学会解题02 利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法【解析版】
含参的零点问题解题技巧
含参的零点问题解题技巧
含参的零点问题通常是函数在特定区间内求解的问题，其中函数的零点指的是使函数值为零的自变量取值。这类问题在数学、物理等领域具有广泛的应用。为了解决这类问题，我们可以遵循以下步骤和技巧：
1.确定变量范围
首先，我们需要确定自变量（即参数）的取值范围。这可以通过观察函数的定义域、值域或者已知条件来确定。确定范围后，我们可以更好地分析问题，并为后续的求解奠定基础。
2.化简函数式
在含参的零点问题中，函数式往往较为复杂。为了便于求解，我们需要对其进行化简。化简的方法包括因式分解、合并同类项等。通过化简，我们可以将问题简化，从而更容易找到零点。
3.寻找可能的零点
在化简后的函数式中，我们需要寻找可能的零点。这可以通过观察函数的图像、分析函数的性质或利用数值方法（如二分法、牛顿法等）来实现。寻找可能的零点有助于缩小搜索范围，提高求解效率。
4.判断零点个数
找到可能的零点后，我们需要判断这些零点的个数。这可以通过分析函数的性质、计算函数的导数或者应用一些判别准则来实现。判断零点个数有助于确定后续的求解策略，如使用逐一检验法、区间排除法等。
5.实例分析
下面我们来看一个实例，以加深对含参的零点问题的理解。
例：求函数f(x) = x - 2x + 1 在区间[0, 2] 内的零点。
解：
（1）确定变量范围：x ∈ [0, 2]；
（2）化简函数式：f(x) = (x - 1)；
（3）寻找可能的零点：x - 1 = 0，即x = 1；
（4）判断零点个数：只有一个零点x = 1。
通过以上步骤，我们可以轻松地求解含参的零点问题。在实际应用中，根据问题的具体情况，可以灵活运用这些步骤和技巧。
(必考题)高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)
一、选择题
1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程
2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则
()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）
A ．160,
81⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．116,1681⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．11,164⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 2．设函数()243,0
23,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足
()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）
A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．5,42⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．()2,4
D ．()2,6
3．已知函数
给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单
调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若
1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-.
其中，所有正确结论的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）
利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法学生版
利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
基本方法
直接法：直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数的取值范围典型例题(1)
分离参数法：先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参
数的方程或不等式求解典型例题(2)
数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.此时需要根据零点
个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍典型例题(3)
温馨提醒：已知函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图形一定要准
确.这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题
典型例题精选与变式
（1）已知函数()g x 满足()12g x g x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，当[]1,3x ∈时， ()ln g x x =.若函数()()f x g x mx =-在区间1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. ln31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 3ln3,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1,ln3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
(2)已知函数f (x )=|x|
x+2-kx 2(x ∈R )有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,1)
D.(1,+∞)
(3)若函数f (x )=x 2+2a|x|+4a 2-3的零点有且只有一个,则实数a= .
新题好题训练与提高
1.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.
x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2
函数的零点与方程的解
函数的零点与方程的解
在数学中，函数的零点与方程的解是两个重要的概念。它们在解决实际问题中起着重要的作用。本文将从两个概念的定义、计算方法以及应用三个方面进行探讨。
一、函数的零点
函数的零点是指函数取值为零的点。一般地，如果函数f(x)在某个点x=a处的函数值为零，即f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。函数的零点也称为函数的根或零解。
在计算函数的零点时，可以使用图像法和代数法。图像法是通过函数的图像来确定零点，一般使用计算器或电脑绘制函数的图像。代数法是通过方程来确定零点，将函数的表达式设为零，然后解方程得到零点。例如，函数f(x)=2x^2-3x+1的零点可以通过解方程2x^2-3x+1=0得到，即x=1/2或x=1。
函数的零点在实际问题中有很多应用，例如在物理学中，零点可以表示速度为零的时刻，加速度为零的时刻等等。
二、方程的解
方程的解是指能够满足方程式的未知数数值。一般地，如果一个方程式有一个或多个能够满足方程式的未知数数值，那么这些数值就
是方程的解。
在计算方程的解时，也可以使用图像法和代数法。图像法是通过绘制方程的图像，找到方程的解。代数法是通过变形或运用方程的性质，求得方程的解。例如，方程2x^2-3x+1=0的解可以通过求解x=1/2或x=1得到。
方程的解在实际问题中也有很多应用，例如在物理学中，方程的解可以表示物体的运动状态、加速度等等。
三、函数的零点与方程的解的应用
函数的零点和方程的解在实际问题中有很多应用。例如，在经济学中，利润函数的零点可以表示企业的盈亏平衡点；在物理学中，运动方程的解可以表示物体的运动状态和加速度等等。
二次函数求取值范围的解题技巧
二次函数求取值范围的解题技巧
一、什么是二次函数求取值范围
二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a不等于0。二次函数的图像通常是一个U形或倒U形的抛物线。
求取值范围是指给定定义域内的x值，求出对应的函数值f(x)的范围。也就是在
给定的定义域上，函数能够取到的所有值的集合。
本文将介绍二次函数求取值范围的解题技巧，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
二、二次函数求取值范围的基本方法
二次函数的求取值范围可以通过探究函数的图像形状和相关的数学性质来确定。
在初学阶段，我们可以借助以下三个基本方法来求解二次函数的取值范围：
1. 完成平方
通过对二次函数进行平方完成，并转换成顶点形式，可以更方便地分析函数的取值范围。
完成平方的基本步骤如下：
1.将二次函数写成完全平方的形式。
例如：f(x) = ax^2 + bx + c
2.将二次函数进行平移，使平方项与一次项的和等于顶点横坐标的相反数。
例如：将f(x) = ax^2 + bx + c形式的二次函数通过平移变换得到顶点形
式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
3.根据顶点的纵坐标可以确定函数的取值范围。
–当a > 0时，函数的图像开口向上，顶点为函数的最小值，取值范围为[y, +∞)。
–当a < 0时，函数的图像开口向下，顶点为函数的最大值，取值范围为(-∞, y]。
2. 运用导数
二次函数求取值范围还可以通过运用导数的性质来分析。导数可以告诉我们函数的增减性和极值的位置。
数学中的函数零点与方程求解技巧
数学中的函数零点与方程求解技巧在数学中，函数零点以及方程的求解是重要的概念和技巧。它们在代数、几何和应用数学中都扮演着关键的角色。本文将探讨函数零点和方程求解的相关概念以及解题技巧。
一、函数零点
函数零点指的是函数取零值的点，即函数的输入使函数的输出等于零。函数零点也叫做函数的根，表示为f(x) = 0。要找到函数的零点，我们需要使用一些特定的方法和技巧。
1. 解析法
解析法是找到函数零点的一种常用方法。对于一些特殊的函数，我们可以通过运用代数技巧来求解零点。例如，对于一次函数f(x) = ax + b，其零点可以通过令ax + b = 0来求解，解得x = -b/a。对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式来求解零点，即x = (-
b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 图像法
图像法是另一个找到函数零点的常用方法。我们可以绘制函数的图像，在坐标系中观察函数与x轴的交点，那些交点就是函数的零点。这种方法在直观上帮助我们理解函数的性质，并且可以在一定程度上验证我们通过解析法得到的结果。
二、方程的求解技巧
方程的求解是数学中的重要课题之一，也是解决实际问题的关键。
不同类型的方程有不同的求解技巧，下面我们将介绍一些常见的方程
求解技巧。
1. 一元一次方程的求解
一元一次方程指的是只有一个未知数，并且未知数的最高次数为一
的方程。例如，2x + 3 = 5就是一个一元一次方程。解这种方程的常用
方法是移项和消项。我们可以通过移动所有含有未知数的项到一边，
并消除方程中的常数项，最终得到未知数的值。
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法
初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法
二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：
1. 理解二次函数的基本形式：
二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
2. 确定参数与函数性质的关系：
开口方向：由 $a$ 决定。当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
对称轴：由 $b$ 决定。对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-
\frac{b}{2a}\right)\right)$。
与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =
0$ 解得与 $y$ 轴的交点。
3. 根据题目要求求解参数范围：
求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。
求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。
求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。
4. 验证解的有效性：
解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。
下面是一个具体的例子：
例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。
由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练
由函数零点或方程根的个数求参数范围问题-高考数学专练
【例题选讲】
[例1]已知函数f (x )＝x 2＋2x
－a ln x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)当a >0时，若f (x )有唯一的零点x 0，求[x 0]．
注：[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2．
(参考数据：ln 2＝0.693，ln 3＝1.099，ln 5＝1.609，ln 7＝1.946)
[规范解答](1)∵f (x )＝x 2
＋2x －a ln x ，∴f ′(x )＝2x 3－ax －2x 2(x >0)，由题意得f ′(2)＝0，则2×23－2a －2＝0，a ＝7，
经验证，当a ＝7时，f (x )在x ＝2处取得极值，∴f (x )＝x 2＋2x
－7ln x ，f ′(x )＝2x －2x 2－7x
，∴f ′(1)＝－7，f (1)＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3＝－7(x －1)，即7x ＋y －10＝0．
(2)令g (x )＝2x 3－ax －2(x >0)，则g ′(x )＝6x 2－a ，由a >0，g ′(x )＝0，可得x ＝
a 6，
∴g (x )
由于g (0)＝－2<0，故当x g (x )<0，又g (1)＝－a <0，故g (x )在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x 1，
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.
（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
=-b2a2 •x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
如何利用零点情况求解参数值或取值范围
㊀㊀解题技巧与方法
㊀㊀１５４㊀如何利用零点情况求解参数值或取值范围
如何利用零点情况求解参数值或取值范围Һ庄㊀静㊀（济宁学院附属高级中学，山东㊀济宁㊀２７２０００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ零点现象是高中数学中独树一帜的情况， 根据函数零点的情况，讨论参数的范围 是当代高考对考生的考查重点之一．零点同时联系了不等式㊁函数㊁方程等不同模块的知识内容，灵活运用这些知识往往容易成为解答零点问题的关键．通过对一定数量例题的分析总结我们不难发现，零点现象常常和参数求解问题同时存在．对于如何利用零点情况求解参数的具体值或取值范围，我们不妨从这三种不同角度，即数形结合㊁方程思想与导数性质出发思考并解题，这不仅可以提升同学们的解题能力，还可以以此培养同学们的综合素养．
ʌ关键词ɔ参数范围；零点情况；数形结合；方程思想；导数
一㊁解题思路
函数的零点求解中的点，本质上是函数图像与横轴交点的横坐标，但在实际数学应用中，横坐标的这种 跨界性 更具探究意义，因此函数的零点就简化为用横坐标来进行零点的表述．关于函数的零点，常见的问题设计有：连续函数零点存在性的确立；连续函数零点个数的判断；用二分法求函数零点的近似值等．由于函数零点与方程根的关系，问题的解决途径也可以转化为方程形式．近两年高考试题中函数零点的相关问题展现出数学中的划归思想㊁数形结合思想，以及导数解题思想，我们可以从中感受到数学思想方法的魅力．
二㊁数形结合求解
数形结合与 零点 的结合，可谓是 锦上添花 的组合，主要过程是将已知方程一分为二转化为ｙ＝ｇ（ｘ）和ｙ＝ｈ（ｘ），以这两个函数所对应图像的交点来体现方程根的情况，进而结合图像求解题干中未知参数的具体值．对问题中的方程 一分为二 时，要注意等号两边应是容易画出图像的函数解析式，作图时要充分利用函数的单调性㊁奇偶性等性质，还要在图中标注每个函数图像的最高点㊁最低点等一些特殊点．
4.5.1 函数的零点与方程的解 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
思维升华
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否
落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否 连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a， b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
由ln x＝0且x>0，得x＝1.
∴函数f(x)的零点为x＝±1.
(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，
令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1， 所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.
思维升华
探究函数零点的两种方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否
(2)若函数 f(x)＝2lnx－x，a，x>x0≤0，有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 __(_0_，__1_]_.
解析 当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1. 因为函数f(x)有两个不同的零点， 则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点， 令f(x)＝0得a＝2x， 因为0<2x≤20＝1，所以0<a≤1， 所以实数a的取值范围是(0，1].
北师大版高中数学必修一第四单元《函数应用》测试卷(有答案解析)(2)
一、选择题
1．已知函数()102x
x f x =+-的零点为a ，()()lg 13g x x x =-+-的零点为b ，则
a b +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数()24x
f x =-，()()()1
g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有
()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫--
⎪⎝⎭
C ．(-3，-1)
D ．(-3，-1]
3．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且其图像关于直线1x =对称，若()0f x =在
[0,1] 内有且只有一个根1
2
x =
，则()0f x =在区间[0,2017] 内根的个数为（ ） A ．1006
B ．1007
C ．2016
D ．2017
4．设,m n R ∈，定义在区间[],m n 上的函数()()2log 4f x x =-的值域是[]
0,2，若关于t 的方程||
1102t m ⎛⎫
++= ⎪⎝⎭
()t R ∈有实数解，则m n +的取值范围是（ ）
A ．[]0,3
B ．(]3,2--
C ．[]3,1--
D ．[)1,2
5．已知函数24
,?
0()7,?
0x f x x
x x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，()()g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(﹣4，0] B ．(-∞，﹣9) C ．(-∞，﹣9)
(易错题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)(1)
一、选择题
1．若函数2
()f x x x a =--有四个零点，则关于x 的方程210ax x ++=的实根个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
2．已知函数()(
)223,ln 1,x x x f x x x λ
λ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则λ的取值范围是
（ ） A ．[)
[)1,23,-+∞ B ．[)[)1,23,+∞
C ．[)()1,22,⋃+∞
D ．[)1,+∞
3．已知函数21,1()1,1x x x f x x x
⎧-+<⎪
=⎨⎪⎩，若函数()y f x a =-有三个零点，则实数a 的取值
范围为（ ） A ．3[4
，1]
B ．3(4
，1)
C ．(0,1)
D ．3(4
，)+∞
4．已知关于x 的方程|2|1x m -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-
B ．(,1)-∞-
C ．[1，)+∞
D ．(1,)+∞
5．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，
是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220
()20x
x x x f x x e
⎧+<⎪
=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24
(
,)e
+∞ B ．24(0,
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的计算公式
高中数学公式大全函数与方程的根与零点的
计算公式
高中数学公式大全：函数与方程的根与零点的计算公式
一、函数的根与零点的定义
在高中数学中，我们学习了函数的概念。函数是数学中的基本概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。函数的根与零点指的是函数取零
的数值。具体来说，当函数的取值为0时，我们称对应的自变量为函
数的根或零点。
函数的根或零点在数学中具有重要意义，它们可以用于解方程、求
函数的性质、构造函数图像等。下面将介绍一些常用的函数与方程的
根与零点的计算公式。
二、一次函数的根与零点的计算
一次函数是形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。一次函数的根与零点可以通过求解方程ax+b=0来得到。
根据一次方程ax+b=0的解法，我们可以得到一次函数的根与零点
的计算公式如下：
根/零点 = -b/a
三、二次函数的根与零点的计算
二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b和c为常数，且a
不等于0。二次函数的根与零点可以通过求解方程ax²+bx+c=0来得到。
根据二次方程ax²+bx+c=0的解法，我们可以得到二次函数的根与零点的计算公式如下：
根/零点 = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)
其中，±表示取正负两个值。
四、三次及以上次数函数的根与零点的计算
对于三次及以上次数的函数，由于其通式比较复杂，我们通常使用计算工具或数值近似方法来求解根与零点。
常见的数值近似方法包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。这些方法可以较为准确地计算函数的零点，但需要借助计算机软件或计算器来实现。
五、其他常见函数的根与零点的计算
利用函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
(22,1,(0,22)2⎫
-∞-⎪(0,22) (22,)+∞
天津和平高三三模）a ，()2
g x x =有两个不同的实数根，则实数13,8⎛ ⎝513⎛+⎫
⎝133,228⎫⎡⎪⎢⎥⎪
⎣⎦
⎭
133,228⎤
⎡⎥
⎢⎥⎣⎦
⎦
重庆九龙坡高三三模）已知函数0)0)，若方程的取值范围是（
(22,1,(0,22)2⎫
-∞-⎪(0,22) (22,)+∞
【思路导引】由(0)g =2|kx -与h
因为2,0
()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩
， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()
()||
f x h x x =
有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()
()||
f x h x x =
恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，
令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >． 综上，k 的取值范围为(,0)
(22,)-∞+∞，故选D ．
2．（2020·天津和平高三三模）已知函数()f x x a a =--+，()243g x x x =-+，若方程()()
f x
g x =有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1313,,228⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．113513,,282⎛⎫+⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
C ．1513313,,2228⎛⎫-⎡⎤
⎪⎢⎥ ⎪
⎣⎦
⎝⎭
D ．1513313,,2228⎛⎤
求参数范围问题—常见解题方法
求参数范围问题—常见解题方法
一、确定“主元”思想
常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．
分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．
解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．
由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，
解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．
二、分离变量
例2．若对于任意角总有成立，求的范围．
分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，
又，则原不等式等价变形为恒成立．
根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为
即时，有最小值为0，故．
①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)
②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min
③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)
④f(x)
三、数形结合
例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．
分析与解：若设函数，则
，其图象为上半圆．
设函数，其图象为直线．
在同一坐标系内作出函数图象如图，
依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线