06-10年数学一考研线性代数真题部分

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2006-数一真题大全及答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=−. （2）微分方程(1)y x y x−'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++−=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =.（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A）(,).xf x y dy ⎰⎰（B）(,).f x y dy ⎰⎰（C）(,).yf x y dx ⎰⎰（C）(,).f x y dx ⎰⎰【】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=−∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP −= （B ）1.C PAP −=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ−<>−<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【】三解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x=+−展开成x 的幂级数. 18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=−⎧⎪++−=−⎨⎪++−=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=−−=−是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧−<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫−⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=−≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+−= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x −+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x−'=的通解是(0)xy cxe x −=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++−=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===−1236P Q R x y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯= 而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++−=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,450x y z d ++==点(2)到平面3的距离d ====(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于(C)(,)(D)(,)ydy f x y dxf x y dx ⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a aC a aD a∞=∞∞==∞∞∞+++===−+∑∑∑∑∑∑若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y x y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=−='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ−−，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧−=<−σσμμX P X P.1}1{2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=<−σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<−><−μμY P X P 即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−>⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DD DxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x y r I dxdy d dr r x yr ππππθ−+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴=设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim()t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤−−+−−+⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦−=====2(17)()2xf x x x x =+−将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+−+−+解: 2(1)(2)2,32,3A xB x xx A A ++−====令 11,31,3x B B =−=−=−令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f −−⨯−−⨯=+⨯−−⨯= 10001111()(1)(1),132332n n n n n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=−−=+−<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()22222zxf f xx y ∂'''=+∂+()()22322222x y f f x y x y '''=+++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++同理22220()()0z z f x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==−=−+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=−+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y −=证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=−⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t −=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=− 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==−所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y xf x y x∂'=−−∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=− 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0（22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<−=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(−F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式 ⎰⎰=+=≤≤−=−yy y dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤−=−y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(−F )212()22,21()4,21()4,21(2−≤≤−=≤≤−−≤=≤−≤=≤−≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰−−dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<−=++−其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时， )1ln()(ln )(ln θθθ−−+=N n N L ，01)(ln =−−−=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。

考研试题[线性代数部分]

05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（）。

（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（）。

（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。

三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【】二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ．（数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。

2006年考研数学一真题

可排除选项（Ａ），（Ｂ）选项；取 an (1)n 因此应选（Ｄ）。（10）设 f ( x, y)与 ( x, y) 均为可微函数，且 y ( x, y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约束条件 ( x, y ) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (B) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . (C) (D) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 . 本题考查二元函数条件极值。利用拉格朗日函数
f x ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 )x ( x0 , y0 ) 0 ,
4
整理得
f x ( x0 , y0 )
1
y ( x0 , y0 )
， f y ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) .（因为 y ( x, y) 0 ）
, As 线性相关. , As 线性无关. , As 线性相关. , As 线性无关.
若 1 ,2 , 若 1 ,2 ,
(C) 若 1 ,2 , (D) 若 1 ,2 ,
【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定。此题也可用反例，由排除法得到答案。【详解】法一：记 B (1 ,2 , 所以，若向量组 1 ,2 ,
如右图所示，显然是 Y 型域，则原式故应选（Ｃ）. （9）若级数

2006—数一真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面z =（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）2210(,).x xf x y dy -⎰⎰（B ）2210(,).x f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,).y yf x y dx -⎰⎰（C ）2210(,).y f x y dx -⎰⎰【】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【】（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ<（B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【】三解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y xy x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求之 .(Ⅱ)计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 17 将函数()22xf x x x =+-展开成x 的幂级数.18 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t>0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.20 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.22 随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩令其他为二维随机变量(X,Y)的分布函数.(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+-= 2 .221cos 1,)1ln(x x x x -+ （0x →当时）（2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是(0)x y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.（3）设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧,2,3(1)P x Q y R z ===-1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴16dxdydz ∑∑Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）6V =（V 为上述圆锥体体积）623ππ=⨯=而123(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑⨯++-=⎰⎰（∵在1∑上：1,0z dz ==）（4）,1,0,4502x y z d ++==点(2)到平面3的距离22232412502345d ⨯+⨯====++(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）91 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>∆x ，则[A]0)(0)(0)(0)(<∆<<<∆<∆<∆<<y dy D dy y C dy y B y dy A()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的 y dy x ∆<<>∆0,0故又1(8)(,)(cos ,sin )[C](A)(,)(B)(,)xf x y d f r r rdr f x y dyf x y dyπθθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰40设为连续函数,则等于222110(C)(,)(D)(,)y y yf x y dxf x y dx --⎰⎰⎰111111111(9)[D]()()(1)()()()2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a ∞=∞∞==∞∞∞+++===-+∑∑∑∑∑∑ 若级数收敛,则级数收敛收敛收敛收敛也收敛00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ϕϕϕ'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y xy x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλϕλϕλϕϕϕϕλϕϕ≠+'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩'''''≠∴=-='''≠)0构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0[]y f x y D '≠则故选(11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（）成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(12设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P T AP . (D) C =PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)P(A ⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：).1,0(~),10(~2211N Y N x σμσμ--，,1}1{1111⎭⎬⎫<⎩⎨⎧-=<-σσμμX P X P .1}1{2222⎭⎫⎩⎨⎧<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P即 .11222111⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-σσμσσμY P X p 所以.,112121σσσσ<>应选A三、解答题{}22222212120222021(15)(,)1,0,1:011ln(1)ln 21122DDDxyD x y x y x I dxdyx y xydxdy x yr I dxdy d dr r x yr ππππθ-+=+≤≥=++=++===+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 设区域计算二重积分解{}{}{}211112121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n n n n n n x n n nn n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞+→∞+→∞<<===∴<≤≥=≤≥∴= 设数列满足求证明存在,并求之计算解因此当时单调减少又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=21sin (2)lim(,n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型离散型不能直接用洛必达法则22011sin lim ln()0sin lim(t ttt tt t e t→→=先考虑2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====2(17)()2xf x x x x =+-将函数展开成的幂极数()(2)(1)21x A Bf x x x x x ==+-+-+解:2(1)(2)2,32,3A xB x x x A A ++-====令 11,31,3x B B =-=-=-令)](1[131)21(131)1(131)2(132)(x x x x x f --⨯--⨯=+⨯--⨯=10001111((1)(1),132332n n nn n n n n n x x x x ∞∞∞+===⎡⎤=--=+-<⎢⎥⎣⎦∑∑∑（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f=满足等式22220z z x y ∂∂+=∂∂ （I ）验证()()0f u f u u'''+= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式证：（I ）(22222222zzf x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()22222222222222x x y x y zxf x yf x yxx y xy+-+∂'''=+++∂++()()222222322222x y f x yf x yx y x y '''=+++++()(()22222223222222zy x f x yf x yyx y x y ∂'''=+++∂++同理2222222222()()()0f x y z z f x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入得成立（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u'==-=-+⎰⎰则ln ln ,()cp u c f u p u'=-+∴==22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+=== 由得于是（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y-= 证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.证：把2(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y∂∂=∂∂ 今(,)(,)x Qf x y x f xy x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y y f xy y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立. (20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4，x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解:(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0 （22）随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其他,020,4101,21)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量）（Y X ,的分布函数.（Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,21(-F 解：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=≤=≤=yy y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2式式⎰⎰=+=≤≤-=-y yy dx dx y X y P 00434121)()1(式； ⎰⎰+=+=≤≤-=-y y dx dx y X y P 00141214121)()2(式. 所以：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<==其他,041,8110,83)()('y yy y y F y f Y Y 这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（Ⅱ）)4,21(-F 212()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4121211==⎰--dx . （23）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ的最大似然估计.解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1.似然函数⎩⎨⎧≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以nN =最大θ.。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(98年)设矩阵是满秩的，则直线A．相交于一点．B．重合．C．平行但不重合．D．异面．正确答案：A解析：L1的方向向量为α1=(a1一a2，b1—b2，c1一c2)，L2的方向向量为α2=(a2一a3，b2—b3，c2一c3)．对矩阵A作初等行变换：因为A是满秩的，故B也是满秩的．注意B的前2个行向量分别就是α1和α2，故α1与α2不共线．取L1上的点P(a3，b3，c3)，取L2上的点Q(a1，b1，c1)．由于混合积故L1与L2共面，它们又不平行，故必交于一点．知识模块：线性代数2．(99年)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式|AB|≠0．B．当m＞n时，必有行列式|AB|=0．C．当n＞m时，必有行列式|AB|≠0．D．当n＞m时，必有行列式|AB|=0．正确答案：B 涉及知识点：线性代数3．(00年)设n维列向量组α1，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，…，βm线性无关的充分必要条件为A．向量组α1，…，αm可由向量组β1，…，βm线性表示．B．向量组β1…，βm可由向量组α1，…，αm线性表示．C．向量组α1，…，αm与向量组β1，…，βm等价．D．矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价．正确答案：D 涉及知识点：线性代数4．(03年)设向量组I：α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D 涉及知识点：线性代数5．(04年)设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A 涉及知识点：线性代数6．(06年)设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A解析：若α1，α2，…，αs线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k2，…，ks，使得k1α2+k2α2+…+ksαs=0两端左乘矩阵A，得k1Aα1+k2Aα2+…+ksA αs=0因k1，k2，…，ks不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．知识模块：线性代数7．(07年)设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A．α1一α2，α2一α3，α3一α1．B．α1+α2，α2+α3,α3+α1．C．α1一2α2，α2—2α3，α3—2α1．D．α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1．正确答案：A解析：观察易知(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0即选项(A)中3个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确．知识模块：线性代数8．(09年)设α1，α2，α3是3维向量空间R3的一组基，则由基到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为A．B．C．D．正确答案：A解析：如果3维向量空间的一组基(I)：ξ1，ξ2，ξ3与另一组基(Ⅱ)：η1，η2，η3之间有如下关系：ηj=a1jξ1+a2jξ2+a3jξ3(j=1，2，3)，写成矩阵形式，就是[η1，η2，η3]=[ξ1，ξ2，ξ3]其中aij为常数(i，j=1，2，3)，则称矩阵A=(aij)3×3为由基(I)到基(Ⅱ)的过渡矩阵．现在容易得到因此所求过渡矩阵为．只有选项(A)正确．知识模块：线性代数9．(12年)设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α3，α4．D．α1，α3，α4正确答案：C解析：当c1≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c3+c4≠0时，(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确．知识模块：线性代数10．(13年)设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．正确答案：B解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)．知识模块：线性代数11．(14年)设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记向量组(I)：α1+kα3，α2+lα3；向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(I)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1+kα3，α2+lα3]=[α1，α2，α3]当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(I)线性无关，所以，(I)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(I)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(I)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．知识模块：线性代数12．(90年)已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组AX=b 的通解(一般解)是A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：线性代数13．(92年)要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为ξ1与ξ2线性无关，所以，三元齐次线性方程组AX=0的基础解系中至少含2个解向量，即3一r(A)≥2，或r(A)≤1，而备选项(B)(C)及(D)中的矩阵的秩都大于1，所以它们都不对，只有备选项(A)正确．知识模块：线性代数14．(93年)已知P为3阶非零矩阵，且满足PQ=O，则A．t=6时P的秩必为1．B．t=6时P的秩必为2．C．t≠6时P的秩必为1．D．t≠6时P的秩必为2．正确答案：C解析：由PQ=O，知Q的每一列都是线性方程组PX=0的解．当t≠6时，Q 的列秩为2，故PX=0至少有2个线性无关的解，所以其基础解系所含向量个数至少为2，即3一r(P)≥2，或r(P)≤1；又P≠0，有r(P)≥1，故当t≠6时必有r(P)=1．知识模块：线性代数15．(97年)设则3条直线a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=1，2，3)交于一点的充要条件是A．α1，α2，α3线性相关．B．α1，α2，α3线性无关．C．秩r(α1，α2，α3)=秩r(α1，α2)．D．α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关．正确答案：D解析：考虑由3条直线的方程联立所得的线性方程组3条直线交于一点，也就是方程组(I)有唯一解．若α3=0，则α1，α2，α3线性相关且方程组(I)有零解，由二元齐次线性方程组只有零解的充要条件(系数矩阵的秩等于未知量个数)，得r(α1，α2)=2，故此时只有(D)正确．若α3≠0，则(I)为一非齐次线性方程组，由非齐次线性方程组有唯一解的充要条件(系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=未知量个数)，得r(α1，α2)=r(α1 α2 一α3)=2，即α1，α2线性无关，而α1，α2，α3线性相关．故只有(D)正确．知识模块：线性代数填空题16．(03年)从R2的基的过渡矩阵为______．正确答案：解析：设由基α1，α2到基β1，β2的过渡矩阵为A，则有[β1 β2]=[α1 α2]A因为矩阵[α1 α2]为2阶可逆方阵，故由上式得知识模块：线性代数17．(10年)设α1=(1，2，一1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T．若由α1，α2，α3生成的向量空间的维数为2，则a=_______．正确答案：6解析：由α1，α2，α3生成的向量空间的维数等于该向量组的秩，而由下列矩阵的初等变换：知，r(α1，α2，α3)=2得a=6．所以a=6．知识模块：线性代数18．(93年)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n一1，则线性方程组AX=0的通解为_______。

考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．行列式等于( )A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．－a2d2+b2c2正确答案：B解析：由行列式的展开定理展开第一列=－ad(ad－bc)+bc(ad－bc)=－( ad－bc) 22．设A，B均为二阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )A．B．C．D．正确答案：B解析：根据CC*=｜C｜E，则C*=｜C｜C－1，C－1=的行列式=(－1) 2×2｜A｜｜B｜=2×3=6，即分块矩阵可逆。

故故答案为B。

3．设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得B，再将B的第一列的－1倍加到第二列得C，记则( )A．C=P－1APB．C=PAP－1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题设可得则有C=PAP－1。

故应选B。

4．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：B是n×m矩阵，当m＞n时，则r(B)=n(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程组Bx=0必有非零解，即存在x0≠0，使得Bx0=0，两边左乘A，得ABx0=0，即ABx=0有非零解，从而｜AB｜=0，故选B。

5．设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( )A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价正确答案：B解析：把矩阵A，C列分块如下：A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ1，γ2，…，γn)，由于AB=C，则可知得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。

2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. （2）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .（3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .（5）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =16 .（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dx y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【】（8）设(,)f x y 为连续函数，则14(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）2210(,).x xf x y dy -⎰⎰（B ）2210(,).x f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,).y yf x y dx -⎰⎰（C ）2210(,).y f x y dx -⎰⎰【】（9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数（A ）1nn a∞=∑收敛. （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.（C ）11n n n a a ∞+=∑收敛.（D ）112n n n a a ∞+=+∑收敛. 【】（10）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【】（11）设12,,,,a a a L 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. （B ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.（C ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.（D ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 A 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP = 【 B 】（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有（A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃= 【】（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>（C ）1 2.μμ<（D ）1 2.μμ> 【】三解答题 15 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰。

2006年考研数学一真题及解析

2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x →时，21ln(1),1cos 2x x x x +-，2002ln(1)limlim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2(2)【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dxy x =-⎰⎰⎰⇒ln ln y x x c =-+⇒ln ln yx x cee-+=⇒xy Cxe-=(3)【答案】2π【详解】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，1()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω∑+∑∂∂∂++=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 设,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂∴I =6dxdydz Ω⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623ππ=⨯=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而123(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰( 在1∑上：1,0z dz ==)方法2：先二重积分，后定积分.因为1V Sdz =⎰，r =222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，所以1122001133V z dz z πππ===⎰.从而6623I V ππ==⨯=方法3：利用球面坐标.1z =在球坐标下为：1cos ρθ=，1224cos 0006sin I d d d ππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰243002sin cos d d ππϕθϕϕ=⎰⎰2430cos (2)cos d d ππϕθϕ=-⎰⎰422001(2)()cos 2d ππθϕ-=--⎰202d πθπ==⎰方法4：利用柱面坐标.21106rI d dr rdz πθ=⎰⎰⎰216(1)d r rdrπθ=-⎰⎰122300116()23d r r πθ=-⎰202d πθπ==⎰(4)【详解】代入点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式d ===(5)【答案】2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=,两边取行列式,得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，222E 4E ==因此，2422E B A E===-.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤ ，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1011133P X dx ≤==⎰和{}1011133P Y dy ≤==⎰.又随机变量X 与Y 相互独立，所以，{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤⋅≤1133=⨯19=二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1：图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''>则()f x 是凹函数，又0x > ，画2()f x x =的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y << .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+-- (前两项用拉氏定理)0()()f x f x xξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'' ,其中000,x x x x ξηξ<<+<< 由于()0f x ''>，从而0y dy -> .又由于0()0dy f x x '=> ，故选[]A 方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+ ，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+.此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆>又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .O x 0x 0+Δx xyy=f (x )Δydy(8)【答案】()C 【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤，04πθ≤≤.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意y x =与221x y +=在第一象限的交点是2222，）)，于是2:02D y y x ≤≤≤≤所以，原式0(,)ydy f x y dx =.因此选()C (9)【答案】D 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nn a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.选D.方法2：记n n a =，则1n n a ∞=∑收敛.但11n n n a ∞∞===∑(p 级数，12p =级数发散)；111n n n n a a ∞∞+===∑∑p 级数，1p =级数发散)均发散。

2006年考研数学一真题及解析

∆y < dy < 0.
dy < ∆y < 0 .
[ Ａ ]
【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由 f ′( x ) > 0, f ′′(x ) > 0 知，函数 f ( x ) 单
调增加，曲线 y =
f ( x) 凹向，作函数 y = f ( x) 的图形如
右图所示，显然当 ∆ x > 0 时，
（1） lim
x→ 0
【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】原方程等价为
dy ⎛ 1 ⎞ = ⎜ − 1⎟ dx ， y ⎝x ⎠
两边积分得
ln y = ln x − x + C1 ，整理得
y = Cxe − x .（ C = eC1 ）
（ห้องสมุดไป่ตู้）设 Σ 是锥面 z =
⎧1 ⎪ , 0 ≤ x ≤ 3 f (x ) = ⎨ 3 . ⎪ ⎩0, 其他
则
P { max { X ,Y } ≤ 1} = P { X ≤ 1,Y ≤ 1} = P { X ≤ 1} P {Y ≤ 1}
2 ⎛ 11 ⎞ 1 = ( P { X ≤ 1} ) = ⎜ ∫ d x ⎟ = . ⎝ 03 ⎠ 9 2
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
x ln(1 + x) = 2. 1 − cos x 0 【分析】本题为未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可. 0 x ln(1 + x) x ⋅x 【详解】 lim = lim = 2. x→ 0 1 − cos x x→ 0 1 2 x 2 y (1 − x ) −x 的通解是 y = Cxe ( x ≠ 0). （2）微分方程 y′ = x

2006—2011考研真题(线性代数)

考研真题（线性代数）2006数（一）（5）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（11）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；(12) 设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（T T PAP C D APP C C ==)(）（20 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。

21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量()T1211--=α，()T 1102-=α是线性方程组的两个解，（1）求A 的特征值；（2）求正交矩阵Λ=ΛAQ Q Q T 使得和对角矩阵。

（6）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（13）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；（14）设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（ T T PAP C D AP P C C ==)(）（22 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。

2006年考研数学一真题及解析

x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 1) 的下侧，则
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy = 2π .
Σ
【分析】本题 Σ 不是封闭曲面，首先想到加一曲面 Σ1 ： ⎨
⎧z =1 ，取上侧，使 Σ + Σ1 2 2 ⎩x + y ≤1
构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可. 【详解】设 Σ1 ： z = 1( x + y ≤ 1) ，取上侧，则
未定式极限的求解利用等价无穷小代换即可本题为分析lim详解lim本方程为可分离变量型先分离变量然后两边积分即可分析原方程等价为详解两边积分得lnlndzdydydx构成封闭曲面然后利用高斯公式转化为三重积分再用球面或柱面坐标进行计
2006 年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、填空题：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
2 2
∫∫ xdydz + 2 ydzdx + 3(z − 1)dx dy
Σ
=
而
∫∫
Σ+ Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z − 1)dx dy − ∫∫ x dy dz + 2 y dz dx + 3(z − 1)dx dy .
Σ1 2π 1 1
∫∫
Σ+ Σ1 Σ1
xdydz + 2 ydzdx + 3( z −1)dx dy ＝ ∫∫∫ 6dv = 6 ∫0 dθ ∫0 rdr ∫r dz = 2π ，
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2006年考研数学一真题及答案

2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

）(1)。

【答案】2。

【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程的通解为__________。

【答案】，为任意常数。

【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设是锥面的下侧，则。

【答案】。

【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面的距离。

【答案】。

【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。

【答案】2。

【解析】因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。

【答案】。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (D)【答案】A。

【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。

2006年考研数学一真题及解析

∆y > dy = f ′( x0 )dx = f ′( x0 )∆x > 0 ，故应选(Ａ).
（ 8 ）设
f (x , y ) 为连续函数，则
∫
π 4
0
dθ ∫ f ( r cos θ , r sin θ )r dr 等于
0
1
（Ａ）
∫
2 2
0
dx ∫
1− x2
x
f ( x, y)d y .
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【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：
则
P { max { X ,Y } ≤ 1} = P { X ≤ 1,Y ≤ 1} =
S阴 1 = . S 9
二、选择题：7－14 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数
于是有
B A − E = 4 ，而 A − E =
1 1 = 2 ，所以 B = 2 . −1 1
（ 6）设随机变量
X 与Y 相互独立，且均服从区间 [ 0, 3] 上的均匀分布，则
1 9
.
P { max { X ,Y } ≤ 1} =
【分析】利用 X 与 Y 的独立性及分布计算. 【详解】由题设知， X 与 Y 具有相同的概率密度
⎛ 2 1⎞ ⎟ ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2 E ，则 ⎝ −1 2 ⎠
B = 2 .
【分析】将矩阵方程改写为 AX = B或XA = B或AXB = C 的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可. 【详解】由题设，有

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（5）设均为3维列向量，记矩阵
，，
如果，那么 ..
（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是
(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]
（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则
(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.
(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.
已知二次型的秩为2.
（I）求a的值；
（II）求正交变换，把化成标准形；
（III）求方程=0的解.
（21）（本题满分9分）
已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解..
（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=
.
（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是
（A）若线性相关，则线性相关.
（B）若线性相关，则线性无关.
（C）若线性无关，则线性相关.
（D）若线性无关，则线性无关. 【】
（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则
（A）（B）
（C）（D）
20 已知非齐次线性方程组
Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩
Ⅱ求的值及方程组的通解
21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.
（7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A）（B）
（C）（D）
（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( )
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
(15)设矩阵A＝，则的秩为________.
(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵
验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；
求矩阵.
（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆.
（6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（）
0. 1. 2. 3.
（13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为.
(20)（本题满分11分）
，为的转置，为的转置.
（1）证；（2）若线性相关，则.
（21）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解
5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基
的过渡矩阵为
(A). (B).
(C). (D).
（6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
. .
. .
（13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.。