竞赛数学不等式完整版

不等式证明的基本技巧
数学竞赛的历史，可以追溯到16世纪意大利求解三次方程“擂台战”。

而1894年匈牙利举办的全国中学数学竞赛，可以说是开中学生数学竞赛的先河。

中国的少年在IMO 上屡屡夺标，不仅展示了炎黄子孙的才能和苦学精神，而且肯定了中国在数学教学和奥林匹克数学培训中的可贵经验。

如果说，一名中学生，他有可能选择是否接受竞赛数学的培训，那作为一名中学数学老师没有理由对中学数学中这块领域毫无所知，所以作为师范生的我们有必要学好数学竞赛这门课程。

在学习竞赛数学这门课程过程中，我比较注重它的思想和方法，课余时间我还会借阅有关课外书籍，这些有富于我们数学创造力和思维能力的提高。

对于不等式部分我很感兴趣，并做了一些研究。

竞赛数学中的不等式问题按范围可分为代数不等式、三角不等式与几何不等式，按可形式分为不等式求解、不等式证明与不等式应用，这些都是属于竞赛数学中较重要的部分。

下面就不等式证明这一部分我给大家做一些介绍。

证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已知的恒不等式，进行合乎逻辑的等价变换。

不等式证明基本方法与技巧主要有比较法、放缩法、代换法、分析综合法、反证法、数学归纳法、配方与判别式法、构造法、导数法、辅助函数法公式法、调整法等。

下面举例说明证明不等式的常用技巧。

例1 设a,b,c 为正数，证明⎪⎭
⎫
⎝⎛-++≤⎪⎭⎫
⎝⎛-+33322abc c b a ab b a . 证
()().
23232233333ab abc c ab abc b a c b a ab b a abc c b a +-+-+-++⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++＝＝
x
x y ab abc c x 3233
3623230y 0x c y ab +-+-＝，
，，则＝，＝设 ()()()
()()()()
()()0
2222222
2
22
3
2
2
3
≥++--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-+----++---x y x y x y x y xy x y x y x y x y y y y x y x y x x
x x y ＝
＝＝＝＝
.2
时等号成立＝即＝仅当c ab y x
⎪⎭
⎫
⎝⎛-++≤⎪⎭⎫
⎝⎛-+33322abc c b a ab b a 所以.
例2 .1716,1
80
1
S k
S k 求证＝设＝∑
证 对自然数k ，显然成立 ,121+++-k k k k k 取倒数可得
()()
,
121
12,
1
1
21
1
1
---+-+++k k k
k k k k k k k
对k 从m 到n 求和交叉相消可得 (
)()
121
12---+∑
m n k
m n n
m
k ＝
所以，在上式的左式中m ＝1，n ＝80，即得16<S ；在上式的右式中 令m ＝2，n ＝80，即得()
1718021 -+s 因此16<S<17
例3 .1111,,,c c
b b a a
c b a c b a R c b a +++++≤+++++∈求证：
证 构造函数()[)时，
则当＝x x x x x f 2
10,0,1x
≤+∞∈+ ()()()
011112
1
1
2
1
1
2
2
x x x x x x x
x
x f ++-+-+＝＝
所以函数()[)上是严格递增的，由，在＝∞++01x
x
x f
()().c b a f c b a f c b a c b a ++≤++++≤++有 即
c
b a
c b a c
b a
c b a +++++≤
+++++11
()()()
c b a c
c b a b c b a ++++
+++++++111a ＝
c
c b
b a
a ++
++
+≤
111
分析 不等式中四个式子形式相似，相当于函数()x
x
x f +1＝
在相应四个点的函数值，由此我们设置辅助函数来研究不等式.利用不等式的特点，构造辅助函数，将不等式的证明转化为函数增减性或极值来研究，是很有效的方法。

例4 设a ，b ，c 是三角形的三边长，求证
()()()02
2
2
≥-+-+-a c a c b c b a b c b a ，.并确定等号成立的条件
证 (),,,c b a 2
1
s c s z b s y a s x s ---++＝＝＝，再令＝为半圆周，即令 ，且则0,, z y x
.,,y x c x z b z y a +++＝＝＝ 此代换把欲证之不等式变为
,022
2
233
3≥⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++
-⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy zx yz z y x z y
x x z y
又可变为 ()
()
(),02
2
2
≥++---z y y z x z xy
zx
yz
最后一式显然成立，故知欲证不等式成立，且等号成立当且仅当 x=y=z, 即 a=b=c.
分析 本题证法常用于与三角形有关的不等式，构造几何图形，解释代数公式，利用几何的性质，推导相应的结果，本题如设a ≥b ≥c ，则失去一般性（因题设不等式左边对a ，b ，c 不是对称多项式）
例5 设x ，y ，z 为实数，x+y+z=0，求证 ()()
z y x z y x 22
2
33
3
6
3
2
++++≤
证 以x ，y ，z 为根的三次方程为（t-x ）（t-y ）（t-z ）=0, .,03
xyz q xy zx yz p q pt t -++++＝＝，其中＝即 因 x+y+z=0,故
()
，
＝＝⎪⎭
⎫ ⎝
⎛++
-⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++
-++z y
x z y
x z y x p 2
2
222
2
2
2121
().31313
3
333
32
2
2⎪⎭
⎫
⎝
⎛++
-⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛++
-⎪⎭⎫ ⎝⎛---++++z y x z y
x z y
x xy zx yz z y x q ＝＝ 有三次方程有三实根可知 ,0323
2≤+⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛∆p q t ＝
代入即得欲证之不等式.
分析 利用02
≥x 和配方的证法，称为配方法.()()0,0,2
≥++x f a c bx a x f x ＝设
恒成立等价于判别式,042
≤-∆ac b ＝这就是二次函数判别式法。

设
这是三次函数判别式法。

例6 ()():,n
1
31211求证＝已知N n n f ∈+⋅⋅⋅+++
()
().12
22 n n f n
+ 证 用数学归纳法证
当n=2时，()
成立＝＝
2
41225413121122
+++f 假设n=k 时命题成立，即 ()
时，＝则当1k n ,2
22++k f k
()()2
222221
2
1
11
1
k
k k
k
k
k f f
++
+⋅⋅⋅+++
++
+＝
2
221111
1122++++⋅⋅⋅++++k k k k
结论成立＝＝＝,22
)1(212222
21+++++++k k k k k
综上所述，不等式()()成立12
22 n n f
n
+.
分析 与自然数n 有关的不等式问题，往往采用数学归纳法.应用数学归纳法， 假设n=k 成立，推证n=k+1时成立，但这个过程中往往需要较高的变形技巧.
上面就是我例举的几个常用方法的应用，其他方法在这里我就不一一举例了，注意上述方法还可综合运用。

在对这门课程的学习、钻研时，我深刻地认识到自己专业知识还不够精深，需要学习的东西还很多，我相信，只要不怕困难，敢于钻研，经过努力，我一定能够收获更多有关竞赛数学这门科的知识，深化且不断地提高自己的知识层面，为将来当一位合格的教师做好准备!
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。