椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题

椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题

例1、已知A，B，P是椭圆x2

a2＋

y2

b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若

直线PA，PB 的斜率乘积k PA·k PB＝－2 3

，则该椭圆离心率为________.

变式训练已知椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的离心率e＝

1

2，A，B是椭圆的左，右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则

cos（α＋β）

cos（α－β）＝________．例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

2

2

22

1(0)

y

x a b

a b

+=>>的右焦点为(1 0)

F，，离心率为2．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE EF

=．（1）求椭圆的方程；

（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．

例3：过椭圆C：

x2

4

＋y2＝1的上顶点A

分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐

标．

变式：已知椭圆C：

x2

8＋

y2

4＝1.M(0，2)是椭圆的一个顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，求出直线AB恒过

定点的坐标．

例4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，

右准线的方程为4x =，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆C 的左右顶点。

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l 交椭圆C 与M,N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//.F M F N 设直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值。

变式训练：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 22＋y 2

＝1.设A ，B ，M 是椭圆

T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →

.

(1) 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2) 求OA 2＋OB 2的值．