立体几何十大经典问题解法归纳总结
立体几何知识点与例题讲解、题型、方法技巧(理科)
啊没立体几何知识点和例题讲解
一、知识点
<一>常用结论
1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面
面平行.
3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面
垂直.
4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的
射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉
.
8．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==
21
||
||||
a b a b x ⋅=
⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,
所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 9.直线AB 与平面所成角：sin
立体几何常见重要题型归纳-高考立体几何题型归纳
立体几何常见重要题型归纳
阳江一中 利进健
题型一 点到面的距离
常见技巧：等体积法
例1：如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．
（1）设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；
（2）证明：平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（3）求点D 到平面D 1AC 的距离．
解析：（1）11//,,,//,22
CD AB CD AB AF AB CD AF CD AF ==∴= ∴ 四边形AFCD 为平行四边形
∴//CF AD 又AD ⊂面11ADD A ,CF ⊄面11ADD A
∴//CF 面11ADD A 2分
在直四棱柱中，11//CC DD , 又AD ⊂面11ADD A ,CF ⊄面11ADD A ∴1//CC 面11ADD A 3分
又11,,CC CF C CC CF ⋂=⊂面1CC F ∴面1CC F //面11ADD A
又1EE ⊂面11ADD A ,1//EE ∴面1CC F 5分
（2）122
BC CD AB === ∴ 平行四边形AFCD 是菱形 DF AC ∴⊥ ,易知//BC DF AC BC ∴⊥ 7分
在直四棱柱中，1CC ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD 1AC CC ∴⊥
又1BC CC C ⋂= AC ∴⊥面11BCC B 9分
又AC ⊂面1D AC ∴面1D AC ⊥面11BCC B 10分
（3）易知11D D AC D ADC V V --= 11分
立体几何题型总结
立体几何题型终极总结
（一） 三视图
1. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A ．
283π-
B ．83π
-
C ．82π-
D ．23π
【答案】A
2. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A
3. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A
． B
． C
． D
．【答案】B
（二） 点、线、面的位置判断：
1. 命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量c 、b 、a ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c
③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ C ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 2. 下列命题中错误的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D
3. 已知
1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a 之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，
立体几何解答题汇总及答案
立体几何 1.如图，四边形ABCD 为正方形，PD⊥平面ABCD ，PD∥QA，
QA=AB=12
PD.（I ）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II ）求二面角Q-BP-C 的余弦值.
2.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B
的中心，122AA =，1
C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正
弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥
平面11A B C ，求线段BM 的长．
3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，
ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２Ｅ
Ｆ.（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）
若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
4.如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形
060DAB ∠=,2PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC
的中点，（1） 证明：AD DEF ⊥平面（2）求二面角P AD B
--的余弦值。
5.如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD
垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ,△OAC ，
△ODE ，△ODF 都是正三角形。（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ；
（II ）求棱锥F-OBED 的体积。
6. 已知三棱柱，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ， 4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中111C B A ABC -点．(Ⅰ) 求证：直线//AF 平面1BEC ；（Ⅱ）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
立体几何常见重要题型归纳
解析：（1）
四边形 为平行四边形
又 面 , 面
面 2分
在直四棱柱中， ,又 面 , 面
面 3分
又 面 面 //面
又 面 , 面 5分
（2） 平行四边形 是菱形
,易知 7分
在直四棱柱中， 面 , 面
又 面 9分
又 面 面 面 10分
（3）易知 11分
设 到面 的距离为 ，则
（2）求直线 与平面 所成角的大小．
解析：（1）连结 ，因为 是正方形，所以 ，
又 面 ， 面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，
所以 ．
（2）易证，四边形 是平行四边形，所以 ，
则直线 与平面 所成角就是直线 与平面 所成角，
平面 交 于 ，过 作 ，
又∵BD平面BCD，∴ACBD.（4分）
（2）当 为棱 中点时， ∥平面 .（5分）
证明： 分别为 中点，∴ ∥ ，（6分）
又 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 .（7分）
（3）∵点 是圆心为 半径为1的半圆弧上从点 数起的第一个三等分点，
∴ ，而 ，于是， ，（8分）
∵ 是直径，∴ ，于是， .
∵直线 平面 ，所以， ， ，
立体几何常见重要题型归纳
阳江一中利进健
题型一点到面的距离
高三一轮复习-立体几何常见问题(带答案)
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教 学 内 容 多面体与球组合问题
纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.
一、球与柱体的组合体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体
如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，
,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球
为
正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则
2
a
OJ r ==
；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和
其外接圆，则2
2
GO R a ==
；三是球为正方体的外接球，截面图为
长方形11ACA C 和其外接圆，则13
2
A O R a '==
.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.
超全的立体几何知识归纳+典型例题+方法总结
超全的立体几何知识归纳+典型例题+方法总结
一、知识归纳
1．平面
平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题. （1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.
（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.
2. 空间直线
（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点
（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.
（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）
（向量与向量所成角])180,0[
∈θ
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）
高中数学 考前归纳总结 立体几何中的探索问题
立体几何中的探索问题
一、探索点的位置
例1.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4，
AD=2，E 为PC 的中点, 在线段AC 上是否存在一点 M ，使得PA//平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若 不存在，请说明理由.
解：取AC 中点M ，连结EM 、DM ， 因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点，
所以EM//PA ，
又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ， 所以PA//平面EDM 所以.52
1
==
AC AM 即在AC 边上存在一点M ，使得PA//平面EDM ，AM 的长为5.
例2.如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，
13AA =，D 为AC 的中点,
（2）求二面角C BD C --1的余弦值； （3）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得 1BDC CP 面⊥？请证明你的结论. 解：（1）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2），
C （0，3，0），A （2，3，0），
D （1，3，0），
11(0,3,2),(1,3,0)C B C D ∴==u u u r u u u u r
设111(,,)n x y z =r
是面BDC 1的一个法向量，则
110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 即1111320,
30
y z x y +=⎧⎨+=⎩，
C 1
A
1
C B 1
高考数学复习：立体几何的基本问题总结
高考数学复习：立体几何的基本问题总结
立体几何中两个最基本的问题，一个是求角度，一个是求距离。下面小编为大家整理了立体几何的基本问题总结，希望能帮到大家！
1求角度的问题：一般解法的关键是把所求角放在一个三角形里，最好是直角三角形，这样解三角形就可以了。一般的线线角都可以尝试这种方法，即若角不在三角形里，就注意角的两边，在两边上找到合适的点做出三角形后解此三角形。
求线面角和二面角一般是转化为线线角。这里一定要先尝试三垂线定理。个人经验表明至少80%的线面角、二面角题都靠这种方法，极少数情况下，若发现线面角和面面角可以直接转化为线线角（比如求二面角时发现题目已经给出一个垂直于两平面的平面C，那么此平面C与那两个平面的交线的夹角就是二面角）的话就直接求。而三垂线定理的核心在于那条和平面垂直的线，若题目中给了一条线垂直于一个平面的话就要特别留心加以利用，若没给就往往需要自己做一条。用三垂线定理可以把所求角转化为线线角并直接放到直角三角形里，是求线面角、二面角最常用的方法。
2距离：记住异面直线的距离常常是没法直接求的！公垂线给了能直接求，公垂线没给的话可能一天也找不到它在哪里。常用的方法是找一个包含一条直线并与另一直线平行的平面，转化为线面距离，或者面面距离。但线面距离和面面距离有时也不好求，常见的方法是再转化成点面距离，然后用三棱锥三组底与高乘积相等的办法，即体积法可以求出点面距离。
在学习立体几何的过程中只要掌握了问题的核心，就是把所求问题化繁为简，这样接下来的求*部分就能顺理成章的完成了。立体几何部分是数学知识中*存在的部分，和其他数学关系不大，只要在学习过程中摸寻规律并掌握方法，就会学得很好。多练习多遇到不同体型是有效提高这部分成绩的最好的办法。
高中数学 考前归纳总结 立体几何常见题型与解法 试题
立体几何常见题型与解法
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、求空间角问题 1．异面直线所成的角
设异面直线12,l l 的方向向量分别为12,m m 。那么1l 与2l 所成的角θ满足对应的锐角或者直
角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。cos θ=12cos ,m m <>。 2．线面所成的角
设直线l 的方向向量与平面α的法向量分别为,m n ，那么直线l 的方向向量与平面α所成角θ满足sin cos ,m n θ=<>。 3．二面角的求法
二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量n 。二面角的大小为θ, 假设将法向量的起点放在两个半平面上(不要选择起点在棱上)，
当两个法向量的方向都向二面角内或者外时，那么><n m ,为二面角的平面角的补角； 即：cos cos ,m n θ=-<>;
当两个法向量的方向一个向二面角内，另一个向外时，那么><n m ,为二面角的平面角。 即：cos cos ,m n θ=<>;
图〔1〕
图〔2〕
例1：在棱长为a 的正方体'''
'
ABCD A B C D -中，EF 分别是'
'
,BC A D 的中点，
〔1〕求直线'
AC DE 与所成角的余弦值； 〔2〕求直线AD 与平面'B EDF 所成角的余弦值； 〔3〕求平面'B EDF 与平面ABCD 所成角的余弦值； 解：〔1〕如图建立坐标系，那么
'
(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2a
立体几何(知识点总结,解题方法总结)
数学必修（二)知识梳理与解题方法分析
第一章《空间几何体》
一、本章总知识结构
二、各节内容分析
1.1空间几何体的结构
1。本节知识结构
1。2空间几何体三视图和直观图
1、本节知识结构
1.3 空间几何体的表面积与体积
1、本节知识结构
。
三、高考考点解析
本部分内容在高考中主要考查以下两个方面的内容:
1。多面体的体积（表面积）问题；
2.点到平面的距离（多面体的一个顶点到多面体一个面的距离）问题—“等体积代换法”。
（一）多面体的体积（表面积）问题
1．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形,∠DAB＝60,对角线AC与BD相交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60．
(1）求四棱锥P－ABCD的体积;
【解】(1)在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°。
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO，
于是，PO=BOtan60°=,
而底面菱形的面积为2。
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2。
2．如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点，（Ⅲ)求三棱锥P－DEN的体积。
【解】
（Ⅲ)
作，交于，由面得
∴面
∴在中,
∴.
(二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。
1 如图，四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点，
（III）求点E到平面ACD的距离。
【解】(III）设点E到平面ACD的距离为
，
∴
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
2．如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点,是侧棱上的点，且。
立体几何重要题型及求解方法
立体几何重要题型及求解方法
四川 毛仕理
1．空间几何体的画法
例1 用斜二测法画一个水平放置的平面图形直观图为图1的一个正方形，则原来的图形是（ ）
解析:按斜二测法作图法则，对四个选项逐一验证．（A ）正确． 评析：本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力． 2．表面积的计算
例2 一个四面体的所有的棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
Ａ．3π
Ｂ．4π
Ｃ．33π
Ｄ．6π
解法一：如图2，设四面体为A BCD -，其棱长均为2，O '为其外接球的球心，
球半径为R O ，为A 在面BCD 上的射影，M 为CD 的中点，
则3
2
BM =
，32BC =，
22
33BO BM =
=
，2223
AO AB BO =-=， 由2
2
2
2
2
()O B BO O O BO AO AO '''=+=+-，得2
2
2233R R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，解得3
2R =．
24π3πS R ==球面∴，故选（Ａ）．
解法二：注意到选项4π的特殊性，此时球的半径1R =． 而当1R ≥时，如图2又知AO B '∠为钝角，则2AB R >， 矛盾，故1R <，从而排除（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ），故选（Ａ）． 解法三：注意到2的特殊性，构造棱长为1
的正方体，如图
3（其实不必画图），则11A C BD -是棱长为2的正四面体，正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为3，故3πS =球面，选（Ａ）．
探究：解法一是运用方程的思想求球的半径，小题大做．解法二观察题目特点，利用排除法是最优解法．解法三是割补法，将正四面体补成一个正方体，这种割补思想解决问题值得我们学习．
高考立体几何题型归纳(精华)
立体几何题型归纳
题型一线面平行的证明
例1如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝1
3AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥
平面MBCD ，连接AB ，AC .
试判断：在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ?并说明理由【答案】当AP ＝1
3AB 时，有AD ∥平面MPC .
理由如下：
连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12
，在△ADB 中，
AP PB ＝1
2
，∴AD ∥PN .∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ，∴AD ∥平面MPC .
【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线，证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。【易错点】不能正确地分析DN 与BN 的比例关系，导致结果错误。【思维点拨】此类题有两大类方法：1.构造线线平行，然后推出线面平行。
此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过AD 做了一个平面ADB 与平面MPC 相交于线PN 。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证AD 平行于PN ，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。
立体几何知识归纳+典型例题+方法总结
立体几何知识归纳+典型例题+方法总结
一、知识归纳
1．平面
平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题.
（1）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.
（2）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线.
（3）证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合.
2. 空间直线
（1）空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点
（2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如右图）.
（直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ）
（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
（3）两异面直线的距离：公垂线段的长度.
空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
[注]：21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面
有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出
的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）
立体几何题经典例题
D
E
A
F
B
C
O O 1
M
D
C
A
S
15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面AA 1C 1C
所成角的正弦值为 .
6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥； （2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值．
7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、
⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．
（1）求二面角F AD B --的大小； （2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值．
8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若
a BN CM ==)20(<<a ．
（1）求MN 的长；
（2）当a 为何值时，MN 的长最小；
（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角θ的余弦值． 14．如图，四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，
3=SB ．
（1）求证：SC BC ⊥；
（2）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；
（3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．
A B
C
M
N
1
A 1
B
1
C
18.（本小题满分12分）
例谈立体几何最值问题的几种解法
思路探寻
立体几何最值问题侧重于考查同学们的空间想象、
逻辑推理和数学运算等能力.常见的立体几何最值问题
是求立体几何图形中某条线段、某个角、体积、表面积的
最值，那么如何求解呢？
一、利用函数思想
在大多数情况下，我们可以把与动点有关的立体几
何问题看作函数问题来求解.以其中某一个量，如动点的
坐标、线段的长、角的大小为变量，建立关于该变量的关
系式，并将其视为函数式，即可利用一次函数、二次函数、
三角函数的性质和图象求得最值.
例1.如图1，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，若D1M⊥CP，则
ΔBCM
）.
C.5
D.2
图1图2
解：过M作MG⊥平面ABCD，垂足为G，作GH⊥BC
于点H，连接MH，以D为坐标原点，建立如图2所示的空
间直角坐标系，
可得D()
0,0,0，C()
0,1,0，A()
1,0,0，P()1,0,12，D1(0,
0,1)，B()
1,1,0.
设M()
1,a,b，则
D1M=()
1,a,b-1，
CP=()
1,-1,12，
∵D1M⊥CP，
∴ D1M⋅ CP=12b-a+12=0，
∴b=2a-1，∴CH=1-a，MG=2a-1，
∴MH=()1-a2+()
2a-12=5a2-6a+2，
∴SΔBCM=12BC⋅MH=1
=
可知当a=35时，ΔBCM面积取最小值，为SΔBCM=
1
2
×=故选B.
在建立空间直角坐标系后，设出点M的坐标，以a、b
为变量，构建关于a的函数式SΔBCM=
然后将5a2-6a+2看作二次函数式，对其配方，根据二
次函数的性质即可知函数在a=35时取最小值.