幂函数优质课比赛
幂的运算优质课优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
少千米？
105×10 7等于多少呢？
第3页
105×107
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
5个10
（依据 幂意义 .）
7个10
=10×10×···×10 （依据 乘法结合律 .）
12个10
12
=10
（依据 幂意义
.）
第4页
做一做
1、计算以下各式：
（1）102×103；
（2）105×108；
=102+3.
第6页
（2） 105×10 8
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
5个10
(依据 幂意义 .）
8个10
=10×10×···×10 依据（ 乘法结合律 .）
13个10
=1013 依据（ 幂意义 .）
=105+8
第7页
（3） 10m×10 n =（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
（3）10m×10n（m，n都是正整数）.
你发觉了什么？
2、2m×2n等于什么？（ （m，n 都是正整数.）
7）1 m×（
）71 n 呢？
第5页
1.（1）102 ×103 =（10×10）×（10×10×10） （依据 幂意义 .） =10×10×10×10×10 （依据 乘法结合律 .） =105 （依据 幂意义 .）
第18页
课堂
小结
幂意义:
an= a·a·… ·a
n个a
同底数幂乘法性质：
am ·an =am+n(m、n都是正整数）
底数 不变 ，指数 相加 .
第19页
第16页
幂函数说课课件定稿-PowerPoint演示文稿省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(1) 当α ＞1 时，幂函数增长先慢后快，是“激增 型”；
(2) 当 0＜α ＜1 时，幂函数增长先快后慢，是“缓 增型”.
当α <0时,幂函数在区间 0, 上是减函数，
在第一象限内,当x从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y轴，当x从原点趋向于正无穷时图象在x 轴上方无限逼近x轴.
在第一象限内，在直线x =1旳右侧，α越小，幂函数图像 越接近x轴.
探究九：在 0,上哪些函数是增函数，
哪些函数是减函数？你能总结出规律吗？
学生活动：当α ＞0 时，幂函数是增函数；
当α ＜0 时，幂函数是减函数.
三、教学过程旳设计 3
进一步探究，归纳提 升
3
三、教学过程旳设计
进一步探究，归纳提
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当α ＞0时，幂函数在0,是增函数，在第一象限
内，增长趋势却各不相同:
实例引出 形成概念
知识回忆 明确措施
学生活动 三、教学过程旳设计
创设情境，引出概念
问题1：指数函数旳定义是什么？
一般地，函数y a x a 0,且a 1叫做指数函数，
其中x是自变量，函数的定义域是R
问题2：现在我们把指数函数y ax a 0,且a 1
中a, x位置交换，即y xa,它还是函数吗？
实例引出 形成概念
知识回忆 明确措施
三、教学过程旳设计
知识回忆，明确措施
1.明拟定义 抽象概括
回忆：研究指数函数、对数函数旳过程与措施
2.绘制图象 3.探究性质 4.应用提升
描点法作图 数形结合 应用指数函数、对数函数定义及性质
三、教学过程旳设计
布置作业 巩固提升
回忆反思 建构体系
幂函数优质课优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
-2
rx = x-1
O
1-1Βιβλιοθήκη 2x-21
y x y x2 y x3 y x2 y x1
定义域 R
R
R
[0,+∞)
(-∞,0) ∪(0,+∞)
值域 R 单调性 R上增函数 奇偶性 奇函数
[0,+∞)
R
(-∞,0)上减函数 [0,+∞)上增函数 R上增函数
偶函数
奇函数
[0,+∞)
(-∞,0) ∪(0,+∞)
(6) y=x3+2
例 已知幂函数f(x)图象经过点(4,2),试求 出此函数解析式.
第4页
二、幂函数性质研究
以 (1) y x (2) (3) y x3 (4)
y x2
1
y x2
(5) y x1
为例研究幂函数性质
第5页
y gx = x2
2
hx = x3
1
fx = x
1
qx = x 2
[0,+∞)上增函数
(-∞,0)上减函数 (0,+∞)上减函数
非奇非偶函数 奇函数
公共点
(1,1)
第6页
幂函数 y x 性质总结:
•当α>0时，y=xα图像均过（0，0）， （1，1）两点，且在第一象限内，函数值 随x增大而增大。 • 当α<0时，y=xα图像均过（1，1）点， 且在第一象限内，函数值随x增大而减小。
用一用
比较大小: (1)a1.5与(a 1)1.5(a 0)
(2) 1.1与3.14- 1.1
第7页
试写出函数
f
(x)
x
2 3
高中数学必修一简单的幂函数公开课优质课比赛获奖课件
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
幂函数优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
③ 单调性：
任取 x1, x2 (0,)且x1 x2
0 x1 x2
x1
x2
1 x1
1 x2
即f (x1) f (x2 )
f(x)在 (0,)上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2 y 1.4 1 0.7
y
1.4 1 0.7
0 0.5 1
③ 单调性：
任取 x1, x2 (0,)且x1 x2
0 x1 x2 3
x14
3
x24
3
1 x14
3
1 x24
即f (x1) f (x2 )
f(x)在 (0,)上单调递减。
④ 列表取点 x 0.5 1 2 y 2.5 1 0.4
y 2.5
1 0.4
0 0.5 1
2 x
第11页
1
(8) y x 2
3
(11) y x 2
(8) y (x 1)2
解：幂函数是（1）、（5）、（9）、（10）、（11）。
第2页
经过研究以下函数奇偶性、单调性和最大（小）值，作出它们函数图像。
3
(1) y x 2
分析： ① D [0,)
y
②奇偶性： 非奇非偶函数
2.8
③ 单调性： 任取 x1, x2 [0,)且x1 x2
2
x
第12页
1
(6) y x 3
y
4
(7) y x 3
y
1
(8) y x 2
y
1
01
x
x
x
y x 当<0时，函数图像在第一象限内规律以下 过点（1，1）呈双曲线型，递减，与两坐标轴正半轴无限靠近。
幂函数省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
幂函数旳应用
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数.
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2 则x1/ x2<1
所以
f
(x ) 1
x 1
x 1
1
f (x ) x x
2
2
2
所以 f (x ) f (x )
1
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出旳函数是有根号旳式子,往往采用有理化 旳方式
单调性：在[0,)上是增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0]上是减函数
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
幂函数旳性质
y
4 3 2 1
y x3
1
y x2
1
y x3
当 0 时，幂函数
V是a旳函数
(4)假如_V_某_=_人t_⁻¹_t_ks_m内__/骑_s_车_ 行V是进t1旳km函,那数么他骑车旳平均速度___
以上问题中旳函数有什么共同特征？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底旳幂； （3）指数为常数； （4）自变量前旳系数为1; （5）幂前旳系数也为1。
答案（2）（6）
探究：
幂函数与指数函数旳体现形式有何区别
体现式
名称
a
x
y
指数函数: y=a x
高中数学第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩大赛《幂函数》教案
3.3 幂函数（1）教案【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成a x y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5x y x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数 图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x y =是偶函数； x 01 2 3 4 … y x =1 1.59 2.08 2.52 …其图象如右图所示．幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？（演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法. 布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=。
幂函数专题培训市公开课金奖市赛课一等奖课件
一、幂函数
函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数． 幂函数定义域：与常数m 相关，
但函数在（0，）内总有定义． 最常见幂函数：
y
y=x
y=x2
y= x
1
O1
x
y
y=x3
1
y=x-1
O1
x
第2页
二、指数函数与对数函数
1．指数函数
函数 y=ax (a是常数，且a>0，a 1)叫做指数函数．
指数函数定义域：D=（- ，+ ）．
ch2 x - sh2 x=1;
sh 2x=2sh x ch x; ch 2x=ch2 x+sh2 x.
第16页
2．反双曲函数 双曲函数 y=sh x， y=ch x， y=th x反函数依次记为 反双曲正弦： y=arsh x， 反双曲余弦： y=arch x， 反双曲正切： y=arth x．
§1．2 初等函数
一、幂函数 二、指数函数与对数函数
指数函数、 对数函数
三、三角函数与反三角函数
正弦和余弦函数、正切和余切函数、正割和余割函数、 反正弦和反余弦函数、 反正切函数、 反余切函数
四、复合函数 初等函数
复合函数、基本初等函数与初等函数
五、双曲函数与反双曲函数
双曲函数、 双曲函数性质、 反双曲函数
能够证实
arsh x= ln(x+ x 2 1 )
arch x= ln(x+ x 2 - 1 )
1 1 x arth x= ln
2 1- x
第17页
arsh x= ln(x+ x2 1)证实：
y=arsh x是x=sh y反函数，因此满足
x=
人教b版高中数学2.3 幂函数公开课优质课比赛获奖课件
上为增函数.
y
1 1
如果a<0,则幂函数的图象
过点(1,1),并在(0,+∞)上为
1
o1
0 1 减函数，一定不过（0,0）.
0
x
3、α为奇数时,幂函数为奇 函数；
α为偶数时,幂函数为偶 函数.
例1: 比较下列两个代数式值的大小：
（1） a 1 1.5 , a1.5;（2） 2 a2
§2.3 幂函数
下列两组函数分别有哪些共同的特征？
(1) y 2x
(2) y 3x
y 1 x
(3)
2
y 1 x
(4)
3
(1) y x
(2) y x2
(3) y x3
1
(4) y x 2
(5) y x1
y a x 为指数函数， 指数为自变量 底数为常数且
a 0且a 1
解：函数
y
2
x3
3
x2 ，定义域是实数集
R.
f
x
x
2 3
3
x2
3
x2
2
x3
f
x
函数
2
y x3
是偶函数；
因此函数的图象关于y轴对称.
列出函数在 0, 上的对应值表：
x
0
1
2
3
4
…
y
0
1
1.59 2.08 2.52 …
课堂小结
一个定义：幂函数的定义. 两个思想： 分类讨论和数形结合. 三个利用：
y x2 y x3
(-2,4)
4
3
(2,4)
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
幂函数(优秀课件)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
-1 O 1 x
-1
y
1 -1 O 1 x
-1
y
R
R
奇函数
[0，+∞） [0，+∞）
非奇非 偶函数
-1 1
(-∞,0)∪ (-∞,0)∪
O 1 x (0,+∞) (0,+∞) -1
奇函数
单调性
(-∞,+∞)↑
(-∞,0)↓ (0,+∞)↑ (-∞,+∞)↑
[0,+∞)↑
(-∞,0)↓ (0,+∞) ↓
(2)＞０，在第一象限内递增；若＜
０，在第一象限内递减.
(3) 当为奇数时，幂函数为奇函数；
当为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)＞1时，图象下凸 ; 当0＜＜1时，图象上凸
y 1 1
(5) 图像但是第四象限.
(6)第一象限内, 当x>1时，
越大图象越高
1
o1
0 1
0
x
随堂练习
下列哪些说法是正确旳？
几点阐明:
1、y x中x前面的系数为1,并且后面没有
常数项.
2、定义域没有固定，与的值有关.
、幂函数中旳 可觉得任意实数.
幂函数与指数函数旳区别:
y x ( R)
（1）幂函数
中旳指数 为任意实数。而
y ax (a 0, a 1)
指数函数 等于
中旳底数a为不小于0且不
1旳常数。
（2）只有形如
旳函数才叫做幂函数
判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4
(2) y 1 x2
(3) y= -xe
1
(4) y x 2
高考数学复习第二章函数2.6幂函数与二次函数市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
.
2 − −2
图象不经过原点,则实数m值
关闭
1或2
答案
10/31
-11知识梳理
双基自测
自测点评
1 2 3 4 5
5.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)图象过点
数解析式为
;在区间
上单调递减.
√2
2, 则此函
,
2
关闭
∵f(x)的图象过点 2,
√2
2
α
√2
,∴2 =
2
1
2,
-
=2
(2)在(1)条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k取值范围.
思索由不等式恒成立求参数取值范围普通解题思绪是什么?
25/31
-26考点1
考点2
考点3
解 (1)∵函数f(x)最小值为f(-1)=0,
∴f(-1)=a-b+1=0,且-2=-1.
∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为[-1,+∞).
使得 g(x1)=f(x0),
思索怎样了解本例中对任意x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?
(1 )min ≥ (0 )min ,
所以
(1 )max ≤ (0 )max ,
即 x1∈[-1,2]时,g(x1)∈[-1,3].
1
-
+
2
≥
-1,
所以当 a>0 时,
(
)
(2)当 α>0 时,幂函数 y=xα 是定义域上的增函数. (
2
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性质梳理
函数 性质
1
y=x
y=x2 Ｒ [0,+∞)
偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减
(1,1)
y=x3 Ｒ R
奇 增
(1,1)
y=x2
y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}
奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减
(1,1)
定义域 值域
奇偶性 单调性
Ｒ R
奇 增
[0,+∞) [0,+∞)
非奇非 偶 增
(4) y x
1 2
(5) y = 2 x2
(6) y = x3+1
牛刀小试2 已知幂函数y=f(x)过点（2,4）求幂 函数的解析式。 • 解：设f(x)= x 因为过点（2,4）， 代入得a=2，所以f(x)= x 2 。
在同一平面直角坐标系内作出幂函数
y x, y x , y x , y x , y x 的图象：
2 3 1 2 1
描点法
yx
(-2,4)
2
4
yx
3
3
(2,4)
y=x
2
yx
(1,1)2 4Βιβλιοθήκη 61 2(-1,1)
1
yx
-4
1
-2
(-1,-1)
-1
-2
所有的幂函数都 经过定点（1,1）.
-3
性质初探
思考2：注意到所 有的幂函数图像 都不经过第四象 限，并且都经过 第一象限，你觉 得这是偶然还是 必然？ 在幂函数 y = xα 中，取 x = 2，则
一般地，函数 y = xα 叫做幂函数， 其中x是自变量，α是常数. 说明： （1）y = xα 中，x前面的系数是1，并且 后面也没有常数项； （2）要确定一个幂函数，只需要知道常 数α的值即可.
牛刀小试1
判断下列函数是否为幂函数. (1) y = x4 1 (2) y 2 x
(3) y = -x2
函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她 需要付的钱数 p = w 元， 这里p是w的函数. yx
问题2：如果如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 2 S = a2 ， 这里S是a的函数. yx
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积 3 V = a3 ，这里V是a的函数. yx 问题4：如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形 1 1 的边长a = S 2 ， 这里a是S的函数. y x2 问题5：如果t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速 1 度v = t 1 km/s， 这里v是t的函数. yx 思考1：若将它们的自变量全部用x来表示，函数值用y来 y x 表示，则它们的函数关系式将是：
2 m
m= –1
小结
(1) 幂函数的定义；
一般地，函数 y = xα 叫做幂函数，其中x是 自变量，α是常数.
(2) 幂函数的性质； (3)幂函数的简单应用.
作业：课本79页 1、2
谢谢大家
y = 2α ＞0，可知这是必然的.
性质初探 思考3：第二象 限和第三象限的 的图像是哪些函 数的图像？你能 总结出规律吗？
当α为奇数时，幂函数是奇函数； 当α为偶数时，幂函数是偶函数.
性质初探 思考4：在第一 象限内，哪些函 数是增函数，哪 些函数是减函数？ 你能总结出规律 吗？ 当α ＞0 时，幂函数是增函数； 当α ＜0 时，幂函数是减函数.
技巧：分子有理化
因为0 x1 x2 , 所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
能力提升 如果函数 f ( x) (2m m) x 是幂函 数，并且是奇函数，求满足条件的实数 m的值.
(1,1)
公共点 (1,1)
例1 证明幂函数 f ( x) 上是增函数.
x 在[0，+∞）
证明：任取x1 , x2 [0, ), 且x1 x2 , 则
f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 x2