§6.6 能量谱和功率谱

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功率谱

功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别： 1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机的频域序列） 2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
而Hz的单位是1/s,经过换算得到加速度功率谱密度的单位是m^2/s^3.
同理，如果是位移功率谱密度，它的单位就是m^2*s,
如果是弯矩功率谱密度，单位就是(N*m)^2*s
位移功率谱——m^2*s
速度功率谱——m^2/s
加速度功率谱——m^2/s^3
解释
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

功率谱和能量谱的关系

功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。

功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。

功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。

能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。

能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。

在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。

因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。

功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。

但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。

功率谱密度与能量谱密度

∫ ∫ ( ) ( ) ∞ −∞
•
dt （求面积）因为对功率信号变得无意义，所以改成了
1 lim T →∞ T
T 2 • dt
−T 2
（求平均）。
1 这个改动实际上只是差一个系数 T 。如果是周期为 Ts 周期信号，求平均操作可以只在一个
∫ ∫ lim 1 T 2 (•) dt = 1 Ts 2 (•) dt
(2)3dB 带宽：指从功率谱的峰点下降到一半时的频带范围。若 0 频处功率谱密度最高，则
带宽 B 是
Ps Ps
(B) (0)
=
1 2
的解。
(3)等效矩形带宽：若信号的功率谱密度的面积和一个同高的矩形相同，此矩形频谱的带宽
∫∞ −∞
Ps
(
f
)
df
就是该信号的等效矩形带宽。若 0 频处功率谱密度最高，则带宽 B 是 2Ps (0) 。
3. 带宽
带宽是衡量信号频带宽度的一个量，它表示我们通过测量仪器可以感受到的频率范围，通常带宽只按正频率部分计算。我们对带宽有多种定义。
(1)信号主要能量所占带宽：指这个频带范围内集中了信号的绝大部分能量。带宽 B 是
B
∫−B
Ps
(
f
)
df
∫∞ P ( f ) df −∞
=β
的解，其中
β 是所规定的比例，典型值如 90%、99%等。
∫∞ −∞
s
*
(t
)
s
(
t
+
τ
)
dτ
∫ R (τ ) ≅ lim 1 ∞ s ∗(t ) s (t +τ )dt
对功率信号：
T T →∞
−∞

功率谱密度和能量谱密度等概念

1、数学期望（统计平均值）随机过程 (t) 的数学期望定义为

E[ (t)] xf1(x,t)dx
（2.4-5）
并记为 E[ (t)] a(t) 。随机过程的数学期望是时间的函数。
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
《通信原理课件》
对于离散随机变量，其概率密度函数为
n
0
f (x) i1 Pi (x xi )
x xi x xi
（2.3-8）
《通信原理课件》
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均匀分布的概率密度函数的曲线如图2-2所示。
图2-2 均匀分布的概率密度函数
《通信原理课件》
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《通信原理课件》
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《通信原理课件》
信号的傅里叶变换具有一些重要的特性，灵活运用这些特性可较快地求出许多复杂信号的频谱密度函数，或从谱密度函数中求出原信号，因此掌握这些特性是非常有益的。其中较为重要且经常用到的一些性质和傅里叶变换对见附录二。
下面讨论周期信号的傅里叶变换。
《通信原理课件》
2.1.2周期信号与非周期信号
周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号。周期信号满足下列条件
f (t) f (t nT),n 0, 1, 2. 3,L , t
（2.1-1）
式中，为的周期，是满足式（2.1-1）条件的最小时段。非周期信号是不具有重复性的信号。
5、R(0) R() 2 [方差， (t)的交流功率]（2.5-9）
由上述性质可知，用自相关函数几乎可以表述的主要特征，因而上述性质有明显的实用价值。

§6.7信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析

h(t) r(t) H (jw ) R (jw )
时域
r(t) h(t)* e(t)
频域 R(jw ) H(jw ) E(jw )
假定e(t)是能量有限信号，
e(t)的能量谱密度为
(w ) e
r(t)的能量谱密度为
r (w )
e(w ) E(jw ) 2
r (w ) R(jw ) 2
显然
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与|H(jw)|2
的乘积。
返回
二．信号经线性系统的自相关函数
由 r (w ) H (jw ) 2e (w ) Sr (w ) H (jw ) 2 Se (w )
得 r (w ) H (jw )H *(jw )e (w )
Sr (w ) H (jw )H *(jw )Se (w )
§6.7 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析
前面，从
时域
频域中研究了
S域
激励响应系统
三者的关系
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
一、能量谱和功率谱分析二、信号经线性系统的自相关函数
返回
一．能量谱和功率谱分析
e(t ) E(jw )
所以响应r(t)的自相关函数
Rr ( ) Re ( ) h(t) h*( t)
N ( )
1
( ) 1 t
e RC u t
1
e
1 RC
t
u(
t
)
RC
RC
N
1 t
e RC
2RC
求响应r(t)的自相关函数的另一种方法
由
Rr

功率谱和功率谱密度的区别,相干时间与相干带宽

功率谱和功率谱密度的区别,相⼲时间与相⼲带宽谱让⼈联想到的Fourier变换，是⼀个时间平均（time average）概念，对能量就是能量谱，对功率就是功率谱。

功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。

功率谱的概念是针对功率有限信号的，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变化情况。

保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。

有两点需要注意：1. 功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是⼀个确定函数；⽽频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于⼀个随机过程⽽⾔，频谱也是⼀个“随机过程”。

（随机的频域序列）2. 功率概念和幅度概念的差别。

此外，只能对宽平稳的各态历经的⼆阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于⼆阶矩是否存在并且⼆阶矩的Fourier变换收敛；⽽频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。

频谱分析：对动态信号在频率域内进⾏分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。

频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。

频谱分析过程较为复杂，它是以傅⾥叶级数和傅⾥叶积分为基础的。

功率谱密度：功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。

这⾥功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表⽰抽象的信号被定义为信号数值的平⽅，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。

由于平均值不为零的信号不是平⽅可积的，所以在这种情况下就没有傅⾥叶变换。

维纳-⾟钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了⼀个简单的替换⽅法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号⾃相关函数的傅⾥叶变换。

信号的功率谱密度当且仅当信号是⼴义的平稳过程的时候才存在。

如果信号不是平稳过程，那么⾃相关函数⼀定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使⽤类似的技术估计时变谱密度。

信号分析3功率谱和能量谱

7 页
X
2 T
Lim
T 2

FT ( jw) T 则
2
dw
定义 : 功率谱 ( w) Lim 1 P 2
FT ( jw) T

( w)dw
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
第
作业: 3-30 3-32 3-42
X
第
三功率信号的功率谱
ET
6 页
对功率有限信号 f (t ), 如截取一个周期 f T (t ), 其能量为:

f T2 (t )dt

T 2 T 2
f 2 (t ) d t
信号f (t )的平均功率表示为 : 1 P Lim T T

T 2 T 2
1 f (t ) d t 2
5 页
E G ( )d

1 G ( ) F 2 ( j ) 2
说明：
表示单位频率下的信号能量。 1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积 2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关. 通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域中的分布情况，以便正确选择电路和系统的通频带，充分利用信号的能量。
E 况下的具体体现; 能量既可在时域中计算，也可在频域中计算，且只与幅频谱有关，而与相频谱无关.时域和频域能量守恒. X

1

F ( j )d
2

0
F ( j )d
2
频域法
第
能量谱:
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),

信号与系统-能量谱和功率谱

的电流，v (t )为一．能量信号和功率信号定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比，则在整个时间域内，实信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University一般周期信号为功率信号；天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University二．相关系数与相关函数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University最小，则有是能量有限的实信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University由柯西－施瓦尔茨不等式，得(2⎡⎰∞t f 的相关特性相关系数天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University三．相关与卷积的比较卷积表达式：(,相关性最强R )ω[f F 相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University判断下面的信号是功率信号还是能量信号。

天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University例()(E t cos =对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有)⎤天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University周期信号自相关函数仍为周期信号天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University])(τF R =天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical Universityωπ(⎰∞∞-F⎪⎫≤T t ωπ(21F ⎰∞∞-R (τ)cos(1t ω的自相关函数和功率谱为功率信号)(t f 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一功率谱为:。

能量谱与功率谱.

R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f2 源自R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
若 f (t)为实数,上式可写成
R(0) f 2(t)d t 1 F ( ) 2 d
2
2
F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程
并取 T
可以得到：
R( ) 1 S( )e j d
2
S( ) R( )e j d
即
S( ) FR( )
R( ) F 1p( )
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换．
例6-6-1
求余弦信号 f (t) E cos(1t) 的自相关函数和功率谱.
f (t)为功率信号, 所以自相关函数为:
R(
)
lim
T
1 T
T
2 T
2
f (t)f (t )dt
E2
lim T T
T
2 T
cos(1t) cos
1(t
)
d
t
2
E2
lim T T
T
2 T
cos(
1t
)
cos(
1t
)
cos
(1
)
2
sin(1t) sin(1 ) d t
E2 2
cos(1 )
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为:
6.7
§6.6 能量谱与功率谱
能量谱与功率谱
1.能量谱
由相关定理知
FR( ) F( ) 2

功率谱

2.5 平稳随机过程的功率谱一.什么是功率谱?功率谱是信号的功率在频率轴的分布情况.对于确知信号,傅立叶变换的模的平方为功率谱或能量谱.设广义平稳过程)(t g 的功率谱为)(f P g ,则信号的总(平均)功率可表示为 df f P S g )(⎰∞∞-= 信号在某个频带内的功率可表示为df f P S f f g )(221⎰=设平稳随机过程)(t g 的截断过程(信号) ⎩⎨⎧≤≤-=others T t T t g t g T 02/2/)()( )()(ωT T G t g ⇔)(t g T 为能量信号,其能量为dt t g E T T )(2⎰∞∞-= 由帕塞瓦尔公式,从时域所求截断信号的能量,等于从频域所求截断信号的能量.ωωπd G E dt t g E T T T 22|)(|21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==2|)(|ωT G E 反映截断信号)(t g T 的能量在频域的分布情况,称为截断信号的能量谱. 截断信号的功率谱可表示为T G E T /|)(|2ω,T 为截断窗口的长度.当截断窗口长度趋于无限大时,截断信号)(t g T 趋于原始的平稳随机过程)(t g ,而傅立叶变换)(ωT G 趋于)(t g 的傅氏变换)(ωG ,截断信号的功率谱趋于)(t g 的功率谱)(f P g .因此定义平稳随机过程的功率谱为T G E f P T T g 2)(lim )(ω∞→=二.维纳-辛钦公式由于截断信号的功率谱{}{}⎰⎰⎰⎰--------==2/2/2/2/)(2/2/2/2/2)(1)()(1/|)(|T T T T s t j g T T T T s j t j T dtds e s t R E T ds e s g dt e t g E T T G E ωωωω ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰--T T j g T d e R T T G E τττωωτ)()1(/|)(|2 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⎰--∞→∞→T T j g T T T g d e R T T G E f P τττωωτ)()1(lim /|)(|lim )(2 τττττωτωτd e R d e R T j g j g T -∞∞-∞∞--∞→⎰⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-)()()1(lim 即ττωτd e R f P j g f -∞∞-⎰=)()(平稳随机过程的功率谱为’自相关函数的傅立叶变换.三.常见的加性平稳零均值高斯噪声1.理想宽带加性高斯白噪声功率谱密度可表示为∞<<-∞=f n f P o n ,2)()(f P n 2o n 自相关函数可表示为)(2)(τδτo n n R =2.理想带通加性高斯白噪声功率谱密度可表示为)]()(([2)(B f f rect B f f rect n f P c c o n -++= 自相关函数可表示为τωτπτc o n B BSa n R cos )()(=3.理想低通高斯白噪声功率谱密度可表示为)2(2)(B f rect n f P o n = 自相关函数可表示为)2()(τπτB BSa n R o n =。

傅立变换出来的频谱、幅度谱、能量谱、功率谱相关知识

傅⽴变换出来的频谱、幅度谱、能量谱、功率谱相关知识本⽂参考下列⽹站整理⽽来：在信号处理的学习中，有⼀些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让⼈很糊涂，搞不清其中的关系。

这⾥主要从概念上厘清其间的区别。

对⼀个时域信号进⾏傅⾥叶变换，就可以得到的信号的频谱。

频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。

频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。

⼀个复数由模和辐⾓唯⼀地确定，所以可将频谱分解为幅度谱（即复数的模关于频率的函数）和相位谱（即复数的辐⾓关于频率的函数）。

那么这个幅度谱中的值具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第⼀个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。

⽽第⼀个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

那么，什么是功率谱呢？什么⼜是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？因为信号可能是能量信号，也可能是功率信号。

对于能量信号，常⽤能量谱来描述。

所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指⽤密度的概念表⽰信号能量在各频率点的分布情况。

也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。

能量谱是信号幅度谱的模的平⽅，其量纲是焦/赫。

对于功率信号，常⽤功率谱来描述。

所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指⽤密度的概念表⽰信号功率在各频率点的分布情况。

也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。

关于FFT分析的⼀些解释说明，对于初次使⽤matlab中的 fft() 函数有帮助FFT是离散傅⽴叶变换的快速算法，虽然很多⼈都知道FFT是什么，可以⽤来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使⽤多少点来做FFT。

现在说说FFT结果的具体物理意义。

⼀个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。

采样定理告诉我们，采样频率要⼤于信号频率的两倍。

采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。

N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。

功率信号&能量信号&功率谱&能量谱

一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。

显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。

通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。

满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。

如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。

()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

§67信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析.ppt

* r e
* r
H j r e 2 S S H j r e
2
Re
e
因为所以
Rh
Rr
* * F h t H j
F h t H j
* 其中 R 为系统冲激响应的自相关函数。 h t h t h
一．能量谱和功率谱分析
e t
E j
H j
ht
r t
H j
时域频域
r t h t * e t
R j H j E j

E j e
假定 e t是能量有限信号， e t的能量谱密度， e
6.8
§6.7 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析
•信号经线性系统的自相关函数
时域前面，从频域 s域
中研究了
激励响应系统
三者的关系
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
* R R h t h t R R r e e h

2
r
S r
同样，对功率信号有
物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j
S S H j r e
2
2
的乘积。
二．信号经线性系统的自相关函数
由
得
H j H j S H j H j S

信号与系统_06能量谱和功率谱.

误差
f1(t) c12 f2 (t)
ε 2
f
2 e
(
t
)
1 t2 t1
t2 t1
f (t ) c12 f2
t
2 dt
为
求
使
2最
小
的c12
,
必需
使
d 2
dc12
0,求得系数
c12
t2 t1
f1(t)
f2(t)d t
t2 t1
f
2 2
(t
)
d
t
f1 (t ), f 2 (t f 2 (t ), f 2 (t
§6.1 引言
第 2 页
信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。
本章主要内容
•利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念； •信号的正交函数分解； •相关函数； •能量谱和功率谱； •相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。
§6.2 信号矢量空间的基本概念
•线性空间 •范数 •内积 •柯西－施瓦茨不等式
一．线性空间
第 4
页
定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。
例: N维实数空间 R N
N维复数空间 CN 连续时间信号空间L 离散时间信号空间l
的p阶范数定义为
x
p
de
f
N i 1
xi
1
p p
m1aixN xi
对于1 p 对于p
第
常用范数
6
页

6.6 能量谱和功率谱

2
2
第 3 页
若 f (t )为实数上式可写成为实数,上式可写成
1 ∞ 2 R(0) = ∫ f (t )d t = ∫∞ F(ω) dω ∞ 2π
∞ 2
= ∫ F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程帕塞瓦尔方程 ∞
∞
2
定义
ε (ω) = F(ω)
所以有
2
……能量谱密度(能谱) 能量谱密度(能谱) 能量谱密度
F[ fT (t)] = FT (ω)
则 f (t ) 的平均功率为: 平均功率为 2 T F (ω) 1 2 2 1 ∞ T P = lim ∫ T f (t )d t = ∫ lim dω T→∞ T 2π ∞ T→∞ T 2 2 FT (ω) f(t)的功率密度函数功率谱) 的功率密度函数(功率谱的功率密度函数功率谱) 定义 S(ω) = lim T →∞ T 2 1 ∞ F(ω) e jωτ dω 利用相关定理有:R(τ ) = 利用相关定理有: X 2π ∫∞
第 5 页
2 1 ∞ R(τ ) = F(ω) e jωτ dω 2π ∫∞ 1 两端乘以并取 T → ∞可以得到: 可以得到:
T
1 ∞ R(τ ) = S(ω)e jωτ dω 2π ∫∞
S(ω) = ∫ R(τ )e jωτ dτ
∞
即
∞
R(τ ) = F1[ p(ω)] 功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换. 是一对傅里叶变换.
R(τ ) = ∫ f (t ) f *(t τ )dt
∞ ∞
有下列关系 2 ∞ ∞ 1 ∞ 2 2 F(ω) dω= ∫∞ F( f ) d f R(0) = ∫ f (t ) dt = ∞ 2π ∫∞

频谱、幅度谱、功率谱和能量谱含义

频谱、幅度谱、功率谱和能量谱在信号处理的学习中，有一些与谱有关的概念，如频谱、幅度谱、功率谱和能量谱等，常常让人很糊涂，搞不清其中的关系。

这里主要从概念上厘清其间的区别。

对一个时域信号进行傅里叶变换，就可以得到的信号的频谱，信号的频谱由两部分构成：幅度谱和相位谱。

这个关系倒还是简单。

那么，什么是功率谱呢？什么又是能量谱呢？功率谱或能量谱与信号的频谱有什么关系呢？要区分功率谱和能量谱，首先要清楚两种不同类型的信号：功率信号和能量信号。

我们从一个具体的物理系统来引出能量信号和功率信号的概念。

已知阻值为R的电阻上的电压和电流分别为v(t) 和i(t)，则此电信号的瞬时功率为：p(t) = v2(t)/R = i2(t)R。

在作定性分析时，为了方便起见，通常假设电阻R为1欧姆而得到归一化(Normolized) 的功率值。

作定量计算时可以通过去归一化，即将实际的电阻值代入即可得到实际的功率值。

将上面的概念做一个抽象，对信号x(t) 定义其瞬时功率为|f (t)|2，在时间间隔(-T/2 T/2) 内的能量为:(1)该间隔内的平均功率为：p = E/T (2)当且仅当f(t)在所有时间上的能量不为0且有限时，该信号为能量信号，即(1)式中的T 趋于无穷大的时候E为有限。

典型的能量信号如方波信号、三角波信号等。

但是有些信号不满足能量信号的条件，如周期信号和能量无限的随机信号，此时就需要用功率来描述这类信号。

当且仅当x(t)在所有时间上的功率不为0且有限时，该信号为功率信号，即(2) 式中的T 趋于无穷大的时候p 为有限。

系统中的波形要么具有能量值，要么具有功率值，因为能量有限的信号功率为0，而功率有限的信号能量为无穷大。

一般来说，周期信号和随机信号是功率信号，而非周期的确定信号是能量信号。

将信号区分为能量信号和功率信号可以简化对各种信号和噪声的数学分析。

还有一类信号其功率和能量都是无限的，如f(t) = t，这类信号很少会用到。

通信技术概论信号的能量谱密度与功率谱密度

2.2.3 功率谱密度我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞∞-=dt t f E )(2，（注释：22u R u i u E ==⋅=/）积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。

对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。

这种信号称作（平均）功率信号。

我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=2221T T T dt t f T S lim式中，T 是为求平均的时间区间。

为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。

能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。

我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。

通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。

对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞-ωωωπ=d e F t f tj 21 则信号的能量：()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ==dtd e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。

今后如无特别说明，都是指实信号，这样则得到： ()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212()⎰∞+∞-ωωπ=d F 221 式中，令，)( 2Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。

信号的能量又可以表示为：⎰∞+∞-ωωπ=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。

能量谱和功率谱全

能量谱和功率谱
F(j ) 幅频特性
信号f(t)的频谱F(j )
相频特性
可用F(j )频谱反映信号频域的特性，也可用能量谱和功率谱来反映。
2
1.能量谱：信号f(t)在1的电阻上的瞬时功率为 f(t) 在区间-T<t<T的能量
为 T T
2
f (t) dt
而信号的能量定义在 (, ) 区间上的能量为：
T
T
的模量，而与相位无关。
P
()df
1
( )d
2
注：傅立叶变换的性质总结见P167页。
jt dt]d
2
2
1 2
F j F
j d
1 2
F
j
F
j
d
1 2
F
j
2
d
即有：E
f
(t)2dtቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
F
j
2
d
该式称为帕斯瓦尔方程式或能量等式，在频域中F j 为单位频率上的能量叫能量
谱单位为 J s
2.功率谱：
信号的功率定义为在区间 ,上，信号的平均功率为：
f (t) f 1 T
P lim T 2T T
2
1T
lim T T
2 T
2
2tdtf (t)为实信号
如果信号的功率有限 o P 则称为功率有限信号。简
称功率信号，如阶跃信号、周期信号。
F j 1 T
f P lim T T
2 T 2
2tdt 1
lim
2 T
2
d
T
F j2
() lim
为偶函数，只决定于F j
f (t) f T

功率谱和能量谱

2
信号f (t)的平均功率表示为:
Lim Lim P
T
1 T
T
2 T
2
f 2 (t) d t
1
2
T
FT ( jw) 2 dw T
定义 : 功率谱(w) Lim FT ( jw) 2
则
T
T
P 1
(w)dw
2
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功
率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1t
)dt
n
n
Fn[T1
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn Fn
n
n
Fn
2
F02
2
n1
Fn 2
A0 2
1 2
n1
An2
P 1
TLeabharlann T 0fT 2 (t) d t
2
Fn
n
Fn 2 ~ n1
X
P 1
T
T 0
fT 2 (t) d t
时域法
第
频域法
3
页
Fn 2
n
F02
2 Fn 2
n1
A0 2
1 2
n1
An2
表明：
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
1)周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值
的平方和；