上海市金山区2018届高三数学上学期期末质量监控试题2-含答案

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2018届高三数学上学期期末教学质量检测试题

上海市浦东新区2018届高三数学上学期期末教学质量检测试题注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1. 集合{}1,2,3,4A =,{}1,3,5,7B =，则A B =I ________.2. 不等式11x<的解集为_________. 3. 已知函数()21f x x =-的反函数是1()f x -，则1(5)f -=_________.4. 已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r，则向量在向量的方向上的投影为_________.5. 已知是虚数单位，复数满足()11z ⋅=，则z =__________. 6. 在5(21)x +的二项展开式中，的系数是_________.7. 某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为______________.8. 已知函数()y f x =是定义在上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，若(1)(4)f a f +≤，则实数的取值范围是______________.9. 已知等比数列11,1,93L ，前项和为，则使得2018n S >的的最小值为_______. 10. 圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则此圆锥的表面积为_______________.11. 已知函数()()sin 0f x x ωω=>，将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+.如果存在实数，使得对任意的实数，都有()()()1h m h x h m ≤≤+成立，则的最小值为_________.12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，M N 、是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点满足：2OP OM ON =-uu u r uuu r uuu r，直线OM 与直线ON 斜率之积为.已知平面内存在两定点12F F 、，使得12PF PF -为定值，则该定值为____________.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. 若实数x y R ∈、，则命题甲“44x y xy +>⎧⎨>⎩”是命题乙“22x y >⎧⎨>⎩”的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 14.已知ABC ∆中，2A π∠=，1AB AC ==，点是AB 边上的动点，点是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u r u u r的最小值为（）A ．B ．C ．D ．15. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =L 为自然对数的底数，k b 、为常数）.若该食品在00C 的保鲜时间是192小时，在022C 的保鲜时间是小时，则该食品在033C 的保鲜时间是( )小时．A ．B ．C ．D ．16. 关于的方程2sin(cos )0x arc x a ++=恰有3个实数根123x x x 、、，则222123x x x ++=（）．A ．B ．C ．22πD ．22π三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17. （本题满14分，第1小题7分，第2小题7分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11A A =.（1）求异面直线1BC 与1CD 所成的角; （2）求三棱锥1B D AC -的体积.。

2018届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)

2018届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．关于、的二元一次方程组的系数行列式为（） A ．B ．C ．D ．2．设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件（）A ．充分必要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．非充分非必要 3．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，则关于的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 5．已知集合，集合，则________6．计算： 31lim 1n n ∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.7．已知函数，则函数的最小正周期是_______. 8．已知，若与平行，则______.9．过点的直线的方向向量，则的方程为_________.10．已知，则_________.11．若直线与直线之间的距离是，则_________.12．设数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，(,)n n P n a 满足1(1,2)n n P P +=，且124a a +=，则数列11{}n n a a +的前n 项和n S 为__________.13．如果定义在上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的序号是_______．14．设为的反函数，则的最大值为_______.15．对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_________．16．已知a R ∈，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是__________．三、解答题 17．已知在等比数列中，，且是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n 项和．18．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求的面积；（2）求的值．19．中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为500万元, 每生产x 台,需另投入成本()C x (万元), 当年产量不足80台时,()21402C x x x =+ (万元); 当年产量不小于80台时()81001012180C x x x=+- (万元), 若每台设备售价为100万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20．已知函数定义域是，且，，当时，．（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由．21．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（1）①前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由．②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值．（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得()*n n n a b c n N =+∈成立，请给出你的结论，并说明理由．2018届上海市金山中学高三上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式，故选C.2．B【解析】【分析】根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【详解】都是不等于的正数，，，即或解得或或，根据充分必要条件的定义可得“”是“”的充分非必要条件故选【点睛】本题考查了对数函数的性质以及充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是要分类讨论。

2018届上海市金山区高三第一学期(一模)期末质量监控数学试题(解析版)

2018届上海市金山区高三第一学期（一模）期末质量监控数学试题一、单选题1．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）A．或B．C．D．或【答案】D【解析】椭圆的焦点在x轴上∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0解得m＞2或m＜﹣1又∵2+m＞0∴m＞﹣2∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1故答案为：D。

2．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的（）．A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】B【解析】试题分析：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件；故选B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.3．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】利用欧拉公式和诱导公式进行计算即可得出答案．【详解】e2018i＝cos2018+i sin2018，∵2018＝642π+（2018﹣642π），2018﹣642π∈，∴cos2018＝cos（2018﹣642π）＜0．sin2018＝sin（2018﹣642π）＞0，∴e2018i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了欧拉公式、诱导公式以及复数的有关概念，考查推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知函数，则方程（）的实数根个数不可能为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】A【解析】以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x+﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论．【详解】∵函数，即f（x）＝，因为当f（x）＝1时，x＝1或3或或﹣4，则当a＝1时，x+﹣2＝1或3或或﹣4，又因为x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时只有一个x＝﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．二、填空题5．已知集合，，则___【答案】【解析】对集合A和集合B取交集即可得到答案.【详解】，,则,故答案为：.【点睛】本题考查集合的交集运算.6．抛物线的准线方程是______【答案】【解析】试题分析：开口向右，所以它的准线方程为x=-1【考点】本题考查抛物线的标准方程点评：开口向右的抛物线方程为，准线方程为7．计算：______【答案】【解析】分子分母同时除以n,计算可得极限.【详解】＝＝故答案为:.【点睛】本题考查型极限问题，解题的关键是合理地选取公式．8．不等式的解集为________【答案】【解析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可.【详解】由，得，解得故答案为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力.9．若复数（为虚数单位），________【答案】【解析】利用复数的乘法运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可得到答案.【详解】=7+i,则，故答案为:.【点睛】本题考查复数的模的概念和复数的四则运算，属于基础题.10．已知函数，则_______【答案】【解析】由反函数定义令f（x）＝5，求出x的值即可．【详解】由反函数定义，令，得＝4，则x＝24＝16，∴f﹣1（5）＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查反函数的性质与应用问题，是基础题．11．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______【答案】【解析】答案：解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

2018年金山区高考数学二模含答案

2018年金山区高考数学二模含答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．函数y=3sin(2x +3π)的最小正周期T = ． 2．函数y =lg x 的反函数是．3．已知集合P ={x | (x+1)(x –3)<0}，Q ={x | |x | > 2}，则P ∩Q = ． 4．函数xx y 9+=，x (0，+∞)的最小值是． 5．计算：1111lim[()]2482n n →∞+++⋯+= ． 6．记球O 1和O 2的半径、体积分别为r 1、V 1和r 2、V 2，若12827V V =，则12r r = ． 7．若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是．8．若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是．9．(1+2x )n 的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ．10．平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x+ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = ．11．已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________． 12．若sin 2018α–(2–cos β)1009≥(3–cos β–cos 2α)(1–cos β+cos 2α)，则sin(α+2β)=__________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若向量=(2, 0)，=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．(A) ⋅=1 (B) ||=||b (C) (-)⊥ (D) ∥14．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧θ=θ=sin 3cos 5y x (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是( )．(A)(4, 0) (B) (0, 4) (C) (5, 0) (D) (0, 3)15．如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图序号是( )．(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4) 16．若对任意1(,1)2x ∈-，都有221xx x-+=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…，则32a a +的值等于( )． (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)1-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD 平面ABCD ，PD =8．(1) 求PB 与平面ABCD 所成角的大小； (2) 求异面直线PB 与DC 所成角的大小．18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)复数2)i 2321(-=z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n R )的一个根． (1) 求m 和n 的值；(2) 若(i)m n u u z ++=(u C )，求u ．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知椭圆Γ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x =4于M 、N 两点，记M 、PA BCD 第17题图(1)(2)(3)(4)几何体N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ．(1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1, y 1表示) ，并判断y M y N 是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2． (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列； (2) 求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有12k k a ta t+-<-成立，求t 的取值范围．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)若函数y=f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g (x )=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ，n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围； (3) 已知函数f (x )=(x –a )2 (a <34)在定义域[34，4]上为“依赖函数”．若存在实数x [34，4]，使得对任意的t R ，有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立，求实数s 的最大值．金山区2017学年第二学期质量监控高三数学评分标准一、填空题1．π；2．y=10x ；3．{x |2<x <3 }[ 或(2, 3) ]；4．6；5．1；6．23； 7．m ≠ 2；8．；9．5；10．{–1，0，–2}；11．2；12．1．二、选择题13．C ；14．A ；15．A ；16．B17．(1)连BD ，因为PD 平面ABCD ，则PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，…3分在△PBD 中， tan PBD =322， PBD =arctan 322， ……………………6分 PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan322；………………………………7分 (2)因为AB ∥DC ，所以PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角，……………10分因为PD 平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥PA ，在Rt △PAB 中，PA=10，AB=6，tan PBA =35，PBA=arctan 35，……………13分异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan35．…………………………………14分 18．(1)因为z=2)i 2321(-=i 2321--，所以122z =-+，……………………3分由题意知：z 、z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n R )的两个根，由11((22111(2222n m m⎧-=--+-⎪⎪⎨⎪=---+⎪⎩，……………………………………………5分解之得：11m n =⎧⎨=⎩，………………………………………………………………………7分(2)设u=c+d i(c,d R )，则(1+i)(c –d i)+(c+d i)=i 2321--，2c +d +c i=i 2321--…11分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+23212c d c ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=32123d c ，…………………………………………………13分所以u =i )213(23-+-．…………………………………………………………14分 19．(1)设直线AB 方程为(1)y k x =-，……………………………………………1分联立22(1)143y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………2分因为11(,)A x y 、22(,)B x y ，且2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………………………4分又11(,)P x y --，所以k PB =12121212(1)(1)34y y k x k x x x x x k +-+-==-++， ……………6分(2)又直线PA 的方程为11y y x x =，则114M yy x =，…………………………………8分由题意可知，111y k x =-，直线PB 的方程为y+y 1=113(1)4x y --(x+x 1)，…………10分则11113(1)(4)4N x x y y y -+=--，……………………………………………………11分2211143x y +=，y M y N =2111113(1)(4)4x x y x x -+--=22111134912x y x x ++--=–9，综上，乘积y M y N 为定值–9．………………………………………………………14分 20．(1) 由a n +1=21a n +2，所以a n +1–4 =21( a n –4 )，………………………………………2分且a 1–4=–2，故数列{a n –4}是以–2为首项，21为公比的等比数列；………………4分(2) 由(1)题，得a n –4=–21)21(-n ，得2142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，…………………………………6分于是2114223142n n m m --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当m ≥4时，211421142n n mm --⎛⎫-- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭，无解，………7分因此，满足题意的解为11m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩或32m n =⎧⎨=⎩；…………………………9分(3) 解：① 当k =1时，由322tt-<-，解得0<t <1或2<t <3，………………………10分 ② 当k ≥2时，21423n n a -⎛⎫=- ⎪⎭≥⎝，故分母0n a t ->恒成立，从而，只需a k +1–t <2(a k –t )对k ≥2，k ∈N *恒成立，即t <2a k –a k +1对k ≥2，k ∈N *恒成立，故t <(2a k –a k +1)min ，…………………………………………………………………………13分又1112432k k k a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故当2k =时，1min 5(2)2k k a a +-=，所以52t <，综上所述，t 的取值范围是(0,1)∪(2,25)．………………………………………16分 21．(1) 对于函数g (x )=2x 的定义域R 内任意的x 1，取x 2= –x 1，则g (x 1)g (x 2)=1，且由g (x )=2x 在R 上单调递增，可知x 2的取值唯一，故g (x )=2x 是“依赖函数”；……………………………………………………………4分 (2) 因为m >1，f (x )=(x –1)2在[m ，n ]递增，故f (m )f (n )=1，即(m –1)2(n –1)2=1，………5分由n >m >1，得(m –1) (n –1) =1，故1mn m =-，…………………………………………6分由n >m >1，得1<m <2，……………………………………………………………………7分从而211211m mn m m m ==-++--在(1,2)m ∈上单调递减，故(4,)mn ∈+∞，…9分 (3) 因43a <，故2()()f x x a =-在4[,4]3上单调递增，从而4()(4)13f f ⋅=，即224()(4)13a a --=，进而4()(4)13a a --=，解得1a =或133a =(舍)，………………………………………………………………13分从而，存在4[,4]3x ∈，使得对任意的t ∈R ，有不等式22)41)((t t x s x ≥-+-+-都成立，即22(302)t xt x s x ++-+≥-恒成立，由22(4[]02)3x s x x -+-∆=-≤，……15分得24(2)312x x s ≤-+，由4[,4]3x ∈，可得4(2)123xs x ≤-+，又123y x x =-在4[,4]3x ∈单调递增，故当4x =时，max1239x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而4()92s +≤，解得14s ≤，故实数s 的最大值为14．…………………………18分。

[推荐学习]2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题

上海市虹口区2018届高三数学上学期期末教学质量监控试题（时间120分钟，满分150分）一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1．函数()lg(2)f x x =-的定义域是．2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则(1)(0)(1)f f f -++= ． 3．首项和公比均为12的等比数列{}n a ，n S 是它的前n 项和，则lim n n S →∞= ．4．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若::2:3:4a b c =，则c o s C = ．5．已知复数(,)z a bi a b R =+∈满足1z =，则a b ⋅范围是．6．某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．已知M 、N 是三棱锥P ABC -的棱AB ，PC 的中点，记三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥N MBC -的体积为2V ，则21V V 等于________. 8．在平面直角坐标系中，双曲线2221x y a-=的一个顶点与抛物线212y x =的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆ 的面积等于__________．10．设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两点，若2MNF ∆的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=________.11．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列n P ()n N *∈在直线AC 上，且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+⋅，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = ．MCBAP12．设2()22xf x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数(())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为．二．选择题（每小题5分，满分20分）13．异面直线a 和b 所成的角为θ，则θ的范围是（）.A (0,)2π.B (0,)π .C (0,]2π.D (0,]π14．命题：“若21x =，则1x =”的逆否命题为（）.A 若1x ≠，则1x ≠或1x ≠- .B 若1x =，则1x =或1x =- .C 若1x ≠，则1x ≠且1x ≠- .D 若1x =，则1x =且1x =-15．已知函数20()(2)0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(1)(2)(3)(2017)f f f f ++++=（）． .A 2017 .B 1513 .C 20172 .D 3025216．已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =．在三角形所在的平面内有两个动点M和N ，满足2AM =，MN NC =，则BN 的取值范围是（）.A ⎡⎣.B []4,6.C ⎡⎣ .D三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC PC AB a ====，PA AB ⊥，AC AB ⊥，M 为AC 的中点．（1）求证：PM ⊥平面ABC ；（2）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小．CBAQ PD C BA18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知函数())cos(2)2f x x x πωπω=-+-，其中x R ∈，0ω>，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在[0,]2x π∈的最大值和最小值．19．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km ，宽为1km 的矩形，矩形两边AB ，AD 紧靠两条互相垂直的路上．现要过点C 修一条直线的路l ，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P 和Q ．（1）设AQ x =（km ），将APQ ∆的面积S 表示为x 的函数；（2）求APQ ∆的面积S （2km ）的最小值．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.）已知平面内的定点F 到定直线l 的距离等于(0)p p >，动圆M 过点F 且与直线l 相切，记圆心M 的轨迹为曲线C ．在曲线C 上任取一点A ，过A 作l 的垂线，垂足为E . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）记点A 到直线l 的距离为d ，且3443p pd ≤≤，求EAF ∠的取值范围；（3）判断EAF ∠的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题4分，第（2）小题7分，第（3）小题7分.）已知无穷数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，14a =.（1）如果22a =，且对于一切正整数n ，均有221n n n a a a ++⋅=，求n S ；（2）如果对于一切正整数n ，均有1n n n a a S +⋅=，求n S ；（3）如果对于一切正整数n ，均有13n n n a a S ++=，证明：31n a -能被8整除．lFEAMCBAP答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、(,2)-∞；2、0；3、1；4、14-； 5、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 6、18； 7、14； 8、13y x =±； 9； 10、4； 11、11()2n n a -=-； 12、(0,0)，(1,0)；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、C ； 14、C ； 15、D ； 16、B ；三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1）PAC ∆为等边三角形，M 为AC 的中点，∴PM AC ⊥．………………2分又PA AB ⊥，AC AB ⊥，且P AA C A ⋂=，∴BA ⊥平面PAC ．…………4分又PM 在平面PAC 内，所以BA PM ⊥．…………6分AB AC A ⋂=，且B A P M ⊥，PM AC ⊥，∴PM ⊥平面ABC ．…………7分（2）连结BM ．由（1）知PM ⊥平面ABC ，∴PBM ∠是直线PB 和平面ABC 所成的角．…9分PAC ∆为等边三角形，∴PM =. PAB ∆为等腰直角三角形，且2PAB π∠=，∴PB =．PM BM ⊥，∴sin PBM ∠==arcsin 4PBM ∠= ．……13分∴直线PB 和平面ABC所成的角的大小等于14分 18、（14分）解：（1）())cos(2)cos 2sin()26f x x x x x x ππωπωωωω=-+-=+=+……………………3分Q PDC BA由2ππω=，且0ω>，∴2ω=．………………4分∴()2sin(2)6f x x π=+由222262k x k πππππ-≤+≤+，解得36k x k ππππ-≤≤+，∴单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．……………………7分（2）由02x π≤≤，得72666x πππ≤+≤.∴262x ππ+=，即6x π=时，取得最大值2．…………11分∴7266x ππ+=，即2x π=时，取得最小值1-．…………14分 19、（16分）解：（1）QDC ∆∽CBP ∆，∴QD DCCB BP=．又1QD x =-，1CB =，2DC =，∴121x BP -=，21BP x ∴=-．………………………5分212(2)(1)211APQx S x x x x ∆∴=⋅+=>--………………7分（2）设10,t x =->222(1)2112(0)1APQx t t t S t t x t t t∆+++====++>-……………………………10分 112,24APQ t S t t t∆+≥∴=++≥当且仅当1,t =即2x =时，APQ S ∆取得最小值42km ．……………………………14分20、（16分）解：（1）过点F 与l 垂直的直线为x 轴，x 轴与直线l 的交点为G 点，以,G F 的中点为原点建立直角坐标系．设M (,)x y ，M 到定点F 与到定直线l 的距离相等，:,(,0)22p p l x F =-||2p x ∴+=化简得：22(0)y px p =>…………………………………………4分（2）设00(,),A x y 0(,0),(,)22p pF E y - 000(,0),(,),22p pAE x AF x y ∴=--=--……………………6分220000220000()()2242cos 1||||||()2222p p p px x x x AE AF p EAF AE AF x x x x -----⋅∴∠=====-++++……8分02pd x =+，cos 1p EAF d∴∠=-,3411,cos 1[,]4334p p p d EAF d ≤≤∴∠=-∈- ∴11arccos arccos()43EAF ≤∠≤-．……………………10分（3）设00(,),A x y 0(,0),(,)22p pF E y -，0(,)EF p y =-.由AE AF =，得EAF ∠的平分线所在的直线方程就是EAF ∆边EF 上的高所在的直线方程．……………………12分∴EAF ∠的平分线所在的直线方程为000()()0p x x y y y ---=．由0002()()02p x x y y y y px---=⎧⎨=⎩，消x 得220002220y y y px y --+=．2002y px =，∴2200044(22)0y px y ∆=--+=．∴EAF ∠的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点．………………16分21、（18分）解：(1) 数列{}n a 的各项均为正数，由221n n n a a a ++⋅=，得211n n n na a a a +++=， ∴数列{}n a 是等比数列，公比2112a q a ==，从而314[1()]128()1212n n n S --==--．………4分 (2) 由1n n n a a S +⋅=得121n n n a a S +++⋅=，两式相减得121()n n n n a a a a +++-=，此数列各均为正数，∴21n n a a +-=，∴数列{}21n a -和数列{}2n a 均是公差为1的等差数列．由1211a a S a ⋅==，得21a =．……………………6分当n 为偶数时，13124()()n n n S a a a a a a -=+++++++21114(1)(1)2222222224n n n n n n n n =⋅+⋅⋅-++⋅⋅-=+当n 为奇数时，22111117(1)2(1)24244n n n n S S a n n n n +++=-=+++-=++ ∴2217244124n n n n S n n n ⎧++⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，为奇数，为偶数．…………………………11分 (3) 由13n n n a a S ++=得1213n n n a a S ++++=，两式相减得213n n n a a a ++=+.14a =，得121133a a S a +==，28a =．321328a a a =+=以下证明：对于n N *∈，32n a -被8除余数为4， 31n a -被8整除，3n a 被8除余数为4.…………13分当1n =时，14a =，28a =，328a =，命题正确．假设()n k k N *=∈时，命题正确，即32184k a m -=+，3128k a m -=，3384k a m =+其中1m N ∈，23,m m N *∈．那么，31331323233(84)88(31)4k k k a a a m m m m +-=+=++=+++，3231m m ++为正整数，∴31k a +被8除余数为4．3231333133313233(3)1038(1035)k k k k k k k k a a a a a a a a m m ++--=+=++=+=++．321035m m ++为正整数，∴32k a +能被８整除．3332313133131333133(3)1033310k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ++++++-=+=++=+=+ 328(331016)4m m =+++．32331016m m ++为正整数，∴33k a +被8除余数为4．即1n k =+时，命题也正确．从而证得，对于一切正整数n ，31n a -能被８整除．………………18分。

2018年12月上海市金山区高三数学一模卷答案

金山区2018学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．}6,5{；2．1-=x ；3．32；4．)1,31(；5．25；6．16； 7．31；8．210；9．(2, 4)；10．2π；11. )52,(-∞∪),2(∞+；12．31．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．D ； 14．B ； 15．A ； 16．A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1) ∵⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π， 3π=∠PBA ．…2分因为2=AB ，所以PA =4分114233P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯，即三棱锥ABC P -的体积为2．…7分 (2) 连结PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //，所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角，………………………………8分又13=PN ，1=MN ，15=PM ，……………………………………11分cosPMN ∴∠==PMN ∠=13分即异面直线PM 与AC 所成角的大小为1015arccos．……………………………14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：(1)角α的终边经过点(P -,21sin =α,cos α=,tan α=，…3分sin 1si cos tan tan cos 12n αααααα=∴-=．………………………………6分 (2) ∵f (x )=cos(x+α)cos α+sin(x+α)sin α=cos x (x ∈R )，………………………………8分2cos(2)2cos 21cos 22sin(2)126y x x x x x ππ∴=-+=++=++，…11分 ∴当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+(k ∈Z )时，max 3y =．…………………14分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)解：(1))1(log )(21+=-x x f ，(x >–1)………………………………………………2分不等式为)13(log )1(log 42+≤+x x ，⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+∴13)1(013012x x x x ……………………4分解得]1,0[,10=∴≤≤D x ．……………………………………………………………6分 (2))10(113log 21)1(log 21)13(log )(224≤≤++=+-+=x x x x x x H ，……………8分 )123(log 21)(2+-=∴x x H ，…………………………………………………………10分当]1,0[∈x 时，123+-x 单调递增，)(x H ∴单调递增，…………………………12分 ]21,0[)(∈∴x H ，因此当]21,0[∈a 时满足条件．…………………………………14分 20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：(1) 1222=+x y ；……………………………………………………………………4分 (2) 设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA 22)(22+++-=a a x ，]1,1[-∈x ，…………………………………………………6分令22)()(22+++-=a a x x f ，所以，当1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ；…………9分所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ．…………………………………………10分；(3) 当10<<a 时，)22,(2a a P -±，)1(22121a a S -=,2222+=a S ，…12分若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ，…13分 22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ，所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81．…………………………………16分． [另解]由1S ≤2mS ，得m ≥12S S ，而12S S ==2222(1)12)84(1a a a ++-=，当且仅当2221a a =-，即a =12max 18S S ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. 从而m ≥18 ，故m 的最小值为18.21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)(1) 解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分 (2) 对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222m m n +<<+，故222m m m b =-,m ∈N *，…………………………………………………………6分 S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ， ………………………………8分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得2l 5.3og m >≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分 (3) 1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234AA A A =<<< 而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分。

上海市金山中学2018届高三数学上学期期中试题

金山中学2017学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则AB = .2. =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .3.已知函数()sin 22f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是 . 4.已知)1,(),2,1(m ==，若与平行，则m = .5. 过点()3,1A -的直线l 的方向向量()1,2e =，则l 的方程为 .6. 已知1111()1232f n n n n n=+++++++，则()+=+k f k f )1( . 7. 若直线1:20(0)l x y m m -+=>与直线2:30l x n y +-=之间的距离是，则m n += .8.设数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，(,)n n P n a 满足1(1,2)n n P P +=，且124a a +=，则数列11{}n n a a +的前n 项和n S 为__________.9. 如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①1y x =+；②21y x =+；③1+=xe y ；④⎩⎨⎧=≠=00||ln x x x y ，其中“H 函数”的序号是． 10. 设1()fx -为()cos ,[0,]488x f x x x p p p =-+?的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为_______.11.对于数列{}n a ，定义1122...2n na a a Hn n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n Hn +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________．12. 已知a R ∈，函数4()f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414.设,a b 都是不等于1的正数，则“1>>b a ”是“log 3log 3a b <”的什么条件 ( )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A ．2-B ．32-C ． 43-D ．1-16.已知函数())20172017log 20172x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为（）A .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C.()0,+∞ D.(),0-∞三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n N =-+∈，求{}n b 的前n 项和n S ．解：18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2=-b a ，4=c ，B A sin 2sin =．（1）求△ABC 的面积S ；（2）求)2sin(B A -的值．解：19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台,需另投入成本()C x (万元)，当年产量不足80台时,()21402C x x x =+ (万元)；当年产量不小于80台时()81001012180C x x x=+- (万元)，若每台设备售价为100万元，通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数)(x f 定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈≠R x Z k kx x ,,2，且0)2()(=-+x f x f ，)(1)1(x f x f -=+，当121<<x 时，xx f 3)(=．（1）证明：)(x f 为奇函数；（2）求)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛--21,1上的表达式；（3）是否存在正整数k ，使得⎪⎭⎫⎝⎛++∈12,212k k x 时，k kx x x f 2)(log 23-->有解，若存在求出k 的值，若不存在说明理由．解：21. （本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．（1）①前n 项和为2n nS =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n N ∈成立，请给出你的结论，并说明理由．金山中学2017学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷答案（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.已知集合，集合，则.2. .13.已知函数，则函数的最小正周期是 .4.已知，若与平行，则.5. 过点的直线的方向向量，则的方程为 .6. 已知，则 .7. 若直线与直线之间的距离是，则.08.设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前项和为__________.9. 如果定义在R上的函数满足：对于任意，都有，则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③；④，其中“函数”的序号是．①③10. 设为的反函数，则的最大值为________.11.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_________．12. 已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值范围是___________．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 关于、的二元一次方程组的系数行列式为（ C ）A. B. C. D.14. 设都是不等于1的正数，则“”是“”的什么条件 ( B )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ B ）A．B．C．D．16.已知函数，则关于的不等式的解集为（ A ）A . B. C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知在等比数列中，，且是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．解：（1）设公比为，则，，∵是和的等差中项，∴，，解得或（舍），∴．（2），则．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，．（1）求△的面积；（2）求的值．解：（1）因为，所以由正弦定理得，又，故，，所以，因为，所以．所以．（2）因为，，所以，，，因为，所以为锐角，所以（或由得到，）．所以，．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？解:（1）当时,;当时,,.（2）当时,, 此时, 当时,取得最大值, 最大值为1300.(万元)；当时, , 当且仅当,即时, 最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数定义域是，且，，当时，．（1）证明：为奇函数；（2）求在上的表达式；（3）是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由．解：(1),所以的周期为2，所以,所以为奇函数．（2）因为，所以当时，．（3）任取所以不存在这样的，使得时，有解．21.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．解:（1）①∵，作差法可得，当时，；当时，，存在，使得∴数列是“回归数列”．②∵，∴前项和，根据题意∵一定是偶数，∴存在，使得∴数列是“回归数列”．（2），根据题意，存在正整数，使得成立即，，，∴，即．（3）设等差数列总存在两个回归数列，使得………9分证明如下：数列前项和，时，；时，；时，为正整数，当时，．∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”数列前项和存在正整数，使得，∴是“回归数列”，所以结论成立．本文档仅供文库使用。

上海市金山区高三数学下学期质量监控(二模)试题

上海市金山区2018届高三数学下学期质量监控（二模）试题(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1．函数y=3sin(2x +3π)的最小正周期T = ． 2．函数y =lg x 的反函数是．3．已知集合P ={x | (x+1)(x –3)<0}，Q ={x | |x | > 2}，则P ∩Q = ． 4．函数xx y 9+=，x (0，+∞)的最小值是． 5．计算：1111lim[()]2482n n →∞+++⋯+= ． 6．记球O 1和O 2的半径、体积分别为r 1、V 1和r 2、V 2，若12827V V =，则12r r = ． 7．若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m 的取值范围是．8．若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是．9．(1+2x )n的二项展开式中，含x 3项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = ． 10．平面上三条直线x –2y +1=0，x –1=0，x+ky =0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = ．11．已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =________． 12．若sin2018α–(2–cos β)1009≥(3–cos β–cos 2α)(1–cos β+cos 2α)，则sin(α+2β)=__________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若向量=(2, 0)，=(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．(A) a b ⋅=1 (B) |a |=||b (C) (a b -)⊥b (D) a ∥b14．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧θ=θ=sin 3cos 5y x (θ为参数)，则它的两个焦点坐标是( )．(A)(4, 0) (B) (0, 4) (C) (5, 0) (D) (0, 3)15．如图几何体是由五个相同正方体叠成的，其三视图中的左视图序号是( )．(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4) 16．若对任意1(,1)2x ∈-，都有221xx x -+=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…，则32a a +的值等于( )． (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)1-三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是边长为6的正方形，PD 平面ABCD ，PD =8． (1) 求PB 与平面ABCD 所成角的大小； (2) 求异面直线PB 与DC 所成角的大小．18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)复数2)i 2321(-=z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、n R)的一个根． (1) 求m 和n 的值；(2) 若(i)m n u u z ++=(u C)，求u ．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知椭圆Γ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Γ交于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x =4于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ．(1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1, y 1表示) ，并判断y M y N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2． (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列； (2) 求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有12k k a ta t+-<-成立，求t 的取值范围．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分)若函数y=f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．(1) 判断函数g (x )=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；(2) 若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ，n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；(3) 已知函数f (x )=(x –a )2 (a <34)在定义域[34，4]上为“依赖函数”．若存在实数x [34，4]，使得对任意的t R ，有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立，求实数s 的最大值．参考答案一、填空题1．π；2．y=10x；3．{x |2<x <3 }[ 或(2, 3) ]；4．6；5．1；6．23； 7．m ≠ 2；8．0.6；9．5；10．{–1，0，–2}；11．2；12．1．二、选择题13．C ；14．A ；15．A ；16．B17．(1)连BD ，因为PD 平面ABCD ，则PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，…3分在△PBD 中，PBD =322， PBD =arctan 322， ……………………6分 PB 与平面ABCD 所成的角的大小为arctan322；………………………………7分 (2)因为AB ∥DC ，所以PBA 就是异面直线PB 与DC 所成的角，……………10分因为PD 平面ABCD ，所以AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ，所以AB ⊥PA ，在Rt △PAB 中，PA=10，AB=6，tan PBA =35，PBA=arctan 35，……………13分异面直线PB 与DC 所成角的大小为arctan35．…………………………………14分 18．(1)因为z=2)i 2321(-=i 2321--，所以122z =-+，……………………3分由题意知：z 、z 是一元二次方程mx 2+nx+1=0(m 、nR)的两个根，由11((22111(22n m m⎧-=-+-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，……………………………………………5分解之得：11m n =⎧⎨=⎩，………………………………………………………………………7分 (2)设u=c+d i(c,d R)，则(1+i)(c –d i)+(c+d i)=i 2321--，2c +d +c i=i 2321--…11分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+23212c d c ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=32123d c ，…………………………………………………13分所以u =i )213(23-+-．…………………………………………………………14分 19．(1)设直线AB 方程为(1)y k x =-，……………………………………………1分联立22(1)143y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y ，得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………2分因为11(,)A x y 、22(,)B x y ，且2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，………………………………4分又11(,)P x y --，所以k PB =12121212(1)(1)34y y k x k x x x x x k +-+-==-++， ……………6分(2)又直线PA 的方程为11y y x x =，则114M yy x =，…………………………………8分由题意可知，111y k x =-，直线PB 的方程为y+y 1=113(1)4x y --(x+x 1)，…………10分则11113(1)(4)4N x x y y y -+=--，……………………………………………………11分2211143x y +=，y M y N =2111113(1)(4)4x x y x x -+--=22111134912x y x x ++--=–9，综上，乘积y M y N 为定值–9．………………………………………………………14分 20．(1) 由a n +1=21a n +2，所以a n +1–4 =21( a n –4 )，………………………………………2分且a 1–4=–2，故数列{a n –4}是以–2为首项，21为公比的等比数列；………………4分(2) 由(1)题，得a n –4=–21)21(-n ，得2142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，…………………………………6分于是2114223142n n m m --⎛⎫-- ⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当m ≥4时，211421142n n mm --⎛⎫-- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭，无解，………7分因此，满足题意的解为11m n =⎧⎨=⎩或21m n =⎧⎨=⎩或32m n =⎧⎨=⎩；…………………………9分(3) 解：① 当k =1时，由322tt-<-，解得0<t <1或2<t <3，………………………10分 ② 当k ≥2时，21423n n a -⎛⎫=- ⎪⎭≥⎝，故分母0n a t ->恒成立，从而，只需a k +1–t <2(a k –t )对k ≥2，k ∈N *恒成立，即t <2a k –a k +1对k ≥2，k ∈N *恒成立，故t <(2a k –a k +1)min ，…………………………………………………………………………13分又1112432k k k a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故当2k =时，1min 5(2)2k k a a +-=，所以52t <，综上所述，t 的取值范围是(0,1)∪(2,25)．………………………………………16分 21．(1) 对于函数g (x )=2x的定义域R 内任意的x 1，取x 2= –x 1，则g (x 1)g (x 2)=1，且由g (x )=2x在R 上单调递增，可知x 2的取值唯一，故g (x )=2x是“依赖函数”；……………………………………………………………4分 (2) 因为m >1，f (x )=(x –1)2在[m ，n ]递增，故f (m )f (n )=1，即(m –1)2(n –1)2=1，………5分由n >m >1，得(m –1) (n –1) =1，故1mn m =-，…………………………………………6分由n >m >1，得1<m <2，……………………………………………………………………7分从而211211m mn m m m ==-++--在(1,2)m ∈上单调递减，故(4,)mn ∈+∞，…9分 (3) 因43a <，故2()()f x x a =-在4[,4]3上单调递增，从而4()(4)13f f ⋅=，即224()(4)13a a --=，进而4()(4)13a a --=，解得1a =或133a =(舍)，………………………………………………………………13分从而，存在4[,4]3x ∈，使得对任意的t ∈R ，有不等式22)41)((t t x s x ≥-+-+-都成立，即22(302)t xt x s x ++-+≥-恒成立，由22(4[]02)3x s x x -+-∆=-≤，……15分得24(2)312x x s ≤-+，由4[,4]3x ∈，可得4(2)123xs x ≤-+，又123y x x =-在4[,4]3x ∈单调递增，故当4x =时，max1239x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而4()92s +≤，解得14s ≤，故实数s 的最大值为14．…………………………18分。

详解及答案：上海市金山区2018高三下学期质量监控(二模)数学试题(解析版)

，，Q则={Px∩||xQ|>=2_}_______．
【答案】{x|2<x<3 }[ 或(2, 3) ] 【解析】
因为 P={x | (x+1)(x − 3) < 0} = (−1,3),Q = {x x 2或x < −2} )，所以 P ∩ Q = （2,3) ，故填{x|2<x<3 }[或(2, 3).
sinα = ±1
α =kπ + π
cos β = 1
，所以
2
β = 2nπ
所以α + β =（k + n)π + π , (k, n ∈ Z ) ,所以 sin(α + β ) = ±1 ，故填±1.
2
2
2
点睛：本题首先要通过化简处理，注意观察式子中 2 − cos β ，右边配凑为
2 − cos β + sin2 α , 2 − cos β + cos2 α −1 = 2 − cos β − sin2 α ，利用平方差公式，可化简为
【点睛】本题考查了直线方程与直线的位置关系应用问题,意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
11.已知双曲线 C
x2
：
9
−
y2 8
= 1，左、右焦点分别为 F1, F2 ，过点 F2 作一直线与双曲线 C 的右半支交于 P
、两Q点，
使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ 的内切圆的半径 r =________．【答案】2
rr ∴ a 与 b 不平行，故 D 错误．
综上所述．
故选 C ．
4
x = 5cosθ
14.椭圆的参数方程为
y
=

上海市金山区高三数学上学期期末质量监控试题

上海市金山区2018届高三数学上学期期末质量监控试题(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．若全集U =R ，集合A ={x |x ≤0或x ≥2}，则U A = ．2．不等式01<-xx 的解为． 3．方程组⎩⎨⎧=+=-532123y x y x 的增广矩阵是． 4．若复数z =2–i （i 为虚数单位），则z z z +⋅= ．5．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|PF 2|的最大值是_______． 6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =2x +y 的最大值为．7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )= （结果用最简分数表示）．8．已知点A (2，3)、点B (–2，3)，直线l 过点P (–1，0)，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是．9. 数列{a n }的通项公式是a n =2n –1(n N *)，数列{b n }的通项公式是b n =3n (n N *)，令集合A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n N *．将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前28项的和S 28= ．10．向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|a –i |+|a –2j |=5，则|2|i a +的取值范围为．11．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为101a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ．12．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：(1)当x >0时，y=f (x )单调递减且没有最值；(2)方程f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f (x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x )是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) “xC ”是“x A ”的充分条件但不是必要条件 (B) “xC ”是“x A ”的必要条件但不是充分条件 (C) “xC ”是“x A ”的充要条件 (D) “x C ”既不是“x A ”的充分条件也不是“x A ”的必要条件14．将如图所示的一个Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )．15．二项式(3i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第8项是( )． (A) –135x 7 (B)135x 7 (C)3603i x 7 (D)–3603i x 716．给出下列四个命题：(1)函数y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为y =cos x (x R)；(2)函数12-+=m m x y (m N)为奇函数；(3)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t ty t t x (t R)所表示的曲线是圆；(4)函数f (x )=sin 2x –21)32(+x ，当x >2017时，f (x )>21恒成立．其中真命题的个数为( )． (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个第14题图(A) (B) (C)(D) C B A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1、CD 的中点．(1) 求三棱锥F –AA 1E 的体积；(2) 求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f (x )=3sin2x+cos2x –1 (x ．(1) 写出函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，23=⋅BC BA ，且a+c =4，求b 的值．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设P (x , y )为函数f (x )=a x x -2(x D ，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP |为点O 与点P 两点间的距离．(1) 若a =3，D =[3，4]，求|OP |的最大值与最小值；(2) 若D =[1，2]，是否存在实数a ，使得|OP |的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，则△ADB 的面积 S △ADB =pa 163．试运用上述定理求解以下各题： (1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，求S △ADB ；(2) 已知AB 是抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线：y 2=2px (p >0)分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，求S △AMD 和S △BND ；(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p >0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n –1．求数列{a n }的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n n *)，求证：{a n }为“等比源数列”．参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）1．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-513223；4．7–i ；5．25；6．7；7．726； 8 [4π，32π]．；9．820；10．⎤⎥⎦；11. a a a n n 52)45(53+=；12．(1)、(3) 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．解：（1）因为△AA 1E 的面积为S =2，……………………………………………2分点F 到平面ABB 1A 1的距离即h=2，……………………………………………………4分所以E AA F V 1-=h S ⋅31=34；………………………………………………………………7分（2）连结EC ，可知∠EFC 为异面直线EF 与AB 所成角，…………………………10分在Rt △EFC 中，EC =5，FC =1，所以tan ∠EFC =5，…………………………13分即∠EFC =arctan 5，故异面直线EF 与AB 所成角的大小为arctan 5．…………14分18．解：(1)f (x )=2sin(2x+6π)–1，………………………………………………………2分所以，f (x )的最小正周期T = ，………………………………………………………4分f (x )的单调递增区间是[k –3π，k +6π]，k ；………………………………………6分 (2) f (B )=2sin(2B +6π)–1=0，故sin(2B +6π)=21，………………………………………8分所以，2B +6π=2k +6π或2B +6π=2k +65π，k Z ，因为B 是三角形内角，所以B =3π；…………………………………………………10分而BC BA ⋅=ac cos B =23，所以，ac =3，又a+c =4，所以a 2+c 2=10，………………12分所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以b=7．…………………………………………14分 19．解：(1) 当a =3，D =[3，4]，|OP |=]4,3[,3)1(363)3(2222∈--=-=-+x x x x x x x ，……………………4分 3||min =OP ，62||max =OP ； ………………………………………………………6分 (2) ]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，因为|OP |的最小值不小于2，即x 2+2x |x –a |≥4对于x [1，2]恒成立，……………………………………………………………………8分当a ≥2时,a ≥)4(21x x +对于x [1,2]恒成立，所以a ≥25，………………………10分当1≤a <2时，取x=a 即可知，显然不成立，………………………………………11分当a <1时，a ≤)43(21x x -对于x [1,2]恒成立，所以a ≤21-，……………………13分综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 (2)或解：]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，…………………………………………7分当a ≥2时, 222)(2||a a x ax x OP +--=+-=在[1,2]为增函数，12||min -=a OP ≥2，所以a ≥25，…………………………………………………9分当1≤a <2时，取x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于2，………………………………11分当a <1时，22231)3(323||a ax ax x OP --=-=在[1,2]为增函数， a OP 23||min -=≥2 ，a ≤21-……………………………………………………13分综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 20．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得|y A –y B |=6，………………2分 S △ADB =827；……………………………………………………………………………4分 (2)设点D 、M 、N 的纵坐标分别为y D 、y M 、y N ，易知AD 为抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，M是AD 的中点，且A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=2a (a >0)，……6分由已知的结论，得S △AMD =pa p a 168116)2(33⋅=，…………………………………………8分同理可得S △BND =pa p a 168116)2(33⋅=；……………………………………………………9分 (3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。

上海市金山区2018届高三下学期质量监控(二模)数学试题(解析版)

【答案】1
【解析】
由已知得：因为左边，右边，所以，所以，所以，所以
所以 ,所以，故填1.
点睛：本题首先要通过化简处理，注意观察式子中，右边配凑为，利用平方差公式，可化简为，然后利用三角函数的有界性，将不等式化为等式处理.
二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
试题解析：
(1)设直线AB方程为，
联立，消去，得，
因为、，且，
又，所以kPB= ，
(2)又直线的方程为，则，
由题意可知，，直线的方程为y+y1= (x+x1)，
则，
，yMyN= = =–9，
综上，乘积yMyN为定值–9．
20.已知数列满足：
(1)证明：数列是等比数列；
【解析】
根据几何体的直观图，可以得到它的左视图，应该下面两个正方形上面一个正方形，故选A.
16.若对任意，都有 =a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，则的值等于( )．
A.3B.2C.1D.
【答案】B
【解析】
由得
所以解得，所以 .故选B.
点睛：将式子变形后，重新组合，变为关于按x的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，推出，问题得以解决.
4.函数，x(0，+∞)的最小值是________．
【答案】6
【解析】
根据均值不等式知，当且仅当时等号成立，故填6.
5.计算： =________．
【答案】1
【解析】
因为，

金山区2018学年第一学期质量监控高三数学试卷及答案

金山区2018学年第一学期质量监控高三数学试卷及答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．已知集合{}7,6,5,3,1=A ，{}8,6,5,4,2=B ，则A B = ． 2．抛物线x y 42=的准线方程是． 3．计算：=+-∞→2312limn n n ．4．不等式1|23|<-x 的解集是． 5．若复数)i 1)(i 43(-+=z ( i 为虚数单位) ，则||z = ． 6．已知函数x x f 2log 1)(+=，则=-)5(1f．7．从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是．(结果用数值表示)8．在10231⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中，常数项的值是______. (结果用数值表示)9．无穷等比数列}{n a 各项和S 的值为2，公比0<q ，则首项1a 的取值范围是． 10．在120º的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是．11．设函数211|)|1lg()(xx x f +-+=，则使得)23()2(-<x f x f 成立的x 的取值范围是．12．已知平面向量、满足条件：0=⋅，α=cos ||，α=sin ||，)2,0(π∈α．若向量μ+λ=(∈μλ,R )，且91sin )12(cos )12(2222=α-μ+α-λ，则||的最小值为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知方程12222=++m y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )．(A) 2>m 或1-<m (B) 2->m(C) 21<<-m (D) 2>m 或12-<<-m 14．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )．(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件. 15．欧拉公式x x xsin i cos e i += (i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，i2018e表示的复数在复平面中位于( )．(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 16．已知函数52|(1)|,1()(2)2og 1,l x x f x x x -<--+≥⎧=⎨⎩，则方程1(2)f x a x+-=(a ∈R )的实数根个数不可能为( )．(A) 5个 (B) 6个 (C) 7个 (D) 8个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，M 是BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π．求： (1) 三棱锥ABC P -的体积；(2) 异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点)3,3(-P ．(1) 求行列式αααcos tan 1sin 的值；(2)若函数αα++αα+=sin )sin(cos )cos()(x x x f (x ∈R )，求函数)(2)22(32x f x f y +-π=的最大值，并指出取得最大值时x 的值．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设函数12)(-=xx f 的反函数为)13(log )(),(41+=-x x g x f ．(1) 若)(1x f-≤)(x g ，求x 的取值范围D ；(2) 在(1)的条件下，设)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，函数)(x H 的图像与直线a y =有公共点，求实数a 的取值范围．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点)0,1(． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； (3) 在(2)的条件下，当10<<a 时，设△QOA 的面积为1S (O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点)，以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足1S ≤2mS ，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值；若不存在，请说明理由．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)在等差数列}{n a 中，15531=++a a a ，116=a ． (1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 对任意∈m N *，将数列}{n a 中落入区间)2,2(121++m m 内的项的个数记为}{m b ，记数列}{m b 的前m 项和m S ，求使得2018>m S 的最小整数m ；(3) 若∈n N *，使不等式n n a a 1+≤λ+)12(n ≤111+++n n a a 成立，求实数λ的取值范围．金山区2018学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．}6,5{；2．1-=x ；3．32；4．)1,31(；5．25；6．16；7．31；8．210；9．(2, 4)；10．2π；11. )52,(-∞∪),2(∞+；12．31．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．D ； 14．B ； 15．A ； 16．A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 解：(1) ∵⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π， 3π=∠PBA ．…2分因为2=AB ，所以PA =4分1142334P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯⨯=，即三棱锥ABC P -的体积为2． (7)分(2) 连结PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //，所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角，………………………………8分又13=PN ，1=MN ，15=PM ，……………………………………11分cos10PMN ∴∠==，PMN ∠=，……………………13分即异面直线PM 与AC 所成角的大小为1015arccos ．……………………………14分18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)角α的终边经过点(P -,21sin =α,cos 2α=-,tan 3α=-， (3)分sin 1si cos tan tan cos n αααααα=∴-=．………………………………6分 (2) ∵f (x )=cos(x+α)cos α+sin(x+α)sin α=cos x (x ∈R )，………………………………8分2cos(2)2cos 21cos 22sin(2)126y x x x x x ππ∴=-+=++=++，…11分∴当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+(k ∈Z )时，max 3y =． (14)分19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1))1(log )(21+=-x x f，(x >–1)………………………………………………2分不等式为)13(log )1(log 42+≤+x x ，⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+∴13)1(013012x x x x ……………………4分解得]1,0[,10=∴≤≤D x ．……………………………………………………………6分(2))10(113log 21)1(log 21)13(log )(224≤≤++=+-+=x x x x x x H ，……………8分)123(log 21)(2+-=∴x x H ， (10)分当]1,0[∈x 时，123+-x 单调递增，)(x H ∴单调递增，…………………………12分]21,0[)(∈∴x H ，因此当]21,0[∈a 时满足条件． (14)分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：(1) 1222=+x y ；……………………………………………………………………4分 (2)设),(y x P ，则2222)()(||2222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA22)(22+++-=a a x ，]1,1[-∈x ， (6)分令22)()(22+++-=a a x x f ，所以，当1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2max )1()1()(+=-=a f x f ；当11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则[]22)()(2max +==a a f x f ；当1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2max )1()1()(-==a f x f ； (9)分所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,1)(2a a a a a a a d ． (10)分；(3) 当10<<a 时，)22,(2a a P -±，)1(22121a a S -=,2222+=a S ，…12分若正数m 满足条件，则)22()1(22122+≤-a m a a ，即)1(4)1(222+-≥a a a m ， (13)分22222)1(8)1(+-≥a a a m ，令2222)1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12-=t a ， 641431411328123818)2)(1()(22222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t t t t t t t a f ，所以，当431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641)]([max =a f ，即6412≥m ，81≥m ．所以，m 存在最小值81． (16)分．[另解]由1S ≤2mS ，得m ≥12S S ，而12S S ==2222(1)12)84(1a a a ++-=，当且仅当2221a a =-，即a =12max 18S S ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭. 从而m ≥ 18 ，故m 的最小值为18.21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)(1) 解设数列{}n a 的公差为d ，由113615511a d a d +=⎧⎨+=⎩，………………………………2分得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，n ∈N *；……………………4分 (2) 对任意m ∈N *，若1212212m m n ++<-<，则2112222mm n +<<+，故222m mm b =-,m ∈N *， (6)分S m =b 1+b 2+…+b m =(22+24+26+…+22m )–(2+22+23+…+2m )=21)21(241)41(4-----m m =322644+⨯-⨯m m ， (8)分令4462220183m m ⨯-⨯+>，解得2l 5.3og m >≈，故所求最小整数m 为6；…………………………………………………………10分(3) 1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+，22(21)111(21)(21)(21)n n n n λ-+≤≤+-++，…12分记2(21)1(21)(21)n n A n n -+=-+，211(21)n B n =++，n ∈N *，由221(21)1(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(21)(21)(23)n n n n n A A n n n n n n n +++-+--=-=++-+-++，知12A A =，且从第二项起，{}n A 递增，即1234A A A A =<<<而211(21)n B n =++递减，故实数λ的范围为[]11,A B ,即210,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.…………18分【注】求出A 1给3分，求出B 1给2分，结论1分。

精选2018届高三数学上学期期末质量监控试题

2018年上海市金山区高考数学二模试卷

(1) 求直线 PB 的斜率(用 k 表示)；
(2) 求点 M、N 的纵坐标 yM、yN (用 x1, y1 表示) ，并判断 yM ×yN 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
20. 已知数列{an}满足：a1=2，an+1= an+2．
(1) 证明：数列{an–4}是等比数列；
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判
别，即可得到本题答案．本题给出两个向量的坐标，判断几个式子的正确性，
着重考查了向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识，属于
基础题．【解答】解：对于 B 因为| |= =
①是 x+ky=0 过另外两条直线的交点，由 x−2y+1=0 和 x−1=0 的交点是(1,1)，解得 k=−1； ②是这条直线与另外两条直线平行，此时 k=0 或−2，
综上,k 的取值集合是{0,−1,−2}.
故答案为{−1,0,−2}.
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念和标准方程，涉及直角三角形的内切圆，属中高档题.
18. 复数
是一元二次方程 mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根．
(1) 求 m 和 n 的值；
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(2) 若
(u∈C)，求 u．
19. 已知椭圆 Γ：
的右焦点为 F，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆 Γ 交于 A(x1,
y1)、B(x2, y2)两点(点 A 在 x 轴上方)，点 A 关于坐标原点的对称点为 P，直线 PA、 PB 分别交直线 l：x=4 于 M、N 两点，记 M、N 两点的纵坐标分别为 yM、yN．

上海市金山区达标名校2018年高考二月质量检测数学试题含解析

上海市金山区达标名校2018年高考二月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（） A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题3．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.84．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>> D ．1log log a bb aa b a b >>> 5．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（） A ．12-B ．2-C ．12D ．26．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（）A ．3B ．2C ．8113D ．107．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A ．22143x y-=B．22143y x-=C．22123x y-=D．22132y x-=8．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则()()U UA B＝（）A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6}9．已知抛物线C：24x y=的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为254，则AFBF=（）A．2或12B．3或13C．4或14D．5或1510．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④11．已知函数()3sin cos(0)f x x xωωω=->，()y f x=的图象与直线2y=的两个相邻交点的距离等于π，则()f x的一条对称轴是（）A．12xπ=-B．12xπ=C．3xπ=-D．3xπ=12．已知函数()[]01x xf xxx⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x表示不超过x的最大整数），若()0f x ax-=有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．23,34⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市金山区高三数学上学期期末调研考试试题

金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．3213lim+-∞→n n n = ．2．已知全集U =R ，集合M ={x | x 2–4x –5<0}，N ={x | x ≥1}，则M ∩(U N ) = ． 3．若复数z 满足i21i43-+=z (i 为虚数单位)，则z = ． 4．若直线l 1：6x +my –1=0与直线l 2：2x －y +1=0平行，则m = ．5. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212332c c ，解为⎩⎨⎧==12y x ，则c 1–c 2= ．6．方程4x– 6⨯2x+8=0的解是． 7．函数y =sec x ⋅ sin x 的最小正周期T = ． 8．二项式62)1(xx -展开式中3x 系数的值是． 9．以椭圆1162522=+y x 的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是 . 10．在报名的5名男生和3名女生中，选取5人参加数学竞赛，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为．(结果用数值表示)11．方程cos2x +sin x =1在(0，π)上的解集是． 12．行列式dc b a (a 、b 、c 、d ∈{–1,1,2})所有可能的值中，最小值为．13．已知点P 、Q 分别为函数1)(2+=x x f (x ≥0)和1)(-=x x g 图像上的点，则点P 和Q 两点距离的最小值为．14．某种游戏中，用黑、黄两个点表示黑、黄两个“电子狗”，它们从棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”．黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是．APM xyB二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．“直线l 1、l 2互相垂直”是“直线l 1、l 2的斜率之积等于–1”的( )．(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 16．若m 、n 是任意实数，且m >n ，则( )．(A) m 2>n 2(B)1<mn(C) lg(m –n )>0 (D) nm )21()21(<17．已知,是单位向量，0=⋅，且向量满足||--=1，则||的取值范围是( )．(A) ]12,12[+- (B) ]2,12[-(C) ]12,2[+ (D) ]22,22[+-18．如图，AB 为定圆O 的直径，点P 为半圆AB 上的动点．过点P 作AB 的垂线，垂足为Q ，过Q 作OP 的垂线，垂足为M ．记弧AP 的长为x ，线段QM 的长为y ，则函数y =f (x )的大致图像是( )．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =3，cos A =36，B=A +2π．试求b 的大小及△ABC 的面积S ．(A))(B)(C)(D)20．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，ο90=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于ο60，设a AA =1.(1) 求a 的值；(2) 求三棱锥BC A B 11-的体积．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.圆()()8:2020=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,．(1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k ．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()()01||≠-+=x xmx x f ． (1) 当m =2时，证明f (x )在(–∞，0)上是单调递减函数； (2) 若对任意x ∈R ，不等式f (2x) > 0恒成立，求m 的取值范围； (3) 讨论函数y =f (x )的零点个数．23．(本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S 1>1，且2362++=n n n a a S (n∈N *)．(1) 求{a n }的通项公式； (2) 设数列{}n b 满足⎩⎨⎧=为奇数为偶数n n a b na n n ,2,，T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ； (3) 设为正整数）n b b C nn n (,1+=，问是否存在正整数N ，使得当任意正整数n > N 时恒有C n >2015成立？若存在，请求出正整数N 的取值范围；若不存在，请说明理由．金山区2015学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考意见一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．23； 2．{x | –1< x <1}； 3． 5； 4．–3； 5. –1； 6. x=1或x =2； 7．π； 8．–6； 9．y 2=12x ； 10．55 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ； 12． –6； 13．423； 14．3.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．B ； 16．D ； 17．A ； 18．A三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．解：因为cos A =36，所以sin A =33，………………………………………………1分又B=A +2π，所以sin B =sin(A +2π)=cos A =36,……………………………………………2分又因为BbA a sin sin =，………………………………………………………………………4分所以b =ABa sin sin ⋅=23，……………………………………………………………………6分cos B =cos(A +2π)= –sin A = –33………………………………………………………………8分sin C =sin(A+B )=sin A cos B +cos A sin B =31，…………………………………………………10分所以△ABC 的面积S =C ab sin 21=223． ……………………………………………12分或解：因为a 2=b 2+c 2–2bc cos A （2分）即：c 2–43c +9=0，解之得：c =33(舍去)，c =3，（2分）△ABC 的面积S =A bc sin 21=223．（2分） 20．解(1)∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC =60︒，…………………………………………………………………………2分又AA 1⊥平面ABC ，AB=AC ，则A 1B =A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，…………4分由1==AC AB ，ο90=∠BAC 2=⇒BC ，∴121221=⇒=+⇒=a a B A ；……………………………………………6分(2)连接B 1C ，则三棱锥B 1–A 1BC 的体积等于三棱锥C –A 1B 1B 的体积，即：B B A C BC A B V V 1111--=，………………………………………………………………9分 △B B A 11的面积21=S ，……………………………………………………………11分又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面B B A 11，所以611213111=⨯⨯=-B B A C V ，所以6111=-BC A B V ．………………………………14分 21．解：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① ………………3分22．解：(1) 当m =2，且x <0时，1)(-+-=xx x f ，………………………………1分证明：设x 1<x 2<0，则)12(12)()(221121-+---+-=-x x x x x f x f )22()(2112x x x x -+-=)21)((2112x x x x +-= 又x 1<x 2<0，所以x 2–x 1>0，x 2x 1>0，，所以0)21)((2112>+-x x x x 所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1) >f (x 2)，故当m =2时，12)(-+-=x x x f 在(–∞,0)上单调递减的． …………………………4分 (2)由f (2x )>0得012|2|>-+x xm ，变形为02)2(2>+-m x x ，即41)212(2)2(22+--=+->xx x m ，当212=x 即x =–1时, 41]2)2([max 2=+-xx ，所以41>m ．…………………………10分(3)由f (x )=0，可得x |x |–x +m =0 (x ≠0)，变为m =–x |x |+x (x ≠0)，令，⎪⎩⎪⎨⎧<+>+-=-=0,0,||)(22x x x x x x x x x x g ，作y=g (x )的图像及直线y=m ，由图像可得：当41>m 或41-<m 时，y=f (x )有1个零点．当41=m 或m =0或41-=m 时，y=f (x )有2个零点；当410<<m 或041<<-m 时，y=f (x )有3个零点．………………………………16分23．解：（1）1=n 时，2361211++=a a a ，且11>a ，解得21=a2≥n 时，,2362++=n n n a a S 2361211++=---n n n a a S ，两式相减得：1212336---+-=n n n n n a a a a a 即0)3)((11=--+--n n n n a a a a ，01>+-n n a a Θ，31=-∴-n n a a ，{}n a ∴为等差数列，13-=n a n ． ……………………………4分（2）⎩⎨⎧-=-为奇数为偶数n n n b n n ,2,1313，n n b b b T +++=Λ21．当n 为偶数时，T n =(b 1+b 3+…+b n –1)+(b 2+b 4+…+b n )4)43()18(6342)135(2641)81(4++-=-++--=n n n nn n, 当n 为奇数时，T n =(b 1+b 3+…+b n )+(b 2+b 4+…+b n –1).4)13)(1()18(6342)435(21641)81(411+-+-=-+-+--=++n n n n n n⎪⎩⎪⎨⎧+-+-++-=∴+为奇数，为偶数n n n n n n T n nn 4)13)(1()18(634,4)43()18(6341………………………………10分 (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-==-+++为奇数为偶数n n a n n a C n a n n n a n n n ,2232,1322131231, 当n 为奇数时，0)]23(6483[212232835313532<+-+=+-+=-+-++n n n n C C n n n n n ，∴C n +2<C n ，故{C n }递减， 2015451<=≤C C n ，因此不存在满足条件的正整数N ．……………………………………………………18分。

上海市2018届高三数学上学期质量监控考试试卷理新人

上海市延安中学2018年度第一学期质量监控考试高三年级数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点, 则yx的值为． 2．不等式arccos(1)3x π->的解是．3．已知集合{|2,}x M y y x ==∈R ，2{|22,}N y y x x x ==-++∈R ，则M N = ．4．若等差数列{}n a 中，公差2d =，且1210200a a a +++=，则5101510a a a a ++++的值是．5．已知在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则角C 的值为． 6．已知函数()y g x =的图像与函数2()(1)(0)f x x x =-≤的图像关于直线y x =对称，则函数()g x 的解析式为()g x = ．7．已知1cot 2α=，2tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ． 8．经测试，甲、乙两台机器分别运行一个小时出现故障的概率为0.15和0.1，则在生产流水线上同时运行这两台机器，一小时内不出现故障的概率为． 9．函数y =的单调递减区间是．10．在二项式*(1) (1,)nx n n +>∈N 的展开式中，含2x 项的系数记为n a ，则23111lim()n na a a →∞+++的值为． 11．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的取值范围是．12．在等比数列{}n a 中,1sec a θ=(θ为锐角)，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么θ的取值范围是．13．已知()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+，且当[3,1]x ∈--时，()n f x m ≤≤ 恒成立，则n m -的最大值是．14．对于在区间[,]a b 上有意义的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意[,]x a b ∈，均有|()()|1f x g x -≤, 那么我们称()f x 和()g x 在[,]a b 上是接近的．若2()log (1)f x cx =+与2()log g x x =在闭区间[1,2]上是接近的，则c 的取值范围是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分． 15．已知x 为实数，则“11x<”是“1x >”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．甲、乙两人射击，每人每射四次记录一次成绩，共记录了两人各自6次这样的成绩，成绩如下（单位：环）甲：37，38，30，27，35，31；乙：36，29，38，34，28，33；根据数据，分析下列说法中正确的是（）（A ）甲比乙的平均水平高（B ）乙比甲的平均水平高（C ）甲、乙两人平均水平相当，但甲比乙稳定（D ）甲、乙两人平均水平相当，但乙比甲稳定 17．设方程2lg x x-=的两个根为21,x x ，则（）（A ）021<x x （B ）121=x x （C ）1021<<x x （D ）121>x x 18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，……，n a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，401a 的“理想数”为2010，那么数列6，1a ，2a ，……，401a 的“理想数”为（）（A ）2016 （B ）2011 （C ） 2010 （D ）2009三、解答题（共78分）19．（本题满分12分）求函数2cos()cos()244y x x x ππ=+-的值域和最小正周期．20．（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某学校举办一场以“为希望工程献爱心”为主题的图书义卖活动，同学甲随机地从10本书中买两本，假设每本书被甲同学买走的概率相同，已知这10本书中有3本单价定为10元，4本单价定为15元，3本单价定为20元，记甲同学买这两本书所付金额为ξ（元）．求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）随机变量ξ的期望E ξ和方差ξD ．21．（本题满分16分，其中第1小题6分，第2小题10分）（1）已知,,,a b x y 是正实数，求证：22a b x y +()2a b x y+≥+，当且仅当a bx y =时等号成立；（2）求函数()22193tan 8sec f x x x=+-+的最小值，并指出取最小值时x 的值． 22．（本题满分18分. 其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分）已知函数1()()2f x x x =-的定义域为(,1)n n +（*n ∈N ），()f x 的函数值中所有整数的个数记为()g n . （1）求出(3)g 的值；（2）求()g n 的表达式；（3）若对于任意的*n ∈N ，不等式01()()25n n n n C C C l g n ++≥-（其中in C ，1,2,3,,i n=为组合数）都成立，求实数l 的最小值.23．（本题满分18分，其中第1小题3分，第2小题7分，第3小题8分）给出函数封闭的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值D x f ∈)(0，称函数)(x f y =在D 上封闭．（1）若定义域)1,0(1=D ，判断函数()21g x x =-是否在1D 上封闭，并说明理由；（2）若定义域2(1,5]D =，是否存在实数a ，使得函数5()2x af x x -=+在2D 上封闭？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）利用（2）中函数，构造一个数列{}n x ，方法如下：对于给定的定义域2(1,5]D =中的1x ，令21()x f x =，32()x f x =，…，1()n n x f x -=，…在上述构造数列的过程中，如果(1,2,3,4)i x i =在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果i x 不在定义域中，则构造数列的过程停止．①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{}n x ，求实数a 的取值范围．②如果取定义域中任一值作为1x ，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{}n x ，求实数a 的取值范围．2018年度第一学期质量监控考试（理）参考答案1． 2．3[0,)23．(0,3]4．120 5．1arccos4π-6．1(1)x ≥7．47-8．0.765 9．(2,1（或(2,1） 10．2 11．32ω≥12．(0,)4π13．1-14．[0,1]15．B16．D17．C18．B19．解：因为2cos()cos()244y x x x ππ=+-+cos 2cos 22x x π=++…… 3分2sin(2)6x π=+ (6)分所以函数2cos()cos()244y x x x ππ=+-的值域为[2,2]-， (9)分最小正周期为π． (12)分20．解：（1）ξ的所有可能值为20，25，30，35，40．232101(20)15C P C ξ===，11342104(25)15C C P C ξ===，11233422101051(30)153C C C P C C ξ==+==11432104(35)15C C P C ξ=== ，232101(40)15C P C ξ=== (5)分∴随机变化ξ的概率分布为…… 6分（2）141120253040301515315E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …… 10分 154)3035(31)3030(154)3025(151)3020(2222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD380151)3040(2=⨯-+…… 14分21．解：（1）因为22a b x y +()()()22a b ya xb x y xy x y +--=++，所以22a b x y +()2a b x y +≥+，当且仅当0ya xb -=，即a bx y=时等号成立； …… 6分（2）因为()22222222213191343tan 8sec 3tan 8sec 3tan 8sec 3x x x x x x ++=+≥=-+-+-++，…… 11分当22133tan 8sec x x =-+，即2t a n 0x =时等号成立，所以函数()22193tan 8sec f x x x =+-+ 的最小值等于43，此时,x k k Z π=∈． …… 16分22．解：（1）因为3n =时函数()f x 的值域为15(,14)2，所以(3)6g =． ……3分（2）设()f x 的值域为A ．因为211()()22f n n n n n =-=-，22131(1)(1)(1)222f n n n n n +=+-+=++ 1︒ 当2n k =*(N )k ∈时，2()(2)4f n f k k k ==-，21(1)(21)432f n f k k k +=+=++.因为()f n 、(1)f n A +∉，则此时A 中的最小正整数是241k k -+，最大正整数是243k k +，所以22()(43)(41)142g n k k k k k n =+--++==. (6)分2︒ 当21n k =-*(N )k ∈时，2213()(21)(21)(21)4522f n f k k k k k =-=---=-+， 221(1)(2)4342f n f k k k k k +==++=-，因为()f n 、(1)f n A +∉，则此时A 中的最小正整数是2452k k -+，最大正整数是241k k --，所以22()(41)(452)12(21)2g n k k k k k n =----++=-=. (9)分综合1︒、2︒可得：()2g n n =*(N )n ∈.（3）不等式01()()25nn n n C C C l g n ++≥-可化为1(225)()2n l n ≥-． (12)分设1(225)()2nn a n =-*(N )n ∈，由于1111(223)()(225)()22n nn n a a n n ++-=---11()(223450)2n n n +=--+11()(227)2n n +=-+ 所以当13n ≤时，1n n a a +>，当14n ≥时，1n n a a +<． (15)分可得当14n =时1(225)()2nn -取得最大值为316384，所以l 的最小值为316384． (18)分23．解：（1）因为1()0(0,1)2g =∉，所以()g x 在1D 上不封闭． (3)分（2）510()522x a af x x x -+==-++ 1︒当100a +=时，在(1,5]上()5f x =，此时()f x 在2D 上封闭． (5)分2︒当100a +<时，在(1,5]上()5f x >，此时()f x 在2D 上不封闭． (7)分3︒当100a +>时，()f x 在(1,5]上单调递增．要使()f x 在(1,5]上封闭，必有(1)1(5)5f f ≥⎧⎨≤⎩(10,2]a ⇒∈-． (9)分所以，当[10,2]a ∈-时，()f x 在(1,5]上封闭． (10)分（3）○1若构造的数列{}n x 为常数列，只需(1,5]x ∈时，()f x x =有解， (13)分即52x a x x -=+有解，即22393()24a x x x =-+=--+在(1,5]x ∈时有解．因为(1,5]x ∈时，293[10,]4x x -+∈-，所以9[10,]4a ∈- (15)分○2若构造的数列{}n x 为无穷数列，则需要()f x 在区间(1,5]上封闭，即[10,2]a ∈-．…… 18分。