第五章2014典型环节
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自动控制原理简明教程 第五章 频率响应法
= R(s)- C(s)
R(s)
-
E(s) G(s) C(s)
er (s)
E(s) R(s)
1 1 G(s)
ess1(t) A0 er ( jw) sin(wt 0 er ( jw))
(3).求r(t)=0, n(t) An sin t 时的稳态误差ess2(t) 前提也是系统必须稳定。
lg G( jw) lg[ A(w)e ] j(w) lg A(w) j0.434(w)
一般不考虑0.434这个系数。 ∴对数频率特性是由对数幅频特性lgA(w)和对
数相频特性 (w)所组成。
表示频率特性的对数幅值20lgA(w)与对数频率 lgw之间关系的曲线称为对数幅频曲线。
表示相角 (w)与对数频率lgw之间关系的曲线称
结论：
同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5 ω=1
ω=2 ω=2.5
ω=4
5-1 频率特性
一.定义:一个稳定的线性定常系统或环节,当
系统输入为一个正弦信号时，其稳态输出 也为同频率的正弦信号，但振幅与相角不 同于输入。
r(t)
系统数学模型
A0 sin(wt 0 )
C(t)
对数坐标图的坐标 W从1到10的对数分度
L(ω)
对数坐标纸
40db
20db
自动控制原理第五章频域分析法
对数幅频特性：
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 log10，纵坐标采用线性分度用分贝数
(dB)表示。
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
L()(dB)
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
含有积分环节时的开环幅相特性曲线
开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时， 幅值趋于无穷大。
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比 例环节和积分环节决定。
② 当频率ω→∞ 时，假设n>m，G(jω)|=0相角为 (m-n)π/2。
③ 假设G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线 随 ω变化时发生弯曲。
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 log10，纵坐标采用线性分度用分贝数
(dB)表示。
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
L()(dB)
1 / T , L () 2l0 o1 g2 T 2 2l0 o 1 0 g ( d)B
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L ( ) 2l0 o1 g 2 T 2 2l0 o T g
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直
线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
含有积分环节时的开环幅相特性曲线
开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时， 幅值趋于无穷大。
2.系统开环幅相的特点
① 当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完全由比 例环节和积分环节决定。
② 当频率ω→∞ 时，假设n>m，G(jω)|=0相角为 (m-n)π/2。
③ 假设G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线 随 ω变化时发生弯曲。
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
典型环节与系统频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特 性
(3) II型系统 υ=2
系统起点和终点
幅频和相频特性:
m
A(ω
KΠ
)= ω
i=1
2Πn-2
1+(ωτ i )2 1+(ω Tj )2
ω=0
j=1
∑ ∑ φ
ω( )=-180o+ m tg-ω1τ
i =1
i
n-2tg-ω1 Tj
j =1
n-m=3 n-m=2
Im
υ=2
20
1
10
0
T
Tω
-20
φ (ω )
90
渐近线
4
50
ω
第二节 典型环节与系统的频率特
性
6．振荡环节
G曲(s线)=。将s特2+殊2ζ点ωω平n2ns滑+ω连接n2 起来G，(jω可得)=近ω 似n2-ω幅相2ω+频j22nζ率ω特nω性
φ
A(ω(ω幅)=)相=-t频(ωg-率1nω22特ζ-ωnω2性-ω2n)ω曲ω2+2线(n22(因ζ1ω)ζnω奈值氏的)2图不= 同(1-而ωω异n22ωI。m)2+1∞(
G(s)=K
A(ω )= K
(1) 奈氏图
Im
G(jω ) =K φ (ω )= 0o
(2) 伯德图 对数幅频特性：
自动控制原理第五章第二部分
20dB / dec
0dB / dec
20
20dB / dec
0
0.1
1
20
w
40dB / dec
(3)确定开环增益K (0.1, 20)和(1, 20lgK)都位于-20dB/dec的直线上
20 20 lg K 20 K=1 lg 0.1 lg1
G(s)
s(s
1 s 1 0.1 1)( 1 s
当某w 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此w
即为某个环节的转折频率。
(4)确定开环增益K。 m
设：G( jw)
K
( jw)
i 1 n
(1 (1
jwi ) jwTj )
j 1
低频段w<<1时：
L(w
)
20
lg
A(w)
20
lg
K
w
①根据低频段渐近线或其延长线在w =1的分贝值确定K。
一阶微分环节 二阶微分环节
一点+一斜率确定初始段渐近线
(4)从低频渐近线开始，沿w 增大的方向，每遇到一个
转折频率改变一次渐近线斜率，直到绘出转折频率最高 的环节为止；
惯性环节：-20dB/dec 振荡环节： -40dB/dec 一阶微分环节：+20dB/dec 二阶微分环节：+40dB/dec
自动控制原理(胡寿松版)完整第五章ppt课件
ω
nω)2
ω相<频<ω特n 性L(ω曲)线≈2：0lg1 =0dB L(ω ) dB ζ=0.1
ωωωφ>==d>ω0A(ωdωω(ωn)n=L)=-(ωt0gφφ-)1ω≈(ω2(ωζ=2可nω20-)-)ω4=l求n=ωg0-02l9得g(oω0ωωωonn)2
20 0
-20 ζ=0.7
-40
φ (ω )
(2) 伯德图 对数幅频特性：
ω=0 L(ω ) dB
20 -20dB/dec
L(ω )=20lgA(ω )=-20lgω
0 0.1 -20
1
10 ω
ω=1 L(ω )=-20lg1=0dB φ (ω )
ω=0.1 L(ω )=-20lg0.1=20dB 0 0.1
1
10ω
-90
对数相频特性：φ (ω )=-90o
第二节 典型环节与系统的频率特性
(2) 伯德图
对数幅频特性：
L(ω
)=20lg
1 1+(ω T)2
20
L(ω ) dB
渐近线
转折频率
1
10
0
T
T
ω
-20
精确曲线-20dB/dec
LωωωωL(ω相 φ(ω=→=<两>ω<0)(ω频~~)>∞渐TT<~~121T)211特0近=0/lTgl-性(ωωg线tφφφg频11TT曲(ω-ω=相(ω(ω(ω1)段0=2T线T交)<)d)-==),=B2<可2：--点001>94lo>用g05ω的1oo0T为dB--49转500渐Lφ 渐折=(ω用 线近ω2大)精近频0>近-线2l误1确g线率0似/近Td差2曲产1ωB频代似=值=/线生d-段替1代3e为/为的c.T，0替渐渐：。3最近可d近ωB线
5-3-典型环节频率特性的绘制
1 45 2
G(j) 0 -90
G(j0) 1 0
G
j
1 T
1 45 2
G(j) 0 -90
不难看出，随着频率ω=0→∞变化，惯性环节的幅值
逐步衰减，最终趋于0。相位的绝对值越来越大，但
最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。
Im
1
2
0
0
1
Re
5. 振荡环节
传递函数：G(s)
0
Magnitude (dB)
-10 -20
-30
-40
1010--22
1010--11
110000
Frequency (rad/sec)
101011
二阶因子T
(
j)2
1 2
T
(
j)
1
(T
1)幅频特性与
的关系
Bode Diagram
20
0.1
0.2
10
0
Magnitude (dB)
-10
-20
0 Re
极坐标图一条与虚轴负段相重合的
直线。
0
4. 惯性环节
传递函数：G(s) 1
Ts 1
频率特性：G
jω
1 1 jωT
1
1 ω2T2
ωT j 1 ω2T2
Aω
自动控制理论第五章频率分析法1.详解
1. 将开环传递函数化为各典型环节传递函数相乘的形 式，并将分子分母中各因式常数项系数化为1。转化为 开环对数幅频特性；
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
1
1 2ζ ζ
2
对数幅频特性
L ω 20lg 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
对数相频特性
2ζ Tω ω tg 2 2 1 T ω
1
低频段，即ωT<<1时
L ω 20lg1＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的 稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t ) Ar sin t
其稳态输出可写为
c(t ) Ac sin( t )
Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角
2.确定出系统开环增益K，并计算 20lg K 。
3.确定各有关环节的转折频率，并把有关的转折频率 标注在半对数坐标的横轴上。 4.在半对数坐标上确定=1(1/s)且纵坐标等于20lgK dB的 点A。过A点做一直线，使其斜率等于-20νdB/dec。当ν=0, ν=1, ν=2时，斜率分别是(0，-20，-40)dB/dec。
1
1 2ζ ζ
2
对数幅频特性
L ω 20lg 1 T ω
2
2 2
2ζ Tω
2
对数相频特性
2ζ Tω ω tg 2 2 1 T ω
1
低频段，即ωT<<1时
L ω 20lg1＝ 0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
基本概念
系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的 稳态响应。
r(t)
系统
c(t)
一个稳定的系统，假设有一正弦信号输入
r (t ) Ar sin t
其稳态输出可写为
c(t ) Ac sin( t )
Ac-稳态输出的振幅 -稳态输出的相角
自动控制原理 第五章 控制系统的频率特性法
§5-1 基本概念
频率特性的基本概念
已知：r t 5 sin 2t，求ess 例 1．
解： e s
1 1 Gk 1 1 1 s1 s1 s2
1 j 1 22 10 e j 2 2 (tg 1 2 tg 1 1) (63.4 45) 0.7918.4 2 j 4 2 2
Uc 1 为RC网络的幅频特性 A( ) 2 2 因此称 Ur 1 T ( ) tg 1T 为RC网络的相频特性 c r c 统称频率特性。
绘制频率特性图如下页所示
§5-1 基本概念
频率特性的基本概念
§5-1 基本概念
U rm B lim [ s j T
§5-1 基本概念
频率特性的基本概念
TU rm U c ( s) 1 2T 2
U rm 1 jtg1T 1 1 jtg1T 1 e e 2 2 2j 2 2 2j 1 s j s j 1 T 1 T s T
j s
s j
G( s )
△说明：⑴频率特性只适用于线性定常系统，否则 不能用拉氏变换。 ⑵上述理论在稳定前提下推出，如不稳定
则ct t 也不趋于0，c(t )也不趋向于cs t ，
§5-1 基本概念
频率特性的基本概念
典型环节的频率特性
G ( j ) arctg 90 0 0
（三）
惯性环节
G (s)
G ( j )
惯性环节的传递函数为
1 Ts 1
1
频率特性
jT 1
1
幅频特性和相频特性分别是
1 T 2 2 G( j ) arctgT
G( j )
0
G( j 0) 1
0
r
（五） 一阶微分环节
典型一阶微分环节的传函数为
G ( s) s 1
其中τ 为微分时间常数、1为比例项因子，严格说，上式表示的是
一阶比例微分环节，由于实际的物理系统中理想微分环节（即不含比 例项）是不存在的，故用比例微分环节作为一阶微分环节的典型形式。 一阶微分环节的频率特性为
G( j ) j 1
1
1/ T
惯性环节的频率响应
惯性环节是一个低通滤波环节和相位滞后环节。在低频范围内，对输 入信号的幅值衰减较小，滞后相移也小，在高频范围内，幅值衰减较大，
滞后相角也大，最大滞后相角为90゜ 。
K jT 1 K 其频率特性是圆心为 ,0 ，半径为 K 的实轴下方半个圆周。
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，即 G ( j )
幅频特性和相频特性分别为
G( j ) 2 2 1
G( j ) arctg
自动控制原理第5章
Xω Y ( s ) = R ( s )Φ ( s ) = Φ(s) ( s + jω )( s − jω )
A1 A2 B1 B2 Bn = + + + + ..... + s + jω s − jω s + s1 s + s2 s + sn
n A1 A2 Bi = + +∑ s + jω s − jω i =1 s + si
此直线方程过（ ， ）点且斜率为-20dB/十倍频程 此直线方程过（1/T，0）点且斜率为 十倍频程
20
典型环节的频率特性
精确曲线的作法： 精确曲线的作法：
在渐近线上修正 分析： 分析：
ω < 时,
L准 (ω) = −20lg 1+ ω2T 2 L近(ω) = 0 ∆L(ω) = L准 (ω) − L近(ω) = −20lg 1+ ω2T 2 1 T
A1, A2, B1 ,....Bn
….待定系数 待定系数
3
频率特性的基本概念
y (t ) = ( A1e
− jω
+ A2 e ) + ∑ Bi e
jω i =1
n
n
− si t
t≥0
=0
式中， 稳定的系统
A1 =
典型环节的电路模拟
比例环节R1=100.R2=100K 比例环节R1=100K,R2=200K
比例积分环节R1=100K，R2=100K，C=10uF
比例微分环节R1=100K,R2=100K,C=1uF
比例积分微分环节R1=100K,R2=100K,C1=1Uf,C2=1Uf
比例积分微分环节R1=100K,R2=100K,C1=1UF,C2=10UF 惯性环节R1=100K,R2=100K,C=10uF
惯性环节R1=100K,R2=200K,C=1uF
典型环节传递函数及伯德图
惯性环节一阶积分环节是一个相位滞后环节1电阻电容电路将电容的电流代入上式得对上式进行拉氏变换并整理得自动控制系统中经常含有这种环节这种环节含有一个储能元件如储存磁场能的电感储存电场能的电容储存弹性势能的弹簧和储存动能的机械负载等和一个耗能元件如电阻阻尼器等
开环传递函数的物理意义
若将闭环反馈系统中的反馈环节输出端断开，则 断开处的作用量与输入量的传递关系如图所示。 但应注意不要和开环系统的传递函数相混淆。
而测厚信号
与厚差信号
之间关系为
6. 延迟环节
G( s) es
G( j) 1 L() 20lg G( j) 0dB
L( )(dB)
20
G( j) e j G( j) (rad) 57.3(度)
( ) 57.3(度)
j
0 0.1 1 0
•微分环节输入量与输出量的关系与积分环节恰恰相反，将积分环节的 输入与输出相对换就是微分环节，例如速度与加速度、位移与速度等。 下面通过两个实例来加以说明。
（１）齿条齿轮传动
齿轮的角速度与齿条的位移是微分关系。以齿条的直线位移为输 入，齿轮的角速度为输出时有
对上式进行拉氏变换可得
３. 理想微分环节
1 T
10 T
（１）电阻、电容电路 如图所示。由基尔霍夫定律有
将电容的电流 代入上式得
开环传递函数的物理意义
若将闭环反馈系统中的反馈环节输出端断开，则 断开处的作用量与输入量的传递关系如图所示。 但应注意不要和开环系统的传递函数相混淆。
而测厚信号
与厚差信号
之间关系为
6. 延迟环节
G( s) es
G( j) 1 L() 20lg G( j) 0dB
L( )(dB)
20
G( j) e j G( j) (rad) 57.3(度)
( ) 57.3(度)
j
0 0.1 1 0
•微分环节输入量与输出量的关系与积分环节恰恰相反，将积分环节的 输入与输出相对换就是微分环节，例如速度与加速度、位移与速度等。 下面通过两个实例来加以说明。
（１）齿条齿轮传动
齿轮的角速度与齿条的位移是微分关系。以齿条的直线位移为输 入，齿轮的角速度为输出时有
对上式进行拉氏变换可得
３. 理想微分环节
1 T
10 T
（１）电阻、电容电路 如图所示。由基尔霍夫定律有
将电容的电流 代入上式得
自动控制原理第五章
线性分度，单位是分贝（dB）；对数相频曲线的纵坐标按 φ(ω) 线性分度，单位是度（°）。由此构成的坐标系称为 半对数坐标系。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度 称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
G( j) A()e j()
• 上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也 适用于不稳定系统。
• 对于稳定系统，系统的频率特性可以通过实验法获 得，即在输入端施加不同频率的正弦信号，然后测 量系统输出的稳态相应，再根据系统的幅值比和相 位差做出系统的频率特性曲线，频率特性也是系统 数学模型的一种表达形式。
ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2-2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0， 0 <
ξ <1
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
ω和lgω的关系表
① ω轴为对数分度， 即采 用相等的距离代表相等的 频率倍增，在伯德图中横 坐标按μ=lgω均匀分度。 ② ω=0在对数分度的坐标系中的负无穷远处，ω =0不可能 在横坐标上表示出来，横坐标上表示的最低频率由所感兴 趣的频率范围确定。 ③ 从表中可以看出，ω的数值每变化10倍， 在对数坐标 上lgω相应变化一个单位。 频率变化10倍的一段对数刻度 称为“十倍频程”， 用“dec”表示。
G( j) A()e j()
• 上述关于频率特性的定义，即适用于稳定系统，也 适用于不稳定系统。
• 对于稳定系统，系统的频率特性可以通过实验法获 得，即在输入端施加不同频率的正弦信号，然后测 量系统输出的稳态相应，再根据系统的幅值比和相 位差做出系统的频率特性曲线，频率特性也是系统 数学模型的一种表达形式。
ξ <1 ➢ 二阶微分环节：(s/ωn)2-2 ξ s/ωn+1；式中ωn>0， 0 <
ξ <1
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
自动控制原理 第五章 第一讲 典型环节和开环频率特性
B B
输出稳态分 量的幅值比
输出稳态分 量的相位差
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。 幅频特性， 称相频特性。二者统称为频率特性。
输出的傅氏变化 频率特性= 频率特性 输入的傅氏变化
稳定的系统
因输出和输入为同频率的正弦函数， 因输出和输入为同频率的正弦函数，所以分别从 幅值和相位的变化定义。 幅值和相位的变化定义。
(dB) 40 20 0 0.1 -20 (o) 180 0 -180 图5.12 振荡环节的对数坐标图 0.1 1 10 ω/ωn 1 40dB/dec 10 ω/ωn -40dB/dec
(a)
(b)
最小相角系统和非最小相角系统
相位)系统的零点 平面的左半平面， 平 •最小相角(相位 系统的零点、极点均在 平面的左半平面，在s平 最小相角 相位 系统的零点、极点均在s平面的左半平面 面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。 面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。
典型环节
•比例环节：G（s）= K 比例环节： （ ） •惯性环节： G（s）= 1/(Ts+1)，式中T>0 惯性环节： （ ） ，式中 •一阶微分环节： G（s）= (Ts+1)，式中 一阶微分环节： （ ） ，式中T>0 •积分环节： G（s）= 1/s 积分环节： （ ） 微分环节： （ ） •微分环节： G（s）= s •振荡环节： G（s）= 1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 振荡环节： （ ） 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1 二阶微分环节： （ ） •二阶微分环节： G（s）= (s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ω ， 式中 n>0，0<ζ<1
典型环节的频率特性
( ) (rad )
-90° -180° -270° -360° -450° -540°
1 10 1 5 1 2 1
( )
2
5
33
2014年5月25日
延迟环节Nyiquist曲线
Im
1
Re
2014年5月25日
34
7、 一阶不稳定系统频率特性：
8、最小相位系统（环节）
j1
n1
(s
k 1 m
n2
2
2 k k s k )
m
2
1 z i K s 1 i 1 i 1 z i
n2 1 2 s j s 1 (s 2 2 k k s k ) j1 j1 s j k 1 n1 n1
2014年5月25日
13
3. 积分环节的频率特性：
1 G (s) s
1 1 2 G( j ) e j
A( ) 1
幅相频率特性图
幅频特性： 相频特性：
1
( ) tg (
1
0)
2
绘制方法
（1）
0
A( ) ( )
（2） （3）
特性
典型环节
2
ϕ (ω ) = − tan ωT
ω →0
ω →∞
1 ωT = T
ϕ (ω ) ≈ 0 L(ω ) ≈ −20 lg ωT ϕ (ω ) ≈ −90 o
o
L(ω ) ≈ 0 dB
0
1 T
10 T
100 T
ω
ϕ (ω )
− 20 dB dec
0 − 45o
− 90o
ω
L(ω T ) = −20 lg 2 ≈ −3dB
一、典型环节的伯德图 1、放大环节
∠ G ( jω ) = 0 o L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg K
L(ω )
0
G ( jω ) = K
K>1 K=1 K<1
ω
ϕ (ω )
0
ω
2、积分环节
1 G ( jω ) = jω
L(ω ) = 20 lg
二重积分 G ( jω ) =
系统型别
e ss
K
1 = 1+ Kp
p
e ss
K
v
1 = Kv
= 0
= K 1 K
e ss
K
a
= K
1 = Ka
= 0
0型
e ss =
1 1 + K
e ss = ∞ K
ϕ (ω ) = − tan ωT
ω →0
ω →∞
1 ωT = T
ϕ (ω ) ≈ 0 L(ω ) ≈ −20 lg ωT ϕ (ω ) ≈ −90 o
o
L(ω ) ≈ 0 dB
0
1 T
10 T
100 T
ω
ϕ (ω )
− 20 dB dec
0 − 45o
− 90o
ω
L(ω T ) = −20 lg 2 ≈ −3dB
一、典型环节的伯德图 1、放大环节
∠ G ( jω ) = 0 o L(ω ) = 20 lg G ( jω ) = 20 lg K
L(ω )
0
G ( jω ) = K
K>1 K=1 K<1
ω
ϕ (ω )
0
ω
2、积分环节
1 G ( jω ) = jω
L(ω ) = 20 lg
二重积分 G ( jω ) =
系统型别
e ss
K
1 = 1+ Kp
p
e ss
K
v
1 = Kv
= 0
= K 1 K
e ss
K
a
= K
1 = Ka
= 0
0型
e ss =
1 1 + K
e ss = ∞ K
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2014-11-15 第五章 频率法 24
半对数坐标：一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是
分度不均匀的对数坐标轴。该图中的纵坐标轴（y轴）是对数 坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对
数值，但是在该点标出的值是真数。
2014-11-15
第五章 频率法
25
lg W ( j ) lg A() j0.434 ()
调整系统的参数来获得预期结果。它弥补了时域分
析法中某一参数变化时特征不明显的不足。特别适 用于高阶系统的分析求解。 在数学模型问题、高频噪声问题等方面仍然存 在不足。
2014-11-15 第五章 频率法 3
频域分析法
基于频率特性和频率响应对系统进行分析的方 法。图解分析和设计的方法。
频域分析法的特点： 1）工程方法，根据频率特性可间接揭示系统的性能，
t
jt
xc (t ) A01e
A01 W (s)
A02e
jt
X r X rW ( j ) ( s j ) s j s2 2 2j
Xr A02 W ( s ) 2 ( s j ) 2 s
2014-11-15
X rW ( j ) s j 2j
2014-11-15 第五章 频率法 12
（3）频率特性与传递函数的关系
X c (s) W (s) X r (s) K g ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
xr (t ) X r sin t
输出的拉氏变换为：
X r (s) X r
s2 2
两张图。
W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ) e j ( ) A( )e j ( )
对上式两边取对数，得：
以10为底取对数
lg W ( j ) lg[ A( )e j ( ) ] lg A() j () lg e lg A( ) j 0.434 ( )
一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。 通常将对数特性绘在以10为底的对数坐标中，则
dB ( ) ( ) 或 rad
L( ) 20 lg A( )
例如 A( )＝1，
对数幅频特性
对数相频特性
则L 0dB
A( )＝10， 则L 20dB A( )＝100，则L 40dB
第 5章
频率法
频域分析法: 用频率响应(特性)来分析系统的方法。 Frequency Domain Response Analysis
二〇一四年十一月
2014-11-15 第五章 频率法 1
时域分析法——解析分析法
1）以单位阶跃响应为基础的分析方法。具有直观、明确 的物理意义。 2）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析。 3）是一种基于数学模型（传递函数）的分析方法。 4）参数的全局特征不明显。在某一参数连续变化对系统
2014-11-15
第五章 频率法
8
例5.1 R-L串联回路
正弦输入 u U sin t
同频输出 i I sin t
U e jt U
Z R j L
U I R j L U R 2 ( L) 2 e j ( t )
arctan
2014-11-15
第五章 频率法
21
两种形式之间的转换
W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ) e j ( ) A( )e j ( )
式中： A( )
P 2 ( ) Q 2 ( )
Q ( w) P ( w)
f (w) = arctan
A(ω)为复数频率特性的模值或幅值，即幅频特性。
影响的分析无能为力。
5）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如 何调整系统的参数来获得预期结果。 6）对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
2014-11-15 第五章 频率法 2
根轨迹法——图解分析法
根轨迹法是一种快速、简洁而实用的图解分 析法。由开环的零极点来研究闭环极点（闭环系统） 的方法。它根据图形的变化趋势即可得到系统性能 随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何
熟练掌握系统稳定裕量的物理含义和计算方法；
建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系， 能够定性地分析系统的性能；
第五章 频率法 6
2014-11-15
5.1 频率特性的基本概念
1. 频率特性
给稳定的线性系统输入一个正弦信号，系统的稳态
输出也是一个与输入信号同频率的正弦信号，其幅值
和相位随输入信号频率的变化而变化。 输出
A01 A02 A1 X c (s) W (s) X r s s j s j s p1
2014-11-15
An s pn
第五章 频率法 14
xc (t ) A01e
jt
A02e
jt
A1e
p1t
Ane
pnt
稳态时
φ(ω)为复数频率特性的辐角或相位，即相频特性。
2014-11-15 第五章 频率法 22
当 ： 0 变化时，矢量W j 终端所描绘的曲线称为 该环节的幅相频率特性 或奈氏图。
2014-11-15 第五章 频率法 23
2. 对数频率特性（ Bode图）
在半对数坐标中，表示频率特性的对数幅值 20lgA(ω)与对数频率lgω，相角()与对数频率 lgω之间关系的曲线图称为对数频率特性或Bode图。
Wn j An e jn
Wk j WW 1 2
Wn A1 A2
An1 2
n
L L1 Ln ,
2014-11-15
1 n
第五章 频率法 28
对数相频特性：
横坐标:
纵坐标：
( )
180 0 900 0.1 1 10 100
其中：
Xc A( ) W ( j ) Xr
X c A( ) X r
系统的幅频特性
系统的相频特性
第五章 频率法 16
( ) W ( j )
2014-11-15
X c ( j ) 频率特性： W ( j ) A( )e j ( ) X r ( j )
输入
线性系统
Xrsinωt
2014-11-15
Xcsin(ωt+φ)
第五章 频率法 7
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
保持幅值不变，增大频率，输入输出曲线如下: 给系统输入正弦信号，
给稳定的线性系统输入一个正弦信号，其稳态 结论： 输出是与输入同频率的正弦信号，称为频率响 应。其幅值随ω而变，相角也是ω的函数。 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4 Ar=1 ω=0.5
输出的复数形式 频率特性＝ 输入的复数形式
X c ( j ) W ( j ) A( )e j X r ( j )
幅频特性与相 频特性总和为 频率特性
2014-11-15
第五章 频率法
11
（2） 频率法
是一种工程上常用的方法。
频率法是用系统对正弦信号的稳态响 应（频率特性）来描述系统的性能。系统 的频率特性与性能之间有密切的关系。通 过研究频率特性，能间接地揭示系统的暂 态特性和稳态特性。用研究频率特性的方 法来研究控制系统称为控制系统的频率分 析法。
指导控制系统的设计； 2）频率特性可通过试验获得； 3）以图解分析、设计为主；
简单迅速地判断出某环节或参数对系统性能的影响，
4）可研究噪声问题，可设计出能有效抑制噪声的系统。
2014-11-15 第五章 频率法 4
主要内容
• 频率特性的基本概念 • 频率特性的表示方法
• 典型环节的频率特性
• 系统开环频率特性的绘制
X c ( s) 传递函数： W (s) X r ( s)
频率特性与传递函数之间的关系：
W ( j ) W ( s )
2014-11-15
s j
第五章 频率法
17
微分方程
时域 复数域 频域
线性定常系统的数学模型
传递函数 频率特性 微分 方程
到此已给 出了线性 定常系统 数学模型 的三大表 示体系。
2014-11-15 第五章 频率法 26
对数幅频特性：
dB
L() 20lg A() 半对数坐标
注意：
（1）在对数坐标上找不到ω=0的
点。因为 lg 0 。
均 匀 分 度
（2）原点不定，可根据需要而定。
对数分度，按 lg
(rad/s)
2014-11-15
一个十倍频程，以“dec”表示（
传递 函数
系 统
频率 特性
s j
2014-11-15 第五章 频率法 18
（4）频率特性的求取
a、根据传递函数求取 用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
即： W ( j ) W ( s)
s j
b、通过实验的方法直接测得
2014-11-15
第五章 频率法
19
5.2 频率特性的几何表示方法
面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以 相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。 这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔 斯图或尼氏图。
2014-11-15
第五章 频率法
31
5.3 典型环节的频率特性
• 1. 比例环节
• 2.
• 3.
惯性环节
积分环节
• 4.
• 用频率法分析控制系统的稳定性
• 系统暂态特性和开环频率特性的关系 • 闭环系统频率特性 • 系统暂态特性和闭环频率特性的关系
2014-11-15 第五章 频率法 5
学习重点
了解频率特性的基本概念，掌握不同的表示方法； 了解典型环节的频率特性； 熟练掌握波德图和奈氏图的绘制方法； 理解和掌握奈氏稳定判据，会用奈氏判据判断系统 的稳定性；
2014-11-15
L
R
第五章 频率法 9
频率特性： U 作为输入量，I 作为输出量
1/ R 1/ R j j 1 I e A ( ) e W ( j ) 2 1 T j R j L 1 ( T ) U
物理意义： 给出了不同频率下电路传递正弦信号的能力。
A( ) 1/ R 1 (T )
2
, T L/ R
arctan T
幅频特性
arctan
2014-11-15
L
R
相频特性
第五章 频率法 10
（1）频率特性定义
线性系统（或环节）在正弦输入下，稳 态时，输出量与输入量之比叫做系统（或环节） 的频率特性。
与幅频特性相同。
表示相位移 的均匀 分度，单位：弧度或度。
度
(rad/s)
900
2014-11-15
第五章 频率法
29
注意：
对数幅频特性和对数相频特性（两张图）
和起来称为对数频率特性，又称为Bode
图。
2014-11-15
第五章 频率法
30
3. 对数幅相特性（尼氏图）
将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平
第五章 频率法 15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xc (t ) A01e jt A02e jt
W ( j ) A( )e j W ( j ) A( )e j
X rW ( j ) A01 2j X W ( j ) A02 r 2j
e j (t ) e j (t ) xc (t ) A() Xr 2j A( ) X r sin(t ) X c sin(t )
decade ）
第五章 频率法
27
为什么要采用对数坐标？
(1)在研究频率范围很宽的频率特性时，可缩小比例 尺，在一张图上表示出低、中、高频段的特性， 便于分析。
(2)大大简化频率特性的绘制。因为系统往往是由多 个环节串联构成的，设频率特性为:
W1 j A1 e
j1
常用的表示方法：
1. 幅相频率特性（奈氏图） 2. 对数频率特性（Bode图）
[极坐标或直角坐标]
[对数坐标] [对数坐标]
3. 对数幅相特性（尼氏图）
2014-11-15
第五章 频率法
20
1. 幅相频率特性（奈氏图）
在极坐标系或直角坐标系中，以频率ω为参变量， 绘制W(jω)的幅频特性A(ω)和相频特性ϕ(ω)之间关系 的曲线。
半对数坐标：一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是
分度不均匀的对数坐标轴。该图中的纵坐标轴（y轴）是对数 坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应数的对
数值，但是在该点标出的值是真数。
2014-11-15
第五章 频率法
25
lg W ( j ) lg A() j0.434 ()
调整系统的参数来获得预期结果。它弥补了时域分
析法中某一参数变化时特征不明显的不足。特别适 用于高阶系统的分析求解。 在数学模型问题、高频噪声问题等方面仍然存 在不足。
2014-11-15 第五章 频率法 3
频域分析法
基于频率特性和频率响应对系统进行分析的方 法。图解分析和设计的方法。
频域分析法的特点： 1）工程方法，根据频率特性可间接揭示系统的性能，
t
jt
xc (t ) A01e
A01 W (s)
A02e
jt
X r X rW ( j ) ( s j ) s j s2 2 2j
Xr A02 W ( s ) 2 ( s j ) 2 s
2014-11-15
X rW ( j ) s j 2j
2014-11-15 第五章 频率法 12
（3）频率特性与传递函数的关系
X c (s) W (s) X r (s) K g ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
xr (t ) X r sin t
输出的拉氏变换为：
X r (s) X r
s2 2
两张图。
W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ) e j ( ) A( )e j ( )
对上式两边取对数，得：
以10为底取对数
lg W ( j ) lg[ A( )e j ( ) ] lg A() j () lg e lg A( ) j 0.434 ( )
一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。 通常将对数特性绘在以10为底的对数坐标中，则
dB ( ) ( ) 或 rad
L( ) 20 lg A( )
例如 A( )＝1，
对数幅频特性
对数相频特性
则L 0dB
A( )＝10， 则L 20dB A( )＝100，则L 40dB
第 5章
频率法
频域分析法: 用频率响应(特性)来分析系统的方法。 Frequency Domain Response Analysis
二〇一四年十一月
2014-11-15 第五章 频率法 1
时域分析法——解析分析法
1）以单位阶跃响应为基础的分析方法。具有直观、明确 的物理意义。 2）对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析。 3）是一种基于数学模型（传递函数）的分析方法。 4）参数的全局特征不明显。在某一参数连续变化对系统
2014-11-15
第五章 频率法
8
例5.1 R-L串联回路
正弦输入 u U sin t
同频输出 i I sin t
U e jt U
Z R j L
U I R j L U R 2 ( L) 2 e j ( t )
arctan
2014-11-15
第五章 频率法
21
两种形式之间的转换
W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ) e j ( ) A( )e j ( )
式中： A( )
P 2 ( ) Q 2 ( )
Q ( w) P ( w)
f (w) = arctan
A(ω)为复数频率特性的模值或幅值，即幅频特性。
影响的分析无能为力。
5）系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如 何调整系统的参数来获得预期结果。 6）对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无能为力。
2014-11-15 第五章 频率法 2
根轨迹法——图解分析法
根轨迹法是一种快速、简洁而实用的图解分 析法。由开环的零极点来研究闭环极点（闭环系统） 的方法。它根据图形的变化趋势即可得到系统性能 随某一参数变化的全部信息，从而可以获得应如何
熟练掌握系统稳定裕量的物理含义和计算方法；
建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系， 能够定性地分析系统的性能；
第五章 频率法 6
2014-11-15
5.1 频率特性的基本概念
1. 频率特性
给稳定的线性系统输入一个正弦信号，系统的稳态
输出也是一个与输入信号同频率的正弦信号，其幅值
和相位随输入信号频率的变化而变化。 输出
A01 A02 A1 X c (s) W (s) X r s s j s j s p1
2014-11-15
An s pn
第五章 频率法 14
xc (t ) A01e
jt
A02e
jt
A1e
p1t
Ane
pnt
稳态时
φ(ω)为复数频率特性的辐角或相位，即相频特性。
2014-11-15 第五章 频率法 22
当 ： 0 变化时，矢量W j 终端所描绘的曲线称为 该环节的幅相频率特性 或奈氏图。
2014-11-15 第五章 频率法 23
2. 对数频率特性（ Bode图）
在半对数坐标中，表示频率特性的对数幅值 20lgA(ω)与对数频率lgω，相角()与对数频率 lgω之间关系的曲线图称为对数频率特性或Bode图。
Wn j An e jn
Wk j WW 1 2
Wn A1 A2
An1 2
n
L L1 Ln ,
2014-11-15
1 n
第五章 频率法 28
对数相频特性：
横坐标:
纵坐标：
( )
180 0 900 0.1 1 10 100
其中：
Xc A( ) W ( j ) Xr
X c A( ) X r
系统的幅频特性
系统的相频特性
第五章 频率法 16
( ) W ( j )
2014-11-15
X c ( j ) 频率特性： W ( j ) A( )e j ( ) X r ( j )
输入
线性系统
Xrsinωt
2014-11-15
Xcsin(ωt+φ)
第五章 频率法 7
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
保持幅值不变，增大频率，输入输出曲线如下: 给系统输入正弦信号，
给稳定的线性系统输入一个正弦信号，其稳态 结论： 输出是与输入同频率的正弦信号，称为频率响 应。其幅值随ω而变，相角也是ω的函数。 ω=1 ω=2 ω=2.5 ω=4 Ar=1 ω=0.5
输出的复数形式 频率特性＝ 输入的复数形式
X c ( j ) W ( j ) A( )e j X r ( j )
幅频特性与相 频特性总和为 频率特性
2014-11-15
第五章 频率法
11
（2） 频率法
是一种工程上常用的方法。
频率法是用系统对正弦信号的稳态响 应（频率特性）来描述系统的性能。系统 的频率特性与性能之间有密切的关系。通 过研究频率特性，能间接地揭示系统的暂 态特性和稳态特性。用研究频率特性的方 法来研究控制系统称为控制系统的频率分 析法。
指导控制系统的设计； 2）频率特性可通过试验获得； 3）以图解分析、设计为主；
简单迅速地判断出某环节或参数对系统性能的影响，
4）可研究噪声问题，可设计出能有效抑制噪声的系统。
2014-11-15 第五章 频率法 4
主要内容
• 频率特性的基本概念 • 频率特性的表示方法
• 典型环节的频率特性
• 系统开环频率特性的绘制
X c ( s) 传递函数： W (s) X r ( s)
频率特性与传递函数之间的关系：
W ( j ) W ( s )
2014-11-15
s j
第五章 频率法
17
微分方程
时域 复数域 频域
线性定常系统的数学模型
传递函数 频率特性 微分 方程
到此已给 出了线性 定常系统 数学模型 的三大表 示体系。
2014-11-15 第五章 频率法 26
对数幅频特性：
dB
L() 20lg A() 半对数坐标
注意：
（1）在对数坐标上找不到ω=0的
点。因为 lg 0 。
均 匀 分 度
（2）原点不定，可根据需要而定。
对数分度，按 lg
(rad/s)
2014-11-15
一个十倍频程，以“dec”表示（
传递 函数
系 统
频率 特性
s j
2014-11-15 第五章 频率法 18
（4）频率特性的求取
a、根据传递函数求取 用s=j代入系统的传递函数，即可得到。
即： W ( j ) W ( s)
s j
b、通过实验的方法直接测得
2014-11-15
第五章 频率法
19
5.2 频率特性的几何表示方法
面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以 相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。 这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔 斯图或尼氏图。
2014-11-15
第五章 频率法
31
5.3 典型环节的频率特性
• 1. 比例环节
• 2.
• 3.
惯性环节
积分环节
• 4.
• 用频率法分析控制系统的稳定性
• 系统暂态特性和开环频率特性的关系 • 闭环系统频率特性 • 系统暂态特性和闭环频率特性的关系
2014-11-15 第五章 频率法 5
学习重点
了解频率特性的基本概念，掌握不同的表示方法； 了解典型环节的频率特性； 熟练掌握波德图和奈氏图的绘制方法； 理解和掌握奈氏稳定判据，会用奈氏判据判断系统 的稳定性；
2014-11-15
L
R
第五章 频率法 9
频率特性： U 作为输入量，I 作为输出量
1/ R 1/ R j j 1 I e A ( ) e W ( j ) 2 1 T j R j L 1 ( T ) U
物理意义： 给出了不同频率下电路传递正弦信号的能力。
A( ) 1/ R 1 (T )
2
, T L/ R
arctan T
幅频特性
arctan
2014-11-15
L
R
相频特性
第五章 频率法 10
（1）频率特性定义
线性系统（或环节）在正弦输入下，稳 态时，输出量与输入量之比叫做系统（或环节） 的频率特性。
与幅频特性相同。
表示相位移 的均匀 分度，单位：弧度或度。
度
(rad/s)
900
2014-11-15
第五章 频率法
29
注意：
对数幅频特性和对数相频特性（两张图）
和起来称为对数频率特性，又称为Bode
图。
2014-11-15
第五章 频率法
30
3. 对数幅相特性（尼氏图）
将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平
第五章 频率法 15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xc (t ) A01e jt A02e jt
W ( j ) A( )e j W ( j ) A( )e j
X rW ( j ) A01 2j X W ( j ) A02 r 2j
e j (t ) e j (t ) xc (t ) A() Xr 2j A( ) X r sin(t ) X c sin(t )
decade ）
第五章 频率法
27
为什么要采用对数坐标？
(1)在研究频率范围很宽的频率特性时，可缩小比例 尺，在一张图上表示出低、中、高频段的特性， 便于分析。
(2)大大简化频率特性的绘制。因为系统往往是由多 个环节串联构成的，设频率特性为:
W1 j A1 e
j1
常用的表示方法：
1. 幅相频率特性（奈氏图） 2. 对数频率特性（Bode图）
[极坐标或直角坐标]
[对数坐标] [对数坐标]
3. 对数幅相特性（尼氏图）
2014-11-15
第五章 频率法
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1. 幅相频率特性（奈氏图）
在极坐标系或直角坐标系中，以频率ω为参变量， 绘制W(jω)的幅频特性A(ω)和相频特性ϕ(ω)之间关系 的曲线。