大学物理(l-1)2-7力矩转动定律转动惯量分解
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大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
力矩转动定律转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
力矩和转动定律
这便是中学所熟知 的结果
Mf = 0
m λ= l dm = λ dr
2
细棒转轴通过棒的一端 与棒垂直
dI = r λ dr 1 2 I = ∫ dI = ∫ r λ dr = ml 0 3
l 2
细棒转轴通过中心
m λ= l dm = λ dr dI = r λ dr
2
I = ∫ dI = ∫
2 l 2
m σ= 2 πR dm=2πrσdr dI =r 2πrσdr =2πr σdr
2 3
1 4 m 2 I = ∫dI = ∫ 2πr σdr = πσR = R 0 2 2
R 3
如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为 ,质量为m, 如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为r,质量为 , 求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量
A uu r F1
uu r F2 Br uu P2
uu r F2
F1 =
m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + ( sin θ + cos θ ) m1 g j r2 m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + m 2 g j m1 + m 2 + j r2
r M
M = rF sin θ = Fd
o
r r
r M
θ
r F
r 应理解为在垂直于转轴的平面内. F 应理解为在垂直于转轴的平面内. r o 若不在,则将 若不在 则将 F 分解为平行
于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量 只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩. 的分量才对转轴有力矩
Mf = 0
m λ= l dm = λ dr
2
细棒转轴通过棒的一端 与棒垂直
dI = r λ dr 1 2 I = ∫ dI = ∫ r λ dr = ml 0 3
l 2
细棒转轴通过中心
m λ= l dm = λ dr dI = r λ dr
2
I = ∫ dI = ∫
2 l 2
m σ= 2 πR dm=2πrσdr dI =r 2πrσdr =2πr σdr
2 3
1 4 m 2 I = ∫dI = ∫ 2πr σdr = πσR = R 0 2 2
R 3
如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为 ,质量为m, 如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为r,质量为 , 求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量
A uu r F1
uu r F2 Br uu P2
uu r F2
F1 =
m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + ( sin θ + cos θ ) m1 g j r2 m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + m 2 g j m1 + m 2 + j r2
r M
M = rF sin θ = Fd
o
r r
r M
θ
r F
r 应理解为在垂直于转轴的平面内. F 应理解为在垂直于转轴的平面内. r o 若不在,则将 若不在 则将 F 分解为平行
于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量 只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩. 的分量才对转轴有力矩
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
麦克斯韦分布
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0 、 M=0 时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
转动惯量计算公式
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯-M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。
2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2i Js J = (kgf·cm·s 2)J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量g w22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫⎝⎛=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)；g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm)2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J iJ J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg).5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J =(kgf·cm·s 2)R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1，J 2-分别为Ⅰ轴，Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)；R-齿轮z 分度圆半径(cm)； w-工件及工作台重量(kgf)。
大学物理第一册力学各章节总结
单质点
p I
d ( mv ) d p Fd t d I mv 2 mv 1 Fd t
t1 t2
(微分)
动量定理
x轴方向分量mv2 x mv1 x
质点系
d( mi v i ) Ft dt
(积分) t2 Fx d t
t1
m v m v
i i i
大小
P mi v i
i
L rp sin mrv sin
质点系
L rc mv c (ri mi vi )
L O L 轨道 L自旋
刚体定轴转动 Lz （所有质点角动量之和） 单位(SI):
2
J z
kg m / s或 J s
注意：说明质点的动量矩时必须说 明是对哪个轴的
i
i
i0
单质点
Mdt d L
i
i
Fi dt
t i t0
角动 量定 理
质点系
M 外 dt d L
t2
t2
t1
M d t L 2 L1
刚体
t1
M 外 d t d L L 2 L1 L
L1
L2
M z dt d L Jd d ( J )
2
v2 法向加速度 an wv w r r
西安建筑科技大学电子信息科学与技术08级 孙 伟
ⅴ刚体的运动
刚体：特殊的质点系，形状和体积不变化（理 想化模型）
即在力的作用下组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。
刚 刚体的平动：可归结为质点的运动 体 刚体内的任何点都绕同一轴作圆周运 的 动各点的速度和加速度都相等 运 刚体的 动 定轴转 角坐标 f (t ) 0 t d 动 角 2 f (t ) 0 0 t 1 t 角速度 2 dt 量 2 2 角加速度
大学物理力学部分归纳总结
运动学部分解题指导
1、已知运动方程，求速度，加速度，用微分法。
两 大 类
? v
?
? dr
,
? a
?
? dv
dt
dt
型 2、已知加速度和初始条件，求速度、位移、路
程和运动方程（或已知速度和初始条件，求位移、
路程和运动方程），用积分法。
? ? t?
? v ? v0 ?
a ?dt
t0
? ? t?
? r ? r0 ?
3、功率
P
?
dW
?
? F
?dr?
?
? F
?v?
?
Fv cos?
dt dt
6
4、保守力作功与势能概念： dW ? ? dEp
? WA?
B
?
B
? f
?dr?
?
Ep ( A) ?
EP (B)
?
?[Ep (B) ?
Ep ( A)]
A
万有引力势能
重力势能
? E p
?
? r
?
G
mM r2
dr
?
?G
mM r
0
? Ep ? (? mg)dz ? mgz
? (3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者 角动量守恒条件是否成立。
? (4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解
? 分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律
就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程
应用上述方法。
18
典型习题分析
? 例题(1) 如图所示，木块 A的质量为 1.0kg ，木块B的
9、功率
大学物理-力矩、转动定律、转动惯量
gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
09 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.
3-2
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
三.动量矩守恒定律
当M 外 0时 : L J 恒量
刚体所受合外力矩为零或不受外力矩作用，则刚体的动 量矩保持不变。 讨论： ⑴ J 不变， 亦不变 ⑵ J 变， 亦变。J 增大， 减小 ⑶ 内力矩可改变系统内各部分角动量，但不 能改变系统的总角动量。
L r mv r (mv mv// ) r mv r mv// Lz r mv
3-2
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
3.刚体对转轴的动量矩
刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面 内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动 量矩之和.
M
功 平动动能
W
F dr
力矩的功 转动动能
W Md
2
dt
dt
动能定理
转动动能定理 1 1 2 2 B 1 1 W M d J J 2 2 0 0 W F dr mv mv0 2 2 A
1 Ek mv 2 2
二.刚体定轴转动时的动量矩定理
d 由刚体定轴转动定律 M J dt d ( J ) dL M dt dt
刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率. 将上式变形后积分
Mdt d( J) dL
t2 t1
t2
t1
Mdt J2 J1 L2 L1
Mdt 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为冲量矩.
质量 力 动量
m
F
转动惯量 力矩 动量矩
力矩转动定律 PPT
解：
物体由斜面顶端滚下, 可视为质心的平动和 相对质心的滚动两种 运动合成.
y
N
x
Ff
C
mg
aC
22
质心运动方程
mg sin Ff maC
转角动量定、律线量F关f 系R J a aC R
y
N
x
Ff
C
mg
aC
ma
mg
sin
Ja R2
a
mgR2 mR2
结束21
*P98例4 如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角θ= 5o.
有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿
斜面向下滚动, 一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为R1 的实心圆柱体, 另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜 面底部各经历多长时间?
圆柱比圆筒先到达底部24.
补充例题 一个飞轮的质量 m＝60kg，半径为R＝0.25m，
正在以ω0＝1000r/min的转速转动，现在要制动飞轮，要
求在 t ＝5.0s内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮
子的压力N为多大？假使闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数
为μk＝0.8，而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的
P96 表4-1列出了一些均匀刚体的转动惯量 .
平行轴定理
质量为m的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 Jc，则 对任一与该轴平行，相距为d 的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2 （证明略）
例：圆盘对P 轴的转动惯量
大学物理力矩+转动定律+转动惯量-省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
26
例题
解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
27
例题
FT1 mAa mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
32
例题
由角加速度旳定义
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ ωdω 3g sin θdθ
2l 代入初始条件积分得 ω
m,l FN θ mg
O
3g (1 cos θ) l
33
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
(2) B由静止出发作匀加速直线运动，下 落旳速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
30
例题
例2 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．因为 此竖直放置旳细杆处于非
m,l
θ mg
力矩为零，故 F 对转 轴旳力矩
M zk r F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
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2
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩 旳矢量和 M M1 M2 M3
(3) 刚体内作用力和反作用力旳力 矩相互抵消。
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
例题
解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
27
例题
FT1 mAa mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
32
例题
由角加速度旳定义
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ ωdω 3g sin θdθ
2l 代入初始条件积分得 ω
m,l FN θ mg
O
3g (1 cos θ) l
33
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
(2) B由静止出发作匀加速直线运动，下 落旳速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
30
例题
例2 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．因为 此竖直放置旳细杆处于非
m,l
θ mg
力矩为零，故 F 对转 轴旳力矩
M zk r F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
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2
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩 旳矢量和 M M1 M2 M3
(3) 刚体内作用力和反作用力旳力 矩相互抵消。
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
力矩转动定律转动惯量
7
物理学
第五版
4-2 力矩 三 转动惯量
J
转动定律
转动惯量
理论计算
2 m r i i （分立）
2 r （连续） dm
单位： kg m2
J 的计算方法 质量离散分布
J mj rj2 m1r12 m2r22 mj rj2
质量连续分布
J m j rj2 r 2dm
z
O
内力矩
r j m j
Fej
M M ej M ij m j r j2
M ij 0
j
2
Fij
j
j
M ( m j r j2 )α
j
j
其中 mi ri 只与刚体的形状、质量分布及转轴位置有关， 即只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫 做转动惯量，J表示。
对于绕定轴转动的刚体，J为恒量
5
物理学
第五版
4-2 力矩
2 M ( m j r j )α
转动定律
转动惯量
z
O
定义转动惯量
j
r j m j
Fej
J m r J r 2 d m
2 j j j
Fij
定轴转动定律
转动定律
M J
解决质点运动问题的基本定律：牛顿第二定律 F ma 解决刚体定轴转动问题的基本定律：转动定律 M J
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J 1 J c mL2 12
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3 转动定律应用 M J
说明
d=L/2
O2
O2’
(1) M J , 与M方向相同． (2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
物理学
第五版
4-2 力矩 三 转动惯量
J
转动定律
转动惯量
理论计算
2 m r i i （分立）
2 r （连续） dm
单位： kg m2
J 的计算方法 质量离散分布
J mj rj2 m1r12 m2r22 mj rj2
质量连续分布
J m j rj2 r 2dm
z
O
内力矩
r j m j
Fej
M M ej M ij m j r j2
M ij 0
j
2
Fij
j
j
M ( m j r j2 )α
j
j
其中 mi ri 只与刚体的形状、质量分布及转轴位置有关， 即只与绕定轴转动的刚体本身的性质和转轴的位置有关，叫 做转动惯量，J表示。
对于绕定轴转动的刚体，J为恒量
5
物理学
第五版
4-2 力矩
2 M ( m j r j )α
转动定律
转动惯量
z
O
定义转动惯量
j
r j m j
Fej
J m r J r 2 d m
2 j j j
Fij
定轴转动定律
转动定律
M J
解决质点运动问题的基本定律：牛顿第二定律 F ma 解决刚体定轴转动问题的基本定律：转动定律 M J
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J 1 J c mL2 12
L 2 1 2 J J c m( ) mL 2 3 转动定律应用 M J
说明
d=L/2
O2
O2’
(1) M J , 与M方向相同． (2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
(完整版)转动定律讲解
d力臂:转轴到力作用线的垂直距离
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
转动惯量测量实验报告（共7篇）
转动惯量测量实验报告(共7篇)篇一：大学物理实验报告测量刚体的转动惯量测量刚体的转动惯量实验目的：1．用实验方法验证刚体转动定律，并求其转动惯量；2．观察刚体的转动惯量与质量分布的关系3．学习作图的曲线改直法，并由作图法处理实验数据。
二.实验原理:1．刚体的转动定律具有确定转轴的刚体，在外力矩的作用下，将获得角加速度β，其值与外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即有刚体的转动定律：m = iβ (1)利用转动定律，通过实验的方法，可求得难以用计算方法得到的转动惯量。
2．应用转动定律求转动惯量图片已关闭显示，点此查看如图所示，待测刚体由塔轮，伸杆及杆上的配重物组成。
刚体将在砝码的拖动下绕竖直轴转动。
设细线不可伸长，砝码受到重力和细线的张力作用，从静止开始以加速度a下落，其运动方程为mg –t=ma，在t时间内下落的高度为h=at/2。
刚体受到张力的力矩为tr和轴摩擦力力矩mf。
由转动定律可得到刚体的转动运动方程：tr - mf = iβ。
绳与塔轮间无相对滑动时有a = rβ，上述四个方程得到：22m(g - a)r - mf = 2hi/rt (2)mf与张力矩相比可以忽略，砝码质量m比刚体的质量小的多时有a<<g，所以可得到近似表达式：2mgr = 2hi/ rt (3)式中r、h、t可直接测量到，m是试验中任意选定的。
因此可根据（3）用实验的方法求得转动惯量i。
3．验证转动定律，求转动惯量从（3）出发，考虑用以下两种方法：2a．作m –1/t图法：伸杆上配重物位置不变，即选定一个刚体，取固定力臂r和砝码下落高度h，（3）式变为：2m = k1/ t (4)2式中k1 = 2hi/ gr为常量。
上式表明：所用砝码的质量与下落时间t 的平方成反比。
实验中选用一系列的砝码质量，可测得一组m与1/t的数据，将其在直角坐标系上作图，应是直线。
即若所作的图是直线，便验证了转动定律。
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1 1 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 2
第4章 刚体的定轴转动
13
大学物 理学
第二版
J J c md
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
1 2 2 J P mR mR 2
第4章 刚体的定轴转动
14
大学物 理学
第二版
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的质量有关； （2）与刚体的质量分布有关；
质量线分布 质量面分布 质量体分布
9
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
例1 求长为L质量为m 的均匀细棒对图 中不同轴的转动惯量。 解: 取如图坐标，dm = dx
A dm L
B
x
J A x dx mL / 3
2 2 0
第4章 刚体的定轴转动
10
L
大学物 理学
第二版
JC
3g sin L
3g L
细棒转动到竖直位置时 0
细棒处于水平位置时
3g 2L
0
第4章 刚体的定轴转动
32
大学物 理学
第二版
动力学中第二类问题：在变力矩作用下， 建转动定律方程，得到一微分方程。
第4章 刚体的定轴转动
33
大学物 理学
第二版
例2 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转 盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘转了 多少圈？
第4章 刚体的定轴转动
34
大学物 理学
第二版
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
35
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
于是，在宽为dr的 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
d （ 2） M J J dt (3) 转动中M J 与平动中F ma
地位相同．
（4）M 0， ω=常量 (5) 为瞬时关系．
第4章 刚体的定轴转动
7
大学物 理学
第二版
三
转动惯量
1、物理意义：转动惯量是量度刚体转动 惯性大小的物理量 转动惯量的单位：kg· m2 2、 转动惯量的计算方法
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
第4章 刚体的定轴转动
26
大学物 理学
第二版
如令 mC 0 ，可得
mA mB g FT1 FT2 mA mB
mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
RFT2 RFT1 J a R
FN mA FT1 O x PA
FT1
PC
FC
FT2
FT2
mB PB y
25
O
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
第4章 刚体的定轴转动
3
大学物 理学
第二版
二
转动定律
把刚体看成由无数 质点构成的质点系
z
O
fi M i
Fi
i
Fi fi mi ai
沿自然坐标系切向分解
ri
mi
Fi sin i fi sin i mi a mi ri 2 (Fr i i sin i ) ( fi r i sin i ) (mi r i )
mg
T1
r
T2
a r 2
(5)
T1
R
第4章 刚体的定轴转动
21
大学物 理学
第二版
联立求解得：
1 ( M1 M 2 ) m 2 1 T1 M 1a 48 N 2 T2 m( g a) 58 N
a
mg
4 m s 2
v 2ah 2 m s
1
第4章 刚体的定轴转动
（3）与转轴的位置有关．
第4章 刚体的定轴转动
15
大学物 理学
第二版
四、转动定律的应用
例1 试求阿特武德机两 侧悬挂的质量为m1、m2 的重物的加速度、滑轮 角加速度及绳中的张力, 如图。 已知均质滑轮半 径为R，质量为M, 假设 绳为不可伸缩的轻绳,绳 与滑轮间无滑动,且滑轮 轴处的摩擦不计。
第4章 刚体的定轴转动
第4章 刚体的定轴转动
23
大学物 理学
第二版
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
FT1
PC
FC
mA
FN F T1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
24
O
mB B
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
FT1 mA a mB g FT2 mBa
d
C
m
O
J O J C md
2
第4章 刚体的定轴转动
12
大学物 理学
第二版
求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 的转动惯量？(棒长为L、圆盘半径为R）
J L1
1 2 J o mo R 2
1 2 mL L (棒对边缘轴) 3
(圆盘对中心轴)
2
J L 2 J 0 m0 d
(圆盘对棒边缘轴)
第4章 刚体的定轴转动
30
大学物 理学
第二版
d d d d 由 dt d dt d d 3 g cos d 2L
得
0
d
0
3 g cos d 2L
3g sin L
第4章 刚体的定轴转动
31
大学物 理学
第二版
讨论
3g cos 2L
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
第4章 刚体的定轴转动
27
大学物 理学
第二版
动力学中第一类问题：在恒力、恒力矩 作用下，建牛顿第二定律、转动定律方 程。 具体步骤： （1）隔离物体受力分析 （2）选择正方向 （3）平动建牛顿方程，定轴转动建转动 定律方程 （4）建关联方程 （5）联立求解
大学物 理学
第二版
2-7
刚体的定轴转动定律
F
一、力矩
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F 单位：N.m
z
M
r
O
d
*
P
F F Fi 0, M i 0 i i
第二版
M [ (mi ri )]
2 i
J
i
刚体对给定转 (mi ri ) 轴的转动惯量
2
M J
转动定律
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
第4章 刚体的定轴转动
6
大学物 理学
第二版
转动定律 M J 讨论 (1)
M J , 与 M 方向相同．
第4章 刚体的定轴转动
18
大学物 理学
第二版
例2 质量为M1 = 24kg的鼓形轮，可绕水平 光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一 端通过质量为M2 =5kg 的圆盘形定滑轮悬有 m=10kg的物体。求当重物由静止开始下降 了h=0.5m时,（1）物体的速度；（2）绳中 的张力。 假设绳为不可伸缩的轻绳,绳与滑 轮间无滑动,且滑轮轴处的摩擦不计。
i i i
第4章 刚体的定轴转动
4
大学物 理学
第二版
M ( Fi ri sin i )
i
合外力矩
任取 m j
mk
f jk 和 fkj 是一对作用力和反作用力 f jk fkj
M jk M kj 0
i
( fi ri sin i ) 0
第4章 刚体的定轴转动
5
大学物 理学
第4章 刚体的定轴转动
28
大学物 理学
第二版
例4 一根长L、质量为m的均匀细直棒，其 一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖 直平面内转动，最初棒静止在水平位置。求 它由此下摆 角时的角加速度和角速度。 解 在棒上距转轴o为
l 处取线元 dl
该线元的质量为 m dl
L
对转轴所产生的重力矩为
J mi ri
i
2
第4章 刚体的定轴转动
8
大学物 理学
第二版
质量离散分布
J mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
2 2
质量连续分布
J mi ri r dm
i
dm：质量元