§6.6 能量谱和功率谱

例6-6-1
求余弦信号f )=Ecos( 求余弦信号f(t)=Ecos(ω1t) 的自相关函数和功率谱。 的自相关函数和功率谱。
f(t)为功率信号,所以自相关函数为: 为功率信号,所以自相关函数为:
1 T 2 Rτ) =lim ∫ T f (t)f (t −τ)dt ( T→ T − ∞ 2
∞ − ∞
∞
R0 =∫ f (t) dt ()
2 ∞ −
有下列关系
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π
∞
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 ∞ 1 ∞ 2 ( ) ω − ( R0 =∫ f (t) dt= ∫ F ω d =∫ ∞ F f ) d f () − ∞ 2 −∞ π 为实数, 若f(t)为实数,上式可写成 ∞ 1 ∞ 2 2 ( ) ω R0 =∫ f (t)dt = ∫ F ω d () − ∞ − ∞ 2 π
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1 ∞ 可以得到： 两端乘以 并取 T→ 可以得到： T
1 ∞ Rτ) = ∫ S ωejωτ d ( ( ) ω 2 −∞ π ∞ S ω =∫ Rτ)e−jωτ d ( ) ( τ
− ∞
即:
S(ω)=F[R(τ)] )=F R(τ)= F-1[S(ω)]
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换。 是一对傅里叶变换。 例 6-6-1 例 6-6-2 返回
F( ) Tω ( ) lim 定义 S ω =T→ ∞ T 的功率密度函数( 为f(t)的功率密度函数(功率谱） 的功率密度函数 功率谱） 2 1 ∞ Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 利用相关定理有： 利用相关定理有： ( 2 −∞ π
2
2 1 ∞ ( Rτ) = ∫ F ω ejωτ d ( ) ω 2 −∞ π
§6.6 能量谱和功率谱
频谱是在频域中描述信号特征的方法之一，它反应 频谱是在频域中描述信号特征的方法之一， 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 除此之外，也可以用能量谱或功率谱来描述信号。 功率谱来描述信号 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在 功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 能量谱和功率谱是表示信号的能量和功率密度在频域中 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（ 功率） 随频率的变化情况，它对研究信号的能量（或功率）的 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 分布，决定信号所占有的频带等问题有着重要的作用。 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 特别对于随机信号，不能用确定的时间函数表示， 当然也无法用频谱来表示 在这种情况下，往往用功率 频谱来表示。 当然也无法用频谱来表示。在这种情况下，往往用功率 来描述它的频域特性。 谱来描述它的频域特性。
二、功率谱
若f(t)是功率有限信号 T f (t) t ≤ 2 令 fT(t) = [ F fT(t)] =F (ω) T T 0 t > 2 平均功率为 则f(t)的平均功率为： 2 T FT (ω ) 1 2 2 1 ∞ p = lim ∫ T f (t )dt = ∫− ∞ Tlim∞ T d ω → T →∞ T − 2π 2
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 功率谱为 是一对傅里叶变换,所以功率谱 是一对傅里叶变换,所以功率谱为:
S ω =F Rτ)] ( ) [ (
=∫ Rτ)e−jωτ d ( τ
∞ − ∞
Eπ [δ(ω−ω )+δ(ω+ω )] = 1 1 2
2
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例6-6-2
白噪声， 白噪声，其功率谱密度为SN(ω) = N, −∞<ω<∞ 求自相关函数。 求自相关函数。
利用维纳-欣钦关系式， 利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数
R (τ) = N (τ) δ N
由于白噪声的功率谱密度为常数， 由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪 声的自相关函数为冲激函数 冲激函数， 声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。 对于 τ ≠ 0 的所有时刻，RN (τ ) 都取零值，仅在 τ = 0 的所有时刻， 都取零值， 时为强度等于N的冲激。 时为强度等于N的冲激。
∞
2
( =∫ F f ) d f ……帕塞瓦尔方程 ……帕塞瓦尔方程 − ∞
∞
2
定义
ε(ω) = F(ω)
所以有
2
……能量谱密度（能谱） ……能量谱密度（能谱） 能量谱密度
ε(ω =F Rτ)] ) [ (
Rτ) =F−1[ε( )] ( ω
所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。 返回
一、能量谱 二、功率谱
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一、能量谱
由相关定理知 所以
[ ( F Rτ)] = F(ω)
2
1 ∞ 2 jω Rτ) = ∫ F ω e τ d ( ) ( ω 2 −∞ π 1 ∞ 2 R0 = ∫ F ω d () ( ) ω 2 −∞ π
又能量有限信号的自相关函数是
Rτ) =∫ f (t) f *(t −τ)dt (
2 E T o 1 =lim ∫2 c s( 1t)⋅c s[ω (t −τ)]dt T o ω T→ T − ∞ 2
E =lim T→ T ∞
2
∫
T 2 T − 2
c s( 1t)[c s( 1t)⋅c s( 1 ) o ω o ω o ωτ
( 1 ( 1 +sinωt)⋅sinωτ)]dt
2 E o ωτ = c s( 1 ) 2