高中数学选修2-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含同步练习及答案

合集下载

高中数学选修1-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含同步练习及答案

y2 x2 + = 1． 3 2 4 （2）当直线 AB 与 x 轴垂直时，|AB| = ，不符合题意舍去； √3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y = k(x + 1)，代入椭圆方程，消去 y
所以椭圆方程为得
(2 + 3k2 )x2 + 6k2 x + (3k2 − 6) = 0.
已知椭圆 G :
⎧ y = x + m, ⎨ x2 y2 ⎩ + = 1, 12 4
整理得
4x2 + 6mx + 3m 2 − 12 = 0.
设
⋯⋯①
A ，B 的坐标分别为 (x1 , y 1 ) , (x2 , y 2 ) (x1 < x2 ) ， AB 中点为 E (x0 , y 0 ) ，则 x0 = 3m x1 + x2 =− , 2 4 m . y 0 = x0 + m = 4
因为 AB 是等腰 △P AB 的底边，所以 P E ⊥ AB ．所以 P E 的斜率
m 4 k= = −1. 3m −3 + 4 2−
解得 m = 2 ．此时方程① 为 4x2 + 12x = 0 ．解得
x1 = −3, x2 = 0.
所以
x1 + x2 = −3, x1 ⋅ x2 = 0
所以
− − − −− − − − − − − − − − − − − − − |AB| = √(x1 − x2 )2 + (y 1 − y 2 )2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 3√2 ．

人教版A版高中数学选修2-1：小结

基础训练
x2
(7)已知椭圆

y2
1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，
25 9
35
则点 P 到椭圆右准线的距离为 4
x2 y2
(8)以椭圆 1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线
25 16
100
的抛物线与椭圆的右准线交于 A、B 两点，则 AB= 3
小结：要熟练掌握圆锥曲线的基础知识，以解决基本问题。
基础训练
x2 y2
(1)一个焦点为 0, 7 , 短轴长为 6 的椭圆的标准方程为 9 __1_6___1_ (2)已知方程 x 2 y 2 1表示椭圆，则 k 的
3k 2k
取值范围为 _3_ k 2 (3)若双曲线的实半轴长为 2,焦距为 6,那么双曲线
e 3
的离心率为 ___2
2a 3 2b
则此：时所a92 求 b的42 椭1，圆解方此程方为程x组2 ， y得2
a 2 b 2
1

45 5
45 5
(2)当焦点在y轴上时，同理得，椭圆方程为
x2 y2 5 85
1
小结：本题用待定系数法求椭圆的标准方程， 9
但在无法判断焦点所在的坐标轴时，要分情况讨论
基础训练
(4)经过点 Ax（2 -3y，2 1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线方程是 8 8 1
（5）抛物线 y 1 x 2 的焦点坐标是 (0,-1) 4
(6)已知 M 为抛物线 y 2 4x 上一动点， F 为抛物线的
焦点，定点 P3 , 1，则 MP MF 的最小值为 4
【例1】过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、 l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段 AB的中点M的轨迹方程．解法一设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)，

人教新课标A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.4.1 抛物线及其标准方程

题型一抛物线定义的应用
【例 1】 (12 分)已知点 A(3,2),点 M 到 F( 1 ,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1 .
2
2
(1)求点 M 的轨迹方程;
规范解答:(1)由于点 M 到 F( 1 ,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1 ,所以点 M 到
2
2
F( 1 ,0)的距离与它到直线 l:x=- 1 的距离相等.…………………………2 分
2
3
(2)以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 5 .
2
解:(2)由焦点到准线的距离为 5 ,为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
方法技能求抛物线的标准方程的关键与方法 (1)关键:确定焦点在哪个坐标轴上,进而求方程的有关参数. (2)方法:①直接法:建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程; ②直接根据定义求p,最后写标准方程; ③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.
规范解答:(2)如图,由于点M在抛物线上, 所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是 |MA|+|MF|=|MA|+|MN|, …………………………………………………………………8分所以当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,…………………………………………10分分可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).………… ………………………………………………………………12分
即时训练2-1:根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)准线为y=-1; (2)焦点到准线的距离是4;
解:(1)焦点在y轴正半轴上, =p 1,即p=2,

2014年人教A版选修2-1课件第二章小结(圆锥曲线与方程)

4. 当 a 从 0º到 180º变化时, 曲线 x2 y2cosa 1 表示的曲线的形状怎样变化? 2 y 1. 解: 原方程变为 x 2 1 cosa (1) 当a0º 时, 方程为 x2y21, 曲线是个圆. 1 1, (2) 当 0º <a<90º 时, cosa 曲线是焦点在 y 轴上的椭圆. (3) 当 a90º 时, 方程为 x±1, 曲线是两条直线. 1 0, 曲线是焦点在 (4) 当 90º <a<180º 时, cosa x 轴上的双曲线. (5) 当 a180º 时, 方程为 x2-y21, 曲线是等轴双曲线. (看下面的动感变化图)
y l
p
oF
·
x
四、三种圆锥曲线的光学性质
椭圆: 光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.
四、三种圆锥曲线的光学性质
双曲线: 光源从双曲线的一个焦点发出, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 好象是从另一个焦点发出的光线.
四、三种圆锥曲线的光学性质抛物线: 光源从抛物线的焦点发出, 经过抛物线反射后, 形成一束平行光线.
2384
y
439
o F F1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
2. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆. 设地球半径为 R, 卫星近地点, 远地点离地面的距离分别为 r1, r2, 求卫星轨道的离心率. y 解: 以椭圆的长轴所在直 r1 线为 x 轴, 短轴所在直线为 y 轴, 建立直角坐标系, r2 R 2a r22Rr1, x F1 o F2 c a-R-r1 1 (r2 2R r1 ) - R - r1 a 2 1 (r2 - r1 ), 2 1 (r - r ) 2 1 r2 - r1 c 2 . e a 1 (r 2 R r ) 2R r2 r1 1 2 2

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.2 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C.【答案】 C2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3【解析】据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1，0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝（1＋1）2＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D.【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)．又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2＝k ＝1，∴p ＝2.∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B4．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3【解析】焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋32＝212＋32＝12，故选C. 【答案】 C5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】由题意知p ＝2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B. 【答案】 B 二、填空题6．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．【解析】设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋（x ）2，由题意有x ＋14＝x 2＋（x ）2，∴x ＝18，∴y ＝±24，∴此点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±247．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________．【解析】当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y 得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.【答案】 0或18．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1，0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________. 【导学号：18490074】【解析】设机器人为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x .过点P (－1，0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．【解】设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3， ∵|AM |＝17， ∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0，得8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .10．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎨⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离为3＋32＝92.[能力提升]1．(2016·菏泽期末)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF ||BF |∈(0，1)，则|AF ||BF |＝( )A.15B.14C.13D.12【解析】因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF ||BF |＝|x A ||x B|＝13，故选C.【答案】 C2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2，2)，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA→·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2【解析】由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k 的直线的方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16，因为MA →·MB →＝0，所以(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2，故选D.【答案】 D3．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．【解析】由于x 2＝2py (p >0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎨⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x 2－y 2＝3的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6. 【答案】 64．已知抛物线x ＝－y 2与过点(－1，0)且斜率为k 的直线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△OAB 的面积等于10时，求k 的值. 【导学号：18490075】【解】过点(－1，0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 2，y ＝k （x ＋1），消去x ，整理得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1y 2＝－1.设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1，0)． ∵S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝121k 2＋4＝10，解得k ＝－16或16.。

高二数学人教版选修2-1习题第2章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

第二章 2.4 2.4.1一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3的距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线[答案] A[解析] ∵点(1,1)在直线x ＋2y ＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x ＋2y ＝3垂直的直线．2．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线[答案] D[解析] 如图，设点P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线，因此选D.3．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 解法一：∵y ＝4，∴x 2＝4·y ＝16，∴x ＝±4， ∴A (±4,4)，焦点坐标为(0,1)， ∴所求距离为42＋(4－1)2＝25＝5.解法二：抛物线的准线为y ＝－1，∴A 到准线的距离为5，又∵A 到准线的距离与A 到焦点的距离相等．∴距离为5.4．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A ．1B ．32 C ．2D ．52[答案] D[解析] ∵点P (2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m ，∴m ＝4，P 到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F 到准线距离为2， ∴M 到抛物线准线的距离为d ＝3＋22＝52.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[答案] C[解析] 抛物线的准线为x ＝－p2，将圆方程化简得到(x －3)2＋y 2＝16，准线与圆相切，则－p2＝－1，∴p ＝2，故选C.6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离为( )A ．12B ．8C ．6D ．4[答案] B[解析] ∵点P 到y 轴的距离为6，∴点P 到抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2的距离d ＝6＋2＝8，根据抛物线的定义知点P 到抛物线焦点的距离为8. 二、填空题7．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________.[答案] －18[解析] 抛物线方程化为标准形式为x 2＝1a y ，由题意得a <0，∴2p ＝－1a ，∴p ＝－12a ，∴准线方程为y ＝p 2＝－14a ＝2，∴a ＝－18.8．沿直线y ＝－2发出的光线经抛物线y 2＝ax 反射后，与x 轴相交于点A (2,0)，则抛物线的准线方程为________(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).[答案] x ＝－2[解析] 由直线y ＝－2平行于抛物线的轴知A (2,0)为焦点，故准线方程为x ＝－2. 三、解答题9．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M 到对称轴的距离为6， ∴设点M 的坐标为(x,6)．又∵点M 到准线的距离为10，∴⎩⎪⎨⎪⎧62＝2px ，x ＋p 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝9，p ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，p ＝18.故当点M 的横坐标为9时，抛物线方程为y 2＝4x . 当点M 的横坐标为1时，抛物线方程为y 2＝36x .10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程.[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p ＝94，p ′＝23，∴抛物线方程为y 2＝－92x 或x 2＝43y .一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x[答案] D[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x ，故答案是D.2．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．2 3D ．4[答案] C[解析] 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而y P ＝±26，∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |[答案] C[解析] ∵点P 1、P 2、P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.4．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A.522 B ．522＋1 C.522－2D ．522－1[答案] D[解析] 设抛物线焦点为F ，过P 作P A 与准线垂直，垂足为A ，作PB 与l 垂直，垂足为B ，则d 1＋d 2＝|P A |＋|PB |－1＝|PF |＋|PB |－1，显然当P 、F 、B 三点共线(即P 点在由F 向l 作垂线的垂线段上)时，d 1＋d 2取到最小值，最小值为522－1.二、填空题5．已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物于点B ，过B 点作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝________.[答案]2[解析] 由抛物线的定义可得BM ＝BF ，F (P2，0)，又AM ⊥MF ，故点B 为线段F A 中点，即B (p 4，1)，所以1＝2p ×p4⇒p ＝ 2.6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称．点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则x 0＝________.[答案] 1＋ 2[解析] ∵点B 与点A (－1,0)关于原点O 对称，∴B (1,0)，根据题意，得y 20x 20－1＝2，又y 20＝4x 0，∴2x 0＝x 20－1，即x 20－2x 0－1＝0，解得x 0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x 0＝1＋ 2. 三、解答题7．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过抛物线y 2＝2mx 的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝6； (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，点P (－5，25)到焦点的距离是6.[解析] (1)设抛物线的准线为l ，交x 轴于K 点，l 的方程为x ＝－m2，如图，作AA ′⊥l于A ′，BB ′⊥l 于B ′，则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝|m |，同理|BF |＝|m |.又|AB |＝6，则2|m |＝6. ∴m ＝±3，故所求抛物线方程为y 2＝±6x .(2)设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6，即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1或a ＝－9.当焦点为F (－1，0)时，p ＝2，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－4x ；当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口方向向左，其方程为y 2＝－36x .8．一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值.[解析] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则B 点的坐标为(a2，－a 4)，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a 4)，∴m ＝－a ，即抛物线方程为x 2＝－ay . 将(0.8，y )代入抛物线方程，得 0．82＝－ay ，即y ＝－0.82a.欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3，由于a >0，得上述不等式的解为a >12.21，∴a 应取13.。

人教A版选修2--1第二章圆锥曲线与方程《重点与难点》

第二章圆锥曲线与方程《重点与难点》圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的知识结构具有相似性，因此要把它们作为一个有机整体，学习时对于知识和解题方法要相互联系和类比，彼此借鉴，综合起来分析问题。

一、曲线与方程1、曲线与方程的实质：曲线与方程的实质是曲线的点集与方程的解集之间的一一对应关系，即曲线上所有点的坐标都满足方程，以方程解为坐标的点全部在曲线上，这是解决点、曲线、方程问题的根本依据。

解题时，要根据图形几何意义，检验特殊点或特殊值是否满足一一对应关系，由此判断曲线与方程的关系。

2、辨析“曲线与方程”和“曲线与函数”的区别与联系3、辨析点、线、面、体与方程（元）的关系4、求曲线的方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、检验；5、求曲线的方程（轨迹方程）的常用方法 ⑴直接法；⑵定义法；⑶代换法（或相关点法）；特别要注意变量取值范围的验证和取舍。

二、圆锥曲线的方程及几何性质1、定义及方程中的限制条件：主要包括各参数的数量关系、位置关系，焦半径的取值范围，焦半径与a （或）之间数量关系及相互代换（距离关系及代换），变量的取值范围（图形区域）。

⑴标准方程，根据焦点的位置确定标准方程的具体形式，椭圆焦点在分母较大变量的坐标轴上，双曲线焦点在系数为正的变量的坐标轴上，抛物线焦点在一次项的变量的坐标轴上。

⑵一般形式，椭圆221Ax By +=（其中0,0,A B A B >>≠），双曲线221(0)Ax By AB +=<，抛物线22(0)y mx m =≠或22(0)x my m =≠3、方程的求解：先定位（确定焦点位置），后定量（确定有关参数）。

⑴定义法。

⑵待定系数法，①设标准方程，有时需要讨论焦点位置；②设一般方程，能避免讨论焦点位置。

4、焦点三角形：椭圆、双曲线的1212,,PF PF F F 围成焦点三角形。

除利用12,,2PF PF a 之间的数量关系外，还要注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的应用。

高中数学人教A版选修2-1第2章章末总结.docx

章末总结知识点一圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．知识点二直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离．在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．例2如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.知识点三轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程．例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．例4 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 24＋y23＝1相交于A 、B 两点(A 、B 不是左、右顶点)，A 2为椭圆的右顶点且AA 2⊥BA 2，求证：直线l 过定点．知识点五圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略： (1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解． (2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值．例5已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求MA＋MB的最值．例6 已知F 1、F 2为椭圆x 2＋y22＝1的上、下两个焦点，AB 是过焦点F 1的一条动弦，求△ABF 2面积的最大值．章末总结重点解读例1 解如图所示，设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)． ∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得|PF 1－PF 2|＝2a ＝c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝(PF 1－PF 2)2＋2PF 1·PF 2(1－cos 60°)，即4c 2＝c 2＋PF 1·PF 2.① 又S △PF 1F 2＝123， ∴12PF 1·PF 2sin 60°＝123，即PF 1·PF 2＝48.②由①②，得c 2＝16，c ＝4，则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.例2 (1)解过点P (2,0)且斜率为k 的直线方程为：y ＝k (x －2)．把y ＝k (x －2)代入y 2＝2x ，消去y 得k 2x 2－(4k 2＋2)x ＋4k 2＝0，由于直线与抛物线交于不同两点，故k 2≠0且Δ＝(4k 2＋2)2－16k 4＝16k 2＋4>0，x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝4＋2k2，∵M 、N 两点在抛物线上， ∴y 21·y 22＝4x 1·x 2＝16，而y 1·y 2<0，∴y 1y 2＝－4.(2)证明∵ OM →＝(x 1，y 1)， ON →＝(x 2，y 2)， ∴OM →·ON →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝4－4＝0. ∴OM →⊥ON →，即OM ⊥ON .例3 解设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠±1，因为当k ＝±1时，直线AB 的斜率不存在)，则直线OB 的方程为y ＝－x k，进而可求A ⎝⎛⎭⎪⎫4p k 2，4p k、 B (4pk 2，－4pk )．于是直线AB 的斜率为k AB ＝k1－k2，从而k OM ＝k 2－1k，∴直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，①直线AB 的方程为y ＋4pk ＝－k k 2－1(x －4pk 2)．②将①②相乘，得y 2＋4pky ＝－x (x －4pk 2)，即x 2＋y 2＝－4pky ＋4pk 2x ＝4p (k 2x －ky )，③又k 2x －ky ＝x ，代入③式并化简，得(x －2p )2＋y 2＝4p 2.当k ＝±1时，易求得直线AB 的方程为x ＝4p .故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)上．∴点M的轨迹方程为(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)，∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．例4证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2，∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. ∴7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0. 当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，∴直线l 过定点．例5解因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′(－4,0)，由椭圆定义知MA＋MA′＝10.如图所示，则MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B.当点M在BA′的延长线上时取等号．所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如图所示，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB＝10－(MA′－MB)≥10－A′B，当M在A′B的延长线上时取等号．所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解由题意，F 1F 2＝2. 设直线AB 方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程2x 2＋y 2＝2，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x A ＋x B ＝－2k k 2＋2，x A ·x B ＝－1k 2＋2，∴|x A －x B |＝8(k 2＋1)k 2＋2.S △ABF 2＝12F 1F 2·|x A －x B |＝22×k 2＋1k 2＋2 ＝22×1k 2＋1＋1k 2＋1≤22×12＝ 2.当k 2＋1＝1k 2＋1，即k ＝0时，S △ABF 2有最大面积为 2.。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质

②有一个交点,
> 0.
即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交);
≠ 0,
(2)直线与抛物线相切⇔有一个公共点,即
= 0.
≠ 0,
(3)直线与抛物线相离⇔没有公共点,即
< 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l
③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;
(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;
(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟方程思想解决直线与抛物线的位置关系
题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型解决问题
时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是将抛物线
的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系,其次要注
意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进行求解.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2
图形
对称轴
x轴
焦点
F
顶点
原点(0,0)
准线
x=-2
离心率
e=1
p
2
x轴
,0
p
开口方向向右
p
F - ,0
2
p
y轴
F 0,
p
y轴

高中数学选修(2-1)第二章圆锥曲线与方程(知识点汇总)

圆锥曲线与方程--椭圆1、椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离和等于常数2a （2a>||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

2、椭圆的标准方程与几何性质:近于a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，则c 越接近于0，从而22c a b -=越大，这时椭圆就越接近于圆；故离心率e 越小椭圆越圆，离心率e 越大椭圆越扁。

4、弦长公式（一）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b ya x m kx y 由)0(02≠=++a c bx ax y 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;2121a c x x a b x x 由韦达定理知：，则，，，弦端点设)()(2211y x B y x A[]212212221222122212212214)()1())(1()()()()(x x x x k x x k x x k x x y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=∴5、弦长公式（二）：;12222⎪⎩⎪⎨⎧=++=b yax mkx y 由)0'(0'''2≠=++a c y b y a x 得：消去⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+;;''21''21a c y y a b y y 由韦达定理知：[]212212221222122122212214)()11())(11()()(1)()(y y y y k y y ky y y y k y y x x AB -++=-+=-+-=-+-=直线和椭圆相交，求其弦长，通常利用根与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。

这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式。

1、双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数2a （2a<||21F F ）的点的轨迹叫做双曲线。

2、双曲线的标准方程与几何性质:1122222-=-=-==e ac a a c a b k ；所以e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

高中数学人教A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3C ．2D ．2 3【解析】抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x 29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】法一设点P 的坐标为(x ，y )，则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A. 【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C.【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ，得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。

高二数学选修2-1第二章圆锥曲线_知识点+习题+答案

第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<< 准线方程2a x c =±2a y c=±3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 5、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率 ()2211c b e e a a==+> 准线方程 2a x c=±2a y c=±渐近线方程b y x a=±a y x b=±6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 10、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pFx P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p F x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．11、抛物线的几何性质：标准方程 22y px = ()0p > 22y px =-()0p >22x py=()0p >22x py =-()0p >图形顶点 ()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率1e =圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（）A. 抛物线B.双曲线C. 椭圆D.以上都不对2．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （）A. 1或5B. 1或9C. 1D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.A.2B.12C. 21 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3D.45．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（） A 02=-y x B 042=-+y x C 0123=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B.抛物线C. 椭圆D.以上都不对 8．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示）A B C D 二、填空题：9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题：① 椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 .10．若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为11、抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标。

人教A版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程-圆锥曲线基本题型总结习题

圆锥曲线基本题型总结：提纲：一、定义的应用：1、定义法求标准方程：2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：3、焦点三角形问题：二、圆锥曲线的标准方程：1、对方程的理解2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程）3、各种圆锥曲线系的应用：三、圆锥曲线的性质：1、已知方程求性质：2、求离心率的取值或取值范围3、涉及性质的问题：四、直线与圆锥曲线的关系：1、位置关系的判定：2、弦长公式的应用：3、弦的中点问题：4、韦达定理的应用：一、定义的应用：1.定义法求标准方程：（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 【注：检验去点】3.已知A (0，－5)、B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】4.已知两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216－y 29＝1(x ≤－4)B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4)D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程.7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：8.已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程. 已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 212＝1 (x >0)B.x 24－y 212＝1 (x <0) C.x 24－y 212＝1D.y 24－x 212＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 9.若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】10.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.11.若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线12.已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】13.已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.（M 的横坐标非负） (1)求点M 的轨迹方程；【注：体现抛物线定义的灵活应用】(2)是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】（3）其他问题中的圆锥曲线：14.已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】2.15.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【注：体现抛物线定义的灵活应用】2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：16.设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1 (m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )A.22 B.12 C.2－12 D.3417.椭圆x 216＋y 27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．418.已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m19.若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________.20.设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形21．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a -c ，最大是a+c 】22.已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________.【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c -a 】23.已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 【注：O 是两焦点的中点，注意中位线的体现】24.设F 1、F 2分别是双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF u u u u r ·2PF u u u u r ＝0，则|1PF u u u u r ＋2PF u u u u r |等于( ) A ．3 B ．6 C ．1 D ．225.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A.172B.3C. 5D.92【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】26.已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( ) A.125 B.65 C ．2 D.55【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】27.设点A 为抛物线y2＝4x 上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A 的横坐标的值为( )A ．－2B ．0C ．－2或0D ．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】3.焦点三角形问题：椭圆的焦点三角形周长2c 2a 2C PF PF C 21F PF 21+∆＝＋＋＝椭圆的焦点三角形面积：推导过程：2tan sin cos 121sin 21cos 1 -)cos (12 (1)-(2)(2)2a (1)COS 2-2 1 b 2b PFPF S 2bPFPF 4c 4a PFPF PF PF 4c PF PF PF PF 2221F PF 22122212212212221θθθθθθθ=+==+==+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∆得双曲线的焦点三角形面积：2tanbS 2F PF 21θ=∆28.设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．【注：小题中可以直接套用公式。

新人教A版高中数学(选修2-1)《第二章圆锥曲线与方程小结综合》word教案

圆锥曲线综合复习讲义【基础概念填空】椭圆1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________.2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是是F 1 ___________，F 2 ____________；椭圆)0b a (1bx a y 2222>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标分别是F 1 ____________，F 2 ____________.3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。

椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。

椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 双曲线1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的差_____________________的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的_________ , 两焦点之间的距离叫做双曲线的________.2.双曲线的标准方程：双曲线0)b 0,1(a by a x 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.双曲线0)b 0,1(a bx a y 2222>>=-的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标是____________；顶点坐标是______________,渐近线方程是_____________.3.几个概念：双曲线与对称轴的交点，叫作双曲线的_____.a 和b 分别叫做双曲线的________长和_______长。

人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程总结复习优质

复习目标
1)掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的几何性质
2)掌握双曲线的定义，标准方程和双曲线的几何性质 3)掌握抛物线的定义，标准方程和抛物线的几何性质
4)能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用。
一、知识回顾
椭圆标准方程几何性质第二定义
圆锥
双曲线几何性质标准方程
点P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求动点的轨迹方程
自主解答：∵双曲线的焦点在 x 轴上， x2 y2 ∴设它的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)． ∵2a＝10，∴a＝5. 又 c＝13，∴b2＝132－52＝144. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为25－144＝1.
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
Y
P O1
X
O2
例三：一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线。解法1：如图：设动圆圆心为P（x,y), 半径为R，两已知圆圆心为O1、O2。分别将两已知圆的方程 x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 配方，得（x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100
P 的轨迹是椭圆，
a2 A（2，0）所以 c 2 ，定直线 x 8 所以 x 5 解得 c
解法二：因为定点
2
x2 y2 1 a 10 ，故所求的轨迹方程为 10 6
16 4、如图，设 M x, y 与定点 F 5, 0 的距离和它到直线 l ： x 5

高中数学选修2第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含

高中数学选修2第二章圆锥曲线与方程2.4知识点总结含高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程知识点总结含同步练习题及答案高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章圆锥曲线与方程 2.4抛物线一、学习任务掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.二、知识清单抛物线的基本量与方程三、知识讲解1.抛物线的基本量与方程描述：抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy .设|KF|= p (p 0),那么焦点F的坐标为(p p, 0),准线l的方程为x= .设点2 2 M (x, y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为 d .由抛物线的定义得p p p p|MF|=√(x )2+ y 2,d=|x+|,所以√(x )2+ y 2=|x+|.将式子化简得2 2 2 2 2 y= 2px(p 0)①.抛物线上任意一点的坐标都满足方程①;以方程①的解(x, y)为坐标的点到抛物线的焦点p p的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，F (, 0)的距离与到准线x= 2 2 p这样，我们把方程①叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点坐标是(, 0),准线方 2 p程是x= . 2 高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程知识点总结含同步练习题及答案选择不同的坐标系，就得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有4种形式，如下：①标准方程为y 2= 2px,焦点坐标为(p p, 0),准线方程为x= . 2 2②标准方程为y 2= 2px,焦点坐标为(p p, 0),准线方程为x= . 2 2③标准方程为x 2= 2py,焦点坐标为(0,p p ),准线方程为y= . 2 2④标准方程为x 2= 2py,焦点坐标为(0,p p ),准线方程为y= . 2 2抛物线的几何意义若抛物线的标准方程为y 2= 2px(p 0),则它的几何性质如下：①范围因为p 0,由方程可知x≥ 0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右方和右下方无限延伸，开口向右.②对称性以y代替y,方程不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.③顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中，当y= 0时，x= 0,高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程知识点总结含同步练习题及答案因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.④开口大小在y 2= 2px(p 0)中，对于x一个确定的值，p越大，则|y|也越大，就是对应的点离对称轴越远，也可以说开口越大，反之，p越小，开口也越小.例题：已知动圆经过点M (3, 2)且与直线x= 1相切，则动圆圆心T的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线解：D由题意可知，T到点M的距离等于其到直线x= 1的距离.所以T的轨迹是以(3, 2)为焦点，x= 1为准线的抛物线.已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3,求抛物线的标准方程，焦点坐标和准线方程.解：由已知焦点到准线的距离是3,可得p= 3,所以抛物线的标准方程是y 2= 6x.焦点坐标为(3 3, 0),准线方程为x= . 2 2点P到(1, 0)的距离比其到直线x+ 2= 0的距离少1,则点P的轨迹方程为______.解：y 2= 4x由已知可得点P到(1, 0)的距离与其到x+ 1= 0的距离相等，故点P的轨迹是以(1, 0)为焦点，x+ 1= 0为准线的抛物线，故其方程为y 2= 4x.抛物线y= 4x 2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(17 A. 16 0解：B15 B. 167 C. 8) D.1 1 1,由抛物线y,则焦点为F (0, ),准线为y= 4 16 16 1定义可知，点M (x, y)到焦点的距离与其到准线的距离相等，即1= y 0+,可得16 15 15,即M点的纵坐标为 . y0= 16 16由题意，得抛物线方程为x 2=已知A(2, 0),B为抛物线y 2= x上的一点，求|AB|的最小值.解：设点B(x, y),则x= y2 0,所以|AB|=√(x 2)2+ y 2 =√(x 2)2+ x =√x2 3x+ 4 3 7=√(x )2+ .2 4高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程知识点总结含同步练习题及答案所以当x=3√7时，|AB| min= . 2 2四、课后作业。

人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结 (2)

数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF ）的动点的轨迹叫椭圆即aMFMF221=+当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线即aMFMF221=-当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222=+byax焦点在y轴上时：12222=+bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222=-byax焦点在y轴上时：12222=-bxay常数cba,,的关系222bac+=，渐近线焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，12222=+b x a y （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距．（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点．(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例 ,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．（识记方法）以下4-7点要求不高，或者不要求.4. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5．椭圆的准线方程对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c a x l 22:=对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c a y l 22:=6.椭圆的焦半径公式：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式:21()a PF e x a ex c =+=+，22()a PF e x a exc =-=-其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆左右焦点．焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：其中e 是离心率其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点．焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x以下为椭圆重要结论：（要求记忆1、2、3条，了解4、5）1.准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)c b c c a c c a p 2222=-=-= 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.2. 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>两焦半径与焦距构成三角形的面积:1221||tan2F PF P F PFS c y b ∆∠==． 3椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，当静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，若l 与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是(???D )A.4b?????????????B.2(a-c)?????????? ?? ?C.2(a+c)????????????D.4a 4.椭圆的的内外部:（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.5.椭圆的切线方程:(1) 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221x y a b +=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.8．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx a y (0>a ,0>b )(2)c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,10．焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心.（2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为a 2, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为b 2，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线12222=-b y a x 的渐近线x a b y ±=（0=±bya x ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e13．共渐近线的双曲线系如果双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x以下14-17点要求不高，或者不要求. 14．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．15．双曲线的准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=16.双曲线的焦半径（了解）定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF（21,F F 分别是左、右焦点）焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF（21,F F 分别是下、上焦点） 17．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时： )(221x x e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221x x e a AB ++-=当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：)(221y y e a AB +--=过右焦点与右支交于两点时：)(221y y e a AB ++-=18．双曲线的重要结论：(识记（1）-（4）点，了解（5）点)（1）双曲线焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=．（2）过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.（3）两焦半径与焦距构成三角形的面积1221cot 2F PF F PFS b ∆∠=.（4）焦点到渐近线的距离总是b . （5）双曲线的切线方程:(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221x y a b-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.19 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线20．抛物线的准线方程：(1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -=(3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号21．抛物线的几何性质（1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．（2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．22抛物线的焦半径公式：（画图即可）抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-=抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 23．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*）若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++=（识记）抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-=抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++=抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p d 2=通径是所有焦点弦（经过焦点的弦简称焦点弦）中最短的弦．（5）若已知过焦点的直线倾斜角θ（识记这条结论）则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y （6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221.3p y y -=⇒结论和421px x =（7）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p（8）过抛物线px y 22=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，则pFQ PF 211=+． 24．抛物线)0(22>=p px y 的参数方程：⎩⎨⎧== 222pt y pt x （t为参数）25.提示.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点差法：设为曲线上不同的两点，是的中点，则可得到弦中点与两点间关系：?????推导：。