【全国百强校】上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

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2017-2018-高三上周考-复旦附中

2
f x T x T 2 x 2 f x；
（ii）当
x
1,1
T 2
时，∵ T
4
，∴ 1
T 2
1 ，故这种情况不存在；
圈
综上所述，T 4 时，函数 f x x x 1 x 1 为“T 同比辅不导减函数”．
海
上
：
号
众
公
加
添
word版
xa
11. 若对于任意 x R ，不等式 1 | x 2 | | ax 3 | 4 恒成立，则实数 a ____________.
12. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对一切实数 x, y ，均有 f (x2 2 y) 2 y f (x2 3y) ，且
f (100) 100 ，则 f (200) ____________.
x2 1 3. 方程 4x 2x 2 0 的解为____________.
4. 已知球的表面积是 484 cm 2 ，则该球的体积是____________cm 3 （结果中保留）
5. 函数 f (x) log1 (x2 4x 3) 的递增区间为____________.
2
圈
6. 在五个数字 1,2,3,4,5 中，若随机取出三个不同数字，则剩下两导个数字都是奇数的概率是
x （1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；
（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润
20. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）
已知
aR
，函数
f
(x)
log2 (a

2017-2018年上海市交大附中高三上第一次月考

（3）第 1 天的利润最大，为 1
20、（1） 1
38
；（2）
2 3
,
0
；（3）
32 9
n N ;
21、（1） f1 x 是， f2 x 不是；（2）1,1 ;（3）证明略
第 5页
述方法进行一次操作，又得到一个新的实数
a
，当
3
a
3
a
2
时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为
3 4
，
则 a1的取值范围是 a1
11、已知等差数列an 中公差， d
0 ， a1
1，若 a1, a2 , a5 成等比数列，且 a1, a2 , ak
,
1
ak
,...a
2
,... 成等
kn
比数列，若对任意 n N ，恒有 an am m N ，则 m 2kn 1 2km 1
D. b 2, c 3
14、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积
为（）
A. 17
B. 22
C. 68
D. 88
15、设 O
a,
ON
为坐标原点，第一象限内的点
ba 0,b 0
，若OM ON
M
x,
y
2x 的坐标满足约束条件x
y6 y20
c1
c2
2
6、已知sin x 2 x 3 ，则 x
5
2
（用反正弦表示）
7、在 1 x 1 x2 .... (1 x)15 的展开式中， x2 项的系数是
（用数字作答）
x2 8、若双曲线 a2
y2 3
1的一条渐近线被圆x 22

上海市上海大学附属中学高三上10月月考数学试题(无答案)

上海市上海大学附属中学高三上10月月考数学试题（无答案）上大附中2019-2019学年第一学期高三第一次月考数学试卷注意:本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟,答案做在答题纸上。

一、填空题(1-6题每小题4分,7-12题每小题5分,共54分)1.行列式22 =33310___________. 1251622=-y x 的渐近线方程是__________.01≤+x x 的解集是________.y x 、满足x y x 32≤≤+,则y x +2的最小值是_________.5.掷一颗均匀的骰子,则点数大于1且不大于5的概率是_________.6.设(()i z i 4321-=+(i 是虚数单位),则=z ________. R b a ∈，,且043=+-b a ,则b a 812+的最小值为________.8.在△ABC 中,设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、,且，π，，327===A b a 则△ABC 的面积为__________.()⎩⎨⎧-≥=979log 3＜，，x ax x x x f 有反函数,则a 的取值范围是________.x 的方程k x x =+2cos 2sin 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上有两个不同的实数解,则k 的取值范围为________.，R a ∈函数()，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧-+-≤-++=0230622x a x x x a x x x f 若对任意()x x f x ≤-≥，3恒成立,则a 的取值范围是______.12.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=2,若点E 为边CD 上的动点,则BE AE •的最小值为________.二、选择题(每小题5分,共20分)，R x ∈则“273＞x ”是“3＞x ”的 A.充分非必要条件{}n a 中,151-=a ,且21+=+n n a a ,则当前n 项和n S 最小时,n 的值是B.()()()⎩⎨⎧-≥+=002＜，，x x a bx x x ax x f 为奇函数,且实数t 满足()()0322＜t f t f +-,则b t a +•的取值范围是A.()22，-B.()33，-C.()44，- 21＜x 时,有()，⋯+-+⋯-+-=+n x xx x 24212112根据以上信息,若对任意 21＜x ,都有()()，⋯++⋯+++=+-n n x a x a x a a x x x22103211则=10a三、解答题(本大题满分76分，本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤)17.(本大题满分14分)如图,直三棱柱111C B A ABC -的底面为直角三角形,两直角边AB 和AC 的长分别为4和3,侧棱1AA 的长为5.(1)求直三棱柱111C B A ABC -的侧面积； (2)若M 为棱11C B 上的中点,求直线AM 与平面111C B A 所成角的大小.18.(本大题满分14分)已知().11--+=ax x x f(1)当1=a 时,求不等式()1＞x f 的解集；(2)若()20，∈x 时不等式()x x f ＞成立,求a 的取值范围.19.(本题满分14分)已知数列{}n a 满足()，，n n a n na a 12111+==+设.n a b n n = (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)，3n a c n n =求数列{}nc 的最小值。

2017-2018学年上海复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．6.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a >-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x 的最小值为__________11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A .4 B.6 C.8 D.915.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1 B.2 C.3 D.416.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0 B.{S }=1且{T }=1 C.{S }=2且{T }=2 D.{S }=2且{T }=3三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.2017学年复旦附中高一上期中一.填空题1.已知全集U =R ，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==，则U A C B = __________【答案】{1,2}-【分析】先求出集合B ，再求出U C B ，最后求出U A C B ⋂．【详解】由题意得{}{}2|0,1B x x x ===，∴()()(),00,11,U C B ∞=-⋃⋃+∞，∴{}1,2U A C B ⋂=-．故答案为{}1,2-．【点睛】本题考查集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础题．2.命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的否命题是__________命题（填“真”或“假”）【答案】真【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假．【详解】由题意得命题“如果0a b +>，那么0a >且0b >”的逆命题为“如果0a >且0b >，那么0a b +>”，其真命题，所以否命题为真命题．故答案为“真”．【点睛】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解题时要根据条件选择合理的方法进行求解．3.已知集合2{|23}A y y x x ==--，2{|213}B y y x x ==-++，则A B = __________【答案】[4,14]-【分析】分别求出集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}(){}{}22|23|14|4A y y x x y y x y y ==--==--=≥-，{}{}{}22|213|(1)14|14B y y x x y y x y y ==-++==--+=≤，∴[]4,14A B ⋂=-．故答案为[]4,14-．【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合,A B ，属于简单题．4.已知“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________【答案】13a >【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论．【详解】设{}1|,|12322A x a x a B x a x a ⎧⎫=≤≤+=-<<+⎨⎬⎩⎭，∵“12a x a ≤≤+”是“1232a x a -<<+”的充分不必要条件，∴A B ，∴1232121322a a a a a a ⎧⎪-<+⎪-<⎨⎪⎪+<+⎩，解得13a >，∴实数a 的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；(2)根据集合关系画数轴或Venn 图，由图写出关于参数的不等式(组)，求解．注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5.设M={a,b}，则满足M ∪N ⊆{a,b,c}的非空集合N 的个数为______________．【答案】4【详解】根据M ∪N ⊆{a ，b ，c}而M 中没有c 元素，所以N 集合中一定要有c 元素，可能有a,b 元素且N 为非空集合，所以N 可以为{c}，{a ，c}，{b ，c}，{a ，b ，c}共4个．故答案为46.函数()f x =的定义域为[2,1]-，则a 的值为__________【答案】2【分析】由题意得不等式()()2213160ax a x -+-+≥的解集为[]2,1-，然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论．【详解】∵函数()f x =的定义域为[]2,1-，∴不等式()()2213160a x a x -+-+≥的解集为[]2,1-，∴2,1x x =-=是方程()()2213160a x a x -+-+=的两个根，∴()()()()2241616013160a a a a ⎧---+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，整理得2223203100a a a a ⎧--=⎨+-=⎩，解得2a =．故答案为2．【点睛】本题以函数的定义域为载体，考查一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关键是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a 的值，考查转化能力和运算能力，属于基础题．7.已知函数()(1)23f x m x m =-+-，无论m 取什么实数，函数()f x 的图像始终过一个定点，该定点的坐标为__________【答案】()2,1--【分析】将函数解析式变形为()230x m x y +---=，然后令20x +=且30x y ---=，求得方程组的解后即可定点的坐标．【详解】由()123y m x m =-+-变形得()230x m x y +---=，解方程组2030x x y +=⎧⎨---=⎩得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的图象过的定点的坐标为()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为(,)(,)0kf x y g x y +=（k 为参数）的形式，则以方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解为坐标的点即为定点．8.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于1，一根小于1，则实数k 的取值范围为__________【答案】(3,1)-【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令()224f x x kx k k =+++-，则有()10f <，解不等式可得所求范围．【详解】令()224f x x kx k k =+++-，∵方程的一个实数根大于1，另一个实数根小于1，∴()21140f k k k =+++-<，即2230k k +-<，解得31k -<<，∴实数k 的取值范围为()3,1-．故答案为()3,1-．【点睛】本题考查根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用．9.给出下列四个命题：（1）若a b >，c d >，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）若a b >，则11a b a>-；（4）110a b <<，则2ab b <.其中正确命题是________.（填所有正确命题的序号）【答案】（1）（2）（4）【分析】根据不等式的性质，以及特殊值验证，逐项判断，即可得出结果.【详解】（1）若a b >，c d >，则a c b d +>+，因此a d b c ->-，即（1）正确；（2）若22a x a y >，根据不等式性质，可得x y >；即（2）正确；（3）若1a =，1b =-，满足a b >，但不满足11a b a>-；（3）错误；（4）若110a b <<，则0b a <<，因此()20ab b b a b -=-<，即2ab b <；故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查由不等式性质判定所给结论是否正确，属于基础题型.10.若(,2)x ∈-∞，则2542-+-x x x的最小值为__________【答案】2【分析】将原式变形后根据基本不等式求解．【详解】∵2x <，∴20x ->．由题意得2254(2)11==(2)+2222x x x x x x x -+-+-≥=---，当且仅当122x x-=-，即1x =时等号成立．∴2542x x x-+-的最小值为2.故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形．11.设函数()2f x x =-，若不等式|(3)|()f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是__________【答案】3m <-【分析】12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3，故有m<-3，由此求得m 的取值范围．【详解】∵()2f x x =-，不等式()()3f x f x m +>+对任意实数x 恒成立，∴12m x x <+--对任意实数x 恒成立，又12x x +--表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，∴123x x +--≥-，∴3m <-，∴实数m 的取值范围是(),3-∞-．故答案为(),3-∞-．【点睛】本题考查恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的几何意义求出12x x +--的最小值，考查转化和数形结合思想的运用能力．12.对于实数A 和正数B ，称满足不等式||x A B -<(,0)A B ∈>R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a b t +-的a b +领域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为__________【答案】22t 【分析】先根据条件求出()2t x a b t -<<+-；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a b t +=，最后结合不等式的知识可求出22a b +的最小值．【详解】∵A 的B 邻域在数轴上表示以A 为中心，B 为半径的区域，∴()x a b t a b -+-<+，∴()a b x a b t a b --<-+-<+，解得()2t x a b t -<<+-．∵邻域是一个关于原点对称的区间，∴()220a b t +-=，∴a b t +=．∵222a b ab +≥，∴()()22222222a ba b ab a b t +≥++=+=，∴2222t a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，∴22a b +的最小值为22t ．故答案为22t ．【点睛】本题以新概念为载体考查重要不等式的应用，考查变换能力和阅读理解能力．解题的关键是根据题意得到a b t +=这一结论，然后再通过变形得到所求的最小值．二.选择题13.已知1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【详解】若1122a b a b =，取111a b ==，221a b ==-，则10x +>与10x -->的解集不同，所以“1122a b a b =”不是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的充分条件；若1a ，1b ，2a ，2b R ∈且都不为零，且110a x b +>与220a x b +>的解集相同，此时必有1212b b a a -=-，所以1122a b a b =成立，所以“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要条件.综上，“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于常考题.14.解析式为221y x =+，值域为{}5,19的函数有A.4B.6C.8D.9【答案】D【分析】根据y 的值求出相应的x 的值，再根据函数的有关概念得到定义域的不同形式，进而可得结论．【详解】由2215x +=，解得x =；由22119x +=，解得3x =±．所以函数的定义域可为}}{}{}{}{},3,,3,,3,----{}}{}3,3,3,3,3,3---，共9种情况．故选D ．【点睛】本题考查函数的概念，考查分析理解问题的能力，解题的关键是深刻理解函数的概念，根据对应关系求出x 的取值，然后再根据定义域中元素的个数确定出函数定义域的不同情形．15.设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f x x >成立时，总可以推出2(1)(1)f x x +>+成立”，给出以下四个命题：①若(3)9f ≥，则(4)16f ≥；②若(3)10f =，则(5)25f >；③若(5)25f =，则(4)16f ≤；④若2()(1)f x x ≥+，则2(1)f x x +≥.其中真命题的个数为（）个A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】根据题意对给出的四个命题分别进行分析、排除后可得正确的结论．【详解】对于①，由于f(3)=9时，可以使得f(4)<16，这并不与题设矛盾，所以当f(3)≥9时，由题设不一定得到f(4)≥16成立，所以①为假命题．对于②，∵f(3)=10>9，∴f(4)>4²，∴f(5)>5²=25，所以②为真命题；对于③，若f(4)>16，则f(5)>25，这与f(5)=25矛盾，所以f(4)≤16，所以③为真命题；对于④，∵f(x)≥(x+1)²>x ²，∴f(x+1)>(x+1)²>x ²，即有f(x+1)≥x²，所以④为真命题．综上可得②③④为真命题．故选C ．【点睛】本题考查推理论证能力，解题的关键是根据条件“当()2f x x >成立时，总可以推出()()211f x x +>+成立”进行判断，注意解题方法的选择，如直接推理、利用反证法判断等．16.设a ，b ，c 为实数，22()()(),()(1)(1),f x x a x bx cg x ax cx bx =+++=+++记集合{}{}|()0,,|()0,,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈若{S }，{T }分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A.{S }=1且{T }=0B.{S }=1且{T }=1C.{S }=2且{T }=2D.{S }=2且{T }=3【答案】D【详解】∵2()()(),f x x a x bx c =+++当()0f x =时至少有一个根x a =-，当240b c -=时，()0f x =还有一根2b x =-，只要b ≠﹣2a ，()0f x =就有2个根；当b =﹣2a ，()0f x =是一个根当240b c -<时，()0f x =只有一个根；当240b c ->时，()0f x =只有二个根或三个根；当a =b =c =0时{S }=1，{T }=0当a ＞0，b =0，c ＞0时，{S }=1且{T }=1当a =c =1，b =﹣2时，有{S }=2且{T }=2故选：D 三.解答题17.已知集合2{|(1)320}=-+-=A x m x x ，是否存在这样的实数m ，使得集合A 有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M ；若不存在，请说明理由.【答案】11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，进而可得答案【详解】存在11,8M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足条件．理由如下：若集合A 有且仅有两个子集，则A 有且仅有一个元素，即方程()21320m x x -+-=只有一个根，①当10m -=，即=1m 时，由320x -=，解得23x =，满足题意．②当10m -≠，由A 有且仅有一个元素得()10Δ=9+81=0m m -≠-⎧⎨⎩，解得18m =-．综上可得=1m 或18m =-，∴所有的m 的值组成的集合11,8M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查集合元素个数的问题，考查分析问题的能力，解题的关键是由题意得到方程根的个数，然后通过对方程类型的分类讨论得到所求的参数．18.我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁（不需考虑该墙壁的左右两面）建造单价为100元/平方米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB 为多少时，可使总造价最低？最低价为多少？【答案】15AB =时，总造价最低为132000元.【分析】设AB 的长为x 米，进而得到宽BC 为200x 米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等式求出造价的最小值即可．【详解】设AB 的长为x 米，则宽BC 为200x 米，由题意得总造价为200200400(22)5100560200y x x x =+⨯⨯+⨯⨯+⨯450(2)12000x x=++12000≥+132000=，当且仅当4502x x=，即15x =时等号成立．所以当净水池的长15AB =米时，可使总造价最低，最低价为132000元．【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到所需要的形式及条件．19.已知a ∈R ，集合26{|0}1x x A x x --=≤+，集合{||2|1}B x x a a =+≤+.（1）求集合A 与集合B ；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞-⋃-，当1a >-，[31,1]B a a =---+，当1a =-，{2}B =，当1a <-，B =∅；（2）(,0)[3,)-∞⋃+∞.【分析】（1）解不等式得出集合A 、B ；（2）根据A∩B=B 得出B ⊆A ，讨论B=∅和B≠∅时，求出满足条件的实数a 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()(](]2236|0|0,21,311x x x x A x x x x ⎧⎫+-⎧⎫--=≤=≤=-∞-⋃-⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭．当10a +<，即1a <-时，B =∅；当10a +=，即1a =-时，{}2B =；当10a +>，即1a >-时，{}[]|12131,1B x a x a a a a =--≤+≤+=---+．（2）∵A B B ⋂=，∴B ⊆A ．①当1a <-时，B =∅，满足B ⊆A ；②当1a =-时，{}2B =，满足B ⊆A ；③当1a >-时，[]31,1B a a =---+，由B ⊆A 得31113a a -->-⎧⎨-+≤⎩或12a -+≤-，解得20a -≤<或3a ≥，又1a >-，∴10a -<<或3a ≥．综上可得0a <或3a ≥，∴实数a 的取值范围为()[),03,-∞⋃+∞．【点睛】根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴进行求解，根据集合端点值的大小关系转化为不等式（组）求解，解题时要注意不等式中的等号是否成立，这是解题中容易出现错误的地方．20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >，满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）在平面直角坐标系中，作出函数()f x 的图像，并且根据图像判断：若关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，求实数k 的取值范围（直接写结论）【答案】（1）1m =；（2）图象见解析，()2,0-.【分析】（1）直接由f （2）=-2求得m 的值；（2）把m 值代入函数解析式，写出分段函数，根据函数的单调性作出图象，然后利用数形结合即可求得使关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同实数解的实数k 的取值范围．【详解】（1）∵()214x m f x x +-=-，0m >，且()22f =-，∴221224m +-=--，即12m +=，解得1m =或3m =-，又0m >，∴1m =．（2）由（1）得()2,042424,04x x x x x f x x x x x ⎧≥≠⎪⎪-==⎨-⎪-<⎪-⎩且，当04x x ≥≠且时，()22(4)882444x x f x x x x -+===+---，∴函数()f x 在[0,4)和(4,)+∞上为减函数；当0x <时，()22(4)882444x x f x x x x -+=-=-=-----，∴函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且()()200f x f -<<=．画出函数图象如下图：由图可知，要使关于x 的方程()f x k =有两个不同实数解，则20k -<<，∴实数k 的取值范围是()2,0-．【点睛】（1）描点法画函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)等；④描点连线，画出函数的图象．（2）利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想，解题的关键是正确的作出函数的图象．21.已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何12,f x x D ∈（其中f D 为函数()f x 的定义域），均有1212()()||f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数2()1f x x =+，11[,]22x ∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（2）是否存在实数a ，使得()2a p x x =+，[1,)x ∈-+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）对于实数a 、b ()a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[,]a b 的函数的集合.定义：已知()h x 是定义在[,]p q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[,]p q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11|()()|ni i i h x h x T -=-≤∑恒成立，则称()h x 为[,]p q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”，T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121n i n i tt t t ==++⋅⋅⋅+∑；求证：集合[1009,1008]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”.【答案】（1）()f x 属于集合M ；（2）[1,1]-；（3）略.【分析】（1）利用已知条件，通过任取1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，证明()()1212f x f x x x -≤-成立，说明f （x ）属于集合M ．（2）若p （x ）∈M ，则有121222a a x x x x -≤-++，然后可求出当[]1,1a ∈-时，p （x ）∈M ．（3）直接利用新定义加以证明，并求出h （x ）的“绝对差上确界”T 的值．【详解】（1）设1211,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()()2212121212f x f x x x x x x x -=-=-+，∵121111,2222x x -≤≤-≤≤，∴1211x x -≤+≤，∴1201x x ≤+≤∴()()221212121212f x f x x x x x x x x x -=-=-+≤-，∴函数()f x 属于集合M ．（2）若函数()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，则当[)12,1,x x ∈-+∞时，()()1212p x p x x x -≤-恒成立，即121222a a x x x x -≤-++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立，∴12(2)(2)a x x ≤++对[)12,1,x x ∈-+∞恒成立．∵[)12,1,x x ∈-+∞，∴12(2)(2)1x x ++≥，∴||1a ≤，解得11a -≤≤，∴存在实数a ，使得()2a p x x =+，[)1,x ∈-+∞属于集合M ，且实数a 的取值范围为[1,1]-．（3）取1009,1008p q =-=，则对区间[]1009,1008-的任意划分：01110091008n n x x x x --=<<⋅⋅⋅<<=，和式()()()()()()()()1110211i i i n n n h x h x h x h x h x h x h x h x =--∑-=-+-++-10211n n x x x x x x -≤-+-++- 10211=()()()n n x x x x x x --+-++- 0n x x =-1008(1009)=--2017=，∴集合[]1009,1008M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界”2017T =．【点睛】本题考查新信息问题，考查阅读理解和应用能力，具有一定的综合性，解题的关键是弄懂给出的定义，解题时始终要围绕着给出的定义进行验证、求解等．。

上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析

2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题

……○……学校:____……○……绝密★启用前2017届上海市复旦大学附属中学高三毕业考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．直线24x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）的倾角是（）A ．1arctan(2-B ．arctan(2)-C ．1arctan2π- D ．arctan 2π-2．“0x >，0y >”是“2y xx y+≥”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为（）A ．1BC ．2+D ．14．对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；③ 若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．函数()ln f x x =+________.6．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 .7．某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为______8．若方程20x x p ++=有两个虚根α、β，且||3αβ-=，则实数p 的值是________. 9．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．10．将函数sin(26y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到的函数()y f x =在区间,1212π5π[-上单调递减，则m 的最小值为_______ .11．若231(3)2n x x-的展开式中含有常数项，则当正整数n 取得最小值时，常数项的值为______.12．若关于x y z ，，的三元一次方程组21232sin 3x z x ysin z x z θθ+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，则θ的取值的集合是____．13．若实数x 、y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥，则||2z x y =+的最大值是_______.○…………外……线…………○…………内……线…………14．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅的值为．15．已知1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+的最大值和最小值分别是M 和m ，则M m +=______.16．已知四个数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比()0q q >不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则q 的取值集合是_______ 三、解答题17．若向量(3sin ,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->，在函数()()f x m m n t =⋅++的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,,()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．18．如图，O 为信号源点，A 、B 、C 是三个居民区，已知A 、B 都在O 的正东方向上，10OA km =，20OB km =，C 在O 的北偏西45°方向上，CO =，现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF （E 在直线OA 的上方），并从A 、B 、C 分别铺设三条最短分支光缆连接到总光缆EF ，假设铺设每条分支光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为1元/2km ，设AOE θ∠=，（0θπ≤<），铺设三条分支光缆的总费用为w （元）.……装…………○……○…………线……※不※※要※※在※※装※※订※……装…………○……○…………线……（1）求w 关于θ的函数表达式；（2）求w 的最小值及此时tan θ的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，//BE CD ，BE AD ⊥，2PA AE BE ===，1CD =.（1）求二面角C PB E --的余弦值；（2）在线段PE 上是否存在点M ，使得//DM 平面PBC ？若存在，求出点M 的位置，若不存在，说明理由.20．如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为．（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；（2）若．①求证：； ②求的最大值21．设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，．（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由．参考答案1．D 【解析】【分析】直线的参数方程消去参数t ，能求出直线的普通方程，由此能求出直线的斜率，从而能求出直线的倾斜角．【详解】由直线24x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）消去参数得到直线的普通方程：20x y +-=, 则直线的斜率为2k =-.设直线的倾斜角为α，则tan 2k α==- ，所以直线的倾斜角为arctan 2απ-= 故选：D 【点睛】本题考查参数方程化为普通方程的求法，考查直线的倾斜角的求法，是中档题． 2．A 【解析】当x 0,y 0>>时，由均值不等式y x 2x y +≥成立．但y x2x y+≥时，只需要0xy >,不能推出x 0,y 0>>．所以是充分而不必要条件．选A. 3．C 【解析】【分析】根据题意，画出原来的平面图形，结合图形，得出原来是直角梯形，平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积．【详解】根据平面图形的斜二测直观图的画法，作出图形原来的平面图形图形，如图所示图1平面图形的斜二测直观图，图2为图形原来的平面图形. 根据平面图形的斜二测直观图的画法,则原来的平面图形2为直角梯形，且上底是1，下底是2，它的面积是2故选：C ．【点睛】本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，属于基础题． 4．D 【解析】对于①,令k=1得，11n n a a λ+=,又{}n a 是等比数列，所以存在1q λ=，①正确．对于②，令k=2得2112n n n a a a λλ++=+，因为{}n a 是等差数列，所以122122n n n n n n a a a a a a ++++=+⇒=-，故存在122,1λλ==-，②正确．对于③，令k=3得312213n n n n a a a a λλλ+++=++，因22222123(3)(2)(1)n a n n n n n λλλ=+=++++为，所以22123121269()(42)4n n n n λλλλλλλ++=++++++，123112212313{426{3491λλλλλλλλλλ++==+=⇒=-+==,所以③正确 5．(0,1] 【解析】【分析】根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.【详解】函数()ln f x x =+10x x >⎧⎨-≥⎩解得01x <≤所以函数()ln f x x =(0,1] 故答案为：(0,1] 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，属于基础题．． 6．【解析】试题分析：双曲线的右焦点为抛物线的焦点所以考点：双曲线焦点及抛物线焦点 7．17 【解析】试题分析：高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人考点：分层抽样 8．52【解析】【分析】方程20x x p ++=有两个虚根αβ，，由求根公式可解出方程的根，然后代入||3αβ-=即可得出答案. 【详解】实系数方程20x x p ++=有两个虚根α、β，则140p =-<，则14p >,由求根公式有x =,则3αβ-====解得：52p =故答案为：52【点睛】本题考查求实系数一元二次方程的虚根，属于中档题． 9．59【解析】试题分析：没有偶数的概率为224339⨯=⨯，所以所求概率为45199P =-= 考点：古典概型概率 10．4π【解析】【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()y f x =的解析式，再利用正弦函数的单调性求得m 的最小值．【详解】将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移m （0m >）个单位长度，可得到()sin(2+2)6f x x m π=+，其减区间满足:32222,262k x m k k Z πππππ+≤++≤+∈即2,63k m x k m k Z ππππ-+≤≤+-∈ 所以函数()sin(2+2)6f x x m π=+的减区间为2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 又()y f x =在区间,]1212π5π[-上单调递减，则,]1212π5π[-⊆2[,],63k m k m k Z ππππ-++-∈ 则612k m πππ-+≤-且25,312k m k Z πππ+-≥∈, 即4m k ππ≥+且(0)4m k m ππ≤+>，所以m 的最小值为：4π. 故答案为：4π 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 11．67.5 【解析】【分析】用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于0,求出满足条件的n 值，再求常数项．【详解】231(3)2nx x-展开式的通项为： 2251311(3)()()322r n r r r n r r n rr n n T C x C xx ---+=-=- 由231(3)2n x x -的展开式中含有常数项，即250n r -=且*,,n N r N ∈∈有解. 则当正整数n 取得最小值时,5,2n r ==, 此时常数项为：252251135()3=22C -- 故答案为：67.5. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题． 12．{|}2k k Z πθθ≠∈，【解析】【分析】由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，从而问题可解．【详解】根据题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解，∴21012sin 30sin 01θθ≠，∴2sin 32sin 001sin 0θθθ+≠，∴sin θ﹣sin 3θ≠0，∴sin θ≠0或sin 2θ≠1，∴,2k k Z πθ≠∈. 故答案为|,2k k Z πθθ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了矩阵的应用，考查三元一次方程组有唯一解，关键是转换为三元一次方程组的系数行列式不为0，属于基础题． 13．14 【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图由||2z x y =+，得11||22y x z =-+， z 表示曲线11||22y x z =-+在y 轴上的截距的2倍，将曲线11||22y x z =-+平移经过可行域, 由图可知，当曲线11||22y x z =-+经过点A 时，曲线在y 轴的截距最大，由510y x y =⎧⎨+-=⎩得(4,5)A -所以z 的最大值为：|4|2514z =-+⨯= 故答案为：14 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 14．2- 【解析】试题分析：2()()3221[()]()()333AD BC AC CD BC AC CB BCAC AB AC BC AB AC AC AB ⋅=+⋅=+⋅=+-⋅=+⋅-222116132333AB AB AC AC =-+⋅+=-++=-考点：向量数量积 15．4 【解析】【分析】化简arcsin ()222x x x f x -=++ ，再设arcsin ()22x xxg x -=+，可得()g x 为奇函数，可得()g x 的最值互为相反数，即可得到所求最值之和．【详解】由1122arcsin ()22x x x xxf x +--++=+有： 2(22)arcsin arcsin ()22222x x x x x xx xf x ---++==+++ 设arcsin ()22x x x g x -=+，则arcsin()()()22x xx g x g x ---==-+所以()g x 为奇函数,若()g x 在定义域内的最大值为t ，则其最小值为t -，所以()f x 最大值2M t =+，最小值2m t =-，则224M m t t +=++-=. 故答案为：4. 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16．⎪⎪⎩⎭【解析】【分析】因为公比不为1，所以不能删去1a 和4a ，设{}n a 的公差为d ，分类讨论，即可得出结论。

【全国百强校】上海复旦大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2017学年复旦附中高一上期中填空题1.已知全集U=R, A={T,0,l,2}, B = {x|x2 = x},则A A =【答案】{-1,2}【解析】【分析】先求出集合B,再求出CuB,最后求出AHCuB.【详解】由题意得B={X|X2= X}=(0.1},■,- CuB = (.")u((M)u(]. + s),.•.AnCyBT-1,2}.故答案为{-1.2).【点晴】本题考査集合的运算，解题时根据集合运算的顺序进行求解即可，属于基础題.2.命题“如果a + b>0,那么a>0且b>0”的否命题是命题(填“真”或“假”)【答案】真【解析】【分析】根据原命题的逆命题和其否命题为等价命题判断命题的真假.【详解】由题意得命题"如果a+b>0,那么a>0且b>0”的逆命题为“如果a>0且b>0,那么a + b>0” 其真命题，所以否命题为真命题. 故答案为“真”.【点晴】判断命题的真假时，可通过命题直接进行判断也可通过其等价命题的真假来判断，解題时要根据条件选择合理的方法进行求解.3.已知集合A = {y|y = x2-2x-3}, B = (y|y = -x2 + 2x+13},则A AB-【答案】[-4,14]【解析】【分析】分别求出集合A.B,然后再求出AQB即可.【详解】由题意得A-{y|y = x2・2x・3}-{y|y=(x-l)2.4} = {y|yN -4},B = {y I y = . x2 + 2x + 13} = {y I y = - (x -1)2 + 14j = {y I y < 14},•・ AC1B = [.4,14].故答案为[.4,14].【点睛】本题考査集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合AB,属于简单题.4.已知“aga +孑是“ l・2a<x<3a + 2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是【答案】aR3【解析】【分析】将充分不必要条件转化为集合间的包含关系求解可得结论.【详解】设A= x a<x<a + - B = {x| 1 - 2a <x <3a + 2},*a<x<a + ^是'l.2a<x〈3a + 2”的充分不必要条件,l-2a〈3a + 2l-2a <a 1•• 1 ，解得a>;,a+ —〈3a + 2 32实数a的取值范围是（? + 8）.故答案为@ + oo）.【点睛】根据充要条件求解参数范围的方法步骤⑴把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系；（2）根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式（组），求解.注意：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.5.设M = {&b},则满足MUNG^b.c}的集合N的个数为【答案】8【解析J盼析】分别写出満足条件的集合N后可得所求集合的个数.【详解】由题意得，满足题意得集合N为0, {a}, {b},{c}, (a,c}, {b,c}, (a,b} , {a,b,c},共8个.故答案为8.【点睛】解题时要根据集合N中元素的个数为标准进行求解，考査理解能力和判断能力，属于基础題.6.函数f(x) = ((12)x2+3(1*+ 6的定义域为[-2,1 J,则a的值为【答案】2【解析】【分析】由题意得不等式(l-a2)x2+ 3(l.a)x + 6>0的解集为[-2,1],然后根据“三个二次”间的关系求解即可得到结论.【详解】.•函数f(x) = J(1 - a* + 3(1 - a)x + 6的定义域为[-2,1],••不等式(1“浓2 + 3(1.必+ 6?0的解集为[-2,1],.. x = - 2,x = I是方程(]. a2)x2 + 3(1 - a)x + 6 = 0的两个根,.4(l-a2)-6(l-a) + 6 = 0(l-a2) + 3(l-a) + 6 = 0，整理得！矿了#「解得a = 2 .Ia~ + 3a-10 = 0故答案为2.【点睛】本题以函数的定义域为载体，考査一元二次方程、二次函数、二次不等式间的关系，解题的关蚀是根据题意得到方程的两根，然后再根据方程的有关概念求出a的俏，考査转化能力和运算能力，属于基础题.7.已知函数f(x)=(m-l)x + 2m-3,无论m取什么实数，函数f(x)的图像始终过一个定点，该定点的坐标为【答案】(-2,-1)【解析】【分析】将函数解析式变形为(x + 2)m・x.y.3 = O,然后令x + 2 =0旦・x . y . 3 = 0,求得方程组的解后即可定点的坐标.【详解】由y・(m・l)x+2m-3变形得(x+2)m - x-y- 3-0,解方程组&篇％得疝彳，所以函数f(x)的图象过的定点的坐标为(-2,-1).故答案为(-2,-1).【点睛】本题考査一次函数的图象过定点的问题，解题时可把函数解析式化为kf(x.y) + g(%y) = 0 (k为参数)的形式，则以方程组｛；修与号的解为坐标的点即为定点.8.已知关于x的方程x2 + kx + k2 + k-4 = 0有两个实数根，且一根大于1, 一根小于1,则实数k的取值范围为【答案】(-3.1)【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布求解，令f(x)=x2 + kx + k2+k-4,则有解不等式可得所求范围【详解】令f(x)=x2+kx + k2 + k-4,方程的一个实数根大于1,另一个实数根小于1,1 + k+k2 + k-4<0.即k2+2k-3<0>解得-3<k<l,实数g取值范围为(-3,1).故答案为(-3,1).【点晴】本题考査根据方程根的情况求参数的取值范围，解题时根据方程根的分布将问题转化为不等式求解，体现了转化和数形结合的思想方法在解题中的应用.9-给出下列四个命题：(1)若a > b,c a d,则a-d > b-c;(2)若a2x>a2y .则x>y;(3)a>b,则二a-b a(4)若以<0,则abvb，.a b其中正确命题的是.(填所冇正确命题的序号)【答案J (1) (2) (4)【解析】试题分析：(3)中a = 0时不等式不成立，故正确的只有(1) (2) (4).考点：不等式的基本性质10.若xe(-oo,2),则5—4X + X 的最小值为2-x【答案】2【解析】【分析】将原式变形后根据基本不等式求解.【详解】..•x<2, •••2-x>0.当且仅当2-x = d-，即x = l 时等号成立. 2-x••5~4X + X2的最小值为2. 2-x故答案为2.【点睛】应用基本不等式求最值时一定要注意“一正二定三相等.这三个条件缺一不可，当不满足不等式使用的条件时，可通过适当的变形使得出现定值的形式，这是解题中常遇到的情形. 11.设函数f(x)=x-2,若不等式|Rx+3)1 > |f(x)|十m 对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是【答案】mv-3 【解析】【分析】 |x+l|-|x-2|表示数轴上的x 对应点到-1对应点的距离减去它到2对应点的距离，其最小值为-3,故有m<-3, 由此求得m 的取值范围.【详解】I f(x) = x - 2,不等式|f(x + 3)|> |f(x)| + m 对任意实数x 恒成立，二n 】Y|xi 1| -|x-2对任意实数X 恒成立，乂 |x+l|・X ・2|表示数轴上的x 对应点到・1对应点的距离减去它到2对应点的距离，.・.|x+l|・|x ・2|N ・3,二 m v • 3二实数m 的取值范围是(・皿・3).故答案为(・s ，・3).【点睛】本题考査恒成立问题，解题的关键是根据绝对值的儿何意义求出|x +l|-|x-2|的最小值，考査转化和数形结合思想的运用能力. 12.对于实数A 和正数B,称满足不等式|x-A|<B (AGR,B>0)9!I 实数x 的集合叫做A 的B 邻域，已知t 为给定的正数，a 、b 为正数，若a +由题意得2—x 5—4x + x~ (2-x)~+ 1 —=^=(2-x)+ 2,b-t的a + b领域是一个关于原点对称的区间，则a2 + b2的最小值为【答案】L2【解析】【分析】先根据条件求出-t<x<2(a+b)-t;再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到 a + b = t ,最后结合不等式的知识可求出a2+ b2的最小值.【详解】.. A的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，|x - (a + b -1)| < a + b,二- a- bvx-(a + b-t)va + b,解得-t<x<2(a + b)-t.邻域是一个关于原点对称的区间，二2(a + b) - 2t = 0,二a + b = t., a2 + b* > 2ab,.•・ 2(a2 + b2) > a2 + b2 + 2ab = (a+ b)2 = t2,•,•a2+ b2>-,当且仅当a = b时等号成立，2二a2 + b2M最小值为2故答案为2【点睛】本题以新概念为载体考査重要不等式的应用，考査变换能力和阅读理解能力.解题的美綻足根据题意得到a + b-t这-结论，然后再通过变形得到所求的最小值.二.选择題侣.设实数勺、全、b卜3不为0,则了禹成如是“关于满不等式"心。

【全国百强校】上海市上海复旦大学附属中学2016届高三上学期期中考试理数试题(原卷版)

上海复旦大学附属中学2016届高三上学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：1.若集合2{|20,}A x x x x R =->∈，{||1|2,}B x x x R =+<∈，则=B A .2.函数)4(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数)(1x f-的定义域是 3.满足等式011z ii i -=-+的复数z 为4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.5.291()x x-的二项展开式中，含3x 项的系数是___________.6.直线1:(3)30l a x y ++-=与直线2:5(3)40l x a y +-+=，若1l 的方向向量是2l 的法向量，则实数=a ．7.阅读右边的程序框图，如果输出的值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是．8.已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ．9.在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______.10.数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 11.甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12.已知等差数列{}n a 满足：11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取到最小正值时，n = ．13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .14.若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（１）,X M M φ∈∈；（２）对于X 的任意子集,A B ，当,A M B M ∈∈时，A B M ⋃∈，A B M ⋂∈。

上海市各区2017届高三一模数学试卷

3．已知 M x
1 x P x ≥ 0, x R ， x 1 ≤ 2, x R ，则 M ∩P 等于 x 2
．
．
4．抛物线 y x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为 5．已知无穷数列 {an } 满足 an 1
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 （其
你认为正确论断的序号都填上）
（注：把
12．已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点．若 f ( ) AP AB ( R) 的
最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为为．
4 ，则线段 AB 的长度 3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
x 1 0 的解集为 x2 x 5cos 4. 椭圆（为参数）的焦距为 y 4sin
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z 2 z 3 i （ i 为虚数单位），则 z 6. 若函数 y
cos x sin x
sin x cos x
n
求实数 x 的取值集合；
21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集，记： A B {a b | a A, b B} ；（1）已知 A {0,1, 2} ， B {1,3} ，试用列举法表示 A B ；

2016-2017年上海市复旦附中高三上第一次月考

微信公众号：一站升学复旦附中高三月考数学卷
一. 填空题
1. 不等式 1 1 的解为 x3
2. 已知集合 A {y | y x2 1, x R} ， B {x | y lg(1 x)} ，则 A B
3. 已知奇函数 g(x) ，当 x 0 时， g(x) x2 x ，则 x 0 时， g(x) 4. 函数 y x3 4 ， x [1, 4] 的值域为
18. 已知函数 f (x) a x x （ a 为常数，且 a N * ），对于定义域内的任意两个实数
x1 、 x2 ，恒有 | f (x1) f (x2 ) | 1 成立，则正整数 a 可以取的值有（）个
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
三. 解答题
19. 设复数 z a bi (a, b R) ，若 z 是纯虚数，求| z 2 | 的取值范围； z 1
3x
9. 已知方程 x2 px 4 0 ( p R) 有两个虚根,，则2 2 的取值范围是
10. 从集合{1,2,3,4,5,6, 7,8, 9,10} 中任取两个数，要使取到的一个数大于 k ，另一个数小 2
于 k （其中 k {5, 6, 7,8,9} ）的概率是，则 k 5
11. 已知命题 p : x 1或 x 3 ，命题 q : x 3m 1 或 x m 2 ，若 p 是 q 的充分非必要条件，则实数 m 的取值范围是
的子数组，求C( A, S ) 的最大值；
（3）若数组 A (a , a , a ) 中的“元”满足 a 2 a 2 a 2 1，设数组 B (m N *) 含有
123
1
2
3
m
四个“元” b ,b ,b ,b ，且b 2 b 2 b 2 b 2 m ，求 A 与 B 的所有含有三个“元”

2016-2017学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B =________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C按从小到大的顺序排列是________.6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X-=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X∆=-- ，已知{}2,A y y x x R==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B；复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________【答案】20162【分析】若集合中有n 个元素,则该集合有2n 个子集,显然,集合中的元素有2016个,即2016n =,代入2n 中即可【详解】由题,集合中有2016个元素,所以该集合有20162个子集,故答案为:20162【点睛】本题考查集合的子集个数,属于基础题2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B = ________【答案】{|12}x x <<【分析】先求的A B ⋃,再求得补集即可【详解】由题,{|1A B x x ⋃=≤或}2x ≥,所以(){}U |12A B x x ⋃=<<ð,故答案为:{|12}x x <<【点睛】本题考查集合的并集、补集运算,属于基础题3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【分析】由A B ⋂≠∅,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________【答案】{,}a e 【分析】由题,用维恩图来表示集合,由图即可得到B 集合【详解】由题,将集合用维恩图表示,则{},B a e =,故答案为:{,}a e 【点睛】本题考查图示法处理集合问题,属于基础题5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C 按从小到大的顺序排列是________.【答案】B ＜C ＜A【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.【详解】方法一：212112120,0,1a a b b a a b b >>>>+=+= ，不妨令12121212,,,3333a ab b ====，11221221145224,999999A a b a bB a b a b =+=+==+=+=，1 4.529C == ，B C A \<<，故答案为：B ＜C ＜A .方法二：∵210a a >>，210b b >>，∴由排序原理可知：22112112a b a b a b a b +>+，∵12121,1a a b b +=+=，()()1212111221221a a b b a b a b a b a b ∴=++=+++()()()2211211222112a b a b a b a b a b a b =+++<+221112a b a b ∴+>，∴A ＞C ＞B ﹒故答案为：B ＜C ＜A .6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________【答案】16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12,当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=,故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________【答案】{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >,所以{}|30A B x x ⋂=-<<,故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X ∆=-- ，已知{}2,A y y x x R ==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.【答案】[)()2,02-+∞ ，【分析】由A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，先求出A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，再求A △B 的值．【详解】∵A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，∴A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，∴A △B ＝{y |y ＞2}∪{y |﹣2≤y ＜0}，故答案为[﹣2，0）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X ﹣Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }、X △Y ＝（X ﹣Y ）∪（Y ﹣X ）．10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________【答案】2a【分析】分别求出集合A 、B 中的元素,再求出集合A 、B 的并集,即可求解【详解】由题,因为12x a a -<+,所以11222x a -<<+,则11|2,22A x x a x Z ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭；因为2x a <,所以22a x a -<<,则{}|22,B x a x a x Z =-<<∈,因为常数a 是正整数,所以{}0,,,,2A a a = ,{}21,,0,,21B a a =-+- ,所以{}21,,0,,21,2A B a a a ⋃=-+- ,所以A B ⋃中所有元素之和是2a ,故答案为:2a【点睛】本题考查集合的并集,考查解含绝对值的不等式11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________【答案】①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”【详解】①对于任意非负整数,a b ,则a b +仍为非负整数,即a b G +∈；取0e =,则00a a a +=+=,故①符合题意；②对于任意偶数,a b ,则ab 仍为偶数,即ab G ∈；但是不存在e G ∈,使对一切a G ∈都有ae ea a ==,故②不符合题意；③对于G 是所有二次三项式组成的集合,若,a b G ∈,ab 不再是二次三项式,故③不符合题意；④对于{|,}G x x a a b Q ==+∈,设1x a =+2x c =+,则()(122x x ac bd ad bc ⋅=+++,即12x x G ⋅∈；取1e =,则11a a a ⨯=⨯=,故④符合题意,故答案为:①④【点睛】本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【分析】将A B ⋂中有且仅有一个元素，转化为方程只有一个解，分情况讨论，确定参数范围.【详解】由集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，且A B ⋂中有且仅有一个元素，a x x a ∴=+只有1个解，若0x ≥，则ax x a =+，1a x a =-，若0x <，则ax x a -=+，1ax a =-+，所以0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪-≤⎪+⎩或101a a a =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩，解得11a -≤≤，故答案为：[]1,1-.二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【答案】A【分析】由题意可知集合B 表示整数的3倍且大1的数的集合,则找到集合A 中符合条件的最大元素即可【详解】由题,因为{|31,}B x x k k Z ==+∈,即为整数的3倍且大1的数的集合,则A B ⋂中的最大元素为2014,故选:A【点睛】本题考查集合的交集定义,属于基础题14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-【答案】D【详解】因为()()()U UUB A B A ⋃=⋂痧所以()()U UU A B A B ⋂=⋃⎡⎤⎣⎦痧，所以A B ⋂共有m n -个元素，故选D ．15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠【答案】D【分析】直接利用逆否命题的定义得到答案.【详解】己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是：己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠故选D【点睛】本题考查了命题的逆否命题，意在考查学生对于命题基础知识的掌握情况.16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可【详解】①“a b =”⇒“ac bc =”,但当0c =时,“ac bc =”无法推出“a b =”,则“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故①是假命题；②“5a +是无理数”⇒“a 是无理数”,且“a 是无理数”⇒“5a +是无理数”,则“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故②是真命题；③当12a b =>-=时,2214a b =<=,即“a b >”无法推出“22a b >”,且当2241a b =>=时,21a b =-<=,即“22a b >”无法推出“a b >”,则“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；④因为{}|3a a <{}|4a a <,所以“4a <”是“3a <”的必要条件,故④是真命题；综上,真命题有2个,故选:B【点睛】本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；【答案】1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；【答案】证明见解析【分析】先对33+a b 与22a b ab +作差证明3322a b a b ab +≥+,同理证明3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,再求和即可得证【详解】证明:()()()()()()()()233222222a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=--=+-,因为,,a b c R +∈,所以0a b +>,()20a b -≥,所以()()33220a b a b ab +-+≥,即3322a b a b ab +≥+,同理,3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,所以333333222222a b b c a c a b ab b c bc a c ac +++++≥+++++,即3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c++≥+++++【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）作差(12111a a a -=+,讨论1a2a （2）整理问题为21a a <-,进而求证即可【详解】证明:（1）(121112111a a a a --=+-++,因为若1a >,则10a >,又10<,则2a <；若1a <则10a <,又10-<,则2a >,介于1a 与2a 之间（2）12111121a a a a a a ----=--+,因为10a >20-<,10a>,所以210a a -<,所以21a a -<-所以2a 比1a 【点睛】本题考查不等式的证明,考查运算能力与分类讨论思想20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；【答案】19m <<【分析】①对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,讨论0m =与0m ≠的情况,进而求解；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,二者求并集即可【详解】解:①由题,对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,当0m =时,不等式为310x -+>不成立,舍去；当0m ≠时,()20340m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩,解得19m <<；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,综上,19m <<【点睛】本题考查含参的一元二次不等式恒成立问题,考查分类讨论思想21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B 中元素个数最少，并用列举法表示集合B ；【答案】（1）答案见解析（2）[44k ∈--+，{2,3,4,5}B =【分析】（1）对k 进行分类讨论,分别讨论0k =,0k <,01k <<或9k >,19k ≤≤的情况,进而求解即可；（2）由（1）可知当0k <时,集合B 为有限集,利用对勾函数可知933442k k ++≤,当且仅当3k =-时等号成立,进而求解即可【详解】（1）当0k =,11{|}2A x x =<；当0k ≠时,令21291142k k k ++=,解得1k =或9k =,则当1k <或9k >时,9113442k k ++<,当19k <<时,9113442k k ++>,①当0k <,911{|3}442k A x x k =++<<；②当01k <<或9k >,11{|2A x x =<或93}44k x k >++；③当19k ≤≤,9{|344k A x x k =<++或11}2x >；（2）因为B A Z = （其中Z 为整数集）,由（1）,当0k ≥时,集合B 中的元素的个数无限；当0k <时,集合B 中的元素的个数有限,此时集合B 为有限集,因为0k <,所以9933333444422k k k k ⎛⎫++=---+≤-+= ⎪⎝⎭,当且仅当944k k -=-,即3k =-时等号成立,所以{2,3,4,5}B =且93144k k++≥，所以2890k k ++≤，所以[44k ∈--+【点睛】本题考查解含参的不等式,考查交集的定义的应用,考查分类讨论思想。

上海师范大学附属中学2017届高三上学期开学考试数学试题缺答案

上师大附中高三开学考数学卷2016.09一。

填空题 1. 若22x=-，则x =2. 函数2()log (1)1f x x =-+的反函数是3. 已知向量a 、b 满足||1a =，||2b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为 4。

不等式21log 21x <-的解是5。

计算13lim123n n n C n++→∞=+++⋅⋅⋅+6. 若某圆的圆心为点(2,3)-，其中一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是7. 正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上,点P 在球面上，如果163P ABCDV-=,则球O 的表面积是8. 在54(1)(1)x x +-的展开式中,3x 的系数是9。

在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2b =,3c =,cos()410A π+=, 则边a 的长为 10. 函数22()sin cos f x x x =-，2(,)123x ππ∈的值域是11.已知函数24y ax x c =-+的值域是(,0]-∞，则19a c+的取值范围是12。

对于给定的复数0z ,若满足0|2|||4z i z z-+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则0||z 的取值范围是13。

定义函数()h x :对于任意实数x ,如果存在整数k 满足1k x k ≤<+,那么()h x k =,设函数()2(2)f x x h x =-，以下命题：① 函数()f x 是奇函数;② 函数()f x 的值域为[0,1]；③方程1()2f x =有无数解；④ 函数()f x 的最小正周期为1；⑤ 函数()f x 不存在单调递减区间，其中真命题是14。

已知集合{|M x x N =∈且1100}x ≤≤，对X M ⊆且X 含有三个元素，记()S X 为X中所有元素之和，那么全体()S X 的总和等于二。

数学-复旦附中浦东分校高三数学月考(2017年3月)

复旦附中浦东分校2016-2017学年第二学期高三数学第一次月考试卷2017.03一、填空题（本题满分54分，共12小题）1.已知集合7|03x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，函数lg(4)y x =-的定义域为集合B ，则A B = . ２.若11a bi i=+-，其中,a b 都是实数，i 为虚数单位，则||a bi += . 3．已知角α的终边过点()()4,30P a a a ->，则2sin cos αα+的值为 .4.若二元一次方程组346x ay ax y +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a 的值为 .5.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与轴所成的角的大小是 .6.已知()7270127x m a a x a x a x -=++++，其中435,a m R =-∈，则0123a a a a a +++++= . 7.以抛物线28x y =上的一点A 为圆心做圆，如果该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么点A到为此抛物线的准线的距离为 .8.设,x y 满足约束条件320200,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则11a b+的最小值为 . 9.若矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的元素为随机从1、2、4、8中随机的选出4个不同的数值，则对应的行列式a b c d的值为正数的概率为 . 10.在ABC ∆中，边23BC AB ==，C 的取值范围是 .11．设()f x 和()g x 是定义在R 上的两个函数，12,x x 是R 上任意两个不等的实数，给出下列命题： ①若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()y f x =是奇函数，则函数()y g x =是奇函数； ②若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()y f x =是周期函数，则函数()y g x =是周期函数； ③若1212()()()()f x f x g x g x +>+恒成立，且()y f x =是R 上的增函数，则函数()()()h x f x g x =+与函数'()()g()h x f x x =-在R 上都是单调递增函数。

2017年上海市复旦大学附属中高考数学模拟试卷与解析word(5月份)

2017年上海市复旦大学附属中高考数学模拟试卷（5月份）一.填空题1．（5分）函数f（x）=lnx+的定义域为．2．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．3．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为．4．（5分）若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．（5分）盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．6．（5分）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．7．（5分）若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．8．（5分）若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．10．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为．11．（5分）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=．12．（5分）已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是．二.选择题13．（5分）直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．（5分）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+16．（5分）对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k +…+λk a n成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：﹣2①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.简答题17．（12分）若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．18．（12分）如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O 的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．19．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2=1上一点，从原点O 向圆M ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=r 2作两条切线分别与椭圆C 交于点P ，Q ．直线OP ，OQ 的斜率分别记为k 1，k 2（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r=，①求证：k 1k 2=﹣；②求O P•OQ 的最大值．21．（16分）已知m 是一个给定的正整数，m ≥3，设数列{a n }共有m 项，记该数列前i 项a 1，a 2，…，a i 中的最大项为A i ，该数列后m ﹣i 项a i +1，a i +2，…，a m 中的最小项为B i ，r i =A i ﹣B i （i=1，2，3，…，m ﹣1）；（1）若数列{a n }的通项公式为（n=1，2，…，m ），求数列{r i }的通项公式；（2）若数列{a n }满足a 1=1，r 1=﹣2（i=1，2，…，m ﹣1），求数列{a n }的通项公式；（3）试构造项数为m 的数列{a n }，满足a n =b n +c n ，其中{b n }是公差不为零的等差数列，{c n }是等比数列，使数列{r i }是单调递增的，并说明理由．2017年上海市复旦大学附属中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）函数f（x）=lnx+的定义域为{x|0＜x ≤1} ．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+，∴，解得0＜x≤1；∴函数f（x）的定义域为{x|0＜x≤1}．故答案为：{x|0＜x≤1}．2．（5分）（2015•盐城一模）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），故c=1，由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，故2a2=1，又由a＞0，∴a=．故答案为：3．（5分）（2016•盐城一模）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17．【解答】解：设从高一年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，则从高三年级学生中抽取的人数为55﹣20﹣18=17人，故答案为：17．4．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是﹣2．【解答】解：方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，则α+β=﹣1，αβ=p．∴|α﹣β|===3，解得p=﹣2故答案为：﹣2．5．（5分）（2014•盐城二模）盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为．【解答】解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：．6．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，则m的最小值为．【解答】解：将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，可得y=sin（2x+2m+）的图象，由2kπ+≤2x+2m+≤2kπ+，可得kπ﹣m+≤x≤kπ+，故函数y=sin（2x+2m+）的减区间为[kπ﹣m+，kπ﹣m+]，k∈Z．∵得到的函数y=f（x）在区间上单调递减，∴kπ﹣m+≤﹣，≤kπ﹣m+，求得m≥kπ+，且m≤kπ+，∴m的最小值为，故答案为：．7．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=•（3x2）n﹣r•=•3n﹣r••x2n﹣5r；令2n﹣5r=0，且n∈N*，r≥0，解得n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：•35﹣2•=．故答案为：．8．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是．【解答】解：由题意三元一次方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解∴，∴∴sinθ﹣sin3θ≠0∴sinθ≠0或sin2θ≠1∴故答案为10．（5分）（2016•盐城一模）如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则•的值为﹣2．【解答】解：∵=﹣，∴•=（+）•，=（+）•，=（+﹣）（﹣），=（+）（﹣），=（•+﹣2），=（3×3×+32﹣2×32），=﹣2，故答案为：﹣2．11．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m=4．【解答】解：f（x）===2+，设g（x）=，（﹣1≤x≤1），g（﹣x）==﹣=﹣g（x），即g（x）为奇函数，可设g（x）的最大值为t，则最小值为﹣t，可得M=t+2，m=﹣t+2，即有M+m=4．故答案为：4．12．（5分）（2017•南京一模）已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是{，} ．【解答】解：因为公比q不为1，所以不能删去a1，a4．设{a n}的公差为d，则①若删去a2，则由2a3=a1+a4得2a1q2=a1+a1q3，即2q2=1+q3，整理得q2（q﹣1）=（q﹣1）（q+1）．又q≠1，则可得q2=q+1，又q＞0解得q=；②若删去a3，则由2a2=a1+a4得2a1q=a1+a1q3，即2q=1+q3，整理得q（q﹣1）（q+1）=q﹣1．又q≠1，则可得q（q+1）=1，又q＞0解得q=．综上所述，q=．故答案为：{，}．二.选择题13．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）直线（t为参数）的倾角是（）A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得直线的普通方程为2x+y﹣=0，∴直线的斜率k=﹣2，∴直线的倾斜角α=π﹣arctan2．故选：D．14．（5分）（2017•朝阳区二模）“x＞0，y＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＞0，y＞0”⇔“”，反之不成立，例如取x=y=﹣1．∴x＞0，y＞0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）（2017•杨浦区校级模拟）若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故选：C16．（5分）（2012•西城区二模）对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给使a n+k出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①∵{a n}是等比数列，∴a n=，a n+1=qa n，∴∃k=1，λ=q，使a n=qa n+k﹣1成立，+k∴{a n}为1阶递归数列，故①成立；②∵{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使a n+2=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2成立，∴{a n}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使a n+3=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+λ3a n+k﹣3成立，∴{a n}为3阶递归数列，故③成立．故选D．三.简答题17．（12分）（2017•杨浦区校级模拟）若向量，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当的最大值为1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】（本小题满分12分）解：（I）由题意得====∵对称中心到对称轴的最小距离为∴f（x）的最小正周期为T=π∴，∴ω=1…（6分）∴，∴3+t，∴3+t=1，∴（II）…（10分）∴18．（12分）（2014•镇江二模）如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5km．（1）求居民区A与C的距离；（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．①求w关于θ的函数表达式；②求w的最小值及此时tanθ的值．【解答】解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（﹣5，5），∴AC==5；（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，则w=m[++]=m•；直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m，综上，w=②直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m；当直线l的斜率存在时，w=m•令t=k﹣10，则t=0时，w=525m；t≠0时，w=525m+m•∵t+≤﹣2，或t+≥2，∴w的最小值为525m+m•=（275﹣25）m，此时，t=﹣，tanθ=k=10﹣．19．（14分）（2017•杨浦区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1；（1）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）作Ez⊥AD，以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）．∴=（2，2，﹣2，），=（﹣1，2，0），=（0，﹣2，2）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，可取=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），由，可取=（0，1，1），∴=由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．（2）由（1）可知面PBC的法向量为=（2，1，3），“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于；∵=（0，2，﹣2），=（0，2λ，﹣2λ），λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），=（0，2λ﹣4，2﹣2λ）．由=2λ﹣4+6﹣6λ=0．解得λ=，所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．20．（16分）（2016•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0，y0）是椭圆C：+y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1，k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r=，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．【解答】解：（1）椭圆C的右焦点是（，0），x=，代入+y2=1，可得y=±，∴圆M的方程：（x﹣）2+（y）2=；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，所以直线OP：y=k1x与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=联立，可得（1+k12）x2﹣（2x0+2k1y0）x+x02+y02﹣=0同理（1+k22）x2﹣（2x0+2k2y0）x+x02+y02﹣=0，由判别式为0，可得k1，k2是方程（x02﹣）k2﹣2x0y0k+y02﹣=0的两个不相等的实数根，∴k1k2=，因为点M（x0，y0）在椭圆C上，所以y2=1﹣，所以k1k2==﹣；（3）（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为4k1k2+1=0，所以+1=0，即y12y22=x12x22，因为P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆C上，所以y12y22=（1﹣）（1﹣）=x12x22，整理得x12+x22=4，所以y12+y22=1所以OP2+OQ2=5．（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=5，综上：OP2+OQ2=5所以OP•OQ≤（OP2+OQ2）=2.5，所以OP•OQ的最大值为2.5．21．（16分）（2017•杨浦区校级模拟）已知m是一个给定的正整数，m≥3，设数列{a n}共有m项，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，该数列后m﹣i项a i+1，a i+2，…，a m中的最小项为B i，r i=A i﹣B i（i=1，2，3，…，m﹣1）；（1）若数列{a n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{r i}的通项公式；（2）若数列{a n}满足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求数列{a n}的通项公式；（3）试构造项数为m的数列{a n}，满足a n=b n+c n，其中{b n}是公差不为零的等差数列，{c n}是等比数列，使数列{r i}是单调递增的，并说明理由．【解答】解：（1）∵单调递增，∴A i=2i，B i=2i+1，∴r i=A i﹣B i=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．（2）根据题意可知，a i≤A i，B i≤a i+1，因为r i=A i﹣B i=﹣2＜0，所以A i＜B i，可得a i≤A i＜B i≤a i+1，即a i＜a i+1，又因为i=1，2，3，…，m﹣1，所以{a n}单调递增，则A i=a i，B i=a i+1，所以r i=a i﹣a i+1=﹣2，即a i+1﹣a i=2，1≤i≤m﹣1，所以{a n}是公差为2的等差数列，a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；（3）构造a n=n﹣，其中b n=n，c n=﹣，下证数列{a n}满足题意．证明：因为a n=n﹣，所以数列{a n}单调递增，所以A i=a i=i﹣，B i=a i+1=i+1﹣，所以r i=a i﹣a i+1=﹣1﹣，1≤i≤m﹣1，因为r i+1﹣r i=[﹣1﹣]﹣[﹣1﹣]=＞0，所以数列{r i}单调递增，满足题意．（说明：等差数列{b n}的首项b1任意，公差d为正数，同时等比数列{c n}的首项c1为负，公比q∈（0，1），这样构造的数列{a n}都满足题意．）参与本试卷答题和审题的老师有：742048；豫汝王世崇；whgcn；沂蒙松；gongjy；caoqz；刘长柏；双曲线；zlzhan；qiss；陈高数（排名不分先后）菁优网2017年7月17日赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题(解析版)

2019届上海市复旦附中高三上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A.1a ≤ B.3a ≤C.13a ≤≤D.3a ≥【答案】C【解析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a <?. 综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论． 2．条件甲：函数满足()1()f x f x -=；条件乙：函数是偶函数，则甲是乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【详解】条件甲:函数()f x 满足()1()f x f x -=, 即()()f x f x -=可以得到函数是一个偶函数条件乙:函数()f x 是偶函数,一定要满足()()f x f x =-, 但是不能保证两边同除以()f x 有意义, 所以条件甲是条件乙的充分非必要条件, 所以A 选项是正确的，故选A.3．关于函数()()4f x x x x x R =+∈的反函数，正确的是（） A.有反函数()12,02,0x fx x -≥=< B.有反函数()12,020x fx x -≥=-<⎪⎩ C.有反函数()12,02,0x f x x -≥=< D.无反函数【答案】B【解析】将函数()y f x =表示为分段函数的形式，判断该函数为增函数，然后分0x ≥和0x <解出该函数的反函数. 【详解】()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，作出函数()y f x =的图象如下图所示：由图象可知，函数()y f x =在R 上为增函数，该函数存在反函数. 当0x ≥时，由()22424y x x x =+=+-，得2x =-当0x <时，由()22y x 4x x 24=-+=--+，得2x =. 因此， ()12,020x f x x -≥=<⎪⎩，故选：B.【点睛】本题考查反函数解析式的求解，在判断函数的存在性时，还应考查函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0a >，0b >，则()ln lnln ab a b +++=+；②若0a >，0b >，则l ln n b a b a ++=； ③若0a >，0b >，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭； ④若0a >，0b >，则()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++.则所有真命题的序号为（） A.①②③ B.①②④C.③④D.②③④【答案】D【解析】对于①，通过举反例说明错误；对于②，由“正对数”的定义分别对a 、b 分01a <<，0b >；1a ≥，0b >两种情况进行推理；对于③④，分别从四种情况，即当01a <<，0b >时；当1a ≥，01b <<时；当01a <<，1b ≥时；当1a ≥，1b ≥时进行推理．【详解】对于①，当14a =，2b =时，满足0a >，0b >，而()1ln ln02ab ++==， 1ln a ln b ln ln 2ln24+++++=+=，()ln ln ln ab a b +++∴≠+，命题①错误；对于②，当01a <<，0b >时，有01b a <<，从而()ln0ba +=，ln00b a b +=⨯=，()lnlnb a a b ++∴=；当1a ≥，0b >时，有1b a >，从而()lnln ln bba ab a +==，ln ln b a b a +=，()ln ln b a b a ++∴=.∴当0a >，0b >时，()ln ln b a b a ++=，命题②正确；对于③，由“正对数”的定义知，ln 0x +≥且ln ln x x +≥．当01a <<，01b <<时，ln ln 000a b ++-=-=，而ln 0a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；当1a ≥，01b <<时，有1ab>，ln ln ln 0ln a b a a +++-=-=，而ln ln ln ln a a a b b b +⎛⎫==- ⎪⎝⎭，ln 0b <Q ，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当01a <<，1b ≥时，有01ab<<，ln ln 0ln ln 0a b b b +++-=-=-<，而ln 0a b +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭．当1a ≥，1b ≥时，ln ln ln ln lna ab a b b ++-=-=，则n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭． ∴当0a >，0b >时，n n ln l l a a b b +++⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当12x x ≤时，有12ln ln x x ++≤.当01a <<，01b <<时，有02a b <+<，从而()lnln 2ln 2a b +++<=，ln ln ln 200ln 2ln 2a b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，01b <<时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b a a a ++=+<+=，ln ln ln 2ln 0ln 2ln 2a b a a +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当01a <<，1b ≥时，有1a b +>，从而()()()lnln ln ln 2a b a b b b b ++=+<+=，ln ln ln 20ln ln 2ln 2a b b b +++++=++=，()ln ln ln ln 2a b a b ++++∴+≤++；当1a ≥，1b ≥时，()()lnln a b a b ++=+，()ln ln ln 2ln ln ln 2ln 2a b a b ab +++++=++=，()()()2110ab a b ab a ab b a b b a -+=-+-=-+-≥Q ，2ab a b ∴≥+，从而()ln ln n l l 2na b a b +++++≤++，命题④正确．∴正确的命题是②③④．故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查运算能力和逻辑推理能力，属于难题．二、填空题 5．已知全集，,则_________．【答案】【解析】试题分析：根据条件得到集合A ，集合B 的补集，再由集合的交集运算得到最终结果. 详解: 根据条件得到,,,则。

上海市复旦大学附中2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)

word格式-可编辑-感谢下载支持2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为．2．已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）=．3．已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是．4．己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，则集合B=．5．已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是．6．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．7．我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．8．已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B=．9．对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=．10．已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为．11．非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是（请填写编号）12．集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是．二.选择题13．已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对14．已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n15．命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0word格式-可编辑-感谢下载支持D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠016．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三.解答题17．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．18．已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．19．设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．20．已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．21．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．2016-2017学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2016秋•杨浦区校级期中）集合{1，2，3，…，2015，2016}的子集个数为22016．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；集合．【分析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：∵集合{1，2，3，…，2015，2016}中有2016个元素，∴集合M{1，2，3，…，2015，2016}的子集的个数为22016；故答案为：22016．【点评】本题考查了集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．2．（2016秋•杨浦区校级期中）已知全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，则∁U（A∪B）= {x|1＜x＜2} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据并集与补集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x≤1}，集合B={x|x≥2}，所以A∪B={x|x≤1或x≥2}，所以∁U（A∪B）={x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．【点评】本题考查了并集与补集的定义与应用问题，是基础题目．3．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】题中条件：“A∩B≠∅，”表示两个集合的交集的结果不是空集，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，因为A∩B≠∅，所以a≥1故答案为：[1，+∞）【点评】本题考查集合的关系、一元二次不等式的解法，考查运算能力，是基础题．4．（2016秋•杨浦区校级期中）己知集合U={a，b，c，d，e，f}，集合A={a，b，c，d}，A∩B={b}，∁U（A∪B）={f}，求集合B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集U，以及A与B并集的补集确定出A与B的并集，再根据A与B的交集及A，确定出B即可．【解答】解：∵U={a，b，c，d，e，f}，∁U（A∪B）={f}，∴A∪B={a，b，c，d，e}，∵A∩B={b}；A={a，b，c，d}，∴b∈B，e∈B，b∉B，c∉B，d∉B，∴B={b，e}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，记A=a1b1+a2b2，B=a1b2+a2b1，C=，则按A、B、C从小到大的顺序排列是B＜C＜A．【考点】不等式比较大小．【专题】计算题；转化思想；转化法；不等式．【分析】不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，分别求出A，B，比较即可【解答】解：∵a2＞a1＞0，b2＞b1＞0，且a1+a2=b1+b2=1，不妨令a1=，a2=，b1=，b2=，A=a1b1+a2b2=+=，B=a1b2+a2b1=+=，∵C==∴B＜C＜A故答案为：B＜C＜A．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．6．（2016秋•杨浦区校级期中）已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；不等式的解法及应用．【分析】设直角边长为a，b，则斜边长为，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+=2，∴2≥2+，∴≤=2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S=ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键，属于中档题．7．（2016秋•杨浦区校级期中）我们将b﹣a称为集合M={x|a≤x≤b}的“长度”，若集合M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣0.5≤x≤n}，且集合M和集合N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，则集合M∩N的“长度”的最小值是．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；新定义；转化思想；转化法；集合．【分析】当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，由此能求出M∩N 的长度的最小值．【解答】解：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是=．故答案为：．【点评】本题考查交集的“长度”的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．8．（2016秋•杨浦区校级期中）已知A={x|＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B={x|﹣3＜x＜0} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；集合．【分析】先利用不等式的性质分别求出集合A和B，由此利用交集的性质能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|＞x}={x|﹣2≤x≤1，或x＜0}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}={x|﹣3＜x＜0或x＞3}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0}．【点评】本题考查交集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意无理不等式和高次不等式性质的合理运用．9．（2016秋•杨浦区校级期中）对于任意集合X与Y，定义：①X﹣Y={x|x∈X且x∉Y}，②X△Y=（X ﹣Y）∪（Y﹣X），已知A={y|y=x2，x∈R}，B={y|﹣2≤y≤2}，则A△B=[﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合．【分析】由A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，先求出A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，再求A△B的值．【解答】解：∵A={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，B={y|﹣2≤y≤2}，∴A﹣B={y|y＞2}，B﹣A={y|﹣2≤y＜0}，∴A△B={y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0}，故答案为：[﹣3，0）∪（3，+∞）．【点评】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X﹣Y={x|x ∈X且x∉Y}、X△Y=（X﹣Y）∪（Y﹣X）．10．（2016秋•杨浦区校级期中）已知常数a是正整数，集合A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}，B={x||x|＜2a，x∈Z}，则集合A∪B中所有元素之和为2a．【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】分别求出集合A、B中的元素，从而求出A、B的并集，求和即可．【解答】解：A={x||x﹣a|＜a+，x∈Z}={0，a，2a}，B={x||x|＜2a，x∈Z}={﹣a，0，a}，则集合A∪B={﹣a，0，a，2a}，故集合A∪B中所有元素之和是2a，故答案为：2a．【点评】本题考查了集合的运算，考查解绝对值不等式问题，是一道基础题．11．（2016秋•杨浦区校级期中）非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意a，b∈G，都有a+b∈G；（2）存在e∈G使得对于一切a∈G都有a⊕e=e⊕a=a，则称G是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合与运算：①G是非负整数集，⊕：实数的加法；②G是偶数集，⊕：实数的乘法；③G是所有二次三项式构成的集合，⊕：多项式的乘法；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，⊕：实数的乘法；其中属于融洽集的是①④（请填写编号）【考点】元素与集合关系的判断．【专题】新定义；集合思想；集合．【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”．【解答】解：①对于任意非负整数a，b知道：a+b仍为非负整数，所以a⊕b∈G；取e=0，及任意非负整数a，则a+0=0+a=a，因此G对于⊕为整数的加法运算来说是“融洽集”；②对于任意偶数a，b知道：a+b仍为偶数，故有a+b∈G；但是不存在e∈G，使对一切a∈G都有a⊕e=e ⊕a=a，故②的G不是“融洽集”．③对于G={二次三项式}，若a、b∈G时，a，b的两个同类项系数，则其积不再为二次三项式，故G不是和谐集，故③不正确；④G={x|x=a+b，a，b∈Q}，设x1=a+b，x2=c+d，则设x1+x2=（a+c）+（b+d），属于集合G，取e=1，a×1=1×a=a，因此G对于⊕实数的乘法运算来说是“融洽集”，故④中的G是“融洽集”．故答案为①④．【点评】本题考查了对新定义“融洽集”理解能力，及对有关知识的掌握情况．关键是看所给的数集是否满足“融洽集”的两个条件．12．（2016秋•杨浦区校级期中）集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，已知集合A∩B中有且仅有一个元素，则常数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；转化法；集合．【分析】由已知得a|x|=x+a有1个解，由此能求出常数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={（x，y）|y=a|x|，x∈R}，B={（x，y）|y=x+a，x∈R}，集合A∩B中有且仅有一个元素，∴a|x|=x+a有1个解，若x≥0，ax=x+a，x=，若x＜0，﹣ax=x+a，x=﹣，由已知得或或或，解得﹣1≤a≤1．∴常数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查常数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．二.选择题13．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}，则A∩B中的最大元素是（）A．2014 B．2015C．2016 D．以上答案都不对【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由题意求出A与B的交集，即可作出判断．【解答】解：∵A={1，2，3，…，2105，2016}，集合B={x|x=3k+1，k∈Z}∴则A∩B中的最大元素是2014．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．14．（2009•江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（）A．mn B．m+n C．n﹣m D．m﹣n【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合．【分析】要求A∩B的元素个数，可以根据已知绘制出满足条件的韦恩图，根据图来分析（如解法一），也可以利用德摩根定理解决（如解法二）．【解答】解法一：∵（C U A）∪（C U B）中有n个元素，如图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有m﹣n个元素．解法二：∵（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）有n个元素，又∵全集U=A∪B中有m个元素，由card（A）+card（C U A）=card（U）得，card（A∩B）+card（C U（A∩B））=card（U）得，card（A∩B）=m﹣n，故选D．【点评】解答此类型题目时，要求对集合的性质及运算非常熟悉，除教材上的定义，性质，运算律外，还应熟练掌握：①（C U A）∪（C U B）=C U（A∩B）②（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）③card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）等．15．（2016秋•杨浦区校级期中）命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是（）A．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0且y≠0B．已知x，y∈R，如果x2+y2≠0，那么x≠0或y≠0C．已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0D．已知x，y∈R，如果x≠0且y≠0，那么x2+y2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中原命题，写出逆否命题，可得答案．【解答】解：命题“已知x，y∈R，如果x2+y2=0，那么x=0且y=0”的逆否命题是“已知x，y∈R，如果x≠0或y≠0，那么x2+y2≠0”故选：C【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．16．（2016秋•杨浦区校级期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a＜4”是“a＜3”的必要条件；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合法；简易逻辑．【分析】逐项判断即可．①由ac=bc不能推出a=b；②由5是有理数易判断；③根据不等式的性质可得；④根据充分必要条件的定义易得．【解答】解：①由“a=b“可得ac=bc，但当ac=bc时，不能得到a=b，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a+5是无理数时，a必为无理数，反之也成立，故②正确；③取a=1，b=﹣2，此时a2＜b2，故③错误；④当a＜4时，不能推出a＜3；当a＜3时，有a＜4成立，故“a＜4”是“a＜3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键．属于基础题．三.解答题word格式-可编辑-感谢下载支持17．（2016秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】根据A∪B=A，得到B⊆A，然后分B为空集和不是空集讨论，A为空集时，只要二次方程的判别式小于0即可，不是空集时，分别把1和2代入二次方程求解a的范围，注意求出a后需要验证．【解答】解：由A∪B=A，得B⊆A．①若B=∅，则△=（a+1）2﹣4a＜0，解得：a∈∅；②若1∈B，△=（a+1）2﹣4a=0，此时a=1，满足12﹣a﹣1+a=0，此时B={1}，符合题意；③若2∈B，则22﹣2a﹣2+a=0，解得：a=2，此时A={2，1}，满足题意．④若3∈B，则32﹣3a﹣3+a=0，解得：a=3，此时A={3，1}，满足题意．综上所述，实数a的值为：1，2，3．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了分类讨论的数学思想，求出a值后的验证是解答此题的关键，是基础题．18．（2016秋•杨浦区校级期中）已知a，b，c∈R+，求证：2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】作差，因式分解，即可得到结论．【解答】证明：（a3+b3）﹣（a2b+ab2）=a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）∵a＞0，b＞0，∴（a3+b3）﹣（a2b+ab2）≥0∴a3+b3≥a2b+ab2．同理b3+c3≥bc2+b2c，a3+c3≥ac2+a2c，三式相加，可得2（a3+b3+c3）≥ab2+a2b+bc2+b2c+ac2+a2c．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（2016秋•杨浦区校级期中）设正有理数a1是的一个近似值，令a2=1+，求证：（1）介于a1与a2之间；（2）a2比a1更接近于．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】证明题；转化思想；作差法；不等式．【分析】（1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；（2）利用作差法，判断|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0，即可得到结论【解答】证明：（1）a2﹣=1+﹣=，∵若a1＞，∴a1﹣＞0，而1﹣＜0，∴a2＜∵若a1＜，∴a1﹣＜0，而1﹣＜0，∴a2＞，故介于a1与a2之间；word格式-可编辑-感谢下载支持（2）|a2﹣|﹣|a1﹣|=﹣|a1﹣|=|a1﹣|×，∵a1＞0，﹣2＜0，|a1﹣|＞0，∴|a2﹣|﹣|a1﹣|＜0∴|a2﹣|＜|a1﹣|∴a2比a1更接近于．【点评】本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键．20．（2016秋•杨浦区校级期中）已知对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立或不等式mx＞0成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，对m分类讨论，m=0时，易判断出．m ≠0时，，解出即可得出．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．【解答】解：①对任意实数x，不等式mx2﹣（3﹣m）x+1＞0成立，m=0时化为：﹣3x+1＞0，不成立，舍去．m≠0时，，解得．②对任意实数x，不等式mx＞0成立，m∈∅．综上可得：．∴实数m的取值范围是．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（2016秋•杨浦区校级期中）已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R；（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】分类讨论；不等式的解法及应用；不等式．【分析】（1）对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出．（2）根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．【解答】解：（1）①当k＜0，A={x|}；②当k=0，A={x|x}；③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x，或x＞}；④当1≤k≤9，A={x|x＜，或x＞}；（2）B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，word格式-可编辑-感谢下载支持只有k＜0，B={2，3，4，5}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。

2016-2017学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）函数y＝的定义域为．2．（4分）已知函数f（x）＝，则f（2017）等于．3．（4分）已知函数的定义域是非零实数，且在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数，则最小的自然数a等于．4．（4分）设函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x ≠﹣1），则g（x）＝．5．（4分）函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2）的递增区间是．6．（4分）函数y＝lg（﹣1）的图象关于对称．7．（4分）已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b的代数式表示log1225＝．8．（4分）函数f（x）＝log a（x+1）（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，2]，则a＝．9．（4分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．10．（4分）已知是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是．11．（4分）已知函数y＝f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝2|x|﹣1，则函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有个．12．（4分）若x1满足2x+2x＝5，x2满足2x+2log2（x﹣1）＝5，则x1+x2＝．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上是单调递增的是（）A．y＝B．y＝（）|x|C．y＝ln|x|D．y＝x314．（4分）关于x的方程＝x+m有两个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．m≥1或m＜B．m＞1或m≤C．＜m≤1D．≤m＜1 15．（4分）已知函数f（x）＝，且y＝f﹣1（x﹣1）的图象对称中心是（0，3），则a的值为（）A．B．2C．D．316．（4分）设a，b，c均为正数，且2a＝a，（）b＝b，（）c＝log2c，则（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．（10分）已知函数f（x）＝2+1og3x（1≤x≤9），求函数y＝f2（x）+f（3x）的最大值和最小值．18．（10分）设函数f（x）＝（a∈R）是R上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的反函数f﹣1（x）的解析式；（3）若k∈R+，解不等式ln．19．（12分）若偶函数f（x）＝+1（m∈Z）在R+上是增函数．（1）确定函数y＝f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（x）（x∈（∞，t]）的最小值d（t）的解析式；（3）设g（x）＝﹣ax（a＞1），证明：函数y＝g（x）在R+上是减函数．20．（12分）对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的；否则称f（x）与g （x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）＝log a（x﹣3a），与f2（x）＝log a （a＞0，a≠1），给定区间[a+2，a+3]．（1）若f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论f1（x）与f1（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的？21．（12分）在R上的递减函数f（x）满足：当且仅当x∈M⊆R+，函数值f（x）的集合为[0，2]且f（）＝1；对M中的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）．（1）求证：∈M，而M；（2）证明：f（x）在M上的反函数f﹣1（x）满足f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）解不等式：f﹣1（x2+x）•f﹣1（x+2）≤，（x∈[0，2]）2016-2017学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．【解答】解：根据函数y＝有意义可知解得：x≥1故答案为：[1，+∞）2．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（2017）＝f（2）＝f（﹣3）＝＝﹣1．故答案为：﹣1．3．【解答】解：对函数求导，得，又在（﹣∞，0）上是增函数，（1）当≥1，则必须为奇数（否则为减函数），则＞0，可得，得a≤﹣5，不符合题意，舍去．（2）当1＞＞0，则﹣2＞a＞﹣5，不符合舍去．（3）当时，必须符合﹣a﹣2为负奇数，则解得a＞1故答案为：3．4．【解答】解：函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，且f（x）＝，（x≠﹣1），令y＝，解得x＝，且y≠﹣1，交换x、y，得g（x）＝，（x≠﹣1）．故答案为：（x≠﹣1）．5．【解答】解：对于函数y＝log0.1（x2﹣x﹣2），由x2﹣x﹣2＞0，求得x＜﹣1，或x＞2，故函数的定义域为{x|x＜﹣1，或x＞2}，本题即求函数t＝x2﹣x﹣2在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t＝x2﹣x﹣2在定义域{x|x＜﹣1，或x＞2} 内的减区间为（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．6．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝lg（﹣1）＝lg，∴函数y＝f（x）的定义域关于原点对称，又∵f（﹣x）＝lg＝lg（）﹣1＝﹣lg＝﹣f（x），故函数y＝f（x）为奇函数，故函数y＝lg（﹣1）的图象关于原点对称，故答案为：原点7．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log1225＝＝＝＝．故答案为：．8．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递增，则，解得：a＝，当a＜1时，函数f（x）＝a x﹣1（a＞0，a≠1）在[0，2]上单调递减，则无解；故a＝．故答案为：9．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y＝k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y＝k和f（x）有3个交点，即方程f（x）＝k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．10．【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8故答案为：4≤a＜811．【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点个数，即方程f（x）﹣|lgx|＝0的根的个数，也就是函数y＝f（x）与y＝|lgx|的交点个数，作出两函数的图象如图：由图可知，函数F（x）＝f（x）﹣|lgx|的零点有10个．故答案为：10．12．【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）＝5 ②所以由①得：⇒x1＝log2（5﹣2x1）即2x1＝2log2（5﹣2x1）令2x1＝7﹣2t，代入上式得7﹣2t＝2log2（2t﹣2）＝2+2log2（t﹣1）⇒5﹣2t＝2log2（t ﹣1）又∵由②式得：5﹣2x2＝2log2（x2﹣1），易知t＝x2于是2x1＝7﹣2x2即x1+x2＝故答案为：．二、选择题（每题4分，共16分）13．【解答】解：A.是奇函数，∴该选项错误；B.是偶函数；x＜0时，；∴该函数在（﹣∞，0）上是单调递增的；∴该选项正确；C．x＜0时，y＝ln|x|＝ln（﹣x）；∴该函数在（﹣∞，0）上单调递减；∴该选项错误；D．y＝x3是奇函数，∴该选项错误．故选：B．14．【解答】解：令y＝（x），则y2＝2x+1（x），其图象如图，联立，可得y2﹣2y+2m﹣1＝0．由△＝4﹣4（2m﹣1）＞0，得m＜1．又x+m≥0恒成立，得m≥﹣x恒成立，而x，∴﹣x，∴m．综上，＜1．故选：D．15．【解答】解：设，反解x＝，∴的反函数是f﹣1（x）＝，∴f﹣1（x﹣1）＝∴f﹣1（x﹣1）＝a+1+，其对称中心是（0，a+1）∵f﹣1（x﹣1）的图象的对称中心是（0，3），所以a+1＝3，所以a＝2．故选：B．16．【解答】解：在平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x，y＝（）x，y＝log2x图象，如图：可得a＜b＜c．故选：C．三、解答题（本题共5大题，满分56分)17．【解答】解：函数y＝f2（x）+f（3x），由，解得≤x≤3，可得g（x）的定义域为[，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log33x）＝（log3x+）2+，可令t＝log3x，∵≤x≤3，∴﹣1≤t≤1，h（t）＝（t+）2+在﹣1≤t≤1递增，当t＝﹣1时，即x＝时，函数h（t）取得最小值3；当t＝1即x＝3时，h（t）取得最大值13，∴当x＝时，g（x）有最小值3；当x＝3时，g（x）有最大值13．18．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数；∴；∴a＝1；（2）设y＝f（x），则；∴；∴；∴函数f（x）的反函数，x∈（﹣1，1）；（3）解得，﹣1＜x＜1；∴由ln得，；∴，且k＞0；∴1﹣x＜k；∴x＞1﹣k；①若﹣1＜1﹣k＜1，即0＜k＜2，则原不等式的解集为（1﹣k，1）；②若1﹣k≤﹣1，即k≥2，则原不等式的解集为（﹣1，1）．19．【解答】解：（1）因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以﹣m2+m+＞0，解得：﹣1＜m＜3，又m∈Z，所以m＝0或m＝1或m＝2，当m＝0时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意；当m＝1时，f（x）＝x2+1，符合题意；当m＝2时，f（x）＝x+1不是偶函数，不合题意．综上所述：f（x）＝x2+1（2）当t≤0时，f（x）在（﹣∞，t]上是减函数，所以x＝t时，d（t）＝t2+1；当t＞0时，d（t）＝1，综上所述：d（t）＝（3）g（x）＝﹣ax，（a＞1）g′（x）＝＝＝，因为，a＞1，所以g′（x）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数．20．【解答】解：（1）要使f1（x）与f2（x）有意义，则有，要使f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上都有意义，等价于：，所以0＜a＜1．（2）f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的，⇔|f1（x）﹣f（x2）|≤1⇔|log a（x﹣3a）﹣|≤1⇔|log a[（x﹣3a）（x﹣a）]|≤1⇔a ≤（x﹣2a）2﹣a2对于任意x∈[a+2，a+3]恒成立．设h（x）＝（x﹣2a）2﹣a2，x∈[a+2，a+3]，且其对称轴x＝2a＜2在区间[a+2，a+3]的左边，⇔⇔⇔⇔，所以当，时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a+2，a+3]上是接近的．21．【解答】解：（1）证明：因为∈M，又＝×，f（）＝1，所以f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝2∈[0，2]，所以∈M，又因为f（）＝f（×）＝f（）+f（）＝3∉[0，2]，所以∉M；（2）因为y＝f（x）在M上递减，所以y＝f（x）在M有反函数y＝f﹣1（x），x∈[0，2]任取x1、x2∈[0，2]，设y1＝f﹣1（x1），y2＝f﹣1（x2），所以x1＝f（y1），x2＝f（y2）（y1、y2∈M）因为x1+x2＝f（y1）+f（y2）＝f（y1y2），所以y1y2＝f﹣1（x1+x2），又y1y2＝f﹣1（x1）f﹣1（x2），所以：f﹣1（x1）•f﹣1（x2）＝f﹣1（x1+x2）；（3）因为y＝f（x）在M上递减，所以f﹣1（x）在[0，2]上也递减，f﹣1（x2﹣x）•f﹣1（x+2）≤等价于：f﹣1（x2﹣x+x+2）≤f﹣1（2）转化为，解得，即﹣1≤x≤0；∴不等式的解集为[﹣1，0]．。