§6.6 能量谱和功率谱
能量谱和功率谱
T T T
f (t) dt J s f t dt
2
2
如果信号的能量有限 0 E 称作能量有限信号，简称能量信号，如：三角函数、 门函数等；能量与频谱 F j 的关系：
E 1 2
f
(t ) dt f (t )[
f (t)
T
T
2
1 lim 2T T T 2
T
f t dtf (t )为实信号
2
如果信号的功率有限 o P 则称为功率有限信号。简 称功率信号，如阶跃信号、周期信号。
1 P lim T T
f
T 2 T 2
2
t dt 1 2
2
F j F j d
Βιβλιοθήκη Baidu
1 2
F j d
2
F j 为单位频率上的能量叫能量 该式称为帕斯瓦尔方程式或能量等式，在频域中 谱 单位为 J s
2.功率谱：
信号的功率定义为在区间 , 上，信号的平均功率为：
1 P lim T 2T
T
lim
F j
T
2
d
( ) lim
F j
T 的模量，而与相位无关 。 1 P ( )df ( )d 2
能量谱密度与功率谱密度
能量谱密度与功率谱密度
一、能量谱密度
令为能量信号，且则的能量可以定义为
上式被称为帕什伐尔能量定理。
帕什伐尔能量定理表明一个能量信号的能量可以在时域内求解，也可以在频域内求解，并且，在时域内和在频域内求得的结果是相同的。
通常将定义为能量信号的能量谱密度。显然，是一个偶函数。信号的能量可以表示为
能量谱密度的物理含义为单位频带上的信号能量分布。
2.4.2 功率谱密度
设为一个功率信号，其信号作用时间在。通常对这样信号的分析方法是将信号截短，截短后的信号可以
看作能量信号。设则为能量信号，且设。
由功率信号的功率计算公式及能量信号帕什伐尔定理，可得
类似能量谱密度全频积分的能量，定义功率谱密度
被称为功率谱密度，表示信号在单位频带上的功率分布。
比较以上两式有
显然，且为偶函数。
能量谱和功率谱
−
−
(a )RC低通电路
输出功率谱： 输出功率谱： y (ω) =℘f (ω) H( jω) 2 = N ℘
1+ (ωRC)2
1
自相关函数
由
1 Ry (τ ) = F ℘ (ω) = F y 2 1+ (ωRC)
P=
因此
∫−∞
∞
P(ω)
1 ∞ df = P(ω) 2π −∞
∫
dω
| FT (jω) |2 P(ω)= lim T →∞ T
维纳维纳-欣钦关系 式 功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。 功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。
▲ ■ 第 8页
R(τ) ←→P(ω)
功率谱例1 功率谱例1
▲
■
第 10 页
功率谱例2 功率谱例2
白噪声，其功率谱密度为 常量)， 白噪声，其功率谱密度为PN(ω)=N(常量 ，-∞<ω<∞ 常量 求自相关函数。 求自相关函数。 利用维纳-欣钦关系式 欣钦关系式， 解：利用维纳 欣钦关系式，得自相关函数
RN (τ ) = Nδ (τ )
由于白噪声的功率谱密度为常数， 由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相 关函数为冲激函数 冲激函数， 关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱 无章，没有任何相关性。 无章，没有任何相关性。
第六章信号的矢量空间分析
2
3
0
t π sin t d t 3 3
3 2
O
3 t
f 1 t C 12 f 2 ( t )
3 t
π 0 sin 3 t d t
2 π
1
O f e (t ) 1
所以
2 π f1 ( t ) sin t π 3
( 0 t 3)
第
(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号
② f1(t)与f2(t)为复函数:
48 页
相关函数：
自相关函数：
三．相关与卷积的比较
与 卷积表达式：
第
49 页
与 两者的关系 即
相关函数表达式：
反褶与
之卷积即得
与
的相关函数
与
为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。
2
第
14 页
x, x y , y
对于二维矢量空间，已知有如下关系 x1 y1 x 2 y 2 x 2 y 2 cos1 2 即
x x, y
2
y
cos1 2
2
则有
2
1
x, y x
2
y
1
2
x, y
x, x y, y
1
所以
x, y
2
信号分析3功率谱和能量谱
7 页
X
X
第
三功率信号的功率谱
ET
6 页
对功率有限信号 f (t ), 如截取一个周期 f T (t ), 其能量为:
源自文库
f T2 (t )dt
T 2 T 2
f 2 (t ) d t
信号f (t )的平均功率表示为 : 1 P Lim T T
T 2 T 2
1 f (t ) d t 2
第六节 功率谱和能量谱
1.在频域有两种方法描述信号的特征： 幅频和相频特性 能量谱和功率谱
2.对周期信号:平均功率在时域和频域的关系 3.对时限非周期信号:能量在时域和频域的关系
第 1 页
X
一．周期信号的功率谱 （离散谱）
描述功率信号在频域中随ω分布情况
2
第 2 页
u (t ) 2 2 p(t ) Ri (t ) f (t ) f T (t ) 瞬时功率 R 1 T 2 1 T n e jn t )dt 平均功率 P 0 f T (t ) d t 0 f T (t )( F n T T 1 2 T jn t Fn [ 0 f T (t )e dt ] Fn Fn Fn n n n T
5 页
E G ( )d
1 G ( ) F 2 ( j ) 2
信号与系统-能量谱和功率谱
的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号
定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
一般周期信号为功率信号；
天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
二．相关系数与相关函数
天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
最小，则有
是能量有限的实信号。天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
由柯西－施瓦尔茨不等式，得
(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院
School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University
三．相关与卷积的比较
卷积表达式：
(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之
离散信号 功率 能量 功率谱
离散信号是指在不同时间或者空间点上取值的信号。在信号处理中，
常常需要研究信号的功率和能量，以及其功率谱。这些概念在数字信
号处理领域中具有重要意义，对于分析和处理信号具有指导作用。
1. 离散信号的定义
离散信号是在离散时间点上取样得到的信号。在数字信号处理领域中，离散信号常常以数字形式表示，其取样间隔是一定的，不是连续的信号。离散信号的定义在数学和工程领域都有不同的理解和应用场景。
2. 信号的功率和能量
在信号处理中，功率和能量是评价信号重要的指标。对于离散信号来说，其功率和能量的计算方式略有不同于连续信号。信号的能量是信
号幅度的平方和，通常用E来表示。而功率是信号的能量与时间间隔
的比值，通常用P来表示。离散信号的功率和能量的计算公式如下：
3. 离散信号的功率谱
离散信号的功率谱是指信号在不同频率上的功率分布情况。在信号处
理中，经常需要分析信号在不同频率上的能量分布，以便更好地理解
和处理信号。功率谱的计算方法通常是通过对信号进行傅里叶变换得
到信号的频谱，在对频谱进行平方运算，得到信号的功率谱。离散信
号的功率谱计算过程包括傅里叶变换和平方运算，计算复杂度较高，
但对信号的频域特征有着重要的指导意义。
4. 应用场景
离散信号的功率、能量和功率谱在通信、雷达、声音处理等领域有着广泛的应用。在通信系统中，需要分析信道上的信号功率谱，以便设计合适的调制解调系统和滤波器。在声音处理领域中，需要分析声音信号的功率和能量分布，以便对声音信号进行降噪和增益处理。在雷达系统中，需要分析回波信号的功率谱，以便判断目标的特征和运动状态。
信号与系统复习资料第六章
信号与系统第五章（5.1~5.3）
一、知识储备
正交分解
矢量正交
信号正交
正交定义
3
1==∑=i yi xi T
y x v v V V 两矢量内积为0⎰
=21
d )()(*21t t t t t ϕϕ两函数内积为0正交集
正交矢量集
两两正交的矢量组成的矢量
集合。正交函数集
⎰
⎩⎨
⎧=≠≠=21
,0,
0d )()(*
t t i j i j
i K j i t t t ϕϕ构成空间
矢量空间
例如矢量A 可表示为
A =a Vx +b Vy +c Vz
信号空间
1122n ()...n
f t C C C φφφ=+++
二、傅里叶级数
三角形式
∑∑∞
=∞
=Ω+
Ω+
=1
1
0)
sin()cos(2
)(n n
n n
t n b
t n a
a
t f
或
∑
∞
=+Ω+
=1
0)
cos(2
)(n n n t n A A
t f ϕ式中，A0=a0，22n
n n
b
a A +=，n
n
n a b arctan
-=ϕ. 指数形式
e )(j t n n n F t
f Ω∞
-∞
=∑
=
以上为复傅里叶级数展开式，可以将f （t ）理解成由一系列旋转向量合成的信号，各旋转向量的初始位置（严格来讲是t=0时刻所在的位置）就是复傅里叶系数Fn 。
画出三维频谱图如下图所示：
三角形式和指数形式傅里叶系数之间的关系
)j (2
1
e 21e j n n n n n b a A F F n n -==
=ϕϕn
n
n
n
A b a F 2
12
12
2=+
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=n n
n
a
b arctan ϕ
n
n n A a ϕcos =n
n n A b ϕsin -=n 的偶函数：an ，An ，|Fn |n 的奇函数:bn ，n
通信技术概论信号能量谱密度与功率谱密度
2.2.3 功率谱密度
我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：
由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞
∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）
积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。 对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。这种信号称作（平均）功率信号。 我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=22
2
1T T T dt t f T S lim
式中，T 是为求平均的时间区间。
为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。
能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。
我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。
通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。
对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞
-ωωωπ
=d e F t f t
j 21 则信号的能量：
()()⎰⎰⎰∞
∞
-∞
+∞-ω+∞
∞-ωωπ
==dt
d e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ
=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。今后如无特别说明，都是指实信号，
功率信号&能量信号&功率谱&能量谱
一、能量信号和功率信号
（1）能量信号
根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。能量信号，如各类瞬变信号。
在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：
()()()22x t p t x t R
== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当()x t 满足：
()2x t dt +∞
-∞<∞⎰ (1.2)
则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。
定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：
()2E f t dt +∞
-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)
（2）功率信号
若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：
()/22/2
1lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。
定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：
()/2
2/21
lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)
二、频谱和频谱密度
频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。
能量谱与功率谱的关系
能量谱与功率谱的关系
能量谱和功率谱是信号处理领域中重要的概念，用于描述信号在频域上的特性。虽然两者都是频谱的度量，但它们之间存在着一些本质的区别。
能量谱描述了信号在整个时间域上的能量分布情况。在信号处理中，能量谱通过对信号进行傅里叶变换获得。能量谱在频域上表示了信号各个频率分量的能量大小，通常以功率谱密度的形式展示。能量谱可以用来评估信号的总能量以及不同频率分量的贡献。
功率谱是信号在频域上的功率分布情况。与能量谱不同，功率谱描述了信号在一个特定时间段内的功率变化情况。为了计算功率谱，我们需要将信号分成多个时间窗口，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换。功率谱可以用来评估信号在不同频率分量上的功率大小，以及随时间的变化。
能量谱和功率谱之间的关系可以通过数学公式来描述。假设一个信号在频域上的功率谱密度为S(f)，那么信号在这个频率分量上的能量谱密度为E(f) = S(f) * T，其中T表示信号的持续时间。换句话说，能量谱是功率谱密度乘以信号的持续时间。
从这个公式可以看出，能量谱是信号在整个时间域上的总能量分布情况，而功率谱则是信号在不同频率分量上的平均功率分布情况。因此，能量谱更适合用于分析信号的总能量特性，而功率谱更适合用于分析信号的频率特性和功率特性随时间的变化情况。
在实际应用中，能量谱和功率谱经常被用于信号处理、通信系统和音频处理等领域。通过分析信号的能量谱和功率谱，我们可以了解信号的频域特性，从而对信号进行分类、滤波或者其他处理操作。同时，能量谱和功率谱也可以用来评估信号的质量，例如在音频处理中，我们可以通过分析功率谱来判断音频信号的噪声水平。
谱密度,功率谱密度,能量谱密度
谱密度, 功率谱密度, 能量谱密度
在应用数学和物理学中，谱密度、功率谱密度和能量谱密度是一个用于信号的通用概念，它表示每赫兹的功率、每赫兹的能量这样的物理量纲。
解释
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
定义
能量谱密度
能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量或者变化如何随着频率分布。如
果是一个有限能量信号，即平方可积，那么信号的谱密度就是信号连续傅里叶变换幅度的平方。
其中是角频率（循环频率的倍），是的连续傅里叶变换。是的共轭函数。
如果信号是离散的，经过有限的元素之后，仍然得到能量谱密度：
其中是的离散时间傅里叶变换。如果所定义的数值个数是有限
的，这个序列可以看作是周期性的，使用离散傅里叶变换得到离散频谱，或者用零值进行扩充从而可以作为无限序列的情况计算谱密度。
乘数因子经常不是绝对的，它随着不同傅里叶变换定义的归一化
常数的不同而不同。
功率谱密度
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示
功率信号能量信号功率谱能量谱
一、能量信号和功率信号
（1）能量信号
根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。能量信号，如各类瞬变信号。
在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：
()()()22x t p t x t R
== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。当()x t 满足：
()2x t d t +∞
-∞<∞⎰ (1.2)
则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。
定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：
()2E f t d t +∞
-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)
（2）功率信号
若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：
()/22/2
1lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。
定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：
()/2
2/21
lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)
二、频谱和频谱密度
频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。
通信技术概论信号的能量谱密度与功率谱密度
2.2.3 功率谱密度
我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：
由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞
∞-=dt t f E )(2， （注释：22u R u i u E ==⋅=/）
积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。 对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。这种信号称作（平均）功率信号。
我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=22
2
1T T T dt t f T S lim
式中，T 是为求平均的时间区间。
为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。
能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。
我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。
通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。
对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞
-ωωωπ
=d e F t f t
j 21 则信号的能量：
()()⎰⎰⎰∞
∞
-∞
+∞-ω+∞
∞-ωωπ
==dt
d e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ
=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。今后如无特别说明，都是指实信号，
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度
信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度这篇⽂章的标题起得如此长，实在是为了区分“谱”与“谱密度”。谱的英⽂原词为spectrum，私以为是函数图象，却⼜不够准确。信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱？可知谱是函数图像中的某⼀类⽽已。每每提及谱，都和频率脱不了⼲系，⽽此⽂的来由，也正是我对Parseval恒等式突发的好奇⼼。Parseval恒等式是傅⾥叶变换的⼀个重要性质。说到此，学识渊博的读者，您⾃然很熟悉，傅⾥叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上，产⽣频谱。这谱，⾃然和频率，有着天然的不可分割性。
罢了，再往下说就变成考证了。即使本⽂意为⼀篇科普，也须得有理科⽂章的简洁。
且说上⽂提到的Parseval恒等式，⽼师有提到该等式的intuitive sense是：傅⾥叶变换的原信号和频谱之间是能量守恒的。这当然是不错的解释，但却不够shocking，⼀个shocking的解释是，傅⾥叶变换之后的频谱保留了原信号的所有信息。我当时就震惊了。当然，只要想到傅⾥叶变换是可逆的（即⼀⼀对应），也就不那么震惊了。傅⾥叶变换的另⼀个令⼈震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$是唯⼀的⼀个傅⾥叶变换不变函数。
Gaussian密度函数的⼀阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视⽪层简单细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。
泛函分析中，Gaussian密度函数的极限（$\sigma\to\infty$）是delta-dirac函数 $\delta(x)$，即脉冲函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6-6-1
求余弦信号f )=Ecos( 求余弦信号f(t)=Ecos(ω1t) 的自相关函数和功率谱。 的自相关函数和功率谱。
f(t)为功率信号,所以自相关函数为: 为功率信号,所以自相关函数为:
1 T 2 Rτ) =lim ∫ T f (t)f (t −τ)dt ( T→ T − ∞ 2
∞ − ∞
∞
R0 =∫ f (t) dt ()
2 ∞ −
有下列关系
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π
∞
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π 为实数, 若f(t)为实数,上式可写成 ∞ 1 ∞ 2 2 ( ) ω R0 =∫ f (t)dt = ∫ F ω d () − ∞ − ∞ 2 π
返回
1 ∞ 可以得到： 两端乘以 并取 T→ 可以得到： T
1 ∞ Rτ) = ∫ S ωejωτ d ( ( ) ω 2 −∞ π ∞ S ω =∫ Rτ)e−jωτ d ( ) ( τ
− ∞
即:
S(ω)=F[R(τ)] )=F R(τ)= F-1[S(ω)]
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换。 是一对傅里叶变换。 例 6-6-1 例 6-6-2 返回
F( ) Tω ( ) lim 定义 S ω =T→ ∞ T 的功率密度函数( 为f(t)的功率密度函数(功率谱） 的功率密度函数 功率谱） 2 1 ∞ Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 利用相关定理有： 利用相关定理有： ( 2 −∞ π
2
2 1 ∞ ( Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 2 −∞ π
§6.6 能量谱和功率谱
频谱是在频域中描述信号特征的方法之一，它反应 频谱是在频域中描述信号特征的方法之一， 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 功率谱来描述信号 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在 功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（ 功率） 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（或功率）的 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 当然也无法用频谱来表示 在这种情况下，往往用功率 频谱来表示。 当然也无法用频谱来表示。在这种情况下，往往用功率 来描述它的频域特性。 谱来描述它的频域特性。
二、功率谱
若f(t)是功率有限信号 T f (t) t ≤ 2 令 fT(t) = [ F fT(t)] =F (ω) T T 0 t > 2 平均功率为 则f(t)的平均功率为： 2 T FT (ω ) 1 2 2 1 ∞ p = lim ∫ T f (t )dt = ∫− ∞ Tlim∞ T d ω → T →∞ T − 2π 2
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 功率谱为 是一对傅里叶变换,所以功率谱 是一对傅里叶变换,所以功率谱为:
S ω =F Rτ)] ( ) [ (
=∫ Rτ)e−jωτ d ( τ
∞ − ∞
Eπ [δ(ω−ω )+δ(ω+ω )] = 1 1 2
2
返回
例6-6-2
白噪声， 白噪声，其功率谱密度为SN(ω) = N, −∞<ω<∞ 求自相关函数。 求自相关函数。
利用维纳-欣钦关系式， 利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数
R (τ) = N (τ) δ N
由于白噪声的功率谱密度为常数， 由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪 声的自相关函数为冲激函数 冲激函数， 声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 对于 τ ≠ 0 的所有时刻，RN (τ ) 都取零值，仅在 τ = 0 的所有时刻， 都取零值， 时为强度等于N的冲激。 时为强度等于N的冲激。
∞
2
( =∫ F f ) d f ……帕塞瓦尔方程 ……帕塞瓦尔方程 − ∞
∞
2
定义
ε(ω) = F(ω)
所以有
2
……能量谱密度（能谱） ……能量谱密度（能谱） 能量谱密度
ε(ω =F Rτ)] ) [ (
Rτ) =F−1[ε( )] ( ω
所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 返回
一、能量谱 二、功率谱
返回
一、能量谱
由相关定理知 所以
[ ( F Rτ)] = F(ω)
2
1 ∞ 2 jω Rτ) = ∫ F ω e τ d ( ) ( ω 2 −∞ π 1 ∞ 2 R0 = ∫ F ω d () ( ) ω 2 −∞ π
又能量有限信号的自相关函数是
Rτ) =∫ f (t) f *(t −τ)dt (
2 E T o 1 =lim ∫2 c s( 1t)⋅c s[ω (t −τ)]dt T o ω T→ T − ∞ 2
E =lim T→ T ∞
2
∫
T 2 T − 2
c s( 1t)[c s( 1t)⋅c s( 1 ) o ω o ω o ωτ
( 1 ( 1 +sinωt)⋅sinωτ)]dt
2 E o ωτ = c s( 1 ) 2