北师大版1.2 直角三角形 同步训练题(含答案) (2)
1.2 一定是直角三角形吗 北师大版数学八年级上册同步练习(含解析)
1.2 一定是直角三角形吗一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．B．C．D．2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）A．与B．与C．与D．以上都不正确3．在中，若，，，则（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（ ）A．120B．160C．216D．965．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形二、填空题9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．10题图 11题图 14题图11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.三、解答题17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．18．在中，D是边上的点，，，，．（1）求证：是直角三角形；（2）求的长．19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．求：△ABD的面积．20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：（1）第二组同学行走的方向如何?（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇?22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.参考答案1．C【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．【详细解答】∵,,,∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;∵,,,∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;∵,,,∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;∵,,,∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;故选:C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．B【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．【详细解答】解：∵b2-a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴∠C与∠A互余．故选：B．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．3．C【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．故选：C．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．【详细解答】.①，故不是成为直角三角形的必要条件，故=58°，∠C=180°－∠A－【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，∴BC2 +AB2= AC2，∴△ABC是直角三角形.故选B.【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 9．4【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．【详细解答】解：，三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，这个三角形中最短边上的高为4，故答案为：4．【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．11．2【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．考点：勾股定理的逆定理，化简得：，m=2,，或（舍去）．【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为则解得则这个三角形的三边长分别为又这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为则它的面积是故答案为：．【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,故答案为25.15．【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；∵米，而13 ²=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．故小白兔第一次左拐的角度是90°.16．【解析】【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c−b=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.17．四边形ABCD的面积是36【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．【详细解答】解：连接，∵AB=3，BC=4，，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC===5．=AB+AC =×3×4+×5×12=36ABCD的面积是36==9【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出BC===16=×7×12=42勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，非负数的性质点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.21．（1）正东或正西；（2）小时.【解析】【思路点拨】对于（1），先分别求出两个小组走的路程，再根据勾股定理的逆定理即可作出判断；对于（2），根据“路程和÷速度和=相遇的时间”列式计算即可求解.【详细解答】（1）因为，所以两组同学行走的方向成直角.因此，第二组同学行走的方向为正东或正西.（2）根据题意，得（小时）.即两组同学经过小时后相遇.【方法总结】此题考查勾股定理的逆定理的运用，牢记定理是解题的关键.22．，.【思路点拨】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．【详细解答】∵n=3时,a=2×3=6,b=32−1=8,c=32+1=10，n=4时,a=2×4=8,b=42−1=15,c=42+1=17，故答案为，.【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律。
直角三角形(1)八年级数学下册同步备课系列(北师大版)
=
c2+4
1 2
ab
，
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
讲授新课
2．赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b－a．)2
c a
b
b
b
b
c
c
∵ c2= 4 1 ab +(b－a)2，
2
c2 =2ab+b2－2ab+a2， c2 =a2+b2， ∴ a2+b2=c2.
观察上面两个定理,它们的条件与结论之间有怎样的关系?
讲授新课
再观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 三角形中相等的边所对的角相等, 三角形中相等的角所对的边相等. 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似 的关系吗?与同伴进行交流.
解：原式可化为： a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 (a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 a=5,b=12,c=13. a2+b2=c2 ∴△ABC是直角三角形
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16.指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余.
4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( A )
A.3,4,5
B.2,3,4
C.4,6,7
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》解答题专题提升训练(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》解答题专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，连接EM，DM，判断△EDM的形状，并说明理由．2．如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12．（1）如图1，AD＝；（2）如图2，①求证：△DEF为等边三角形；②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长．3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，D为BC上一点，连接AD．（1）求S△ABC；（2）若∠BAD＝45°，求证△ACD为等腰三角形；（3）若△ACD为直角三角形，求∠BAD的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠A＝30°，BC＝2．（1）求AB的长度；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长度．6．如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF 于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB 的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD；（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．9．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．（1）求证：DE⊥CF；（2）求证：∠B＝2∠BCF．10．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若∠BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE垂直于AB于点E，D是AB的中点．（1）求证：AE＝ED；（2）若AC＝2，求DE的长．12．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC边上的垂直平分线DE交AB 于点D，交AC于E．求：（1）∠BCD的度数；（2）若DE＝3，求AB的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE 交AC的延长线于点E，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠D的度数．14．如图．在直角三角形BCD中，∠D＝90°，∠DBC＝15°，点A在直角边BD上，连接AC，AB＝AC＝4．求CD的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．（1）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．（2）在（1）的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．16．如图，△ABD是边长为2的等边三角形，点C为AB下方的一动点，∠ACB＝90°．（1）若∠ABC＝30°，求CD的长；（2）求点C到AB的最大距离；（3）当线段CD的长度最大时，求四边形ACBD的面积．17．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE 交BC的延长线于点F．（1）求∠DFE的度数．（2）若CD＝8，求DF的长．18．如图△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．（1）求证：EF＝AB；（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？20．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CF A＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．参考答案1．（1）证明：连接ME，MD．∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME＝BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△EDM是等边三角形．2．解：（1）过D作DG⊥AB于G，∵AD＝BD，∠ADB＝120°，∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6，∴AD＝2GD，∵AD2＝GD2+AG2，∴4CD2＝GD2+62，∴GD＝2，∴AD＝4，故答案为：4；（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，∵CF＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∵∠CFB＝120°，∴∠FCB＝∠FBC＝30°，同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBC，∴AD∥EC∥BF，同理AE∥CF∥BD，∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，∴EC＝AH，BF＝HD，∵AE＝EC，∴AE＝AH，∵∠HAE＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，∴∠DHE＝120°，∴∠DHE＝∠FCE．∵DH＝BF＝FC，∴△DHE≌△FCE（SAS），∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴∠DEF＝∠CEH＝60°，∴△DEF是等边三角形；②如图3，过E作EM⊥AB于M，∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，∴∠ACD＝60°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠DBC＝30°，∴CD＝BC＝AC，∵AB＝12，∵AC＝8，BC＝CD＝4，∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，∴∠ECD＝30°+60°＝90°，∵AE＝CE，∴CM＝AC＝4，∵∠ACE＝30°，∴CE＝，Rt△DEC中，DE＝＝＝，由①知：△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝，故答案为：．3．（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点，∴MD＝ME＝BC，∴点N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等边三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM＝BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中点，∴DN＝DE＝3，∴MN＝＝3．4．（1）解：过A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝90°，∵AB＝AC＝2，∠B＝30°，∴AE＝AB＝1，∵AB＝AC＝2，AE⊥BC，∴BC＝2BE，由勾股定理得：BE＝＝＝，∴BC＝2BE＝2，∴S△ABC＝＝2×1＝；（2）证明：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∵∠BAD＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+45°＝75°，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴△ACD是等腰三角形；（3）解：分为两种情况：①∠DAC＝90°时，∵∠C＝∠B＝30°，∴∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝60°﹣30°＝30°；②当∠ADC＝90°时，∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；即∠BAD的度数是30°或60°．5．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵BC＝2，∴AB＝4；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理得，AC＝＝＝2，∴S△ABC＝×BC×AC＝×2×2＝2；（3）∵S△ABC＝×AB×CD＝2，AB＝4，∴×4×CD＝2，解得CD＝．6．解：连接BD，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AD＝CD，∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，∴∠E＝∠F＝90°，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．7．解：MN⊥AC，证明：连接AM，CM，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，∴AM＝，CM＝BD，∴AM＝CM，∵N为AC的中点，∴MN⊥AC．8．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，∴MC＝AB，MD＝AB，∴MC＝MD；（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC＝60°，∴∠BMC+∠AMD＝120°，∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，∴∠BAO+∠ABO＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．9．证明：（1）连接DF，∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°，∵点F是AB的中点，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF；（2）∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC，∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B，∴∠B＝2∠BCF．10．解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6，∴DE＝AB＝4，DF＝AC＝3，AE＝4，AF＝3，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝14；（2）△ABC的面积＝×AB×AC＝24，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴△ADE的面积＝△BDE的面积，△ADF的面积＝△CDF的面积，∴四边形AEDF的面积＝×△ABC的面积＝12．11．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB，∴AC＝CD，∵CE垂直于AB于点E，∴AE＝ED；（2）解：∵AC＝CD＝AD＝AB，∴△ACD是等边三角形，∴AC＝AD＝AC＝2，∵CE⊥AD，∴DE＝AE＝1．12．解：（1）∵AC边上的垂直平分线是DE，∴CD＝AD，DE⊥AC，∴∠A＝∠DCA＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝90°﹣30°＝60°，（2）∵∠B＝60°∴∠BCD＝∠B＝60°∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD＝AB，∵DE＝3，DE⊥AC，∠A＝30°，∴AD＝2DE＝6，∴AB＝2AD＝12．13．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠ABC＝62°，∴∠CBD＝180°﹣62°＝118°，∵BE平分∠CBD，∴∠EBC＝∠CBD＝59°，∴∠ABE＝62°+59°＝121°，∵DF∥BE，∴∠D＝∠ABE＝121°．14．解：∵AB＝AC＝4，∴∠B＝∠ACB＝15°，∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝30°，∵∠D＝90°，∴CD＝AC＝2．15．解：（1）EF＝CF．证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是斜边AD的中点，∴EF＝AD，CF＝AD，∴EF＝CF；（2）连接CE，由（1）得EF＝AF＝CF＝AD＝3，∴∠FEA＝∠F AE，∠FCA＝∠F AC，∴∠EFC＝2∠F AE+2∠F AC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，∴CE＝＝＝．16．解（1）∵△ABD是等边三角形，∠DBA＝60°，又∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵∠ACB＝90°，AB＝2，∴BD＝AB＝2，AC＝AB＝1，BC＝＝，∴CD＝＝＝．∴CD的长为．（2）取AB的中点E，连接CE，∵∠ACB＝90°，AB＝2，CE＝AB＝1．又点C为AB下方的一动点，∴当CE⊥AB时，点C到AB的距离最大为1．（3）连接DE，∵△ABD为等边三角形，∴DE⊥AB，∵BD＝AB＝2，∴DE＝＝＝，根据三角形三边关系CD≤CE+DE＝1+，即C，D，E共线时，CD最大，∴CD的最大长度为1+，此时CD⊥AB，四边形ABCD的面积为AB•CD＝×2×（1+）＝1+，∴四边形ABCD的面积为：1+．17．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠DFE＝30°．（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF，由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝8．又∵CE＝CF，∴CF＝8．∴DF＝DC+CF＝8+8＝16．18．证明：（1）连接BE，∵DB＝BC，点E是CD的中点，∴BE⊥CD．∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，∴EF＝；（2）[方法一]在△ABG中，AF＝BF，AG∥EF，∴EF是△ABG的中位线，∴BE＝EG．在△ABE和△AGE中，AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴△ABE≌△AGE；[方法二]由（1）得，EF＝AF，∴∠AEF＝∠F AE．∵EF∥AG，∴∠AEF＝∠EAG．∴∠EAF＝∠EAG．∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴△ABE≌△AGE．19．解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．20．解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CF A；∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA＝180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．∵∠BCA＝180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CF A，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF﹣CE，∴EF＝|BE﹣AF|．（2）猜想：EF＝BE+AF．证明过程：∵∠BEC＝∠CF A＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CF A+∠CAF+∠ACF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF（AAS）．∴BE＝CF，EC＝F A，∴EF＝EC+CF＝BE+AF．。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合题训练
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合压轴题专项训练试题1、如图,MN是表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500 米为半径的圆形区域为居民区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400米,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区?2、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC.(1)求sin B的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F.求支架DE的长．3、如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．4、小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图∶)，图∶是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O ，B ，D 两点立于地面，经测量：AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ，OE ＝OF ＝34 cm ，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段，且EF ＝32 cm (参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan 28.1°≈0.534)．(1)求证：AC ∶BD .(2)求扣链EF 与立杆AB 的夹角∶OEF 的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在晒衣架上的总长度达到122 cm ，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．5、如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的点B 处安置测角仪，在点A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长(结果保留根号)．6、如图，两条笔直的公路AB CD 、相交于点O ，AOC ∠为36°，指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米．一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：sin360.59cos360.81tan360.73===°，°，°．】7、在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度和占地面积，如图1—136(1)所示，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为锐角θ，一般情况下，锐角θ愈小，楼梯的安全程度愈高，但占地面积较多，如图l—136(2)所示，为提高安全程度，把倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1＝4 m，θ1＝40°，θ2＝36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少．(精确到0.01 m，参考数据：sin36°≈0.5878，cos36°≈0.8090，tan 36°≈0.7265，sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0.8391)8、在旧城改造中，要拆除一烟囱AB，如图1—137所示，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在从与B地水平距离相距(BD＝21米)21米远的建筑物CD的顶端C点测得A点的仰角为45°，B点的俯角为30°，现在离B点25米远的地方有一受保护的文物，则该文物是否在危险区内?试说明理由．，精确到0.01米)9、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1，在∶ABC中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________；(2)对于0°＜∶A ＜180°，∶A 的正对值sadA 的取值范围是____________；(3)如图2，已知sinA ＝35，其中∶A 为锐角，试求sadA 的值． 10、根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M 距离羲皇大道l (直线)的距离MN 为30米(如图8所示)．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用时间为6秒，∠AMN ＝60°，∠BMN ＝45°.(1)计算AB 的长；(2)通过计算判断此车是否超速．11、如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km /h 的速度驶离港口O ，同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km /h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．12、如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道，为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C 在AB 的延长线上，设想过C 点作直线AB 的垂线l ，过点B 作一直线(在山的旁边经过)，与l 相交于D 点，经测量∶ABD ＝135°，BD ＝800米，求直线l 上距离D 点多远的C 处开挖？(2≈1.414，结果精确到1米)13、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，CD =400米），测得A 的仰角为，求山的高度AB ．14、如图，在南北方向的海岸线MN 上，有A ，B 两艘巡逻船，现均收到故障船C 的求救信号．已知A ，B 两船相距1003+1）海里，船C 在船A 的北偏东60°方向上，船C 在船B 的东南方向上，MN 上有一观测点D ，测得船C 正好在观测点D 的南偏东75°方向上．（1）分别求出A 与C ，A 与D 间的距离AC 和AD （如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D 处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A 沿直线AC 去营救船C ，在23≈1.73）6015、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i＝1∶，且AB＝30 m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5 m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，已知地面BC宽30 m，求高压电线杆CD的高度．(结果保留三位有效数字，≈1.732)16、如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)．17、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BP Q的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1 m)．(参考数据：≈1.7，≈1.4)18、乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图所示)．建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A处正上方97 m处的P点，测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测)．无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处的俯角为80°36′.(1)求主桥AB的长度；(2)若两观察点P，D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长度．(长度均精确到1 m，参考数据：3≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06)。
北师大版八年级数学上册1.2直角三角形(2)
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．
2：引入新课（1）．“HL”定理．由师生共析完成
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，B′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
练习：判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
已知：R△ABC和Rt△A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线且BD—B'D' (如图)．
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．
3：例题学习如图，在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．
求证：△ABC≌△A'B'C'．
4：课时小结
本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理。
北师大版八年级(上)数学《一定是直角三角形吗》课堂练习(含答案)
1.2 一定是直角三角形吗1.做一做作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2. 设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25③12，35，37 ④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3.想一想一个零件的形状如图1所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？4.思维拓展若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状. （1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0参考答案1.做一做：5 cm 所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.2.断一断：(1)②③ ∵72+242=252, 122+352=372 (2)略3.想一想：∵42+32=52,52+122=132,即AB 2+BC 2=AC 2，故∠B =90°,同理，∠ACD =90° ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21×3×4+21×5×12=6+30=36.4.思维拓展(1)∵a 2+b 2+c 2+100=12a +16b +20c∴(a 2－12a +36)+(b 2－16b +64)+(c 2－20c +100)=0即(a －6)2+(b －8)2+(c －10)2=0∴a －6=0,b －8=0,c －10=0即a =6,b =8,c =10而62+82=100=102，∴a 2+b 2=c 2∴△ABC 为直角三角形.(2)(a 3－a 2b )+(ab 2－b 3)－(ac 2－bc 2)=0a 2(a －b )+b 2(a －b )－c 2(a －b )=0∴(a －b )(a 2+b 2－c 2)=0∴a －b =0或a 2+b 2－c 2=0∴此三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形.。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册一定是直角三角形吗 同步训练
1.2 一定是直角三角形吗（同步训练）-北师大版八年级上册一．选择题1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．6，7，8C．，，D．，2，2．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定3．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（）A．1，2，3B．4，5，6C．5，12，13D．13，14，154．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°6．在如图所示的方格纸中，点A，B，C均为格点，则∠ABC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．60°7．如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如果△ABC的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A＝25°，∠B＝75°C．a＝，b＝，c＝D．a＝6，b＝10，c＝129．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2＝b2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠C＝∠A+∠B 10．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形二．填空题11．如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝．12．某住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是米2．13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是cm．14．如图所示，点D为△ABC的边BC上一点，AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则S＝．△ABC15．如图，已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积＝．三．解答题16．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，，，△ABC是直角三角形吗？小亮的解答如下：解：△ABC不是直角三角形．理由如下：因为，所以a2≠b2+c2，所以△ABC不是直角三角形．请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．17．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝17，CD＝8，AD＝6．（1）求BD的长；（2）求△ABC的面积．18．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD，AD的值；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，连接BD，BC＝10．CD＝6，BD＝8．（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．20．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b ＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵62+72＝36+49＝85，82＝64，∴62+72≠82，∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，∴（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵（）2+22＝3+4＝7，（）2＝5，∴（）2+22≠（）2，∴以，2，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．2．【解答】解：连接CD，BC，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝45°，故选：C．3．【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，32＝9，∴12+22≠32，∴以1，2，3为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴以5，12，13为边的三角形是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵132+142＝169+196＝365，152＝225，∴132+142≠152，∴以13，14，15为边的三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．4．【解答】解：∵b2＝c2﹣a2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，∵a：b：c＝：：，∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，∴a2≠b2+c2，∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形故选：C．5．【解答】解：连接AB，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，∴△MAB是等腰直角三角形，∴∠AMB＝45°，故选：C．6．【解答】解：连接AC，则AC＝BC＝＝，AB＝＝，∵（）2+（）2＝（）2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故选：C．7．【解答】解：如图，分情况讨论：①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．故共有3个点，故选：C．8．【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵∠A＝25°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵a＝，b＝，c＝，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵a＝6，b＝10，c＝12，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．9．【解答】解：∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a2＝b2+c2，∴∠A＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝90°＝∠A，故选：A．10．【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．二．填空题11．【解答】解：如图，由勾股定理得，EB2＝12+22＝5，EC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，∴EB2+EC2＝BC2，∴△EBC是直角三角形，∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，由SAS可证△BME≌△ANC，∴∠α＝∠EBA，∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．故答案为：45°．12．【解答】解：连接AC，如图，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝3米，BC＝4米，∴AC＝5米，∵CD＝12米，DA＝13米，∴△ACD为直角三角形，∴草坪的面积等于＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36米2．故答案为36．13．【解答】解：如图：设AB＝25是最长边，AC＝15，BC＝20，过C作CD⊥AB于D，∵AC2+BC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∵S△ACB＝AC×BC＝AB×CD，∴AC×BC＝AB×CD15×20＝25CD，∴CD＝12（cm）；故答案为：12．14．【解答】解：在△ABD中，AB＝13，AD＝12，BD＝5，∵AD2+BD2＝122+52＝169，AB2＝132＝169，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵AC＝15，∴CD＝＝＝9，∴BC＝BD+CD＝5+9＝14，∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84，故答案为：84．15．【解答】解：∵直角△ABC的两直角边分别为6，8，∴AB＝＝10，∵以BC为直径的半圆的面积是π（）2＝8π，以AC为直径的半圆的面积是π（3）2＝，以AB为直径的面积是×π（5）2＝，△ABC的面积是AC•BC＝24，∴阴影部分的面积是8π++24﹣＝24cm2．故答案为24．三．解答题16．【解答】解：小亮的解答不正确．正确的解答过程如下：△ABC是直角三角形，理由如下：因为，，所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形．17．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC＝10，CD＝8，AD＝6∴AD2+CD2＝AC2，即62+82＝102，∴△ACD是直角三角形，∴CD⊥AB，∵在Rt△BCD中，CD＝8，BC＝17，∴BD＝＝15；（2）由（1）可知BD＝15，∴AD+BD＝6+15＝21，∴S△ABC＝AB•CD＝（AD+BD）•AD＝84，答：△ABC的面积是84．18．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴△BCD和△ACD都是直角三角形，∴CD＝＝12，AD＝＝16；（2）△ABC为直角三角形，理由：∵AD＝16，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∵AC2+BC2＝202+152＝625＝252＝AB2，∴△ABC为直角三角形．19．【解答】解：（1）△ABD是直角三角形，理由：在△CBD中，BC＝10．CD＝6，BD＝8，∵CD2+BD2＝62+82＝100，BC2＝102＝100，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BDC＝90°，∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝90°，∴△ABD是直角三角形；（2）设AD＝x，则AC＝x+6，∵AB＝AC，∴AB＝x+6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴82+x2＝（x+6）2，∴x＝，∴AB＝AC＝x+6＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝，∴△ABC的周长为．20．【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；故答案为：m2+n2，2mn，m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．。
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4（含答案）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E 在AB上，则∠BED的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．85°2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为（）A．1B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为（）A．1B．1.5C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．106．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°7．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．98．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）A．B．C．2D．9．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连结P A，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且P A＝1，则PB的长是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为．12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为°．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠2＝70°，∠1＝．15．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝．16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．18．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．19．如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是三角形．20．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝．21．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．24．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．25．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．26．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．27．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．28．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．29．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．30．（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CA，∴△ACD中，∠DAC＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADE＝45°，∴∠BED＝∠ADE+∠DAE＝45°+30°＝75°，故选：B．2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝4cm，AB＝2BC＝8cm，故选：C．3．解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴Rt△ACD中，CD＝AD＝BD，∴△ACD与△ADB的面积比为，故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD＝2，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．6．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．7．解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．8．解：取AB的中点F，连接CF、OF．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵∠AOB＝90°，AF＝FB，∴OF＝FC＝AB＝1，∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．故选：C．9．解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PBC＝∠ACP，∴△APC∽△CPB，∴＝＝，在等腰△ABC中，＝，∵AP＝1，∴PC＝，∴PB＝3，故答案为3．11．解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，当MA＝MC时，作MT⊥AC，∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，∴等腰三角形AMC的腰长为2，当AC＝AM′＝2时，等腰三角形ACM的腰长为2，故答案为2或2．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．14．解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．解：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，∴∠B＝∠C＝50°，∵EF⊥AB，∴∠EFC＝90°，∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50°．16．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．17．解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．18．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．19．解：∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，∴CM＝AB，CN＝AB，∴CM＝CN，∴△CMN是等腰三角形；故答案为：等腰．20．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝＝＝．故答案为：．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FD∥AB，交BC于D，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FDC＝∠ABC＝60°，∴∠FDC＝∠ACB＝∠CFD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BD，∵BG＝AF，∴BD＝BG，∵BI∥DF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．23．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4．24．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．26．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．27．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．28．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．29．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．30．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为。
2020-2021学年九年级数学北师大版上册 第1章 1.2-1.3同步课时练习习题含答案
1.2矩形性质和判定的运用第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若BC ＝2，则四边形AEDF 的周长是( )A ．1B ．2C ．3D ．222．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为()A ．5B ．4 C.342 D.343．如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为( ) A.103 B ．4 C ．4.5 D ．54．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，AC 于点E ，O ，连接CE ，则CE 的长为( )A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.85. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6，BC＝8，则△ABO的周长为( ) A．16 B．18 C．20 D．226．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为( )A．3 B．2 3C．3 2 D．67.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AC，AF，CE，当CA＝CB时，判断四边形AECF是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．任意四边形8. 如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，且a ∥b ，∠1＝60°，则∠2的度数为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°9．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知下列6个条件：①AB ∥CD ；②AB ＝DC ；③AC ＝BD ；④∠ABC ＝90°；⑤OA ＝OC ；⑥OB ＝OD.则不能使四边形ABCD 成为矩形的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②⑤⑥D ．④⑤⑥10. 如图，矩形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(－5，4)，点D 为BC 边上一动点，连接OD ，若线段OD 绕点D 顺时针旋转90°后，点O 恰好落在AB 边上的点E 处，则点E 的坐标为( )A ．(－5，3)B ．(－5，4)C ．(－5，52)D ．(－5，2)第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____.12. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_______.13．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为．14. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.15．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快____s后，四边形ABPQ成为矩形．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为__________17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝度．18. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.20. (6分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC 的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)若CE ＝1，DE ＝2，求菱形ABCD 的面积．21. (6分) 在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE ，CF.(1)求证：△BDF ≌△CDE ；(2)若DE ＝12BC ，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论．22．(6分) 如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．23．(6分) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．24．(8分) 如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，且BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝22，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．25．(8分) 如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.(1)求证：四边形EFNM是矩形；(2)已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．参考答案1-5 BDDCA6-10 BBCCA11. 15°12. 2.513. (0，43) 14. 515. 416. 18517. 22.518. 4.819.证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.20. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴▱OCED 是矩形(2)由(1)知，▱OCED 是矩形，则CE ＝OD ＝1，DE ＝OC ＝2.∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ＝2OC ＝4，BD ＝2OD ＝2，∴菱形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×4×2＝4 21. 解：(1)证明：∵CE ∥BF ，∴∠CED ＝∠BFD.∵D 是BC 边的中点，∴BD ＝DC.在△BDF 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠CED ，∠BDF ＝∠CDE ，BD ＝DC ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)(2)四边形BFCE 是矩形．证明：∵△BDF ≌△CDE ，∴DE ＝DF ＝12EF. ∵BD ＝DC ，∴四边形BFCE 是平行四边形．∵DE ＝12BC ＝12EF ，∴BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 是矩形 22. (1)证明：∵∠BPQ ＝∠BPC ＋∠CPQ ＝∠A ＋∠AQP ，又∵∠BPC ＝∠AQP ，∴∠CPQ ＝∠A.∵PQ ⊥CP ，∴∠CPQ ＝∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ，∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)． ∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x.在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2，∴x 2＋22＝(6－x)2，解得x ＝83.∴AQ 的长是8323. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠FAE ＝∠CDE ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，又∵∠FEA ＝∠CED ，∴△FAE ≌△CDE ，∴CD ＝FA ，又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形(2)BC ＝2CD.证明：∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝45°，∵∠CDE ＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD ＝2DE ＝2CD，∵AD ＝BC ，∴BC ＝2CD 24. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠E ＝∠F.∵BE ＝DF ，∴AE ＝CF.在△CFP 和△AEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠A ，CF ＝AE ，∠F ＝∠E ，∴△CFP ≌△AEQ(ASA)，∴CP ＝AQ(2)∵AD ∥BC ，∴∠PBE ＝∠A ＝90°.∵∠AEF ＝45°，∴△BEP ，△AEQ 是等腰直角三角形，∴BE ＝BP ＝1，AQ ＝AE ，∴PE ＝2BP ＝2，∴EQ ＝PE ＋PQ ＝2＋22＝32，∴AQ ＝AE ＝3，∴AB ＝AE －BE ＝2.∵CP ＝AQ ，AD ＝BC ，∴DQ ＝BP ＝1，∴AD ＝AQ ＋DQ ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD 的面积＝AB ·AD ＝2×4＝825. 解：(1)过点E ，F 分别作AD ，BC 的垂线，垂足分别是G ，H.∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG ⊥AD ，EM ⊥CD ，EM ′⊥AB∴EG ＝ME ，EG ＝EM′，∴EG ＝ME ＝EM′＝12MM′ 同理可证：FH ＝NF ＝N′F ＝12NN′，∵CD ∥AB ，MM ′⊥CD ，NN ′⊥CD ，∴MM ′＝NN′，∴ME ＝NF ＝EG ＝FH ，又∵MM′∥NN′，∴四边形EFNM 为平行四边形，又∵MM′⊥CD ，∴▱EFNM 是矩形(2)∵DC ∥AB ，∴∠CDA ＋∠DAB ＝180°，∵∠3＝12∠CDA ，∠2＝12∠DAB ， ∴∠3＋∠2＝90°，在Rt △DEA ，∵AE ＝4，DE ＝3，∴AD ＝32＋42＝5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＝∠DCB ，又∵∠2＝12∠DAB ，∠5＝12∠DCB ，∴∠2＝∠5， 由(1)知GE ＝NF ，在Rt △GEA 和Rt △NFC 中⎩⎪⎨⎪⎧∠2＝∠5，∠EGA ＝∠FNC ＝90°，GE ＝NF ，∴△GEA ≌△NFC ，∴AG ＝CN.在Rt △DME 和Rt △DGE 中，∵DE ＝DE ，ME ＝GE ，∴△DME ≌△DGE ，∴DG ＝DM ，∴DM ＋CN ＝DG ＋AG ＝AD ＝5，∴MN ＝CD －DM －CN ＝9－5＝4.∵四边形EFNM是矩形．∴EF＝MN＝41.3 正方形的性质与判定一、选择题（共10小题，3*10=30）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB交BC于点E，若AD＝8 cm，则OE的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm4．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是()A．(－1，2) B．(1，4)C．(3，2) D．(－1，0)5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为( )A．15° B．35° C．45° D．55°6. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE＝AC，则∠BCE的大小是( ) A．67.5° B．22.5° C．30° D．45°7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( ) A．45° B．55° C．60° D．75°8．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( )A．75° B．60° C．45° D．30°9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．1710．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O，有下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中错误的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11．已知正方形ABCD的对角线AC＝4，则这个正方形的面积是_______．12. 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF＝°.13．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.14．若一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为________．15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为_______．16．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED ＝______度．18．如图，将五个边长都为1的正方形如图摆放，其中点A，B，C，D分别是正方形对角线的交点，如果将n个边长为1的正方形这样摆放，那么阴影部分的面积和是．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE<BE)，且∠EOF ＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. 若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．20．(6分)如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE ⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F.求证：△ADF≌△BAE.21．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF. 求证：△ABE≌△ADF.22．(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G. 求证：△ADG≌△DCE.23．(6分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G. 连接BF，证明：AB＝FB.24. 24．(8分)已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H. 求证：AH＝AB25．(8分) 如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)求证：BG⊥DE.参考答案1-5CDBCC 6-10BCCCA11. 812. 4513. 814. 64 cm215. 1816. (7，5)17. 6518. n－1 419. 解：过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形ABCD的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4.∴OM＝22＋42＝2 5.∴MN＝2OM＝210.20. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.∴△ADF ≌△BAE.21. 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.在△ABE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)．22. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝90°＝∠CDE ＋∠ADF.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．23. 证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB ，即B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴BF ＝12AH ＝AB.24. 证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝DN ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABE ＝∠D ＝90°，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ， ∴∠EAN ＝90°.又∵∠MAN ＝45°，∴∠EAM ＝∠NAM. 又∵AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM.又∵AB ，AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB ＝AH.25. 证明：(1)∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形， ∴∠BCD ＝∠GCE ＝90°，BC ＝CD ，CG ＝CE ，∴∠BCD ＋∠DCG ＝∠GCE ＋∠DCG ，即∠BCG ＝∠DCE.在△BCG 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE ，CE ＝CG ，∴△BCG ≌△DCE(SAS)．(2)∵△BCG ≌△DCE ，∴∠HBC ＝∠ODH.∵∠BHC＝∠DHO，∠HBC＋∠BHC＝90°，∴∠ODH＋∠DHO＝90°，∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE.。
北师大版数学八年级下册：1.2 直角三角形 同步练习(附答案)
2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为（）A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A表示的实数是．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．9．下列定理中，没有逆定理的是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为．12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为（）A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是（）A．HL B．ASAC．AAS D．SAS第1题图第2题图2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．∠BAC＝90°C．BD＝AC D．∠B＝45°3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．75°第3题图第4题图4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝8．5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：∠ABC＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长为．第12题图第13题图13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝时，△ABC和△PQA全等．14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F.若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.(1)求证：AE＝CF，MD＝MB；(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．参考答案：2直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)A．120°B．90°C．60°D．30°2．已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置．如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A．35°B．55°C．56°D．65°第2题图第3题图3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，数轴上点A5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)求证：∠ACD＝∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°.∴∠ACD＝∠B.(2)∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE.又∵在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE，∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE.6．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶57．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)A．2，4，5 B．6，8，11C．5，12，12 D．1，1，28．如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.求阴影部分的面积．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，∵AD＝13，BD＝12，AB＝5，∴AB2＋BD2＝AD2.∴△ABD是直角三角形，∠ABD＝90°.∴S阴影＝S△ABD－S△ABC＝12AB·BD－12BC·AC＝30－6＝24.9．下列定理中，没有逆定理的是(C)A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两个底角相等C．全等三角形的周长相等D．等边三角形的三个角都相等10．下列命题的逆命题是真命题的是(B)A．对顶角相等B．同位角相等，两直线平行C．直角都相等D．全等三角形的面积相等11．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则其面积为12．已知下列命题：①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A．1个B．2个C．3个D．0个13．已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB 于点E，则下列结论一定成立的是(C)A．BC＝EC B．EC＝BEC．BC＝BE D．AE＝EC第14题图第15题图15．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6 C．3 2 D.2116．已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为17．如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)18．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x →利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.19．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.∴b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k ＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.第2课时直角三角形全等的判定1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则能直接得到△PEA≌△PFA的理由是(A)A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS第1题图 第2题图2．如图，已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是(A) A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝ACD ．∠B ＝45°3．如图，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝CD ，∠1＝40°，则∠2＝(B) A ．40° B ．50° C ．60°D ．75°第3题图 第4题图4．如图，点D ，A ，E 在直线l 上，AB ＝AC ，BD ⊥l 于点D ，CE ⊥l 于点E ，且BD ＝AE.若BD ＝3，CE ＝5，则DE ＝8．5．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC ＝BD.求证：∠ABC ＝∠BAD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠ACB ＝∠BDA ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)． ∴∠ABC ＝∠BAD.6．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(A)A．两个锐角分别对应相等B．两条直角边分别对应相等C．一条直角边和斜边分别对应相等D．一个锐角和斜边分别对应相等7．如图所示，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③．(填序号)①AB＝DC，∠B＝∠C；②AB＝DC，AB∥CD；③AB＝DC，BE＝CF；④AB＝DF，BE＝CF.8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，且DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC＝90°，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，并且DA⊥AB于点A，EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离是多少米？解：∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴△ADC和△BEC为直角三角形．∵点C是路段AB的中点，∴AC＝BC.∵小明和小红两人从点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，∴CD＝CE.∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．∴BE＝AD＝50米．答：小红到路段AB的距离是50米．10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有(D)A．3对B．4对C．5对D．6对12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB第12题图 第13题图13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，BC ＝5，线段PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP ＝5或10时，△ABC 和△PQA 全等．14．如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF.(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ； (2)若∠CAE ＝30°，求∠ACF 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBF ＝∠ABE ＝90°. 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，⎩⎨⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)． (2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°.∴∠BAE ＝∠CAB －∠CAE ＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF ＝∠BAE ＝15°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝15°＋45°＝60°.15．如图1，E ，F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于点E ，BF ⊥AC 于点F.若AB ＝CD ，BF ＝DE ，BD 交AC 于点M.(1)求证：AE ＝CF ，MD ＝MB ；(2)当E ，F 两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．解：(1)证明：在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF. ∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEM ＝∠BFM ＝90°.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.(2)AE ＝CF ，MD ＝MB 仍然成立．证明： 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL)． ∴AF ＝CE.∴AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF.在△DEM 和△BFM 中，⎩⎨⎧∠DEM ＝∠BFM ，∠DME ＝∠BMF ，DE ＝BF ，∴△DEM ≌△BFM(AAS)． ∴MD ＝MB.。
初中数学北师大版八年级上册 第一章 1.2 一定是直角三角形吗 同步练习(解析版)
初中数学北师大版八年级上学期第一章 1.2 一定是直角三角形吗一、单选题1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A. 4，5，6B. 2，3，4C. 1，1，D. 1，，32.已知以下三个数, 不能组成直角三角形的是( )A. 9、12、15B. 、3、2C. 0.3、0.4、0.5；D.3.a、b、c为△ABC三边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A. ∠C=∠A-∠BB. a:b:c = 1 : :C. ∠A∶∠B∶∠C＝5∶4∶3D. ，4.如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，二、填空题5.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=________.6.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1cm，△ABC为格点三角形．（1）△ABC的面积=________cm2；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．三、解答题7.在△ABC中，,试判断△ABC的形状，并说明理由。
8.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.9.一个零件的形状如图，按规定这个零件的∠A与∠BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=12，BC=13，BD=5．这个零件符合要求吗？四、作图题10.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．（1）在图①中，求线段AB的长度；若在图中画出以C为直角顶点的Rt△ABC，使点C在格点上，请在图中画出所有点C；（2）在图②中，以格点为顶点，请先用无刻度的直尺画正方形ABCD，使它的面积为13;再画一条直线PQ（不与正方形对角线重合），使PQ恰好将正方形ABCD的面积二等分(保留作图痕迹）.11.图a．图b均为边长等于1的正方形组成的网格．（1）在图a空白的方格中，画出阴影部分的图形沿虚线AB翻折后的图形，并算出原来阴影部分的面积．（直接写出答案）（2）在图b空白的方格中，画出阴影部分的图形向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的图形，并判断原来阴影部分的图形是什么三角形？（直接写出答案）答案解析部分一、单选题1. C解析：A.，∴选项不符合题意；B.，∴选项不符合题意；C.，∴选项符合题意；D.，∴选项不符合题意；故答案为：C。
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步测试2(附答案)
2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步测试2（附答案）1．在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC 的度数是．2．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝．3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝66°，D，E分别为AB，BC上一点，AF∥DE，若∠BDE＝30°，则∠F AC的度数为．6．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有个．7．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则最长边上的中线长为．8．如图，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠BCE＝32°，则∠ANM等于．9．如图，AB、CD相交于点E，AD＝DE，BC＝BE，F、G、H分别为AE、CE、BD的中点，∠A＝α．则∠FHG＝．（用含α的代数式表示）10．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝．11．如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝．12．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝1，则DF＝．13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列三个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC ＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；其中正确的结论有（填序号）16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC 于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E、F分别是AC、BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab，其中正确的是．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝°．18．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB 角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝度．19．如图，点O是△ABC的内一点，OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，M、N是AC上一点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B＝100°，则∠MON＝．20．如图，在△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，△ABC内一点P到各边的距离相等，则这个距离是．21．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．22．如图所示，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②CD＝CG；③AD＝BD；④BC＝BE．正确结论的序号．23．在三角形内部到三边距离相等的点有个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有个．24．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．25．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC 的长．28．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．29．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数°．30．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．31．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．32．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．33．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△P AB＝S△ABC，请你求出a的值．34．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△DCB为等腰三角形，D是AB边上一点，过BC上一点P，PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥CD，垂足为点F，已知AD：DB＝1：3，BC＝，求PE+PF的长．35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC为等腰三角形，AB＝BC＝10，点B，C 在X轴上，B（﹣8，0），△ABC的周长为27，D为X轴上一个动点，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向点C运动，到点C停止，设点D的运动时间为t秒（1）求点C的坐标及AC的长．（2）当t为何值时，△ADC的面积等于△ABC面积的？并求出此时D的坐标．（3）连接AD，当t为何值时，线段AD把△ABC的周长分成15和12两部分？并求出此时D的坐标．36．已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．37．引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AD＝DB＝AB 应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DB＝AB如图2所示已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC 上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE＝DF；②试说明CG＝GH；（本题需要用引理）（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．38．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．参考答案1．解：如图1，∵DC＝DA，EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°；如图2，∵DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C﹣∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝220°，解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，故答案为：70°或110°．2．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，∴IE＝IF＝IH，则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，解得，IH＝2，故答案为：23．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵S△ABD＝AB•DE，∴×4×DE＝2，解得DE＝1，∵AD平分∠BAC，∴DF＝DE＝1，∴S△ACD＝AC•DF＝×2×1＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝2+1＝3，故答案为3．4．解：AC与DE相交于G，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，∴∠CGD＝30°，∵∠ACB＝∠CGD+∠D，∴∠D＝30°，∴CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x，∴AB＝BC＝AC＝5x，∴BE＝4x，BF＝5x﹣6，在Rt△BEF中，BE＝2BF，即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2，∴AC＝5x＝10．故答案为10．5．解：∵AB＝AC，∠B＝66°，∴∠C＝66°，∴∠BAC＝48°，∵AF∥DE，∠BDE＝30°，∴∠BAF＝∠BDE＝30°，∠F AC＝18°，故答案为：18°．6．解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝2，∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝2，∴OA＝OP＝2，∴P的坐标是（﹣2，0）．综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．7．解：∵△ABC的三边长分别为5、12、13，52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，∴最长边上的中线长＝．故答案为：．8．解：过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，∴FN∥BM，BF∥MN，∴四边形BFNM是平行四边形，∴BF＝MN，∵CE＝MN，∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL），∴∠ABF＝∠MCE＝32°，∵∠A＝90°，∴∠AFB＝58°，∴∠ANM＝∠AFB＝58°，故答案为58°．9．解：如图，连接DF，BG．∵DA＝DE，BE＝BC，AF＝EF，EG＝CG，∴DF⊥AE，BG⊥EC，∴∠DFB＝∠DGB＝90°，∵DH＝BH，∴FH＝DH＝BH＝GH，∴∠HFB＝∠HBF，∠HDG＝∠HGD，∵DA＝DE，∴∠A＝∠DEA＝α，∵∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴∠EDB+∠EBD＝α，∴∠FHG＝180°﹣∠FHD﹣∠GHB＝180°﹣2∠HBF﹣2∠HDG＝180°﹣2α，故答案为180°﹣2α．10．解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEO＝∠DFO＝90°，∵OD平分∠MON，∴DE＝DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB＝∠CDF，∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝50°．∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO＝360°，∴∠MON＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；故答案为：130°．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝28°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣28°）＝76°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝76°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°+76°＝104°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD＝（180°﹣104°）＝38°，故答案为38°．12．解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝1．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝2．故答案为213．解：∵BD垂直平分线段AG，∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，∵CE垂直平分线段AF，∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，故答案为：15．14．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．15．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，FG＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正确；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正确；过G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；故答案为：①②③．16．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，同理EO＝EA，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，∴S△CEF＝×CF×OD+×CE×OH＝ab，④正确．故答案为①②④．17．解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∵∠CDA＝∠B+∠DCB，∴∠B＝84°﹣45°＝39°故答案为：39．18．解：如图，连接OA．∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴∠E＝90°+∠BAC，∵∠BOC+∠E＝180°，∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝36°，故答案为36．19．解：连接OB，∵OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，∴∠BCO＝∠MCO，∠BAO＝∠NAO，在△BCO和△MCO中∴△BCO≌△MCO（SAS），∴∠CMO＝∠CBO，同理∠ABO＝∠ANO，∵∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝100°，∴∠CMO+∠ANO＝100°，∴∠MON＝180°﹣（∠CMO+∠ANO）＝80°，故答案为：80°．20．解：连接AP，BP，CP，设PE＝PF＝PG＝x，∵AB＝7，BC＝24，∴AC＝＝25，再根据直角三角形的面积，S△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，∴28x＝84，解得：x＝3，故答案为：3．21．解：连接AP，在Rt△ASP和Rt△ARP中，∴Rt△ASP≌Rt△ARP（HL），∴①AS＝AR正确；∵AQ＝PQ，∴∠QAP＝∠QP A，又∵Rt△ASP≌Rt△ARP，∴∠P AR＝∠P AQ，于是∠RAP＝∠QP A，∴②PQ∥AR正确；③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故答案为：①②．22．解：∵Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，∴∠A+∠ABC＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF；故①正确；∵∠CDG+∠CBD＝90°，∠BGF+∠ABD＝90°，且BD是△ABC的角平分线，∴∠CDG＝∠BGF，∵∠BGF＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，故②正确；无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，故AD不一定等于BD，故③错误．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CDB＝∠EDB，∴BC＝BE，故④正确；故答案为：①②④．23．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．故填1，3．24．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．25．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC；（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．28．解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．29．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝32cm，∴OA＝OB＝OC＝10cm；（3）∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．故答案为：（2n﹣180）．30．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．31．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAD＝70°，∴∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，∴∠E＝70°﹣15°＝55°，∴∠ADE＝∠AED＝55°，∴∠ADC＝40°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，∴∠BAD＝30°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α∴，∴2α＝β，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．32．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．33．解：（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积＝×6×1＝3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a，∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴a2+22＝（a+1）2，解得a＝，∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△P AB＝S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，设直线CP解析式为y＝﹣x+b，把C（4，0）代入，可得0＝﹣2+b，解得b＝2，∴直线CP解析式为y＝﹣x+2，∴F（0，2），当x＝﹣4时，y＝2+2＝4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3，∴OE＝4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y＝﹣x﹣4，当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．34．解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD＝BD•PE+CD•PF＝BD•AC，∴PE+PF＝AC，设AD＝x，BD＝CD＝3x，AB＝4x，∵AC2＝CD2﹣AD2＝（3x）2﹣x2＝8x2，∵AC2＝BC2﹣AB2＝（6）2﹣（4x）2，∴x＝3，∴AC＝2x＝6，∴PE+PF＝6．35．解：（1）﹣8+10＝2，则C（2，0），AC＝27﹣10﹣10＝7；（2）10×＝2.5（10﹣2.5）÷2＝3.75，2﹣2.5＝0，D的坐标（﹣0.5，0）；（3）①15﹣10＝5，t＝5÷2＝2.5，﹣8+5＝﹣3，D的坐标（﹣3，0）；②12﹣10＝2，t＝2÷2＝1，﹣8+2＝﹣6D的坐标（﹣6，0）．36．解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，∴OP＝OM，又点M的坐标为（1，0），∴OP＝OM＝1，∴符合条件的等腰三角形有2个，则点P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，则点P在线段OM的垂直平分线上，∴点P的坐标为：（，4），则符合条件的等腰三角形有1个；（3）如图，∵OP＝OM，∴OP＝4，∴BP＝＝，∴点P的坐标为（﹣，），由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（2，4），P′′′的坐标为（4，4），符合条件的等腰三角形有4个，即符合条件的点P的坐标为（﹣，）、（0，4）、（2，4）、（4，4）．37．解：（1）①连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝BC，∴CD＝AD＝BD，又∵AC＝BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC＝90°，∠DCF＝∠DAE＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．②连接DG，∵∠ACB＝90°，G为EF的中点，∴CG＝EG＝FG，∵∠EDF＝90°，G为EF的中点，∴DG＝EG＝FG，∴CG＝DG，∴∠GCD＝∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH＝90°，∴∠GHD+∠GCD＝90°，∠HDG+∠GDC＝90°，∴∠GHD＝∠HDG，∴GH＝GD，∴CG＝GH．（2）分两种情况：①如图，当E在线段AC上时，∵CG＝GH＝EG＝GF，∴CH＝EF＝5，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝3+4＝7；②如图，当E在线段CA延长线上时，AC＝EC﹣AE＝4﹣3＝1．③E在AC延长线上时，AC＝AE﹣CE，AC＝3﹣4＝﹣1（舍去）．综合上述，AC＝7或1．38．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．∴△ABC的准外心有无数个．故答案为：无数；（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB，与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°；（3）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，∴x＝，即P A＝，②若P A＝PC，则P A＝2，③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或．。
北师大版八年级(上)数学《一定是直角三角形吗》专题练习(含答案)
1.2一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2. 在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．参考答案：1．D 【解析】∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，∵a+b≠0，∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．2．解：（1）a是最长边，其理由是：∵a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）2＞0，∴a＞b，a＞c，∴a是最长边.（2）△ABC是直角三角形，其理由是：∵b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，∴△ABC是直角三角形．3．解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1；n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1.∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．。
北师大版数学七年级下册：第四章 三角形 同步练习(含答案)
第四章三角形1 认识三角形第1课时三角形的定义和内角和1.一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是(D)2.图中三角形的个数是(C)A.3个B.4个C.5个D.6个3.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(B)A.100°B.80°C.60°D.40°4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是(D)A.50°B.60°C.70°D.80°5.在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.6.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为40°.7.观察如图所示的四个三角形.其中锐角三角形是③，直角三角形是①④，钝角三角形是②.8.若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是(B)A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.如果一个三角形的两个内角的和是85°，那么这个三角形是(A)A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10.如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝25°.11.如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与∠B互余的角有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知a∥b，某学生将一直角三角板如图所示放置.如果∠1＝35°，那么∠2的度数为(B)A.35°B.55°C.56°D.65°13.如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是(B)A.5°B.10°C.30°D.70°14.图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(D)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能15.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为(B)A.85°B.75°C.65°D.60°16.如图，在△ABC 中，∠ACB 是钝角.若点C 在射线BD 上向右移动，则(D)A.△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B.△ABC 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形C.△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形D.△ABC 将先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形17.在△ABC 中，若∠A＝12∠B＝13∠C，则此三角形是直角三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)18.如图，在四边形ABCD 中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1＋∠2＝240°.19.如图，已知D 是△ABC 的BC 边上的延长线上一点，DF ⊥AB ，交AB 于点F ，交AC 于点E ，∠A ＝55°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数.解：因为DF⊥AB， 所以∠DFB＝90°.所以∠B＝90°－∠D＝90°－30°＝60°. 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B ＝180°－55°－60° ＝65°.20.在△ABC 中，∠B 比∠A 大36°，∠C 比∠A 小36°，求△ABC 的各内角的度数，并判断△ABC 的形状. 解：设∠A＝x ，则∠B＝x ＋36°，∠C ＝x －36°， 根据题意，得x ＋x ＋36°＋x －36°＝180°， 解得x ＝60°.所以x＋36°＝96°，x－36°＝24°.所以∠A＝60°，∠B＝96°，∠C＝24°.所以△ABC是钝角三角形.21.如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，点P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，试求∠P的度数.解：因为∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，所以∠ACB＝∠ABC＝70°.所以∠2＋∠BCP＝70°.又因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠BCP＝70°.所以∠P＝180°－(∠1＋∠BCP)＝110°.第2课时三角形的三边关系1.下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是(D)2.通过画图来判定下列说法正确的是(D)A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个钝角三角形一定不是等腰三角形C.一个等腰三角形一定不是锐角三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形3.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(D)A.2，2，4B.5，6，12C.5，7，2D.6，8，104.若一个三角形的两边长分别为3 cm，6 cm，则它的第三边的长可能是(C)A.2 cmB.3 cmC.6 cmD.9 cm5.下列长度的线段能否组成三角形？为什么？(1)3 cm，4 cm，9 cm; (2)4 cm，4 cm，8 cm；(3)4 cm，3 cm，8 cm; (4)5 cm，5 cm，5 cm.解：(1)3＋4＝7＜9，不能组成三角形.(2)4＋4＝8，不能组成三角形.(3)4＋3＝7＜8，不能组成三角形.(4)5＋5＝10＞5，5－5＝0<5，能组成三角形.6.已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则该等腰三角形的周长为(D)A.7B.8C.6或8D.7或87.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为(D)A.7B.9C.9或12D.128.长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有(C)A.1种B.2种C.3种D.4种9.已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为(C)A.7B.8C.9D.1010.△ABC的三边a，b，c满足(3－a)2＋|7－b|＝0，且c为奇数，则c＝5，7或9.11.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝a＋b＋c.12.用一条长为24 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2.5倍，那么各边长是多少？(2)能围成有一边的长是6 cm的等腰三角形吗？说明理由.解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2.5x cm，根据题意，得x＋2.5x＋2.5x＝24.解得x＝4，则2.5x＝10，所以各边长分别为4 cm，10 cm，10 cm.(2)能围成，理由如下：若6 cm为底边长时，腰长为(24－6)÷2＝9(cm)，三角形的三边分别为6 cm，9 cm，9 cm，满足三边关系，故能围成等腰三角形；若6 cm为腰长时，底边为24－6×2＝12(cm)，三角形的三边分别为6 cm，6 cm，12 cm，因为6＋6＝12，所以不能围成三角形.综上所述，能围成一个底边长是6 cm，腰长是9 cm的等腰三角形.13.长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(B)A.4B.5C.6D.7第3课时三角形的中线、角平分线1.如图，若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是(A)A.AD平分∠BACB.BD＝DCC.AD平分BCD.BC＝2DC2.如图，BD＝DE＝EF＝FC，则△AEC中EC边上的中线是(C)A.ADB.AEC.AFD.无法确定3.三角形的三条中线相交于一点，这个点一定在三角形的内部，这个点叫做三角形的重心.4.如图，AD是△ABC的一条中线.若△ABD的面积为3，则△ACD的面积为3.5.如图，若∠1＝∠2＝∠3，则AM为△ABN的角平分线，AN为△AMC的角平分线.6.三角形的角平分线是(B)A.射线B.线段C.直线D.以上都有可能7.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是(C)A.80°B.90°C.100°D.110°8.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，则图中与△ABE的面积相等的三角形有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是2.10.如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线.若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为64°.11.如图，在△ABC中，BD是角平分线，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，连接DE，GF，且满足GF∥BD，∠1＝∠2.若∠AED＝70°，求∠2的度数.解：因为FG∥BD，所以∠2＝∠DBC.因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DBC.所以DE∥BC.所以∠AED＝∠ABC＝70°.因为BD平分∠ABC，所以∠2＝∠DBC＝12∠ABC＝35°.12.如图，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点.设△ABC，△ADF ，△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝2.第4课时 三角形的高线1.在△ABC 中，画出边AC 上的高，下面四幅图中画法正确的是(C)A B C D2.三角形的高所在直线的交点一定在外部的是(B)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.有一个角是60°的三角形 3.下列说法正确的是(C)A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.三角形的高至少有一条在三角形内D.三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 4.画出下列三角形中BC 边上的高.解：如图，AM 为三角形中BC 边上的高.5.如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，AE 是∠BAC 的平分线. (1)求∠DAE 的度数；(2)指出AD 是哪几个三角形的高.解：(1)因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 因为∠B＝40°，∠C ＝60°， 所以∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝80°，∠DAC ＝90°－∠C＝30°. 因为AE 是∠BAC 的平分线， 所以∠CAE＝40°.所以∠DAE＝∠CAE－∠DAC＝10°.(2)AD 是△ABE ，△ABD ，△ABC ，△AED ，△AEC ，△ADC 的高.6. 如图，AD 是△ABC 的高，∠B ＝40°，∠CAD ＝20°，则∠BAC 的度数为(B)A.20°B.30°C.50°D.60°7.如图，在△ABC 中，AD 为中线，DE 和DF 分别为△ADB 和△ADC 的一条高.若AB ＝3，AC ＝4，DF ＝1.5，则DE ＝2.8.如图，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，AD 是BC 边上的高，AD ＝5，BE 是AC 边上的高，求BE 的长.解：因为S △ABC ＝12AC·BE＝12BC·AD，所以AC·BE＝BC·AD. 所以BE ＝BC·AD AC ＝203.9.如图，在锐角△ABC 中，CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，CD ，BE 交于点P ，∠A ＝50°，求∠BPC 的度数.解：因为CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高， 所以∠ADC＝∠AEB＝90°. 因为∠A＝50°，所以∠ABE＝90°－∠A＝40°. 所以∠BPD＝90°－∠ABE＝50°. 所以∠BPC＝180°－∠BPD＝130°.小专题5 与角平分线有关的常考模型1.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝110°，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC，则∠DAE 的度数为40°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC，∠B ＝70°，∠C ＝30°. (1)∠BAE 的度数为40°； (2)∠DAE 的度数为20°；(3)探究：如果条件∠B＝70°，∠C ＝30°改成∠B－∠C＝40°，能得出∠DAE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.解：能.理由：因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C. 因为AE 平分∠BAC，所以∠BAE＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)＝90°－12(∠B＋∠C).因为AD⊥BC， 所以∠ADB＝90°.所以∠BAD＝90°－∠B.所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－12(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝12(∠B－∠C).因为∠B－∠C＝40°， 所以∠DAE＝12×40°＝20°.3.如图，在△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠C ＝60°，求∠DAE 和∠BOA 的度数.解：因为∠CAB＝50°，∠C ＝60°， 所以∠ABC＝180°－50°－60°＝70°. 因为AD 是高， 所以∠ADC＝90°.所以∠DAC＝90°－∠C＝30°. 因为AE ，BF 是角平分线，所以∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF ＝∠EAB＝25°. 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAF＝5°， ∠BOA ＝180°－∠EAB－∠ABF＝120°.4.在△ABC 中.(1)如图1，∠A ＝50°，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，则∠BOC＝115°；(2)如图2，∠A ＝60°，BO ，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线(即∠OBC＝13∠ABC，∠OCB ＝13∠ACB)，求∠BOC 的度数.解：因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°. 因为BO ，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的三等分线，所以∠OBC＋∠OCB＝13∠ABC＋13∠ACB＝13(∠ABC＋∠ACB)＝40°.所以∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝140°.小专题6 三角形中角度的计算1.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝x ，∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，则∠BAD＝(B)A.145°B.150°C.155°D.160°2.如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝50°，则∠BDC 的度数为(C)A.75°B.85°C.95°D.105° 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线.若∠B＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C＝40度.4.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于点E.若∠C＝70°，∠BED ＝68°，求∠BAC 的度数.解：因为AD 是△ABC 的高， 所以∠BDE＝90°. 又因为∠BED＝68°， 所以∠EBD＝22°. 因为BE 平分∠ABC，所以∠ABC＝2∠EBD＝44°.所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－44°－70°＝66°.5如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C.若∠1＝50°，则∠2的度数为(C)A.130°B.50°C.40°D.25°6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D，DE∥AB交边AC于点E.若∠B＝46°，∠C＝54°，则∠ADE的大小为(A)A.40°B.45°C.50°D.54°7.如图，l1∥l2，△ABC的顶点B，C在直线l2上，已知∠A＝40°，∠1＝60°，则∠2的度数为100°.8.如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于点F.已知EG∥AD交BC于点G，EH⊥BE交BC于点H，∠HEG＝55°.(1)求∠BFD的度数；(2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数.解：(1)因为EH⊥BE，所以∠BEH＝90°.因为∠HEG＝55°，所以∠BEG＝35°.又因为EG∥AD，所以∠BFD＝∠BEG＝35°.(2)因为∠ABE＋∠BAD＋∠AFB＝180°，∠BFD＋∠AFB＝180°，所以∠BFD＝∠BAD＋∠ABE.因为∠BAD＝∠EBC，∠BFD＝35°，所以∠EBC＋∠ABE＝35°，即∠ABC＝35°.因为∠C＝44°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－35°－44°＝101°.9.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠1＝30°，那么∠2的度数为(D)A.30°B.40°C.50°D.60°10.将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(D)A.75°B.105°C.135°D.165°11.在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝120°.e12.如图，将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.(1)∠DBC＋∠DCB＝90°；(2)过点A作直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小.解：在△ABC中，因为∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，即∠ABD＋∠DBC＋∠DCB＋∠ACD＋∠BAC＝180°，而∠DBC＋∠DCB＝90°，所以∠ABD＋∠BAC＝90°－∠ACD＝70°.又因为MN∥DE，所以∠ABD＝∠BAN.而∠BAN＋∠BAC＋∠CAM＝180°，所以∠CAM＝180°－(∠ABD＋∠BAC)＝110°.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE的度数是(C)A.45°B.65°C.70°D.80°14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在点B′处.若B′D∥AC，则∠BDC＝115°.15.如图，∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外.若∠AEC′＝22°，求∠BDC′的度数.解：设AE交DC′于点F.在△ABC中，∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－64°－76°＝40°.由折叠可知∠C′＝40°，所以∠C′FE＝180°－∠AEC′－∠C′＝118°.所以∠DFE＝180°－∠C′FE＝62°.所以∠CDF＝180°－∠C－∠DFE＝78°.所以∠BDC′＝180°－∠CDF＝102°.16.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合.若∠A＝75°，求∠1＋∠2的度数.解：因为△A′DE是△ABC沿DE翻折变换而成，所以∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝75°.所以∠AED＋∠ADE＝∠A′ED＋∠A′DE＝180°－75°＝105°.所以∠1＋∠2＝360°－2×105°＝150°.2图形的全等1.下列图形中与已知图形全等的是(B)A B C D2.下列叙述中错误的是(C)A.能够重合的图形称为全等图形B.全等图形的形状和大小都相同C.所有正方形都是全等图形D.形状和大小都相同的两个图形是全等图形3.(教材P95习题T1变式)下列图形中，是全等图形的是(1)和(9)；(2)和(3)；(4)和(8)；(5)和(7)；(11)和(12).4.下列说法中正确的是(D)A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形C.两个等边三角形是全等三角形D.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形5.如图，已知△ACD≌△CBE，则∠A的对应角是(A)A.∠BCEB.∠EC.∠ACDD.∠B6.如图，将△ABC沿AC翻折后，点B与点E重合，则图中全等三角形有(C)A.1对B.2对C.3对D.4对7.如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是(C)A.AC＝CEB.∠BAC＝∠DCEC.∠ACB＝∠ECDD.∠B＝∠D8.如图，△ABC≌△BAD，A，C的对应点分别是B，D.若AB＝9，BC＝8，AC＝6，则BD＝(A)A.6B.9C.8D.无法确定9.已知△MNP≌△ABC，∠P＝35°，∠A＝40°，则∠M＝40°，∠B＝105°.10.已知△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12，求∠P的度数和DE的长.解：因为△DEF≌△MNP，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12.所以∠P＝∠F＝180°－∠D－∠E＝80°，DE＝MN＝12.11.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是(D)A.72°B.60°C.58°D.50°12.如图，△ABC≌△DEF，则图中相等线段的对数是(B)A.3对B.4对C.5对D.6对13.如图，△ACE≌△DBF，若AD＝8，BC＝2，则AB的长度等于(D)A.6B.4C.2D.314.如图，△ABE≌△CDF，那么下列结论错误的是(D)A.AB＝CDB.AB∥CDC.BE∥DFD.BE＝DC15.如图，△ABC≌△DBE，∠DBC＝150°，∠ABD＝40°，则∠ABE的度数是70°.16.如图是由全等的图形组成的，其中AB＝3 cm，CD＝2AB，则AF＝27cm.17.沿图形中的虚线，分别把下面图形划分为两个全等图形.解：如图所示.(答案不唯一)或18.如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：BD＝DE＋CE.解：因为△BAD≌△ACE，所以AD＝CE，BD＝AE.因为AE＝AD＋DE＝CE＋DE，所以BD＝DE＋CE.19.如图，已知Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D三点共线，则∠ACE＝90°吗？为什么？解：∠ACE＝90°.理由：因为Rt△ABC≌Rt△CDE，所以∠BAC＝∠DCE.因为∠B＝90°，所以∠BAC＋∠BCA＝90°.所以∠DCE＋∠BCA＝90°.所以∠ACE＝180°－(∠DCE＋∠BCA)＝90°.20.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数.解：因为△ABC≌△ADE，所以∠BAC＝∠DAE.因为∠EAB＝120°，所以∠DAE＋∠CAD＋∠BAC＝120°. 因为∠CAD＝10°，所以∠BAC＝12×(120°－10°)＝55°.所以∠BAF＝∠BAC＋∠CAD＝65°.所以∠BFA＝180°－∠BAF－∠B＝180°－65°－25°＝90°. 所以∠DFB＝∠DFG＝90°.所以∠DGB＝90°－∠D ＝90°－25°＝65°.3 探索三角形全等的条件 第1课时 边边边(SSS)1.如图，如果AB ＝A′B′，BC ＝B′C′，AC ＝A′C′，那么下列结论正确的是(A)A.△ABC ≌△A ′B ′C ′B.△ABC ≌△C ′A ′B ′C.△ABC ≌△B ′C ′A ′D.这两个三角形不全等2.如图，下列三角形中，与△ABC 全等的是(C)3.如图，已知AC ＝DB ，要用“SSS ”判定△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是AB ＝DC.4.请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB 的示意图.请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是SSS.5.如图，点A ，C ，B ，D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，试说明：AM∥CN.解：因为AC ＝BD ， 所以AB ＝CD. 在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AM ＝CN ，BM ＝DN ，所以△ABM≌△CDN(SSS). 所以∠A ＝∠NCD.所以AM∥CN(同位角相等，两直线平行).6.如图，已知AD ＝BC ，BD ＝AC.试说明：∠ADB＝∠BCA.解：在△ADB 和△BC A 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，BD ＝AC ，AB ＝BA ，所以△ADB≌△BCA(SSS). 所以∠ADB＝∠BCA.7.下列图形中具有稳定性的是(C)A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形8.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是(D)A.两点之间线段最短B.直角三角形的两个锐角互余C.三角形三个内角的和等于180°D.三角形的稳定性9.如图所示，建高楼时常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部都是三角形结构，这是应用了三角形的稳定性.10.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架(如图).要使这个木架不变形，他至少要再钉木条的数量为(B)A.0根B.1根C.2根D.3根11.如图，AB＝CD，AD＝CB，那么下列结论中错误的是(B)A.∠A＝∠CB.AB＝ADC.AD∥BCD.AB∥CD12.如图，∠AOB是任意一个角，在OA，OB边上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是SSS.(用字母表示即可)13.如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠C＝20°，∠A＝80°，则∠BDC＝120°.14.如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)试问：△ABC与△ADC全等吗？请说明理由；(2)若AB＝5，求AD的长度.解：(1)△ABC≌△ADC.理由：根据作图可知：AB ＝AD ，BC ＝DC. 在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(SSS). (2)由(1)知AB ＝AD ， 又因为AB ＝5， 所以AD ＝5.15.如图，已知AD ＝BC ，OD ＝OC ，O 为AB 的中点，说出∠C＝∠D 的理由.解：因为O 为AB 中点， 所以OA ＝OB. 在△BOC 和△AOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，OC ＝OD ，OB ＝OA ，所以△BOC≌△AOD(SSS). 所以∠C＝∠D.16.如图所示，AB ＝CD ，BF ＝DE ，E ，F 是AC 上两点，且AE ＝CF.请你判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由.解：BF∥DE.理由： 因为AE ＝CF ， 所以AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即AF ＝CE.在△ABF 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，BF ＝DE ，AF ＝CE ，所以△ABF≌△CDE(SSS). 所以∠AFB＝∠CED. 所以BF∥DE.17.如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，B ，D ，E 三点共线，说明∠3＝∠1＋∠2的理由.解：在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，所以△ABD≌△ACE(SSS). 所以∠BAD＝∠1，∠ABD ＝∠2.因为∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠ADB ＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠BAD＋∠ABD＝∠1＋∠2.第2课时 角边角(ASA)与角角边(AAS)1.如图，AD 和BC 相交于O 点，已知OA ＝OC ，以“ASA ”为依据说明△AOB≌△COD 还需添加(B)A.AB ＝CDB.∠A ＝∠CC.OB ＝ODD.∠AOB ＝∠COD 2.如图，已知∠1＝∠2，DA 平分∠BDC，下列结论错误的是(C)A.AB ＝ACB.DB ＝DCC.AB ＝BDD.∠B ＝∠C3.小明给小红出了这样一道题：“如图，由AB ＝AC ，∠B ＝∠C，便可知道AD ＝AE”，这是根据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案，你认为小红的理由是ASA(或角边角).4.如图，∠ACB ＝90°，CD ＝BE ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，△ACD 与△CBE 全等吗？请说明理由.解：△ACD≌△CBE.理由如下： 因为∠ACB＝90°， 所以∠BCE＋∠ACD＝90°. 因为BE⊥CE ， 所以∠E＝90°. 所以∠B＋∠BCE＝90°. 所以∠B＝∠ACD.因为AD⊥CE，所以∠ADC＝90°. 所以∠E＝∠ADC. 在△ACD 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC＝∠E，CD ＝BE ，∠ACD ＝∠B，所以△ACD≌△CBE(ASA).5.如图，已知△ABC 三条边、三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC 全等的图形是(C)A.甲B.乙C.甲和乙D.都不是6.如图，点B ，E ，F ，C 在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B ＝∠C，要直接利用“AAS ”说明△ABF≌△DCE，可补充的条件是(D)A.∠AFB ＝∠DECB.AB ＝DEC.AB ＝DCD.AF ＝DE7.如图，已知∠B＝∠D，∠C ＝∠E，AC ＝AE ，则AB 与AD 相等吗？小强同学的思考过程如下，试在括号里填写相应理由.解：在△ABC 和△ADE 中，∠B ＝∠D，∠C ＝∠E，AC ＝AE(已知)， 所以△ABC≌△ADE(AAS).所以AB ＝AD(全等三角形的对应边相等).8.(2020·昆明)如图，AC 是∠BAE 的平分线，点D 是线段AC 上的一点，∠C ＝∠E，AB ＝AD.试说明：BC ＝DE.解：因为AC 是∠BAE 的平分线， 所以∠BAC＝∠DAE. 在△BAC 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAC＝∠DAE，∠C ＝∠E，AB ＝AD ，所以△BAC≌△DAE(AAS). 所以BC ＝DE.9.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB.若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是(B)A.0.5B.1C.1.5D.210.如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(C)A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去11.如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF 的是(A)A.∠A ＝∠DB.AC ＝DFC.AB ＝EDD.BF ＝EC12.如图，要量河两岸相对两点A ，B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD ＝BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上，这时可得△ABC≌△EDC，用于判定全等的最佳依据是ASA.13.如图，已知△ABC≌△A 1B 1C 1，AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的高，则图中全等三角形共有3对.14.如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD＝∠ACE.试说明：BD ＝CE.解：因为AB⊥AC，AD ⊥AE ，所以∠BAE＋∠CAE＝90°，∠BAE ＋∠BAD＝90°. 所以∠CAE＝∠BAD . 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD＝∠CAE，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE， 所以△ABD≌△ACE(ASA). 所以BD ＝CE.15.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过C 点任作一直线PQ ，过点A 作AM⊥PQ 于点M ，过点B 作BN⊥PQ 于点N ，(1)如图1，当直线MN 在△ABC 的外部时，MN ，AM ，BN 有什么关系呢？为什么？(2)如图2，当直线MN 在△ABC 的内部时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出MN 与AM ，BN 之间的数量关系并说明理由.图1 图2解：(1)MN ＝AM ＋BN ，理由如下： 因为AM⊥PQ，BN ⊥PQ ， 所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠MAC＋∠ACM＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠ACM＋∠NCB＝90°. 所以∠MAC＝∠NCB. 在△ACM 和△CBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AMC＝∠CNB，∠MAC ＝∠NCB，AC ＝CB ，所以△ACM≌△CBN(AAS). 所以AM ＝CN ，CM ＝BN. 所以MN ＝MC ＋CN ＝AM ＋BN.(2)(1)中的结论不成立，MN 与AM ，BN 之间的数量关系为MN ＝AM －BN.理由如下： 因为AM⊥PQ，BN ⊥PQ ， 所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠MAC＋∠ACM＝90°. 因为∠ACB＝90°， 所以∠ACM＋∠NCB＝90°. 所以∠MAC＝∠NCB. 在△ACM 和△CBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AMC＝∠CNB，∠MAC ＝∠NCB，AC ＝CB ，所以△ACM≌△CBN(AAS).所以AM ＝CN ，CM ＝BN. 所以MN ＝CN － CM ＝AM －BN.第3课时 边角边(SAS)1.下列三角形中全等的两个是(A)A.①②B.②③C.③④D.①④2.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A ＝∠A 1，AB ＝A 1B 1，再补充下列哪个条件可以根据“SAS ”判断△ABC 和△A 1B 1C 1全等(C) A.AB ＝A 1C 1 B.BC ＝B 1C 1 C.AC ＝A 1C 1 D.AC ＝B 1C 13.如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲说明△ABD≌△ACE，需补充的条件是(C)A.∠B ＝∠CB.∠D ＝∠EC.∠1＝∠2D.∠CAD ＝∠2 4.如图，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC＝25°，∠D ＝80°，求∠BCA 的度数.解：在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(SAS). 所以∠D＝∠B＝80°.所以∠BCA＝180°－∠BAC－∠B＝75°.5.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是(C)A.∠A ＝∠DB.∠ACB ＝∠DBCC.AC ＝DBD.AB ＝DC6.如图，给出下列四个条件：AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF 的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组 7.如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF，AF ＝CE. (1)△ABE 与△CDF 全等吗？请说明理由； (2)写出图中其余两对全等的三角形.解：(1)△ABE≌△CDF. 理由：因为AB∥CD， 所以∠BAE＝∠DCF. 因为AF ＝CE ，所以AF ＋EF ＝CE ＋EF ，即AE ＝CF. 在△ABE 和△CDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠DCF，∠ABE ＝∠CDF，AE ＝CF ，所以△ABE≌△CDF(AAS). (2)△ABC≌△CDA，△ADF ≌△CBE.8.如图，AD 平分∠BAC，BD ＝CD ，则∠B 与∠C 相等吗？为什么？解：相等.理由： 因为AD 平分∠BAC， 所以∠BAD＝∠CAD. 在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，AD ＝AD ，∠BAD ＝∠C AD ， 所以△ABD≌△ACD. 所以∠B＝∠C.以上解答是否正确？若不正确，请说明理由.解：不正确.理由是：错用“SSA ”来证明两个三角形全等，∠BAD 不是BD 与AD 的夹角，∠CAD 也不是CD 与AD 的夹角.9.如图，已知AD ＝AE ，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是AB ＝AC 或∠ADC＝∠AEB 或∠B＝∠C .(不添加任何字母和辅助线)10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长是1.11.已知等边三角形的三条边，三个内角都相等.如图，△ABC 为等边三角形，点D ，E ，F 分别在边BC ，CA ，AB 上，且AE ＝CD ＝BF ，则△DEF 的形状按边分类为等边三角形.12.如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使DE ＝AD ，连接CE. (1)试说明：△ABD≌△ECD；(2)若△ABD 的面积为5，求△ACE 的面积.解：(1)因为点D 是BC 的中点， 所以BD ＝CD.在△ABD 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，∠ADB ＝∠EDC，AD ＝ED ，所以△ABD≌△ECD(SAS).(2)在△ABC 中，点D 是边BC 的中点， 所以S △ABD ＝S △ADC . 因为△ABD≌△ECD， 所以S △ABD ＝S △ECD . 又因为S △ABD ＝5，所以S △ACE ＝S △ACD ＋S △ECD ＝5＋5＝10. 所以△ACE 的面积为10.13.在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 上一点(不与B ，C 重合)，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE，使AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC，连接CE.(1)如图1，若∠BAC＝90°， ①试说明：△ABD≌△ACE； ②求∠BCE 的度数；(2)设∠BAC＝α，∠BCE ＝β.如图2，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.图1 图2解：(1)①因为∠BAC＝∠DAE， 所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE －∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，所以△ABD≌△ACE(SAS). ②由①可得△ABD≌△ACE， 所以∠B＝∠ACE.所以∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB.所以∠BCE＝∠B＋∠ACB.因为∠B＋∠ACB＝180°－∠BAC＝90°， 所以∠BCE＝90°. (2)α＋β＝180°，理由： 因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠D AC ， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE，AD ＝AE ，所以△ABD≌△ACE(SAS). 所以∠B＝∠ACE.所以∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB. 所以∠B＋∠ACB＝β.因为α＋∠B＋∠ACB＝180°， 所以α＋β＝180°.小专题7 判定三角形全等的基本思路1.如图，已知AB ＝ED ，AD ＝EC ，点D 是BC 的中点，试说明：△ABD≌△EDC.解：因为点D 是BC 的中点， 所以BD ＝DC. 在△ABD 和△EDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，所以△ABD≌△EDC(SSS).2.如图，A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝FD ，BC ＝DE ，AE ＝FC ，∠DEF 与∠BCA 相等吗？说明理由.解：∠DEF 与∠BCA 相等.理由：因为A ，E ，C ，F 在同一条直线上，AE ＝FC ， 所以AE ＋EC ＝EC ＋FC ， 即AC ＝EF.在△ABC 和△FDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FD ，BC ＝DE ，AC ＝FE ，所以△ABC≌△FDE(SSS). 所以∠DEF＝∠BCA.3.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，试说明：△ACD≌△EBD.解：因为AD 是△ABC 的中线， 所以BD ＝CD. 在△ACD 和△EBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ，∠ADC ＝∠EDB，DA ＝DE ，所以△ACD≌△EBD(SAS).4.已知在如图所示的“风筝”图案中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC.试说明：∠E＝∠C.解：因为∠BAE＝∠DAC，所以∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE， 即∠CAB＝∠EAD. 在△ADE 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠EAD ＝∠CAB，AE ＝AC ，所以△ADE≌△ABC(SAS). 所以∠E＝∠C.5.如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC 且OD ＝BC. (1)试说明：△AOD≌△OBC； (2)若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数.解：(1)因为点O 是线段AB 的中点， 所以AO ＝BO. 因为OD∥BC， 所以∠AOD＝∠OBC. 在△AOD 和△OBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝OB ，∠AOD ＝∠OBC，OD ＝BC ，所以△AOD≌△OBC(SAS). (2)因为△AOD≌△OBC， 所以∠ADO＝∠OCB＝35°. 因为OD∥BC，所以∠DOC ＝∠OCB＝35°.6.如图，∠ABD ＝∠CDB，∠ADB ＝∠CBD，试说明：△ABD≌△CDB.解：在△ABD 和△CDB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD＝∠CDB，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD， 所以△ABD≌△CDB(ASA).7.如图，已知AB ，CD 交于点O ，E ，F 为AB 上的两点，OA ＝OB ，OE ＝OF ，∠A ＝∠B，∠ACE ＝∠BDF，试说明：△ACE≌△BDF.解：因为OA ＝OB ，OE ＝OF ， 所以AE ＝BF. 在△ACE 和△BDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠ACE ＝∠BDF，AE ＝BF ，所以△ACE≌△BDF(AAS).8.如图，点C ，F 在线段BE 上，BF ＝EC ，∠1＝∠2，AC ＝DF ，试说明：△ABC≌△DEF.解：因为BF ＝EC ，所以BF －CF ＝EC －CF ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，∠1＝∠2，BC ＝EF ，所以△ABC≌△DEF(SAS).9.如图，已知∠1＝∠2，∠B ＝∠D，试说明：CB ＝CD.解：因为∠1＝∠2， 所以∠ACB＝∠ACD. 在△ABC 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠D，∠ACB ＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC(AAS).所以CB ＝CD.10.如图，D 是AC 上一点，AB ＝DA ，DE ∥AB ，∠B ＝∠DAE，试说明：△ABC≌△DAE.解：因为DE∥AB， 所以∠CAB＝∠EDA. 在△ABC 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB＝∠EDA，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE，所以△ABC≌△DAE(ASA).11.如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠DAB ＝70°，∠E ＝40°. (1)求∠DAE 的度数；(2)若∠B＝30°，试说明：AD ＝BC.解：(1)因为AB∥DE，∠E ＝40°， 所以∠EAB＝∠E＝40°. 因为∠DAB＝70°，所以∠DAE＝∠DAB－∠EAB＝30°. (2)在△ADE 和△BCA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAE＝∠B，EA ＝AB ，∠E ＝∠BAC，所以△ADE≌△BCA(ASA). 所以AD ＝BC.12.如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE ，CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC，试说明：(1)△ADO≌△AEO； (2)△BDO≌△CEO.解：(1)因为AO 平分∠BAC， 所以∠DAO＝∠EAO. 因为∠BDC＝∠CEB＝90°， 所以∠ADO＝∠AEO＝90°. 在△ADO 和△AEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO＝∠AEO，∠DAO ＝∠EAO，AO ＝AO ，所以△ADO≌△AEO(AAS). (2)因为△ADO≌△AEO， 所以DO ＝EO. 在△BDO 和△CEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BDO＝∠CEO，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC， 所以△BDO≌△CEO(ASA).小专题8 全等三角形的基本模型1.如图，AB ∥DC ，AC ∥DE ，点C 为BE 的中点，试说明：AB ＝DC.解：因为AB∥DC，AC ∥DE ， 所以∠B＝∠DCE，∠ACB ＝∠E. 因为点C 为BE 的中点， 所以BC ＝CE. 在△ABC 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠B＝∠DCE，BC ＝CE ，∠ACB ＝∠E，所以△ABC≌△DCE(ASA). 所以AB ＝DC.2.已知：如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，EA ∥FB ，EA ＝FB ，AB ＝CD. (1)试说明：∠E＝∠F；(2)若∠A＝40°，∠D ＝80°，求∠E 的度数.解：(1)因为EA∥FB， 所以∠A＝∠FBD. 因为AB ＝CD ， 所以AB ＋BC ＝CD ＋BC ， 即AC ＝BD.在△EAC 和△FBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝FB ，∠A ＝∠FBD，AC ＝BD ，所以△EAC≌△FBD(SAS). 所以∠E＝∠F. (2)因为△EAC≌△FBD， 所以∠ECA＝∠D＝80°. 因为∠A＝40°，所以∠E ＝180°－∠A－∠ECA＝60°.3.如图，点E ，C 在BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DF ，∠B ＝∠F，试说明：∠A＝∠D.解：因为BE ＝CF ，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝FE. 在△ABC 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠B ＝∠F，BC ＝FE ，所以△ABC≌△DFE(SAS). 所以∠A＝∠D.4.如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，AD ＝AE.试说明：BE ＝CD.解：在△AEB 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A，AB ＝AC ，所以△AEB≌△ADC(SAS). 所以BE ＝CD.5.如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，AB ∥CD ，O 是BD 的中点. (1)说明：△ABO≌△CDO；(2)若BC ＝AC ＝4，BD ＝6，求△BOC 的周长.解：(1)因为AB∥CD，所以∠BAO＝∠DCO，∠ABO ＝∠CDO. 又因为O 是DB 的中点， 所以BO ＝DO. 在△ABO 和△CDO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAO＝∠DCO，∠ABO ＝∠CDO，BO ＝DO ，所以△ABO≌△CDO (AAS). (2)因为△ABO≌△CDO， 所以AO ＝CO ＝12AC ＝2.因为BO ＝12BD ＝3，所以△BOC 的周长为BC ＋BO ＋OC ＝4＋3＋2＝9.6.如图，AD ⊥AB 于点A ，BE ⊥AB 于点B ，点C 在AB 上，且CD⊥CE，CD ＝CE.试说明：AD ＝CB.解：因为AD⊥AB，BE ⊥AB ， 所以∠A＝∠B＝90°. 所以∠D＋∠ACD＝90°. 因为CD⊥CE，所以∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°. 所以∠D＝∠BCE. 在△ACD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠D ＝∠BCE，CD ＝EC ，所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AD ＝CB.7.如图，已知点C 是线段AB 上一点，∠DCE ＝∠A＝∠B，CD ＝CE.试说明：AD ＝BC.解：因为∠A＝∠DCE，所以∠D＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCE. 所以∠D＝∠BCE. 在△ACD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，∠D ＝∠BCE，CD ＝EC ，所以△ACD≌△BEC(AAS). 所以AD ＝BC.8.如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ＝DF ，AC ＝DE ，∠A ＝∠D. (1)试说明：AC∥DE；(2)若BF ＝13，EC ＝5，求BC 的长.解：(1)在△ABC 和△DFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，∠A ＝∠D，AC ＝DE ，所以△ABC≌△DFE (SAS). 所以∠ACB＝∠DEF. 所以AC∥DE.(2)因为△ABC≌△DFE， 所以BC ＝EF.所以BE ＝CF ＝12(BF －EC)＝4.所以BC ＝BE ＋EC ＝9.4 用尺规作三角形1.如图，已知线段a ，c 和∠α，求作：△ABC，使BC ＝a ，AB ＝c ，∠ABC ＝∠α，根据作图在下面空格填上适当的文字或字母.(1)如图①，作∠MBN＝∠α；(2)如图②，在射线BM 上截取BC ＝a ，在射线BN 上截取BA ＝c ； (3)连接AC ，如图③，△ABC 就是所求作的三角形. 2.已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是(C) A.平分已知角 B.作已知直线的垂线C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D.作已知直线的平行线3.已知三角形的两个角分别是∠α和∠β，这两角所夹的边等于a ，如图所示，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝a.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△A BC 即为所求.4.已知三边作三角形，用到的基本作图方法是(C) A.作一个角等于已知角 B.平分一个已知角C.在射线上截取一条线段等于已知线段D.作一条直线的垂线5.已知线段a ，b ，c ，如图，求作△ABC，使AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△ABC 即为所求.6.已知线段a ，b 和m ，求作△ABC，使BC ＝a ，AC ＝b ，BC 边上的中线AD ＝m ，作法：①延长CD 到B ，使BD ＝CD ；②连接AB ；③作△ADC，使DC ＝12a ，AC ＝b ，AD ＝m.合理的顺序依次为(A)A.③①②B.①②③C.②③①D.③②①7.如图，已知线段a ，b ，用尺规作△ABC，使AC ＝a ，AB ＝b ，BC ＝2b －a.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示：所以△ABC 即为所求.。
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1.2.2 直角三角形全等的判定(HL) 同步练习
1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )
A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等
C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )
3. 如图，AB＝AC，AC≠BC，AH⊥BC于点H，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AH，BD，CE交于点O，图中全等直角三角形的对数为( )
A．3B．4C．5D．6
4. 如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是( )
A．90°B．60°C．30°D．15°
5. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5 cm，BD＝2 cm，则DE的长是( )
A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm
6. 如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是( )
A．①②③④B．①②③C．①②D．②③
7. 如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12 cm，则DE＝_________cm.
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件__________________________________，使Rt△AEC≌Rt△CD A.
9.3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D和点B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝____．
10. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QP A全等．
11. 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.
(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF全等的理由是___________；
(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等的理由是___________；
(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等的理由是_____________；
(4)若AB＝DE，AC＝DF，则△ABC与△DEF全等的理由是___________．
12. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.
13. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．
14. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由．
15. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD 内部，延长AF交CD于点G，请判断线段GF与GC的大小关系．
16. 如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
参考答案
1---6 BADBC A
7. 12
8. AD＝CE(答案不唯一)
9. 7
10. 5或10 11. (1) ASA (2) AAS (3) SAS (4) HL
12. 证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，⎩
⎪⎨⎪
⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，
∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL )．
13. 解：CE ＝DF .理由如下：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，
AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )，∴AC
＝BD ，∠CAB ＝∠DB A.在△ACE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠CAB ＝∠DBA ，
∠AEC ＝∠BFD ＝90°
，AC ＝BD ，
∴△ACE ≌△BDF (AAS )，∴CE ＝DF .
14. 解：AE ⊥BF ，理由如下：∵AE ＝BF ，AB ＝AC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CAE (HL )，∴∠CAE ＝∠ABF ，∵∠ABF ＋∠AFB ＝90°，∴∠CAE ＋∠AFB ＝90°，∴∠ADF ＝90°，即AE ⊥BF .
15. 解：GF ＝GC ，理由如下：连接EG ，图略．∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，同理，∠B ＝∠EF A ＝90°，∴∠EFG ＝90°，又∵∠C ＝90°，∴∠C ＝∠EFG ＝90°，又∵EG ＝EG ，∴Rt △ECG ≌Rt △EFG (HL )，∴GF ＝G C.
16. 解：(1)证明：∵DB ＝DC ，DE ⊥BC ，∴CE ＝BE (三线合一)．(2)结论：∠ABC －∠ACB ＝2∠ADE .点拨：作BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点G ，求出∠ABG ＝∠BGA ，∠ADE ＝∠CBG .(3)作DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AB 的延长线于点N ，图略．∵∠DAN ＝∠DAM ，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，∴DM ＝DN ，∵DB ＝DC ，∴Rt △DBN ≌Rt △DCM (HL )，∴∠BDN ＝∠CDM ，∴∠CDB ＝∠MDN ，∵∠CAB ＋∠MDN ＝180°，∴∠CDB ＋∠CAB ＝180°，∵∠ACB ＝40°，∠ADE ＝20°，∠ABC －∠ACB ＝2∠ADE ，∴∠ABC ＝80°.∴∠CAB ＝180°－80°－40°＝60°，∴∠CDB ＝120°，∴∠EDB ＝∠EDC ＝60°，∴∠DCB ＝90°－∠EDC ＝30°.。