【精选高中试题】湖北省高三数学下学期第一次半月考试题理

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2019-2020学年湖北省襄阳市枣阳市高三(下)第一次月考数学(理科)试题Word版含解析

2019-2020学年湖北省襄阳市枣阳市高三（下）第一次月考数学（理科）试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设i 是虚数单位，表示复数z 的共轭复数．若z=1﹣2i ，则复数在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A ．1B ．C ．D ．23．（5分）若“∃x ∈[，2]，使得2x 2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（） A ．（﹣∞，2]B ．[2，3] C ．[﹣2，3] D ．λ=34．（5分）已知函数f （x ）=+满足条件f （log a （+1））=1，其中a ＞1，则f （log a（﹣1））=（） A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g （x ），则g （x ）的图象的一条对称轴方程为（） A ．x=B ．x=C ．x=D ．x=6．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（） A ．尺 B ．尺 C ．尺 D ．尺7．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则 α⊥β B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则 m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n 8．（5分）点P 是双曲线（a ＞0，b ＞0）左支上的一点，其右焦点为F （c ，0），若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e 范围是（）A ．（1，8]B ．C ．D ．（2，3]9．（5分）若sin （﹣α）=，则2cos 2（+）﹣1=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，且a 2013+a 2015=dx ，则a 2014（a 2012+2a 2014+a 2016）的值为（）A ．π2B ．2πC ．πD ．4π211．（5分）已知a ∈R ，若f （x ）=（x+）e x 在区间（0，1）上只有一个极值点，则a 的取值范围为（） A ．a ＞0B ．a ≤1C ．a ＞1D ．a ≤012．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）和g （x ）满足f （x ）=•e 2x ﹣2+x 2﹣2f （0）x ，且g ′（x ）+2g （x ）＜0，则下列不等式成立的是（）A ．f （2）g （2015）＜g （2017）B ．f （2）g （2015）＞g （2017）C ．g （2015）＜f （2）g （2017）D ．g （2015）＞f （2）g （2017）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设正实数x ，y 满足x+y=1，则x 2+y 2+的取值范围为．14．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足条件b 2+c 2﹣a 2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC 的周长为．15．（5分）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为．16．（5分）设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围是．三．解答题：（本大题共7小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．（10分）已知等比数列{a n }单调递增，记数列{a n }的前n 项之和为S n ，且满足条件a 2=6，S 3=26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =an﹣2n，求数列{bn}的前n项之和Tn．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．20．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．2019-2020学年湖北省襄阳市枣阳市高三（下）第一次月考数学（理科）试题参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的乘法运算法则化简求解，求出复数的对应点的坐标即可判断选项．【解答】解：z=1﹣2i，则复数=1﹣2i+i（1+2i）=﹣1﹣i，复数对应点的坐标（﹣1，﹣1）在第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知向量，均为单位向量，它们的夹角为，则|+|=（）A．1 B．C．D．2【分析】由条件即可得到，且夹角为，从而进行数量积的运算便可求出，从而便可得出的值．【解答】解：根据题意，，；∴=；∴．故选：A．【点评】考查单位向量的概念，向量夹角的概念，以及向量数量积的运算及计算公式．3．（5分）若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[2，3] C．[﹣2，3] D．λ=3【分析】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，结合对勾函数的图象和性质，求出x ∈[，2]时，2x+的最值，可得实数λ的取值范围．【解答】解：若“∃x ∈[，2]，使得2x 2﹣λx+1＜0成立”是假命题，即“∃x ∈[，2]，使得λ＞2x+成立”是假命题，由x ∈[，2]，当x=时，函数取最小值2，故实数λ的取值范围为（﹣∞，2]，故选：A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，函数恒成立问题，对勾函数的图象和性质等知识点，难度中档．4．（5分）已知函数f （x ）=+满足条件f （log a （+1））=1，其中a ＞1，则f （log a（﹣1））=（） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】化简可得f （x ）+f （﹣x ）=+++=3，从而求得．【解答】解：∵f （x ）=+，∴f （﹣x ）=+=+，∴f （x ）+f （﹣x ）=+++=3，∵log a （+1）=﹣log a （﹣1），∴f （log a （+1））+f （log a （﹣1））=3，∴f （log a （﹣1））=2，故选：B ．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及对数运算的应用，属于中档题．5．（5分）设函数f （x ）=2sin （2x+），将f （x ）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=g（x）=2sin（4x+），再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin（4x+）．令4x+=kπ+，k∈Z，可解得函数对称轴方程为：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，x=是函数的一条对称轴．故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，an，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，因为n∥β，所以α⊥β，正确；B，α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n共面时，m∥n，不正确；C，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β平行或相交，不正确；D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交、或异面，不正确；故选A．【点评】本题考查空间直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B．C．D．（2，3]【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B ．【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF ≥a+c ．是解题的关键．9．（5分）若sin （﹣α）=，则2cos 2（+）﹣1=（）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：若，则=cos （+α）=sin[﹣（+α）]=sin（﹣α）=，故选：A ．【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，且a 2013+a 2015=dx ，则a 2014（a 2012+2a 2014+a 2016）的值为（）A ．π2B ．2πC ．πD ．4π2【分析】求定积分可得a 2013+a 2015=π，由等比数列的性质变形可得a 2014（a 2012+2a 2014+a 2016）=（a 2013+a 2015）2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的几何意义可得dx表示圆x 2+y 2=4在第一象限的图形的面积，即四分之一圆，故可得a 2013+a 2015=dx=×π×22=π，∴a 2014（a 2012+2a 2014+a 2016） =a 2014•a 2012+2a 2014•a 2014+a 2014•a 2016 =+2a 2013•a 2015=（a 2013+a 2015）2=π2 故选：A【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的求解，属中档题．11．（5分）已知a∈R，若f（x）=（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x，1）上，f′（x）＞0，∴x为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）【分析】先对f（x）求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F（2015）＞F（2017），即e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），即可得到答案．【解答】解：f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2﹣2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F（2015）＞F（2017），f（2）=e4，e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），故答案选：D．【点评】本题考查了导数的运算法则和导数和函数的单调性的关系，根据已知条件构造出辅助函数，属于中档题．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+的取值范围为．【分析】正实数x，y满足x+y=1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，﹣2xy+=﹣2+，即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴1，可得．则x2+y2+=1﹣2xy+，∵﹣2xy+=﹣2+∈．故x2+y2+的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足条件b2+c2﹣a2=bc=1，cosBcosC=﹣，则△ABC的周长为+．【分析】利用余弦定理求出角A，利用两角和的余弦公式求出sinBsinC的值，结合正弦定理求出△ABC外接圆的半径R与边长a，再求出b+c即可．【解答】解：△ABC中，b2+c2﹣a2=bc=1，∴cosA===，∴A=，∴B+C=，即cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣；又cosBcosC=﹣，∴sinBsinC=cosBcosC+=﹣+=，∴bc=4R2sinBsinC=4R2×=1，解得R=，其中R为△ABC的外接圆的半径；∴a=2RsinA=2××sin=，∴b2+c2﹣2=1，解得b2+c2=3，∴（b+c）2=b2+c2+2bc=3+2×1=5，∴b+c=，∴△ABC 的周长为a+b+c=+．故答案为：+．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的灵活应用问题，也考查了三角形内角和与两角和的余弦公式问题，是综合性题目．15．（5分）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 4 ．【分析】对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n ＞4后都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4．【解答】解：对任意n ∈N *，S n ∈{2，3}，可得当n=1时，a 1=S 1=2或3；若n=2，由S 2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；若n=3，由S 3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； …即有n ＞4后一项都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．故答案为：4．【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．16．（5分）设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组无解，则a+b 的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a ，b 的关系，再使用基本不等式得出答案．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y﹣1=0与直线x+by﹣1=0平行，∴﹣a=﹣，且．即a=且b≠1．∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+＞2．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题．三．解答题：（本大题共7小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．（10分）已知等比数列{an }单调递增，记数列{an}的前n项之和为Sn，且满足条件a2=6，S3=26．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =an﹣2n，求数列{bn}的前n项之和Tn．【分析】（1）设单调递增的等比数列{an }的公比为q≠1，由a2=6，S3=26．可得a1q=6，=26，解得a1，q，再利用单调性夹角得出．（2）bn =an﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，利用等比数列与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设单调递增的等比数列{an }的公比为q≠1，∵a2=6，S3=26．∴a1q=6，=26，解得a1=18，q=，或a1=2，q=3．当a1=18，q=，等比数列{an}单调递减，舍去．∴a1=2，q=3．∴an=2×3n﹣1．（2）bn =an﹣2n=2×3n﹣1﹣2n，∴数列{bn }的前n项之和Tn=﹣2×=3n﹣1﹣n2﹣n．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设P（x0，y），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x，可得y=﹣．进而得到定直线；（ii）由直线l的方程为y=x0x﹣y，令x=0，可得G（0，﹣y），运用三角形的面积公式，可得S1=|FG|•|x|=x•（+y），S2=|PM|•|x﹣|，化简整理，再1+2x2=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．【解答】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y），可得x2=2y，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x，则切线的方程为y﹣y0=x（x﹣x），可化为y=x0x﹣y，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8xyx+4y2﹣1=0，△=64x02y2﹣4（1+4x2）（4y2﹣1）＞0，可得1+4x2＞4y2．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y，令x=0，可得G（0，﹣y），则S1=|FG|•|x|=x•（+y）=x（1+x2）；S 2=|PM|•|x﹣|=（y+）•=x•，则=，令1+2x2=t（t≥1），则== ==2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=ln（ax+）+．（1）若a＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为1？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）首先对f（x）求导，f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；利用分离参数法求出a的范围；（2）利用反证法假设a存在，则f（x）≥1在x＞0上恒成立可得a＞；利用导数判断出函数f（x）=1时，可求出参数a的值；min【解答】解：（1）对f（x）求导：f'（x）=﹣；∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f'（x）在x＞0上恒有f'（x）≥0；即：≥；∵a＞0，x＞0；∴⇒≤x2+；故x2+在x＞0上最小值为；所以：≤；解得：a≥2．（2）假设存在这样的实数a，则f（x）≥1在x＞0上恒成立，即ln（a+）+≥1；⇒ln（a+）≥＞0=ln1，解得a＞；从而这样的实数a必须为正实数，当a≥2时，由上面的讨论知f（x）在（0，+∞）上递增．f（x）＞f（0）=2﹣ln2＞1，此时不合题意，故这样的a必须满足0＜a＜2；此时：f'（x）＞0得f（x）的增区间为（）；令f'（x）＜0得f（x）的减区间为（0，）；=f（）=ln（a•+）+=1；故f（x）min整理即：ln（）﹣=0；⇒ln（）﹣=0；设t=∈（，1]；则上式即为lnt﹣=0，构造g（t）=lnt﹣，则等价于g（t）=0；由于y=lnt为增函数，y=为减函数，故g（t）为增函数；观察知g（1）=0，故g（t）=0等价于t=1，与之对应的a=1，综上符合条件的实数a是存在的，即a=1．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数最值，转化思想、分离参数法以及函数单调性等综合知识点，属中等题．22．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）把参数方程中的x，y平方相加即可得普通方程；（2）把直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，然后根据弦长公式计算即可．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），x，y平方相加可得：x2+y2=2，①（2）直线l方程为ρsin（﹣θ）+1=0化为普通方程为：x﹣y+1=0，②由②得：y=x+1，③把③带入①得：2x2+2x﹣1=0，∴，∴|AB|=|x1﹣x2|===【点评】本题主要考查参数方程和普通方程的互化以及弦长公式，属于中档题．23．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．【分析】（1）去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．（2）利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]．（2）f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．故f（a2）+f（b2）的最小值为2．【点评】本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

湖北省黄石市部分中学2021-2022学年高三下第一次测试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()3,0A -，()3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（） A ．1x ≥ B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥2．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（）A ．-2B ．2C ．1D ．-13．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．643B ．64C ．323D ．326．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（）A ．54B ．5C ．5D ．527．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（） A ．5B ．10C ．20D ．308．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10B ．9C ．8D ．79．函数2|sin |2()61x x f x x=-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a11．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲12．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．1-B ．2C ．7D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三下学期半月考数学(理)试题含答案

2021年高三下学期半月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（）（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的值是（A）3 （B）4 （C）5 （D）6（4）命题“”的否定是（A）（B）（C）（D）（5）“”是“直线与直线互相垂直”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（6）把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）（A）（B）（C）（D）（7）已知数列是等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大的是（A）18 （B）19 （C）20 （D）21（8）已知椭圆的焦点为，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为（）（A）（B）（C）（D）（9）定义在上的函数若关于的方程恰好有5个不同的实数解，则（）（A）（B）（C）（D）1（10）给出四个命题，则其中正确命题的序号为( )①存在一个△ABC，使得sin A+cos A=－1；②△ABC中，A＞B的充要条件为sin A＞sin B；③直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴；④△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC一定是等腰三角形.（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）（12）在中，AC=6，BC=7，，O是的内心，若，其中，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：（13）二项式的展开式中第四项的系数为．(14) 在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式．(15)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.(16）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ____________.三、解答题：（17）（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，且．（Ⅰ）求数列的通项公式：（Ⅱ）设，求数列的前项和．（18）（本小题满分12分）我市某学院为了调查本校学生201 1年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得数据分成以下六组：[O，5]，(5，1 O]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(I)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(Ⅱ)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及其数学期望E(Y)．（19）（本小题满分12分）17.如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）；求二面角的大小．（20）（本小题满分12分）已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切，与椭圆相交于A，B两点记（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）求的面积S的取值范围.（21）（本小题满分12分）设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）当时,求的极值点并判断是极大值还是极小值；（Ⅲ）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．:四、选做题.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线经过⊙上的点，并且⊙交直线于，，连接．（Ⅰ）求证：直线是⊙的切线；（Ⅱ）若⊙的半径为，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点，是圆锥曲线的左，右焦点（Ⅰ）以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设直线与圆锥曲线交于两点，求弦的长数学试题（理科）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（1）设数列的公比为q ，由得．由条件可知，故．由得，所以．故数列的通项式为． (2）故12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++所以数列的前项和为.（18）解:（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴． …2分∵平面，平面，∴平面．………………………… 4分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，∴∵，∴，，即，，又，∴平面． ……………………8分（19）解：（Ⅰ）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为+++⨯=⨯=， ···············································2分(0.010.020.030.09)50.1550.75∴健康上网天数超过20天的学生人数是． ·················································································································4分（Ⅱ）随机变量Y的所有可能取值为0,1,2． ·····················································5分所以Y的分布列为Y 0 1 2P分∴E（Y）=0×+1×+2×= ．·················································································· 13分（20）20. (满分12分)解：（Ⅰ）由题意知2c=2,c=1 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b=1.故a= 所求椭圆方程为3分（Ⅱ）因为直线l:y=kx+m与圆相切所以原点O到直线l的距离＝1,即：m 5分又由，（）)0( 21)21(22222)('22>-+-=+-=+-=x xb x x b x x x b x x f 当时，，函数在定义域上单调递增． 4分（2）当时有两个不同解，，,减极小值增（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且为减函数在时，)231,0()( ,0)(')231,0(+<+∈x f x f x 成立时恒有当，即恒有恒有，时，当 1 ln )1ln( 3 )11ln(10 )11(f(1) 23134111 0 3 22n n n n n nn f n n >-+≥∴+->+>∴+<≤+<<≥ 11分令函数四、．（本小题满分10分）证明：（1）如图，连接是圆的半径，是圆的切线．-------------------------------3分（2）是直径，又EBC CBD E BCD ODC OCD OCD BCD ∠=∠∠=∠∴∠=∠=∠+∠︒又,,,90， ∽，，-----------5分，∽，-----------------------7分设2)6()2(22=∴+=∴⋅=BD x x x BE BD BC --------9分．------------------------10分23．（本小题满分10分） 24．（本小题满分10分）解：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=2,3221,1321,3)(x x x x x x x f ，----------------------------------------------------------2分当当当综上所述．----------------------5分（2）易得，若，恒成立，则只需5210511221125)(22min ≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f ，综上所述．------------------------------10分38736 9750 靐21685 54B5 咵 35080 8908 褈[39907 9BE3 鯣35164 895C 襜25788 64BC 撼,39183 990F 餏25703 6467 摧38290 9592 閒•。

湖北省沙市中学2016届高三下学期第一次半月考数学(理)试题Word版含答案

第4题图2015—2016学年下学期高三年级第一次半月考理数试卷考试时间：2016年2月19日一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C.5z z ⋅=D.zi z= 2. 已知集合{}2230,A x R x x =∈--< {}1B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A. ()3,∞+B. ()1,3-C.[)3+∞，D. (]1,3-3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 3y x = B. ln y x = C.sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 21y x =-- 4. 定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S值，则55sin cos 1212ππ⎛⎫⎛* ⎪ ⎝⎭⎝的值为( )A.B. 34C.14D.5.） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,86. 设实数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列与等比数列，且1116a b ==，551a b ==，则以下结论正确的是（）A ．23a a <B ．33a b >C ．33a b <D ．23b b > 7.设集合I ={}1,2,3,4,5，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种 B.49种 C.48种 D.47种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.227B.6320C.7825 D.109359.已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线0ax by c -+=的倾斜角为（） A.4π B.3π C.23π D.34π 10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M ，延长交曲线于点N ，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（） A.B.C.D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A ． 12πB ．C ．48π D． 12. 已知函数()f x 的图像在点()()00,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈ （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g xx x -->恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0e ，上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（）A.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数()()1,422,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()3f 的值为 .14. 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 .15. 若2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式所有的系数之和为81，则直线y nx =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC++⋅的最大值是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n n a S n N =-∈.第11题图（I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA ABCD ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC求二面角A PC D --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．附表及公式20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．21.（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．（1）（i ）求证：()1g x x ≥+；（ii ）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围；第20题图（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（I ）求证：AE EB =；（II ）求EF FC ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．（I ）求点B ，C 的直角坐标；（II ）设P 是圆2C：22(1x y ++=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-．（I ）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（II ）若()|3|f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题（参考答案）一、选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、填空题, , ，三、解答题17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得 (2)分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故.………8分，数列的前项和.………12分18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证.……5分（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴， (4)分，∴，，∴平面……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则………10分∴，………11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率.……7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，………8分，………9分………10分的分布列为：.………12分20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：……………………………………3分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……………………………………作轴, 轴,是垂足,=已知，化简可得.……………………………………8分设,则，又已知,所以要证,只要证明……………………10分而所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得…………………………7分从而所以只需证即……………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得则，，…11分化得，得…………………13分12分21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（ii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴由得…8分又在中，由射影定理得. …10分23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即．……5分（2）由圆的参数方程，可设点，于是，……8分∴的范围是．……10分24．解：（1）当时，，即，即或或解得或．所以解集为．……5分（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即．……10分。

【数学】湖北省2016届高三数学下学期第一次半月考试题理

【关键字】数学2015—2016学年下学期高三年级第一次半月考理数试卷考试时间：一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. 的实部为B. 的虚部为C.D.2. 已知集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.4. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为( )A. B. C. D.5. :分）A．B．C．D．6. 设实数列和分别是等差数列与等比数列，且，，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．7.设集合=，选择的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )A．50种 B.49种 C.48种 D.47种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A. B. C. D.9.已知若则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M，延长交曲线于点N，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（）A. B. C. D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．B．C．D．12. 已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“转折点”.已知函数在上存在一个“转折点”，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数，则的值为.14. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为.15. 若的展开式所有的系数之和为81，则直线与曲线所围成的封闭区域面积为.16. 已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.（I）求数列的通项公式；(II)设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥中，直线，，（I）求证：直线平面.（II）若直线与平面所成的角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望．附表及公式20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆：经过点，且离心率等于．点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上非顶点的两点，且的面积等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作交椭圆于点，求证：．21.（本小题满分12分）已知函数，．（1）（i）求证：；（ii）设，当，时，求实数的取值范围；（2）当时，过原点分别作曲线与的切线，，已知两切线的斜率互为倒数，证明：．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（I）求证：；（II）求的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为,正三角形的顶点都在上，且，，依逆时针次序排列，点的坐标为．（I）求点，的直角坐标；（II）设是圆：上的任意一点，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）若的解集包含，求实数的取值范围.数学（理科）试题（参考答案）一、选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、填空题, , ，三、解答题17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得………2分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故 .………8分，数列的前项和.………12分18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证. ……5分（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴，.……4分，∴，，∴平面……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则………10分∴，………11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率.……7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，………8分，………9分………10分的分布列为：1 (12)分20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：……………………………………3分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……………………………………作轴, 轴,是垂足,=已知，化简可得.……………………………………8分设,则，又已知,所以要证,只要证明……………………10分而所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得…………………………7分从而所以只需证即……………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得则，，…11分化得，得…………………13分12分21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（ii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴由得…8分又在中，由射影定理得. …10分23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即．……5分（2）由圆的参数方程，可设点，于是，……8分∴的范围是．……10分24．解：（1）当时，，即，即或或解得或．所以解集为．……5分（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即．……10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

(全优试卷)湖北省高三数学下学期第一次半月考试题理

第4题图2015—2016学年下学期高三年级第一次半月考理数试卷考试时间：2016年2月19日一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i -C.5z z ⋅=D.zi z= 2. 已知集合{}2230,A x R x x =∈--< {}1B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A. ()3,∞+B. ()1,3-C.[)3+∞，D. (]1,3-3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 3y x = B. ln y x = C.sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 21y x =-- 4. 定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则5sin 12π⎛⎫⎛* ⎪ ⎝⎭⎝的值为( )34 C.14D.5. ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 6. 设实数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列与等比数列，且1116a b ==，551a b ==，则以下结论正确的是（）A ．23a a <B ．33a b >C ．33a b <D ．23b b > 7.设集合I ={}1,2,3,4,5，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种 B.49种 C.48种 D.47种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.227 B.6320C.7825 D.109359.已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线0ax by c -+=的倾斜角为（） A.4π B.3π C.23π D.34π 10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M ，延长交曲线于点N ，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（）A.B.C.D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A ． 12πB ．C ．48π D．12. 已知函数()f x 的图像在点()()00,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0e ，上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（） A.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数()()1,422,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()3f 的值为 .14. 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 .15. 若2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式所有的系数之和为81，则直线y nx =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC++⋅的最大值是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第11题图17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n n a S n N =-∈.（I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA ABCD ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC求二面角A PC D --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．附表及公式20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．第20题图21.（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()x g x e =．（1）（i ）求证：()1g x x ≥+；（ii ）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（I ）求证：AE EB =；（II ）求EF FC ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．（I ）求点B ，C 的直角坐标；（II ）设P 是圆2C：22(1x y +=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-．（I ）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（II ）若()|3|f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题（参考答案）一、选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、填空题, , ，三、解答题17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得………2分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故 .………8分，数列的前项和.………12分18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证. ……5分（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴， (4)分，∴，，∴平面……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则………10分∴，………11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率.……7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，………8分，………9分………10分的分布列为： (12)分20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：……………………………………3分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……………………………………作轴, 轴,是垂足,=已知，化简可得.……………………………………8分设,则，又已知,所以要证,只要证明……………………10分而所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得…………………………7分从而所以只需证即……………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得则，，…11分化得，得…………………13分12分21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（ii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴由得…8分又在中，由射影定理得. …10分23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即．……5分（2）由圆的参数方程，可设点，于是，……8分∴的范围是．……10分24．解：（1）当时，，即，全优试卷即或或解得或．所以解集为．……5分（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即．……10分。

湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题(含答案解析)

湖北省十七所重点中学2023届高三下学期2月第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}222,40x A x B x x =>=-<，则A B = （）A ．∅B ．{2}C ．{12}x x <<D ．{14}x x <<2．设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-3．函数21()log f x x=的导函数为（）A ．ln 2()f x x='B ．1()ln 2f x x '=C ．ln 2()f x x=-'D ．1()ln 2f x x =-'4．设复数z 满足()()()()12i 12i 412i 12i 6z z z z ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩，则z 的虚部为（）A ．12B ．12-C ．14D ．i 4-5．某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为15cm 、下底面半径为12cm 、高为25cm 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）A ．40%B ．44%C ．48%D ．52%6．已知平面非零向量,a b满足|2|a b a b ⋅=+ ，则||||a b ⋅ 的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．167．设集合(){}1210012100{1,2,,2023},,,,A S A A A A A A A ==⊆⊆⊆⊆∣ ，则集合S 的元素个数为（）A ．1002023C B ．1012023C C ．2023100D ．20231018．设随机变量(,)X B n p ，当正整数n 很大，p 很小，np 不大时，X 的分布接近泊松分布，即e ()()(N)!np inp P X i n i -=≈∈．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知0.367879e1=…）（）二、多选题9．已知递增的正整数列{}n a 的前n 项和为n S ．以下条件能得出{}n a 为等差数列的有（）A ．()2Nn S n n n *=+∈B ．()21N n S n n *=+∈C ．()22Nn n a a n *+=+∈D ．()22Nn n a a n *=∈10．已知11ln e e 10b a c a b c-+-==>，则（）A ．a b ≥B ．b c≥C ．a c ≥D ．2b a c≥+11．已知222222:(3)9,:(4)1,:(1)(4)1P x y Q x y R x y +-=-+=++-= ．点,,A B C 分别在,,P Q R 上．则（）A ．AB 的最大值为9B ．AC的最小值为2C ．若AB 平行于x 轴，则AB的最小值为4D ．若AC 平行于y 轴，则AC 的最大值为1+12．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点P ，Q 分别在正方形1111D C B A 的内切圆，正方形11C D DC 的外接圆上运动，则（）A．2PQ CD ⋅≤+B．||PQ ≥C ．π8PAQ ∠>D ．π2PAQ ∠<三、填空题13．已知多项式23401234()f x a a x a x a x a x =++++满足对任意R,(cos )2cos4cos3f θθθθ∈=+，则1234a a a a -+-=_________（用数字作答）．14．冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列{}n a 满足递推式*1*31,N ,2,N ,22n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩请写出一个满足条件的首项150a <，使得101a =，而1(1,2,,9)i a i ≠= _____________．15．设实数0a ≠，不等式e 2xax a-≥对任意实数21x ≥-恒成立，则a 的取值范围为__________．16．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e ≠C 的左右焦点分别为12,F F ，点A在椭圆C 上满足122F AF π∠=．12F AF ∠的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知2AB BD =，则e =_______．四、解答题17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为线段1AA 的中点，侧面11ABB A 的面积为．(1)若111AA A B =证明：11A C B D ⊥；(2)求三棱柱111ABC A B C -的体积与表面积之比的最大值．18．为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2…y…57.864.762.6…经计算得：()()()202020202111160,1200,80,640i i i i i i i i i x y x x x x y y ======-=--=∑∑∑∑．(1)利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．附：y 关于x 的回归方程ˆˆˆya bx =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑．19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知2c =．(1)求cos C 的最小值；(2)证明：π6C A -≤．20．设点A 为双曲线22:13y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．(1)求直线,AP AQ 的斜率之和;(2)设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．21．已知数列{}n a 满足：①对任意质数p 和自然数n ，都1n p a n =+；②对任意互质的正整数对(,)m n ，都有mn m n a a a =．(1)写出{}n a 的前6项，观察并直接写出n a 与能整除n 的正整数的个数的关系()N n *∈；(2)设数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：()5N 3n S n *<∈．22．已知直线l 与曲线2ln y x =相切于点()()200,ln e x x x>．证明：(1)l 与曲线2ln y x =恰存在两个公共点()()()2'2''000000,ln ,,ln x x x x x x <；(2)'0023e x x +>．参考答案：1．C【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}{}{}2221,4022x A x x x B x x x x =>=>=-<=-<<，A B = {12}x x <<.故选：C.2．B【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得.【详解】由题意得：sin cos 2x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ,1cos 3x = ,1sin cos 23x x π⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭,故选：B 3．D【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，10x>，即0x >，由求导公式：1log ln a x x a'=，复合函数的求导法则：设()u g x =，则()()()()'''=⋅f g x f u g x 得：()211111ln 2ln 2ln 2x f x x x x x'⎛⎫⎛⎫'=⨯=⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选：D.4．C【分析】通过解方程组求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意，()()()()12i 12i 412i 12i 6z z z z ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相加并化简得5,5z z z z +==-，所以()()()12i 12i 54z z ++--=，4i 110i z =-+，两边乘以1i 4-得51i 24z =+，所以z 的虚部为14.故选：C 5．B【分析】根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】水桶的体积为()221251π15151212π54925323⨯+⨯+⨯=⨯⨯，水的上底面半径为15122722+=，水的体积为222127272511953π1212π25322238⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以水的体积约占水桶总体积的11953π2538100%44%1π549253⨯⨯⨯≈⨯⨯.故选：B 6．C【分析】根据向量数量积的定义和关系，把|2|a b a b ⋅=+的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】设非零向量a ，b的夹角为θ.||||cos |2|0a b a b a b θ⋅==+>，所以0cos 1θ<≤，由|2|a b a b ⋅=+ 两边平方得：22222||||cos 44a b a b a b θ=++⋅，22422a b a b +≥ ，222||cos 224cos a b a b a b θθ∴≥+⋅，即2cos 44cos a b θθ≥+ ，即2224(1cos )1111441cos cos cos cos 2a b θθθθθ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≥=+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0cos 1θ<≤ ，∴11cos θ≥，即当11cos θ=时，||||a b取得最小值，最小值为8.故选：C ．7．D【分析】由每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】对每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系有以下101种：（1）123100,,,,i A i A i A i A ∈∈∈∈ ，（2）123100,,,,i A i A i A i A ∉∈∈∈ ，（3）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∈∈ ，…（101）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∉∉ ．由分步乘法计数原理，集合S 中共2023101个元素．故选：D 8．D【分析】结合题意记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，分别计算0,1,2,3t =，求解即可得出答案.【详解】记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．由题意，此时X 可看成泊松分布．则(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，则()()0.0110000.011000.95!it ti et i -+=+⎡⎤⎣⎦≥∑．由于t 很小，故大致有010.95!ti i e=≥∑．分别计算0,1,2,3t =，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故3t ≥，即103a ≥．故选：D.9．ACD【分析】用n S 与n a 的关系，计算判断A 和B ；按n 的奇偶求出n a ，再结合递增的正整数列推出11n n a a +-=判断C ；按给定条件求出数列{}12n a -的通项，再结合递增的正整数列求出n a 判断D 作答.【详解】对于A ，2n ≥时，221(1)(1)2n n S S n n n n n --=+----=，当1n =时，12a =满足2n a n =，而且N n *∈时，12n n a a +-=，则{}n a 为等差数列，A 正确；对于B ，2211(1)121n n S S n n n --=+---=-，当1n =时，12a =不满足上式，得2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，因此数列{}n a 不是等差数列，B 错误；对于C ，()22N n n a a n *+-=∈，即{}n a 为隔项等差数列，且{}n a 是递增的正整数列，则210a a ->，321220a a a a -=+->，2120a a >->，且*21N a a -∈，有211a a -=，即211a a =+，于是21112(1)121n a a n a n -=+-=-+-，2212(1)12n a a n a n =+-=-+，因此11n a a n =-+，所以{}n a 为等差数列，C 正确；对于D ，()22N n n a a n *=∈，N n a *∈，N n *∈，1222n n a a -=，即数列{}12n a -是以1a 为首项，2为公比的等比数列，11122n n a a --=，则122n n a a =，从12n a -到2n a 中间恰有1122121n n n ----=-项：11212221,,,n n n a a a --++- ，它们是递增的正整数，而112n a -到12n a 中间恰有1122121n n n ----=-个递增的正整数：11111(21),(22),,(21)n n n a a a --++- ，于是得1112(2)n n i a i a --+=+，{}11,2,,21n i -∈- ，又11122n n a a --=，122n n a a =，令112,2,N n n k i i i --=+≤∈，即有1k a ka =，又11**{|2,2,N,N }N n n k k i i i n --=+≤∈∈=，故对N n *∀∈，1n a na =，显然数列{}n a 是等差数列，D 正确.故选：ACD 10．BC【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及11ln e e 10b a c a b c-+-==>进行求解.【详解】设1ln ()x f x x +=，2ln ()x f x x'=-，当1x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；当01x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以()f x 的最大值为(1)1f =，即11ln e e 101ba c ab c-+-<==≤.因为1e 0bb->，所以0b >.设()()1e 0x g x x x -=>，()()121e 0x x g x x--'+=<，所以当0x >时，()g x 为减函数；因为(1)1g =，()1(1)g b g ≤=，所以1b ≥.由e 101c c-<≤可得11e e 1c <≤-，所以b c >，故B 正确.设()ln e 2x x x ϕ=-+，()1e x x ϕ'=-，当1e x >时，()0x ϕ'<，()ϕx 为减函数；当10ex <<时，()0x ϕ'>，()ϕx 为增函数；所以()ϕx 的最大值为10eϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ≤，即ln e 2x x ≤-.e 11ln 1e 2e 1c a a a c a a a-++--=≤=.设()e 11e x h x x x-==-，易知()h x 为增函数，由()()h c h a ≤可得a c ≥，故C 正确.因为()()1e 0xg x x x-=>为单调递减函数，1ln ()x f x x +=在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，且()g x 的图象经过()f x 图象的最高点，所以当11ln e0ba a b-+=>时，,a b 的大小无法得出，故A 不正确.令e a =，则12e e b b-=，得e 22e e e e 22b b =<⋅，易知e x y x =在()0,∞+为增函数，所以e 2b <，所以2b a c ≥+不成立，故D 不正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，ln 1,e 1x x x x ≤-≥+等.11．AB【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB 正确；将Q 沿x 轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与Q 有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，可求得AB 的最小值为4AC 的最大值为1，即CD 错误.【详解】因为22:(3)9P x y +-= 的圆心为()0,3P ，半径13r =22:(4)1Q x y -+=的圆心为()4,0Q ，半径21r =22:(1)(4)1R x y ++-= 的圆心为()1,4R -，半径31r =对于选项A ：12319AB r r PQ PQ ≤++=++=，当且仅当,,,A B P Q 四点共线时取到等号，故A 正确；对于B ：因为2PR =<，所以两圆内含，则312AC PR ≥--=-,,,A C P R 四点共线时取到等号，故B 正确．对于C ：试想一个将Q 向左平移的过程，使得平移后的圆与Q 有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，如下图所示：当Q 平移到1Q （图中虚线位置）时与P 相切，此时1AB QQ =，易知13,4,4OP PQ OQ ===，所以1OQ ==所以14AB QQ ==，故C 错误；同理如下图所示：当 R 平移到1R （图中虚线位置）时与P 相切，作1,AM R N 垂直于y 轴，,PD AC RE AC ⊥⊥，所以1134AM PA PM R N PR PN ===，所以3,4AM DP AD PM ====1,14RE CE DE ===，所以114AC AD DE EC =++=+=+AC的最大值为1可得D 错误.故选：AB 12．AB【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.【详解】以A 为原点，1,,AD AA AB为x ，y ，z轴正向建立空间直角坐标系．设点(1cos ,2,1sin ),(2,1,1)P Q ααββ++，()()2,0,2,2,0,0C D ，()0,0,2CD =-，()1cos cos sin sin PQ αββα=--- ，A：2(sin )2PQ CD αβ⋅=≤+B：2222||(1cos )1)sin )52cos PQ αββαα=-+-+-=--sin βαβ-5β≥-，记t β=，22||555PQ t ≥-≥-=-=，故正确；C ：取11C D 的中点M ，AM 穿过一侧的外接圆，取11A B 的中点M '，则AM '不穿过，故必存在点P ，使得AP 经过外接圆，设公共点为Q ，此时,,P A Q 共线，故不正确；D：假设成立，则2(1cos )2(1)(1sin )(1)0AP AQ αβαβ⋅=+++++>恒成立，取5π,π4αβ==，则0AP AQ ⋅= ，即π2PAQ ∠=，故不正确．故选：AB.【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键.13．1【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.【详解】解：由题意得：(cos )2cos 4cos3f θθθ=+()222cos 21cos cos 2sin sin 2θθθθθ=-+-22224(2cos 1)2cos (2cos 1)2sin cos θθθθθ=--+--42324(4cos 4cos 1)22cos cos 2(1cos )cos θθθθθθ=-+-+---423316cos 16cos 22cos cos 2cos 2cos θθθθθθ=-++--+23423cos 16cos 4cos 16cos θθθθ=--++，由23401234()f x a a x a x a x a x =++++可知：012342316416a a a a a =⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪=⎪⎩12343(16)4161a a a a ∴-+-=---+-=.故答案为：114．12或13（写出一个即可）【分析】由递推公式，结合101a =及条件1(1,2,,9)i a i ≠= ，依次逆推出981,,,a a a ⋅⋅⋅即可.【详解】因为*1*31,N ,2,N ,22n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩101a =，所以若9a 为偶数，则91022a a ==，若9a 为奇数，则109103a a -==与已知矛盾；故92a =；所以若9a 为偶数，则8924a a ==，若8a 为奇数，则981133a a -==与已知矛盾；故84a =；所以若7a 为偶数，则7828a a ==，若7a 为奇数，则87113a a -==与已知矛盾；故78a =；所以若6a 为偶数，则67216a a ==，若6a 为奇数，则761833a a -==与已知矛盾；故616a =；所以若5a 为偶数，则56232a a ==，若5a 为奇数，则56153a a -==；故532a =或55a =；余下推导用图表示可得：()()()()512128256326485214284124816802040510133612⎧⎧⎧⎪⎪⎪←←⎨⎪←←⎪⎨⎪⎩⎪⎪←←⎪⎪⎩←←←←←⎨⎧⎪⎧⎪←←⎪⎪⎨←←⎨⎪⎪⎩⎪⎪←←⎩⎩舍舍舍舍故答案为：12或13（写出一个即可）.15．⎛ ⎝⎦【分析】分析可知令0x =，得03a <，证明对任意的a ⎛∈ ⎝⎦，不等式e 2x ax a -≥恒成立即可，构造函数()e 2x g a ax a=--调性分段证名即可.【详解】解：令0x =，得0a <下证：对任意的a ⎛∈ ⎝⎦，不等式e 2x ax a -≥恒成立．令()e 2xg a ax a=-①当0x >时，()g a 单调递减，所以()x g a g x ≥=-⎝⎭令e x t =，则ln x t =，则只需证明()0t ϕ=-在()0,∞+上恒成立由()3t tϕ='()t ϕ'单调递增，且(1)0ϕ'=，故()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ≥=成立；②当102x -≤<时，122e e 212xa x --≥=，()g a 单调递减，()x g a g x ≥=⎝⎭由①可知()t ϕ在1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()(0)(1)0t ϕϕϕ>>=成立．综上，得证a ⎛∈ ⎝⎦．故答案为：⎛ ⎝⎦.16【分析】根据题意，作图，计算得20AF a ex =-，10AF a ex =+，再设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，得到()20,0T e x ，进而得到直线AB 的方程，再得到D 点，利用2AB BD =，得到B 点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.【详解】由点A 在椭圆C 上，且122F AF π∠=，设点()()000,,A x y a x a -<<，且1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1AF ===0a ex =+，同理20AF a ex =-，设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，可知111011sin 4522AF T S AF AT FT y =⋅⋅=⋅⋅ △，222011sin 4522AF T S AT AF F T y =⋅⋅=⋅⋅ △，202110a ex T c m F m c a x AF T AF e F --=++∴==，解得，20m e x =，得()20,0T e x ．可得直线()()20020:1y AB y x e x e x =--．进而可得202(0,)1e y D e -⋅-，由2AB BD =，可得()2002(13)(,)331x y e B e ⋅--，设AB 中点为M ，则023M x x =．()2002223,331x e M y e ⎛⎫-⎪ ⎪-⎝⎭，点差法的结论，证明如下：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，M 为AB 中点，故22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，又由1202x x x +=，1202y y y +=，可整理得，()()01201222220x x x y y y a b--+=，最后化简得，20122012y y y b x x x a-⋅=--，进而得到，2221OM ABb k k e a=-=-，得()()2202222023121e y e e x-=--．因为122F AF π∠=，所以2221200+0F A A F x y c ⋅=-= ，联立222220022+0+1x y c x y a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得()4202222202b y c a c b x c ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以()()2224022*******e y b x e a c b -==--，故()222231221e e e -=--，解得e =故答案为：2．17．(1)证明见解析(2)18【分析】（1）取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，证明1CH B D ⊥得到1B D ⊥平面1ACH ，得到证明.（2）计算)23S t =+，38t V =，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，111A AH A B D ≅，111AA H A B D ∠=∠，则1AH B D ⊥．1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，故1AA CH ⊥，CH AB ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11A B BA ，故CH ⊥平面11A B BA ，1B D ⊂平面11A B BA ，故1CH B D ⊥．又1A H CH H = ，1,A H CH ⊂平面1ACH ，故1B D ⊥平面1ACH ．而1AC ⊂平面1ACH ，故11A C B D ⊥．（2）设0AB t =>，表面积)212332S t t =⨯⨯⨯+=+，体积21328tV t =⨯==．18VS=≤=+，当且仅当t等号成立．18．(1)ˆ836y x=+(2)（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）(3,60)【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k，分别求出12,k k，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.【详解】（1）解：6012003,602020x y====,ˆˆ6408,60243680b a===-=，故回归方程为ˆ836y x=+；（2）解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k，x关于y的线性回归方程为()()()111121ˆˆˆ,ni iiniix x y yx a b yyby==--=+=-∑∑()()()()()()202021112202021111ˆ,ˆi i ii ii i ii ix x y y y yk b kbx x x x y y====---==-=--∑∑∑∑，则()()(()220211202022211i iii ii ix x y yk rk x x y y===⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--∑∑∑，r为y与x的相关系数，又12||1,,0r k k≤>，故121kk≤，即12k k≤，下证：12k k≠，若12k k=，则||1r=，即836(1,2,,20)i iy x i=+= 恒成立，代入表格中的一组数据得：58.18 2.736≠⨯+，矛盾，故12k k<，即前者斜率小于后者；（ⅱ）注意到，两直线都过()x y，且12k k<，故公共点仅有(3,60)．19．(1)12-(2)证明见解析【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cos C 的最小值.（2）结合正弦定理、基本不等式求得1sin()2C A -≤，进而证得π6C A -≤.【详解】（1）由余弦定理，22222cos 122a b c ab c C ab ab +--=≥=-当且仅当a b =，即::a b c =（2）方法一：当C A ≤时，π06C A -≤<．当C A >时，设线段AC 的中垂线交AB 于点D ．()222222222,2cos c a c b b cAD DB c AD A b c a b c a-===-=+-+-．在CDB △中，由正弦定理，sin sin()B CD ADC A DB DB==-．22222AD b DB ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当,2a a a b =-=时等号成立.故sin 1sin()22B C A -≤≤，由（1）cos 102C ≥->．故π02C A C <-<<．则π6C A -≤．方法二：由正弦定理，22sin sin sin sin )C A A B A -=-．由二倍角公式，221sin sin (cos 2cos 2)2S C A A C =-=-．而1[cos()cos()]sin()sin()2S A C A C A C A C C A C A =-++----=-+，故22sin 1sin()sin 22B BC A B ⎛⎫⎪⎝⎭-==≤，当且仅当sin sin ,sin sin ,22A B A A B a b =-==时第一个等号成立.由（1）cos 102C ≥->，故π02C A C <-<<．则π6C A -≤．20．(1)3-(2)512-【分析】（1）平移，利用齐次化的方法求解（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为2AP AQ AR =⋅，求出R 的坐标，最后直线PR 的斜率用,AP AQ 的斜率表示，即可求解【详解】（1）由题知(1,0)A -.由于平移不改变斜率,作平移变换1x x y y ''=+⎧⎨=⎩.则A 点的坐标变为(0,0)A ,点(1,2)-的坐标变为(0,2)双曲线C 方程变为()22113y x ''--=,即22203y x x '''--=①设点(),x y ''与A 点连线的斜率为k ,则yk x''=.①式两边同除以2x ',得221103y x x '''⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即212103k x '+-=②由题知,直线PQ 不过点(0,0)A ,所以设直线:1PQ mx ny ''+=因为直线PQ 过点(0,2)P ,所以21n =,即12n =,所以1:12PQ mx y ''+=所以11122y m m k x x '''⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,代入(2)得212103k k m ++-=方程的两根即为AP ,AQ 的斜率,由韦达定理123k k +=-所以直线AP ,AQ 的斜率之和为3-（2）(2)设AP 斜率为1,k AQ 斜率为2k 联立221203y x x y k x ''⎧--=='''⎪⎨⎪⎩,得1221166,33k P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.联立222203y x x y k x ''⎧--=='''⎪⎨⎪⎩,得2222266,33k Q k k ⎛⎫ --⎝⎭.由APQ ARP ∠=∠可知,AP 为PQR 外接圆的切线,且2AP AQ AR =⋅设()2,R r k r ()()()221222222136161,33k k rAP AQ AR k k ++=⋅=--所以()()()2212222213616133k k rk k ++=--即()()()22122222161133k k rk k ++=--,即()()()()22122221261331k k r k k +-=-+()()()()()()()()221211222222211212212222122112613663313661363331PQk k k k k k r k k k kk k k r kkk k +-----+-==+------+()()()()()()()()221221221222122212133113131k k k k k k k k k k +---+=+---+()()()()()()()()()()()2222222221211212121212222222121212133********k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +---+-+++-==+---+-()()()2222221212121212121223152654121212k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===≤-+--当121231k k k k +=-⎧⎨=-⎩时取等所以,直线PR 的斜率的最大值为512-【点睛】关键点点睛：本题的关键是条件APQ ARP ∠=∠的等价转化，需要运用初中学习的弦切角定理.另外就是对含有1k ，2k 这个式子的处理，运算量很大，分子展开后还需要因式分解，最终转化为21k k ⋅的二次函数问题.21．(1){}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4；n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．(2)证明见解析【分析】（1）根据题意赋值可得{}n a 的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论；（2）方法一：由（1）得出**1,N 221,N 22n n na n n +⎧∉⎪⎪≤⎨⎪+∈⎪⎩，然后分2n k =和21n k =-两种情况进行证明即可；方法二：设1112121222111111222222n n n T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222n n n n ⋅⋅⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ ，利用不等式的放缩即可求解.【详解】（1）令0n =，则1011a =+=；令2,1p n ==，则2112a =+=；令3,1p n ==，则3112a =+=；令2,2p n ==，则4213a =+=；令5,1p n ==，则5112a =+=；令2,3m n ==，所以6234a a a ==，所以{}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4．观察归纳可知，n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．（2）方法一：由（1），因为大于2n 小于n 的数不被n 整除，故**1,N 221,N 22n n na n n +⎧∉⎪⎪≤⎨⎪+∈⎪⎩当2n k =为偶数时，212342121123142112111222222222222k k k k k S -++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222311321312122kk ⋅⋅+⋅++=+++⋅ 244311321314k k ⋅+⋅++=+++122344444142424314333334444k-⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅+⋅+ ⎪ ⎪-=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14444(1)3344k k k k +⎛⎫+++ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭144(1)515333443kk k +++=--<⋅．21n k =-为奇数时，21253k k S S -<<，得证．方法二：设1112121222111111222222n n n T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222n n n n ⋅⋅⋅⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ ．先说明()N n n S T n *≤∈．n T 中为1(1,2,,)2kk n = 的项数恰为(1,)ij k i j n =≤≤的正整数解数k a ，故1212222n n n na a a T S ≥+++= ．再证()5N 3n T n *<∈．1n =时，11523T =<成立；2n ≥时，221212111111111222111222111222n n n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪=+++⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111212121n <+++--- 211111322n -⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭ 121511323n -⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭．22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将原函数与切线方程作差构造函数，证明该函数有2个零点即可；（2）将原问题转化为均值不等式，利用（1）所构造的函数特性求解.【详解】（1）'2ln x y x=，所以在()200,ln x x 处的切线方程为()200002ln ln x y x x x x =-+，令()2200002ln ()ln ln x f x x x x x x =---，则原问题转化为()f x 存在2个零点：'00,x x ，并且'00x x ＜，'02ln 2ln ()x x f x x x =-令()()'002ln 2ln x x h x f x x x ==-，则()'2(1ln )x h x x-=，显然()h x 在(0,e)递增，(e,)+∞递减，0e x ＞，∴()()0e 0h h x =＞，02ln (1)0x h x =-<，故存在唯一的1(1,e)x ∈，使得()()'110,()f x h x f x ==在()10,x 递减，()10,x x 递增，()0,x +∞递减，并且()222000002000002ln 2ln 111ln ln 10x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞，()()2201110002ln ln ln x f x x x x x x =---，()'00111110101002ln ln 2ln ln ln 0,ln x x x x x f x x x x x x x x =-=∴== ，()222201110001010002ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln ln x x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=---=--+ ⎪⎝⎭()()1010ln ln ln ln 2x x x x =-+-，1010,ln ln 0x x x x ∴- ＜＜，下面证明10ln ln 2x x +＞：令11ln t x =，则101t ＜＜，00ln t x =，则01t ＞，由于0110ln ln x x x x =，即0101e e t t t t=，考察函数()e t t p t =，则()'1e tt p t -=，当1t ＞时单调递减，01t ＜＜时单调递增，()11e p =，并且当0t ＞时，()0p t ＞，()p t的图像大致如下图：下面证明极值点偏移问题：令()()()222e ett t tk t p t p t --=--=-()1t ＞，()()2'2e e 1e t t k t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21,2,e e 0t tt t t -∴-- ＞＞＞，()'0k t ＜，()k t 是减函数，()()10k t k =＜，∴102t t +＞，即10ln ln 2x x +＞，()10f x ∴＜，由于()00f x =，()f x 的大致图像如下图：故存在()''00001,,0x x f x x ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，并且只有当'0x x ＜时，()＞0f x ，当'0x x ＞时()0f x ≤；（2）先证明2'300e x x >，即3'020e x x >，由（1）的结论知，只需证明320e 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即332200022000e 2ln e ln ln 0x x x x x x ⎛⎫---> ⎪⎝⎭，即23333322000003333300000e e e e e ln ln ln 2ln 1ln 2ln ln 2ln 10x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞，整理，只需()()()300030031ln 3ln e 1e 2ln x x x x x --->->，令0ln 1t x =>，即证()()33313e 12t t t t----，即333(1)(3)()e 112t t t t t ϕ---⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦，333'29e (1)()0,()2t t t t tϕϕ--=>在(1,)+∞递增()(1)1t ϕϕ>=，得证．由均值不等式：'''0000000,23e x x x x x x x ∴+=++＞＞，故0023e x x '+>．【点睛】本题难度很大，先要将公共点问题转化为零点问题，在判断()1f x 的符号的时候需要用到极值点偏移的知识，在草图上画出()'f x 的图像，在判断出()f x 的图像，并且只有当'0x x ＜时，()f x 才大于零这个图形特征，才能在第二问中运用基本不等式.。

湖北省沙市中学高三数学下学期第一次半月考试题理

第4题图2015—2016学年下学期高三年级第一次半月考理数试卷考试时间：2016年2月19日一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B.z 的虚部为2i - C.5z z ⋅= D.zi z= 2. 已知集合{}2230,A x R x x =∈--< {}1B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（） A. ()3,∞+ B. ()1,3-C.[)3+∞，D. (]1,3-3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 3y x =B. ln y x =C.sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 21y x =-- 4. 定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则5sin 12π⎛⎫⎛* ⎪ ⎝⎭⎝的值为( )34 C.14 D.5. ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 6. 设实数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列与等比数列，且1116a b ==，551a b ==，则以下结论正确的是（）A ．23a a <B ．33a b >C ．33a b <D ．23b b >7.设集合I ={}1,2,3,4,5，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种 B.49种 C.48种 D.47种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （*,,,a b cd ∈N ），则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（） A.227 B.6320 C.7825 D.109359.已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线0ax by c -+=的倾斜角为（）A.4πB.3πC. 23πD. 34π 10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M ，延长交曲线于点N ，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（）A.B.C.D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A ． 12πB ．C ．48π D． 12. 已知函数()f x 的图像在点()()00,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈ （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0e ，上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（） A.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数()()1,422,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()3f 的值为 .14. 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 .15. 若2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式所有的系数之和为81，则直线y nx =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC++⋅的最大值是______ 第11题图三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n n a S n N =-∈.（I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P A B C D -中，直线P A A B C D ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC求二面角A PC D --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．附表及公式20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．21.（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()x g x e =．（1）（i ）求证：()1g x x ≥+；（ii ）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（I ）求证：AE EB =；（II ）求EF FC ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．（I ）求点B ，C 的直角坐标；（II ）设P 是圆2C：22(1x y ++=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-．（I ）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（II ）若()|3|f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围.第20题图数学（理科）试题（参考答案）一、选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、填空题, , ，三、解答题17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得………2分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故 .………8分，数列的前项和.………12分18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证. ……5分（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴，.……4分，∴，，∴平面……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则………10分∴，………11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示) 设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率.……7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，………8分，………9分………10分的分布列为：.………12分20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：……………………………………3分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……………………………………作轴, 轴,是垂足,=已知，化简可得.……………………………………8分设,则，又已知,所以要证,只要证明……………………10分而所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得…………………………7分从而所以只需证即……………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得则，，…11分化得，得…………………13分12分21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（ii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴由得11 …8分又在中，由射影定理得. …10分23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即． ……5分（2）由圆的参数方程，可设点，于是， ……8分 ∴的范围是． ……10分 24．解：（1）当时，，即，即或或解得或．所以解集为． ……5分（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即． ……10分。

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第4题图第一次半月考理数试卷考试时间：2016年2月19日一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数12z i =+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）A. z 的实部为1-B. z 的虚部为2i - C.5z z ⋅= D.zi z= 2. 已知集合{}2230,A x R x x =∈--< {}1B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为（）A. ()3,∞+B. ()1,3-C.[)3+∞，D. (]1,3-3. 下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（）A. 3y x = B. ln y x = C.sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. 21y x =-- 4. 定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则5sin 12π⎛⎫⎛* ⎪ ⎝⎭⎝的值为( )34 C.14D.5. ） A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,8 6. 设实数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列与等比数列，且1116a b ==，551a b ==，则以下结论正确的是（）A ．23a a <B ．33a b >C ．33a b <D ．23b b > 7.设集合I ={}1,2,3,4,5，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有( )A ．50种 B.49种 C.48种 D.47种8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ），则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A.227B.6320C.7825 D.109359.已知()sin cos ,f x a x b x =-若,44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则直线0ax by c -+=的倾斜角为（） A.4π B.3π C.23π D.34π 10. 过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M ，延长交曲线于点N ，其中有一个共同的焦点，若，则曲线的离心率为（）A.B.C.D.11. 某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A ． 12πB ．C ．48π D． 12. 已知函数()f x 的图像在点()()00,x f x 处的切线方程():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈ （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0e ，上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（）A.21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 21,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数()()1,422,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+<⎩，则()3f 的值为 .14. 已知抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离为5，则PFO ∆的面积为 .15. 若2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式所有的系数之和为81，则直线y nx =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 .16. 已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则2AC AB BC AB AC AB AC++⋅的最大值是______三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*23n n a S n N =-∈.第11题图（I ）求数列}{n a 的通项公式；(II)设n n a b 2log =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）如右下图，在四棱锥P ABCD -中，直线PA ABCD ⊥平面，//,AD BC AB AD ⊥，224=4.BC AB AD BE ===（I ）求证：直线DE ⊥平面PAC .（II ）若直线PE 与平面PAC所成的角的正弦值为55，求二面角A PC D --的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（I ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（II ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（III ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．附表及公式20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点62,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，N M ,是椭圆C 上非顶点的两点，且OMN ∆的面积等于2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点A 作OM AP //交椭圆C 于点P ，求证：ON BP //．21.（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．第20题图xyMNBO A P（1）（i ）求证：()1g x x ≥+；（ii ）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥，()1h x ≥时，求实数a 的取值范围；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（I ）求证：AE EB =；（II ）求EF FC ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2ρ=,正三角形ABC 的顶点都在1C 上，且A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的坐标为(2,0)．（I ）求点B ，C 的直角坐标；（II ）设P 是圆2C：22(1x y ++=上的任意一点，求22||||PB PC +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||2|f x x a x =++-．（I ）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（II ）若()|3|f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题（参考答案）一、选择题1-6 C A D C C B 7-112 B A D D B D二、填空题, , ，三、解答题17.解（Ⅰ）当时，由①，得②，①-②即得………2分,而当时，，故………3分，因而数列是首项为公比为的等比数列，其通项公式为.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,故 .………8分，数列的前项和.………12分18.法一（Ⅰ）取中点，连接，则，∴四边形是平行四边形，∴//∵直角△和直角△中，∴直角△直角△，易知∴………2分又∵平面∴……4分，而∴平面.得证. ……5分（Ⅱ）由△△，知，∵∴，设交于，连接，则是直线与平面所成的角，，∴，而故.……7分.作于，由，知平面，∴，∴是二面角的平面角.……9分∵△△，∴，而∴∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为……12分（其他方法酌情给分）法二：（Ⅰ）∵平面∴又∵，故可建立建立如图所示坐标系……1分.由已知，，，（）∴，，∴， (4)分，∴，，∴平面……6分（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，∴，∵∴，即………8分设平面的一个法向量为，，由，∴，令，则………10分∴，………11分显然二面角的平面角是锐角，∴二面角的平面角的余弦值为………12分（其他方法可酌情给分）19.解：(Ⅰ)由表中数据得的观测值所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分(Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为(如图所示)设事件为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为………5分由几何概型即乙比甲先解答完的概率.……7分(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种可能取值为，，………8分，………9分………10分的分布列为： (12)分20. 解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：……………………………………3分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……………………………………作轴, 轴,是垂足,=已知，化简可得.……………………………………8分设,则，又已知,所以要证,只要证明……………………10分而所以可得……………………………………12分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得…………………………7分从而所以只需证即……………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入得则，，…11分化得，得…………………13分12分21. 【解析】（1）（i）令，则时，时，所以，即;-----------------2分（ii），．①当时，由（1）知，所以，在上递增，恒成立，符合题意．------------------4分②当时，因为，所以在上递增，且，则存在，使得．所以在上递减，在上递增，又，所以不恒成立，不合题意．综合①②可知，所求实数的取值范围是．------------------6分（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得-------9分令，则，在上单调递减，在上单调递增．若，因为，，所以，而在上单调递减，所以．若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）．综上可知，．------------------12分22．解：（Ⅰ）由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理得……2分,另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得故. ……5分（Ⅱ）连结，∵BC为圆O直径，∴由得…8分又在中，由射影定理得. …10分23．解：（1）点的坐标为，即；点的坐标为，即．……5分（2）由圆的参数方程，可设点，于是，……8分∴的范围是．……10分24．解：（1）当时，，即，即或或解得或．所以解集为．……5分（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，……8分即在上恒成立，即．……10分。

湖北剩州中学高三数学1月质量检测试题理

7.已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y 3x 上，则sin （2 ）（） 3大，则该直线的方程为（） A . x y 2 0 B . y 1 0 9•《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中，不知大小 •以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）•已知弦AB=1尺，弓形高C[=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）5（注：1 丈=10 尺=100 寸， 3.14 , sin22.513A . 60 0立方寸B . 610立方寸C . 620立方寸D . 633立方寸10.已知代B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心）， AOB 120，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点.MN 是圆0的一条直径，则 CM *CN 的取值范围是（）值是（）A. 3 43 10 4 33 C 3 43 D 4 3.3 10 10 10 8.过点P （1,1）的直线，将圆形区域｛（x,y ）|x 2 y 24｝分两部分，使得这两部分的面积之差的绝对值最x 3y 4 03A . [ 4，0) .[1,1) C. [2,1) .[1,0)11.若平面区域 2x y 2y0夹在两条斜率为0 1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小B. C. 322 D.12.已知常数e 2.71828 ，定义在0,上的函数f x满足：2f x6,条件，则实数a 的取值范围是Hn 2n 1，记数列｛a n kn ｝的前n 项和为&，若S n Ss 对任意的正整数n 恒成立，则实数k 的取值范围是 ____________ .三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 12 分)已知 f(x) n xcosx 3cos 2 x — 2 2 4(I)求y f (x)的最小正周期T 及单调递增区间；5(n)在锐角 ABC 中，角代B,C 的对边分别为a,b,c ，若f(A) -,a 1，求 ABC 面积的最大值.4 18. (本小题满分12分)已知数列 a n 的前n 项和S n 3n 2 8n , b n 是等差数列，且a . b n b n 1. (I)求数列 b n 的通项公式；n 1(n)令q (瞥^，求数列G 的前n 项和T n .1 1 9 2、.2e '其中 f x 表示f X 的导函数. 若对任意正数a, b 都有 x 3 f( ) x 1 4a2 1 ab 2 2 e b 32A . ,0 U 6,B .2,6C 、填空题 :(本大题共 4小题, 每小题 5分.)i.如图，已知 CAB 45 , ACB 15 , ,0 U4,AC 6，CD 7，则BD14.已知 p: a 4 x a 4,q: x 215. 3过点M ( 3,乙)且被圆x 2 y 225截得弦长为8的直线的方程为 16. a 2 a对于数列｛an ｝，定义Hn 1 2— n 2n 1a -为｛a n ｝的“优值” .现在已知某数值则实数x 的取值范围是( )136,(2 b n)n19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PCD 底面ABCD , PD CD ,E为PC的中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD , ADC 90 ,AB AD PD 2, CD 4.(I)求证：BE//平面PAD ；否会波及游轮的航行，并说明理由.(I)当a 0,b 3时，求函数f x 的单调区间；(n)若x a 是f x 极大值点.(i) 当a 0时，求b 的取值范围；(ii) 当a 为定值时，设x 「X 2,X 3是f x 的3个极值点•问：是否存在实数b ，可找到实数x 4使得 X 1,X 2,X 3,X 4的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的 b 的值及相应的X 4 ；若不存在，说明理由请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. (本小题满分10分)选修4—4:极坐标与参数方程x 2 2cos已知在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为 '为参数，在极坐标系(与直角y 2sin ,坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 的方程为sin( -) 2 2 .(I)求曲线C 在极坐标系中的方程；(n)求直线l 被曲线C 截得的弦长.23. (本小题满分10分)选修4— 5:不等式选讲已知函数 f(x) |2x 1| |x| 2.(n)设Q 为棱PC 上一点，CQCP ,试确定的值使得二面角 Q BD P 为45, • 20.(本小题满分12分)如图, OM ON 是两条海岸线, Q 为大海中一个小岛,A 为海岸线OM 上的一个码头.已知tanMON3 , OA6 km ,0到海岸线OMON(n)若小岛正北(其中0 a—).强水波开始生成时，一游轮以 518 2 km/h 的速度自码头 A 开往码头B,问强水波是21.(本小题满分12分)函数f x 2 x x a x b e a,b R(I)解不等式f(x) 0 ；x ，使得f (x) |x| a ，求实数a 的取值范围．(n)若存在实数0.f (x)周期T5 ,(k Z)则 k 12题号 1 2 答案 C B 13. 3 14. 3 4 5 6 7 C A C D C [2,5] 15. x 3 0或3 4y 荆州中学高三年级1月质量检测数学卷参考答案 8 9 10 11 12 A D A B A 16 7 15 0 16 [，—] 7 3 12. 简解：由2 f (x) f (x ) —，可得 2e 2x f (x) e e 2x f (x) e x x [e 2x f(x)]，令 g(x) e 2x f(x)，所以，f (x) g (x) 2g(x) e\ x 2g(x) e x 1 2x ，易知 u 2仮 1 %) 2x e 2x e u e\ x 2g(x),则所以， f(x)在(0,)单调递减, 原不等式即 x17.解: I )f(x) 仝 sin(2x 25 所以y f(x)单调增区间为［— 12 k ，石 k],(k Z). 由f(A) 4可得A 舌，所以cos A =斗3 由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2— 2bc cos A , 可得 1+〔■' 3bc = b 2 + c 2 >2 bc , 即bc w 2+〔；3，且当b = c 时等号成立， ......... 1 2+ ;3 2+ ；3 因此;;bc sin Ac ------ 」.所以△ ABC 面积的最大值为一，2 4 410 分. 12分 218.解：(I )因为数列 a n 的前n 项和S n 3n 8n ,所以 a 1 11，当 n 2时，a n S n S n 1 3n 2 8n 3(n 1)2 8(n 1) 6n 5,令一2k 2x22k又a n 6n 5对n 1也成立，所以a n 6n 5 •又因为b n 是a n b n bh 1 20 d •1时, 2b1 11 d ;当n 2 时，2b2 17 d ,解得3，所以数列b n的通项公式为b na n(6n 6)n(3n 3)n(3n 3) 2n 1,是T n 6 222312 24(3n 3) 2n 1,两边同乘以2,得2T n 6 2324(3n) 2* 1 (3n 3) 2n两式相减，得T n 6 2223242* 1 (3n 3) 2n223 22(1 2n)(3n 3) 2n 2T n 12 3 22(1 2n) (3n 3) 2n n 23n 219. 解：（I ）令PD中点为F , 连接EF , …占4 八'、E,F分别是PC、PD的中点，1 EF // CD , EF // AB .-2 -四边形FABE为平行四边形.BE//AF , 又AF 平面PAD BE 平面PAD , BE//面PAD .（n）以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x, y,z轴，建立空间直角坐标系（如图），则P(0,0, 2), C(0,4,0) A(2,0,0) B(2,2,0) ■/CQ CP BQ BC CQ BC CP ( 2,2,0) (0, 4,2)( 2,2 4 ,2 ),DB (2,2,0),设平面QBD的法向量为(x, y, z)，则n*DB 0 且nBQx (1 2 )y z 0 —,平面QBD 的一个法向量为n（1, 1,乙丄）.又BC DB, BC PD ，所以BC ( 2,2,0) 为平面PBD的一个法向量，由20.解：(I)以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系如图所示.(H)设试验产生的强水波圆P,由题意可得P (3, 9),生成t小时时，游轮在线段AB上的点C处，则_ 1AC 18 2t,0< t w ，所以C 6 18t, 18t .若强水波不会波及游轮的航行即21PC2r2对t 0, 恒成立•2即PC2(18t23)2 2(1& 9) r 9 at , .......... 10分当t0时恒成立；当t 0时, 即t0, 1时， a 72t 10 48 .令g(t) 72t 10148, t 0, ,2 t t2g(t)1048> 24 J5 48，当且仅当t —0,1时等号成立，所以当0 a 24.5 48 时t 6 2r PC恒成立，由于0 a 2424 5 48，所以强水波不会波及游轮的航行. ……12分21.解：(I)当a 0,b 3时，f x x2x 3 e x x3 2 x3x e ,f X3x26x e x e x x33x2e x x36x Xxe x 6 x 6当X,6时，f x , f x单调递减；当X6,0 时，f x 0, f x单调递增; 当X0, 6时，f x , f x单调递减；当x . 6,时，f x0, f x单调递增.故函数 f x的单调递增区间为6,0 , 6,，单调递减区间为6 , 0, 6cos45 |cos BC,n | 1,所以2 2 .则由题设得：A 6,0，直线ON的方程为y 3x，Q X o, 3 X o 0,3X o 3 6 10由一0，解得X o 3，所以Q 3,3 . ................ 2分尿5故直线AQ的方程为y x 6，由3x,得x6 0得y3,9,J\1 *: 广：即 B 3, 9，故AB 3 6 2 92 9 2 ,答：水上旅游线AB的长为9 2 km.5分(n)(i)当§ a0时,f x xx x b e ,f x2x x b x e xx e x xe x b xe x 3 b x2b ,令g x 2 x3bx2b,22b38b b 1 80,故g x 0有两根，,，不妨设当与有个为零时，x a0不是f x的极值点，故与均不为当0或0时，x a 0是函数f x的极小极点, 不合题当时，x a 0是函数f x的极大值••，即b ,/• b•b的取值范围为（,0).(ii) f x e x x a x23 a b x 2b ab a，令g1 x x2 3 a b x2b ab a ,3 a b24 2b ab a 2 .2a b2ab2a 2b92a b 2 a b 1 82a b 18 0 ,因此，g1 x0有两根^,x2,不妨设x1X2 , 又因为x a 为极大值点，所以f x的三个极值点分别为x a x2，且x a x2，则X| ,a, x?是x-!, x2, x3的一个排列其中ab3jab1?8 ab3jab「8X1 2 ，X22①若x1, a, x2或x2,a,x1成等差数列即x1x2 a ,即a a 3 b也即b a 3时有：2x1 a x4或2x2 a x4，所以x4 2x1 a a b 3 ； a b 8 a a 2、、6，或x42x2a a b 3 a b 1 28 a a 2.6 ；②右x1,a,x2不成等差数列，则需：x2 a 2 a x1或a X12 x2 a ,当x2 a 2 a为时，X4a X23a2x1 x23 a b 3 厂2 ，于是2 ，即3 a b 3，故a b3时，a2b 19a b 1 17 0 ,,, 97此时a b 1 b a2 211X4 a x222a a b 3 3 a b 3-------------------------------------- a同理当a X i 2 x2 a 时,7 ,13a ------------ X4综上所述: b a 3 时,X422.解: 即x2用时，x42(I)曲线C的普通方程为(x 2)22x cos 2y 4x 0，将代入方程x2y sin4x 0化简得 4 cos所以，曲线C的极坐标方程是 4 cos(n) •直线l的直角坐标方程为x由x y 4x 0,得直线i与曲线x y 4, C的交点坐标为(2,2),(4,0)，所以弦长OA 10分23.解：(I )①当x 1时,22x 2 x 3，所以x 3;1,2x0 时，2x10分所以为以x 1 .综合①②③不等式的解-,由绝对2值的几何意义，12。