06-10年数学一考研线性代数真题部分

合集下载

考研数学历年真题线性代数的考点总结

考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。

?线性代数章节总结

第一章行列式

本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。

主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。

第二章矩阵

本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。

其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆

的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。

14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(16年)设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为

A．单叶双曲面．

B．双叶双曲面．

C．椭球面．

D．柱面．

正确答案：B

解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为由得A的全部特征值为λ1=5，λ2=λ3=一1，因此，二次曲面方程f(x1，x2，x3)=2在适当的旋转变换下可化成方程5y12一y22一y32=2，由此可知该二次曲面是双叶双曲面．知识模块：线性代数

2．(98年)设A、B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B | A)=，则必有

A．P(A | B)=．

B．P(A|B))≠．

C．P(AB)=P(A)P(B)．

D．P(AB)≠P(A)P(B)．

正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计

3．(06年)设A，B为随机事件，且P(B)＞0，P(A | B)=1，则必有

A．P(A ∪B)＞P(A)．

B．P(A ∪B)＞P(B)．

C．P(A ∪B)=P(A)．

D．P(A ∪B)=P(B)．

正确答案：C

解析：由1=P(A|B)=得P(B)=P(AB)故P(A ∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(A)，选(C)．知识模块：概率论与数理统计

4．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜p＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

考研线性代数历年真题

考研线性代数是研究生入学考试中的一门重要科目，通过解答历年真题可以帮助考生更好地了解考试要求和复习重点。本文将为大家整理归纳考研线性代数历年真题，以供参考。

第一部分：矩阵与行列式

1、考点：矩阵的运算

【真题一】计算矩阵相乘

已知矩阵A=（1 2 3；4 5 6）、B=（7 8；9 10；11 12），求A与B 的乘积AB。

【真题二】矩阵求逆

已知矩阵A=（1 2 3；0 4 5；0 0 6），求A的逆矩阵。

2、考点：行列式的性质与运算

【真题三】行列式展开

已知行列式D=|1 0 2；1 1 1；3 1 0|，计算D的展开式。

【真题四】行列式的性质

已知行列式D=|1 2 3；4 k 6；7 8 9|，若D=0，则k的取值范围是多少？

第二部分：向量空间与线性变换

1、考点：线性相关性

【真题五】判断线性相关性

已知向量组V={(1, 0, -1)，(2, 1, 1)，(3, 1, 0)}，判断向量组V的线性相关性。

【真题六】线性相关向量组的线性表示

已知向量组V={(1, 3, -1)，(2, 5, -2)，(4, a, b)}，若向量(7, 18, -6)可以由向量组V线性表示，则a和b应满足的条件是什么？

2、考点：矩阵的特征值和特征向量

【真题七】矩阵的特征值与特征向量

已知矩阵A=（3 4；1 2），求矩阵A的特征值和特征向量。

【真题八】矩阵对角化

已知矩阵A=（1 2 -1；-1 0 3；2 2 -1），求可对角化矩阵和相似矩阵。

第三部分：线性方程组与矩阵的应用

1、考点：线性方程组的解

2010年考研数学一真题与答案

2010年考研数学一真题

一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

⑴极限皿—［金而］_

(A) l (B)e (C)e a ~b

(D)e b ~a

【考点】Co 【解析】【方法一】这是一个“I 00”型极限

Um [—— l x

(x-a)(x+b) (a-b)x+ab j (a-D)x+ad J(x- a)(x+ b)X 【方法二】原式="Hl 評”(x-a )("b)

XT 8

rfii/im xln ----- - ----- = lim x/n(l +

xt8 (x-a)(x+&) xt8

(x-a)(x+&)

【方法三】

对于“18”型极限可利用基本结论: 若Mm a(x) = 0, lim 0(x) = 0,且"m

(a-b)x^ab (―a)(+)

lim x •

*T8

(a-b)x+ab (x-a)(x+b)

(等价无穷小代换)

x 2

DM)

a(x) 0(x) = A

由于"mis Q (x)0(x) = Um

曽；驚；；)• x XT8 (x-a)(x+fc)

■ • (a -b)x 2^abx

=恐乔亦Li 则叫g[高而F =宀

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C 。

【考点】高等数学一函数、极限.连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(A)x (C)-x

【答案】Bo 【解析】空=_鱼=_只(-召)+ E (一刼=Eg+f 茫缺 F ；磅叫 9

dz °y

综上所述，本题正确答案是(B)。

所以唏+y 辭警現F , yfi -珈

2024考研数学一线性代数历年考题详解

2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。

一、第一节：向量与矩阵

1. 2010年考题

考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +

3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组

\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？

解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：

A =

\begin{bmatrix}

2 &

3 & 0 \\

4 &

5 & 1 \\

7 & 10 & 2 \\

\end{bmatrix}

然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。在本题中，通过计算可知行最简形为：

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

2006年考研数学一真题与答案

2006年考研数学一真题

一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）

(1)。

【答案】2。

【解析】

等价无穷小代换：

当时，

所以

综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较

(2)微分方程的通解为__________。

【答案】，为任意常数。

【解析】

原式等价于

（两边积分）即，为任意常数

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程

(3)设是锥面的下侧，则

。

【答案】。

【解析】

设，取上侧，则

而

所以

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算

(4)点(2,1,0)到平面的距离。

【答案】。

【解析】

点到平面的距离公式：

其中为点的坐标，为平面方程所以

综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离

(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足

，则___________。

【答案】2。

【解析】

因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算

(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则

___________。

【答案】。

【解析】

本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的

线性代数历年考研真题

(A) Ax = α有无穷多解 A α x A α x = 0 仅有零解 = 0 有非零解 (C) (D) αT 0 y αT 0 y 3.【02数三】设A是m × n矩阵, B 是n × m矩阵, 则线性方程组ABx = 0( ). (A)当m > n时, 仅有零解 (C)当n > m时, 仅有零解 (B)当m > n时, 有非零解 (D)当n > m时, 有非零解

1 0 0

(D) 0 2 0 0 0 2 且A的秩为3, 则A相似于(
).
(A)diag (1, 1, 1, 0)
(B)diag (1, 1, −1, 0)
(C)diag (1, −1, −1, 0)
(D)diag (−1, −1, −1, 0) ).
1
a11 a12 a13 a14

a14 a13 a12 a11
, P 1 =

a21 a22 a23 a24 a24 a23 a22 a21 1.【01数三/四】设矩阵A = , B = a31 a32 a33 a34 a34 a33 a32 a31 a41 a42 a43 a44 a44 a43 a42 a41 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , P2 = , 其中A可逆, 则B −1 = ( ). 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 − 1 1 (A)A P1 P2 (B)P1 A−1 P2 (C)P1 P2 A−1 (D)P2 A− P1 2.【01数三】设A是n阶矩阵, α是n为列向量, 且秩 A αT α =秩(A), 则( ). 0 (B) Ax = α有唯一解

考研数学历年真题年数学一真题合集

考研数学历年真题：年数学一真题合集

一、引言

考研数学是众多学子心中的难关，而数学一作为考研数学中最难的科目之一，更是让许多考生倍感压力。为了帮助大家更好地备考，本文将整理并分析历年数学一的真题，以提供一个全面的复习资料。

二、历年真题回顾

自2010年以来，考研数学一的考试形式和题型基本保持稳定。考试

时间为180分钟，满分150分。考试内容涵盖高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个科目。下面我们将逐一回顾历年数学一的真题。

1、2010年数学一真题

当年的数学一试题难度适中，考点分布较为均匀。高等数学占比最大，为56%，线性代数和概率论与数理统计各占22%。在高等数学部分，

微积分和常微分方程是重点考察内容。线性代数部分主要考察向量空间、矩阵等知识点。概率论与数理统计部分则侧重于随机变量及其分布的考察。

2、2011年数学一真题

该年度数学一试题难度较上年有所提高，尤其在高等数学部分。高等

数学的考察重点转向了重积分和曲线积分与曲面积分。线性代数部分增加了对特征值与特征向量的考察。概率论与数理统计部分的考察内容则与上年相似。

3、2012年数学一真题

该年度数学一试题难度适中，考点主要集中在高等数学和线性代数部分。高等数学部分的考察重点为常微分方程和偏微分方程。线性代数部分则主要考察了矩阵的性质和计算。此外，概率论与数理统计部分对随机变量的分布及其性质的考察也有所增加。

三、真题解析

为了更好地理解历年数学一真题，我们将选取其中的一些典型题目进行解析。例如，2010年高等数学的第一题：

线性代数考研历年真题

线性代数是数学中的一门重要学科，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计

算机科学等。在考研中，线性代数也是一个必考科目。历年来，线性代数考研

真题涵盖了各个知识点，考察了学生对于线性代数的理解和应用能力。本文将

从历年真题中选取一些代表性的题目，进行分析和讨论。

首先，我们来看一道典型的线性代数考研题目：

【题目】设A是n阶实对称矩阵，B是n阶实对称矩阵，证明AB是对称矩阵。【解析】首先，我们需要明确对称矩阵的定义。对于一个矩阵A，如果它的转

置矩阵等于它本身，即A^T = A，则称A为对称矩阵。

根据题目给出的条件，我们知道A和B都是实对称矩阵。对于实对称矩阵A，

它的特征值都是实数，并且存在一个正交矩阵P，使得P^TAP是对角矩阵。同

样地，对于实对称矩阵B，存在一个正交矩阵Q，使得Q^TBQ是对角矩阵。

现在我们来证明AB是对称矩阵。根据矩阵的乘法运算，我们有(AB)^T =

B^TA^T。由于A和B都是对称矩阵，所以有A^T = A，B^T = B。将它们代入

上式中，我们得到(AB)^T = BA。由此可见，AB的转置矩阵等于BA本身，即

AB是对称矩阵。

通过以上的分析，我们可以得出结论：如果A和B都是实对称矩阵，那么它们

的乘积AB也是对称矩阵。

接下来，我们再来看一道与线性代数应用相关的考研题目：

【题目】设A是n阶实对称矩阵，B是n阶非零实矩阵，证明AB和BA的特征值相同。

【解析】首先，我们需要了解特征值的概念。对于一个矩阵A，如果存在一个

非零向量x，使得Ax = λx，其中λ为实数，则称λ为A的特征值，x为对应的

历年考研数学一真题

数学一是中国研究生入学考试的一门科目，属于理工科类别。随着研究生教育的普及和竞争的加剧，考研数学一的难度逐年增加，对考生的综合能力要求也越来越高。

以下是历年考研数学一真题的一些例子，供考生们参考和复习。注意，为了版面整洁，我将部分题目以图片形式呈现，但仍保持文字描述的准确性。

一、解析几何

1.2009年考研数学一真题题目

解析几何是数学一中的一个重要考点，涉及到直线、平面、曲线等几何图形的性质和变换。下面是2009年考研数学一真题的一个题目示例：

题目描述：

已知平面上点A(-2, 2)，B(-2, 0)，C是直线2x+y-5=0上的一点，且BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，求点C的坐标。

解答步骤：

首先，我们需要计算AC的斜率。直线AC的斜率为-2/1=-2。

然后，由于BC的斜率等于AC的斜率的绝对值，所以BC的斜率也为2。

根据直线BC的斜率为2，且过点B(-2, 0)，可以列出方程为：y-

0=2(x+2)。

将直线2x+y-5=0与直线y-0=2(x+2)联立求解，得到点C的坐标。

2.2014年考研数学一真题题目

题目描述：

已知椭圆x^2/9+y^2/4=1，点P为椭圆上一点，点A(-3, 0)，直线PA和x轴交于点B，且AB为直线y=1的中垂线，求点B的坐标。

解答步骤：

首先，我们需要求出点P的坐标。将直线y=1代入椭圆方程，得到x^2/9+1/16=1，解方程后得到点P的坐标。

然后，根据点P和点A(-3, 0)，我们可以求出直线PA的方程。

最后，根据直线PA和点P，通过x轴得到点B的坐标。

2010年考研数学一真题及答案

20XX年考研数学一真题

一、选择题（ 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1) 极限

(A)1(B)

(C)(D)

【考点】 C。

【解析】

【方法一】

这是一个“”型极限

【方法二】

原式

而

(等价无穷小代换 )

则

【方法三】

对于“”型极限可利用基本结论：

若,,且

则,求极限

由于

则

【方法四】

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷

小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限

(2)设函数由方程确定，其中为可微函数，且

,则。

(A)(B)

(C)(D)

B。

【答案】

【解析】

因为,

所以

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微

分

(3) 设为正整数，则反常积分的收敛性

(A)仅与的取值有关(B)仅与的取值有关

(C)与的取值都有关(D)与的取值都无关

【答案】 D。

【解析】

本题主要考察反常积分的敛散性，题中的被积函数分别在

和时无界

在反常积分中，被积函数只在时无界。

由于，

已知反常积分收敛，则也收敛。

在反常积分中，被积函数只在时无界，由于

(洛必达法则 )且反常积分收敛，所以收敛

综上所述，无论取任何正整数，反常积分收敛。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分

(4)

(A)(B)

(C)(D)

D。

【答案】

【解析】

因为

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用

(5)设为矩阵，为矩阵，为阶单位矩阵，若

考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编25(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(08年)在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是

A．y”‘+y”一4y’一4y=0．

B．y”‘+y”+4y’+4y=0．

C．y”‘一y”一4y’+4y=0．

D．y”‘一y”+4y’一4y=0．

正确答案：D

解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1=1，ρ2，3=±2i则其特征方程为(ρ一1)(ρ2+4)=0，故所求方程应为y”‘一y”+4y’一4y=0故(D)．知识模块：高等数学

2．(15年)设y=是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+ay’+by=cex的一个特解，则

A．a=一3，b=2，c=一1．

B．a=3，b=2，c=一1．

C．a=一3，b=2，c=1．

D．a=3，b=2，c=1．

正确答案：A

解析：由是方程y”+ay’+by=cex的一个特解可知，y1=e2x，y2=ex是齐次方程的两个线性无关的解，y*=xex是非齐次方程的一个解．1和2是齐次方程的特征方程的两个根，特征方程为(ρ一1)(ρ一2)=0即ρ2—3ρ+2=0则a=一3，b=2将y=xex代入方程y”一3y’+2y=cex得c=一1．故(A)．知识模块：高等数学

3．(16年)若y=(1+x2)2一是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)= A．3x(1+x2)．

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设α1=，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为

A．α1，α2，α3．

B．α1，α2，α4．

C．α1，α3，α3．

D．α2，α3，α4．

正确答案：C

解析：用排除法：当c1≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c3+c1≠0时，(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确．知识模块：向量

2．设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则

A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

C．矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

正确答案：B

解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积．而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价．所以选(B)．知识模块：向量

3．设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的

A．必要非充分条件

B．充分非必要条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

正确答案：A

解析：记向量组(Ⅰ)：α1+kα3，α2+lα3；向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1+kα3，α2+lα3]=[α1，α2，α3]当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，

历年考研数学一真题及答案

考研数学一是众多考生备战研究生考试中最重要的科目之一。历年

的真题是备考过程中不可或缺的资源，通过对历年考题的分析和解答，可以帮助考生更好地了解考试形式和出题特点，提高答题技巧和应试

能力。下面将逐年为大家梳理历年考研数学一真题及答案，希望对广

大考生有所帮助。

2000年考研数学一真题及答案

【真题描述】

题目较多，其中涉及到线性代数、概率、数学分析等多个数学学科

的内容。整体难度较大，要求考生深入理解知识点的应用和推导。

【答案解析】

解答较为复杂，需要运用数学方法和技巧进行推导和计算。考生需

要熟练掌握各个知识点的公式和定理，注重数学思维的培养和计算能

力的训练。

2005年考研数学一真题及答案

【真题描述】

该年度考题难度适中，题目涉及数学分析、概率与统计、线性代数

等多个学科的内容。部分题目要求考生进行证明和推导，在考察考生

基础知识的同时也注重对考生分析解决问题的能力。

【答案解析】

解答过程较为清晰，给出了详细的推导和计算步骤。考生需要掌握数学公式的运用，并具备较强的逻辑思维能力，在解答过程中注重合理推导和推理，避免出错。

2010年考研数学一真题及答案

【真题描述】

该年度考题难度适中，涉及到数学分析、概率、线性代数等多个学科的内容。部分题目要求考生进行证明和推导，注重对考生逻辑思维能力的考察。

【答案解析】

解答过程清晰明了，给出了详细的证明过程和推导步骤。考生需要熟练掌握基础知识，注重数学思维的培养和实际问题的模型建立，避免陷入困境。

2015年考研数学一真题及答案

【真题描述】

该年度考题难度较大，涉及到数学分析、概率、线性代数等多个学科的知识。部分题目要求考生进行证明和推导，注重对考生实际问题的建模和解决问题的能力。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A．α1，α3．

B．α1，α2．

C．α1，α2，α3．

D．α2，α3，α4

正确答案：D

解析：首先，4元齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)，其中r(A*)为A*的秩，因此求r(A*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4一r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A*)与r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4一r(A*)=3，故选项A、(B)不对．再次，由(1，0，1，0)T是方程组Ax=0或x1α1+x2α2+x3α3 +x4α4=0的解，知α1+α3=0，故α1与α3线性相关，于是只有选项D正确．知识模块：线性方程组

2．设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a一1)(a一2)=0，即a=1或a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当a∈Ω且d∈Ω，所以选D．知识模块：线性方程组

3．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是A的A．列向量组线性无关．

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设则A与B

A．合同且相似．

B．合同但不相似．

C．不合同但相似．

D．不合同且不相似．

正确答案：A

解析：因为A为实对称矩阵，且易求出A的特征值为λ1=4，λ2=λ3=λ4=0，所以必有正交矩阵P，使得P—1AP—PTAP==B即A既相似于B，也合同于B，所以(A)正确．知识模块：二次型

2．设矩阵A=，则A与B

A．合同，且相似．

B．合同，但不相似．

C．不合同，但相似．

D．既不合同，也不相似．

正确答案：B

解析：由A的特征方程｜λE一A｜==(λ一3)2λ=0得A的全部特征值为λ1，λ2=3，λ3=0，由此知A不相似于对角矩阵B(因为A的相似对角矩阵的主对角线元素必是A的全部特征值3，3．0)，但油A的特征值知3元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩及正惯性指数均为(二次型f=xTAx经适当的正交变换可化成标准形f=3y12+3y22，再经可逆线性变换可化成规范形f=z12+z22。而f的矩阵A 与f的规范形的矩阵B=diag(1，1，0)是合同的)．知识模块：二次型

3．设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为

A．0

B．1

C．2

D．3

正确答案：B

解析：由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为λ1x’2—λ2y’2—λ3z’2=1，其中λi＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ1＞0，一λ2＜0，一λ3＜0，因此A的正特征值的个数为1．知识模块：二次型