高一数学映射与函数

制作：黄健
复 习：
1.集合与元素简单关系：
2.集合与集合之间的关系:
符号的哪边是元素？ 问题1： a A a B A B，A 问题2： B，A B 分别表示什么？
新课： 初中我们学过一些“对应”的例子：
（2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一的有序 实数对（x,y）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一的确定的面积 和它对应；
象与原象的概念 一一映射的定义 单射＋满射 = 一一映射
*注意:
1.映射是一种特殊的对应：多对一、一对一 2.一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射， B到A也是映射。
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涡，嘭的一声，水面炸开了五六个大水柱，五条青龙冲出水面，龙爪抓住面具男撕成了碎片，江水一片血红，山神在空中俯视着他们，没有哀 嚎声只有龙的咆哮，面具人开始逐渐减少，山神飞到一棵树顶上看着江面，面具男已经基本被处理完了。在茫茫的江面上一只黑色的水龙飞到 山神面前，这只黑龙通体黑色，只有爪子和尾巴是青色比起那五只青龙不知强壮了多少倍，看它的鳞片锋利坚硬，犹如铠甲一般。黑龙开口： “你也被盯上了，最近不太平啊”山神望着江面缓缓开口道：“妫族的渡劫者出现了”。“几万年了，烛龙，九尾他们还不死心吗”黑龙叹了 口气说继续说：妫族究竟有什么灵力和秘密值得他们追寻几万年，难道就是不用历劫吗？山神摇摇头说：“我也不知道”一阵沉默，山神看着 黑龙说：“我突然想起了一件事，十二年前，就是暮笙还在古宅的时候，有一个女孩，看年纪应该是二十岁左右，依我看，她是人类，可她居 然闯过了重重关卡毫发无伤的走进了古宅，要知道当时整座山都被我布下了结节，别说是人类，就是法力高强的妖怪也不可能闯的进古宅，而 她却能轻而易举的进来，这些结节似乎对她都没有什么用，暮笙问她怎么找到这里来的，我记得当时他也是挺纳闷的说她在北方的一个城市里 上学，她去市中心买东西，过马路的时候看到一辆大卡车疾驰而过，那辆卡车速度很快根本不像是卡车应有的速度，而前面有一位老奶奶在过 马路，当时她几乎是下意识地就把老奶奶推开，自己眼看着车子就要撞过来了，只是短短的一瞬间她就感觉到了死亡，不知过了多久身边没有 任何急刹车的声音，也没有人的惊恐声，她睁开眼睛发现自己还站在人行道里，根本没有过斑马线，难道刚才都是幻觉，正觉得奇怪，那个老 奶奶站在她身后说，谢谢姑娘，要不是你，自己早就被车撞死了，她惊讶的啊了一声，老奶奶说，姑娘，要不是你及时把我从斑马线上拉回来， 我早就被卡车撞死了。她心里感到疑惑，这么说自己是救了认了，可自己清楚地看到卡车向自己撞过来了啊。老奶奶说：“姑娘，你可以送我 回家吗？”她想想自己也没什么事，自己也对这一带还算熟悉就答应了。那位老奶奶带着她七拐八拐来到了一处老城区进入里面，恍若迷宫， 她心里想自己居然不知道还有这么一个地方自己怎么从未听说过，来到一栋古宅面前，就是和山里那栋古宅一模一样，老奶奶手捂住脸，这时 她看到老奶奶带着一个龙型手镯，因为样子奇特，所以她记得非常清楚，老奶奶说：我到了，这就是我住的地方，你救了我，作为报答，我可 以告诉你一个秘密。听到这句话她心里觉得毛毛的忙说不用了，不用了。话说完，一顶红色的轿子踏云而来，她看着眼前的以前使劲掐了自己 的脸一下，这是真的。觉得自己一定是见鬼
答：不是映射。
（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
（4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被7除的余数
答：是映射，且是一一映射。 练习：课本49页1---4
课时小结：
映射的定义（映射三要素：两个集合，一种对应法则）
映射的表示方法 f：A→B
(2)
A
300
求正弦
B
½
450
600 900
1
(3)
A
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
B
1 4 9 前进
(4)
A
1 2 3
乘与2
B
1 2 3 4 5 6
总结：
对于集合A中的任何一个元素，按照某种法则f， 在集合B中都有确定的（一个或多个）元素和它对应。 问题4：前面是各张图中，A中元素和B中分别 是怎样的对应？
问题4：根据映射定义，指出哪些对应是A到B的映射？
(1)
A
9
开平方
B
3 -3 2 -2 1 -1
(2)
A
300
450 600 900
求正弦
B
½
4
1
(3)
√
1 乘与2
A
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
B
1
(4)
A
1
B
1 2 3 4 5 6
4
9
√
2
3
√
例1：判断下面的对应是否为映射 ：
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}。 集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的 元素2x+1对应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？ 为什么？
例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？
（1）A={0,1,2,4,9},B={0,1,4,9,64}, 对应法则 f：a →b = (a-1)2 A
0 1 2
B
0
1
4
9 64
4
9
答：是映射，不是一一映射。
（2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根
引出
定义3：
前进
定义3：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B
是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A的不同元素，在集合B中 有不同的象，且B中每一个元素都有原象， 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
单射
充要条件
满射 注意：
（1）一一映射是一种特殊的映射。
（2）映射和一一映射之间的充要关系 一一映射 映射是一一映射的必要而不充分条件 返回 （3）一一映射： A和B中元素个数相等
√
给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A， 定义2：
b∈B。如果元素a和元素b对应，那么我 们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元 素b的原象。
A B
a
f
b
a的象
b的原象
(1)
A
9 4 1
开平方
B
3 -3 2 -2 1 -1
(2)
A
300 450
求正弦
B
½
的原象
600
900
1
450的象
(3)
回上图
发现规律：上图（2）（3）（4）中，A中任何一个 元素在B中都有唯一的元素和它对应
引出
定义：
一般地，设A、B是两个集合。如果按照 定义1：
某种对应法则ƒ，对于集合A中的任何一 个元素，在集合B中都有唯一的元素和它 对应，那么这样的对应（包括集合A、B 及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B 的映射。记作：f：A→B
求平方
B
1 4 9
4
（ 1） A
a b c d
f
B
m n p q
（ 2） A
1
f
B
3 5 7 9
√
2 3 4
√
（ 3） A
1 2 3 4
f
B
1
3
5
7
9
√
问题5：图中所示的三个对应 是不是映射？
（ 1） A
a b c d
f
B
m n p q
（ 2） A
1 2 3 4
f
B
3 5 7 9
问题6：图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 发现规律： （1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。 （2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样 的映射称为满射。 问题7：单射＋满射=?
（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。
问题3：你还能找出生活中的一些 “对应”的例子吗？
*从集合的角度来讲，这些对应是集合之间根据 一定的法则进行的对应
A
对应
法则fΒιβλιοθήκη B回到前面（1）对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应； A=R，B={数轴上的点} 法则f：在数轴上画点 （2）对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一的有序 实数对（x,y）和它对应； A={坐标平面内的点}，B={（x,y）| x , y ∈ R }
（1）映射是一种特殊的对应； 注意：
（2）符号“f：A→B”表示A到B的映射； （3）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则； （4）集合的顺序性：f：A→B 与 f：B→A是不同的： （5）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行）。 箭头集合中元素的唯一性（多一个也不行）。 即只能多对一、一对一，不能开花！
法则f：在坐标平面内画点 （3）对于任意一个三角形，都有唯一的确定的面积 和它对应； A={三角形}，B={三角形的面积} 法则f：求面积 （4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。 A={二次函数}，B={坐标平面内的抛物线}
法则f：画图像
(1)
A
9 4 1
开平方
B
3 -3 2 -2 1 -1
√
（2）设A=N+，B={0，1}。集合A中的元素x按照对应 法则“x除以2得的余数和集合B中的元素对应”，这个对 应是否为集合A到集合B的映射？为什么？
√
（3）设A={x | x是直角三角形}，B=｛y | y>0｝,集合A 中的元素x按照对应法则“计算面积”和集合B中的元素对 应，这个对应是否为集合A到集合B的映射？为什么？