上海浦东新区高二上学期期中数学试卷含答案

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2022-2023学年上海市上海中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市上海中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．集合中，共有（）个数是7的整数倍.{}18652024,Z x x x ≤≤∈A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【分析】由题意可令，求出的范围即可求解186572024k ≤≤k 【详解】令，由题意可得，7,Z x k k =∈186572024k ≤≤解得，1865202477k ≤≤所以，266.4289.1,Z k k ≤≤∈所以满足条件的整数共有个，289267123-+=故选：C2．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（）.A ．正三棱柱B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥【答案】D【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立；正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立；正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立；故选：D.3．已知正五棱锥的外接球的球心为点O ，△PAB 的外心是点，则异面直线与P ABCDE -1O 1OO PA 所成角为（）.A ．54°B ．60°C ．72°D ．90°【答案】D【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质即可求解作答.【详解】点O 为正五棱锥的外接球球心，而点是的外心，即点是球O 被平P ABCDE -1O PAB 1O 面PAB 截得的截面小圆圆心，于是得平面PAB ，而平面PAB ，因此，1OO ⊥PA ⊂1OO PA ⊥所以异面直线与PA 所成角为.1OO 90 故选：D4．图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（）倍.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由图形分析出上下底面正方形的边长，即可求解【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的，由于它们的一侧可以夹一个正方形，所以另一侧也可以加一个正方形，因此，图中的三角形为等腰直角三角形，不妨设正五边形的边长为，1，所以下底面正方形的边长为1，所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1，所以上正方形面积是下正方形面积的2倍，故选：B二、填空题5．已知等差数列{}满足，则___．n a ()*3N n n a a n n -=∈21a a -=【答案】##0.512【分析】设公差为，由已知递推式有求公差，进而可得的值.d 1321a a d -==21a a -【详解】若数列{}的公差为，而，故，n a d 1321a a d -==12d =又.2112a a d -==故答案为：126．已知向量与垂直，则m 的值为______.()1,2,2a =-(),2,1b m m =-【答案】2【分析】直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】，解得.()()1,2,2,2,12420a b m m m m ⋅=-⋅-=+--=2m =故答案为：27．在正方体中，______.1111ABCD A B C D -1AB AD BB ++=【答案】##1AC 1C A- 【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征，结合空间向量运算求解作答.【详解】在正方体中，，1111ABCD A B C D -11,AD BC BB CC ==所以.111AB AD BB BC CC C B A A +=++=+ 故答案为：1AC 8．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2ABC∴圆锥的高，2AO ==底面半径.1212r =⨯=∴这个圆锥的表面积：.221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=故答案为．3π【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知球的表面积为，则它的体积为__________.12π【答案】【分析】先计算球的半径，再求体积【详解】设球的半径为R,则2344123R R V R πππ=∴===故答案为：10．已知，与、的夹角都是60°，且，，，则______.a b ⊥ c a b 1a = 2b = 3c = a b c +-=【分析】利用向量模的计算公式以及数量积的运算律求解即可.【详解】因为，与、的夹角都是60°，且，，，a b ⊥ c a b 1a = 2b = 3c = 所以，30,cos 60,cos 6032a b c a c a c b c b ⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=所以()22222222a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅ ，3149022352=+++-⨯-⨯=所以，a b +11．已知等差数列满足，，记表示数列的前n 项和，则当{}n a 1112130a a a ++>10150a a +<n S {}n a 时，n 的取值为______.10n n S S +<【答案】23【分析】根据题意得到，，计算得到，，得到答案.120a >130a <2312230S a =>()241213120S a a =+<【详解】，故，，故，故，1111212303a a a a =++>120a >110113520a a a a =++<130a <0d <，.()23123121232302S a a a =+⨯=>()()2412412131241202S a a a a =+⨯=+<，故.10n n S S +<23n =故答案为：2312．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．【答案】21【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面将空间分成部分3721⨯=故答案为：21【点睛】思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.13．设正四面体ABCD 的棱长为1，点M 、N 满足，，则______.2AM MD = 2= CN NB MN =【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.【详解】如图,将正四面体ABCD 放在正方体中,,因为，,2AM MD= 2=CNNB 所以,,0M N ⎫⎪⎪⎭所以,0,MN ⎛=⎝ 14．将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______.【答案】【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，12,10,8故该四面体可放置与一个长方体中，即可求解1111ABCD A B C D -【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为的三角形，12,10,8故该四面体可放置与一个长方体中，即图中的三棱锥，1111ABCD A B C D -11A BC D -不妨设，则，1110,12,8A B BD A D ===111110,12,8DC A C BC ===设，则，1,,AB a AD b AA c ===22222222210128a c ab bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩解得，所以，222905410a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ab c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以11111114A BC D ABCD A BC D A ABDV V V ---=-⨯11432=⨯⨯⨯2133=⨯=⨯=故答案为：15．已知的三边长为4、4、3，它的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点.若点P ABC 到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为______.-P ABC 【答案】4【分析】根据给定条件，求出球O 的半径，过P 作平面于点，证明与点O 重合PO '⊥ABC O 'O '作答.【详解】依题意，不妨令，则，有4,3AB AC BC ===132cos 8BCABC AB ∠==sin ABC ∠==因此的外接圆半径，即球O 的半径为ABC 12sin AC R ABC =⨯=∠过点P 作平面于点，如图，因，于是得，即点是PO '⊥ABC O 'PA PB PC ==O A O B O C '''==O '外心，与点O 重合，ABC 又点P 在三棱锥的外接球球面上，则点P 是球O 直径的一个端点，即有-P ABC POR '=，11sin 4322ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=所以三棱锥的体积是.-PABC 11433A C A B P BC V S R -=⋅== 故答案为：416．在一个的长方体黑盒内，每个面的内壁都装有平面镜，八个角均凿了小孔，一束激光235⨯⨯从某个孔射入，入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同，则该束光线经过______次反射后穿出盒外.【答案】21【分析】作出空间直角坐标系，得出三个坐标轴坐标的变化规律，得出光束的路径，进而求出光反射的次数.【详解】解：由题意，在的长方体中，235⨯⨯入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同∴沿对角线入射，∴各坐标变化规律如下：:01210121x →→→→→→→→:01234543210123454321y →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→:012321012321z →→→→→→→→→→→→建立空间直角坐标系如下图所示：假设光线从点射入，则光线路径如下：1A ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()110,0,31,1,22,2,11,3,00,4,11,5,22,4,31,3,20,2,11,1,02,0,11,1,20,2,31,3,22,4,11,5,00,4,11,3,22,2,31,1,20,0,11,1,02,2,11,3,20,4,31,5,22,4,11,3,00,2,11,1,22,0,3A B →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→根据光线路径可知，共经过了21次反射.∴该束光线经过了21次反射.故答案为：21.三、解答题17．如图，已知该几何体由底面半径均为3的圆柱和圆锥粘合而成，它们的母线长均为5，求该几何体的体积.【答案】57π【分析】由圆锥与圆柱的体积公式求解即可，4=所以圆锥的体积为，21π3412π3⨯⨯⨯=圆柱的体积为，2π3545π⨯⨯=所以该几何体的体积为12π45π=57π+18．已知空间中三点、、.()1,1,1A -()0,2,1B ()2,1,3C -(1)当与的夹角为钝角时，求k 的范围；k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-(2)求原点O 到平面ABC 的距离.【答案】(1)；5(,0)(0,2)2- (2)1.【分析】（1）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答.,AB AC（2）求出平面ABC 的法向量，利用点到平面距离公式计算作答.【详解】（1）因点、、，则，()1,1,1A -()0,2,1B ()2,1,3C -(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==-，，(1,,2)k AB AC k k ⋅+=- 2(2,,4)k AB AC k k ⋅-=+-因当与的夹角为钝角，则，且与k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅- ()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-< k AB AC ⋅+ 不共线，2k AB AC ⋅-当时，，解得，()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-< 22(1)(2)82100k k k k k -++-=+-<522k -<<当与共线时，存在实数t ，有，于是得k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-(2,,4)(1,,2)k k t k k +-=-，解得，2(1)42k t k k tk t +=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩2,0t k =-=因此与不共线，则，k AB AC ⋅+ 2k AB AC ⋅-0k ≠所以k 的范围是.5(,0)(0,2)2- （2）由（1）知，，设平面的法向量为，(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==- ABC (,,)n x y z = 则，令，得，，020n AB x y n AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =(2,2,1)n =- (0,2,1)OB = 所以原点O 到平面ABC的距离||1||n OB d n ⋅===19．如图，正四棱锥的底面面积为4P ABCD -(1)求PA 和DC 的所成角的余弦值；(2)求侧棱PA 和侧面PBC 所成角的正弦值.【答案】【分析】（1）因为，则PA 和DC 的所成的角为或其补角，由余弦定理求解即可；//CD AB ∠PAB （2）连接交于点，连接，则易知两两垂直，故以为原点，,AC BD O OP ,,OA OB OP O 分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可,,OB OC OP ,,x y z 【详解】（1）因为正四棱锥的底面面积为4P ABCD-所以2,AB BC CD AD PA PB PC PD =======又，//CD AB 所以PA 和DC 的所成的角为或其补角，∠PAB 因为222cos 2PA AB PB PAB PA AB +-∠===⋅所以PA 和DC （2）连接交于点，连接，,AC BD O OP 则易知两两垂直，,,OA OB OP 故以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，O ,,OB OC OP ,,x y z 则，())()(0,,,,AB C P，(()(,,AP BC BP ===设平面的一个法向量为，BCP (),,n x y z =则，00BC n BP n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 即，令，则，x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩2z=)2n = 设PA 和平面PBC 所成的角为，θ则，sin θ所以PA 和平面PBC20．已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截后的几何体如图所示，若，2AB DG ==，.3CF =3BAD π∠=(1)求BE 的长；(2)求二面角的余弦值.A ECB --【答案】(1)1【分析】（1）由面面平行性质可得AEFG 为平行四边形，根据AE GF ==（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BEC 和平面AEC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）由题意底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体，因为面面，面面，面面，//ABE CDGF AEFG ABE AE =AEFG CDGF GF =由面面性质定理可知，//AE GF 同理，即四边形AEFG 为平行四边形，//AG EF ，2AB DG ==3CF =∴∴.AE GF ===1BE =（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则，，，，)A ()0,1,0B ()C ()0,1,1E即，，，()AC =- )CE = ()1,0BC =- 设面AEC 法向量为，(),,n a b c = 则，∴，00n AC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00b c ⎧-=⎪++=设，则，1b =()0,1,1n=- 设平面BEC法向量为，则，(),,m x y z = 00m BC y m CE y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 设，则，1y =m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以，cos ,n m = 由图知二面角A ECB --21．在四面体ABCD 中，H 、G 分别是AD 、CD 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且.()0BF BE k k FC EA ==>(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)若平面EFGH 截四面体ABCD 所得的五面体的体积占四面体ABCD 的，求k 的AC EFGH -325值.【答案】(1)见解析(2)9k =【分析】（1）利用平行的传递性证明即可；//EF HG （2）延长，则必交于点，利用相似比求解即可,,EH FG BD M 【详解】（1）连接，,EF HG 因为H 、G 分别是AD 、CD 的中点，所以，//AC HG 又，()0BF BE k k FC EA ==>所以，//AC EF 所以，//EF HG 所以E 、F 、G 、H 四点共面；（2）延长，则必交于点，,,EH FG BD M 证明如下：设，= EH FG M 因为平面，EH ⊂ABD所以平面，M ∈ABD 同理平面，M ∈BCD 又平面平面，ABD ⋂BCD BD =所以，M ∈BD 所以，则必交于点，,,EH FG BD M 取的中点，连接，BD O ,OH OG 因为，()0BE k k EA =>所以，1BE k BA k =+又，12OH BA =所以，12OH k BE k +=所以，312M HOG M EBF V k V k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭又，12MO OH k MB BE k +==所以，122MD DO k MD DO k ++=+所以，()()22121kMD kDO k MD k DO +=+++所以，即，()12k MD DO -=21MD DO k =-所以，，21M HDG D HOG V V k --=-11M HOG D HOG k V k --+=-所以，()()3333881111M EBF M HOG D HOG k k k V V V k k k ---+=⋅=⋅⋅-++()()333381181111111811HOG EBF D HOG A BCDk k k k k k V V V k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫++++=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----++⎝⎭⎝⎭，221258A BCD V -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以，即，()338112211182581k k k k ⎛⎫+-⋅=- ⎪ ⎪-+⎝⎭()()3328111511251k k k k -+⋅=-+所以，即，227411512125k k k k ++=++212101630k k --=所以，()()12790k k +-=解得或，9k =712k =-又因为，0k >所以9k =【点睛】四点共面问题是立体几何中常考的问题之一，解决的方法是结合图象证明这四点成的两条线平行，通过两直线平行，从而说明四点共面。

2013-2014年上海市浦东区高二(上)期中数学试卷及参考答案

2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是．2．（3分）=．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5=．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第行，第列．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．915．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．2013-2014学年上海市浦东区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-10题每题3分，11-12题4分满分38分）1．（3分）数列﹣，，﹣，…的一个通项公式是a n=（﹣1）n．【解答】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列，且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴此数列的一个通项公式是a n=（﹣1）n．故答案为：a n=（﹣1）n．2．（3分）=．【解答】解：==•=．故答案为：．3．（3分）等差数列{a n}中，若a3+a7=16，则a5=8．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a3+a7=2a5=16，∴a5=8．故答案为：8．4．（3分）等比数列{b n}中，若b2b3b4=8，则b3=2．【解答】解：∵等比数列{bn}中，若b2b3b4=8，∴，解得b3=2．故答案为：2．5．（3分）与向量=（4，﹣3）同向的单位向量是（，﹣）．【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴向量=（4，﹣3）同向的单位向量（，﹣）．故答案为：（，﹣）．6．（3分）已知直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，则•=﹣16．【解答】解：∵直角△ABC中，BC为斜边，且AC=4，AB=3，∴BC==5，∴cosC==，∴•=﹣•=﹣||•||cosC=﹣4×5×=﹣16．故答案为：﹣16．7．（3分）设数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，则a n=6n﹣5．【解答】解：数列前n项的和为S n=3n2﹣2n，∴a1=S1=3﹣2=1，n≥2时，S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，n=1时，上式成立，∴a n=6n﹣5．故答案为：6n﹣5．8．（3分）在各项都是正数的等比数列{a n}中，若a2a8+2a5a3+a2a4=16，则a3+a5= 4．【解答】解：在各项都是正数的等比数列{a n}中，∵a2a8+2a5a3+a2a4=16，∴=（a5+a3）2=16，解得a3+a5=4．故答案为：4．9．（3分）已知f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1，对任意n∈N*，f（n+1）﹣f（n）=2n﹣1．【解答】解：∵f（n）=1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=2[1+2+3+…+（n﹣1）]+n=2×+n=n2．∴f（n+1）﹣f（n）=（n+1）2﹣n2=2n+1．故答案为：2n+1．10．（3分）已知|AB|=|AC|=6，且•=18，则△ABC的形状是等边三角形．【解答】解：∵在△ABC中，b=c=6，∴△ABC为等腰三角形，又bccosA=36cosA=18，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．∴△ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形．11．（4分）若（）n=0，则实数x的取值范围是．【解答】解：∵（）n=0，∴﹣1＜＜1．解得：．故答案为：12．（4分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第45行，第77列．【解答】解：由数表中的变化规律，知第n行有2n﹣1个连续自然数，∵1+3+5+…+（2×45﹣1）==2025，1+3+5+…+（2×44﹣1）==1936，2013﹣1936=77，∴2013位于数表中的第45行，第77列．故答案为：45，77．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）已知数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：若S n=an2+bn（a≠0），则当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=an2+bn﹣[a（n﹣1）2+b（n﹣1）]=2an+b﹣a，当n=1，a1=S1=a+b满足a n=2an+b﹣a，此时当n≥2，a n﹣a n﹣1=2an+b﹣a﹣2a（n﹣1）﹣b+a=2a为常数，则数列{a n}成等差数列，即充分性成立，若a n=1，满足数列{a n}成等差数列，但数列{a n}前n项的S n=n，不满足S n=an2+bn （a≠0），即必要不充分条件，故数列{a n}前n项的和S n=an2+bn（a≠0）是数列{a n}成等差数列的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：数列，，1，3，…的首项为，公比为3，S n==，由S n=＞100，得3n＞1801，∵36=729，37=2187，∴数列，，1，3，…前n项和S n大于100的自然数n的最小值是7．故选：B．15．（3分）若平面向量与=（1，﹣2）的夹角是180°，且||=3，则等于（）A．（6，﹣3）B．（3，﹣6）C．（﹣3，6）D．（﹣6，3）【解答】解：∵与所成的夹角是180°，∴=λ（1，﹣2），∵||=，∴λ2+4λ2=45∴λ=±3，∵两个向量方向相反，∴λ=﹣3，∴=（﹣3，6）故选：C．16．（3分）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选：A．三、解答题（满分50分）17．（8分）已知无穷等比数列{a n}所有奇数项的和为36，偶数项的和为12，求此数列的首项和公比．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公比为q（|q|＜1），依题意得：=①=②两式相除得q=．将q=代入①得a1=32．∴此数列的首项为32，公比为．18．（10分）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【解答】解：设四个数依次为x，y，12﹣y，16﹣x．依题意，有由①式得x=3y﹣12．③将③式代入②式得y（16﹣3y+12）=（12﹣y）2，整理得y2﹣13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．19．（10分）已知向量=（﹣3，2）与向量=（x，﹣5）（1）若向量⊥向量，求实数x的值；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵向量⊥向量….1′∴•=0….1′∴﹣3x﹣10=0 ….1′∴x=﹣…1′（2）∵向量与向量的夹角为钝角∴•＜0且•≠﹣1 …2′∴﹣3x﹣10＜0且﹣3x﹣10≠﹣1 ….2′∴x的取值范围是（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞）…2′．20．（10分）已知数列{a n}前n项的和S n，且a1=1，a n+1=S n（n∈N*）（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．=S n（n∈N*），且a1=1得【解答】解（1）：由a n+1a2=﹣….1′a3=﹣….1′a4=﹣…..1′（2）：猜想：a n=…2′下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1、n=2时，a1=1，a2=﹣，猜想结论成立…1′（ⅱ）假设当n=k（，k≥2，k∈N*），猜想结论成立．当n=k+1时，a k+1=S k=﹣（S k﹣1+a k）=﹣S k﹣1a k=a k a k===…3′由（ⅰ），（ⅱ）可得，猜想对任意n∈N*都成立．…1′．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*）（1）证明数列{a n+1}是等比数列；并求此数列的通项a n；（2）设数列b n=，记T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．（3）若数列{C n}满足C1=10，C n+1=100C n，求数列{C n}的通项公式．【解答】（1）证明：∵a n=2a n﹣1+1∴a n+1=2a n﹣1+2∴a n+1=2（a n﹣1+1）∴数列{a n+1}是以2为公比的等比数列…2′又∵a1=1，∴a1+1=2∴a n+1=2•2n﹣1，∴a n=2n﹣1….2′（2）解：∵b n===….2′∴T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+﹣+…+=1﹣，∴T n=1 ….2′=100C n（3）解：∵C n+1=2+lgC n， (2)∴lgC n+1∴{lgC n}是以2为公差的等差数列 (1)又∵C1=10，∴lgC1=1lgC n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴C n=102n﹣1，（n∈N*）…1．第14页（共14页）。

2021-2022学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.两条直线没有公共点是两条直线平行的()条件A. 充分非必要B. 必有非充分C. 充要D. 非充分非必要2.下列命题：(1)若空间四点共面，则其中必有三点共线；(2)若空间有三点共线，则此四点必共面；(3)若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；(4)若空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确的命题有()个．A. 0B. 1C. 2D. 33.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A. 直线AA1B. 直线A1B1C. 直线A1D1D. 直线B1C14.一个平行于圆锥(其底面半径和母线均为定值)底面的平面将圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，则函数y=f(x)的图像大致是()A.B.C.D.二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.公理2：不在同一直线上的______点确定一个平面．6.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的______直线都垂直，那么此直线与该平面垂直．7.三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在______垂直．8.已知球的半径为3，则它的体积为______ ．9.一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为______cm2．10.已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为______．11.一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是______．12.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是______．①直线AF与直线DE相交；②直线CH与直线DE平行；③直线BG与直线DE是异面直线；④直线CH与直线BG成60°角．13.若空间三条直线a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系是______．14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BCD1与平面ABCD所成的锐二面角的大小是______．15.在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有______对异面直线．16.平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2.试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件______．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边△ABC，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法．18.一张A4纸的规格为：21cm×29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积．(精确到0.0001cm3)19.已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN//平面PAD．20.在三棱锥P−ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知AC=PB=2，MN=√3，求异面直线AC，PB所成角的大小．21.在长方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小；(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE是否为鳖臑？并说明理由．22.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形(如图).现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面(蛋皮厚度忽略不计)，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：①由两条直线没有公共点，得两条直线为异面直线或两直线平行，不是充分条件，②由两条直线平行，得两条直线没有公共点，是必要条件，故选：B．根据充分必要条件的定义以及两直线的位置关系判断即可．本题考查了充分必要条件以及直线的位置关系，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于(1)，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故(1)错误；对于(2)，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故(2)正确；对于(3)，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故(3)错误；对于(4)，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故(4)正确；故(2)(4)正确，故选：C．对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．本题考查了空间四个点是否共面的判断属于容易题．3.【答案】D【解析】【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．本题考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．4.【答案】B【解析】解：由题意，一个平行于圆锥(其底面半径和母线均为定值)底面的平面将圆锥分成上、下两部分，因为圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，设圆锥的侧面积为S，则x+y=S，所以y=−x+S，即f(x)=−x+S，则f(x)为单调递减的直线．故选：B．设圆锥的侧面积为S，由题意可得x+y=S，即可得到y=f(x)的解析式，由此判断函数的图像即可．本题考查了函数图像的理解与应用，圆锥的几何性质的运用，解题的关键是确定函数f(x)的解析式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】三【解析】解：取A，B，C三点，任两点可以组成一条直线，例如直线AB和BC相交于B点，两条相交直线可以确定一个平面．所以不在同一条直线上的三点可以确定一个平面．故答案为：三．证明三个点不共线即可确定两条相交直线，即可确定一个平面．本题考查平面的基本性质，属于容易题．6.【答案】两条相交【解析】解：由直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．故答案为：两条相交．由直线与平面垂直的判定定理即可得解．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，属于基础题．7.【答案】平面上的射影【解析】解：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．∴平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．故答案为：平面上的射影．利用三垂线定理和三垂线定理的逆定理直接求解．本题考查平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件的求法，考查三垂线定理和三垂线定理的逆定理等基础知识，是基础题．8.【答案】36π×33×π=36π．【解析】解：球的半径为3，则它的体积为V=43故答案为：36π．直接利用球的体积公式求解即可．本题考查球的体积的求法，是基础题．9.【答案】24π【解析】解：因为圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，所以它的侧面积为2π×3×4=24π．故答案为：24π．利用圆柱的侧面积展开图为长方形，求解即可．本题考查了圆柱的侧面展开图的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】π3，【解析】解：根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为12∵α∈[0,π]，∴α=π．3．故答案为：π3根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为1，从而可求AB与平面α所成2的角．本题考查线面角，考查学生的计算能力，属于基础题．11.【答案】10【解析】解：因为正四棱柱底面边长为1，高为2，所以它的表面积S=2×12+4×1×2=10．故答案为：10．利用正四棱柱的表面积公式求解即可．本题考查了正四棱柱的结构特征的理解与应用，正四棱柱表面积公式的运用，考查了化简运算能力，属于基础题．12.【答案】③④【解析】解：如图所示，原正方体为：在这个正方体中：①直线AF与直线DE异面直线，因此不正确；②直线CH与直线DE异面直线，因此不正确；③直线BG与直线DE是异面直线，因此正确；④连接BE，EG，则BE//CH，△BEG为等边三角形，∴BE与BG成60°角，因此CH与BG 成60°角，因此正确；以上四个命题中，正确的是③④．故答案为：③④．将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．本题考查了正方体的性质、空间角、空间线面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】平行或相交或异面【解析】解：如图，直三棱柱ABC−DEF中，侧棱BE⊥底面DEF，BE⊥BC，BE⊥EF，BC//EF，BE⊥DE，BE⊥EF，DE⋂EF=E，BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC异面，所以，空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面．故答案为：平行或相交或异面．画出图形，在直三棱柱ABC−DEF中，列举对应情况，可得出结论．本题主要考查空间中直线的位置关系，属于基础题．14.【答案】π4【解析】解：由题意正方体的图形如图：因为A1B⊂平面AA1B1B，BC⊥平面AA1B1B，所以∠A1BA是所求二面角的平面角，可得∠A1BA=π．4．故答案为：π4画出图形，找出二面角的平面角，求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，是基础题．15.【答案】24【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCD−A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，=24对．∴异面直线共有12×4×12故答案为：24．得答案．画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以4再乘以12本题考查异面直线的判定，体现了数形结合思想方法，是基础题．16.【答案】s1//s2，并且t1与t2相交(t1//t2，并且s1与s2相交)【解析】解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1//s2，并且t1与t2相交”或“t1//t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1//s2，并且t1与t2相交，或t1//t2，并且s1与s2相交．当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．本题考查判断两直线是异面直线的方法，以及充分条件、必要条件的概念与判断方法．17.【答案】解：作图如图所示：作法：在平面α内作坐标系x′O′y′，使得∠x′O′y′=45°，在x′轴上取A′B′=6cm，且O′为A′B′的中点，OC，连接A′C′，B′C′，在y′轴上取O′C′=12则△A′B′C′为△ABC的直观图．【解析】利用斜二测画法的规则作出图形即可．本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．18.【答案】解：①如果以21cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为r，，则2πr=29.7，解得r=29.72π所以圆柱的体积为V=πr2⋅21=π⋅29．72⋅21≈1474.0843(cm3)；4π2②如果以29.7cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为R，，则2πR=21，解得R=212π⋅29.7≈1042.2818(cm3).所以圆柱体的体积为V′=πR2⋅29.7=π⋅2124π2综上所述，卷成的圆柱体的体积为1474.0843(cm3)或1042.2818(cm3).【解析】分别以21cm的边为高和以29.7cm的边为高卷成圆柱体，由底面周长求出底面半径，利用圆柱的体积公式求解即可．本题考查了圆柱的体积公式的应用，圆柱的侧面展开图的理解与应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：取DC中点H，联结HM，HN，因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN//DP，同理，得HM//DA，故平面HNM//平面PAD，∵MN⊂平面HNM，∴MN//平面PAD．【解析】由线面平行的判定定理可得．本题考查线面平行的判定定理，属于容易题．20.【答案】解：取AB(或PC)中点Q，连接QM.QN，Q是AB中点，N是BC中点，⇒QN//AC，QN=三12AC=1，同理，可得QM//BP，QM=12PB=1，所以∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，在△MQN中，QM=QN=1，MN=√3，cos∠MQN=12+12−(√3)22×1×1=−12，∠MQN=120°，∴异面直线AC，PB所成的角的大小为60°．【解析】取AB中点Q，连接QM.QN，∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．本题考查异面直线所成角的求法，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)取CD中点F，连接AF，则AF//EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，得AD1=√2，AF=√2，D1F=√2，∴△AD1F为等边三角形，则∠D1AF=π3．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为π3；(2)连接DE，∵E为AB的中点，∴DE=EC=√2，又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．【解析】(1)取CD中点F，连接AF，则AF//EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；(2)证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．22.【答案】解：设圆锥的底面半径为r，高为ℎ．因为2πr=25π⋅10，所以r=2．则ℎ=√102−22=4√6．则圆锥的表面积S=π⋅1025+2π⋅22=28π≈87.96(cm2)．体积V=13π⋅22×4√6+23π⋅23=163(√6+1)π≈57.80(cm2)．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．【解析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．本题考查了圆锥的表面积和体积，解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长，同时熟记有关公式，是基础题．。

上海浦东新区高二上学期期中数学试卷含答案

上海市浦东新区高二第一学期普通高中期中联考数学试卷( 总分：100分时间：90分钟 )一．填空题（每题3分，共12题，满分36分）1、已知数列{a}是等差数列，且)._____(,7,12*451N n a a a a n ∈===+则2等比数列{a}中，,60,304321=+=+a a a a 则q=__________.3、b=ac 是a ,b ,c 成等比数列的_______________条件。

4、若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为__________.5、已知向量k k 若),4-,(),3,1(=-=⊥b ，则实数k=_____________.6、已知数列{a}的前n 项的和.____________,1232=++=n n a n n S 则7、已知上的投影为在向量则向量且b a b a b a ,12,3||,5||=•==____________.8、在用数学归纳法证明：1+2+3+----+2n=2)21(2n n + (n *∈N )的过程中，则当n=k+1时，左端应在n=k 的左端上加上________________________________.9.若a,b,c 成等比数列，则函数y=ax 2+4bx+c 的图像与x 轴交点的个数是__________.10.已知31)1(331lim =+++∞→n n n n a ，则实数a 的取值范围是__________________________. 11.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一个项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列就叫做“等和数列”，这个常数叫做公和。

已知数列{a}是等和数列，且，公和为6,21=a 求这个数列的前n 项的和S=______________.12.在等差数列{a}中，若,010=a 则有等式n n a a a a a a -+++=+++192121--------， n ＜19,*∈Nn 成立。

2023-2024学年上海市浦东新区高二数学上学期期中试卷附答案解析

2023-2024学年上海市浦东新区高二数学上学期期中试卷2023.11（考试时间90分钟，满分100分）一、填空题（每小题3分，共36分）1．公理2：不在同一直线上的点确定一个平面.2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在垂直.4．已知球的半径为3，则该球的体积为.5．一个圆柱的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为2cm .6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为.7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是.8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是.（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成60︒角.9．若空间三条直线a c ⊥，b c ⊥，则a ，b 的位置关系是.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，其所在的直线与直线1BA 成异面直线的共有条.12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑()bienao ．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面,2ABC MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为．二、选择题（每小题3分，共12分）13．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．设m ，n 是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若//,m n αα⊂，则//m nC ．若//,//m n n α，则//m αD ．若//,,m n m n αα⊄⊂，则//m α15．如图，A 、B 、C 、D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．垂直16．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A ．B ．C D 三、解答题17．正四棱柱1111ABCD A B C D -，的底面边长2AB =，若异面直线1A A 与1B C 所成角的大小为1arctan2，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积和体积.18．如图，正三棱锥-P ABC 的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥-P ABC 的表面积；（2）求正三棱锥-P ABC 的体积.19．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形//AD BC ，AB BC ⊥，1AB AD ==，2BC =，PB ⊥平面ABCD ，1PB =.（Ⅰ）求证：CD PD ⊥；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.20．如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为2．(1)求该圆锥的侧面积；(2)设OA OB 、为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为AB 的中点，求二面角P AB O --的大小（用反三角表示）21．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：平面MND ⊥平面PCD ．1．三##3【分析】根据公理2判断可得；【详解】解：公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面故答案为：三2．两条相交【分析】根据直线与平面垂直的判定定理得解；【详解】解：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直.故答案为：两条相交3．平面上的射影【分析】由三垂直线定理及其逆定理可得答案.【详解】解：由三垂线定理得：平面上的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也与这条斜线垂直；由三垂线定理的逆定理得：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它与这条斜线在平面上的射影垂直；所以平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直，故答案为：平面上的射影.4．36π【分析】根据球的体积公式计算可得；【详解】解：因为球的半径3R =，所以球的体积334433633V R πππ==⨯=；故答案为：36π5．24π【分析】由圆柱的侧面积公式计算可得答案.【详解】解：圆柱的底面半径为3cm ，高为4cm ，则它的侧面积为23424ππ⨯⨯=2cm ，故答案为：24π.6．3π##60︒【分析】根据线面角的定义计算可得；【详解】解：因为斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，记这条斜线和这个平面所成的角为θ，则1cos 2θ=，因为0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=故答案为：3π7．10【分析】利用正四棱柱的性质进行计算即可【详解】因为正四棱柱底面边长为1，高为2，所以它的表面积为21141210⨯⨯+⨯⨯=，故答案为：108．（3）（4）##(4)(3)【分析】还原正方体ABCD EFGH -，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接AH ，AC ，则AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体ABCD EFGH -，可得AF 与ED 为异面直线，故（1）错误；CH 与DE 为异面直线，故（2）错误；直线BG 与直线DE 是异面直线，故（3）正确；连接AH ，AC ，由正方体的性质可得//AH BG ，所以AHC ∠为异面直线CH 与直线BG 所成的角，因为AHC为等边三角形，所以60AHC ∠=︒，即直线CH 与直线BG 所成角为60︒，故（4）正确；故答案为：（3）（4）．9．平行，相交或异面【分析】根据空间直线的位置关系判断可得；【详解】解：因为空间三条直线a c ⊥，b c ⊥，所以a 与b 的位置关系是平行，相交或异面；故答案为：平行，相交或异面10．4π##45︒【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可．【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11ABB A ，又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥，又AB BC ⊥，所以1A BA ∠是平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在直角1ABA △中，14ABA π∠=，所以平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是4π．故答案为：4π．11．6【解析】根据几何体依次写出与直线1BA 成异面的直线即可得解.【详解】正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，其所在的直线与直线1BA 成异面直线如下：111111,,,,,AD DC DD B C C D C C ，一共6条.故答案为：6【点睛】此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线1BA 成异面的直线.12．12π．【分析】证明BC BM ⊥，可得MC 是外接球的直径，求得长度后可球表面积．【详解】因为MA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以MA BC ⊥，同理MA AC ⊥，又AB BC ⊥，AB MA A = ，,AB MA ⊂平面MAB ，所以BC ⊥平面MAB ，又MB ⊂平面MAB ，所以BC MB ⊥，所以MC 的中点O 到,,,M A B C 四点距离相等，为四面体M ABC -外接球球心，又由已知得AC ==MC =所以外接球表面积为2412S ππ=⨯=．故答案为：12π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径．三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上．13．B【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】“两条直线没有公共点”⇔“两条直线平行或异面”，所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件.故选：B.14．D【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若//,//m n αα，则m 与n 相交，平行或异面，故A 错误；对于B 中，若//,m n αα⊂，则m 与n 平行或异面，故B 错误；对于C 中，若//,//m n n α，则m 有可能在平面α内，故C 错误；对于D 中，若//,,m n m n αα⊄⊂，由直线与平面平行的判定定理，可得//m α，所以D 是正确的．故选：D 15．A【分析】如图，延长GM 到N,使12MN GM=,连接AN,DN.由AB 和DC 分别平行于正方体的两条相交的对角线，从而得AB 与DC 相交．【详解】如图，延长GM 到N,使12MN GM=,连接AN,DN.//AB FM ，AN ∥FM,∴A,B,N 三点共线，同理D,C,N 三点共线，AB ∴与DC 相交，故选：A ．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．A【分析】将正四面体放入正方体中，可得正方体的棱长为，求出正方体外接球的体积即为正四面体外接球的体积.【详解】如图将棱长为1的正四面体11B ACD -放入正方体1111ABCD A B C D -中，且正方体的棱长为1cos 452⨯=，所以正方体的体对角线162AC =，所以正方体外接球的直径12R AC =，所以正方体外接球的体积为3344πππ3348R ⎛=⨯= ⎝⎭，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为π8，故选：A.17．3216S V ==，.【分析】首先根据异面直线所成的角，求1BB ，再求正四棱柱的侧面积和体积.【详解】11//AA BB ，∴面直线1A A 与1B C 所成角是1CB B ∠，111tan 2BC CB B BB ∴∠==，2BC AB == ，14BB ∴=，∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积42432S =⨯⨯=，体积22416V =创=.18．（1）；（2）3.【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥-P ABC 的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥-P ABC 的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =⋅=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥-P ABC 的侧面积是3PBC S =△∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△.则正三棱锥-P ABC 的表面积为（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .且1333OD AD ==.在Rt POD 中，PO .∴正三棱锥-P ABC 的体积为133ABC S PO ⋅=△.【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）62+.【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，易求得CD BD ⊥，又由PB ⊥平面ABCD ，得PB CD ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得到CD ⊥平面PBD ，即可得到CD PD ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得PCD S ∆=，进而根据PB ⊥平面ABCD ，得到,,PAD PBA PCD ∆∆∆，PCD ∆都为直角三角形，分别求得,,,PAD PAB PBC ABCD S S S S ∆∆∆梯形的面积，即可求解．【详解】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，易求CD BD PD PA ====2,BC CD BD =∴⊥ .PB ⊥ 平面，,ABCD PB CD ∴⊥，又,PB BD B CD ⋂=∴⊥平面PBD ，又PD ⊂平面,PBD CD PD ∴⊥，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1622PCD S ∆=.又//,,DA BC BC AB PB ⊥⊥ 平面ABCD ，,,PAD PBA PCD ∴∆∆∆都为直角三角形.1,,122PAD PAB PBC S S S ∆∆∆∴===，所以32ABCD S ∴=梯形.∴四棱锥P ABCD -的表面积为6213626122222++++=.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理，以及准确计算几何体中每个面的面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．20．(1)8π(2)arc 【分析】（1）根据题意，由勾股定理求出圆锥的母线，结合圆锥的侧面积公式计算即可求解；（2）如图，由题意可得PM AB ⊥、OM AB ⊥，则PMO ∠为二面角P AB O --所成角.在Rt POM 中，解三角形即可求解.【详解】（1）由题意知，OP ⊥平面OAB ，OB ⊂平面OAB ，所以OP ⊥OB ，所以圆锥的母线4l =，所以圆锥的侧面积π8πS lr ==；（2）如图，连接PM ，M 为AB 的中点，PA PB =，则PM AB ⊥，又OAB 为等腰三角形，OA OB =，所以OM AB ⊥，所以PMO ∠为二面角P AB O --所成角.在等腰直角OAB 中，2OA OB ==，所以OM =在Rt POM 中，OP OM =tan OP PMO OM ∠=所以arctan PMO ∠==.21．（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，可证//NE PD ，//EM DA ，从而面//NEM 面PDA ，即可证明//MN 平面PAD ；（2）证明MN CD ⊥，由PM MC =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，可证MN PC ⊥，CD PC C = ，可知MN ⊥平面PCD ，从而得证．【详解】证明：（1）取CD 的中点E ，连接NE ，ME ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，//NE PD ∴，//EM DA又NE ⊄面PDA ，PD ⊂面PDA ，所以//NE 面PDA又ME ⊄面PDA ，AD ⊂面PDA ，所以//ME 面PDA因为NE ME E = ，,NE ME ⊂面NEM∴平面//NEM 平面PDA ，因为MN ⊂面NEM//MN ∴平面PAD ；（2）底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，CD PA ∴⊥，CD AD ⊥，PA AD A ⋂=，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂平面PADCD \^平面PAD ，PD ⊂ 平面PADCD PD ∴⊥，//EN PDEN CD∴⊥又CD EM ⊥ ，EM EN E = CD \^平面ENMMN CD∴⊥,,PA AD BC AD AM MB===PM MC ∴=，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，MN PC ∴⊥，CD PC C = ，,CD PC ⊂面PCD MN ∴⊥平面PCD ,又MN ⊂平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD .。

上海高二上学期期中数学试题(解析版)

一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB，，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面，又平面，所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。

上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)

上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（）（A ）若0 =a ，则0=a；（B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（）（A ）有极限，其值是整数；（B ）有极限，其值是分数；（C ）有两个极限；（D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（）（A ）1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）两平行线x+y+1=0和x+y+3=0的距离等于___ ．2.（填空题.3分）若直线l 1：ax+3y-5=0与l 2：x+2y-1=0互相垂直.则实数a 的值为___ ．3.（填空题.3分）椭圆 x 225 + y 216 =1的焦距是___ ．4.（填空题.3分）已知在平面直角坐标系中.A （0.0）.B （1.0）.C （2.1）.若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .则点D 的坐标为 ___ ．5.（填空题.3分）l ：ax+by+c=0的一个方向向量为 (1，√3) .则此直线l 的倾斜角为___ ．6.（填空题.3分）若向量 |a +b ⃗ |=√5 . |a |=1 . |b ⃗ |=2 .则 a •b ⃗ =___ ．7.（填空题.3分）圆心为（1.2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为___ ．8.（填空题.3分）在直角坐标系中.O 为原点. xOA⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+y=___ ． 9.（填空题.3分）直线y= 12 x 关于直线x=1对称的直线方程是___ ． 10.（填空题.3分）椭圆 x 216+y 24=1 的弦AB 中点为M （1.1）.则直线AB 的方程___ ．11.（填空题.3分）设F 1、F 2分别是椭圆 x 24+y 2=1 的左、右焦点.若椭圆上存在一点P.使 (OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 （O 为坐标原点）.则△F 1PF 2的面积是___ ． 12.（填空题.3分）已知A （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）为椭圆 x 225+y 29=1 上两动点.x 1+x 2=8.且AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m.则m 的取值范围是___ ． 13.（单选题.3分）过点（-1.0）.且与直线 x+15 = y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（）A.3x+5y-3=0B.3x+5y+3=0C.3x+5y-1=0D.5x-3y+5=014.（单选题.3分）两内切圆的半径长是方程x 2+px+q=0的两根.已知两圆的圆心距为1.其中一圆的半径为3.则p+q=（） A.2或4 B.4 C.1或5D.515.（单选题.3分）已知直线l：（2k+1）x+（k+1）y+1=0（k∈R）与圆（x-1）2+（y-2）2=25交于A.B两点.则弦长|AB|的取值范围是（）A.[4.10]B.[3.5]C.[8.10]D.[6.10]16.（单选题.3分）关于曲线C：1x2+1y2=1.有如下结论：① 曲线C关于原点对称；② 曲线C关于直线x±y=0对称；③ 曲线C是封闭图形.且封闭图形的面积大于2π；④ 曲线C不是封闭图形.且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤ 曲线C与曲线D：|x|+|y|=2 √2有4个交点.这4点构成正方形；其中所有正确结论的序号为（）A. ① ② ③ ⑤B. ① ② ④ ⑤C. ① ② ③ ④D. ① ② ③ ④ ⑤17.（问答题.0分）已知平面向量a . b⃗ . a =（1.2）．（1）若b⃗ =（0.1）.求|a+2b⃗|的值；（2）若b⃗ =（2.m）. a与a−b⃗共线.求实数m的值．18.（问答题.0分）已知xOy平面上的直线l：kx-y+1+2k=0.k∈R．（1）直线l恒过定点的坐标；（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为92.求k的值．19.（问答题.0分）若平面内两定点O （0.0）.A （3.0）.动点P 满足 |PO||PA|=12 ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）求|PO|2+|PA|2的最大值．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（-1.0）.F 2（1.0）．过F 2作x 轴的垂线l.在x 轴的上方.l 与圆F 2：（x-1）2+y 2=4a 2交于点A.与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B.连结BF 2交椭圆C 于点E.连结DF 1．已知DF 1= 52 ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21.（问答题.0分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的焦距为 2√3 .且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1.y 1）、B （x 2.y 2）.且在椭圆C 上存在点M.使得： OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +45OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）.则称直线l 具有性质H ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴.且具有性质H.求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）两平行线x+y+1=0和x+y+3=0的距离等于___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：利用两平行线间的距离公式.计算即可．【解答】：解：两平行线x+y+1=0和x+y+3=0的距离为 d=√12+12= √2 ．故答案为： √2 ．【点评】：本题考查了两平行线间的距离公式应用问题.是基础题．2.（填空题.3分）若直线l 1：ax+3y-5=0与l 2：x+2y-1=0互相垂直.则实数a 的值为___ ．【正确答案】：[1]-6【解析】：由直线互相垂直.可得a+6=0.解得a ．【解答】：解：∵直线l 1：ax+3y-5=0与l 2：x+2y-1=0互相垂直. ∴a+6=0.解得a=-6．故答案为：-6．【点评】：本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．3.（填空题.3分）椭圆 x 225 + y 216 =1的焦距是___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：根据题意.由椭圆的标准方程分析a 、b 的值.结合椭圆的几何性质求出c 的值.由椭圆焦距的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意.椭圆 x 225 + y 216 =1中.a=5.b=4.则c= √a 2−b 2 =3.则该椭圆的焦距2c=6；故答案为：6．【点评】：本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质.注意求出c 的值.属于基础题． 4.（填空题.3分）已知在平面直角坐标系中.A （0.0）.B （1.0）.C （2.1）.若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .则点D 的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（1.1）【解析】：设出D 的坐标.根据向量相等即可求解结论．【解答】：解：设D （x.y ）；则 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）； BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1）；因为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 {x =1y =1 ；即D （1.1）；故答案为：（1.1）．【点评】：本题主要考查向量相等的应用.属于基础题．5.（填空题.3分）l ：ax+by+c=0的一个方向向量为 (1，√3) .则此直线l 的倾斜角为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意.设直线l 的倾斜角为θ.由直线的方向向量可得直线的斜率k 的值.由直线的斜率与倾斜角的关系分析可得答案．【解答】：解：根据题意.设直线l 的倾斜角为θ.若直线lax+by+c=0的一个方向向量为 (1，√3) .则其斜率k= √3 . 则tanθ= √3 . 又由0≤θ＜π.则θ= π3 . 故直线的倾斜角为 π3 ．故答案为： π3 ．【点评】：本题考查直线的点斜式方程.涉及直线的方向向量.属于基础题．6.（填空题.3分）若向量 |a +b ⃗ |=√5 . |a |=1 . |b ⃗ |=2 .则 a •b ⃗ =___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：通过向量的模的运算法则.推出向量的数量积即可．【解答】：解：向量 |a +b ⃗ |=√5 . |a |=1 . |b ⃗ |=2 . 可得 a 2+2a •b ⃗ +b ⃗ 2=5 . 所以1+2 a •b ⃗ +4=5. 所以 a •b ⃗ =0．故答案为：0．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量的模的求法.是基本知识的考查． 7.（填空题.3分）圆心为（1.2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为___ ．【正确答案】：[1]（x-1）2+（y-2）2=4【解析】：因为所求的圆与直线5x-12y-7=0相切时圆心到直线的距离等于半径.根据点到直线的距离公式求出半径.然后根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．【解答】：解：.所求圆的半径就是圆心（1.2）到直线5x-12y-7=0的距离： d =√52+(−12)2=2 .所以圆的方程：（x-1）2+（y-2）2=4．故答案为：（x-1）2+（y-2）2=4【点评】：此题要求学生掌握直线与圆相切时的条件.灵活运用点到直线的距离公式化简求值．根据圆心坐标和半径会写出圆的标准方程．8.（填空题.3分）在直角坐标系中.O 为原点. xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则x+y=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：根据向量的线性运算求出（x+2） OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（y-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .根据对应关系求出x+y 的值即可．【解答】：解：∵ xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）. ∴（x+2） OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +（y-2） OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . ∴x=-2.y=2.x+y=0.故答案为：0．【点评】：本题考查了向量的线性运算.考查对应思想.是一道基础题． 9.（填空题.3分）直线y= 12 x 关于直线x=1对称的直线方程是___ ．【正确答案】：[1]x+2y-2=0【解析】：本题求对称直线方程.先求斜率.再求对称直线方程上的一点.然后求得答案．【解答】：解：直线 y =12x 关于直线x=1对称.可知对称直线的斜率为 −12.且过（2.0）点.所求直线方程为：x+2y-2=0．故答案为：x+2y-2=0．【点评】：考查对称知识.求直线方程.方法比较多；如采用相关点法、到角公式等方法． 10.（填空题.3分）椭圆 x 216+y 24=1 的弦AB 中点为M （1.1）.则直线AB 的方程___ ．【正确答案】：[1]x+4y-5=0【解析】：根据题意设出直线方程代入椭圆方程.利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为M （1.1）.求出斜率.即可求得直线AB 的方程．【解答】：解：根据题意.设直线方程AB 为y=k （x-1）+1. 设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2.且AB 的中点坐标为M （1.1）. 则有x 1+x 2=2.将直线AB 的方程代入椭圆方程 x 216+y 24=1 中.整理得（4k 2+1）x 2-8k （k-1）x+4k 2-12-8k=0. 有x 1+x 2= 8k (k−1)1+4k 2. 设则有8k (k−1)1+4k 2=2.解可得k=- 14 .则直线AB 方程为y=- 14 （x-1）+1.变形可得x+4y-5=0；故答案为：x+4y-5=0．【点评】：本题考查直线与椭圆的位置关系.考查弦中点问题.解题的关键是直线方程代入椭圆方程.利用韦达定理求解． 11.（填空题.3分）设F 1、F 2分别是椭圆 x 24+y 2=1 的左、右焦点.若椭圆上存在一点P.使(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 （O 为坐标原点）.则△F 1PF 2的面积是___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：根据向量条件 (OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得到△F 1PF 2是直角三角形.根据椭圆的定义即可得到结论．【解答】：解：∵ (OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )•PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ∴平行四边形OPBF 2的对角线互相垂直. 即平行四边形OPBF 2是菱形.∵椭圆 x 24+y 2=1 .∴a=2.b=1.c= √3 .即OP=OF 2= √3 .即平行四边形OPBF 2的边长为 √3 . ∴△F 1PF 2是直角三角形. 设PF 2=x.PF 1=y. 则x+y=2a=4. 平方得x 2+2xy+y 2=16. ∵x 2+y 2=（2c ）2=12. ∴2xy=16-12=4.即xy=2.则△F 1PF 2的面积为： 12xy =12×2 =1. 故答案为：1．【点评】：本题主要考查三角形的面积的计算.根据向量条件得到△F 1PF 2是直角三角形时解决本题的关键．12.（填空题.3分）已知A （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）为椭圆x 225+y 29=1 上两动点.x 1+x 2=8.且AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m.则m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−165，165) 【解析】：设弦AC 中点P 的坐标是（4.y 0）.根据点差法、中点坐标公式化简得：9×8×（x 1-x 2）+25×2y 0×（y 1-y 2）=0.由弦AC 的垂直平分线的方程得： y 1−y 2x 1−x 2= −1k .代入上式化简求出k.把点P 的坐标代入弦AC 的垂直平分线的方程求出m.再由中点的横坐标为4.求出y 0的范围.进而求出m 的范围．【解答】：解：A （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）为椭圆 x 225+y 29=1 上两动点.x 1+x 2=8.设弦AC 中点P 的坐标是（4.y 0）. 所以x 1+x 2=8.y 1+y 2=2y 0. 因为A （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）在椭圆 x 225+y 29=1 上.所以9x 12+25y 12=9×25. ① 9x 22+25y 22=9×25. ②由 ① - ② 得.9（x 12-x 22）+25（y 12-y 22）=0. 9（x 1-x 2）（x 1+x 2）+25（y 1-y 2）（y 1+y 2）=0. 所以9×8×（x 1-x 2）+25×2y 0×（y 1-y 2）=0. ③因为弦AC 的垂直平分线的方程为y=kx+m.中点P 的坐标是（4.y 0）. 所以k≠0.即x 1≠x 2.则 y 1−y 2x 1−x 2= −1k .则 ③ 化为：36+25×y 0×（ −1k ）=0.解得k=25y 036. 由点P （4.y 0）在弦AC 的垂直平分线上得.y 0=4k+m. 所以m=y 0-4k=y 0-25y 09 =- 16y09. 由点B （4.y B ）在椭圆上.解得y B = ±95 . 所以- 95 ＜y 0＜ 95 .则- 165 ＜-16y 09 ＜ 165 . 所以m 的取值范围是：（- 165 . 165 ）．故答案为：（- 165 . 165 ）．【点评】：本题考查椭圆定义、标准方程.点差法解决弦的中点问题.以及椭圆内部的点的坐标范围问题.考查化简计算能力．13.（单选题.3分）过点（-1.0）.且与直线 x+15 = y+1−3有相同方向向量的直线的方程为（）A.3x+5y-3=0B.3x+5y+3=0C.3x+5y-1=0D.5x-3y+5=0 【正确答案】：B【解析】：利用直线的方向向量与直线平行与斜率的关系.即可得出．【解答】：解：由x+15 = y+1−3 可得.3x+5y+8=0.即直线的斜率- 35. 由题意可知所求直线的斜率率k=- 35 .故所求的直线方程为y=- 35（x-1）即3x+5y+3=0．故选：B ．【点评】：本题考查了直线的方向向量及平行与斜率的关系.属于基础题．14.（单选题.3分）两内切圆的半径长是方程x 2+px+q=0的两根.已知两圆的圆心距为1.其中一圆的半径为3.则p+q=（） A.2或4 B.4 C.1或5 D.5【正确答案】：C【解析】：根据题意.设两个圆的半径为R.r.且R=3.由圆心距求出r 的值.结合一元二次方程根与系数的关系分析可得答案．【解答】：解：根据题意.设两个圆的半径为R.r.且R=3. 则有|R-r|=1.解可得r=2或4.又由R 、r 是方程x 2+px+q=0的两根.则 {R +r =−pRr =q .当r=2时.p=-5.q=6.此时p+q=1. 当r=4时.p=-7.q=12.此时p+q=5. 故p+q=1或5. 故选：C ．【点评】：本题考查圆与圆的位置关系.涉及一元二次方程根与系数的关系.属于基础题． 15.（单选题.3分）已知直线l ：（2k+1）x+（k+1）y+1=0（k∈R ）与圆（x-1）2+（y-2）2=25交于A.B 两点.则弦长|AB|的取值范围是（）A.[4.10]B.[3.5]C.[8.10]D.[6.10]【正确答案】：D【解析】：通过直线l转化为直线系.求出直线恒过的定点.说明直线l被圆C截得的弦长最小时.圆心与定点连线与直线l垂直.由勾股定理即可得到最短弦长．【解答】：解：由直线l：（2k+1）x+（k+1）y+1=0（k∈R）得：（x+y+1）+k（2x+y）=0.故l恒过定点D（1.-2）．因为（1-1）2+（-2-2）2=8＜25.则点D在圆C的内部.直线l与圆C相交．圆心C（1.2）.半径为5.|CD|=4.当截得的弦长最小时.l⊥CD.最短的弦长是2 √25−16=3 ×2=6．再由l经过圆心时弦长最长为2r=10.则|AB|∈[6.10]．故选：D．【点评】：本题考查直线系方程的应用.考查直线与圆的位置关系.考查平面几何知识的运用.考查计算能力.属于中档题．16.（单选题.3分）关于曲线C：1x2+1y2=1.有如下结论：① 曲线C关于原点对称；② 曲线C关于直线x±y=0对称；③ 曲线C是封闭图形.且封闭图形的面积大于2π；④ 曲线C不是封闭图形.且它与圆x2+y2=2无公共点；⑤ 曲线C与曲线D：|x|+|y|=2 √2有4个交点.这4点构成正方形；其中所有正确结论的序号为（）A. ① ② ③ ⑤B. ① ② ④ ⑤C. ① ② ③ ④D. ① ② ③ ④ ⑤【正确答案】：B【解析】：将方程中的x换成-x.y换成-y方程不变.可判断① ；将方程中的x换成-y.y换成-x 方程不变.可判断② ；由方程得x2＞1.y2＞1.故曲线C不是封闭图形.可判断③ ；曲线C的方程与圆x2+y2=2联立.解方程组即可判断④ ；当x＞0.y＞0时.联立曲线C与x+y=2 √2 .只有一解.根据对称性.共有4个交点.这4点构成正方形.可判断⑤ ．【解答】：解：对于① .将方程中的x换成-x.y换成-y方程不变.故① 正确；对于② .将方程中的x换成-y.y换成-x方程不变.故②正确；对于③ .由方程得x2＞1.y2＞1.故曲线C不是封闭图形.故③ 错；对于④ .曲线C：1x2+1y2=1与圆x2+y2=2联立.方程组无解.故曲线C与圆无公共点.故④ 正确；对于⑤ .当x＞0.y＞0时.联立曲线C与x+y=2 √2 .只有一解（√2 . √2）.根据对称性.可得与曲线D共有4个交点.这4点构成正方形.故⑤ 正确．故选：B．【点评】：本题考查了命题真假的判定.曲线C：1x2+1y2=1的图象和性质.对称性的判断.面积的求解.属于中档题．17.（问答题.0分）已知平面向量a . b⃗ . a =（1.2）．（1）若b⃗ =（0.1）.求|a+2b⃗|的值；（2）若b⃗ =（2.m）. a与a−b⃗共线.求实数m的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用平面向量坐标运算法则先求出a+2b⃗=(1，2)+(0，2)=(1，4) .由此能求出|a+2b⃗|的值．（2）求出a−b⃗=(−1，2−m) .由a与a−b⃗共线.由此能求出m的值．【解答】：解：（1）a+2b⃗=(1，2)+(0，2)=(1，4) . 所以|a+2b⃗|=√12+42=√17．（2）a−b⃗=(−1，2−m) .因为a与a−b⃗共线.所以−11=2−m2.解得m=4．【点评】：本题考查向量的模、实数值的求法.考查平面向量坐标运算法则、向量共线的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．18.（问答题.0分）已知xOy平面上的直线l：kx-y+1+2k=0.k∈R．（1）直线l恒过定点的坐标；（2）直线l与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为92.求k的值．【正确答案】：【解析】：（1）在直线方程中分离参数.再令参数的系数等于零.求得x、y的值.可得直线l恒过定点的坐标．（2）先求出直线l与x轴负半轴和y轴正半轴的交点.再根据它与坐标轴围成的三角形面积为92.求得k的值．【解答】：解：（1）直线l：kx-y+1+2k=0.k∈R.即 k（x+2）-y+1=0.令x+2=0.求得x=-2.y=1.该直线经过点（-2.1）．（2）直线l：kx-y+1+2k=0与x轴负半轴交点为（- 1+2kk.0）.和y轴正半轴交点为（0.1+2k）.故1+2k＞0.且- 1+2kk＜0.解得k＞0．直线l坐标轴围成的三角形面积为12•（1+2kk）•（1+2k）= 92.即 4k2-5k+1=0.求得k=1.或k= 14．【点评】：本题主要考查直线经过定点问题.直线和坐标轴的交点.属于中档题．19.（问答题.0分）若平面内两定点O（0.0）.A（3.0）.动点P满足|PO||PA|=12．（1）求点P的轨迹方程；（2）求|PO|2+|PA|2的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）设P（x.y）.由|PO||PA|=12.计算可得点P的轨迹方程；（2）将|PO|2+|PA|2转化为5（3-2x）.即可求得最大值．【解答】：解：（1）设P（x.y）.∵动点P满足|PO||PA|=12.∵|PA|2=4|PO|2.∴4（x2+y2）=（x-3）2+y2整理得（x+1）2+y2=4.即为点P的轨迹方程；（2）∵|PO|2+|PA|2=5|PO|2=5（x2+y2）.由（1）得y2=4-（x+1）2.将其代入上式得PO2+PA2=5（3-2x）.∵-3≤x≤1.∴当x=-3时.PO2+PA2最大.最大值为45．【点评】：本题考查了求轨迹方程.以及利用转化思想求最值.属于中档题．20.（问答题.0分）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（-1.0）.F2（1.0）．过F2作x轴的垂线l.在x轴的上方.l与圆F2：（x-1）2+y2=4a2交于点A.与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B.连结BF2交椭圆C于点E.连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得到F 1D || BF 2.然后求AD.再由AD=DF 1= 52 求得a.则椭圆方程可求；（2）求出D 的坐标.得到 k BF 2=k DF 1 = 322=34 .写出BF 2的方程.与椭圆方程联立即可求得点E 的坐标．【解答】：解：（1）如图.∵F 2A=F 2B.∴∠F 2AB=∠F 2BA. ∵F 2A=2a=F 2D+DA=F 2D+F 1D.∴AD=F 1D.则∠DAF 1=∠DF 1A. ∴∠DF 1A=∠F 2BA.则F 1D || BF 2.∵c=1.∴b 2=a 2-1.则椭圆方程为 x 2a 2+y 2a 2−1=1 . 取x=1.得 y D =a 2−1a.则AD=2a- a 2−1a = a 2+1a ．又DF 1= 52 .∴ a 2+1a=52 .解得a=2（a ＞0）．∴椭圆C的标准方程为 x 24+y 23=1 ；（2）由（1）知.D （1. 32）.F 1（-1.0）. ∴ k BF 2=k DF 1 = 322=34 .则BF 2：y= 34(x −1) . 联立 {y =34(x −1)x 24+y 23=1 .得21x 2-18x-39=0．解得x 1=-1或 x 2=137（舍）． ∴ y 1=−32 ．即点E 的坐标为（-1.- 32 ）．【点评】：本题考查直线与圆.圆与椭圆位置关系的应用.考查计算能力.证明DF 1 || BF 2是解答该题的关键.是中档题．21.（问答题.0分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的焦距为 2√3 .且右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l 与椭圆C 交于A （x 1.y 1）、B （x 2.y 2）.且在椭圆C 上存在点M.使得： OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +45OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）.则称直线l 具有性质H ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 垂直于x 轴.且具有性质H.求直线l 的方程；（3）求证：在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆的焦距为 2√3 .右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形.求出a.b.由此能求出椭圆C 的方程．（2）设直线l ：x=t.（-2＜t ＜2）.则A （t.y 1）.B （t.y 2）.设M （x m .y m ）.求出 x m =75t . y m =35y 1+45y 2 =- 15y 1 .由点M 在椭圆C 上.能求出直线l 的方程．（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1.y 1）.Q （x 2.y 2）.R （x 3.y 3）.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H.利用反证法推导出相互矛盾结论.从而能证明在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．【解答】：解：（1）∵椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的焦距为 2√3 .∴c= √3 . ∵右焦点F 与短轴的两个端点组成一个正三角形.∴c= √3b .解得b=1. ∴a 2=b 2+c 2=4.∴椭圆C 的方程为 x 24+y 2=1 ．（2）设直线l ：x=t.（-2＜t ＜2）.则A （t.y 1）.B （t.y 2）. 其中y 1.y 2满足： y 2=1−t 24.y 1+y 2=0. 设M （x m .y m ）.∵ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +45OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中O 为坐标原点）. ∴ x m =75t . y m =35y 1+45y 2 =- 15y 1 . ∵点M 在椭圆C上.∴ 49t 2100+(−15y 1)2=1 .∴49t 2+4-t 2=100.∴t= ±√2 .∴直线l 的方程为x= √2 或x=- √2 ．证明：（3）假设在椭圆C 上存在三个不同的点P （x 1.y 1）.Q （x 2.y 2）.R （x 3.y 3）. 使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H.∵直线PQ 具有性质H.∴在椭圆C 上存在点M.使得： OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +45OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .设M （x m .y m ）.则 x m =35x 1+45x 2 .y m = 35y 1+45y 2 . ∵点M 在椭圆上.∴ (35x 1+45x 2)24 +（ 35y 1+45y 2 ）2=1.又∵x 124+y 12=1 .x 224+y 22=1 .∴x 1x 24+y 1y 2 =0. ①同理：x 2x 34+y 2y 3 =0. ② . x 3x 14+y 3y 1=0 . ③1）若x 1.x 2.x 3中至少一个为0.不妨设x 1=0.则y 1≠0.由 ① ③ 得y 2=y 3=0.即Q.R 为长轴的两个端点.则 ② 不成立.矛盾． 2）若x 1.x 2.x 3均不为0.则由 ① ② ③ 得x 12x 22x 3264=- y 12y 22y 32 ＞0.矛盾． ∵在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H ．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.考查直线方程的求法.考查在椭圆C 上不存在三个不同的点P 、Q 、R.使得直线PQ 、QR 、RP 都具有性质H 的证明.是中档题.解题时要认真审题.注意椭圆性质和反证法的合理运用．。

2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期期中数学复习卷(含解析)

2021-2022学年上海市浦东新区华东师大二附中高二上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列说法中正确的有()①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；③垂直的两直线的斜率之积为−1；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.命题“若则q”是真命题，则p是的A. 充分条件B. 充分非必要条件C. 必要条件D. 必要非充分条件3.若直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，则直线AB的倾斜角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4.设变量x、y满足约束条件{y≤xx+y≥2y≥3x−6，则目标函数z=3x+y的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 12二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5.把圆x2+y2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换为______．6.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(1,m)，若a⃗//b⃗ ，则实数m等于______．7. 2.直线垂直，则直线的方程为_____________8.7.设矩阵，，若，则．9.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=5，且a⃗⋅b⃗ =12，则向量a⃗在b⃗ 方向上的正射影的数量为______ ．10.求与直线l1：x−√3y+3=0的夹角为π3，且经过点(3,2√3)的直线l2的直线方程可以是．11.已知三点A(2,−3)，B(4,3)，C(5,k2)在同一直线上，则k=______ ．12. 如图，在直角梯形ABCD 中，已知BC//AD ，AB ⊥AD ，AB =4，BC =2，AD =4，若P 为CD 的中点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．13. 设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x +2y +3z =，则x +y +z =________．14. (1)已知tanθ=2，则sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θ的值为________．(2)已知函数为偶函数，则f(x)=________．(3)已知向量a →=(2,4)，b →=(1,1)，则向量a →在向量b →方向上的投影为________．(4)若函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(π 3,0)对称，则|φ|的最小值为________．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分） 15. 设二阶矩阵A ，B 满足A −1=[1234]，BA =[1001]，求B −1．16. 已知，，．(1)若，求的值；(2)设，若，求、的值．17. 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：每件产品A每件产品B 研制成本、搭载费用之和(万元)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克)105最大搭载重量110千克预计收益(万元)8060分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示(Ⅰ)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．18. 设函数f(x)=12+1x，正项数列{a n}满足a1=1，a n=f(1an−1)，n∈N∗，且n≥2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1a2+1a2a3+1a3a4+⋯+1a n a n+1<2．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①平行的两条直线的斜率一定存在且相等；不正确，利用直线的倾斜角为90°时，直线不存在斜率．所以①不正确；②平行的两条直线的倾斜角一定相等；正确；③垂直的两直线的斜率之积为−1；反例，一条直线的倾斜角为0°，一条直线的倾斜角为90°，两条直线垂直，但是不满足③，所以③不正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．反例斜率不存在时，两条直线也平行，所以④不正确；故选：B．利用反例判断①；直线的倾斜角判断②；直线的垂直关系判断③；直线的平行判断④．本题考查命题的真假的判断，直线的倾斜角与直线的斜率的关系，直线的位置关系的判断，是基础题．2.答案：C解析：解：命题“若则q”是真命题，则q，即￢q p，故p是的必要条件，故选C．3.答案：D解析：解：∵直线经过A(0,4)，B(√3,1)两点，=−√3，∴k AB=1−4√3设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，由tanα=−√3，得α=120°．故选：D．由两点求斜率公式求得AB的斜率，再由直线倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了直线的斜率，考查了斜率与倾斜角的关系，是基础题．4.答案：B解析：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=−3x+z，平移直线y=−3x+z，由图象可知当直线y=−3x+z，经过点A时，直线y=−3x+z的截距最小，此时z 最小．由{y =x x +y =2，解得{x =1y =1，即A(1,1)，此时z 的最小值为z =1×3+1=4，故选：B作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5.答案：{x =4x′y =y′解析：解：由椭圆x′2+y′216=1变形为：16(x′)2+(y′)2=16，即(4x′)2+(y′)2=16．因此对于圆x 2+y 2=16的方程，令{x =4x′y =y′，即为把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换．故答案为：{x =4x′y =y′．由椭圆x′2+y′216=1变形为：(4x′)2+(y′)2=16.即可得出把圆x 2+y 2=16变成椭圆x′2+y′216=1的伸缩变换．本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.答案：12解析：解：∵a ⃗ //b ⃗ ，∴2m −1=0，∴m =12．故答案为：12．根据a ⃗ //b ⃗ 即可得出2m −1=0，解出m 即可．考查向量平行的定义，以及平行向量的坐标关系． 7.答案：3x +2y −1=0．解析：解：∵所求直线方程与直线2x −3y +4=0垂直，∴设方程为3x +2y +c =0，∵直线过点(−1,2)，∴3×(−1)+2×2+c =0，∴c =−1，∴所求直线方程为3x +2y −1=0．故答案为3x +2y −1=0．8.答案：2。

2018-2019学年上海市浦东新区高二上学期期中数学试题(解析版)

【解析】先求出的模，再利用平行的单位向量公式加以计算，可得所求的单位向量的坐标
【详解】
，，
，
，
则与平行的单位向量为，
化简得，或
故选：B．
【点睛】
本题着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和单位向量等知识．
4．已知等比数列的公比为q，其前n项的和，若集合，则M等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，，即可得出当时，，可得对q分类讨论即可得出．
【详解】
当时，，，．
当时，，
．
，
当时，．
当时，．
当时，．
综上可得：集合
故选：B．
【点睛】
本题考查了等比数列的性质及其前n项和公式、数列极限性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
Ⅲ 设是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）．（II）670;（III）存在, ，
【解析】利用当时，，当时，即可得出；
利用“裂项求和”即可得出，再利用其单调性即可得出k的最大值；
利用求出，再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．
【详解】
（I）当时，．
C选项，对等式两边平方，易得，故C正确；
D选项，与夹角为60°时，，故D错误.
故选：C
2．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．
【详解】
解方程x2﹣4x+3=0可得x=1，或x=3

上海市浦东新区2016-2017学年高二上学期期中数学试卷含解析

2016—2017学年上海市浦东新区高二(上）期中数学试卷一、填空题1．4和10的等差中项是．2．等比数列｛a n}中，a1=2,公比q=3，则a5= ．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量= ．4．= ．5．在平面直角坐标系中，已知两点A(2，﹣1）和B （﹣1，5）,点P满足=2，则点P的坐标为．6．等比数列{a n｝中，a2=1，a4=4，则a6= ．7．S n是数列｛a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n ≥2，n∈N*)，则S8= ．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则= ．9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．在数列｛a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1,n ∈N＊，则a n= ．11．若等比数列｛a n｝的前n项和S n=（）n+a（n∈N*）,则数列{a n｝的各项和为．12．数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．=(1,2），=（k,4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．已知等差数列{a n｝中，前n项和S n=n2﹣15n,则使S n有最小值的n是（)A．7 B．7或8 C．8 D．915．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N＊），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b,c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”;③若数列{a n2}是等比数列，则数列｛a n}也是等比数列；④若||=｜｜，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2,a2+a3=10,求通项公式a n及前n项和S n．18．已知|｜=2，||=3，且向量与的夹角为，求｜3﹣2｜．19．已知数列满足a1=1,a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列;(2)求{a n｝的通项公式．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若(+)⊥（﹣），求实数m的值．21．已知各项为正的数列｛a n｝是等比数列，a1=2，a5=32，数列｛b n｝满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1)•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2)令f（n)=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列｛b n}通项公式,若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k(k∈N＊）后，得到一个新的数列{c n｝,求数列{c n｝的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．4和10的等差中项是7 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项的定义即可得出．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．2．等比数列｛a n}中，a1=2，公比q=3，则a5= 162 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列｛a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．3．向量=（4，﹣3）,则与同向的单位向量= （，﹣）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】与向量同向的单位向量是【解答】解:∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=(，﹣），故答案为：(，﹣）．4．= 2 ．【考点】极限及其运算．【分析】利用=，即可得出结论．【解答】解：==2，故答案为：2．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B （﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为(0，3）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解:设P(a，b），点A(2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2(﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b,解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3)．故答案为:（0，3）．6．等比数列{a n}中，a2=1,a4=4,则a6= 16 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】有已知求出q2,再由得答案．【解答】解：在等比数列{a n｝中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．7．S n是数列｛a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n ≥2,n∈N＊),则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n｝是公差为2的等差数列，又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，等边三角形ABC的边长为1，可知两向量模已知,夹角已知,故易求【解答】解:由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣故答案为﹣9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量投影的意义解答．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1;故答案为：﹣1．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1,n∈N＊,则a n= ．【考点】数列递推式．【分析】由S n=n2+1，n∈N*，可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N＊,∴n=1时，a1=S1=2,n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1］=2n﹣1，则a n=．故答案为：．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N＊），则数列｛a n｝的各项和为﹣1 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求出首项和通项公式（n ≥2），把首项代入求a,得到等比数列的通项公式,求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n｝是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则,则数列｛a n}的各项和为．故答案为:﹣1．12．数列｛a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n｝的前2015项的积等于 3 ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3,a3===﹣，a4===,a5===2,不难发现数列｛a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1,∵2015=503×4+3，∴数列｛a n｝前2015项的积为：=3，故答案为:3．二、选做题13．=（1，2）,=(k，4）,若∥，则下列结论正确的是（)A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选:B．14．已知等差数列｛a n}中，前n项和S n=n2﹣15n,则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】S n=n2﹣15n看作关于n的二次函数．结合二次函数的图象与性质可以求解．【解答】解:S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n｝的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且｜﹣7|=｜8﹣｜，所以当n=7,8时，S n有最小值．故选B．15．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N＊），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解:用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．16．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c,则a，b，c成等差数列；②“a,b,c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列｛a n｝也是等比数列；④若|｜=｜|，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】等比数列的通项公式;命题的真假判断与应用；等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的概念判断①；由充分必要条件的判断方法判断②；举例说明③④错误;【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b,c成等差数列，故①正确;对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b,c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b,c成等比数列的必要不充分条件,故②错误;对于③，若数列｛a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2,4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④,由,不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．三、解答题17．在等差数列{a n}中,已知a1+a2=2,a2+a3=10，求通项公式a n及前n项和S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d,由a1+a2=2，a2+a3=10，可得2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1，d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解:设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10,联立解得a1=﹣1，d=4．∴通项公式a n=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，前n项和S n==2n2﹣3n．18．已知｜｜=2，｜|=3，且向量与的夹角为,求｜3﹣2|．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．【解答】解：｜3﹣2｜2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．19．已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列;（2）求｛a n｝的通项公式．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1)给等式a n+1=2a n+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a n+1｝是等比数列，得证；（2)设数列｛a n+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列｛a n+1}的通项公式，变形后即可得到{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），又a n+1≠0，∴=2，即｛a n+1｝为等比数列；（2）由（1）知a n+1=（a1+1）q n﹣1,即a n=(a1+1）q n﹣1﹣1=2•2n﹣1﹣1=2n﹣1．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2)若（+）⊥（﹣),求实数m的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】由已知，将与坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．（1）将m代入两个向量的坐标,进行数量积的坐标运算即可；(2）分别求出+，﹣的坐标，利用向量垂直数量积为0,求出m．【解答】解:因为、分别为x、y轴正方向单位向量,所以=（m﹣2，2）,=（1,m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3）,与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos;（2）+=(m﹣1，m+2），﹣=（m﹣3,1﹣m）,又（+）⊥（﹣),所以(m﹣1)（m﹣3)+（m+2）（1﹣m）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．21．已知各项为正的数列｛a n}是等比数列，a1=2,a5=32，数列｛b n｝满足：对于任意n∈N＊，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列｛a n}的通项公式；（2）令f(n）=a2+a4+…+a2n,求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k（k∈N＊）后，得到一个新的数列｛c n｝，求数列{c n｝的前100项之和T100．【考点】数列的求和；数列递推式；数列的极限．【分析】（1利用q=,即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得f（n）=,f （n+1）=．再利用极限的运算法则即可得出．(3）由a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2,当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2)•2n+2，两式相减得：可得b n==n（n≥2），b1=1满足上式,可得b n=n．设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50)，即可得出．【解答】解：(1）∵a1=2，a5=32,∴q==2，∴a n=2n．（2）f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n==，f(n+1）=．∴===4．(3）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2)•2n+2，两式相减得:a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣(n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2)，又∵a1b1=2,即b1=1满足上式，∴b n=n；设S n表示数列｛c n｝的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50)+（b1+b2+…+b50）=2+22+…+250+1+2+…+50=+=251+1273．2016年11月14日。

上海市浦东新区四校高二上学期期中联考数学试卷

2016-2017学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．二元一次方程组的增广矩阵是．2．若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=．3．无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为．4．已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为．5．已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=．6．数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．7．已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．8．已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是．9．若数列{a n}满足a n+1=，n∈N*），若a1=，则a24的值为．10．在等比数列{a n}中，前n项和S n=2n+a（n∈N*），则a=．11．数列{a n}满足a1=4，S n+S n+1=a n+1，则a n=．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=25﹣n，数列{b n}的通项公式为b n=n+k，设c n=若在数列{c n}中，c5≤c n对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解14．下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则15．数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列16．无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．18．（10分）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．19．（10分）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．20．（12分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．21．（12分）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n 的值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区四校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1．（2016秋•浦东新区期中）二元一次方程组的增广矩阵是．【考点】逆矩阵与二元一次方程组．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】由增广矩阵的概念进行求解即可．【解答】解：欧由增广矩阵的概念，可得二元一次方程组的增广矩阵是．故答案为．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．2．（2016秋•浦东新区期中）若a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，则=0．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；对应思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质求得的值．【解答】解：∵a1，a2，a3，a4四个数成等比数列，∴a1a4=a2a3，∴=a1a4﹣a2a3=0．故答案为：0．【点评】本题考查等比数列的性质，是基础的计算题．3．（2016秋•浦东新区期中）无穷等比数列{a n}的通项公式为a n=3×（﹣）n﹣1，则其所有项的和为2．【考点】数列的求和．【专题】极限思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3×（﹣）n﹣1，求得a1=3，q=﹣，由等比数列的前n项和公式S n===2×，所有项的和{2×}=2，【解答】解：由a n=3×（﹣）n﹣1，∴a1=3，q=﹣，由等比数列前n项和公式S n===2×，∴{2×}=2，故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查数列的极限，考查计算能力，属于中档题．4．（2016秋•浦东新区期中）已知三阶行列式，则元素3的代数余子式的值为52．【考点】三阶矩阵．【专题】综合题；方程思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据行列式的展开A21=﹣（1×2﹣6×9），即可得出结论．【解答】解：行列式中元素3的代数余子式的A21=﹣（1×2﹣6×9）=52，故答案为：52．【点评】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．5．（2016秋•浦东新区期中）已知矩阵A=，矩阵B=．若AB=，则a=﹣2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】利用矩阵的乘法，即可得出结论．【解答】解：∵矩阵A=，矩阵B=．若AB=，∴a﹣4a﹣3a=12，∴a=﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，比较基础．6．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}的通项公式a n=，则a n=．【考点】数列的极限．【专题】极限思想；转化法．【分析】由数列的通项公式可得a n=，再由=0，即可得到所求值．【解答】解：由数列{a n}的通项公式a n=，可得a n====．故答案为：．【点评】本题考查数列极限的运算，注意运用=0，考查运算能力，属于基础题．7．（2016秋•浦东新区期中）已知f（n）=+++…+（n∈N*），则f（1）=．【考点】数列与函数的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】根据已知中f（n）=+++…+（n∈N*），将n=1代入可得答案．【解答】解：∵f（n）=+++…+（n∈N*），∴f（1）==，故答案为：．【点评】本题是数列与函数的综合，其本质是函数求值，难度不大，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a n=n2+λn（λ∈R），且a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n+1＜…，则λ的取值范围是（﹣3，+∞）．【考点】数列递推式．【专题】函数思想；参数法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，数列{a n}为单调递增数列，得出a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即有2n+1+λ＞0，采用分离参数法求实数λ的取值范围即可．【解答】解：∵a n=n2+λn①∴a n+1=（n+1）2+λ（n+1）②②﹣①得a n+1﹣a n=2n+1+λ．由已知，数列{a n}为单调递增数列，则a n+1﹣a n＞0对于任意n∈N*都成立，即2n+1+λ＞0．移向得λ＞﹣（2n+1），λ只需大于﹣（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，﹣（2n+1）的最大值为﹣3，∴λ＞﹣3故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查数列的函数性质，考查了转化、计算能力，分离参数法的应用，属于中档题．9．（2016秋•浦东新区期中）若数列{a n}满足a n=，n∈N*），若a1=，+1则a24的值为．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用已知结合数列递推式可得a n+3=a n．则答案可求．【解答】解：∵＜＜1，∴a2=2a1﹣1=，，，…∴a n+3=a n．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，关键在于数列周期的发现，是中档题．10．（2016秋•浦东新区期中）在等比数列{a n}中，前n项和S n=2n+a（n∈N*），则a=﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的前n项和求出首项，再求出n≥2时的通项公式，代入a1得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由前n项和S n=2n+a，得a1=2+a，又当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n +a ﹣2n ﹣1﹣a=2n ﹣1，∴2+a=2°=1，即a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．11．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n }满足a 1=4，S n +S n +1=a n +1，则a n =．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n +S n +1=a n +1，∴n=1时，a 1+a 1+a 2=，解得a 2=﹣12． n ≥2时，S n ﹣1+S n =，可得：a n +a n +1=a n +1+，化为：a n +1=4a n ，而a 2=﹣a 1，∴数列{a n }从第二项起为等比数列．∴n ≥2时，a n =﹣12×4n ﹣2=﹣3×4n ﹣1．∴a n =．故答案为：．【点评】本题考查了递推公式与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（2014•上海模拟）已知数列{a n }的通项公式为a n =25﹣n ，数列{b n }的通项公式为b n =n +k ，设c n =若在数列{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】若c 5=a 5，则b 6≥a 5，a 5＞b 5，b 6≥a 5，由此推导出﹣5≤k ＜﹣4；若c 5=b 5，则b 5≥a 5，b 5≥a 5，a 4≥b 5，由此推导出﹣5≤k ≤﹣3．由此能求出实数k 的取值范围．【解答】解：若c 5=a 5，则a 5＞b 5，则前面不会有b n 的项，∵{b n }递增，{a n }递减，∴b i （i=1，2，3，4）＜b 5＜a 5＜a i （i=1，2，3，4），∵a n 递减，∴当n ≥6时，必有c n ≠a n ，即c n =b n ，此时应有b 6≥a 5，∴a 5＞b 5，即20＞5+k ，得k ＜﹣4，b 6≥a 5，即6+k ≥1，得k ≥﹣5，∴﹣5≤k ＜﹣4．若c 5=b 5，则b 5≥a 5，同理，前面不能有b n 项，即a4≥b5＞b4，当n≥6时，∵{b n}递增，{a n}递减，∴b n＞b5≥a5＞a n（n≥6），∴当n≥6时，c n=b n．由b5≥a5，即5+k≥1，得，k≥﹣4，由a4≥b5，得2≥5+k，得k≤﹣3，即﹣4≤k≤﹣3．综上得，﹣5≤k≤﹣3．∴实数k的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，解题时要熟练掌握等差数列和等比数列的性质的灵活运用．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分.将正确答案的代号填写在答题纸对应题号后的横线上.13．（2016秋•浦东新区期中）当m≠﹣1时，下列关于方程组的判断，正确的是（）A．方程组有唯一解B．方程组有唯一解或有无穷多解C．方程组无解或有无穷多解D．方程组有唯一解或无解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；参数法；函数的性质及应用．【分析】先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，D x，D y，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m≠﹣1，m≠1时，（2）当m=1时，分别求解方程组的解即可．【解答】解：D==m2﹣1=（m+1）（m﹣1），D x==m2﹣m=m（m﹣1），D y==2m2﹣m﹣1=（2m+1）（m﹣1），当m≠﹣1，m≠1时，D≠0，方程组有唯一解，解为．当m=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为，令x=t（t∈R），原方程组的解为（t∈R），∴方程组有唯一解或有无穷多解，故选：B．【点评】本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．14．（2016秋•浦东新区期中）下列四个命题中，正确的是（）A．若，则a n=AB．若a n＞0，，则A＞0C．若，则D．若a n=A，则【考点】极限及其运算．【专题】转化思想；导数的概念及应用．【分析】利用极限的运算性质即可判断出结论．【解答】解：A．不正确，例如取a n=（﹣1）n，而a n不存在．B．不正确，例如取a n=＞0，则a n＞0，=0．C．利用极限的运算法则可知正确．D．不正确，例如取a n=，=0，则=1．故选：C．【点评】本题考查了极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）数列{a n}为等比数列，则下列结论中不正确的是（）A．是等比数列B．{a n•a n}是等比数列+1C．是等比数列 D．{lga n}是等差数列【考点】等比关系的确定．【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列．【分析】由题意设=q，则lg =lga n﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义），所以{lga n}+1是等差数列是错误的．【解答】解：因为数列{a n}为等比数列，所以设=q，则lg =lga n﹣lga n=lgq（当且仅当q＞0是有意义）+1所以{lga n}是等差数列是错误的．故选D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质以及等差数列的定义．16．（2016秋•浦东新区期中）无穷等差数列{a n}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，S n是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{a n}中的一项；②存在满足条件的数列{a n}，使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立；③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{a n}中的一项．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99﹣21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，得出结论．②利用等差数列的前n项和公式化简S2n=4S n，得出结论．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，得出结论．【解答】解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21为相邻的前n项和，此时对应两项为15﹣3=12，21﹣15=6，所以d≤6．①99﹣21=78能被6整除，且，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{a n}中的一项，所以①正确．②如果有S2n=4S n，那么由等差数列求和公式有：2na1+n（2n﹣1）•d=4，化简得到，d=2a1，所以只要满足条件d=2a1的数列{a n}，就能使得对任意的n∈N*，S2n=4S n成立，所以②正确．③30﹣21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{a n}中的一项，所以③错误．综上可得：只有①②正确．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，计52分）17．（8分）（2016秋•浦东新区期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=16，a7=24．（1）求通项a n；（2）若S n=312，求项数n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质可得a n，（2）利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴a7﹣a3=4d=8，解得d=2．又∵a3=16，∴a n=a3+（n﹣3）×2=16+2n﹣6=2n+10，（2）由（1）可得：a1+2×2=16，解得a1=12．S n==n2+11n=312，解得n=13．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•浦东新区期中）设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S n，且T n=a2+a4+a6+…+a2n，（1）求S n；（2）求．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；分类讨论；等差数列与等比数列．【分析】（1）对q分类讨论，利用等比数列的前n项和公式可得S n；（2）利用数列极限法则即可得出．【解答】（2）①当q=1时，S n=2n，T n=2n，=1，②当q≠1时，，∴．若0＜q＜1，=．若q＞1，=0．故：=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（10分）（2016秋•浦东新区期中）已知数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N*），设b n=，（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）设S n=|b1|+|b2|+…+|b n|（n∈N*），求S n．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得：b1==8，b n﹣b n=﹣=﹣=﹣2，因此数列{b n}+1是等差数列；（2）由（1）可知：b n=10﹣2n，分类当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n，即可求得S n．【解答】（1）证明：b1==8，﹣b n=﹣=﹣=﹣2，∴b n+1∴数列{b n}是以8为首项，﹣2为公差的等差数列；（2）解：由（1）可得：b n=8+（﹣2）（n﹣1）=10﹣2n，当1≤n≤5，b n≥0，S n==﹣n2+9n，当n≥6时，b n≤0，S n=2S5﹣S n=2（﹣25+9×5）+n2﹣9n=n2﹣9n+40，∴S n=．【点评】本题考查等差数列的证明，考查等差数列通项公式及含有绝对值的数列前n项和公式求法，考查计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•浦东新区期中）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1（n∈N*），且a2，a5分别是等比数列{b n}的第二项和第三项，设数列{c n}满足c n=，{c n}的前n项和为S n（1）求数列{b n}的通项公式；（2）是否存在m∈N*，使得S m=2017，并说明理由（3）求S n．【考点】等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a2=3=b2，a5=9=b3，可得公比q．（2）．由于S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，即可判断出结论．．（3）c n=，n为偶数时，S n=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1．【解答】解：（1）∵a2=3=b2，a5=9=b3，∴公比q=3．（2）不存在m∈N*，使得S m=2017．∵S7=301＜2017，S8=2488＞2017，而S n是单调递增的，∴不存在m∈N*，使得S m=2017．（3）c n=，n为偶数时，S n=+=+．n为奇数时，S n=++2n﹣1=+．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•浦东新区期中）在等差数列{a n}中，a1+a3=10，d=3．令b n=，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n 的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求得首项a1的值，则易求数列{a n}的通项公式；（2）利用拆项法求得数列{b n}的通项公式，则易求T n；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，结合等比数列的性质得到=，从而求得符合条件的m、n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a3=10，d=3，得，解得a1=2，所以a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1（n∈N+）；（2）由（1）知，a n=3n﹣1．所以b n====（﹣），∴T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=；（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，由（2）知，T1=，T m=，T n=，因为T1，T m，T n成等比数列，所以（）2=×，即=，整理，得n（﹣3m2+6m+2）=5m2．（*）①当m=2时，（*）式可化为2n=20，所以n=10．②当m≥3时，﹣3m2+6m+2=﹣3（m﹣1）2+5≤﹣7＜0．又因为5m2＞0，所以（*）式可化为n=＜0，所以此时n无正整数解．综上可知，存在满足条件的正整数m，n，此时m=2，n=10．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，数列的裂项求和方法的应用，属于数列知识的综合应用．。

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