常微分方程知识点
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
高中数学中的常微分方程知识点
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
高中数学常微分方程知识点总结
高中数学常微分方程知识点总结微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了变量之间的关系以及它们的变化率。
在高中数学课程中，学生们需要学习常微分方程的知识，并且利用这些知识解决实际问题。
本文将对高中数学中常微分方程的主要知识点进行总结。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是包含未知函数的泛函方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
其中，y是未知函数，f(x, y) 是已知的函数。
常微分方程的解是能够满足该方程的函数。
二、常微分方程的分类常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1.一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数为一的微分方程，其一般形式为：dy/dx = f(x, y)。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次方程、一阶线性方程等方法求解。
2.高阶常微分方程高阶常微分方程是指未知函数的导数最高次数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的求解可以通过转换为一阶方程组、特解叠加法、特征方程等方法求解。
三、常微分方程的解法1.分离变量法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x分离，则可以将方程化简为两个变量的乘积形式，从而可以通过分离变量的方式求解出y的表达式。
2.齐次方程法对于一阶常微分方程，若可以将未知函数y和自变量x在方程中通过同一个变量替换成比值的形式，则可以将方程化简为一个纯含有未知函数y的方程，从而可以通过变量代换解出y的表达式。
3.线性方程法对于一阶常微分方程，若可以将方程化简为形如dy/dx + P(x)y =Q(x)的线性方程，则可以通过积分因子或待定系数法等方法求解出未知函数y的表达式。
4.特解叠加法对于高阶常微分方程，可以通过叠加一般解和特解的方式求解出方程的解。
一般解是该方程的任意解，特解是方程的一个特殊解。
5.特征方程法对于高阶常微分方程，可以通过求解该方程的特征方程得到方程的特解形式。
特征方程是该方程对应的齐次方程的根的特征方程，通过求解特征方程的根可以得到方程的特解形式。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
大二常微分方程知识点
大二常微分方程知识点常微分方程是数学中非常重要的一个分支，它研究的是指导自然界中各种现象变化规律的方程。
在大二学习阶段，我们需要掌握一些常微分方程的基本知识点，接下来将逐一介绍。
1. 常微分方程的定义及基本概念常微分方程是指包含一个未知函数及其导数的方程，并且仅涉及一个自变量。
常微分方程的解是未知函数的函数表达式，它满足方程本身以及初值条件。
常微分方程一般可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是指在给定某一时刻的初值条件下，求解方程的解；而边值问题是在给定一定边界条件下，求解方程的解。
2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数为一的常微分方程。
它可以分为可分离变量的一阶常微分方程、线性一阶常微分方程和齐次线性一阶常微分方程等。
可分离变量的一阶常微分方程可以通过对方程两边进行变量分离，然后进行积分求解。
线性一阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
齐次线性一阶常微分方程则可以转化为线性一阶常微分方程，并且其特征方程只有一个解。
3. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中最高导数的阶数大于一的常微分方程。
它可以分为常系数线性高阶常微分方程和非齐次线性高阶常微分方程等。
常系数线性高阶常微分方程可以通过求解其特征方程，得到通解。
如果已知特解，可以通过通解加上特解得到特定解。
非齐次线性高阶常微分方程则可以转化为常系数线性高阶常微分方程，并且其特征方程有多个解。
4. 常微分方程的解法技巧在解常微分方程时，我们可以借助一些常见的解法技巧，如变量分离法、齐次方程法、常数变易法、欧拉方程等。
变量分离法是指通过将方程中的变量分离，然后进行积分求解。
齐次方程法适用于齐次的高阶常微分方程，在此方法中，我们需要进行代换，将齐次方程转化为一阶常微分方程。
常数变易法适用于非齐次的高阶常微分方程，我们通过猜测特解的形式，并代入方程，再确定常数的值。
欧拉方程是针对常系数线性高阶常微分方程的解法，其中特解形式为 e^rx。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》知识点整理
一、定义与特点
常微分方程(ordinary differential equation)是数学中描述物理、
化学、生物等过程的重要工具，它描述物体状态及其变化的模型，可以用
来研究物体的动力、动力学、物理现象等问题。
它可以从几何角度、分析
角度以及物理角度这三个角度来看待，它是一个研究条件下物体状态和变
化的数学方程。
常微分方程有以下几个特点：
1.常微分方程是一类特殊的未知函数问题，它由一个函数及它的一阶
或多阶导数组成。
2.未知函数有可能是多元函数，也可能是单元函数，可以是实函数也
可以是复函数。
3.常微分方程的形式因微分函数种类而各异，有非线性方程、线性方程、常系数方程、变系数方程等类型。
4.常微分方程的解可以是定状态的、非定状态的、稳定的或不稳定的，它可以有解或得不到解。
5.常微分方程具有很深的理论性，可用来求解物理、化学、力学等问题，可以修正原来结论，使现象更加接近实际情况。
二、种类
1.线性常微分方程：线性微分方程是常微分方程中最简单的类型，它
的特点是多重未知函数的阶和系数形式都是定值，而不依赖于其他函数，
它的解可以直接用几何方法求解（比如可以用函数级数的展开形式求解）。
2.二次可积常微分方程：这类方程中。
高数大一知识点常微分方程
高数大一知识点常微分方程高数大一知识点：常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。
在高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。
本文将简要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。
一、常微分方程的定义常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性质的数学方程。
一般形式为：f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y)为已知函数。
一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。
高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。
三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。
2. 常数变易法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。
四、常微分方程的示例1. 一阶常微分方程示例：dy/dx = x^2 - y先整理方程，得到dy + y = x^2通过分离变量法可得∫1/y dy = ∫x^2 dx解得ln|y| = x^3/3 + C1最终的通解为y = Ce^(x^3/3)，其中C为常数。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】常微分方程的大致知识点（一）初等积分法1、线素场与等倾线2、可分离变量方程3、齐次方程（一般含有xy y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程常数变易法，或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dx x a dx x a5、伯努力方程令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n--=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若xN y M ∂∂=∂∂，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若x N y M ∂∂≠∂∂，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dxy d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族（二）毕卡序列⎰+=xx dx y x f y y 0),(001，⎰+=x x dx y x f y y 0),(102，⎰+=xx dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程1、常系数齐次0)(=y D L方法：特征方程单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+=单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+=重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+=重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=2、常系数非齐次)()(x f y D L =方法：三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y第二步求)()(x f y D L =的特解*y第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=如何求*y当x m e x P x f α)()(=时，=*y x m k e x Q x α)(当vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+=时，=*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k + 当)(x f 是一般形式时，=*y ξξξξd f W x W xx )()(),(0⎰，其中W(.)是郎斯基行列式 （四）常系数方程组方法：三部曲。
常微分方程知识点
第一章 绪论什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++-- 的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法§ 2.1 变量分离方程1、形式：)()(y x f dxdy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解2、y x P dxdy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：)(xy g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）4、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 212121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X ，(2.14) 变为⎩⎨⎧=+=+002211Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，§ 2.2 线性微分方程与常数变易法1、)()(x Q y x P dxdy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dxdy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dxx dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P2、伯努利微分方程n y x Q y x P dxdy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy yn n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u yx u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：yx u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明xN y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结一、基本概念。
1. 常微分方程。
- 定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。
例如：y' + 2y = 0，其中y = y(x)是未知函数，x是自变量，y'是y 对x的一阶导数。
- 阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
如y''+3y' + 2y=sin x是二阶常微分方程。
2. 解与通解、特解。
- 解：如果函数y = φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。
- 通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
例如y = C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y'' - y = 0的通解（C_1,C_2为任意常数）。
- 特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。
比如在y = C_1e^x+C_2e^-x 中，当C_1 = 1,C_2 = 0时，y = e^x就是y'' - y = 0的一个特解。
二、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：g(y)dy = f(x)dx。
- 解法：对等式两边分别积分，即∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，得到方程的通解。
例如对于方程y'=(x)/(y)，可化为ydy = xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1 = 2C）。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。
- 解法：令u=(y)/(x)，则y = ux，y'=u + xu'，原方程化为u+xu'=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。
例如对于方程y'=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u = (y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tan u，再分离变量求解。
《常微分方程》知识点整理
《常微分方程》复习资料1．（变量分离方程）形如()()dyf x y dxϕ=（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()f x y ϕ分别是,x y 的连续函数． 解法：（1）分离变量，当()0y ϕ≠时，将（1.1）写成()()dyf x dx y ϕ=，这样变量就“分离”了； （2）两边积分得()()dyf x dx c y ϕ=⎰⎰+（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)y x c ϕ=就为（1.1）的解． 注：若存在0y ，使0()0y ϕ=，则0y y =也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上． 2．（齐次方程）形如(dy yg dx x=的方程称为齐次方程，这里是u 的连续函数． ()g u 解法：（1）作变量代换（引入新变量）y u x =，方程化为()du g u u dx x -=，（这里由于dy dux u dx dx=+）；（2）解以上的分离变量方程；（3）变量还原．3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dya xb x yc x dx++=在的区间上可写成()0a x ≠()()dyP x y Q x dx =+（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()P x Q x x 的连续函数．若，则（3.1）变为()0Q x =()dyP x y dx=（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Q x ≠，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程． 解法：（1）解对应的齐次方程()dyP x y dx=，得对应齐次方程解()p x y ce dx ⎰=，为任意常数；c （2）常数变异法求解（将常数变为c x 的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的解，则()c x ()()p x dxy c x e ⎰=()()()()()p ⎰⎰p x dx p x dy dc x e c x x e dx dx =+dx ，代入（3.1）得()()()p x dx dc dxx Q x e -⎰=)，积分得；()p x dx c ⎰=+ ()()c x Q x e -⎰（3）故（3.1）的通解为()()(()p x dxp x dxy e Q x e dx -⎰⎰c=+⎰ ． 4．（伯努利方程）形如()()n dyP x y Q x y dx=+的方程，称为伯努利方程，这里为(),()P x Q x x 的连续函数． 解法：（1）引入变量变换，方程变为1nz y -=(1)()(1)()dz n P x z n Q x dx=-+-；（2）求以上线性方程的通解； （3）变量还原．5．（可解出的方程）形如y (,)dyy f x dx=(5.1)的方程，这里假设(,)f x y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（5.1）变为(,)y f x p =（5.2）； （2）将（5.2）两边对x 求导，并以dy p dx =代入，得f f pp x p x∂∂∂=+∂∂∂（5.3），这是关于变量,x p 的一阶微分方程；（3）（i ）若求得（5.3）的通解形式为(,)p x c ϕ=，将它代入（5.2），即得原方程（5.1）的通解(,(,))y f x x c ϕ=，为任意常数；c（ii ）若求得（5.3）的通解形式为(,)x p c ψ=，则得（5.1）的参数形式的通解为(,)((,),)x p c y f p c p ψψ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数；c （iii ）若求得（5.3）的通解形式为，则得（5.1）的参数形式的通解为(,,)0x p c Φ=(,,)0(,)x p c y f x p Φ=⎧⎨=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 6．（可解出x 的方程）形如(,)dyx f y dx=(6.1)的方程，这里假设(,)f y y '有连续的偏导数． 解法：（1）引进参数dyp dx=，则方程（6.1）变为(,)x f y p =（6.2）； （2）将（6.2）两边对y 求导，并以1dx dy p=代入，得1f f pp y p y ∂∂∂=+∂∂∂（6.3），这是关于变量,y p 的一阶微分方程；（3）若求得（6.3）的通解形式为，则得（6.1）的参数形式的通解为(,,)0y p c Φ=(,)(,,)0x f y p y p c =⎧⎨Φ=⎩，其中p 是参数，是任意常数．c 7．（不显含的方程）形如y (,)0dyF x dx=的方程，这里假设(,)F x y '有连续的偏导数． 解法：（1）设dyp dx=，则方程变为； (,)0F x p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F x p =()()x t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）； （3）把()x t ϕ=，()p t ψ=代入dy ，并两边积分得pdx =()()y t t dt ψϕ'c =+⎰；（4）通解为()()()x t y t t dt ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰c ．8．（不显含x 的方程）形如(,)0dyF y dx=的方程，这里假设(,)F y y '有连续的偏导数．解法：（1）设dyp dx=，则方程变为；(,)0F y p =（2）引入参数，将用参数曲线表示出来，即t (,)0F y p =()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩，（关键一步也是最困难一步）；（3）把()y t ϕ=，()p t ψ=代入dy dx p =，并两边积分得()()t x dt c t ϕψ'=+⎰； （4）通解为()()()t x dt c t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰． 9．（型可降阶高阶方程）特点：不显含未知函数()(1)(,,,,)0(1)k n n F x y y y k -=≥ y 及．(1),,k y y -' 解法：令()()k yz x =，则(1)k y z +'=，．代入原方程，得．若能求得，()()n n y z -=k ()(,(),(),,())0n k F x z x z x z x -'= ()z x将()()k yz x =()yf =连续积分次，可得通解．k , 10．（型可降阶高阶方程）特点：右端不显含自变量()(1)(,,)n k y y y -n x ．解法：设，则()y 222,(dp dy dP d p dP y P y P P dy dx dy dy dy'''''===+ y p '=2,) ，代入原方程得到新函数的()P y (1n -阶方程，求得其解为1()(,,,)n 1P y y C C ϕ-== dy dx，原方程通解为11(,,,)n n dyx C y C C ϕ-=+⎰ ．11．（恰当导数方程）特点：左端恰为某一函数对(1)(,,,,)n x y y y -'Φ x 的导数，即(1)(,,,,)0n dx y y y dx-'Φ= ． 解法：类似于全微分方程可降低一阶(1)(,,,,)n x y y y C -'Φ ='，再设法求解这个方程．12．（齐次方程）特点：（k 次齐次函数）．()()(,,,,)(,,,,)n k n x ty ty ty t F x y y y '= F zdx解法：可通过变换y e =⎰将其降阶，得新未知函数．因为()z x 2()(1),(),,(,,,)zdxzdxzdxn n y ze y z z e yz z z e -⎰⎰⎰'''''==+=Φ (1)(,,,,)0n f x z z z -'，代入原方程并消去，得新函数的阶方程k z e ⎰dx ()z x (n -1)= ．13．（存在唯一性定理）考虑初值问题00(,)()dyf x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（13.1），其中(,)f x y 在矩形区域00:,R x x a y y b -≤-≤上连续，并且对满足Lipschitz 条件：即存在，使对所有(,y 0L >12(,)),x y x y R ∈常成立121(,)(,)2f x y f x y L y y -≤-，则初值问题（13.1）在区间0x x -≤h 上的解存在且唯一，这里(,)min(,h a =(,)x y R M Max f x y ∈=bM．初值问题（13.1）等价于积分方程00(,)xx y y f t y =+⎰dt ，构造Picard 逐步逼近函数列}{00001()()()(,())xn nn x x y x x y f ϕϕϕξϕ-=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰dx ξ 00x x x ≤≤+h ，n ．1,= 2,14．（包络的求法）曲线族（14.1）的包络包含在下列两方程(,,)0x y c Φ=(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩消去参数而得到的曲线之中．曲线c (,)0F x y =(,)0F x y =称为（14.1）的c -判别曲线．15．（奇解的直接计算法）方程(,,)0dyF 15.1）的奇解包含在由方程组⎨去参数x y dx =（消(,,)0(,,)0c F x y p F x y p =⎧'=⎩p 而之得到的曲线(,Φ=中，此曲线称为（15.1）的)0x y p -别曲线，这里(,F 判,)x y p 0=是,,x y p 的连续可微函数． 注：p -判别曲线是否为方程的奇解，尚需进一步讨论． 16．（克莱罗方程）形如dy dy y xf dxdx ⎛⎫=+ ⎝⎭⎪（16.1）的方程，称为克莱罗方程，这里． ()0f p ''≠解法：令dy p dx =，得．两边对()y xp f p =+x 求导，并以dyp dx=代入，即得()dp dp p x p f p dx dx '=++，经化简，得[()]0．dpx f p dx '+= 如果0dp dx=，则得到p c =．于是，方程（16.1）的通解为：()y cx f c =+．如果，它与等式()0x f p '+=()y xp f p =+联立，则得到方程（16.1）的以p 为参数的解：()0()x f p y xp f p '+=⎧⎨=+⎩或()0()x f c y xc f c '+==+⎧⎨⎩其中为参数．消去参数c p 便得方程的一个解． 17．（函数向量组线性相关与无关）设12(),(),,()m x t x t x t a t b ≤≤是一组定义在区间[,上的函数列向量，如果存在一组不全为0的常数，使得对所有，有恒等式]a b c 12,,m c c c 1122()()()0m m c x t c x t x t +++ =， 则称12(),(),,()m x t x t x t 在区间[,上线性相关；否则就称这组向量函数在区间[,上线性无关．]a b ]a b 18．（Wronsky 行列式）设有n 个定义在a t 上的向量函数b ≤≤nn 11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()n n n n n x t x t x t x t x t x x t x t x t t x t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢===⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦ ，由这n 个向量函数所构成的行列式111212122212[(),(12()()()()()()),()()()()()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x x t W t t x t x t x t x t ≡称为这个向量函数所构成的Wronsky 行列式．n 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在a t 上线性相关，则它们的Wronsky 行列式． b ≤≤()0,t W t a b ≡≤≤19．（基解矩阵的计算公式）（1）如果矩阵具有个线性无关的特征向量，它们相应的特征值为A n 12,,,n v v v 12,,,n λλ λ（不必互不相同），那么矩阵是常系数线性微分方程组12tte λλ12(),,,],n tn v v e v λΦ=-∞<< [t e x +∞x Ax '=的一个基解矩阵； （2）矩阵的特征值、特征根出现复根时（略）； A （3）矩阵的特征根有重根时（略）．A 20．（常系数齐线性方程）考虑方程111[]0n n n n n d x d xL x a a x dt dt--=+++= （20.1），其中为常数，称（20.1）为阶常系数齐线性方程．12,,n a a a n 解法：（1）求（20.1）特征方程的特征根12,,,k λλλ ；（2）计算方程（20.1）相应的解：（i ）对每一个实单根k λ，方程有解k teλ；（ii ）对每一个重实根1m >k λ，方程有个解：m 21,,,,k k k tttm e te t e te k tλλλ- λ；（iii ）对每一个重数是1的共轭复数i αβ±，方程有两个解：cos ,sin tte t e ααt ββ； （iv ）对每一个重数是的共轭复数1m >i αβ±，方程有个解：2m 11cos ,cos ,,cos ;sin ,sin ,,sin t t m t ttm te t te t t e t e t te t te tααααααββββββ-- ；（3）根据（2）中的（i ）、（ii ）、（iii ）、（iv ）情形，写出方程（20.1）的基本解组及通解．21．（常系数非齐次线性方程）()y py qy f x '''++=二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程，通解结构0y py qy '''++=y Y y =+．设非齐次方程特解()x y Q x e λ=代入原方程 2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++=（1）若λ不是特征方程的根，，可设20p q λλ++≠()()m Q x Q x =，()xm y Q x e λ=；（2）若λ是特征方程的单根，，2020p q λλ++=p λ+≠，可设()()m Q x xQ x =，()xm y xQ x e λ=； （3）若λ是特征方程的重根，，2020p q λλ++=p λ+=，可设，2()()m Q x x Q x =2()xm y x Q x e λ=． ()k x综上讨论，设y m x e Q x λ=，． 012k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是单根是重根。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点一、基本概念1. 微分方程：包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)。
2.隐式解：由微分方程定义的函数关系，即常微分方程的解。
3.解的阶：微分方程解中导数的最高阶数。
4.初值问题：给定微分方程解及其导数在其中一点的初始条件，求解在该点上的特定解。
二、分类根据微分方程中未知函数的阶数、系数是否包含自变量，以及方程是否含有非线性项，常微分方程可以分为以下几类：1.一阶微分方程：- 可分离变量方程：dy/dx = g(x)/h(y)，通过变量分离可将方程化为两个变量的乘积。
- 齐次方程：dy/dx = f(x, y)，通过变量代换将方程化为变量分离方程。
- 一阶线性方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)，通过积分因子法求解。
- Bernoulli方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n，通过变换化为线性方程求解。
2.二阶微分方程：- 齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程：d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，通过待定系数法和特解法求解。
- 常系数线性方程：d^2y/dx^2 + a dy/dx + by = f(x)，通过特征方程和特解法求解。
三、解法1.变量分离法：一阶微分方程中的可分离变量方程通过将未知函数与自变量的微分分离，然后两边同时积分得到解。
2.变量代换法：一阶微分方程中的齐次方程通过将未知函数表示为新的变量，从而将方程化为分离变量方程。
3.积分因子法：一阶线性方程通过找到一个适当的函数作为积分因子，然后将方程乘以积分因子，从而使得方程左侧成为一个全微分。
4.特征方程法：二阶齐次线性方程通过设解为指数函数的形式，通过特征方程求解。
5.待定系数法：二阶非齐次线性方程通过假设特解为其中一形式的函数，然后解出系数。
第九讲常微分方程知识点
第九讲常微分方程知识点常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是用来描述系统变化的数学模型，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
常微分方程的基本形式为：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和二阶微分方程，下面将对一阶和二阶微分方程进行介绍。
一阶微分方程：一阶微分方程是指未知函数的导数仅包含一阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]其中f(x,y)为已知函数。
解一阶微分方程的方法有几种，如可分离变量法、齐次方程法、线性方程法等。
可分离变量法是最常见的解一阶微分方程的方法。
首先，将方程中的dy和dx分开，并移项得到：\[dy=f(x,y)dx\]然后，将dy与dx移到等号两侧，并将x和y分别提取到一侧得：\[\int\frac{{dy}}{{f(x,y)}}=\int dx+C\]其中C为常数。
然后，对两边分别求不定积分，并将等式两边的常数合并得到最终的解。
齐次方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)\]的方程的方法。
其基本思路是将方程转化为\[\frac{{dy}}{{dx}}=\phi(\frac{{y}}{{x}})\]的形式，其中\(\phi(u)=f(1,u)\)。
解这个齐次方程后，再通过变量替换将解转化为原方程的解。
线性方程法是解决形如\[\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)\]的方程的方法。
线性方程法的基本思路是将方程中的非线性部分转化为线性的部分，然后利用已知的线性微分方程的解的性质得到方程的解。
一般情况下，可以利用积分因子法将方程转化为线性方程。
二阶微分方程：二阶微分方程是指未知函数的导数包含了一阶和二阶导数的微分方程。
一般形式如下：\[\frac{{d^2 y}}{{dx^2}}=f(x,y,\frac{{dy}}{{dx}})\]其中f(x,y,y')为已知函数。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结1. 常微分方程的定义：常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为：dy/dx=f(x,y)。
其中，y为未知函数，x为自变量，f为已知函数。
2.常微分方程的分类：常微分方程可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程包含未知函数的一阶导数，高阶常微分方程则包含未知函数的高阶导数。
3.一阶常微分方程的解法：一阶常微分方程的解法有几种常见的方法。
一种是分离变量法，即将方程两边进行变量分离，然后进行积分。
另一种是齐次方程法，将方程进行变量替换后化为齐次方程，然后进行求解。
还有一种是线性方程法，将方程化为线性方程，然后进行求解。
4.高阶常微分方程的解法：对于高阶常微分方程，常用的方法是特征根法。
通过求解其特征方程得到特征根，然后根据特征根的个数和重数，确定齐次线性微分方程的通解形式。
再根据待定系数法确定非齐次线性微分方程的一个特解，进而得到非齐次线性微分方程的通解。
5.常微分方程的初值问题：常微分方程的初值问题指的是给定一个初始条件，求解满足该条件的函数。
在求解过程中，需要将初始条件代入方程，得到特定的常数，从而确定唯一的解。
6.常微分方程的数值解法：对于一些难以求解的常微分方程，可以采用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、亚当斯法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后进行迭代计算，逼近微分方程的解。
7.常微分方程的稳定性分析：稳定性分析是研究常微分方程解的长期行为。
可以通过线性化理论、相图等方法进行稳定性分析。
线性化理论通过线性化方程，判断非线性常微分方程解的稳定性。
相图是一种可视化的方法，通过绘制解的轨迹图，观察解的长期行为。
8.常微分方程的应用：常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，常微分方程可以描述运动学问题、电路问题等。
在工程学中，可以应用于控制系统、电力系统等。
在生物学中，可以用于建立生物模型、研究生物过程等。
总结起来，常微分方程是数学中的一门重要学科，研究的是包含未知函数及其导数的方程。
大学数学易考知识点微积分和常微分方程
大学数学易考知识点微积分和常微分方程微积分和常微分方程是大学数学中的重要知识点，也是易考的内容。
在学习这两个知识点时，我们需要掌握一些重要的概念、方法和定理。
本文将重点介绍微积分和常微分方程的相关知识，并给出一些解题技巧和例题，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、微积分微积分是研究函数的变化规律的数学分支，包括极限、导数和积分。
以下是我们常见的微积分知识点：1. 极限：极限是函数近似取值的概念，通常用于定义导数和积分。
在计算极限时，我们需要掌握常见的极限运算法则，如常数法则、加法法则、乘法法则和除法法则等。
此外，还需要注意一些特殊的极限计算方法，如利用夹逼定理和洛必达法则等。
2. 导数：导数是函数变化率的衡量指标，表示函数在某一点的瞬时变化率。
我们熟知的导数运算法则包括基本导数公式、常见函数的导数公式（如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等）以及导数的运算法则（如和差法、积法和商法）等。
求导数时需要灵活运用这些法则，并注意求导的链式法则和隐函数求导的方法。
3. 积分：积分是导数的逆运算，表示函数的累积变化量。
常见的积分公式包括基本积分公式、换元积分法和分部积分法等。
在应用积分时，还需要注意定积分和不定积分的区别，以及积分的性质和应用，如面积计算、曲线长度计算和物理应用等。
以上是微积分的一些基础知识，掌握了这些内容后，我们可以进一步学习微积分的应用，如最值问题、曲线图像的分析和曲线的曲率等。
下面，我们将重点介绍常微分方程的相关知识。
二、常微分方程常微分方程是描述自变量（通常是时间）和函数关系的微分方程。
在应用数学和物理学中具有广泛的应用。
以下是我们常见的常微分方程知识点：1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指导数的最高阶数为一阶的常微分方程。
常见的一阶常微分方程类型包括可分离变量方程、一阶齐次线性方程和一阶线性方程等。
我们需要掌握求解这些方程的方法，如分离变量法、齐次法、线性法和常数变易法等。
第六讲 常微分方程
第六讲 常微分方程 一 知识点详解（一）常微分方程的概念 1内容展开（1） 定义：含有未知一元函数及其导数和自变量的方程称为常微分方程，简称微分方程 （2） 微分方程的阶：微分方程中含有的未知函数的导数色最高阶称为微分方程的阶 （3） 微分方程的解：1） 解得定义：将()y f x =带入微分方程，使方程称为恒等式，则称()y f x =是微分方程的解 2） 通解：微分方程的解中含有自由常数，且含独立自由常数的个数等于微风方程的阶数，则称该解为通解3） 特届：不含任意常数的解称为微分方程的特解。
求特解时，初始条件的个数等于微分方程的阶数 （二）一介微分方程 1 内容展开（1）变量可分离微分方程 1）方程形式()()'y f x g y =2) 解法 当()0g y ≠时，()()()()'dyy f x g y f x dx g y =⇔= 两边求不定积分()()dy f x dx C g y =+⎰⎰其中拨C 为任意常数，其中()dyg y ⎰表示函数()1g y 的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数若0y 使()00g y =，则0y y =也是原方程的一个特解注：①尽可能把y 写成x 的函数，也尽可能把y 从对数中“解脱”出来 ②不要漏掉()00g y =这种常数解 （2）齐次微分方程 1）方程形式 'y y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭2）解法 令y u x =由于''y u xu =+，所以微分方程'y y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭变为()()'1u f u u x =-，这是关于未知函数u 的一个变量可微分方程，由此方程解得未知函数()u u x =，进而得到微分方程的解()()y x xu x =（3）一阶线性微分方程 1）方程形式 ()()'y p x yq x +=当右端项()q x 恒为零时称其为一阶齐次线性微分方程，否则称其为一阶非齐次线性微分方程 2）解法()()()p x dx p x dy y e q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ (4)伯努利方程1）方程形式 形如()()()',0,1n y p x y q x y n +=≠2）解法 令1n u y -=，则伯努利方程变为()()()()'11u n p x u n q x +-=-，这是关于未知函数()u u x =的一个一阶线性微分方程 （5）全微分方程1）方程形式 ()(),,0p x y d x Q x y d y+=，若P Qy x∂∂=∂∂，该方程称为全微分方程 2）解法()()()()00,,,,x y x y P x y dx Q x y dy C +=⎰2 记忆方法（1）齐次微分方程和一阶齐次线性微分方程最终都要化为变量可分离微分方程求解 （2） 齐次微分方程的基本方法是：令y u x=; (3) 一阶非齐次线性微分方程的求解就是记公式 3 例题讲解【例6.1】微分方程()'1y x y x-=的通解是（） 解析：可分离变量微分方程()()11,y x x dy dy dx dx x y x--== 1,dy dx dx y x =-⎰⎰⎰即ln ln y x x C =-+所以xy Cxe -=【例6.2】微分方程'2ln xy y x x +=满足()119y =-的解为（） 解析： 将'2ln xy y x x +=化为'2ln y y x x+=带入通解公式得 222ln 2ln ln ln dx dxx x x x y e x e C e x e dx C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=⋅+=⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰221ln x xdx C x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 2ln 39x x C x x=-+由()119y =-求得0C =所以1ln 33x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【例6.3】 微分方程312dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y=（）解析：令y ux =，有dy du u x dx dx =+原方程化为312du u x u u dx +=-即 32du dx u x =-，积分得21ln x C u =+即22ln x y x C=+ 由于1,1,x y ==得C=1，所以得解y =（三）可降阶微分方程 1内容展开 （1） 方程()()n yf x =求n 次定积分得解（2） 方程()''',y f x y =这类方程的特点是不显含未知函数y ，显含自变量x ，令()'p x y =，则微分方程()''',y f x y =变为()',p f x p =，这是关于()p p x =的一个一阶微分方程（3） 方程()''',y f y y =这类方程的特点是不显含自变量x ，显含未知函数y ，令()'p y y =，则2'2d y d p d p d y p p d x dx dy dx===，因此微分方程()''',y f y y =变为()',p p f y p =这是一个以y 为自变量，()p y 为未知函数的一阶微分方程2记忆方法1） 方程形如()''',y f x y =时，令()'p x y = 2） 方程形如()''',y f y y =时，令()'p y y =3例题讲解【例6.4】微分方程()2'''0yy y+=满足初始条件'011,2x x yy ====的特解是（） 解析：令''',d p d p d y d p y p y p d x d y d x d y ===⋅=原方程化为：20dp yp p dy+=得00dpp yp dy=+=或 0p =不满足初始条件'01x y ==舍弃0dpyp dy +=按分离变量法解之得1C p y=由初始条件'012x y ==解得112C =于是得12dy dx y=解之得22y x C =+以'01x y ==带入，得21C =且取+号所以y =（四）二阶线性微分方程解得性质1内容展开()()()'''y p x y q x y f x ++= ①非齐次()()'''0y p x y q x y ++= ②齐次（1） 若12,y y 是②得解，则123c y c y +也是②的解，其中12,c c 为任意常数 （2） 若12,y y 是②得两个线性无关的解12y c y ⎛⎫≠⎪⎝⎭，则1122yc y c y =+ 是②的通解 （3） 若12,y y 是①的解，则12y y -为②得解（4） 若y是②的通解，*y 是①的特解，则*y y y =+ 是①的通解 （5） 若*1y 是()()()'''1y p x y q x y f x ++=得解，*2y 是()()()'''2y p x y q x y f x ++=的解，则**12y y +是()()()()'''12y p x y q x y f x f x ++=+得解 2记忆方法与线性代数中方程组得解的理论是类似的 3例题讲解 无（五） 高阶常系数线性微分方程 1 内容展开（1） 二阶常系数齐次线性微分方程1） 方程形式 '''0y ay by ++=，其中a,b 是常数 2） 解法（特征方程法）方程20a b λλ++=称为它的特征方程，特征方程的根12,λλ称为它的特征根 ①当12λλ≠且均为实数时，微分方程的通解是()1212xxy x C e C eλλ=+②当12λλ=时，微分方程的通解是()1112xxy x C e C xe λλ=+③当1,2i λαβ=±时，微分方程的通解是()()12cos sin x y x e C x C x αββ=+ （2） 高于二阶常系数齐次线性微分方程方法和二阶常系数线性微分方程类似（3） 二阶常系数非齐次线性微分方程 1） 方程形式()'''y ay by f x ++=2） 解法：由解得性质知，需找到对应齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，下找特解： ①右端项为()xn f x Pe μ=其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()*k x n yx x Q x e μ=，其中A) ()1110nn n n n Q x a x a xa x a --=++++ ，为n 次多项式的一般形式；B) k 的取值：当μ不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当μ是'''0y ay by ++=的单特征根时，k=1 当μ是'''0y ay by ++=的复特征根时，k=2 将()()*k x n yx x Q x e μ=代入微分方程()'''xn y a y b y P x e μ++=求出特定系数(),0,1,2,3,k a k n =②右端项为()()cos xn f x e P x x αβ=的方程，其中()n P x 为n 次多项式设方程的特解形式为()()()*cos sin k x n n yx x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦其中“A ）()1110,nn n n n Q x a x a x a x a --=++++ ()1110,n n n n n W x b x b x b x b --=++++B)k 的取值：当i αβ±不是'''0y ay by ++=的特征根时，k=0 当i αβ±是'''0y ay by ++=的特征根时，k=1 将()()()*cos sin k x n n y x x e Q x x W x x αββ=+⎡⎤⎣⎦代入()'''c o s x n y a y b y eP xαβ++=求出待定系数(),0,1,2k k a b k n =注：数三只要求自由项为多项式函数，指数函数，正炫函数，余弦函数的二阶常系数非齐次方程 2记忆方法（1） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数和kx （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ中的μ的作为特征根的重数）（2） 方程右端含有三角函数时，所设特解中有与微分方程右端项中最高次幂相同的多项式函数，相同的指数函数，相同系数正炫函数与余弦函数，和k x （k 的取值取决于右端项中的指数函数x e μ和三角函数()cos sin x x ββ和中的i αβ±是否为特征根）3例题讲解【例6.5】求微分方程'''2432x y y y e -+=的通解解析：与所给方程对应的齐次线性微分方程为'''430y y y -+=它的特征方程为2430r r -+=得特征根121,3r r ==所以，对应齐次线性微分方程的通解为312x x Y C e C e =+由于2不是特征方程的根，故设该非齐次线性微分方程的特解为*2xy Ae=，将()()'''*2*2*2,2,4x x xy Ae y Ae y Ae ===带入原方程，有222244232x x x x Ae Ae Ae e -⋅+=解得2A =-所以*22x y e =-所以，原方程通解为*32122x x x y Y y C e C e e =+=+- （六） 欧拉方程 1内容展开（1） 方程形式 形如()2'''x y axy by f x ++=的微分方程称为2阶欧拉方程，其中a ，b是常数（2） 解法，当0x >时，令'x e =，欧拉方程变为()2'2(1)d y dya by f e dt dt+-+=，这时一个以t 为自变量，y 为未知函数的2阶线性常系数微分方程当0x <时，作变量代换'x e =-，可类似求解 2记忆方法当0x >时令'x e =；当0x <时，令'x e =- 3例题讲解 无 （七） 差分方程 1内容展开 （1）定义一阶常系数齐次线性差分方程 10t t y ay ++=一阶常系数非齐次线性差分方程 ()1t t y ay f t ++=其中()f t 为已知常数，a 为非零常数 （2）其次差分方程的通解通过迭代，并由数学归纳法可得一阶常系数齐次线性差分方程的通解为：()()tC y t C a =⋅-其中C 为任意常数（3） 非齐次差分方程的解得性质1） 若*y 是非齐次差分方程的一个特解，()C y t 是齐次差分方程的通解，则非齐次差分方程的通解为()*t C t y y t y =+2） 若1t y y 和分别是差分方程()11t t y ay f t ++=和()12t t y ay f t ++=的解，则1t y y +是差分方程()()112t t y ay f t f t ++=+得解 （4） 非齐次差分方程的特解形式非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式的设定如下表2记忆方法其次差分方程1t t y ay ++的通解为()()tC y t C a =⋅- 非齐次差分方程()1t t y ay f t ++=的特解*t y 形式设定如下3例题讲解【例6.6】差分方程121050t t y y t ++-=的通解为（） 解析：原方程的一般形式为1552t t y y t ++=对应的其次差方程为150t t y y ++=，其通解为()()'5C y t C =-（C 为任意常数）()52f t t =是t 的一次多项式且51a =≠-，故设原方程的特解*t y At B =+带入原方程得()()5152A t B At B t ++++=即5662At A B t ++=比较系数知 55,1272A B ==-故*51126t y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而原差分方程的通解为()()'*515126t C t y y t y C t ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭三 典型例题【例6.7】设函数()y x 连续，求解方程：()()2012xy s ds y x x +=⎰1） 分析：题目中遇到变项积分一般都是要求导数的 2） 解析：易判断()y x 可导，等式两端对x 求导得：()()'122y x y x x +=在原方程中令()000x y ==得从而得初值问题()'2400y y xy ⎧+=⎪⎨=⎪⎩这是含初始条件时的一阶非齐次线性微分方程，由公式有：222421dx dx xy e xe C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=-+ ⎪⎝⎭⎰代入初始条件()001y C =⇒=所以221x y x e -=-+3） 备注：变限积分与微分方程综合考察时，注意确定初始条件，方法—令积分上下限取值相同 【例6.8】求微分方程''cos y y x x +=+1） 分析：自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程的特解利用解得叠加原理 2） 解析：原方程对应的 齐次方程''0y y +=的特征方程为210λ+=，特征根1,2,i λ=±故齐次方程的通解为12cos sin yC x C x =+ 设非齐次方程''y y x +=的特解为1y Ax B =+代入方程，得A=1，B=0所以1y x = 设非齐次方程''cos y y x +=的特解为2c o s s i n y Ex x Dx x =+代入方程得10,2E D ==所以21sin 2y x x = 由于12y y +为原方程''cos y y x x +=+的一个特解，所以原方程的通解为12121cos sin sin 2y yy y C x C x x x x =++=+++ 3）备注：数学三不要求自由项是函数之和时二阶常系数非齐次线性微分方程，但大家要学会自由项为一项时的二阶常系数非齐次线性微分方程，即数学三考生要学会解微分方程''y y x +=和''cos y y x +=。
常微分函数知识点总结
常微分函数知识点总结常微分函数是微分方程中的一种特殊类型，它是指一个未知函数的微分与它本身的函数关系。
在数学中，微分方程是描述自然现象变化规律的重要工具，因此常微分函数也是微分方程研究的重要对象之一。
在此，我们将对常微分函数的基本概念、性质和解法等进行总结。
常微分函数的基本概念首先，我们来了解一下常微分函数的基本概念。
常微分方程是指一个未知函数的导数与函数本身之间的关系式，这种导数与未知函数本身之间的关系便是常微分函数。
常微分函数的一般形式可以写为：y’ = f(x, y)其中，y为未知函数，x为自变量，f(x, y)为关于x和y的函数。
在常微分函数中，y’称为函数y的导数，它表示y随着x的变化而变化的速率。
而f(x, y)则是一个关于x和y的函数，它描述了y的导数与y本身之间的关系。
常微分函数的一个重要特点是未知函数y的导数与未知函数y本身的关系是隐式的，它不是通过解析式具体表达的。
常微分函数的解法在解常微分函数时，最常用的方法之一是分离变量法。
分离变量法是将未知函数y的导数与未知函数y本身的关系式进行变换和分离，最终得到一个可以通过积分求解的方程。
接下来，我们以一个简单的一阶常微分方程为例来说明分离变量法的解法：dy/dx = x/y我们可以将方程变形为：ydy = xdx然后对两边同时积分，得到：∫ ydy = ∫ xdx解得：1/2 * y^2 = 1/2 * x^2 + C其中，C为积分常数。
最终解得未知函数y与自变量x之间的关系式：y = ±√(x^2 + C)这便是通过分离变量法解出的常微分函数的解。
常微分函数的性质除了解法外，常微分函数还具有一些重要的性质。
其中，一个重要的性质是存在唯一性定理。
唯一性定理是指若常微分方程满足一定的 Lipschitz 条件，则它的解在一定的条件下是唯一的。
这个定理对于常微分方程的解的存在性和唯一性提供了重要的保证，极大地推动了常微分方程的理论研究和应用。
常微分方程相关知识点大一
常微分方程相关知识点大一常微分方程是数学中的一个重要分支，是描述自然界中各种现象的数学模型。
在大一的学习中，常微分方程也是数学课程中的重点内容之一。
本文将介绍常微分方程的相关知识点，帮助大一学生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述未知函数与其导数之间关系的方程。
通常表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知的函数。
常微分方程的解是满足方程的函数，可以通过积分等数学方法求解。
二、常微分方程的分类常微分方程可以分为几个主要的类型，常见的有一阶线性方程、一阶可分离变量方程、二阶线性齐次方程等。
1. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解一阶线性方程可以通过积分因子法、变量代换法等方法。
2. 一阶可分离变量方程一阶可分离变量方程的一般形式为dy/dx=g(x)/h(y)，其中g(x)和h(y)都是已知的函数。
求解可分离变量方程可以通过分离变量、分别积分等方法。
3. 二阶线性齐次方程二阶线性齐次方程的一般形式为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)都是已知的函数。
求解二阶线性齐次方程可以通过特征方程、常数变易法等方法。
三、常微分方程的初值问题初值问题是指在方程中给出了未知函数在某一点的值和导数的值，求解该点附近的解。
对于一阶常微分方程，初值问题可以通过直接代入初值，得到特定的解。
对于高阶方程，可以通过降阶等方法求解出整个解。
四、常微分方程的应用领域常微分方程是数学中的一种工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
常微分方程可以描述弹簧振子、电路等自然界中的现象，通过求解方程可以得到系统的运动规律，为科学研究和工程设计提供理论支持。
五、常微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法通过解析方法求得解析解。
这时可以利用数值解法来求得近似解。
常微分方程知识点
常微分方程知识点常微分方程是微积分的一个重要分支，是描述物理、生物、经济等各类现象的一种数学模型。
常微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍常微分方程的基本概念、解的存在唯一性、一阶常微分方程和高阶常微分方程等知识点。
1.基本概念：常微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。
常微分方程可以分为初值问题和边值问题。
初值问题是给定了函数在特定点的初始值和导数，要求求解函数在整个定义域上的表达式；边值问题是给定了函数在两个点的值，要求求解函数在这两个点之间的表达式。
2.解的存在唯一性：对于一阶常微分方程的初值问题，如果方程的右端函数在整个定义域上连续且满足利普希茨条件，那么方程存在唯一解。
其中利普希茨条件是指有一个正数L，使得对于任意t和s，满足，f(t)-f(s)，≤L，t-s。
3.一阶常微分方程：一阶常微分方程描述的是未知函数y与其一阶导数y'之间的关系。
一阶常微分方程的一般形式为dy/dt = f(t, y)，其中f(t, y)是已知函数。
一阶常微分方程的解可以通过分离变量、线性方程、齐次方程和恰当方程等方法求解。
4.高阶常微分方程：高阶常微分方程描述的是未知函数与其高阶导数之间的关系。
高阶常微分方程的一般形式为d^n y/dt^n = F(t, y, y', ..., y^n-1)，其中F(t, y, y', ..., y^n-1)是已知函数。
高阶常微分方程的解可以通过代数法、特征方程和待定系数法等方法求解。
5.变量分离方法：当一阶常微分方程的右端可以写成g(y)·h(t)的形式时，可以使用变量分离方法求解。
将方程改写为1/g(y) dy = h(t) dt，然后对两边分别积分得到∫1/g(y) dy = ∫h(t) dt，从而求得y的表达式。
6.线性方程方法：当一阶常微分方程可以写成y'+p(t)y=q(t)的形式时，可以使用线性方程方法求解。
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第一章 绪论
什么是线性微分方程：形如)()()()(y 1)1(1)(x f y x a y x a y x a n n n n =+'+++-- 的微分方程，即y 及y 的各阶导数都是一次有理整式，即不含y 及y 的各阶导数的乘积的微分方程叫：线性微分方程。
第二章 一阶微分方程的初等解法
§ 2.1 变量分离方程
1、形式：)()(y x f dx
dy ϕ= 做题步骤：① 0)(≠y ϕ 可将方程改写为：
dx x f y dy )()(=ϕ，这样对两边积分：⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ，得出方程的通解，但c 要保证积分式有意义 ② 0)(=y ϕ时，求出0y y = 也是方程的解
2、y x P dx
dy )(=得dx x P ce y ⎰=)( (2.4) 而0=y 也是方程的解，而若(2.4)允许c=0，则y=0也在(2.4)中，故(2.4)是原方程的通解，其中c=0。
3、齐次方程：
)(x
y g dx dy = (2.5) 做变量变换x y u =，即ux y =，则u dx du x dx dy +=，整理后为：x u u g dx du -=)(，即为变量分离方程。
同时要注意：将一个方程转化为齐次方程求解时，两个方程是否同解（c 的范围是否相同）
4、2
22111c y b x a c y b x a dx dy ++++= (2.13) 做题步骤：①
k c c b b a a ===212121（常数），通解：c kx y += (c 为任意常数) ② 2
12121c c k b b a a ≠==，令y b x a u 22+=，有212222c u c ku b a dx dy b a dx du ++++=+=，为变量分离方程 ③ 2
121b b a a ≠，如果没有常数21c c 、，则很容易变成齐次方程做，（体会：）让分子分母都为零，则为两条曲线⎩⎨⎧=++=++00222
111c y b x a c y b x a (2.14)，两条曲线相交的交点为),(βα，而没有那两个常数时方程为都过原点的形式，因此过原点的这两直线可视为原坐标系平移后原直线在新坐标系下的坐标，令⎩⎨⎧-=-=β
αy Y x X ，(2.14) 变为
⎩⎨⎧=+=+0022
11Y b X a Y b X a ，从而 (2.13) 变为)(2211X Y g Y b X a Y b X a dX dY =++=，
§ 2.2 线性微分方程与常数变易法
1、
)()(x Q y x P dx
dy += (2.28) 做题步骤：① 考虑y x P dx
dy )(=，求出它的通解为：⎰=dx x P ce y )(；② 常数变易变为：⎰=dx x P e x c y )()((2.29) ③ 求微分得：⎰
+⎰=dx x P dx x P e x P x c e dx
x dc dx dy )()()()()( (2.30) ，④ 将(2.29)和(2.30)代入(2.28)，得到： ⎰=-dx x P e x Q dx x dc )()()(，⑤ 积分后得到⎰'+⎰
=-c dx e x Q x c dx x P )()()(，于是得到方程(2.28)的通解为： ))(()()(⎰'+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x P dx x P
2、伯努利微分方程n y x Q y x P dx
dy )()(+= 做题步骤：① 两边同除以n y ，得到)()(1x Q x P y dx dy y
n n +=--，② 设n y z -=1，得dx dy y n dx dz n --=)1( ③ 于是原方程变为：)()1()()1(x Q n z x P n dx
dz -+-=，即为线性微分方程 § 2.3 恰当微分方程与积分因子
1、恰当方程形式：0),(),(=+dy y x N dx y x M （M 、N 在已知区域上连续且具有一阶连续偏导数）
推理过程：① 若已知此微分方程是恰当方程能推出什么？先设原函数为),(y x u y
x u y N x y u y M ∂∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂22、 由条件得：y
x u x y u ∂∂∂=∂∂∂22即x N y M ∂∂=∂∂ ② 那么反过来若由它俩相等能否推出方程是恰当方程？ 从x u M ∂∂=出发，两边同时求积分：⎰⎰∂∂==x u Mdx u +c ，但c 若是常数那么？则应为：⎰⎰+=∂∂=)(y Mdx dx x u u ϕ ③ 对u 关于y 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰
ϕ，如何证明等式左边等于右边（方程有意义），即右边也与x 无关即只与y 有关？ 对右边关于x 求偏导
0=∂∂-∂∂=∂∂∂∂-∂∂⎰y M x N dx y M x x N （因为证充分，则y M x N ∂∂=∂∂为已知）④ 两端积分：dy Mdx y N y ⎰⎰
∂∂-=)()(ϕ，于是⎰⎰⎰∂∂-+=)(dy y M N Mdx u 做题步骤：① 先设u(x,y)，② 证明x
N y M ∂∂=∂∂，③ 从M 出发对方程两端同时求积分得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰，④ 对u 求偏导：),()(y x N y Mdx y y u ='+∂∂=∂∂⎰
ϕ，⑤ 两边积分得dy dx y M N y ⎰⎰∂∂-=)()(ϕ，⑥ 得⎰⎰⎰∂∂-+=dy dx y M N Mdx u )(。