2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课堂达标48 定点、定值、探索性问题 文 新人教版

课堂达标(四十八) 定点、定值、探索性问题[A 基础巩固练]1．(2018·北京西城区模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，短轴长为2 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．[解] (1)由短轴长为22，得b ＝2，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)． 证明如下：设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)， 且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4， 因为A (－2,0)，所以直线PA 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)， 所以N ⎝⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0， 即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 2x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0， 令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝± 2. 所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点， 若m ⊥n ，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解析] (1)由已知得⎩⎨⎧2a ∶2b ＝2∶3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝ 3. 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由已知F 1(－1,0)，当直线m 不垂直于坐标轴时， 可设直线m 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.由于Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 2＝＋k 23＋4k2.同理|CD |＝＋k23k 2＋4. 所以1|AB |＋1|CD |＝3＋4k2＋k2＋3k 2＋4＋k2＝＋k 2＋k 2＝712. 当直线m 垂直于坐标轴时，此时|AB |＝3，|CD |＝4； 或|AB |＝4，|CD |＝3，所以1|AB |＋1|CD |＝13＋14＝712.综上，1|AB |＋1|CD |为定值712. 3．(2018·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点(3，2)为椭圆上的一点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若斜率为k 的直线l 过点A (0,1)，且与椭圆E 交于C ，D 两点，B 为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值．[解] (1)因为e ＝33，所以c ＝33a ，a 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2. ① 又椭圆过点(3，2)，所以3a 2＋2b2＝1. ②由①②，解得a 2＝6，b 2＝4， 所以椭圆E 的标准方程为x 26＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(3k 2＋2)x 2＋6kx －9＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k 3k 2＋2，x 1x 2＝－93k 2＋2， 易知B (0，－2)， 故k BC ·k BD ＝y 1＋2x 1·y 2＋2x 2＝kx 1＋3x 1·kx 2＋3x 2＝k 2x 1x 2＋3k x 1＋x 2＋9x 1x 2＝k 2＋3k x 1＋x 2x 1x 2＋9x 1x 2＝k 2＋3k ·2k 3－(3k 2＋2)＝－2.所以对于任意的k ，直线BC ，BD 的斜率之积为定值．4．(高考全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． [解] (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．[B 能力提升练]1．(2018·山东省实验中学高三段考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解] (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c a ＝32a 2＝b 2＋c2，解得a ＝2，b ＝1.所以，椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4. 经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0， 则x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1 ＝x 2－x 1y 1＋x 1y 1＋y 2y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2.又∵x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，∴当y ＝0时，x ＝my 2＋y 1＋my 1＋y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2＋y 1＋y 2y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－2m m 2＋4－2m m 2＋4＝4，这说明，直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0)．2．如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1，又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ， ①x 1x 2＝2m 2－23. ②∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0.又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.(*)将①②代入(*)式得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心， 直线l 的方程为3x －3y －4＝0.[C 尖子生专练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．[解] (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标为(－2,0)， 设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3， 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22，＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋m 2＋3. 所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124＋＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。