高中数学 211 曲线与方程课时作业新人教A版选修21(1)

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高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章圆锥曲线与方程 2.4.2

2.4.2 抛物线的简单几何性质课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)(1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________________________的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线________．(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x 1＋x 2＋______.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝________，y 1y 2＝________.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172 B ．3 C . 5 D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．2.4.2抛物线的简单几何性质知识梳理1．(1)x≥0右增大(2)x轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点(4)离心率1(5)pp 22．k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0 两一没有平行或重合一3．(1)相切 (2)2(x 0＋p 2) (3)p (4)p 24－p 2作业设计1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23，所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2，所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |.] 3．A [如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.] 4．B [y 2＝ax 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.] 5．C [∵点P (2,1)在抛物线内部，且直线l 1与抛物线C 相交于A ，B 两点，∴过点P 的直线l 2在过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l 2共有3条．]6．D [可采用特殊值法，设PQ 过焦点F ⎝⎛⎭⎫a 4，0且垂直于x 轴，则|PF |＝p ＝x P ＋a 4＝a 4＋a 4＝a 2， |QF |＝q ＝a 2，∴1p ＋1q ＝2a ＋2a ＝4a.]7．y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x . 8．2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p 2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF ||FB |＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解由y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 11．解方法一设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为 A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q (4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二设弦AB 所在直线方程为y ＝k (x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B [如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8，选B.]13．解由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A ′、B ′.(1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，所以，|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学人教A版选修2-1课时作业：2.1.2 求曲线的方程(1) 含解析

第二章 2.1课时作业11一、选择题1．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1D．|x±y|＝1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知||x|－|y||＝1.答案：C2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16.整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2.∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D3．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，∴y2＝4x(x>0，y>0)，即y＝2x(x>0)．答案：A4．[2014·河南省实验中学月考]动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A. y 2＝4xB. y 2＝－12(x －4)C. 若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D. 若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)解析：本题主要考查求曲线的方程．设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.答案：D二、填空题5．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则动点P 的轨迹方程是________．解析：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，半径r ＝1，则|PB |2＝|P A |2＋r 2.∴|PB |2＝2.∴P 的轨迹方程为：(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝26．如右图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4，即x 24－y 22＝1. 答案：x 24－y 22＝1 7．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程是__________．解析：设M (x ，y )，A (m,0)，B (0，n )，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(m,0)＋25(0，n )，∴m ＝53x ，n ＝52y .又由|AB |＝5，得m 2＋n 2＝25，即(53x )2＋(52y )2＝25，于是，所求点M 的轨迹方程是4x 2＋9y 2＝36.答案：4x 2＋9y 2＝36三、解答题8．[2012·江西高考]已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.求曲线C 的方程．解：由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )，得|MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2，OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y . 根据题意，得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y .9．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：如图，设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴P A ⊥PB ，k P A ·k PB ＝－1.而k P A ＝4－02－2x (x ≠1)，k PB ＝4－2y 2－0， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)．整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别是(2,0)、(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.。

高中数学人教A版选修21课时作业：2.1.1 曲线与方程

第二章 2.1 课时作业10一、选择题1．[2014·广东省中山一中期中考试]方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )A ．一个点与一条直线B ．两条射线或一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆解析：本题主要考查曲线与方程的关系．原方程等价于x 2＋y 2－1＝0即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B. 答案：B2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在圆(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( )A.π3B.5π3C.π3或5π3D.π3或π6解析：依题意得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，化简得cos α＝12， ∵0≤α<2π，∴α的值为π3或5π3. 答案：C3．方程x 2＋6xy ＋9y 2＋3x ＋9y －4＝0表示的图形是( )A ．两条重合的直线B ．两条互相平行的直线C ．两条相交的直线D ．两条互相垂直的直线解析：方程可化为(x ＋3y ＋4)(x ＋3y －1)＝0，即x ＋3y ＋4＝0或x ＋3y －1＝0，所以原方程表示的图形是直线x ＋3y ＋4＝0和x ＋3y －1＝0，这是两条互相平行的直线．故选B.答案：B4．已知曲线ax 2＋by 2＝2经过点A (0,2)和B (1,1)，则a 、b 的值为( )A. 12，32B. 32，12C. －32，32D. 12，－32解析：∵A (0,2)和B (1,1)都在曲线ax 2＋by 2＝2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ·0＋4b ＝2，a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.答案：B二、填空题5．点P (a ＋1，a ＋4)在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，则a 的值是__________．解析：∵点P 在曲线y ＝x 2＋5x ＋3上，∴a ＋4＝(a ＋1)2＋5(a ＋1)＋3，解之得a ＝－1或a ＝－5.答案：－1或－56．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1. 答案：17．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a >0)所确定的两条曲线有两个公共点，则a 的取值范围是__________．解析：数形结合如右图：当a >1时，两条曲线有两个交点．答案：a >1三、解答题8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上？(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在此曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， ∴(m 2)2＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185. 故m 的值为2或－185.9．已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π.。

高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业新人教A版选修21

高中数学 2.1.2求曲线的方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是( )A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x,y),由题设得=3,所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),顶点C的轨迹是( ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点C.一个点D.两个点【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.注意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.3.(2014·临沂高二检测)在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是( )A.x2+y2=3B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0)D.x2+y2=9(x≠0)【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:=|x|+2,平方得y2=4x+4|x|,当x≥0时,y2=8x;当x<0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).答案:y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出点C的轨迹方程或根据=α+β及α+β=1,用α表示出的坐标,再消去α即可得出点C的轨迹方程.【解析】选D.设C(x,y),因为=α+β,所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),所以(x,y)=(3α-β,α+3β),得即因为α+β=1,所以+=1,整理得x+2y-5=0.【一题多解】选D.由=α+β=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4α-1,3-2α),设C点的坐标为(x,y),得=(x,y),所以消去α得x+2y-5=0.5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4【解析】选B.由=,知R,A,P三点共线,且A为RP的中点.设P(x,y),R(x1,y1),由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),得即x1=2-x,y1=-y代入直线y=2x-4中,得y=2x,故选B.6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且·=1,则P点的轨迹方程是( )A.3x2+y2=1(x>0,y>0)B.3x2-y2=1(x>0,y>0)C.x2-3y2=1(x>0,y>0)D.x2+3y2=1(x>0,y>0)【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),则=(x,y-y0),=(x0-x,-y),因为=2,所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以得因此A点坐标为,B点坐标为(0,3y),又因为点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),由·=1,得(-x,y)·=1,即x2+3y2=1,又P点在第一象限,所以x>0,y>0.故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数,设点M 的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是.【解析】设点M(x,y),则据题意有=,则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以+=1,故曲线C的方程为+=1.答案:+=18.(2014·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P 的轨迹方程为.【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±,k AP=,k BP=,由条件知k AP·k BP=-,所以×=-,整理得x2+2y2-2=0(x≠±).答案:x2+2y2-2=0(x≠±)【误区警示】解答本题时容易漏掉“x≠±”这个条件.这是因为忽略了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避免因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则∠OPB=30°.因为|OB|=1.所以|PO|=2.所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且=,求点M的轨迹C的方程.【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由=(x0-x,-y),=(0,-y0),且=,得(x0-x,-y)=(0,-y0),所以于是又+=4,所以x2+y2=4,所以,点M的轨迹C的方程为+=1.【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足=2,求动点C 的轨迹方程.【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则=(x-a,y),=(-x,b-y),因为=2,所以即又因为|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+y2=9,即x2+=1.故动点C的轨迹方程为x2+=1.11.(2013·陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C 的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.依题意可得,4+4(x-2)=0,整理可得y2=-8x.2.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为( )A.f(x-3,y)=0B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0D.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x′,y′),又(x′,y′)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选 D.设P′为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x′,y′),依题意有⇒又(x′,y′)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q 点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=,y=,所以x0=2x+1,y0=2y-2.因为点P在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2014·哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于,则动点P的轨迹方程为( ) A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)C.x2-3y2=2D.x2-3y2=2(x≠±1)【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).k PA=(x≠-1),k PB=(x≠1),因为k PA·k PB=,所以·=.整理得x2-3y2=-2(x≠±1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是( ) A.x2+y2=9 B.x+y=6C.2x2+y2=12D.x2+2y2=12【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),因为M为AB中点,所以得因为|AB|=6,所以=6,整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0,当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,将tan∠MBA=,tan∠MAB=代入上式,化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).答案:3x2-y2-3=0(x>1)6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】根据sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sinθ,cosθ的关系,再通过消参,消去sinθ,cosθ得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知由①2-②×2得a2-2b=1.因为a=sinθ+cosθ=sin,所以-≤a≤,b=sin2θ,所以-≤b≤.所以点P的轨迹方程为:a2=2(-≤a≤).答案:a2=2(-≤x≤)【知识拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以寻找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法①代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;②加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;③平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·南京高二检测)△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知因为AB边上的中线CD=3,所以(x1-4)2+=9,化简整理得(x-8)2+y2=36.所以点A的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(y≠0).8.(2014·大庆高二检测)已知点P(-3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A 在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.【解析】设M(x,y)是曲线上任意一点,并设Q(a,0),A(0,b),则=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),·=3a-b2=0 ①,因为=2,所以所以②把②代入①,得y2=4x,所以,动点M的轨迹方程为y2=4x.。

2.1曲线方程-人教A版高中数学选修2-1课时练习

高二年级（数学）学科习题卷曲线方程一、选择题：1．已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( ) A ．满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上 B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0所表示的曲线不一定是C D ．以上说法都正确2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是 ( )A ．两条直线B ．四条直线C ．两个点D ．四个点3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是A ．两个点B ．四个点C ．两条直线D ．四条直线4．已知A (－1，0)，B (1，0)，C 为平面内的一动点，且满足||2||AC BC =，则点C 的轨迹方程为 ( )A ．22610x y x +++＝B ．22610x y x +-+＝C ．2210103x y x +-+= D ．2210103x y x +++=5．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是 ( )6．已知A (1，0)，B (－1，0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程是( ) A ．011()y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥ C ．1)0(y x =≤- D ．0(||1)y x =≥7．已知A (－2,0)、B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是( )A ．一个点B ．两个点C ．一条直线D ．两条直线二、填空题：8．等腰三角形底边的两个顶点是B (2，1)，C (0，－3)，则另一顶点A 的轨迹方程是______________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足：4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程为______________．10．已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2215x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足5NP NM =，则点P 的轨迹方程为______________．三、解答题：11．已知A 、B 分别是直线y x =和y x =上的两个动点，线段AB 的长为P 是AB 的中点，求动点P 的轨迹C 的方程．12.已知点P (2，2)，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及POM △的面积．13.两个定点(2,2),(0,2)P Q -，长为2的线段AB 在直线y x =上移动，求直线PA ，QB 的交点M 的轨迹方程。

高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx

曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。

中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。

四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。

3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是。

（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件。

4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是；（2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是。

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

(完整版)【全程复习方略】2014-2015学年高中数学2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修2-1

、选择题（每小题3分，共18分）1.f(x o ,y o )=O 是点 P(x o ,y o )在曲线 f(x,y)=0 上的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件,若点 P(x o ,y o )在曲线 f(x,y)=0 上,则必有f(x o ,y o )=O;又当f(x o ,y o )=o 时，点 P(x o ,y o )也一定在方程 f(x,y)=o 2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是（）A. y 2=x 与 y= ..B. y=lgx 2与 y=2lgx 卩+1C. ==1 与 lg(y+1)=lg(x-2)D. x 2+y 2=1 与|y|= \ I 一【解析】选D.主要考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y € R,而y=.…中y 》o,B 中y=lgx 2中X M o,而y=2lgx y+1中 x>o ；C 中 - =1 中 y € R,x 工 2,而 lg （y+1）=lg （x-2）中 y>-1,x>2,故只有 D 正确.-安阳高二检测）曲线y=… .-一和y=-x+ I —公共点的个数为（）曲线与方程基础巩固训练」（30分钟 50分）【解析】选C.由曲线与方程的概念可知对应的曲线上，故选C.【解析】 4.(2014 A.3B.2C.1D.03.(2oi4选C.方程x 2+y 2=1（xy<o ）表示以原点为圆心为半径的圆在第二、四象限的部分,1【解析】选C.由得-x+•詁炀=』二「:好，ly = -盖 + VX两边平方并整理得-X-1) 2=0, 所以x== 这时耳,故公共点只有一 •个(呂 V ).尸・_ .厂中X 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而导致出 5.如果曲线C 上点的坐标满足方程 F(x,y)=O,则有( )A. 方程F(x,y)=O 表示的曲线是CB. 曲线C 的方程是F(x,y)=OC. 点集{P|P € C}? {(x,y)|F(x,y)=O}D. 点集{P|P € C} u {(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B 错，因为以方程F(x,y)=O 的解为坐标的点不一定在曲线 C 上，若以方程F(x,y)=O 坐标的点都在曲线 C 上,则点集{P|P € C}={(x,y)|F(x,y)=0}, 故D 错，选C.2 26. (2014 •青岛高二检测)方程(x-y) +(xy-1) =0表示的是 ( )A. 两条直线B. —条直线和一双曲线C.两个点D.圆fx - y = 0,【解析】选C.由题意，.Uy 二 4所以 x=1,y=1 或 x=-1,y=-1,所以方程(x-y) 2+(xy-1) 2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1). 二、填空题(每小题4分,共12分)一 2 27. (2014 •天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x -ay =1上,则a= ____________ .1【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a —.答案：y【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mf 上的点，也是直线x-y=0上的一点，则m ____________ . 【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上，得 a=2,即 A(2,2).1又点A 在曲线y=mx 上,所以2=m- 22,得m=.【误区警示】解题中易忽略的解为答案:-8.(2014 •重庆高二检测 )如果直线I :x+y-b=0 与曲线 C:y=「_ ，-有公共点，那么b 的取值范围是【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=. L —的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=，I — 表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(土 1,0)),如图,当答案：[-1,、_] 9.方程y=... __________________________ —…-【所表示的曲线是 .rx - 2P x > 2,I —x + 2T x < 2所以方程表示的是射线 x-y-2=0(x > 2)及x+y-2=0( x<2). 答案:两条射线【误区警示】本题易忽视方程自身的条件对 y 的约束，即y > 0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0, 从而得出方程表示的曲线是两条直线. 三、解答题(每小题10分，共20分) 10.方程—x _ y 表示的曲线是什么图形？(1 - y = 1 - [4 fy = |x|,【解析】原方程可化为[―図*,即klWl, 所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1 < x w 0)和y=x(0 < x < 1).如图：【解析】原方程可化为：y=|x-2|=2 2 i - i11.曲线x +(y-1) =4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,若有一个交点、无交点呢【解析】由y = kO -2)+4, / + (y — i)2 - %得(1+k 2)x 2+2k(3-2k)x+(3-2k) 2-4=0, △ =4k 2(3-2k) 2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4] =48k-20.所以△ >0,即k>—时,直线与曲线有两个不同的交点 12 △ =0,即k= 时,直线与曲线有一个交点； △ <0,即k< 时,直线与曲线没有交点.112【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方法曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数判别式进行判断.本题是判断直线和圆的交点问题，用的是代数法.也可用几何法，即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出 k 的范围.有些题目，在判断交点个数时，也可用数形结合法.能力提升训练歹(30分钟 50分)、选择题(每小题4分，共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b 的值分别为 (1 33 1 代工B：，7 3 3 1 3C.-工D ：，- 72 2【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax +by =2上，所以A. 一条直线B. 两条平行线段,而方程组解的组数可利用根的2.(2014临沂高二检测)方程〔 =1表示的图形是 ( )C. 一个正方形D. —个正方形(除去四个顶点)【解析】选D.由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且X M 0,y工0,当x>0,y>0时，方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).3. 已知圆C:(x-2) +(y+1) =4 及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1) ( )A. 不在圆C上,但在直线I上B. 在圆C上，但不在直线I上C. 既在圆C上,也在直线I上D. 既不在圆C上,也不在直线I上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线I的方程，均满足.4. (2014 •成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.0<a<1 或a>1D.a €【解题指南】分别作出y=a|X|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图，要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大，所以a>1.【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=O与直线x-y+1=0的交点在()b+c a+b a-c a+b '因为 a+b<0,a-c>0,b+c<0,所以 x<0,y<0,所以交点在第三象限，选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5. _____________________________________________________________________________ (2014 •济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2 的图象与x 轴所围成的三角形的面积是 _________________________________ 【解析】当x-2<0时，原方程可化为y=-x; 当x-2 > 0时,原方程可化为y=x-4. 故原方程表示两条共顶点的射线 ,易得顶点为 B(2,-2),与x 轴的交点为0(0,0),A(4,0),所以曲线1y=|x-2|-2 与x 轴围成的三角形面积为&AO = -|OA| • |y B |=4.得-|ax|=_ I _",即 a 2x 2=1-x 22 2所以(a +1)x =1,代入 y=-|ax|, 得 y=-. 一， ¥ iH-a 1所以它们有2个交点. 答案:2A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】选C.由m览%以:6.(2014-石家庄咼— :检测)曲线y=- \ 1【解析J fy 二 —y/1 — x 2( 由ax| — O f:一-与曲线y+|ax|=0(a € R)的交点个数为答案：4【一题多解】由y=-"「一、•，得x2+y2=1(y < 0)表示半圆如图由y+|ax|=O,得y=-|a||x|, 表示过原点的两条射线,如图.所以由图象可知，它们有两个交点•答案:2三、解答题(每小题12分，共24分)7. 已知点P(x o,y o)是曲线f(x,y)=0 和曲线g(x,y)=0 的交点,求证：点P在曲线f(x,y)+ 入g(x,y)=0(入€ R) 上.【证明】因为P是曲线f(x,y)=0 和曲线g(x,y)=0的交点，所以P在曲线f(x,y)=0 上，即f(x o,y o)=O,P在曲线g(x,y)=0 上,即g(x o,y o)=O,所以f(x o,y o)+ 入g(x o,y o)=o+ 入0=0, 故点P在曲线f(x,y)+入g(x,y)=0(入€ R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念，明确两条原则，即若点的坐标适合方程，则该点必在方程的曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合曲线的方程•另外，要证明方程是曲线的方程，根据定义需完成两步：①曲线上任意一点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8. 当曲线y=1 + >.- 二与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时，求实数k的取值范围.【解析】曲线y=1 + :二一■「是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆，如图.直线y=k(x-2)+4 是过定点(2,4)的直线.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径 2,£ 3 所以k o =,直线PA 的斜率k i =—,12 4 弓 3所以实数k 的取值范围是一<k<-.12 4设切线PC 的斜率为k o ,切线PC 的方程为y=k o (x-2)+4.即一亠二=2,。

【红对勾】高中数学 2-1-2 求曲线的方程课时作业新人教A版选修2-1(1)

课时作业9 求曲线的方程时刻：45分钟分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．假设点M 到两坐标轴的距离的积为2020，那么点M 的轨迹方程是( )A ．xy ＝2020B ．xy ＝－2020C ．xy ＝±2020D ．xy ＝±2020(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 知足|PA|＝3|PO|，那么点P 的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y)，那么x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，那么以MN 为斜边的直角三角形的直角极点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x≠±2)解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4.∵M、N 、P 不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x≠±2)．答案：D4．已知A 、B 两点的坐标别离为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，那么M 的轨迹方程是( )A .x 225＋y 21009＝1B .x 225＋y 21009＝1(x≠±5) C .x 22254＋y 225＝1 D .x 22254＋y 225＝1(x≠0) 解析：设M 的坐标为(x ，y)，那么k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x. 由题知y ＋5x ·y －5x ＝－49(x≠0)，即x 22254＋y 225＝1(x≠0)．答案：D5．一条线段的长等于10，两头点A 、B 别离在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB →，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a 2＋b 2＝100.∵AM →＝4MB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 1＋4，y ＝4b 1＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64. 答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，假设AB →⊥BC →，那么动点C 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y) ∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)． ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0.得2·x－y 2·y 2＝0得y 2＝8x. 答案：A二、填空题(每题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．解析：圆心到直线的距离等于半径，那么r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，假设动点M 与两定点A 、B 组成直角三角形，那么直角极点M 的轨迹方程是________．图1解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM⊥BM，得k AM ·k BM ＝－1，即y x ＋a · yx －a＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y≠0，从而x≠±a，因此所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)．答案：x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)9．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部份，那么点Q 的轨迹方程为__________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q 分线段OP 为1∶2，∴OQ →＝12QP →. ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＝12x 11＋12，y ＝12y11＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y. ∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0.把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x ＋4y ＋1＝0三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M 到点F(0,1)和直线l ：y ＝－1的距离相等，求点M 的轨迹方程．图2解：设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹确实是集合P ＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q 是点M 到直线y ＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x 2＋y －12＝|y ＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的进程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋y 1－12＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．11．(15分)已知线段AB 与CD 相互垂直平分于点O ，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M 知足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，别离以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴成立平面直角坐标系，那么A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，那么|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝x ＋42＋y 2，|MB|＝x －42＋y 2，|MC|＝x 2＋y －22，|MD|＝x 2＋y ＋22. 因此[x ＋42＋y 2][x －42＋y 2] ＝[x 2＋y －22][x 2＋y ＋22]. 化简，得y 2－x 2＋6＝0.因此所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点别离在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，而且知足AB →⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．解：设P(x ，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，则BC →＝(x′，－y′)，CP →＝(x －x′，y)，由BC →＝12CP →，得(x′，－y′)＝12(x －x′，y)，即x′＝x 3，y′＝－y2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，3y 2. 由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x－34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．。

人教A版高中数学选修2-1课时练习-曲线与方程

课时练习(六) 曲线与方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B ．]2．如图所示，方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )A B C DB[因为y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0，－1x ，x <0，所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选B ．]3．到坐标原点的距离是到x 轴距离2倍的点的轨迹方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝33x C ．x 2－3y 2＝1D ．x 2－3y 2＝0D [设点的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝2|y |，整理得x 2－3y 2＝0．]4．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1C [设M (x ，y )，则P (2x,2y ＋1)． ∵P 在曲线2x 2－y ＝0上， ∴2×(2x )2－(2y ＋1)＝0，即8x 2－2y －1＝0，即2y ＝8x 2－1，故选C ．]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又∵|P A |＝1， ∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2 ＝2．即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2．] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．点(1,2) [由题意知，⎩⎨⎧ x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1,2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x ．]三、解答题9．已知方程x 2＋4x －1＝y ．(1)判断点P (－1，－4)，Q (－3,2)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，求实数m 的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y ＝2x ＋7的交点的坐标．[解] (1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P 坐标适合方程，点Q 坐标不适合方程，即点P 在曲线上，点Q 不在曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋4×m 2－1＝m －1，即m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝－4．(3)联立⎩⎨⎧x 2＋4x －1＝y ，y ＝2x ＋7，消去y ，得x 2＋4x －1＝2x ＋7，即x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4，于是y 1＝11，y 2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(－4，－1)．10．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解] 法一：设弦的中点为P (x ，y )，则另一端点为(2x,2y )在圆(x －1)2＋y 2＝1上，故(2x －1)2＋4y 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．法二：如图所示，设所作弦的中点为P (x ，y )，连接CP ，则CP ⊥OP ，|OC |＝1，OC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以动点P 的轨迹是以点M 为圆心，以OC 为直径的圆，故轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14．又因为点P 不能与点O 重合，所以0<x ≤1．故所作弦的中点的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．1．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两个点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1．x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎨⎧ x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎨⎧x ＝0y ＝±1，表示点(0,1)，(0，－1)．]2．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0．由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0．点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1．将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．]3．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 |OM |＝12|AB |＝3．所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9．]4．一动点到y 轴距离比到点(2,0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________． y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0) [设动点P (x ，y )，则由条件，得(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，两边同时平方，得y 2＝4x ＋4|x |，当x ≥0时，y 2＝8x ；当x <0时，y ＝0，所以动点的轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．]5．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解]法一：如图，设点M的坐标为(x，y)，∵M为线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴P A⊥PB，即k P A·k PB＝－1，而k P A＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，k PB＝4－2y2－0＝2－y1，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)，整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0．综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0．法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM(如图)．∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|．而|PM|＝(x－2)2＋(y－4)2，|AB|＝(2x)2＋(2y)2，∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章圆锥曲线与方程 2.2.2

2.2.2 椭圆的简单几何性质课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝____，长轴长＝____焦点焦距对称性对称轴是______，对称中心是______离心率直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1________实数解，即Δ______0.一、选择题1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )A ．5,3，45B ．10,6，45C ．5,3，35D ．10,6，352．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A .x 236＋y 216＝1 B .x 216＋y 236＝1 C .x 26＋y 24＝1 D .y 26＋x 24＝13．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A . 3B .32C .83D .234．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( )A .－1＋52B ．1－22C .2－1D .225．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0A ．(0,1)B .⎝⎛⎦⎤0，12C .⎝⎛⎭⎫0，22 D .⎣⎡⎭⎫22，1 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．9．椭圆E ：x 216＋y 24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．三、解答题 10.如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e.11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．能力提升12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25 D .1313．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．2.2.2 椭圆的简单几何性质知识梳理 1.焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b 2＝1 范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率e ＝ca，0<e <1 2.作业设计1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 225＝1，其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B4．A [由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝ca ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.]5．B [∵4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．]∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22.] 7.x 245＋y 236＝1 解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，将点(－5,4)代入得25a 2＋16b2＝1，又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.8.255解析由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.9．x ＋2y －4＝0解析设弦的两个端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.10．解依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F (c,0)，B (0，b )．设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程，得y P ＝b 2a.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b 2ac .∴ab ＝c 2.∴e ＝c a ＝b c ，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝5－12. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0.解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m5，x 1x 2＝15(m 2－1)．设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m )＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2. ∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0.∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又∵x 204＋y 20＝1，∴(2x －1)24＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

人教版A版高中数学高二选修2-1作业 2.1曲线与方程

A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝2
C．x2＋y2＝1(x≠±1)
D．x2＋y2＝2(x≠± )
解析：设动点M(x，y)，
则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．由 · ＝0，
得(－1－x)(1－x)＋(－y)2＝0，
即x2＋y2＝1.故选A.
答案：A
3．与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是()
解析：由题意知，∴a＝2，m＝ .
答案： 2
9．设P为曲线－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．
解析：设M(x，y)是轨迹上的任意一点，点P的坐标为(x0，y0)．由题意，知x0＝2x，y0＝2y，代入曲线方程，得x2－4y2＝1，故点M的轨迹方程为x2－4y2＝1.
D．既不充分又不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，其坐标不一定满足方程y＝－2 ，但当点M的坐标满足方程y＝－2 时，则点M一定在曲线y2＝4x上，如点M(4,4)时．
答案：B
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析：设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得
＝2 ，
整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.
∴点P的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
S＝πr2＝4π.
答案：B
6．方程(x＋y－1) ＝0所表示的曲线是()
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.
其中当x＋y－1＝0时，需有意义，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分及圆x2＋y2＝4.

高中数学 2.1曲线与方程课时作业新人教A版选修21

高中数学 2.1曲线与方程课时作业新人教A 版选修21课时目标 1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解求曲线方程的步骤.3.会求简单曲线的方程．1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．2．如果曲线C 的方程是f(x ，y)＝0，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则①点P 在曲线C 上⇔____________；②点P 不在曲线C 上⇔____________. 3．求曲线方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝__________； (3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)＝0； (4)化方程f(x ，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一、选择题1．方程x ＋|y －1|＝0表示的曲线是( )2．已知直线l 的方程是f(x ，y)＝0，点M(x 0，y 0)不在l 上，则方程f(x ，y)－f(x 0，y 0)＝0表示的曲线是( )A ．直线lB ．与l 垂直的一条直线C ．与l 平行的一条直线D ．与l 平行的两条直线 3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) A ．y ＝x 与y 2＝xB ．y ＝x 与xy＝1C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x|D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x≤2)5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4B ．x 2＋y 2＝4 (x>0)C ．y ＝－4－x 2D ．y ＝－4－x 2 (0<x<2)6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是( )A ．曲线C 的方程是F(x ，y)＝0B ．方程F(x ，y)＝0的曲线是CC ．坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上D ．坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 ______________________________．9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________．三、解答题10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B(3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．能力提升12．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A .[]－1，1＋22B .[]1－22，1＋22C .[]1－22，3D .[]1－2，31．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．第二章圆锥曲线与方程§2.1曲线与方程知识梳理1．(2)曲线的方程方程的曲线2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠03．(1)(x，y) (2){M|p(M)} (3)坐标作业设计1．B [可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]2．C [方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示过点M (x 0，y 0)且和直线l 平行的一条直线．故选C.]3．C [考虑x 、y 的范围．]4．B [直接法求解，注意△ABC 底边AB 的中线是线段，而不是直线．] 5．D [注意所求轨迹在第四象限内．] 6．C [直接法：原说法写成命题形式即“若点M (x ，y )是曲线C 上的点，则M 点的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，其逆否命题是“若M 点的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则M 点不在曲线C 上”，此即说法C.特值方法：作如图所示的曲线C ，考查C 与方程F (x ，y )＝x 2－1＝0的关系，显然A 、B 、D 中的说法都不正确．] 7．16－8 3 28．4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0解析设动点坐标为(x ，y )，则|4x ＋3y －5|5＝1，即|4x ＋3y －5|＝5.∴所求轨迹方程为4x ＋3y －10＝0和4x ＋3y ＝0.9．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 10．解以两个定点A ，B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．由于|AB |＝2a ，则设A (－a,0)，B (a,0)，动点M (x ，y )．因为|MA |∶|MB |＝2∶1，所以x ＋a 2＋y 2∶x －a 2＋y 2＝2∶1，即x ＋a 2＋y 2＝2x －a 2＋y 2，化简得⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2.所以所求动点M 的轨迹方程为 ⎝⎛⎭⎪⎫x －5a 32＋y 2＝169a 2. 11．解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵P 为MB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3y 0＝2y，又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.12．C [曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的距离等于2，解得b＝1＋22或b＝1－22，因为是下半圆故可得b＝1－22，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－22≤b≤3，所以C正确．]。

人教新课标版数学高二选修2-1 作业 2.1曲线与方程

1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是 ( )解析： A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x(x >0)，此方程只表示第一象限的部分,故C 错； D 中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线,所以D 正确．答案：D3．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1 解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)，P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1.答案：C4．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是 ( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝(2＋1)2＋42＝5. 设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.答案：B5．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________. 解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k ＝0.答案：0 6．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝x 2，则点P 的轨迹方程是________．解析：PA ＝(－x －2，－y )，PB ＝(3－x ，－y )，则PA ·PB ＝(－x －2)(3－x )＋(－y )2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6.答案：y 2＝x ＋67．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线．解：(x ＋y －1)x －y －2＝0写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，或x －y －2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)， ∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)或直线x －y －2＝0. 8．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点,∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y )．∵l 1,l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2，∴PA ⊥PB .当x ≠1时，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1＝－1. 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．当x ＝1时，A ,B 点的坐标分别为(2,0),(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ,B 两点坐标分别是(2x,0),(0,2y ).连接PM ，如图． ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝(x －2)2＋(y －4)2，|AB |＝(2x )2＋(2y )2， ∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2. 化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程．法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M .∴|MP |＝|MO |.∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线．∵k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)， ∴点M 的轨迹方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.。

高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修21

高中数学 2.1.1曲线与方程课时作业新人教A版选修21(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A.y2=x与y=B.y=lgx2与y=2lgxC.=1与lg(y+1)=lg(x-2)D.x2+y2=1与|y|=【解析】选D.主要考虑x,y的取值范围,A中y2=x中y∈R,而y=中y≥0,B中y=lgx2中x≠0,而y=2lgx中x>0;C中=1中y∈R,x≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D正确.3.(2014·石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.4.(2014·安阳高二检测)曲线y=和y=-x+公共点的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.由得-x+=,两边平方并整理得(x-1)2=0,所以x=,这时y=,故公共点只有一个.【误区警示】解题中易忽略y=中x的取值范围,而写成x2+y2=1,从而解出两组解而导致出错.5.如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.6.(2014·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,所以x=1,y=1或x=-1,y=-1,所以方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a= .【解析】将(2,-3)代入x2-ay2=1,得a=.答案:【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A在曲线y=mx2上,所以2=m·22,得m=.答案:8.(2014·重庆高二检测)如果直线l:x+y-b=0与曲线C:y=有公共点,那么b的取值范围是.【解题指南】本题考查曲线的交点问题,可以先作出曲线y=的图象,利用数形结合解题.【解析】曲线C:y=表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1,0)),如图,当l 与l1重合时,b=-1,当l与l2重合时,b=,所以直线l与曲线C有公共点时,-1≤b≤.答案:[-1,]9.方程y=所表示的曲线是.【解析】原方程可化为:y=|x-2|=所以方程表示的是射线x-y-2=0(x≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】本题易忽视方程自身的条件对y的约束,即y≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每小题10分,共20分)10.方程=表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为即所以它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x≤0)和y=x(0≤x≤1).如图:11.曲线x2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k的范围,若有一个交点、无交点呢?【解析】由得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k2(3-2k)2-4(1+k2)[(3-2k)2-4]=48k-20.所以Δ>0,即k>时,直线与曲线有两个不同的交点;Δ=0,即k=时,直线与曲线有一个交点;Δ<0,即k<时,直线与曲线没有交点.【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方法曲线与直线交点的个数就是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判断.本题是判断直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k的范围.有些题目,在判断交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知曲线ax2+by2=2经过点A(0,2)和B(1,1),则a,b的值分别为( )A.,B.,C.-,D.,-【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax2+by2=2上,所以解得2.(2014·临沂高二检测)方程+=1表示的图形是( )A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个顶点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x≠0,y≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两端点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,则点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标分别代入圆C及直线l的方程,均满足.4.(2014·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则a的取值范围是( )A.a>1B.0<a<1C.0<a<1或a>1D.a∈【解题指南】分别作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再根据图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,所以方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点,则要求y=a|x|在y轴右侧的斜率足够大,所以a>1.【变式训练】如图所示,定圆半径为a,圆心为(b,c),则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由所以因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,所以x<0,y<0,所以交点在第三象限,选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共顶点的射线,易得顶点为B(2,-2),与x轴的交点为O(0,0),A(4,0),所以曲线y=|x-2|-2与x轴围成的三角形面积为S△AOB= |OA|·|y B|=4.答案:46.(2014·石家庄高二检测)曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数为.【解析】由得-|ax|=-,即a2x2=1-x2,所以(a2+1)x2=1,解得x=和x=-,代入y=-|ax|,得y=-,所以它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-,得x2+y2=1(y≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.所以由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知点P(x0,y0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,所以P在曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0,P在曲线g(x,y)=0上,即g(x0,y0)=0,所以f(x0,y0)+λg(x0,y0)=0+λ0=0,故点P在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技巧解答本类问题的关键是正确理解并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原则,即若点的坐标适合方程,则该点必在方程的曲线上;若点在曲线上,则该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,根据定义需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k的取值范围.【解析】曲线y=1+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图.直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC的斜率为k0,切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2,即=2,所以k0=,直线PA的斜率k1=,所以实数k的取值范围是<k≤.。

高中数学 211 曲线与方程课时作业新人教A版选修21

课时作业8 曲线与方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝0表示的图形是( )A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.所以方程表示点(2，－2)．答案：C2．已知直线l ：x ＋y －3＝0和曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M(2,1)满足( )A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．答案：B3．方程1－|x|＝1－y 表示的曲线是( )A ．两条线段B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，所以y ＝|x|(y≤1)．答案：A4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( )A ．x ＋y ＝5B ．x ＋y ＝5(x≥0)C ．x ＋y ＝5(y≥0)D ．x ＋y ＝5(0≤x≤5)答案：D5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )解析：分x≥0，y≥0；x≥0，y≤0；x≤0，y≥0；x≤0，y≤0四种情形去绝对值号，即可作出判断．答案：D6．若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则( )A ．m ∈RB ．m ∈(－∞，1)C ．m ＝1D ．m ∈(1，＋∞)解析：联立y ＝x 2－x ＋2与y ＝x ＋m 得x 2－2x ＋2－m ＝0.由Δ＝4－4(2－m )>0，得m >1. 答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．解析：由22－a (－3)2＝1，得a ＝13.答案：138．方程x 2－y 2＝0表示的图形是________．解析：由x 2－y 2＝0得y ＝±x ，所以方程x 2－y 2＝0表示的图形是两条直线．答案：两条直线9．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________．解析：在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：1三、解答题(共40分)10．(10分)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断P (1，－2)，Q (2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解：(1)因为12＋(－2－1)2＝10，而(2)2＋(3－1)2≠10.所以点P (1，－2)在方程表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程表示的曲线上．(2)因为点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.11．(15分)求曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标．解：在方程x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，得x 2－3x －4＝0，x ＝4或x ＝－1.∴曲线与x 轴的交点为(4,0)和(－1,0)．12．(15分)求证：对任意m∈R，曲线mx －y －m ＋1＝0和曲线(x －2)2＋y 2＝4恒有交点．证明：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧mx －y －m ＋1＝0 ①x －22＋y 2＝4 ②由①得y ＝mx －m ＋1.代入②得，(x －2)2＋[mx －(m －1)]2＝4， ∴(m 2＋1)x 2－[2m (m －1)＋4]x ＋(m －1)2＝0，Δ＝4(m 2－m ＋2)2－4(m 2＋1)(m －1)2＝4(3m 2－2m ＋3)＝4[3(m －13)2＋83]>0，对任意m ∈R成立，所以两曲线对任意m ∈R 恒有交点．。

2021年高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1

1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:417.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S=|AB|·h=10,△ABC∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.J26374 6706 朆6? 32794 801A 耚 27798 6C96 沖31454 7ADE 竞W,21462 53D6 取Z31285 7A35 稵。

高中数学课时训练(四)曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2-1(2021年整理)

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课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3）2＋（y－2)2＝2，则点M(2,1)（) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上,但在曲线C上解析：选B 将点M（2,1）的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线（)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y,方程不变,所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋｜y－1|＝0表示的曲线是( ）解析：选B 方程x＋｜y－1｜＝0可化为|y－1｜＝－x≥0,则x≤0,因此选B．4．已知两点M（－2,0)，N（2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN｜·|MP|＋MN·NP＝0,则动点P(x，y)的轨迹方程为（）A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选B 设点P的坐标为（x，y)，则MN＝（4,0），MP＝(x＋2，y）,NP＝（x－2,y),∴|MN｜＝4，｜MP｜＝错误!，MN·NP＝4(x－2)．根据已知条件得4 错误!＝4（2－x)．整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．5．已知A(－1，0),B（2,4），△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( ）A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是y－0 4－0＝x＋12＋1，即4x－3y＋4＝0,线段AB的长度|AB｜＝错误!＝5．设C的坐标为(x，y),则错误!×5×错误!＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．解析:对方程左边配方得(x－2）2＋2(y＋2）2＝0．∵（x－2)2≥0，2（y＋2)2≥0，∴错误!解得错误!从而方程表示的图形是一个点（2，－2)．答案：一个点(2，－2）7．已知两点M（－2,0），N(2，0)，点P满足PM·PN＝12，则点P的轨迹方程为________________．解析:设P(x，y)，则PM＝（－2－x，－y),PN＝(2－x，－y）．于是PM·PN＝(－2－x）（2－x)＋y2＝12,化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．答案：x2＋y2＝168．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．解析：设M（x，y），B（x0，y0),则y0＝2x错误!＋1．又M为AB的中点，所以错误!即错误!将其代入y0＝2x错误!＋1得,2y＋1＝2×(2x）2＋1，即y＝4x2．答案：y＝4x29．在平面直角坐标系中，已知动点P（x,y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且OP·MN＝4，求动点P的轨迹方程．解:由已知得M(0，y），N（x,－y),则MN＝（x,－2y),故OP·MN＝(x，y)·（x，－2y)＝x2－2y2，依题意知，x2－2y2＝4，因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y 轴的交点为N，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹．解：设点Q的坐标为（x，y），点M的坐标为(x0，y0)（y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y）＝(x0，y0)＋(0，y0）＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝错误!．又点M在圆C上，所以x错误!＋y错误!＝4，即x2＋错误!＝4(y≠0）．所以动点Q的轨迹方程是错误!＋错误!＝1（y≠0）．层级二应试能力达标1．已知点O(0,0），A（1，－2），动点P满足|PA|＝3|PO｜,则点P的轨迹方程是( ) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：选A 设动点P（x,y)，则由|PA｜＝3|PO|,得错误!＝3错误!．化简,得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )A．y2＝x与y＝错误!B．y＝lg x2与y＝2lg xC．错误!＝1与lg（y＋1）＝lg（x－2)D．x2＋y2＝1与｜y|＝1－x2解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1，1］，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．3．方程y＝－错误!对应的曲线是（）解析：选A 将y＝－错误!平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α）在曲线（x－2）2＋y2＝3上，则α的值为（）A．错误!B．错误!C．错误!或错误!D．错误!或错误!解析：选C 将点P的坐标代入曲线（x－2)2＋y2＝3中,得(cos α－2)2＋sin2α＝3,解得cos α＝12．又0≤α<2π,所以α＝错误!或错误!．故选C．5．方程|x－1｜＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析:方程|x－1|＋｜y－1|＝1可写成错误!或错误!或错误!或错误!其图形如图所示，它是边长为2的正方形,其面积为2．答案：26．给出下列结论：①方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，方程错误!＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点（2，0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误;对于③，方程（x2－4)2＋（y－4）2＝0表示点（－2，2）,（－2，－2）,（2，－2)，（2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC｜＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示），则A(0，3）．设△ABC的外心为P（x，y)，因为点P在线段BC的垂直平分线上,所以不妨令B（x＋2,0），C(x－2,0）．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB｜，即错误!＝错误!，化简得x2－6y＋5＝0．于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0．8．已知两点P(－2,2),Q（0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为错误!的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．解：设A（m，m），B（m＋1，m＋1)，当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝错误!(x＋2）＋2和y＝错误!x＋2．由错误!消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0．当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2,其交点为(－2,－4）,满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4），满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．。

高中数学 211 曲线与方程课时作业 新人教A版选修21(1)

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2