常微分方程知识点

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常微分方程知识点总结

常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识

点总结，欢迎大家阅读！

微分方程的概念

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中

就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的

问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，

也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程知识点整理

常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。

一、常微分方程的基本概念

常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。常见形式为dy/dx = f(x, y)。其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。

2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-

1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。

二、常微分方程的分类

根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。

1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-

1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。

2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识

点总结，欢迎大家阅读！

微分方程的概念

方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中

但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，

也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分

高中数学常微分方程知识点总结

高中数学常微分方程知识点总结微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。在高中数学课程中，学生们需要学习常微分方程的知识，并且利用这些知识解决实际问题。本文将对高中数学中常微分方程的主要知识点进行总结。

一、常微分方程的基本概念

常微分方程是包含未知函数的泛函方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。其中，y是未知函数，f(x, y) 是已知的函数。常微分方程的解是能够满足该方程的函数。

二、常微分方程的分类

常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

1.一阶常微分方程

一阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数为一的微分方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。

2.高阶常微分方程

高阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数大于一的微分方程。高阶常微分方程的求解可以通过转换为一阶方程组、特解叠加法、特征方程等方法求解。

三、常微分方程的解法

1.分离变量法

对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x分离，则可以将方程化简为两个变量的乘积形式，从而可以通过分离变量的方式求解出y的表达式。

2.齐次方程法

对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x在方程中通过同一个变量替换成比值的形式，则可以将方程化简为一个纯含有未知函数y的方程，从而可以通过变量代换解出y的表达式。

3.线性方程法

对于一阶常微分方程，若可以将方程化简为形如dy/dx + P(x)y =

Q(x)的线性方程，则可以通过积分因子或待定系数法等方法求解出未知函数y的表达式。

《常微分方程》知识点

常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。

1.基本概念

-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。

-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。

-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。

2.常微分方程的分类

-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。

-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。

-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。

-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。

-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，

可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。

3.常微分方程的解法

-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程

的解。

-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近

《常微分方程》知识点整理

一、定义与特点

常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、

化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用

来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。它可以从几何角度、分析

角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变

化的数学方程。

常微分方程有以下几个特点：

1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶

或多阶导数组成。

2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也

可以是复函数。

3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。

4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。

5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。

二、种类

1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它

的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，

它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。

2.二次可积常微分方程：这类方程中。

大二常微分方程知识点

常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它研究的是指导自然界中各种现象变化规律的方程。在大二学习阶段，我们需要掌握一些常微分方程的基本知识点，接下来将逐一介绍。

1. 常微分方程的定义及基本概念

常微分方程是指包含一个未知函数及其导数的方程，并且仅涉及一个自变量。常微分方程的解是未知函数的函数表达式，它满足方程本身以及初值条件。

常微分方程一般可以分为初值问题和边值问题。初值问题是指在给定某一时刻的初值条件下，求解方程的解；而边值问题是在给定一定边界条件下，求解方程的解。

2. 一阶常微分方程

一阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数为一的常微分方程。它可以分为可分离变量的一阶常微分方程、线性一阶常微分方程和齐次线性一阶常微分方程等。

可分离变量的一阶常微分方程可以通过对方程两边进行变量

分离，然后进行积分求解。

线性一阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。

如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。

齐次线性一阶常微分方程则可以转化为线性一阶常微分方程，并且其特征方程只有一个解。

3. 高阶常微分方程

高阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数大于一的常微分

方程。它可以分为常系数线性高阶常微分方程和非齐次线性高阶

常微分方程等。

常系数线性高阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到

通解。如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。

非齐次线性高阶常微分方程则可以转化为常系数线性高阶常微分方程，并且其特征方程有多个解。

4. 常微分方程的解法技巧

在解常微分方程时，我们可以借助一些常见的解法技巧，如变量分离法、齐次方程法、常数变易法、欧拉方程等。

常微分方程知识点总结

令
u y, x
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
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第三节齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.
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通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
内容小结
1. 微分方程的概念微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解

高数大一知识点常微分方程

高数大一知识点：常微分方程

常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数

学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。在

高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。本文将简

要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。

一、常微分方程的定义

常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性

质的数学方程。一般形式为：

f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。

二、常微分方程的分类

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

1. 一阶常微分方程

一阶常微分方程的一般形式为：

dy/dx = f(x, y)

其中，f(x, y)为已知函数。一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。

2. 高阶常微分方程

高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。

三、常微分方程的解法

常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。

1. 分离变量法

对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。

2. 常数变易法

对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。

常微分方程考研知识点总结

一、常微分方程的基本概念

1.1 常微分方程的定义

常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系

的方程。一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。

1.2 常微分方程的类型

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。一阶常微分方程只含有未知函数

及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。

1.3 常微分方程的解

常微分方程的解是使得方程成立的函数。解分为通解和特解。通解是对所有满足方程的解

函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。

1.4 常微分方程的初值问题

常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。初值问题的解是满足

给定初值条件的特解。

二、常微分方程的解法

2.1 可分离变量法

对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两

边积分的方式求解。

2.2 线性微分方程

线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。

2.3 全微分方程

全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某

个区域内的函数。对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。

2.4 变换形式

对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式

常微分方程知识点总结

定义
称这条曲线为微分方程的积分曲线。
3 ②微分方程的通解是一族函数；y y(x,c1,c2,,cn )又是平面内
的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。
例1中，积分曲线为y x2 1；例1中，积分曲线族为y x2 c 注：微分方程的积分曲线族中的每一条曲线在点(x0, y0 )处有平行的切线。
u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x P(x) 该u e定理P(易x)让d x我们Q想(x起)
即
《线性代数》中的
两端积分得对应齐u 次方Q程(x通) e解 P(
x
)yd
x
C e一 P阶(x)非dx齐次线性方程 dx 组C 的解的结构定理。
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g( (x))(x) dx f (x) dx
两边积分, 得
f (x)dx
则有
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆,
说明由②确定的隐函数 y＝(x) 是①的解. 同样,当F’(x)
= f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝(y) 也是①的解.
3 .齐次方程的求解方法:
令
u y, x
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微分方程全部知识点

微分方程是数学中一个重要的分支，用于描述变量之间的关系以及其之间的变化规律。其在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。下面将介绍微分方程的全部知识点。

一、基本概念和分类：

1. 微分方程的定义和形式。

2. 微分方程的阶数和线性性。

3. 独立变量和因变量的概念。

4. 常微分方程和偏微分方程的区别。

二、常微分方程：

1. 一阶常微分方程的解法：可分离变量、齐次方程、一阶线性方程、一阶伯努利方程、可化为可分离变量的方程。

2. 高阶常微分方程的解法：常系数线性齐次方程、常系数线性非齐次方程、二阶常系数齐次方程的特征方程、二阶线性非齐次方程的特解法。

3. 微分方程的解的存在唯一性定理。

4. 常微分方程的初值问题和边值问题。

三、偏微分方程：

1. 常见的偏微分方程类型：椭圆型、抛物型、双曲型方程。

2. 二阶线性偏微分方程的分类和通解求法。

3. 常用偏微分方程的具体应用：热传导方程、波动方程、扩散方程等。

四、数值解法：

1. 欧拉法和改进的欧拉法。

2. 龙格-库塔法。

3. 有限差分法和有限元法。

五、应用领域：

微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域有广泛的应用。例如：

1. 牛顿运动定律中的微分方程。

2. 电路中的微分方程。

3. 生物种群数量变化的微分方程。

4. 经济增长模型中的微分方程。

总结：

微分方程是数学中一个重要的分支，主要包括基本概念和分类、常微分方程、偏微分方程、数值解法以及应用领域等知识点。掌握微分方程的解法和应用，对于理解自然和社会现象的规律具有重要作用。

《常微分方程》知识点整理

1．（变量分离方程）形如

dx 《常微分方程》复习资料

f (x )ϕ( y )（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里 f (x ),ϕ( y ) 分别是 x , y 的连续函数．

解法：（1）分离变量，当ϕ( y ) ≠ 0 时，将（1.1）写成ϕ( y )

= f (x )dx ，这样变量就“分离”了；

（2）两边积分得⎰ ϕ( y ) = ⎰

f (x )dx + c （1.2），由（1.2）所确定的函数 y = ϕ(x , c ) 就为（1.1）的解．

注：若存在 y 0 ，使ϕ( y 0 ) = 0 ，则 y = y 0 也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．

2．（齐次方程）形如 = g ( ) 的方程称为齐次方程，这里 g (u ) 是u 的连续函数．

dx x

解法：（1）作变量代换（引入新变量） u = ，方程化为 x

du = g (u ) - u ，（这里由于 dx x dy = x du dx dx + u ）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．

3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程 a (x ) dy dx

+ b (x ) y + c (x ) = 0 在 a (x ) ≠ 0 的区间上可写成

= P (x ) y + Q (x ) （3.1），这里假设 P (x ), Q (x ) 在考虑的区间上是 x 的连续函数．若 Q (x ) = 0 ，则（3.1）变为 dx dy

= P (x ) y （3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若Q (x ) ≠ 0 ，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． dx

常微分方程的大致知识点

一、基本概念

1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。一般形式为dy/dx = f(x, y)。

2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。

3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。

4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。

二、分类

根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：

1.一阶微分方程：

- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。

- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。

- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。

- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。

2.二阶微分方程：

- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征

方程求解。

- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过

待定系数法和特解法求解。

- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征

方程和特解法求解。

三、解法

1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与

自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。

2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新

常微分方程知识点总结

通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
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二、线性齐次方程解的结构
定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
(4) 2 y dx ( y3 x) dy 0
(5) ( y ln x 2) y dx x dy
提示:
y 1dy dx
y
x
可分离变量方程
dy y ln y
齐次方程
dx x x
dy 1 y x2 线性方程
dx 2x
2
dx 1 x y2 线性方程
dy 2y
2
dy
2
y
ln
x
y
2
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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即含有未知函数y,
三、y f ( y, y) 型的微分方程不含自变量x
令 y p ( y), 则 y d p d p dy
故通解为 y C e P(x)dx
注：①所谓线性，即是方程中未知函数及其导函数均为一次函数 ②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 是两个不同的概念

常微分方程相关知识点大一

常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界中各种现

象的数学模型。在大一的学习中，常微分方程也是数学课程中的

重点内容之一。本文将介绍常微分方程的相关知识点，帮助大一

学生更好地理解和掌握这一部分内容。

一、常微分方程的基本概念

常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。通常表

示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知的函数。常微分方程的解是满足方程的函数，可以通过积分等数学方

法求解。

二、常微分方程的分类

常微分方程可以分为几个主要的类型，常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。

1. 一阶线性方程

一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量

代换法等方法。

2. 一阶可分离变量方程

一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y)，其中g(x)

和h(y)都是已知的函数。求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。

3. 二阶线性齐次方程

二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，

其中p(x)和q(x)都是已知的函数。求解二阶线性齐次方程可以通

过特征方程、常数变易法等方法。

三、常微分方程的初值问题

初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值，求解该点附近的解。对于一阶常微分方程，初值问题可以通

过直接代入初值，得到特定的解。对于高阶方程，可以通过降阶

等方法求解出整个解。