弹力第26讲2009

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x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9 h
f0 − 2 f3 + f11 = h2 0
同理， 方向， 同理，对 y 方向，有：
∂f 3 f0 − 4 f4 + f12 = ∂y 2h 0
∂2 f 2 ∂y
f0 − 2 f4 + f12 = h2 0
∂f ∂f − ∂y ∂y 1 3 = 2h f5 − f6 f7 − f8 − 2h = 2h 2h 1 = 2 [( f6 + f8 ) − ( f5 + f7 )] 4h
h 8 3 7 4 0 2 5 1 6
x
y
h
∂2 f 1 = 2 [( f6 + f8 ) − ( f5 + f7 )] ∂x∂y 4h 0
NASTRAN、 ANSYS 、 ABAQUS、MARC等 、 、 等
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二、差分公式推导
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1、中心差分公式
设函数： 设函数：f
= f (x, y)
为弹性体
x h
内的某个函数（应力分量、位移分量、 内的某个函数（应力分量、位移分量、 温度等）。 应力函数 ϕ 、温度等）。 在弹性体上用相隔等间距 h 且平行于 坐标轴的两组平行线组成网格，称为差分 坐标轴的两组平行线组成网格，称为差分 网格。网格线的交点称为节点 结点） 节点（ 网格。网格线的交点称为节点（结点）。 则函数 f = f (x，y) 在平行于 x 轴的 ， 网格线上，如节点：3-0-1 上，它只随 x 网格线上，如节点： 而变化。 而变化。 3 0 1
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有限单元法（ 有限单元法（FEM） ）
—— 加权余量法、变分法的推广 加权余量法、 基本思想： 基本思想： 区域离散 整个区域 分成若干 个单元 在单元上 假设未知函数
由变分原理 等求出单元 近似解） 等求出单元（近似解） 节点上的值 主要有限元软件： 主要有限元软件： SAP， ADINA ， —— 早期的软件
以上四式称为基本差分公式。 以上四式称为基本差分公式。 称为基本差分公式
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f1 − f3 ∂f = 2h ∂x 0
混合二阶导数的差分公式： 混合二阶导数的差分公式：
∂2 f ∂ ∂f ∂x∂y = ∂x ∂y 0 0
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2、端点差分公式
向前差分公式 ∂f 把导数： 把导数： 表示； 用函数值： 用函数值：f0 f1 f9 表示； ∂x 0
把导数： 把导数： 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9 h
x
∂f 用函数值：f0 f2 f10 表示。 表示。 用函数值： ∂y 0
（均质、边界条件简单） 均质、边界条件简单）
（1）有限差分法 ） 近似解 （2）等效积分法（包括变分法） ）等效积分法（包括变分法） 数值解） （数值解） （3）有限单元法 ） （4）边界单元法 ） ……
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有限差分法（ 有限差分法（FDM） ）
差分 要点： 要点： 差分方程 （代数方程） 代数方程） 优点： 收敛性好、程序设计简单、 优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 非线性适应好。 代表性软件： 代表性软件：FLAC 缺点： 当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 缺点： 当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 几何形状复杂时 代替 微分； 微分；
x
∂f f = f0 + (x − x0 ) ∂x 0 1 ∂2 f + 2 (x − x0 )2 2! ∂x 0 得到： 得到： 1 ∂2 f ∂f 2 f11 = f0 − 2h + 2 (2h) 2 ∂x 0 ∂x 0 1 ∂2 f 2 ∂f f3 = f0 − h + 2 h 2 ∂x 0 ∂x 0
由：
1 ∂2 f ∂f f = f0 + (x − x0 ) + 2 ∂x 0 2! ∂x
(x − x0 )2 0
∂f −3 f0 + 4 f1 − f9 = 2h ∂x 0
∂2 f 2 ∂x f0 − 2 f1 + f9 = h2 13 0
4
7
1 = 4 [6 f0 − 4( f2 + f4 ) − ( f10 + f12 )] h 0
表示中间节点处的导数值， 说明：以两侧节点处的函数值表示中间节点处的导数值，称为 说明： 两侧节点处的函数值表示中间节点处的导数值 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式 中心差分公式。 中点导数值，这种差分公式称为中心差分公式。
后差分公式
与中心差分公式类似，由前差分公式和后差分公式， 中心差分公式类似，由前差分公式和后差分公式， 类似 可分别导出对应的高阶导数的差分公式。 可分别导出对应的高阶导数的差分公式。
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说明： 说明：
端点差分（导数） （1）中心差分（导数）公式的精度高于 端点差分（导数）公式 ）中心差分（导数）公式的 （2）在前面差分公式的推导中，应用了近似式： ）在前面差分公式的推导中，应用了近似式：
若略去三次幂以上各项，上式变为： 若略去三次幂以上各项，上式变为：
x h
∂f f = f0 + (x − x0 ) ∂x 0 1 ∂2 f + 2 (x − x0 )2 2! ∂x 0
节点3及 的 坐标： 节点 及1的 x 坐标：
3
0
1
x3 = x0 − h x1 = x0 + h
( y − y0 )2 由此解得： 由此解得： 0 ∂f − 3 f0 + 4 f2 − f10 ∂f 1 ∂2 f 2 = ∂y f10 = f0 + 2h + 2 (2h) ∂y 2h ∂y 0 2 0 0 ∂2 f ∂f f0 − 2 f2 + f10 1 ∂2 f 2 2 = f2 = f0 + h + 2 h ∂y ∂y ∂y h2 2 0 0 0
y
h
级数： 考察结点 0 处，函数 f = f (x，y) 的变化，可展开成 Taylor 级数： ， 的变化，
1 ∂2 f ∂f f = f0 + (x − x0 ) + 2 ∂x 0 2! ∂x
1 ∂3 f (x − x0 )2 + 3 (x − x0 )3 3 ∂x 0 ! 0 1 ∂4 f + 4 (x − x0 )4 +L 8 4! ∂x 0
0
联立求解， 联立求解，得：
f1 − f3 ∂f = 2h ∂x 0
f + f − 2 f0 = 1 32 h 0
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同理，在网格线 同理，在网格线4-0-2上取 上取
x h 4 3 0 2 1
∂f f = f0 + ( y − y0 ) ∂y 0 1 ∂2 f + 2 ( y − x0 )2 2! ∂y 0
1 ∂2 f ∂f f = f0 + (x − x0 ) + 2 2! ∂x ∂x 0
(x − x0 )2 0
略去了三次幂以上的各项，其实质是： 的区间上， 略去了三次幂以上的各项，其实质是：在（x – x0）的区间上，将 三次幂以上的各项
弹性力学
(第26讲) 26讲
武汉理工大学工程结构与力学系
翟鹏程
pczhai@ pczhai@
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一、力学的数值分析方法简介
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工程问题 力学、物理等） （力学、物理等）
建立一组 基本方程 求解 精确解 控制微分方程 常微分方程 偏微分方程 位移边界条件 定 值 条 件 力的边界条件 初始条件
由此解得： 由此解得：
∂f 3 f0 − 4 f3 + f11 = 2h ∂x 0
∂2 f 2 ∂x f0 − 2 f3 + f11 = h2 0
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∂f 3 f0 − 4 f3 + f11 = 2h ∂x 0
∂ f 2 ∂x
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四阶偏导数的差分公式： 四阶偏导数的差分公式：
x
∂4 f 4 ∂x
1 = 4 [6 f0 − 4( f1 + f3 ) − ( f9 + f11)] h 0
12 8 11 3 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
h
∂4 f 1 2 2 = 4 [4 f0 − 2( f1 + f2 + f3 + f4 ) ∂x ∂y h 0 + ( f5 + f6 + f8 + f8 )] ∂ f 4 ∂y
这四个差分公式称为前差公式 这四个差分公式称为前差公式
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y
h
向后差分公式
∂f 把导数 用函数值： 用函数值：f0 f3 f11 表示 ∂x 0 ∂f 把导数 ∂y 用函数值：f0 f4 f12 表 用函数值： 0示 由：
12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9 h
∂ f 2 ∂x
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x 12 8 11 3 7 4 0 2 10
2
h 5 1 6 9
f0 − 2 f1 + f9 = h2 0
同理， 方向， 同理，对 y 方向，有：