2019 2020新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册

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2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册

答案 (1)C (2)D (3)52 A
答案
核心素养形成
题型一三角函数在物理中的应用例 1 交流电的电压 E(单位：V)与时间 t(单位：s)的关系可用 E＝220 3 sin100πt＋π6来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
答案
金版点睛
解三角函数应用问题的基本步骤
[跟踪训练2] 某地昆虫种群数量在七月份 1～13 日的变化如图所示，且满足 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)．
(1)根据图中数据求函数解析式； (2)从 7 月 1 日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰？
解 (1)由图象可知 ymax＝900，ymin＝700，且 A＋b＝ymax，－A＋b＝ymin，所以 A＝ymax－2 ymin＝900－2 700＝100，b＝ymax＋2 ymin＝800，且 T＝12＝2ωπ，所以 ω＝π6. 将(7,900)看作函数图象的第二个特殊点，得π6×7＋φ＝π2.所以 φ＝－23π. 因此所求的函数解析式为 y＝100sinπ6x－23π＋800.
答案
从而所求的函数关系式是 x＝3sin23πt＋π2＝3cos23πt. (2)令 t＝5，得 x＝3cos103π＝－1.5，故 t＝5 s 时，该物体在 O 点左侧且距 O 点 1.5 cm 处．
答案
题型二三角函数模型的简单实际应用例 2 在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)的表达式是 D(t)＝3sin326π5t－79＋12，其中 t 表示某天的序号，t＝0 表示 1 月 1 日，以此类推． (1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？ (2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过 10.5 小时？

2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换教师用书新人教A版必修第一册

5．5.2 简单的三角恒等变换问题导学预习教材P225－P228，并思考以下问题： 1．如何用cos α表示sin2α2，cos 2α2和tan 2α2？ 2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？1．半角公式2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝ba)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．( ) (2)cos α2＝1＋cos α2.( ) (3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )答案：(1)× (2)× (3)×若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33答案：A已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A ．－1010B.1010C.3310 D ．－35答案：B已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，则tan θ2＝________．答案：－2应用半角公式求值已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2 的值．【解】因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＋45×1213＝3365.因为π2＜α＜π且0＜β＜π2，所以0＜α－β＜π，即0＜α－β2＜π2. 所以cos α－β2＝1＋cos （α－β）2＝1＋33652＝76565.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2计算．1．已知sin α＝－45且π＜α＜3π2，则sin α2＝________．解析：因为sin α＝－45，π＜α＜3π2，所以cos α＝－35.又π2＜α2＜3π4，所以sin α2＝1－cos α2＝ 1＋352＝255. 答案：2552．已知cos 2θ＝－2325，π2<θ<π，求tan θ2的值．解：因为cos 2θ＝－2325，π2<θ<π，依半角公式得sin θ＝1－cos 2θ2＝ 1＋23252＝265， cos θ＝－1＋cos 2θ2＝－1－23252＝－15，所以tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋15265＝62.三角函数式的化简化简（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π＜α＜0)．【解】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π＜α＜0，所以－π2＜α2＜0，所以sin α2＜0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.(变条件)若本例中式子变为（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2 θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 θ2－cos 2 θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0＜α＜π)．解：因为tan α2＝sin α1＋cos α，所以(1＋cos α)tan α2＝sin α，又因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2 α2，所以原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cosα2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2.所以sin α2＞0.所以原式＝－22cos α2.与三角函数性质有关的问题已知函数f (x )＝cos(π＋x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调递增区间．【解】 f (x )＝(－cos x )·(－sin x )－3·1＋cos 2x 2＋32＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)f (x )的最小正周期为π，最大值为1. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f （x ）＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式↓利用辅助角公式化为f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）＋k的形式，研究其性质1．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.f (x )＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12sin 2x，是奇函数．故选A.2．已知函数f(x)＝sin x－23sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－ 3＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π3－3，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤2π3，所以π3≤x＋π3≤π.当x＋π3＝π，即x＝2π3时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.1．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( ) A．－63B．－66C.66D.63解析：选B.由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－23.因为α2∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cosα2＝－1＋cos α2＝－66.故选B.2．化简： 1＋cos （3π－θ）2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π＝________．解析：原式＝1－cos θ2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2，因为3π2<θ<2π，所以3π4<θ2<π，所以sin θ2>0，故原式＝sin θ2.答案：sin θ23．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，sin(α＋β)＝79.(1)求tan β2的值；(2)求sin α的值．解：(1)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－13，则sin β＝223， tan β2＝sin β1＋cos β＝2231－13＝ 2.(2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，从而cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫792＝－429，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×223＝13. [A 基础达标]1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B ．－23C.13D.23解析：选D.cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23.2．若cos 2α＝－45，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则sin α＝( )A.31010B.1010C.35D ．－1010解析：选A.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝1－cos 2α2＝31010. 3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. 4．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin αD ．－cos α－sin α解析：选D.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以sin α≥0，cos α≤0，则1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2＝cos 2α－sin 2α ＝|cos α|－|sin α|＝－cos α－sin α.5．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f (x )＝cos 2x －2cos 2x2(x ∈[0，π])的最小值为( )A ．1B ．－1 C.54D ．－54解析：选D.由题意，得f (x )＝cos 2x －2cos 2x2＝cos 2x －(1＋cos x )＝cos 2x －cos x －1，设t ＝cos x (x ∈[0，π])，y ＝f (x )，则t ∈[－1，1]，y ＝t 2－t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54，所以当t＝12，即x ＝π3时，y 取得最小值，为－54，所以函数f (x )的最小值为－54，故选D. 6．已知sin θ2－cos θ2＝63，则cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2－cos θ2＝63，所以1－sin θ＝23，即sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－29＝79.答案：797．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝________．解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝23，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α2＝1＋232＝56.答案：568．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．解析：因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6. 答案：－π69．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝45，求tan α2的值．解：因为sin(270°＋α)＝45，所以cos α＝－45. 又180°<α<270°，所以90°<α2<135°. 所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3. 10．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0<α<π)．解：因为tan α2＝sin α1＋cos α，所以(1＋cos α)tan α2＝sin α. 又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2α2，所以原式＝－sin α－sin α2sin 2α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为0<α<π，所以0<α2<π2.所以sin α2>0. 所以原式＝－22cos α2. [B 能力提升]11．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＋cos θ的值是( ) A.62B ．－62C ．－22 D.22 解析：选C.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ ＝12cos 2θ＝34. 所以cos 2θ＝32. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin 2θ＝－12，且sin θ＋cos θ＜0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－12＝12. 所以sin θ＋cos θ＝－22. 12．已知sin 2θ＝35，0＜2θ＜π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________．解析：2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2 θ2－1－sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0＜2θ＜π2，所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13，所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12，即2cos 2 θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12. 答案：1213．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x . (1)求函数f (x )图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的最大、最小值．解：f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －22·1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－ 2. (1)令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝12k π＋π8(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝12k π＋π8(k ∈Z )．令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝12k π－π8(k ∈Z )．所以函数f (x )图象的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π－π8，－2(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π4≤2x ＋π4≤5π4，－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，所以当x ＝π2时，f (x )取最小值－322，当x ＝π8时，f (x )取最大值1－ 2. [C 拓展探究]14．点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？解：如图所示．因为AB 为半圆的直径，所以∠APB ＝π2，又AB ＝1，所以PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切半圆于P 点，所以∠TPB ＝∠PAB ＝α，所以S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＋14. 因为0＜α＜π2，所以－π4＜2α－π4＜3π4，所以当2α－π4＝π2，即α＝3π8时， S 四边形ABTP 取得最大值24＋14.。

新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数课时练习题及章末测验精选习题含解析

第五章三角函数1.任意角 .......................................................................................................................... - 1 -2.弧度制 .......................................................................................................................... - 6 -3.三角函数的概念......................................................................................................... - 12 -4.同角三角函数的基本关系......................................................................................... - 17 -5.公式二、公式三和公式四......................................................................................... - 23 -6.公式五和公式六......................................................................................................... - 29 -7.周期性与奇偶性......................................................................................................... - 34 -8.单调性与最值............................................................................................................. - 39 -9.正切函数的性质与图象............................................................................................. - 46 -10.两角差的余弦公式................................................................................................... - 52 -11.两角和与差的正弦、余弦公式............................................................................... - 58 -12.两角和与差的正切公式........................................................................................... - 66 -13.二倍角的正弦、余弦、正切公式........................................................................... - 73 -14.简单的三角恒等变换............................................................................................... - 79 -15.函数y＝A sin(x＋φ) .................................................................................................. - 87 -16.三角函数的应用....................................................................................................... - 95 -章末综合测验.............................................................................................................. - 102 -1.任意角一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C.]2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( )A．170° B．190°C．－190° D．－170°C[与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k＜－12536，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.]3．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( ) A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋αC[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．]4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是( )A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限A[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．]5．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角C[由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．]二、填空题6．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}[在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．]7．(一题两空)与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．219°－141°[与 2 019°角的终边相同的角为 2 019°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，219°为最小正角；当k＝－6时，－141°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解]与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图(1)所示．(2)角β终边所在区域如图(2)所示．图(1) 图(2)(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z} .11．已知θ为第二象限角，那么θ3是( )A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角D[∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°＜θ3＜60°＋k·120°，k∈Z，当k＝0时，30°＜θ3＜60°，属于第一象限，当k＝1时，150°＜θ3＜180°，属于第二象限，当k＝－1时，－90°＜θ3＜－60°，属于第四象限，∴θ3是第一、二或第四象限角．]12．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈ZB[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]13．终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z} [如图所示终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3 x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．]14．(一题两空)已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________.15°65°[由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得：α＝15°，β＝65°.]15．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．[解]根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z,14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°＜α＜β＜180°，知0°＜2α＜2β＜360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°＜2α＜2β＜180°，即45°＜α＜β＜90°，所以45°＜α＝m 7·180°＜90°，45°＜β＝n7·180°＜90°，所以74＜m ＜72，74＜n ＜72.因为α＜β，所以m ＜n ，又m ，n ∈Z ，所以m ＝2，n ＝3，所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5407°.2.弧度制一、选择题1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B ．323C.16π3D ．32π3D [1 920°＝5×360°＋120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π＋2π3 rad ＝32π3 rad.]2．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A.π6B.π3C.2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.] 3．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y轴上角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧α⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限D [因为－2π＜－5＜－3π2，所以α是第一象限角．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4，面积为2，所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]7．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________． ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪ －π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z[y 轴对应的角可用－π2，π2表示，所以y 轴右侧角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z.] 8．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________．35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为57π， ∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[解](1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2kπ(k∈Z)，又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－296π；当k＝－2时，γ＝－176π；当k＝－1时，γ＝－56π.10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S. [解](1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3rad.(2)由(1)可知α＝π3rad，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－3. 11．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.] 12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(3≈1.73)( )A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B [如图，由题意可得：∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt△AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，可得：弦＝2AD ＝2×23＝43，所以，弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米)．]13．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．] 14．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________．2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，此时α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]15．如图所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．[解] AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm2)．3.三角函数的概念一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( )A．－12B．12C．－32D．32D[sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32 .]2．已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为( ) A．P(sin α，cos α) B．P(cos α，sin α)C．P(r sin α，r cos α) D．P(r cos α，r sin α)D[设P(x，y)，则sin α＝yr，∴y＝r sin α，又cos α＝xr，∴x＝r cos α，∴P(r cos α，r sin α)，故选D.]3．若cos α与tan α同号，那么α在( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第三、四象限D．第二、四象限B[因为cos α与tan α同号，所以α在第一、二象限．] 4．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2＋y2，其中正确的个数为( )A．0 B．1C ．2D ．3 B [①正确；②错误，如sin π6＝sin 5π6； ③错误，如sinπ2＝1＞0； ④错误，cos α＝x x 2＋y 2.所以B 选项是正确的．]5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A ．tan A 与cosB B ．cos B 与sinC C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin CD [∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2， ∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.]二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝ .－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.] 7．点P (tan 2 020°，cos 2 020°)位于第象限．四 [因为2 020°＝5×360°＋220°，所以2 020°与220°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 020°＞0，cos 2 020°＜0，所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝ .－8 [因为|OP |＝x 2＋－62＝x 2＋36，所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.11．点P 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，所以点Q 是角26π3与单位圆的交点，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 26π3，sin 26π3，又cos 26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3＝－12，sin 26π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝sin 2π3＝32，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 12．(多选题)|cos x |cos x ＋tan x|tan x |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2ACD [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x＝1－1＝0. 综上知原函数的值域是{－2,0,2}．]13．(一题两空)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则a ＝，sin α＋cos α的值为．－12 －713 [根据三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12，∴P (5，－12)．这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.] 14．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝ .35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0， r ＝－3cos θ2＋4cos θ2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]15．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sinθ2cosθ2tanθ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上，因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z . 当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tanθ2＜0，所以sinθ2cosθ2tanθ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cosθ2＞0，tanθ2＜0，所以sinθ2cosθ2tanθ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.4.同角三角函数的基本关系一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.]2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14 B ．12 C ．1D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.] 3．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D ．35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35.]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos xD ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝( ) A.23B ．－23C.13 D ．－13B [由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－23.] 二、填空题6．化简11＋tan 220°的结果是．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220° ＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.]7．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝ . 2 [由⎩⎨⎧cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.] 8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ . 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解] (1)原式＝sin α1－sin α－sin α1＋sin α1＋sin α1－sin α＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α. (2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．若3π2<α<2π，求证： 1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝－2sin α.[证明] ∵3π2<α<2π，∴sin α<0.左边＝1－cos α21＋cos α1－cos α＋1＋cos α21－cos α1＋cos α ＝ 1－cos α2sin 2α＋ 1＋cos α2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α＝右边．∴原等式成立．11．(多选题)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43B ．cos α＝35C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15AB [∵sin α＝45，且α为锐角，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， ∴tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，∴sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误，∴sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．故选AB.] 12.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( )A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝cos 10°－sin 10°2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]13．(一题两空)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为，tan θ＝ .0或8 －34或－512 [因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1. 整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.又tan θ＝sin θcos θ＝m －34－2m当m ＝0时，tan θ＝－34；当m ＝8时，tan θ＝－512.] 14．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝ .±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sinθ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]15．(1)分别计算cos 4π6－sin 4π6和cos 2π6－sin 2π6，cos π3的值，你有什么发现？(2)计算cos 4π4－sin 4π4，cos 2π4－sin 2π4，cos π2的值，你有什么发现．(3)证明：∀x ∈R ，cos 2x －sin 2x ＝cos 4x －sin 4x .(4)推测∀x ∈R ，cos 2x －sin 2x 与cos 2x 的关系，不需证明． [解] (1)cos 4π6－sin 4π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π6＋sin 2π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π6－sin 2π6＝cos 2π6－sin 2π6＝34－14＝12＝cos π3. (2)cos 4π4－sin 4π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π4＋sin 2π4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π4－sin 2π4＝cos 2π4－sin 2π4＝12－12＝0＝cos π2. (3)证明：cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 2x －sin 2x . (4)推测cos 2x －sin 2x ＝cos 2x .5.公式二、公式三和公式四一、选择题1．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( ) A.14 B ．34 C.114D ．94A [因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22， sin 210°＝sin (180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( ) A ．1－a 2 B.1－a 2 C ．－1－a 2D ．±1－a 2B [因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题 6.2＋2sin2π－θ－cos 2π＋θ可化简为．1－sin θ [原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝ 2－2sin θ－1－sin 2θ＝sin θ－12＝1－sin θ.]7．已知co s(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ .1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝12 13，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sinα－π＋3tan3π－α4cosα－3π＝ .－73[因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sinα－π＋3tan3π－α4cosα－3π＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.]三、解答题9．已知tan(7π＋α)＝2，求2cosπ－α－3sin3π＋α4cos－α＋sin2π－α的值．[解]∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴2cosπ－α－3sin3π＋α4cos－α＋sin2π－α＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2.10．已知f (α)＝sinπ＋αcos 2π－αtan －αtan －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝－sin αcos α－tan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12. 11．(多选题)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＋sin C ＝0 B ．cos(A ＋B )＋cos C ＝0 C ．sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝0 D ．cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝0BC [A.sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ； B ．cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0；C ．sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；D ．cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .]12．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 018)＝8，则f (2 019)的值为．6 [因为f (2 018)＝a sin(2 018π＋α)＋b cos(2 018π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7，所以a sin α＋b cos β＋7＝8，所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019 π＋β)＋7＝－a sin α－b cosβ＋7＝－1＋7＝6.所以f (2 019)＝6.] 14．已知f (x )＝⎩⎨⎧sin πxx ＜0，f x －1－1x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6 ＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．[解] 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.6.公式五和公式六一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( ) A ．－12B ．12 C.32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝－12.]2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±kD ．不确定B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－13B.13C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C.2a 3 D ．3a 2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sinθ－5πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos 8π－θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin －θ－4π＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sinθ－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos θcos θsin －θ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.]二、填空题6．化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝ . －1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝ .－3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3.]8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝ .－35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－1－cos 25°＋α＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－35.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin2θ＝tan9π＋θ＋1tanπ＋θ－1.[证明]左边＝－2cos θ·sin θ－1 sin2θ＋cos2θ－2sin2θ＝－sin θ＋cos θ2cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan8π＋π＋θ＋1 tanπ＋θ－1＝tanπ＋θ＋1tanπ＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，所以等式成立．11．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为( )A．－32B．32C．－12D．12A[因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－32 .]12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( ) A．89 B．90C.892D．45C[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋12＝892.]13．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin⎝⎛⎭⎪⎫32π－θ＝ .310 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.] 14．(一题两空)已知f (α)＝tanπ－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos－α－π.(1)化简f (α)＝ .(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，则tan α＝ .(1)sin α (2)－43 [(1)f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos－α－π＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.]15．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，所以sin 2α＝12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入②，得cos β＝32. 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件.7.周期性与奇偶性一、选择题1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )。

2024-2025学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角教案新人教A版必修第一册

1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究任意角的概念。
2. 利用多媒体手段，直观展示任意角的形象，帮助学生理解。
3. 实例分析，让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程：
1. 导入：回顾角度的基本概念，引出任意角的概念。
2. 新课讲解：讲解任意角的定义，引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动：进行角度转换练习，让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展：通过实例分析，让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学反思：
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生的学习兴趣和效果。同时，关注学生在学习过程中的问题，及时进行解答，确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标：
1. 理解任意角的概念，掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系，能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点：
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法：
2024-2025学年高中数学第五章三角函数 5.1.1 任意角教案新人教A版必修第一册
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教材分析
本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法，是学习三角函数的基础。通过本节课的学习，学生应掌握任意角的定义，了解用弧度制表示角的方法，并理解任意角与标准角的关系。

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案新人教A版

2019-2020年高三数学《三角函数》复习教案新人教A 版一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记，则，，，。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，变形后得22c o s 1s i n ,22c o s 1c o s 22α-=αα-=α，可以作为降幂公式使用。

新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A版必修第一册11

新教材高中数学第五章三角函数章末复习提升课教师用书新人教A 版必修第一册11章末复习提升课同角三角函数基本关系式和诱导公式已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）(n ∈Z )．【解】因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32. (2)sin[α＋（2n ＋1）π]＋sin （π＋α）sin （π－α）cos （α＋2n π）＝sin （α＋2n π＋π）－sin αsin αcos α＝sin （π＋α）－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.(1)同角三角函数基本关系的应用①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解． ②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cos α或cos 2α，化成正切后代入．(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin 2α＋cos 2α代入，再通过分子分母同除以cos α或cos 2α化切．(2)用诱导公式化简求值的方法①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2k π±α，π±α，π2±α，32π±α(或k ·π2±α，k ∈Z )的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．1．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3.因为|θ|＜π2，所以θ＝π3.2．已知3sin （π＋α）＋cos （－α）4sin （－α）－cos （9π＋α）＝2，则tan α＝________．解析：由已知得－3sin α＋cos α－4sin α＋cos α＝2，则5sin α＝cos α，所以tan α＝15.答案：153．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x 的值为________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.答案：－75三角函数的图象及变换已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，写出函数y ＝g (x )的解析式．【解】 (1)由题可知T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又f (x )min ＝－2，所以A ＝2.由f (x )的最低点为M ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1.因为0<φ<π2，所以4π3<4π3＋φ<11π6.所以4π3＋φ＝3π2.所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，所以g (x )＝2sin x .(1)由图象或部分图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数 ①A ：由最大值、最小值来确定A . ②ω：通过求周期T 来确定ω. ③φ：利用已知点列方程求出．(2)函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，(A ＞0，ω＞0)x ∈R 图象的两种方法1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以只需把函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选B.3．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A ＋2＝3，则A ＝1，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ＋2，则当x ＝5π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×32＋φ＋2＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2k π，则φ＝－3π4＋2k π，因为|φ|<π，所以当k ＝0时，φ＝－3π4，故A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4.三角函数的性质已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sin x ，cos x 的有界性．②从y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2。

2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.3正切函数的性质与图象教师用书新人教A版必修第一册

5．4.3 正切函数的性质与图象问题导学预习教材P209－P212，并思考以下问题： 1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？ 3．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y ＝tan x 的图象与性质(1)正切函数在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．(2)画正切函数图象常用三点两线法：“三点”是指(－π4，－1)，(0，0)，(π4，1)，“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2，大致画出正切函数在(－π2，π2)上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π2，k ∈ZB ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π3，k ∈Z答案：D函数y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．3π答案：A函数f (x )＝tan x 在[－π3，π4]上的最小值为________．答案：－ 3函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递增区间是________．答案：(－π4＋k π，3π4＋k π)，k ∈Z正切函数的定义域、值域(1)函数 y ＝tan(2x －π4)的定义域是________．(2)函数y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域是________．【解析】 (1)因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }． (2)令t ＝tan x ，则t ∈R ，故y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)．【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋3π8，k ∈Z (2)[－5，＋∞)求正切函数定义域的方法(1)①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .②求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .(2)求正切函数值域的方法①对于y ＝A tan(ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域．1．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在(－π4，π6]上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]2．函数y ＝lg(3－tan x )的定义域为________．解析：因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z正切函数的单调性及其应用(1)求y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的单调区间．(2)比较tan 65π与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π的大小．【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z ，所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π＝－tan 137π ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7＜tan π5，即tan 65π＞tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－137π.(变条件)本例(1)中函数变为y ＝tan(－12x ＋π4)，求该函数的单调区间．解：y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．1．函数 f (x )＝13tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫2k －32，2k ＋12，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z解析：选 A ．由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z )．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________．解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．【解】由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2（k ∈Z ），－tan x ，－π2＋k π<x <k π（k ∈Z ），其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间为(－π2＋k π，k π](k ∈Z )，周期为π.正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．已知函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω<0)的周期为π2，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性．解：y ＝tan(ωx ＋π4)(ω<0)的周期为π|ω|＝π2，解得ω＝2或ω＝－2.因为ω<0，所以ω＝－2，故y ＝tan(－2x ＋π4)＝－tan(2x －π4)．由2x －π4≠k π＋π2(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋3π8(k ∈Z )，所以该函数的定义域为{x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }，值域为R . 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.2．比较大小：tan 13π4________tan 17π5.解析：因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又 0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以 tan π4<tan 2π5，即 tan 13π4<tan 17π5.答案：<3．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、周期，并指出它的单调区间．解：要使函数有意义，自变量x 的取值应满足3x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π3＋5π18(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ≠k π3＋5π18，k ∈Z }．函数的周期T ＝π3.令k π－π2<3x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，即k π3－π18<x <k π3＋5π18(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为(k π3－π18，k π3＋5π18)(k ∈Z )，不存在单调递减区间．[A 基础达标]1．当x ∈(－π2，π2)时，函数y ＝tan |x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．无法确定解析：选B.函数y ＝tan |x |，x ∈(－π2，π2)是偶函数，其图象关于y 轴对称．故选B.2．与函数y ＝tan(2x －π4)的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝－π8解析：选D.当x ＝－π8时，2x －π4＝－π2，而－π2的正切值不存在，所以直线x ＝－π8与函数的图象不相交．3．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4的值域是( ) A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x ＜π4，所以－1＜tan x ＜1，所以1tan x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的 ()解析：选A.由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，0.5．在(0，2π)内，使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∩⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32πD.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32π 解析：选 D ．因为 x ∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32π.6．函数y ＝tan(π4＋6x )的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：{x |x ≠k π6＋π24，k ∈Z } 7．函数y ＝tan(x 2＋π4)，x ∈(0，π6)的值域是________．解析：因为0<x <π6，则π4<x 2＋π4<π3，所以1<tan(x 2＋π4)< 3.答案：(1，3)8．函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调减区间为________．解析：因为 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以原题即求函数 y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间．由 k π－π2<x － π4<k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π4<x <k π＋3π4，k ∈Z ，即函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z .答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．解：设t ＝2x ，(1)定义域：y ＝tan 2x ＝tan t ，要使函数y ＝tan t 有意义，必须且只需t ≠k π＋π2，k∈Z ，即2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π4，k ∈Z .所以函数y ＝tan 2x 的定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }． (2)值域：由t ≠k π＋π2，k ∈Z 知y ＝tan t 的值域为(－∞，＋∞)，即y ＝tan 2x 的值域为(－∞，＋∞)．(3)周期：(定义法)由tan 2(x ＋π2)＝tan(2x ＋π)＝tan 2x ，所以y ＝tan 2x 的周期为π2.(公式法)正切函数y ＝tan 2x 的周期T ＝π|ω|＝π2.(4)奇偶性：定义域关于原点对称．令y ＝f (x )＝tan 2x ，则f (x )满足：f (－x )＝tan(－2x )＝－tan 2x ＝－f (x )，所以y ＝tan 2x 为奇函数．(5)单调区间：y ＝tan t 的单调递增区间为(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的单调递增区间为(k π2－π4，k π2＋π4)，k ∈Z . 10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°； (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝tan 2π5，且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以tan π4<tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. [B 能力提升]11．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则 ( ) A ．0＜ω≤1B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，所以ω＜0且T ＝π|ω|≥π. 所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.12．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以y ＝tan x 2在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π＋2k π，k ∈Z ，所以④不正确．答案：①②13．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．解：因为y ＝|tan x |＋tan x＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈[k π，π2＋k π），k ∈Z ，0，x ∈（－π2＋k π，k π），k ∈Z ，所以画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，如图所示：则该函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π2＋k π，k ∈Z ，值域是[0，＋∞)，单调递增区间是[k π，k π＋π2)，k ∈Z ，最小正周期是π.14．设函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集．解：(1)根据函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得 x ≠2k π＋5π3，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 它的最小正周期为π12＝2π. 令 k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，得 2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3，即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤ 3，所以 k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ，求得 2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ，故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . [C 拓展探究]15．设函数y ＝10tan[(2k －1)·x 5]，k ∈N *.当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k 的最小正整数值．解：由题意可得，当x 在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T 满足T ≤12，即π2k －15≤12，求得k ≥10π＋12，故k 的最小正整数值为17.。

第5章三角函数(复习课件) 高一数学 (人教A版2019必修第一册)

6
6
变、横坐标缩短为原来的 1 ,得到 y=sin(2x+ π ),再横坐标保持不变,纵坐
2
6
标变为原来的 1 得到 y= 1 sin(2x+ π ),最后把函数 y= 1 sin(2x+ π )的图
2
2
6
2
6
象向下平移 1 个单位,得到 y= 1 sin(2x+ π )-1 的图象.
2
6
解题方法（三角函数的图象及变换注意事项）
＝14.
解法3：令M＝sin 220°＋cos 280°＋ 3sin 20°cos 80°，
则其对偶式N＝cos 220°＋sin 280°＋ 3cos 20°sin 80°.
因为M＋N
＝(sin 220°＋cos 220°)＋(cos 280°＋sin 280°)＋ 3(sin 20°cos 80°＋cos 20°sin
(1)求 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，写出函数 y＝g(x)的解析式．
[解] (1)由题可知 T＝2ωπ＝π，所以 ω＝2. 又 f(x)min＝－2，所以 A＝2. 由 f(x)的最低点为 M，得 sin43π＋φ＝－1. 因为 0＜φ＜π2，所以43π＜43π＋φ＜116π. 所以43π＋φ＝32π.所以 φ＝π6. 所以 f(x)＝2sin2x＋π6.
知识梳理
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
二倍角公式sin2α＝2sinαcosα
三
tan2α＝1－2tatannα2α

2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册

月份
1
2 34 5 6
平均气温－5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3
月份
7
8 9 10
平均气温 22.8 22.2 18.2 11.9 则适合这组数据的函数模型是
A．y＝acos
πx 6
B．y＝acosx－61π＋k(a>0，k>0)
C．y＝－acosx－61π＋k(a>0，k>0)
[对点练清]
1．如图为一半径为 3 m 的水轮，水轮圆心 O 距水面 2 m，已知水轮每分钟转 4 圈，水轮上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(s)满足关系式 y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有
A．ω＝51π2，A＝5
B．ω＝21π5，A＝3
C．ω＝51π2，A＝3
D．ω＝21π5，A＝5
[方法技巧] (1)已知函数模型 y＝Asin(ωx＋φ)＋b，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式，其中，利用最大(小)值求 A，b，利用周期求 ω，利用特殊点求 φ. (2) 解决此类问题的关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
已知 3 月份达到最高价 7 千元，7 月份达到最低价 3 千元，
根据以上条件可以确定 f(x)的解析式是
()
A．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋5(1≤x≤12，x∈N *)
B．f(x)＝7sinπ4x－π4＋5(1≤x≤12，x∈N *)
C．f(x)＝7sinπ4x＋π4＋5(1≤x≤12，x∈N *)
答案：D
题型三数据拟合模型的应用 [学透用活]
数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式，进而研究实际问题．在求解具体问题时，需弄清 A，ω，φ 的具体含义，只有把握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化．

2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：5.7 三角函数的应用

第五章三角函数5．7 三角函数的应用教学设计一、教学目标1.会用三角函数解决一些简单的实际问题。

2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型。

二、教学重难点1.教学重点用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题。

2.教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型。

三、教学过程1.新课导入现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。

本节课通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用。

2.探索新知现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等。

这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动，在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。

可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数表示，其中A>0，>0。

描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为相位；x=0时的相位称为初相。

3.课堂练习1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100D ．100 答案：A T ＝2π100π＝150.2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案：C 由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8. 3．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移．解：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ，所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T 2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz. (2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.4. 小结作业小结：本节课学习了三角函数的应用以及振幅、周期、频率、相位和初相的含义。

2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6函数y=Asin(ωx+φ)讲义新人教A版必修第一册

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6 函数y＝Asin（ωx ＋φ）讲义新人教A版必修第一册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）讲义新人教A版必修第一册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）讲义新人教A版必修第一册的全部内容。

5。

6 函数y＝A sin(ωx＋φ)最新课程标准：结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ）的实际意义,能借助图象理解参数ω,φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.知识点一A,ω,φ对函数y＝A sin(ωx＋φ)图象的影响1．φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响2．ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响3．A对函数y＝A sin（ωx＋φ）图象的影响错误!(1）A越大，函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小,周期越大，周期与ω为反比例关系。

（3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．（4）由y＝sin x到y＝sin(x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sinωx 的图象变换称为周期变换;由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换．知识点二函数y＝A sin（ωx＋φ），A>0，ω>0的有关性质1。

定义域:R。

2．值域:[－A，A]．3．周期性：T＝错误!。

2020学年新教材高中数学第5章三角函数章末复习课讲义新人教A版必修第一册(2021-2022学年)

第５章三角函数同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】（１)已知sin(－π＋θ)+2cos(３π-θ）＝０,则错误!=_＿___＿_＿。

(2)已知ｆ（α)=错误!未定义书签。

①化简f （α);②若f (α）＝错误!未定义书签。

，且错误!未定义书签。

<α<错误!未定义书签。

，求ｃo ｓ α-sin α的值；③若α＝－错误!未定义书签。

,求f （α）的值．[思路点拨] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．（1)错误! [由已知得－ｓi ｎ θ－２cos θ=0，故tan θ＝－2，则＼f （si ｎ θ＋cos θ,si ｎ θ－ｃos θ)＝错误!=错误!未定义书签。

=错误!。

]ﻬ（２)[解] ①f (α)=sin 2α·ｃos α·t ａｎ α(-ｓｉｎ α)(-ｔa ｎ α)=ｓin α·ｃｏs α.②由f（α)＝sinα·coｓα＝错误!可知,（cｏs α-sinα)2=ｃoｓ２α－２sin α·ｃos α＋sin2α＝1－２sin α·coｓα=1－2×错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,又∵错误!未定义书签。

<α<＼f（π,2),∴cｏs α＜ｓiｎα,即cos α-ｓin α＜0,∴cosα－ｓin α＝－错误!未定义书签。

.③∵α＝-错误!未定义书签。

π=-6×2π+错误!未定义书签。

，∴f错误!=ｃoｓ错误!未定义书签。

·sin错误!＝cｏs错误!未定义书签。

·ｓin错误!=cos错误!·ｓin错误!未定义书签。

＝错误!×错误!未定义书签。

=错误!。

1．将本例(２）中“错误!”改为“－错误!未定义书签。

”“错误!＜α＜错误!"改为“－错误!1.牢记两个基本关系式siｎ2α＋cos2α=1及错误!未定义书签。

2019-2020学年新教材高中数学第5章三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换讲义新人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2， (2)cos α2＝±1＋cos α2， (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α，(4)tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.1．已知180°＜α＜360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，又cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α＝－1＋cos α2.] 2．已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.55 B ．－55 C.45 D.255A [由题知α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴sin α2>0，sin α2＝1－cos α2＝55.] 3．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－35，cos θ＜0，则tan θ2的值等于________．－3 [由sin θ＝－35，cos θ＜0得cos θ＝－45，∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2sin θ2cosθ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3.]化简求值问题【例1】 (1)设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2(2)已知π<α<3π2，化简：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.[思路点拨] (1)先确定θ4的范围，再由sin 2θ4＝1－cosθ22得算式求值．(2)1＋cos θ＝2cos2α2，1－cos α＝2sin 2α2，去根号，确定α2的范围，化简．(1)D [∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，3π，θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2.又cos θ2＝a ，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.] (2)[解] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵π＜α＜3π2，∴π2＜α2＜3π4，∴cos α2＜0，sin α2＞0，∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cosα22＝－2cos α2.1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系． (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用sin2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cos α的值可求α2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．1．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，求tan θ2.[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，∴tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2. 法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45， ∴tan θ2＝1－cosθsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2.三角恒等式的证明【例2】求证：cos 2α1tanα2－tan α2＝14sin 2α.[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos 2α不变，直接用二倍角正切公式变形． [证明] 法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos 2αcos α2sin α2－sinα2cosα2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cosα2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边， ∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin 2α＝右边，∴原式成立．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.2．求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos xsin x .[证明] 左边＝2sin x cos x⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x2＋2sin2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x2＝cos x2sin x2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x ＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期．(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [思路点拨] 化为f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋b →由T ＝2π|ω|求周期→分析f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性→求最小值证明不等式 [解](1)f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以T ＝2π2＝π.(2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减，所以f (x )≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，得证．三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式，借助辅助角公式化为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k )的形式，将ωx ＋φ看作一个整体研究函数的性质.3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝2⎩⎪⎨⎪⎧ 32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12⎭⎬⎫－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z.三角函数在实际问题中的应用[探究问题]1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式．【例4】如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？[思路点拨] 设∠AOB ＝α→建立周长l (α)→求l 的最大值[解] 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ，此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．应用三角函数解实际问题的方法及注意事项(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系.②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等.1．思考辨析 (1)cos α2＝1＋cos α2.( ) (2)存在α∈R ，使得cos α2＝12cos α.( )(3)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．( )(4)若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.( )[提示] (1)×.只有当－π2＋2k π≤α2≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π＋4k π≤α≤π＋4k π(k ∈Z )时，cos α2＝1＋cos α2.(2)√.当cos α＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立． (3)×.当α＝2k π(k ∈Z )时，上式成立，但一般情况下不成立． (4)√.若α是第一象限角，则α2是第一、三象限角，此时tan α2＝1－cos α1＋cos α成立．[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π C [f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈π4，a ＋π4，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.]3．函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为________． π [因为f (x )＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.]4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cos 2θ.[解] 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，所以cos θ＋sin θ＝75，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ) ＝725.。

2020秋新教材高中数学第五章三角函数章末复习课分层演练含解析新人教A版必修第一册

章末复习课要点训练一三角函数的概念1.在平面直角坐标系中,设任意角α终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r=√x x+x x,则sin α=xx ,cos α=xx,tan α=xx.2.任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关,而与点P在终边上的位置无关.角与三角函数值的对应关系是多值对应关系,给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;反过来,给定一个三角函数值,有无穷多个角和它对应.3.三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限.1.若角θ的终边上一点P(a,-1)(a≠0),且tan θ=-a,则sin θ的值是()A.±√xx B.-√xxC.√xxD.-xx解析:由三角函数的定义,得tan θ=-xx=-a,所以a2=1,所以a=±1,当a=1时,sin θ=-√xx ;当a=-1时,sin θ=-√xx.答案:B2.若-xx<α<0,则点P(tan α,cos α)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-xx<α<0,所以tan α<0,cos α>0,所以点P(tan α,cos α)位于第二象限.答案:B3.已知点P(-2,y)是角θ终边上的一点,且sin θ=-√xx,求cos θ的值.解:因为sin θ=-√xx,所以角θ终边与单位圆的交点(cos θ,sin θ)为(±x√xx ,-√xx).又因为点P(-2,y)是角θ终边上的一点,所以cos θ<0,所以cos θ=-xx√x.要点训练二同角三角函数的基本关系与诱导公式三角函数式的化简、求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.(1)化简的顺序是:先用诱导公式化为同角三角函数,再用同角三角函数关系化简.(2)用同角三角函数关系化简时,有两种思路:①化弦法:当切函数的项比较少时,常常化弦达到化简的目的;②化切法:当弦函数的项比较少或者正、余弦的解析式是齐次式时,常常化切,便于化简.1.若sin αcos α=xx ,且xx<α<xx,则sin α-cos α的值为()A.-xx B.xxC.√xxD.-√xx解析:因为xx <α<xx,所以sin α>cos α.又因为sin αcos α=xx,所以(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×xx =x x.所以sin α-cos α=√xx. 答案:C2.(北京高考)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=x x ,则sin β=xx .解析:由角α与角β的终边关于y 轴对称,知α+β= π+2k π(k ∈Z),所以β=2k π+π-α(k ∈Z),所以sin β= sin α=xx .3.若θ是第四象限角,且sin θ+x x=x x,则tan θ-x x=-xx.解析:将θ-x x转化为(θ+x x)-x x.由题意,知Sin(θ+x x )=x x ,θ是第四象限角,所以cos(θ+xx )>0, 所以cos(θ+x x )=√x -xxx x (x +x x )=xx . Tan(θ-xx)=tan(θ+x x -xx)=-xxxx (x +x x)=-xxx (x +x x )xxx (x +xx)=-x x x x=-xx.4.已知x +xxx(x -x)x +xxx(xx -x )=-4,求(sin θ-3cos θ)·(cos θ-sin θ)的值.解:x +xxx(x -x)x +xxx(xx -x )=x +xxx xx -xxx x =-4,解得tan θ=2. (sin θ-3cos θ)(cos θ-sin θ)=sin θcos θ-sin 2θ-3cos 2θ+3sin θcos θ =xxxx x xxx x -xxx x x -xxxx x x xxx x x +xxx x x=xxxx x -xxx x x -xxxx x x +x=x ×x -x x -x x x +x=x x .要点训练三三角恒等变换中的求值问题三角函数求值主要有三种类型,即:(1)给角求值:一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.(2)给值求值:即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.(3)给值求角:本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.1.(全国卷Ⅱ)若α∈0,x x,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= ( )A.xx B .√xxC.√xxD.x √x x解析:因为2sin 2α=cos 2α+1, 所以4sin αcos α=2cos 2α.因为α∈(0,xx ),所以cos α>0,sin α>0,所以2sin α=cos α. 又因为sin 2α+cos 2α=1, 所以5sin 2α=1,所以sin 2α=xx,所以sin α=√xx,故选B .答案:B2.(全国卷Ⅱ)若sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=-xx . 解析:因为sin α+cos β=1, ① cos α+sin β=0, ②所以①2+②2,得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1, 所以sin αcos β+cos αsin β=-xx ,所以sin(α+β)=-xx .3.在△ABC 中,若cos A =x x ,则sin 2x +xx+cos 2A 等于-xx .解析:在△ABC 中,x +x x=x x -x x ,所以sin2x +xx+cos 2A =sin 2(x x -xx )+cos 2A =cos 2xx +cos 2A =x +xxx xx +2cos 2A -1=-xx .4.已知tan α=-xx ,cos β=√xx ,α,β∈(0,π). (1)求tan(α+β)的值;(2)求函数f (x )=√x sin(x -α)+cos(x +β)的最大值.解:(1)由cos β=√xx,β∈(0,π),得sin β=x √x x,tan β=2,所以tan(α+β)=xxx x +xxx xx -xxx x xxx x =-x x +xx -(-xx)×x=1.(2)因为tan α=-xx ,α∈(0,π), 所以sin α=√xx,cos α=-√xx.所以f (x )=√x sin x cos α-√x cos x sin α+cos x cos β-sin x sin β=-x √x xsinx -√x x cos x +√x x cos x -x √x xsin x =-√x sin x.所以f (x )的最大值为√x . 要点训练四三角函数的性质 1.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义;(2)利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为xx |x |,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为x|x |;(3)利用图象:对含绝对值的三角函数的周期问题,通常要作出图象,结合图象进行判断. 2.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t ),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间.(2)图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,因此作出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间.提醒:求解三角函数的单调区间时,若x 的系数为负应先化为正,同时不要忘记考虑函数自身的定义域.3.三角函数的对称性、奇偶性(1)正弦函数、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形,正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心.(2)若f (x )=A sin(ωx +φ)为偶函数,则φ=xx +k π(k ∈Z);若f (x )=A sin(ωx +φ)为奇函数,则φ=k π(k ∈Z).(3)若求f (x )=A sin(ωx +φ)的对称轴,只需令ωx +φ=xx+k π(k ∈Z),求x ;若求f (x )=A sin(ωx +φ)的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z),求x 即可.1.(天津高考)将函数y =sin 2x +xx 的图象向右平移xxx 个单位长度,所得图象对应的函数( )A .在区间-x x ,xx 上单调递增 B .在区间-x x ,0上单调递减C .在区间x x ,x x 上单调递增D .在区间x x,π上单调递减解析:将函数y =sin(2x +x x)的图象向右平移x xx个单位长度,得到y =sin[2(x -xxx )+xx ]=sin 2x 的图象.由2k π-xx ≤2x ≤2k π+xx ,得k π-xx ≤x ≤k π+xx ,所以函数y =sin 2x 的单调递增区间为[k π-x x ,k π+x x ],k ∈Z .取k =0,得y =sin 2x 在区间[-x x ,xx ]上单调递增.故选A .答案:A2.函数y =cos 2x +sin x -x x≤x ≤x x的最大值与最小值之和为 ( )A.xxB .2C.0D.xx解析:y =1-sin 2x +sin x =-(sin x -x x)2+xx,因为-x x≤x ≤x x,所以-x x≤sin x ≤x x.当sin x =-x x 时,y min =x x ;当sin x =x x 时,y max =x x ,所以y min +y max =x x +x x =xx . 答案:A3.若函数f (x )=3sin 2x -x x的图象为C.①图象C 关于直线x =xxx xx 对称;②函数f (x )在区间-xxx ,xxxx 上是增函数;③由y =3sin 2x 的图象向右平移xx 个单位长度可以得到图象C. 则以上三个结论中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析:①f (xxx xx)=3sin(xxx x-x x)=3sinxx x=-3,所以直线x =xxx xx为对称轴,①正确;②由-xxx <x <xxxx ,得-x x <2x -x x <x x ,由于函数y =3sin x 在区间(-x x ,xx )上单调递增,故函数f (x )在区间(-x xx ,xx xx )上单调递增,②正确;③f (x )=3sin 2(x -x x ),而由y =3sin 2x 的图象向右平移xx 个单位长度得到函数y =3sin2(x -xx )的图象,得不到图象C ,③错误.答案:C4.已知函数f (x )=(sin x +cos x )2+cos 2x. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间0,x x上的最大值和最小值.解:(1)因为f (x )=sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x =1+sin 2x +cos 2x =√x sin(2x +xx)+1,所以函数f (x )的最小正周期为xx x=π.(2)由(1)知f (x )=√x sin(2x +xx )+1. 当x ∈[0,xx]时,2x +xx∈[x x,xxx],由正弦函数y =sin x 在区间[x x,xxx]上的图象,知当2x +x x =x x,即x =x x时,f (x )取得最大值√x +1; 当2x +x x =xxx,即x =xx 时,f (x )取得最小值0.综上,f (x )在区间[0,xx ]上的最大值为√x +1,最小值为0. 要点训练五三角恒等变换中的化简证明问题三角函数式的化简是三角恒等变换应用的一个重要方面,其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中,应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.三角函数式的证明实质上也是化简,是有方向性、目标性的化简,根本原则是由繁到简,消除两端差异,达到证明目的.1.化简xxx x x+xxxx +xx xxxxxxxx x x -xxx x +x x xxxxx=tanx +x x.解析:原式=xxx (x +x x -xx )+xxx x +x x xxx xx xxx (x +x x -x x )-xxx x +x x xxxxx=xxxx +xx xxxxxxxx x +x x xxxxx=tanx +x x.2.若α∈0,x x,且2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0,则xxx (x +xx)xxxx x +xxxx x +x =√xxx.解析:因为α∈(0,xx ),且2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0,所以(2sin α-3cos α)(sinα+cos α)=0,又因为sin α+cos α=√x sin(α+xx )>0,所以2sin α-3cos α=0,所以2sin α=3cos α.又因为sin 2α+cos 2α=1, 所以cos α=xx,所以xxx (x +xx)xxxx x +xxxx x +x =√xx(xxx x +xxx x )(xxx x +xxx x )x+(xxx x x -xxx x x )=√xxxxxx x=√xxx. 3.证明:xxxx x xx°-xxxx x xx°=32sin 10°. 证明:因为左边=(√x)xxxx x xx°-xxxx x xx° =(√xxxxxx°)x-xxx x xx°xxx x xx°xxx x xx°=(√xxxxxx°+xxxxx°)(√xxxxxx°-xxxxx°)xxx x xx°xxx x xx°=x ×x x ×(√x x xxxxx°+x x xxxxx°)(√xx xxxxx°-x xxxxxx°)(xxxxxx°xxxxx°)x=xxxxxxxx°xxxxx°xxx x xx°=xxxxxxx°xxxxx°xxx x xx°=xxxxxxx°xxxxx°=xxxxxxx°xxxxx°xxxxx°=32sin 10°=右边.所以原等式成立.要点训练六数形结合思想三角函数的图象既是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现,充分体现了数形结合思想.本章在三角函数图象的变换、解析式的确定以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质中,均有数形结合思想的体现.1.(全国卷Ⅱ)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则 ( )A .y =2sin 2x -xx B .y =2sin 2x -x x C .y =2sin x +x x D .y =2sin x +x x解析:根据题图上点的坐标及函数最值点,确定A ,ω与φ的值.由题图,知x x =x x-(-x x)=x x,故T =π,因此ω=xx x=2.又因为题图的一个最高点的坐标为(xx ,2),所以A =2,且2×xx +φ=2k π+x x (k ∈Z),故φ=2k π-xx (k ∈Z),结合选项可知y =2sin(2x -xx ).故选A .答案:A2.(天津高考)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π,且gx x=√x ,则fxx x= ( )A.-2B.-√xC.√xD.2解析:因为f (x )是奇函数,所以φ=0,则f (x )=A sin ωx ,将y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g (x ),即g (x )=A sin(xx ωx ).因为g (x )的最小正周期为2π,所以xxx xx=2π,所以ω=2,则g (x )=A sin x ,f (x )=A sin 2x ,若g (xx )=√x ,则g (xx )=A sin x x =√xx A =√x , 即A =2,则f (x )=2sin 2x , 则f (xx x )=2sin(2×xx x)=2sinxx x=2×√xx =√x ,故选C . 答案:C3.(全国卷Ⅲ)函数y =sin x -√xcos x 的图象可由函数y =2sin x 的图象至少向右平移xx个单位长度得到.解析:函数y =sin x -√xcos x =2sin(x -x x ),所以只需将y =2sin x 向右平移xx 个单位长度即可.4.函数y =A sin(ωx +φ)+k A >0,ω>0,|φ|<xx 的部分图象如图所示.(1)求此函数的解析式;(2)分析一下该函数是如何通过y =sin x 变换得来的? 解:(1)由图象,知A =-xx -(-xx)x=x x,k =-xx +(-x x)x=-1,T =2×(xx x-x x )=π,所以ω=xxx=2.所以y =xx sin(2x +φ)-1.当x =x x时,2×x x+φ=x x+2k π(k 取0),所以φ=x x. 所以所求函数的解析式为y =xx sin(2x +xx )-1.(2)把y =sin x 向左平移xx个单位长度,得到y =sin(x +xx),然后纵坐标保持不变,横坐标缩短为原来的x x ,得到y =sin(2x +x x ),然后横坐标保持不变,纵坐标变为原来的xx ,得到y =x x sin(2x +x x ),最后把函数y =x x sin(2x +xx )的图象向下平移1个单位长度,得到y =xx sin(2x +xx )-1的图象.要点训练七建模思想处理数据拟合和预测问题时进行建模的几个步骤 (1)根据原始数据,绘出散点图;(2)通过散点图,作出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线; (3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数解析式和已知条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.1.设y =f (t )是某港口水的深度y (单位:m)与时间t (单位:h)之间的函数,其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:t/h 03 6 9 12 15 18 21 24 y/m 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观测,函数y =f (t )的图象可近似地看成函数y =k +A sin(ωt +φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 ( )A .y =12+3sin x x t ,t ∈[0,24]B .y =12+3sin x x t +π,t ∈[0,24]C .y =12+3sin x xx t ,t ∈[0,24]D .y =12+3sin x xx t +xx ,t ∈[0,24] 解析:y =f (t )的关系对应的“散点图”如图所示.由“散点图”可知k =12,A =3,周期T =12,所以ω=xx .又因为当t =0时,y =12,所以φ=0,因此,y =12+3sin x x t.故选A . 答案:A2.如图,某地某天8~14时用电量变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b.(1)这一天的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时;解析:由题图得最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)这段曲线的函数解析式为y =10sin x x x +xx +40,x ∈[8,14]. 解析:观察题图可知8~14时的图象是y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象, 所以A =x x ×(50-30)=10,b =x x ×(50+30)=40.因为x x×xx x =14-8,所以ω=x x ,所以y =10sin(x x x +φ)+40.将x =8,y =30代入上式,解得φ=x x ,所以所求解析式为y =10sin(x x x +x x )+40,x ∈[8,14].3.如图,某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数y =A sin ωx (A >0,ω>0),x ∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S (3,2√x),赛道的后一部分为折线段MNP ,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP =120°.求A ,ω的值和M ,P 两点间的距离.解:依题意,有A =2√x ,xx=3,所以T =12. 又因为T =xx x ,所以ω=x x .所以y =2√x sin x xx. 当x =4时,y =2√x sin xxx =3,所以点M 的坐标为(4,3).又因为点P 的坐标为(8,0),所以|MP |=√(x -x)x +(x -x)x =5(km).。

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象教师用书新人教A版必修第一册

5．4.1 正弦函数、余弦函数的图象考点学习目标核心素养正弦函数、余弦函数的图象了解利用正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象数学抽象直观想象正、余弦函数图象的简单应用会用正弦函数、余弦函数的图象解简单问题直观想象问题导学预习教材P196－P200，并思考以下问题：1．如何把y＝sin x，x∈[0，2π]的图象变换为y＝sin x，x∈R的图象？2．正、余弦函数图象五个关键点分别是什么？正弦函数、余弦函数的图象函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1，1][－1，1]图象画法五点法五点法关键五点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)“五点法”作图中的“五点”是指正弦、余弦函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位得到函数y ＝cos x 的图象．( )(2)函数y ＝cos x 的图象关于x 轴对称．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象的形状完全一致．( )答案：(1)× (2)× (3)×用“五点法”画y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象时，下列点不是关键点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π6，12B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，1C ．(π，0)D ．(2π，0)解析：选A.由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)，故选A.函数y ＝cos x ，x ∈R 图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝3π2答案：B请补充完整下面用“五点法”作出函数y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.x0 π2 ① 3π2 2π －sin x②－1③答案：π 0 1用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝12＋sin x ，x ∈[0，2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]．【解】 (1)按五个关键点列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)(2)列表：x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x121描点连线，其图象如图所示．1．(变条件)若本例(1)中“x ∈[0，2π]”改为“x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，7π6”，如何画函数图象．解：列表：x－5π6－π20 π2 π 7π6 sin x －12 －1 0 1 0 －12 12＋sin x 0－121232122．(变条件)若本例(2)中“函数y ＝1－cos x ”换为“y ＝1－sin x ”，其图象又如何呢？解：列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10 1－sin x 1012 1 描点连线，其图象如图所示．作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的简图．解：列表：x 0π2π3π22πy＝sin x 010－10 y＝2sin x 020－20正、余弦函数曲线的简单应用根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0，2π]上的x的取值范围．【解】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0，2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0，2π]上的x 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π.利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤(1)作出y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0，2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同一三角函数值相等，写出原不等式的解集．1．满足cos x >0，x ∈[0，2π]的x 的取值范围是________．解析：画出函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示．由图象，可知在[0，2π]上，满足cos x >0的x 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，2π 2．求关于x 的不等式12<sin x ≤ 32，x ∈[0，2π]的解集．解：作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图象．如图所示，作直线y ＝12，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的交点横坐标为π6和5π6；作直线y ＝32，该直线与y ＝sin x ，x ∈[0，2π]图象的交点横坐标为π3和2π3，则不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，5π6.1．函数y ＝sin(－x )，x ∈[0，2π]的简图是( )解析：选B.y ＝sin(－x )＝－sin x 与y ＝sin x 关于x 轴对称．2．要得到y ＝cos x ，x ∈[－2π，0]的图象，只需将y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象向________平移________个单位长度．解析：向左平移2π个单位长度即可．答案：左 2π3．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象．解：列表如下：x π2 π 3π2 2π 5π2 x －π20 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π21－1[A 基础达标]1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B.令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.2.如图是下列哪个函数的图象( ) A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π] B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π] C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π] D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]解析：选C.当x ＝π2时，y ＝0，排除A 、B 、D.3．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C.在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(图略)，易知它们关于x 轴对称．4．在[0，2π]上，函数y ＝2sin x －2的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π 解析：选B.依题意得：2sin x －2≥0，即sin x ≥22.作出y ＝sin x 在[0，2π]上的图象及直线y ＝22，如图所示．由图象可知，满足sin x ≥22的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选B.5．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．6．已知函数f (x )＝3＋2cos x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，b ，则b ＝________．解析：b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3＋2cos π3＝4.答案：47．若方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．解析：由正弦函数的图象，知当x ∈[0，2π]时，sin x ∈[－1，1]，要使得方程sin x ＝4m ＋1在x ∈[0，2π]上有解，则－1≤4m ＋1≤1，故－12≤m ≤0.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞12的解集是________．解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和y ＝12的图象(图略)，由图易得：－32＜x＜0或π6＋2k π＜x ＜56π＋2k π，k ∈N .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜56π＋2k π，k ∈N9．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]．(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，53π. 解：(1)①列表：x0 π2 π 3π2 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x2－22②描点连线如图．(2)①列表：x －π3 π6 23π 76π 53π x ＋π30 π2 π 32π 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π31－110．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间：(1)sin x >0；(2)sin x <0. 解：利用五点法作图．根据图象，可知图象在x 轴上方时，－sin x >0，在x 轴下方时，－sin x <0，所以(1)当x ∈(0，π)时，－sin x <0，sin x >0； (2)当x ∈(－π，0)时，－sin x >0，sin x <0.[B 能力提升]11．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图象为( )解析：选D.由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.故选D.12．函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π13．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R . 解：(1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π，k ∈Z . 其图象如图所示．(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，其图象如图所示．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）. (1)作出该函数的图象；(2)若f (x )＝12，求x 的值．解：(1)作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x （－π≤x <0）sin x （0≤x ≤π）的图象，如图①所示．(2)因为f (x )＝12，所以在图①基础上再作直线y ＝12，如图②所示，则当－π≤x <0时，由图象知x ＝－π3，当0≤x ≤π时，x ＝π6或x ＝5π6.综上，可知x 的值为－π3或π6或5π6. [C 拓展探究]15．在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．解：建立平面直角坐标系xOy ，先画出函数y ＝sin x 的图象，描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．。

2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数 5.1.1 任意角教师用书新人教A版必修第一册

5．1.1 任意角问题导学预习教材P168－P171，并思考以下问题：1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？1．任意角(1)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：(1)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的．(2)若两角旋转方向相同且旋转量相等，则两角相等．2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．■名师点拨象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．■名师点拨对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．(2)k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)．(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)第一象限的角一定是正角．( )(2)终边相同的角一定相等．( )(3)锐角都是第一象限角．( )(4)第二象限角是钝角．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×－110°是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C与30°角终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：选A.由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．如图，角α的终边为OB，则α＝____________．答案：{α|α＝125°＋k·360°，k∈Z}将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．答案：－25°395°任意角的概念下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．【解析】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．【答案】②理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是( ) A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.终边相同的角在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角；(2)[360°，720°)内的角．【解】与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．(1)由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.(变问法)在本例条件下，求最小的正角．解：由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．(2)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．1．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是( )A．－37°B．143°C．379°D．－143°解析：选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．终边在直线y ＝－x 上的角β的集合S ＝________．解析：由题意可知，终边在直线y ＝－x 上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }．综合①②可得，终边在直线y ＝－x 上的角的集合S ＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }象限角与区域角的表示(1)如图，终边落在阴影部分的角的集合是( ) A ．{α|－45°≤α≤120°} B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z } (2)已知角α是第三象限角，则角α2是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角【解析】 (1)阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .(2)因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )，所以k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°(n ∈Z )，所以α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°(n ∈Z )，所以α2是第四象限角．【答案】 (1)C (2)D(1)象限角的判定方法①根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360° 范围内没有两个角终边是相同的．(2)表示区域角的三个步骤①借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界；②按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β；③分别将起始边界，终止边界的对应角α，β加上360°的整数倍，即可求得区域角．1．给出下列各角：－300°，－240°，－145°，－45°，30°，124°，210°，300°.则第一象限角有____________________；第二象限角有____________________；第三象限角有____________________；第四象限角有____________________．答案：－300°，30°－240°，124°－145°，210°－45°，300°2.如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ<k·360°＋60°，k∈Z}．(2){θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}．1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )A．45°B．90°C．180°D．270°解析：选B.根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．2．下列各角中与330°角终边相同的角是( )A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.3．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且－360°<α<360°，则角α的值为____________．解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.答案：－75°或285°4．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．[A 基础达标]1．下列角的终边位于第二象限的是( )A．420°B．860°C．1 060°D．1 260°解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.2．与1 303°终边相同的角是( )A．763°B．493°C．－137°D．－47°解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，所以与1 303°终边相同的角是－137°.3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( )解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．x轴上D．y轴的非负半轴上解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．6．在0°～360°范围内，与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k·360°(k∈Z)，由0°≤－120°＋k·360°＜360°，k∈Z，得13≤k＜43，又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°7．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．终边在第一或第三象限的角的集合是________．解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ，则－133<k <113，k ∈Z ，所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .10．已知角β为以O 为顶点，x 轴为始边，逆时针旋转60°所成的角． (1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°<β<720°的元素．解：(1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }． (2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中，取k ＝－2，得β＝－300°，取k ＝－1，得β＝－120°，取k ＝0，得β＝60°，取k ＝1，得β＝240°，取k ＝2，得β＝420°，取k ＝3，得β＝600°.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B 能力提升]11．若α是第二象限角，那么α2和2α都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B.由α是第二象限角可知α2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以α2和2α都不是第二象限角．12．角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.答案：270°13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .因为α，β都是锐角，所以－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.[C 拓展探究]14．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A (1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z ，14β＝n ·360°，n ∈Z .由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，所以45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n7·180°<90°，所以74<m <72，74<n <72.因为α<β，所以m <n ，又m ，n ∈Z ，所以m ＝2，n ＝3，所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3607°，β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5407°.。

2023新教材高中数学第5章三角函数章末综合提升课件新人教A版必修第一册

[解] ①f (x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x ＝cos xsin x－ 23(1＋cos 2x)
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x－
23＝sin2x－π3－
23，
因此 f (x)的最小正周期为 π，最大值为2－2 3．
②当 x∈π6，23π时，0≤2x－π3≤π，从而当 0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤51π2时，f (x)单调递增，当2π≤2x－π3≤π，即152π≤x≤23π时，f (x)单调递减．综上可知，f (x)在π6，51π2上单调递增，在51π2，23π上单调递减．
线C1：y＝cos
x上各点的横坐标缩短到原来的
1 2
，纵坐标不变，得到
曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移1π2个单位长度，
得到曲线y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6．故选 D．]
(2)已知函数 f (x)＝sinπ2－xsin x－ 3cos2x． ①求 f (x)的最小正周期和最大值； ②讨论 f (x)在π6，23π上的单调性．
类型 3 三角函数模型的应用如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件利用三角函数知识建立数学模型－－三角函数模型．在解题中务必关注以下两点：(1)自变量的取值范围；(2)数形结合的灵活运用．
【例 3】如图所示，摩天轮的半径为 40 m，O 点距地面的高度为 50 m，摩天轮作匀速转动，每 2 min 转一圈，摩天轮上点 P 的起始位置在最高点．
40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝π2，∴z＝50＋40sinπt＋π2＝50＋40cos πt．
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间 P 点距离地面超过 70 m．