希望得到的统计数据为依据,还要注意与实际相结合.。

频率与概率课件

频率与概率课件

未来研究的方向
展望频率和概率研究的未 来方向。
参考文献
提供相关学术文献和资料的参考。
1 概率的应用
2 概率的局限性
阐述概率在统计学、经济学等领域的实际 应用。
探讨概率模型的局限性及可能的误差。
3 频率的应用
4 频率的局限性
介绍频率在科学实验、调查研究等领域的 应用。
讨论频率在事件发生不规律或难以测量时 的局限性。
总结
频率与概率的关系
总结频率和概率之间的联 系和差异。
应用和局限性
回顾频率和概率在实际生 活中的应用和局限性。
事件发生频率的计算 方法
介绍如何计算事件发生的 频率。
概率
概率的定义
概率是指某事件发生的可能 性。
概率公理介绍概率公理及其应用。概 Nhomakorabea的计算方法
探索如何计算事件的概率。
频率与概率的关系
1
大数定理
解释大数定理及其对频率和概率关系的影响。
2
概率的频率解释
讨论概率的频率解释并与实际案例相结合。
应用和局限性
频率与概率ppt课件
通过本课件,深入了解频率与概率的概念,探索它们之间的联系与差异,并 探讨它们在实际生活中的应用和局限性。
什么是频率与概率
频率是指某事件在一定时间内发生的次数,而概率是指某事件发生的可能性。
频率
频率的定义
频率是指某事件在一定时 间内发生的次数。
基本频率问题
探讨如何统计和比较事件 的频率。

概率论讲义_带作业

概率论讲义_带作业

例 已知某类产品的次品率为0. 2 ,现从一大批这类产品中随机抽查2 0 件. 问恰好 有 件次品的概率是多少?
3) 泊松分布
概率论的基本概念 样本空间
样本点
事件
事件的概率
练习 1. 抛一枚骰子,观察向上一面的点数;事件表示“出现偶数点”
2. 对目标进行射击,击中后便停止射击,观察射击的次数;事件表示“射击次数不超 过5 次”
事件之间的关系与运算
事件语言
集合语言
样本空间
事件
的对立事件
事件 或者
分布律:如果记离散型随机变量 所有可能的取值为
值的概率,即事件
的概率为
, 取各个可能
上式称为离散型随机变量 的分布律. 分布律也可以直观的表示成下列表格:
根据概率的性质,分布律中的 应该满足下列条件: 1. 2. 例 某系统有两台机器独立运转. 设第一台与第二台机器发生故障的概率分别是 0. 1 ,0. 2. 以 表示系统中发生故障的机器数,求 的分布律.
随机变量的例子
掷一枚色子,用 记点数;
掷三枚色子,用 记点数之和;
掷一枚硬币,记
为“出现正面”,
为“出现反面”;
变量的取值是随机的,依赖于随机试验的结果
用随机变量来表示事件
设 为一个实数集合,则用
表示一个事件 ,即
例如,某射手射击某个目标,击中计1 分,未中计0 分,则计分 表示一个随机
变量,且“击中”这个事件可以表示为
第二章 随机变量及其分布
Hale Waihona Puke 第六讲 随机变量 离散随机变量
概率论的另一个重要概念是随机变量. 随机变量的引入, 使概率论的研究由个别的 随机事件扩大为随机变量所表征的随机现象的研究.

23.3(1)随机事件的概率和频率

23.3(1)随机事件的概率和频率

历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: 历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: m 上的 试验 ( n ) (n) ( m) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 m/n
1
试 验 次 数 增 加
频 率 稳 定 在
1061 2048 6019 12012 14984 36124
某批乒乓球产品质量检查结果表: 某批乒乓球产品质量检查结果表:
优等品数 抽取球数
m
45 50
92 100
194 200
470 500
954 1000
1902 2000
n
n
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽查的球数很多时,抽到优等品的 当抽查的球数很多时, 很多 m 常数0.95, 接近于常数0.95 在它附近摆动。 频率 接近于常数0.95,在它附近摆动。
n m
m n
8 6
0.75
10 8
0.80
15 12
0.80
20 17
0.85
30 25
0.83
40 32
0.80
50 38
0.76
(1)计算表中进球的频率; (1)计算表中进球的频率; 计算表中进球的频率 (2)这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少 概率约是 这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少 概率约是0.8 这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少? (3)这位运动员进球的概率是 这位运动员进球的概率是0.8,那么他投 次篮一定能 那么他投10次篮一定能 这位运动员进球的概率是 那么他投 投中8次吗 次吗? 投中 次吗 不一定. 次篮相当于做10次试验 不一定 投10次篮相当于做 次试验 每次试验的结果都 次篮相当于做 次试验,每次试验的结果都 是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的 次篮的结果也是随机的. 是随机的 所以投 次篮的结果也是随机的 但随着投篮 次数的增加,他进球的可能性为 他进球的可能性为80%. 次数的增加 他进球的可能性为

§10.2.2频率和概率

§10.2.2频率和概率

(1)三角形中,两边之和大于第三边.
(2)导体通电时,发热. (3)在常温常压下,铁熔化. (4)抛掷一枚骰子,正面向上的数字为6. (5)在标准大气压下,水加热到100℃时沸腾.
(6)地球在不停的转动.
(7)奥运冠军杜丽射击一次,中10环.
随机事件具有不确定,可能发生也可能不发 生,那么随机事件是不是没有任何规律地随意发 生呢? 但是,人们经过长期的实践并深入研究后发 现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定 性,然而在大量重复试验中,却呈现出一种完全 确定的规律性,这会是 真的吗?
频率是指在多次重复试验中事件发生的次数与试验 概率是一个确定的客观常数,与试验次数无关;概
次数的比值;这个比值是随着试验次数的变化而不断 变化的;频率具有随机性. 率反映了随机事件发生的可能性的大小;概率反映了 随机事件的一个属性,即事件发生的可能性大小是客 观存在的.
大量重复试验时,事件出现的频率尽管是随机的,
投掷一枚硬币,出现正面可能性有多大?
回顾
(1)在以上的试验中,正面朝上的次数称为什么? (2)频数与总试验次数的比值称为什么? (3)频率的取值范围怎样? (4)随着试验次数的增加,频率有什么变化趋势?
定义
对于给定的随机事件A,随着试验次数的增加,事 件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定, 我们把这个常数称为随机事件A的概率. 随机事件A的概率,记为P(A). 显然,0<P(A)<1.
却稳定在某个常数附近,试验的次数越多,频率与概 率的偏差的可能性越小.
在实际问题中,若事件的概率未知,基本方法是通
过大量的重复试验,利用频率去估计概率.
今天学到了哪些数学知识? 今天你认为何处值得注意?
1651年的有一天,法国贵族梅累和赌友在一 起掷骰子,各押赌注32个金币. 双方约定:梅累 如果先掷出三次6点,或者赌友先掷出三次4点, 就算Байду номын сангаас了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经 两次掷出了6点,赌友已经一次掷出了4点,这时 候梅累接到通知,要他马上陪同国王去接见外宾, 赌博只好中断了. 那么这两个人怎样分这64个金币才算合理呢? 梅累提出的“分赌注”问题可难倒了当时许多举世闻名的 数学家.他们经过商讨,一致同意梅累应该得64个金币的四分之 三,而赌友应得64个金币的四分之一. 你知道他们是怎么计算的吗? 让我们一起来学习和探索当初那些数学家所运用的数学知 识……… 随机事件的概率

第1章 概率论的基本概念

第1章 概率论的基本概念

试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性:对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性:对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性:设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )


交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男,也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上, 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验?
1. 试验(Experiment):包括各种各样的科学实 验,也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验(E,Random experiment):具有以 下三个特征的试验: (1)可以在相同的条件下重复地进行; (2)每次试验的可能结果不止一个,并且能 事先明确试验的所有可能结果; (3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。

3.1.1 随机事件的概率(频率与概率)共30张PPT

3.1.1 随机事件的概率(频率与概率)共30张PPT
而概率是一个确定的数,是客观 存在的. (必然性) 联系: 随着试验次数的增加, 频率会在 概率的附近摆动,并趋于稳定.在 实际问题中,若事件的概率未知, 常用频率作为它的估计值,也就 是说概率是频率的稳定值,而频 率是概率的近似值.概率反映了
偶 然 中 的 必 然
随机事件发生的可能性的大小.
指出下列事件中,哪些是不可能事件?哪些是必然事件?哪些是 随机事件? (1)若a、b、c都是实数,则a(bc)=(ab)c; (2)没有空气,动物也能生存下去; (4)直线y=k(x+1)过定点(1,0);
3.1.1 随机事件的概率
地球明天还会转动吗?
木柴燃烧能产生 热量吗?
射击比赛
你能考上吗?
詹姆斯,投篮一次,一定投中吗?
问题展示,合作探究
1必然事件 2不可能事件
在条件S下,一定会发生的事件, 叫做相对于条件S的必然事件,简称 必然事件。 在条件S下,一定不会发生的事件, 叫做相对于条件S的不可能事件,简 称不可能事件。 在条件S下,可能发生也可能不发 生的事件,叫做相对于条件S的随机 事件,简称随机事件。 必然事件与不可能事件统称为相 对 于条件S的确定事件,简称确定 事件。
投币试验: (1)一枚均匀一元硬币
投币要求:
(2)让硬币竖直着自由下落 (3)距离桌面40cm (4)落在桌面上
第一步:两人一组,每组重复投币10次,记录正面向
上出现的次数,计算正面向上的频率,填入下表中。
姓名
试验总次 数 正面向上次数
正面向上的频 率
第二步:
组别
由组长把本小组同学的试验结果汇总一下,填入表中:
0.5011
iphone5s手机抽查合格率检验报告如下表所示

随机事件的频率与概率PPT

随机事件的频率与概率PPT
4.下列事件中是随机事件的是( C ) (A)若a、b、c都是实数,则a(bc)=(ab)c (B)没有水和空气,人也可以生存下去 (C)抛掷一枚硬币,反面朝上 (D)在标准大气压下,温度达到60℃时,水沸腾
5.下列说法正确的是: ①频率反映事件的频繁程度,概率反映事件发生 的可能性大小; √ ②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发
9.某市统计的2006~2009年新生儿出生数及其中 男婴数如表所示:
(1)试计算男婴出生的频率(精确到0.001); (2)该市男婴出生的概率约是多少?
【解析】(1)2006年该市男婴出生的频率为 11 453 0.524. 同理可求得2007年、2008年和
21 840
2009年该市男婴出生的频率分别为0.521, 0.512,0.513. (2)由以上计算可知,2006~2009年男婴出生的 频率在0.51-0.53之间,所以该市男婴出生的概 率约为0.52.
调查了该校200名学生,其中近视的学生有
112233人,若在这个学校中随机调查一名学生,
200
则他近视的概率是___0_.6_1_5___.
【例2】下面的表中列出了10次试验掷硬币的 试验结果,n为每次试验抛掷硬币的次数,m 为硬币正面向上的次数.计算每次试验中“正 面向上”这一事件的频率,并考查它的概率.
0.502 249 256
0.502 0.506 0.492 0.488 0.516
262 247
【练一练】1.下列说法正确的是( C ) ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现 的频繁程度; ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数; ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1; ④概率就是频率. (A)① (B)①②④ (C)①② (D)③④

《频率与概率》课件

《频率与概率》课件

参考资料
书籍和教材
- 《概率论与数理统计》——郑晓龙 - 《统计学基础》——康建文
课程网站链接
- 大数据分析与应用——机器学习 - 概率与统计——斯坦福大学公开课
其他相关学习资源
- Coursera《Probabilistic Graphical Models》 - Khan Academy Statistics and probability
概率分布
1
随机变量的定义和特征
随机变量通常用来描述随机事件中的数值特征。例如,投掷一枚硬币多次,计算正面 向上的有两种可能结果的试验,例如抛硬币或投篮命中。
3
正态分布
正态分布适用于连续变量的随机事件,例如身高或体重分布。
4
泊松分布
泊松分布适用于估计在一段时间内某事件发生的次数,例如地震发生的次数。
案例分析
本章讲述实际的案例,包括投资组合、医疗保 健和市场营销的例子。
结论
1 频率是概率的估计量
当试验次数足够大时,频率可以用来估计概率。但是,频率只是概率的近似值,并不等 于概率。
2 概率和统计学密切相关
概率和统计学的基本概念广泛应用于科学、工程和行业中的决策和预测。
3 课程总结
本门课程希望能帮助你掌握概率和频率的基本概念,并了解它们在实际生活中的应用。 希望您能在今后的生活和工作中灵活运用它们。
频率
定义和计算
频率是某一事件在多次试验中出现的次数除以总的试验次数。频率越高,意味着事件发生的 可能性越大。
作为概率的估计量
当试验次数足够大时,频率可以作为概率的估计量。但是,频率只是概率的一种估计,而不 是实际的概率值。
样本均值和频率的关系
样本均值是多次试验中所有结果的平均值。当试验次数趋近于无穷时,样本均值将趋近于概 率。

随机事件的频率与概率课件-PPT

随机事件的频率与概率课件-PPT
判断下列说法对错
1、抛一枚硬币有可能出现正面也有可能出 现反面。
2、抛一枚硬币出现正面向上得概率为0、5, 所以抛两次时,肯定有一次就是正面向上。
3、抛一枚硬币出现正面向上得概率为0、5, 所以抛12000次时,出现正面向上得次数大 约为6000次 。
题型一 判断事件类型
【例1】 在下列事件中,哪些就是必然事件?哪些就是不可能事 件?哪些就是随机事件? ①如果a,b都就是实数,那么a+b=b+a; ②从分别标有1,2,3,4,5,6得6张号签中任取一张,得到4号签; ③没有水分,种子发芽; ④某电话总机在60秒内接到至少15次传呼; ⑤在标准大气压下,水得温度达到50 ℃时沸腾; ⑥同性电荷,相互排斥、 ①⑥就是必然事件 ③⑤就是不可能事件 ②④就是随机 事件
(1)求一个事件得概率得基本方法就是通过大量 得重复试验;
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才 叫做事件A得概率;
(3)概率就是频率得稳定值,而频率就是概率得近似值;
(4)概率反映了随机事件发生得可能性得大小;
(5)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
因此
.0 PA 1
随堂练习
•随机事件的频率与概率课件
事件
事件得分类
确定事件 随机事件
必然事件 不可能事件
在一定条件下,一定会发生得事件,叫做必然事件、
在一定条件下,一定不会发生得事件,叫做不可能 事件、
必然事件与不可能事件统称为确定事件、
在一定条件下,可能发生也可能不发生得事件, 叫做随机事件、
确定事件与随机事件统称为事件, 一般用大写字母A,B,C,……表示、
[正解] 通过做大量得试验可以发现,正面朝上得频率都在0、 5附近摆动,故掷一次硬币,正面朝上得概率就是0、5、

《频率与概率》课件

《频率与概率》课件
$P(A|B) = frac{P(B|A) cdot P(A)}{P(B)}$,其中$P(A|B)$表示在 事件B发生的条件下,事件A发生的概率。
贝叶斯定理应用
贝叶斯定理在统计学、机器学习、决策理论等领域有广泛应用, 尤其是在处理不确定性和主观概率方面。
全概率公式
全概率公式定义
全概率公式用于计算一个复杂事件发生的概率,该复杂事件可以分 解为若干个互斥且完备的子事件。
市场调查
在市场调查中,全概率公式可以用于计算某个事件发生的概率,例如消费者购买某产品的概率,可以通过考虑不 同市场细分和购买行为的条件概率来计算。
感谢您的观看
THANKS
概率的乘法性质是指一个事件发生后,另一个事件接着发生的概率等于前一事 件的概率乘以后一事件的概率。
详细描述
如果事件A和事件B有因果关系,即B的发生依赖于A的发生,那么 P(AB)=P(A)P(B)。如果事件A和事件B没有因果关系,那么P(AB)=P(A)P(B)。
条件概率与独立性
总结词
条件概率是指在某个已知条件下,一个事件发生的概率。独立性是指两个事件之 间没有相互影响。
中心极限定理的实例
在投掷骰子实验中,随着投掷次数的增加,出现3.5次朝上的频率 逐渐接近正态分布。
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用01 Nhomakorabea大数定律和中心极限定理是统计学中的基本原理,用于估计样
本均值和方差,以及进行假设检验和置信区间的计算。
在金融领域的应用
02
大数定律和中心极限定理用于金融风险管理和资产定价,例如
方差
方差是随机变量取值与其期望的差的 平方的平均值,表示随机变量取值的 离散程度。
05
大数定律与中心极限定理

华师大版数学九年级上册2随机事件的概率1第2课时频率与概率课件

华师大版数学九年级上册2随机事件的概率1第2课时频率与概率课件

如果某水果公司以2元/千克的成本进了10000千克柑橘,则这 批柑橘中完好柑橘的质量是________,若公司希望这些柑橘 能够获利5000元,那么售价应定为_______元/千克比较合适.
归纳
利用频率估计概率
当实验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果产生的 可能性不相等时,我们一般可以通过统计频率来估计概率.
当实验的所有可能结果不是有限个,或各种可能结果产 生的可能性不相等时,常常是通过统计频率来估计概率, 即在同样条件下,大量重复实验所得到的随机事件产生 的频率的稳定值来估计这个事件产生概率.
等可能性事件
讲授新课
一 用列表法求概率
等可能性事件
等可能性事件的两个特征: 1.出现的结果有限多个; 2.各结果产生的可能性相等; 等可能性事件的概率可以用列举法而求得. 列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的 方法.
思考: 小明和小亮做扑克游戏,桌面上放有两堆牌,分别是红桃 和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃中抽取一张牌,你 从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时,你得1分, 为偶数我得1分,先得到10分的获胜”.如果你是小亮,你愿 意接受这个游戏的规则吗?
27
2.如图,甲、乙用4张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后背 面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,抽 出的牌不放回.甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大 时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜 的机会是否相同.
解:画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,甲抽到的牌面数字比乙大的有5
种情况,小于等于乙的有7种情况,
∴P(甲胜)= 7 ,P(乙胜)= 12
5

12
∴甲、乙获胜的机会不相同.

《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)

《概率论与数理统计》1-123(频率与概率)

某一事件发生
它包含的一个样本点出现
三、事件间的关系及其运算
试验E S(样本空间) 事件A 必然事件 S 基本事件
不可能事件
A(子集) 样本点
1.事件的关系
① 包含、相等关系 A发生必然导致B发生
AB
称事件A包含于B或B包含A.
文氏图(Venn图)
A与B相等 ,记为A=B
例1: 产品有长度、直径、外观三个质量指标,
②(有﹏放﹏回﹏选﹏取﹏)从n个不同元素中有放回地抽取r个,依 次排成一列,称为可重复排列,排列数记
例 将三封信投入4个信箱,问在下列情形下各有几种 投法? ⑴ 每个信箱至多允许投入一封信。 ⑵ 每个信箱允许投入的信的数量不受限制。 解:⑴ 无重复排列:
⑵ 可重复排列:
Ⅳ. 组合 从n个元素中每次取出r个元素,构成一组,称为从n个 元素里每次取出r个元素的组合。 组合数为 或 几个常用性质:
两两互不相容。
证明 由三公理中的可列可加性,令
则由性质1可得 所以下式成立
如果




,0≤
≤1
(加法公式) 推广:
P11
例1 (天气问题) 某人外出旅游两天,据天气预报知: 第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1 试求下列事件的概率: (1) 第一天下雨,第二天不下雨; (2) 第一天不下雨,第二天下雨; (3) 至少有一天下雨; (4) 两天都不下雨; (5) 至少有一天不下雨
解:设A、B分别表示第一、二天下雨 则 (1) (2) (3) (4) (5)
例2 (订报问题) 在某城市中,共发行三种报纸A,B,
C,订购A,B,C的用户占用分别为45%,35%,30%,

3-频率-1

3-频率-1
但是随着试验次数的增大,频率偏离“常数”的可能性会 减小 _____.
2. 随机事件的概率 在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A 频率 发生的_____会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的 稳定性 频率具有_______,这时,这个常数叫作随机事件A的概率, 0≤P(A)≤1 记作P(A).P(A)的范围是___________.
想一想:若随机事件 A 在 n 次试验中发生了 m 次,则事 m 件 A 的概率一定是 吗? n
提示 不一定, 必须当试验次数 n 很大时, 事件 A 的概率 m 才近似地为 随机事件是指在一定条件下出现的某种结果,随着条件
的改变其结果也会不同.因此必须强调同一事件在相同的
自学导引
随机事件的频率 1. (1)频率是一个变化的量,但在大量重复试验时,它又具有
一个“常数” 稳定性 _______,在____________附近摆动.
(2)随着试验次数的增加,随机事件发生的频率摆动幅度具
越来越小 有_________的趋势. 较大 (3)随机事件的频率也可能出现偏离“常数”______的情形,
条件下研究; (2)随机事件可以重复地进行大量试验,每次试验结果不一
定相同,且无法预测下一次的结果,但随着试验的重复进
行,其结果呈现规律性.
§1
随机事件的概率
1.1 频率与概率
【课标要求】 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 2.正确理解概率的意义. 3.理解频率与概率的关系. 【核心扫描】
1.事件的有关概念:必然事件,不可能事件,确定事
件,随机事件.(重点) 2.概率的含义,频率与概率的区别与联系.(重难点) 3.列举出重复试验的结果.(重点)

随机事件的频率与概率

随机事件的频率与概率

排列数 A52,即 n = A52
A 中所含样本点的个数m为
m = C21A31A21
P( A)
=
C21 A31A21 A52
=
3 5
例5 从1、2、3、4、5这五个数字中等可能 地、有放回地接连抽取三个数字,试求“三 个数字完全不同”这一事件的概率。
解:所求概率为
A53 53
=
12 25
例6(分赌注问题)甲乙两人赌技相同,各出赌 注500元,约定:谁先胜三局,谁就拿走全部赌 本1000元.现已赌了3局,甲两胜一负,因故要中 止赌博,问:这1000元要如何分配才算公平?
P( A) =
r n
=
A中包含的样本点个数 样本点总数
例3 取一颗骰子,将它抛掷一次,朝上的那一面为 奇数的概率是多少?将它连掷两次,两次掷得的点 数之和为8是多少?
解:抛掷一次的情形
Ω1 ={1,L,6}, A1表示“掷得奇数点”,则
A1 ={1,3,5}
则P(A1)=
3 6
=
1 2
抛掷二次的情形

P(
A)
=
G的测度 Ω 的测度
作业
n 习题1 7、9、11、15、17、18
Ω2 = {(i, j),i = 1,L,6; j = 1,L,6}
A2表示“两次掷得点数之 和为8”,则
A2 =({ 2,6), (6,2),(3,5), (5,3), (4,4)}
故P(
A2
)
=
5 36
例4 (抽球问题):设盒中有3个白球,2个红 球,现从盒中任抽2个球,求取到一红一白 的概率。
有两 人生 日相 同的 概率
二、几何概型
例9 某人的表停了,他打开收音机听电台报时,

1.1频率与概率

1.1频率与概率

普查年份 1953
总人口/万 59 435
男/万 30 799
女/万 28 636
性别比(以女性为100) 107.55
1964
69 458
35 652
33 806
105.46
1982
100 818
51 944
48 874
106.28
1990
113 368
58 495
54 873
106.60
2000
990 993 994 101 1 022 811 964 573 934 663 5 865 874
513 654 514 765 528 072 496 986 482 431 3 032 452
频率m/n 0.518 0.518 0.518 0.516 0.515 0.516 0.517
我国历次人口普查总人口性别构成情况,它们 与拉普拉斯得到的结果非常接近.
(重点、难点) 3.会列重复试验的结果.
为了研究这个问题,2013年北京市某学校高 一(5)班的学生做了如下试验:
在相同条件下大量重复掷一枚图钉,观察出 现“钉尖朝上”的频率的变化情况如图:
频率
1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
投掷次数 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130
0.518 1 0.506 9 0.497 9 0.500 5 0.498 2
我们可以设想有1 000人抛掷硬币,如果每人抛5 次,计算每个人抛出正面的频率,在这1 000个频率中, 一般来说,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1都会有,而且会 有不少是0或1.

概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)

概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)

解 根据题意知 , ,, , ,,
例4 随机地抽取三件产品,设表示“三件产品中至少有一件是废
品”,表示“三件中至少有两件是废品”,表示“三件都是正品”,
问,,,,各表示什么事件?
解 =“三件都是正品”;
=“三件产品中至多有一件废品”;
=(必然事件);
(不可能事件);
=“三件中恰有一件废品”。
例5 向目标射击两次,用表示事件“第一次击中目标”,用表示事
定义4 在同样条件下进行大量的重复试验,当试验次数充分大时, 事件发生的频率必然稳定在某一确定的数附近,则称为事件的概率,记 为,即有。
以上定义称为事件概率的统计定义。根据此定义和频率的有关性质 可知概率具有以下性质:
性质1 ≤≤; 性质2 ; 性质3 ; 性质4 若事件与事件互不相容,则。 这一性质可以进行推广:设为两两互不相容的个事件,则
第七章 概率论与数理统计初步
第一节 随机事件与概率
1.1 随机试验与随机事件 1.随机现象与随机试验
自然界和社会上发生的现象是多种多样的。有一类现象在一定 的条件下必然发生或必然不发生,称为确定性现象。例如,沿水平方 向抛出的的物体,一定不作直线运动。另一类现象却呈现出非确定 性。例如,向地面抛一枚硬币,其结果可能是“正面向上”,也可能 是“反面向上”。又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产 品,结果可能抽得一件正品,也可能是抽得一件次品。这类现象可看 作在一定条件下的试验或观察,每次试验或观察的可能结果不止一 个,而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。人们发现, 这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性,但在大量重复试验 或观察中,其结果却呈现某种固定的规律性,即统计规律性,称这类 现象为随机现象。概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规 律性的一门数学学科。
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概率统计专业
2.《数理统计引论》
首位中科院院士
国外有关经典著作
1.《概率论的分析理论》
P.- S.拉普拉斯著
1812年版
概率论的最早著作 数理统计最早著作
2. 《统计学数学方法》
H. 克拉默著
1946年版
“赌注分配问 题 ”
Ch1-6
甲、乙两人各出同样的赌注,用掷 硬币作为博弈手段 . 每掷一次,若正面朝 上,甲得 1 分乙不得分. 反之,乙得1分, 甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部 赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分,就 分别达到规定分数时,发生了意外使赌局 不能进行下去,问如何公平分配赌注?
第一章 概率论的基本概念
在现实世界中发生的现象千姿百态, 概括起来无非 是两类现象: 一类是在一定条件下必然出现(或恒不出现)的现象,
例如,在标准大气压下,水加热到 100 时 必定沸腾,三角形内角和为 180 等等.
0 0
我们称这种现象为确定性现象。
读者可以从物理学、化学等其它学科中举出许多这样的实例。
概率论与数理统计
李师煜 江西理工大学数学教研室
Email: lishiyu83@
我想说
•课程的重要性 •课程要求
综合考评 期末成绩
Ch1-2
工科、经管各专业基础 考研基础
平时成绩
课时分配 授课学时 6*8=48
•如何学好
做好预习复习 多看多练多想
按时独立完成布置的作业
基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件. 必然事件——全体样本点组成的事件,记 为, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件. 复合事件: 若干个基本事件组合而成的事件。
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为 样本点,常记为 , = {} 随机事件 (事件)—— 的子集,记为 A ,B ,… 它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
事件发生:当且仅当 该事件中的一个样本点在试验中出现。
例1 给出一组随机试验及样本空间和事件
E1 : 投一枚硬币一次,观察正反面出现的情况 1 {正,反}
A
A
事件
A的对立事件(逆事件)
集合
A的余(补)集
34
Ch1-35
(1)A-B,A与B的差集,表示事件A发生而B不发生。
(6) A B , 且A B .A B或B A.
表示事件A和B为对立事件.
(2) A B, A是B的子集,表示若事件A出现,事件B一定出现. (3) A B( A B), A与B的并集.表示事件A,B至少有一个出现. (4) A B( AB ), A与B的交集.表示事件A和B同时出现. (5) A B , A与B不相交,表示事件A和B不能同时出现, 称A与B互斥(或互不相容).
实践证明, 研究了大量的同类随机现象后, 通常总 揭露出一种完全确定的规律, 也就是大量随机现象所特 有的一种规律性。
例如掷一枚硬币, 如果硬币是均匀的, 当抛掷次数少时, 正面、 反面没有明显的规律性, 随着抛掷次数增大就会发现, 出现正 面的次数占总数的 50%左右。
又如在射击中,当射击次数不大时,靶上命中点的分布是完 全没有规则的,杂乱无章的,没有什么显著的规律性;当射 击次数增加时,分布就开始呈现一些规律,射击次数越大, 规律性越清楚。
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对了: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝 大 多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾 对概率论大加赞美:“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.
而另外的一类情况则比较复杂, 不能确切地测定所 需条件是否出现,当条件具有微小变化时,就会影响到 结果的发生与否。
例如船舶在海洋中航行时,由于受 到波浪的影响而产生各种各样的摇 摆(纵摇、横摇)以及高低起伏。
又如掷一枚硬币,结果可能出现正 面,也可能出现反面,其结果呈现 不确定性。
我们称这类现象为随机现象。
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个划分
A1 A2
A3
i 1


An
An 1
事件的关系与运算 事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算 一致,只是术语不同而已。 记号 Ω φ ω 概率论 样本空间,必然事件 不可能事件 样本点 集合论 空间,全集 空集 元素
Ch1-7
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题;17世纪中叶,法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法,研究了较复杂 的赌博问题, 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即赌注分配问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论;使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利;而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据,以对所考察的
A {正} 表示事件“出现正面”
B {反} 表示事件“出现反面” E2 : 投一枚硬币3次,观察正面出现的次数
2 {0,1, 2, 3}
有限样本空间
C {2, } 表示事件“正面出现两次或3次” 3 D {0} 表示事件“正面不出现”
Ch1-23
注:试验目的不一样,其样本空间也不一样。
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关;
2. 产品的抽样验收,新研制的药品能 否在临床中应用,均要用到《假设检验》;
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》; 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》; 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》; 6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
A A A A ( A B) A
E3 :观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数 3 {0,1, 2, 3,, N }
无限样本空间
F {2, } 表示事件“接到电话次数为2或3” 3
E4 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度
4 {( x, y ) T1 x y T2 }
无限样本空间
其中T1,T2分别是该地区可能的最低与最高温度
A B 发生
A

A B
B
事件 A与事件B 至 少有一个发生
A1 , A2 ,, An 的和事件 —— A1 , A2 ,, An , 的和事件 ——
Ai
i 1
n
Ai
i 1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB —— A 与B 的积事件
A B

A B 发生
事件 A与事件B 同时 发生
A1 , A2 ,, An 两两互不相容

A
B
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥(互不相容)
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
主要教材及参考书
教 材:《概率论与数理统计》第四版 江西高校出版社,2007年6月
参 考 书:《概率论与数理统计》学习指导 书 江西高校出版社,2007年6月 《概率论与数理统计》
浙江大学编
高教出版社
国内有关经典著作
1.《概率论基础及其应用》
王梓坤著
陈希儒著 科学出版社 1976 年版 科学出版社 1981年版
对偶律
A B A B
AB A B
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ai Ai
i 1 i 1
n
n
Ch1-37
分配律
B A C
图 示
A (BC ) ( A B)( A C )
B
A
C
吸收律
A A A A ( AB ) A
§1.1 随机事件、频率、概率
一、样本空间与随机事件 观察一定条件下发生的现象, 称为试验. 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
1、 可在相同的条件下重复进行
——可重复性
2、试验结果不止一个,但事先明确所有可能的 结果
——某种意义下的确定性
3、试验前不能预知出现哪种结果
——不确定性
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间,记为
也就是说个别随机现象虽然无规律的,但是大量性质相
同的随机现象总存在着统计规律性。
确定性现象(决定性现象):在一定条件下
必然出现(或必然不出现)某种结果的现 象, 事前可预言。
随机现象 :在一定条件下,可能出现这样的
结果,也可能出现那样的结果,而且在事先 无法预知确切结果的现象,事前无法预言。 1、每次试验前不能预言出现什么结果 2、每次试验后出现的结果不止一个 3、在相同的条件下进行大量观察或试 验时, 出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性
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