极坐标公式和三角函数万能公式

极坐标与参数方程综合复习
一 基础知识：
1 极坐标),(θρ。

逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角。

点),(θρP 与点),(1θρ-P 关于极点中心对称。

点),(θρP 与点),(2πθ
ρ+-P 是同一个点。

2 直角坐标化为极坐标的公式：.sin ;cos θρθρ==y x
极坐标化为直角坐标的公式：x
y
y x =
+=θρtan ;222
注意：1
πθρ20,0<≤> 2 注意θ的象限。

3圆锥曲线的极坐标方程的统一形式：
间的距离。

是对应的焦点与准线之是离心率，p e 时表示双曲线。

时表示抛物线；时表示椭圆；1110>=<<e e e
4平移变换公式：`
`),()(y x k h y x +=++
理解为：平移前点的坐标+平移向量的坐标=平移后点的坐标
5 的直线的参数方程为且倾斜角为过点α),(000y x P
θ
ρcos 1e ep
-=坐标伸缩变换。

为平面直角坐标系中的，称对到应点的作用下，点
：任意一点，在变换是平面直角坐标系中的定义：设点ϕλλϕ),(),()0()
0({
),(y x P y x P u y u y x x y x P ''>⋅='>⋅='为参数）t t y y t x x (sin cos {00α
α
+=+=2202000)()()(sin cos {r y y x x r y y r x x =-+-+=+=对应的普通方程为为参数θθθ。

轴上的椭圆的参数方程，焦点在这是中心在原点为参数的一个参数方程为椭圆x O b y a x b a b y a x )(sin cos {)0(12222ϕϕϕ==>>=+程。

轴上的双曲线的参数方，焦点在这是中心在原点为参数，的一个参数方程为，双曲线x O b y a x b a b y a x )2,20(tan sec {)00(122
22πϕπϕϕϕϕ≠<≤==>>=-参数方程。

轴正半轴上的抛物线的，焦点在这是中心在原点为参数）的一个参数方程为抛物线x O t pt y pt x p px y (22{)0(222
==>=
一、选择题：
1．直角坐标为（-12，5）的P 点的一个极坐标是 （ ）
A ．(13，arctan 125)
B ．(13，π-arctan 125)
C ．(13，π+arctan 12
5)
D ．(13，- arctan 12
5)
2．极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）
A ．（-ρ，θ）
B ．（-ρ，-θ）
C ．（ρ，2π-θ）
D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）
A ．ρ=1
B ．ρ=cos θ
C ．ρ=-θ
cos 1
D ．ρ=θ
cos 1
4．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）
A ．ρ=2cos(θ-4
π
) B ．ρ=2sin(θ-
4
π
) C ．ρ=2cos(θ-1)
D ．ρ=2sin(θ-1)
5．极坐标方程ρ2
cos θ+ρ-3ρcos θ-3=0表示的曲线是 （ ）
A ．一个圆
B ．两个圆
C ． 两条直线
D ．一个圆和一条直线
6．下列命题正确的是 （ ）
A ．过点（a ，π）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρ=-θ
cos a
B ．已知曲线
C 的方程为ρ=4+π2θ及M 的坐标为（4，2π），M 不在曲线C 上
C ．过点（a ，
2
π
）且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρ=θ
sin a
D ．两圆ρ=cos θ与ρ=sin θ的圆心距为2
2
7
．曲线2,3x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上的点与A （-2，3）的距离为
2，则该点坐标是（ ）
A ．（-4，5）
B ．（-3，4）或（-1，2）
C ．（-3，4）
D ．（-4，5）或（0，1）
8．已知直线l
的参数方程为2,1
x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极
坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为 （ ）
A ．2
1
B ．2
2
C ．1
D ．
2
9．已知曲线的参数方程是33
4cos ,4sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则该曲线
（ ）
A ．关于原点、x 轴、y 轴都对称
B ．仅关于x 轴对称
C ．仅关于y 轴对称
D ．仅关于原点对称
10．已知抛物线24,
4x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，则点M （3，m ）到F 的距离|MF|为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．若关于x 的方程x 2
+px+q=0的根是sin α和cos α，则点(p ，q)的轨迹为
（ ）
12．设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨
⎧θ
=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则
y x
的取值
范围是 （ ）
A ．[-
3，3]
B ．（-∞，3）∪[
3，+∞]
C ．[-33，3
3] D ．（-∞，
3
3
）∪[33，+∞]
二、填空题：．
13．已知直线的参数方程是1sin ,6
2cos
6x t y t ππ⎧
=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），则直线的倾斜角大小是 ．
14．设A 、B 两点的极坐标分别是（2，4
π），（
2，-4
π）
，则AB 线段的两个三等分点的极坐标是 ．
15．曲线的极坐标方程是ρ=4cos(θ-
3
π
)，则它相应的直角坐标方程是 ． 16．曲线222
23,151t x t
t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
（t 为参数）的普通方程是 ． 17.点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为 。

18 设点A 的极坐标为（ρ1，θ1）（ρ1≠0，0<θ1<
2
π
)，直线l 经过A 点，且倾斜角为α．
（1） 证明l 的极坐标方程是ρsin(θ-α)=ρ1sin(θ1-α)； （2） 若O 点到l 的最短距离d=ρ1，求θ1与α间的关系．
19 已知曲线,
2sin x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ
为参数）和定点P （4，1），过P 的直线与曲线交于A 、B 两点，若线
段AB 上的点Q 使得
PB PA =QB
AQ
成立，求动点Q 的轨迹方程．
三角函数万能公式
万能公式 (1)
(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
三角函数万能公式为什么万能
万能公式为：
设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）
cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.。