线性代数笔记

线性代数
序章线性代数基础知识
1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I
在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O
3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）
（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式
第一篇线性空间
第一章向量和向量组
1.1 线性组合
1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’
2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==
n
i i
i i a
x b 1
，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；
也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）
3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1
=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：
（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价
此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)
（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价
1.2 线性相关性和秩
1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得
01
=∑=n
i i
i a
k ，那么这些
向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解
线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有
01
=∑=n
i i
i a
k ，那么这些
向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解
2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；
3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关
4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩
1.3 基、维数和坐标
1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1
-=为过渡矩阵，则A P B T
=
2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间
3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==
n
i i
i i a
x b 1
，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标
证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式
坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1
-=为过渡矩阵，则x P y 1
-=
1.4 范数、投影和正交性
1.向量的范数：x x x
x T n
i i
==
∑=1
2，n 为向量维数
2.广义的向量夹角：b
a b
a b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =
3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T
）为零，则两向量正交；
零向量没有长度，和所有向量都正交
正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关
4.规范正交基：两两正交的单位基向量组
向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1
，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =
5. 基向量的规范正交化：
第二章向量空间
2.1 向量空间和子空间
1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作n
R 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性
若对于任意两个元素V ∈βα
,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；
若对于实数λ与任一元素V ∈α
，总有唯一的元素V ∈δ
与之对应，称δ 为λα,
的积；
Part2：运算的法则 八条运算律分别为：
（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一 （5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律
若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。

2.张成的空间：由向量组{}i a 生成的向量空间记为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈==∑=m
i m i i R a x L 11,...,|λλλ
3.子空间：包含零向量，对加法和数乘封闭的n
R 的子集
最小的子空间是只含零向量的空间Z ，最大的子空间是R n
本身 4.等价与向量空间：两个等价向量组张成的空间是同一个空间
2.2 四个基本子空间
1.对于一个m×n，秩为r的初等矩阵A：
矩阵的列空间（C）：n列矩阵可视为n个列向量排列在一起，在这n个列向量中，所有线性无关向量（主
R中
列向量，基向量）张成的空间，称为列空间，维数是r，在m
R}，基向量是所有特解，维数是n-r，N在n R中
矩阵的解空间（N）：Ν(A)={ x | Ax=0 , x∈n
矩阵的行空间（C(A T) ）：即矩阵T A的列空间，基向量是主行向量，维数是r，在n R中
矩阵的左零空间：Ν( A T)={ y | A T y =0 , y∈m R}，基向量是所有特解，维数是m-r，在m R中
2.子空间维数与线性方程组的关系：
解空间维数=自由变量数；行空间维数=列空间维数=主变量数；左零空间维数=约束条件数
2.3 空间的正交性
1.向量与空间正交：向量A与空间α内的所有向量正交，则A与α正交
2.子空间正交：空间V有两子空间α和β，若α中的所有向量与β中的所有向量都正交，则α与β正交
直线与直线，直线与平面都可以正交，但平面不能与平面正交
3.正交补：两个互正交子空间的维数之和等于母空间维数，则它们互为正交补
4.基本子空间的正交性：行空间与解空间互为正交补，列空间与左零空间互为正交补
第二篇线性方程组
第一部分线性方程组Ax=d
求解线性方程组的含义：找出A中真正对构建列空间有贡献的基向量组α（有用信息），寻找向量d
在列空间中的坐标x（用α线性表示b的方法）；
可解条件的含义：d必须在A的列空间内，增广矩阵（A，d）所包含的有用信息量必须恰好与A包含
的信息量相等（基的数量不能变多）
第一章消元法
1.1 高斯消元法和初等变换
1.高斯消元法：选定非零行第一个不为零的元素作主元→消去同一列中主元下方其他元素（变成0）→继续
找非零行，确定第二个主元的位置→消去下方其他元素→直到下方为零行
说明：当出现零行，高斯消元法即失效；如果上下交换行位置可以解决此问题（譬如恢复为上三角阵）
则可以继续；如果没有一种交换能解决问题，即可以断定方程组无解或无穷多解
2.初等变换：（1）交换方程次序（2）数乘方程（3）一个方程加上另一个方程的K 倍
3.主变量：解向量x 中行标号等于主元列标号的变量，数量和系数矩阵的秩相等
自由变量：除去主变量，解向量x 中其他的变量，自由变量数(n-r)+秩/主变量数(r)=未知数个数(n) 4.阶梯形矩阵（EF ）：全零行在最下方，主元的列标号随行标号增加严格递增 行最简形矩阵（RREF ）：在EF 基础上，主元均为1，并且都是所在列唯一非零元素
1.2 齐次线性方程组Ax=0的解法
1.可解性判断（设n 为未知数个数）：
（1）唯一解（零解）：n A r =)(（2）有（无穷多）非零解：n A r <)( 2.解法：
①A 转化为RREF ②找出所有主元③确定自由变量（自由变量数为零时，以对角阵求唯一解） ④对其中一个自由变量取1，其余自由变量取0，求出第一特解x 1
⑤重复步骤四，求特解x i ，直到取遍所有自由变量⑥通解=
∑-=r
n i i i x C 1
1.3 非齐次线性方程组Ax=b 的解法
1.可解性的判断：
（1）无解：当),()(b A r A r <（出现了0=1） （2）无穷解：n b A r A r <=),()(（有自由变量） （3）唯一解：n b A r A r ==),()(（没有自由变量） 推广：矩阵方程AX=B 有解的充要条件是),()(B A r A r = 2.解法：①A 转化为RREF ，自由变量全部取0，求特解x *
②通解 = 一个非齐次特解 + 对应齐次方程的通解
3.特殊情况的具体分析（以三元方程组为例，观察方程的系数（即法向量））：
（1）三个平面平行，无解（2）其中两个平面平行，无解
（3）三个平面组成了三角形，无解（左侧：式1+式2-式3=0，右侧非零） （4）三个平面交于一直线，无穷解（左侧：式1+式2-式3=0，右侧=零0）
第二章行列式（前注：这是一个方阵的概念）
2.1 行列式的定义
1.逆序数：对于一个排列中的元素pi ，排在pi 前面比pi 大的元素总数，称为pi 的逆序数
一个排列的逆序数=各元素逆序数之和，逆序数为奇数称奇排列，逆序数为偶数称偶排列
行列式的逆序数特点：N 阶行列式一共N ！项，带＋的项列标排列都是偶排列，负项对应奇排列 2.第一定义：n n
np p p p p p a a a
D ...)1(21
2121...∑-=
τ，其中{}i p 是一排列，τ是对应的逆序数
3.余子式：把一个矩阵划去第i 行和第j 列得到子矩阵M ，)det(ij ij M C =称为余子式
代数余子式：)det()1(ij j i ij
M A +-=称为代数余子式
4.第二定义（按第i 行展开）：∑==
n
j ij
ij
A a
D 1
2.2行列式的性质
（1）())det(det A A n
n n λλ=⨯（2）)det()det(T
A A =（3）)det()det()det(
B A AB =
（4）对角/上三角/下三角矩阵的主元（主对角线上元素）之积 = 矩阵的行列式 （5）线性性质：
①行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式 ②行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零
③若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和
④把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变 ⑤互换两行（列），行列式变号
（6）和余子式相关的性质：Σ（行列式某一行元素×另一行对应元素的代数余子式）= 0
2.3 克莱默法则
克莱默法则：对于方程Ax=b ，解得分量A
B x j j
det det =
，其中j B 是把A 的第j 列替换成b 得到的矩阵
推论：如果一齐次线性方程组的系数行列式非零，则该方程只有一个零解，没有额外解
第二部分线性方程组Ax=λx （方阵概念） 第一章特征值与特征向量
1.1 特征值与特征向量
1.特征方程：（1）第一形式：对方程x Ax λ=，λ称为特征值，非零向量x 称为特征向量
（2）第二形式：0)(=-x I A λ
当且仅当0)det(=-I A λ时λ是有意义的，x 是存在的；x 总是不唯一的 2.特征值性质：
（1）一切特征值之和等于矩阵对角线元素之和（2）一切特征值之积等于矩阵的行列式 （3）矩阵的转置不会改变特征值（4）矩阵幂 / 逆阵的特征值是原特征值的幂 / 倒数
3.单根的特征向量：若p 是对应特征值λ的特征向量，则kp 是对应λ的全部特征向量（k 是非零实数） 重根的特征向量：若{}),...,1(t s i p i <==是对应t 重特征值λ的基特征向量，那么 对应λ的全部特征向量是
∑=s
i i
i p
k 1
（注意基向量数s 不大于t ）
4.特征向量的线性相关性：如果方阵有m 个互不相等的特征值m λλ,...,1
那么与之对应的特征向量m p p ,...,1线性无关
1.2 对角化
1.对角化：若n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量，且它们恰为一矩阵S 的列向量，则可构造特征
对角矩阵AS S 1
-=Λ（对角线元素均为A 的特征值），并称S 为特征向量矩阵（不唯一），
且矩阵S 中的特征向量顺序和矩阵Λ中的特征值顺序完全相同
2.对角化条件：（1）矩阵没有重复的特征值
（2）对于含t 重特征值λ的矩阵A ，t n I A r -=-)(λ，即有t 个基特征向量对应λ
1.3 实对称矩阵的对角化
1.对称矩阵的特征：对称矩阵的特征值都是实数，特征向量两两正交
2.对称矩阵对角化：存在正交矩阵Q ，使实对称矩阵A 可以被对角化：AQ Q T =Λ Q 的列向量为规范正交化的A 的特征向量
第二章二次型
2.1 二次型
1.二次型：n 元二次齐次函数∑==
n
j i j i
ij n x x a
x x x f 1
,21),...,,(称为二次型
2.标准型：形如∑==
n
i i
i y
k f 1
2
只含平方项的二次型
3.规范型：系数k = -1或0或1的标准型
4.二次型与矩阵：二次型可记作Ax x f T
=，A 为实对称矩阵，x 为未知数构成的向量 二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系，且ij ij a A = 5.二次型的秩：矩阵的秩就是二次型的秩
2.2 正定性
1.正定：如果函数Ax x f T
=对任何0 ≠x 都有0)(>x f
，称正定，且A 是正定矩阵
负定：如果函数Ax x f T
=对任何0 ≠x 都有0)(<x f
，称负定，且A 是负定矩阵
2.正定性判别：（1）对称矩阵A 的特征值都是正数 （2）对称矩阵A 的n 个子式均为正
负定性判别：对称矩阵A 的奇数阶子式为负，偶数阶子式为正
2.3 二次型的标准化和规范化
1.标准化：给定一二次型Ax x f T =，总有正交变换Qy x =使f 化为标准形∑==Λ=n
i i
i T
y
y y f 1
2λ
式中λ是二次型的对称阵A 的特征值，Q 是正交矩阵
2.规范化：给定一二次型Ax x f T
=，总有可逆变换Cz x =使f 化为规范形∑==n
i i i
i z f 12
λλ 3.配方法：
4.例子：求解椭圆方程：
计算A 的特征值i λ和单位特征向量i p e ，则方程C y f i i i ==∑=2
1
2
λ
此处i x i e y
⋅=η表示：在基{}
i p e 构成的平面系中，椭圆上一点),(21x x 在i p e
方向上的坐标 椭圆半轴长是i λ/1
第三篇线性变换
矩阵的意义：矩阵与线性变换是一一对应关系，一个矩阵储存了关于对应线性变换的所有信息（分为有用信息和冗余信息）；其中，有用信息指矩阵的所有列向量中充当矩阵列空间基的向量组，它们就是线性变换的基；冗余信息指剩余的列向量，它们是前述基的线性组合，没有承载新的信息。

第一章矩阵
1.1 矩阵的基本运算
1. 矩阵的乘法法则：A （共m 行s 列）× B （共s 行n 列）= C （m 行n 列）
=【A 的第m 行行向量】·【B 的第n 列列向量】
矩阵乘法的性质：（1）一般AB≠BA （2）A(B+C)=AB+AC （3）A(BC)=(AB)C 2. 矩阵的幂：只有方阵才有幂，矩阵幂和实数幂运算法则相同，但一般k
k
BA AB )()(≠ 矩阵多项式：∑=⨯+
=p
i i
i n n A
a I a A 1
0)(ϕ称为矩阵A 的p 次多项式，可以分解因式和乘因式
3. 矩阵的逆定义：对于n 阶方阵，若有一方阵B 使I BA AB ==，称B 为A 的逆阵，记作1
-=A B
矩阵逆的性质：111)(---=A B AB ，λλ11)(--=A A
矩阵逆的计算：（1）行列式法：)det(1A A A 伴随=-，伴随A 是A 中各元素的代数余子式构成的矩阵
（2）消元法：将矩阵A 和单位阵I 写在一起，记P=A | I ，进行初等变换得到Q= I |1
-A
奇异性：满足0)det(≠A 的矩阵称为可逆矩阵，也叫非奇异矩阵 4. 矩阵的转置法则：转置矩阵T
A 中的元素()
mn
T
A =原矩阵中的元素nm A
矩阵转置的性质：
（1）T T T B A B A +=+)(（2）T T T A B AB =)(（3）11)()(--=T T A A （4）A A A A T T T =)( 对称性：满足A A T
=的方阵，称为对称矩阵
1.2 分块矩阵
1. 分块法：将矩阵A 用若干条纵横线划分成许多个小矩阵（子块），使A 变成以子块为元素的矩阵
2. 分块矩阵的乘法：和普通矩阵相同（法则：A 阵分块的列数=B 阵分块的行数）
3. 分块矩阵的转置：先对每个子块分别转置，再以子块为元素作大矩阵的转置
4. 分块对角矩阵：矩阵的逆等价于每个子块的逆阵排成的对角阵；行列式是各子块行列式之积
5. 行向量和列向量：规定行向量以列向量i α的转置T i α表示
1.3 矩阵的秩
1.矩阵秩的定义：矩阵主元个数 / 矩阵非零子式最高阶数 / 矩阵线性无关列/行向量的最大个数 矩阵秩的意义：秩描述了矩阵列空间的基向量数，即矩阵承载的有用信息量
2.矩阵秩及相关运算的性质：
（1）},min{)(0n m A r ≤≤（2）转置：)()(T
A r A r =（3）逆：可逆的矩阵满秩（r=n=m ）
（4）初等变换：等价矩阵的秩相等（5）和：)()()(B r A r B A r +≤+（6）积：)}(),(min{)(B r A r AB r ≤
（7）合块：)()(),()}(),({max B r A r B A r B r A r +≤≤（8）若的列数则，
A B r A r O AB ≤+=)()(
第二章矩阵和线性变换
2.1 初等变换
1. 换行矩阵：倍乘矩阵：倍加矩阵：
初等变换性质：（1）都是可逆的，所以这些变换矩阵也是可逆矩阵
（2）对A 作一次行/列变换，相当于在A 的左/右乘以相应的m/n 阶初等矩阵
2. 等价关系：如果A 经过有限次初等变换（P= BA -1）能变成矩阵B ，称A 与B 等价，记作B A ~ 推论：方阵A 可逆的充要条件是E A ~
3.求复合初等变换矩阵P ：将A 和I 写在一起，记M=A | I ，进行初等行变换得到N= B | P 推广：若A 与B 等价，则：
（1）求A -1B ：将A 和B 写在一起，记M=A | B ，进行初等行变换得到N= I | A -1B
（2）求A B -1：将B 和I 写在一起，记M=B | I ，进行初等行变换得到N= A | A B -1
（3）求B -1A ：将B 和A 写在一起，记M=B | A ，进行初等行变换得到N= I | B -1A
2.2 基变换、坐标变换和正交变换
1.坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x , y
记B A P 1
-=为过渡矩阵，则称x P y 1-=为坐标变换 2.基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则称A P B T
=为基变换
3.正交矩阵：列向量为规范正交基，满足I Q Q T =和1-=Q Q T 的方阵，记为Q
正交变换：若Q 为正交矩阵，称Qx y =为正交变换，变换前后向量的范数不变 2.3 几何变换
（1）镜像变换（H ）：连续两次变换的结果相消，且I P H -=2，I H =2
（2）旋转变换（3）伸缩变换
（4）投影变换（P ）：a
a aa P T T
=，P P =2，没有逆变换 （5）微分变换（D ）：y D y
='（6）积分变换（I ）
2.4 相似变换（方阵的概念）
1.相似矩阵：如果存在可逆矩阵M 使AM M
B 1-=，称A 与B 相似（B 是A 的相似矩阵） 2.相似变换：变换AM M B 1-=称为A→B 的相似变换
性质：两个相似的矩阵拥有相同的特征值和特征多项式（)(det I Z λ-）
相似变换与特征多项式：设)(λf 是矩阵A 的特征多项式，则O A f =)(
3.相似与对角化：当n 阶方阵A 与对角矩阵λ相似，称A 可以被对角化
4.相似与线性变换：同一线性变换在两个基下的变换矩阵A 和B 相似
2.5 合同变换（方阵的概念）
1.合同矩阵：如果存在可逆矩阵C 使AC C B T =，称A 与B 合同（B 是A 的合同矩阵）
2.合同变换：变换AC C B T =称为A→B 的合同变换
性质：A 与B 秩相等，特征值符号不变，变换前后二次型的秩不变
2.6线性变换及其表示
1.映射的概念：设A,B 为两非空集合，若对于任意元素A a ∈，总有一个元素B b ∈按照一定的规则 与之对应，称这个对应规则为从A 到B 的映射，记作)(a T b =
像和源：若)(a T b =，称b 为像，a 为源，A 为源集，{}B A a a T b A T ⊂∈==|)()(为像集
2.线性变换：设U V ,分别是n 维和m 维线性空间，T 是一个从V 到U 的映射，如果T 满足：
R d c V y x ∈∀∈∀,,,，)()()(y dT x cT dy cx T +=+，
则称T 为从V 到U 的线性变换
3.线性变换的性质：
（1）0)0( =T ，αα T T -=-)(（2）若∑==n i i i k 1αβ ，则∑==n i i i k T T 1
αβ
（3）若{}i α 线性相关，则{}i T α
也线性相关（4）像集)(V T 称为T 的像空间
（5）线性空间{}
0,| =∈=αααT V S T 称为T 的核 4.线性变换的表示：在向量空间V 中选定基{}i α ，记{}))(()(T i i G G αα =；
若有矩阵A 使{}A G T i i )()(αα =，称A 为线性变换G 在基{
}i α 下的变换矩阵 这个等式也可写成αα
A G
B ==)(
这证明了线性变换与矩阵一一对应的关系
Gilbert Stra ng‘s Linear Algebra
1.3矩阵的LU 分解
杜立特分解：LU A =，其中U 为对A 使用消元法得到的上三角阵，L 为实现变换A →U 的下三角变换矩阵（特征是对角线上都为1）
分解定理：若U PA =，则1
-=P L ，P 为多个初等矩阵相乘所得的A →U 变换矩阵
消元矩阵：若要从第i 行减去l 倍第j 行，就在单位阵的基础上在（i,j ）位置填入数（-l ）
换行矩阵：每行每列都只有一个1的矩阵
LU 分解解线性方程组Ax=b ：若LU A =，则c Ux b Lc b Ax ==⇔=,
唯一分解：LDU A =，L 和U 是对角线上均为1的上/下三角阵，D 是U 上对角线系数构成的对角矩阵
3.3最小二乘法（矩阵形式，当方程数超过未知元个数）：投影点x A p or x
a p ˆˆ== 对单未知数的方程组ax=
b ：a
a b a x T T =ˆ 对多未知数方程组Ax=b ：0)ˆ(=-x
A b A T ，b A A A x T
T 1)(ˆ-=
3.4 Q-R 分解（当矩阵A 是正交矩阵时可行）：
3.5 函数的范数：dx x f f b
a
⎰=22))((函数的内积：⎰=dx x g x f g f )()(),( 傅立叶矩阵：1,...,1,0,;,2-===n t s e w w F i n st st
π 傅立叶逆矩阵：n
F F =-1（w w 1=） 快速傅立叶变换（Fc=y ）：①把c 按奇偶性分为两个向量c1,c2 ②计算
y1=Fc1,y2=Fc2
③按库里-图基方程构造y 并输出
5.3差分方程的解：差分方程组k k Au u =+1的解是0u A u k k =；当A 可对角化，则有01u S S u k k -Λ= 若记01u S c -=，则∑==n i i k i
i k x c u 1λ
马尔可夫过程：在已知过程所处的状态的条件下，其未来的演变不依赖于它以往的演变
马尔可夫矩阵性质：（1）元素非负（2）列元素之和为1
（3）1为第一个特征值，其他特征值的绝对值都≤1，第一个特征向量表征稳态
解的稳定性：（1）稳定：当所有特征值的绝对值都<1
（2）中性稳定：一部分特征值的绝对值=1，其他都<1
（3）不稳定：当至少有1个特征值的绝对值>1
5.4微分方程的解：微分方程组
)(t Au dt
du =的解是0u e u A =；当A 可对角化，则有01u S Se u t -Λ= 若记01u S c -=，则∑==n i i t i
x e c t u i 1)(λ
矩阵和指数：定义：...!
3)(!2)(3
2++++=At At At I e At （具备指数幂的运算性质） 解的稳定性：（1）稳定：当所有特征值的实部都<0
（2）中性稳定：第一个特征值的实部=0，其他都≤0
（3）不稳定：当至少有1个特征值的实部>0
连续马尔科夫过程：指参量的变化率为零的微分方程组
当（A-I ）是一个连续马尔科夫矩阵时，A 一定是离散马尔科夫矩阵 二阶微分方程组：微分方程组)(22t Au dt
u d =的解是x e u t i ω=，特征方程是Ax x =-2ω， 特征值是2ωλ-=，特征向量是x
解析解：∑=+=n i i i i i i x t b t a
t u 1)sin cos ()(ωω
5.5复向量（下标记法）：j j j ib a x +=范数：x x x x T n
i i ==
∑=12点积：y x y x T =⋅ 共轭转置：ji ij H T H A A A A =⇔=)(，具有性质：H H H A B AB =)(
哈密顿矩阵：满足条件H A A =的矩阵，其对角线元素为实数，其余元素有ji ij a a =
性质：（1）Ax x H 的值是实数（2）特征值都是实数（3）两个不同特征值对应的特征向量正交 酉矩阵：列向量为规范正交基向量的复矩阵
性质：I UU U U H H ==，1-=U U H （1）被变换的向量的范数不变（2）一切特征值模都是1
（3）特征值对应的特征向量规范正交（4）n F U ourier
=
舒尔引理：存在酉矩阵U 使得T AU U
=-1为一三角矩阵，且A 的特征值出现在T 的对角线上 正规矩阵：指满足条件N N NN H H =的矩阵，有性质Λ==-NU U T 1，其特征向量都是规范 正交复向量；对称阵，哈密顿阵，正交阵，酉矩阵都是正规矩阵
综述：（1）舒尔引理方法：AU U T 1-=
（2）对角化：AS S 1-=Λ实对称对角化：AQ Q T =Λ复对称对角化：AU U H =Λ
（3）A 是缺陷矩阵：AM M J 1-=
（4）A 是正规矩阵：NU U 1-=Λ
6.3 长方阵的对角化（广义对角化）
奇异值分解：一切矩阵都可以有如下分解：T
V U A ∑=
其中U 和V T 是正交矩阵，Σ是对角矩阵；U 的列向量是AA T 的特征向量，V T 的列向量是A T A 的特征向量，Σ的元素i σ是A T A 和AA T 中非零特征值的方根，亦被称为矩阵A 的奇异值；非
零奇异值数量取决于A 的秩
U 和V 给出了四个基本子空间的规范正交基：
（1）列空间：U 的前r 列（2）解空间：U 的后m-r 列
（3）行空间：V 的前r 列（4）左零空间：V 的后n-r 列 重要性质：∑=U AV。