电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的收敛性
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电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•问题: •(a) 如何建立迭代格式？ •(b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
•
•3.1Jacobi迭代法
• (1)
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
13 1.099999 1.199999 1.299999
14
1.1 1.2 1.3
15
1.1 1.2 1.3
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.1 Jacobi迭代公式
• 设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立 Jacobi迭代公式，即
•由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•➢ 雅可比迭代法的矩阵表示
•写成矩阵形式：
•A
•U
•D
= •L
•Jacobi 迭代阵
•B
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.2 高斯-塞德尔迭代法 (AX=b)
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•2. SOR算法的构造 (基于G-S迭代)
• •解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式：
•
，。
•假设 非奇异，则方程组有唯一解.
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.0 引 言
分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。
(a) 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下， 能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是 Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高.
5 1.095098 1.195099 1.294138
6 1.098338 1.198337 1.298039
7 1.099442 1.199442 1.299335
8 1.099811 1.199811 1.299777
9 1.099936 1.199936 1.299924
10 1.099979 1.199979 1.299975
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•2. SOR算法的构造
• 设方程组AX=b, 其中，A=(aij) 为非奇异阵，
x=(x1, x2, …, xn)T, b=(b1, b2, …, bn)T. 假设已算出 x(k) ，•利用高斯-塞德尔迭代法得:
•ω称为松弛因子
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•
•据此建立迭代公式：
•取迭代初 值
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•迭代结果如下表：
迭代次数 x1
x2
x3
0
000
1
0.72 0.83 0.84
2 0.971 1.07 1.15
3 1.057 1.1571 1.2482
4 1.08535 1.18534 1.28282
•注意到利用Jacobi迭代公式计算 •时，已经计算好了
•的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算， •仍用
• 这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量 利用最新的迭代值，得到
•上式称为 Gauss-Seidel 迭代法.
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.2 高斯-塞德尔迭代法
电力系统迭代法高斯迭 代法迭代法的收敛性
2020/11/27
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.0 引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商
业经济中的各种问题。
• 求解线性方程组 的求解方法，其中
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
•迭代法的基本思想
•• 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
• 其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特 别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices) 的方程组。
•… … … …
•写成矩阵形式：
•GaussSeidel • 迭代阵
•B
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•高斯-塞德尔迭代法算例
•考虑解方程组
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•高斯-塞德尔迭代格式
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
迭代次数 0 1 1.1644 2 1.282054 3 1.297771 4 1.299719 5 1.299965 6 1.299996
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•1. SOR基本思想
• 逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation
Method，简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德 尔迭代法，是 G-S 方法的一种修正或加速，是求解大 型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•3.1Jacobi迭代法
• (1)
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•
•建立与式(1)相等价的形式：
• (2)
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•建立与式(1)相等价的形式：
(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的 近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速 度与误差估计问题。简单实用, 诱人。
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
➢ 一、迭代法的基本思想 ➢ 二、例题分析 ➢ 三、 Jacobi迭代公式
x1 0 0.72
x2
x3
0
0
0.902
1.04308 1.167188
1.09313 1.195724
1.099126 1.199467
1.09989 1.199933
1.099986 1.199992
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•Biblioteka Baidu始
•T •F
•T •T •F
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•问题: •(a) 如何建立迭代格式？ •(b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
•
•3.1Jacobi迭代法
• (1)
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
13 1.099999 1.199999 1.299999
14
1.1 1.2 1.3
15
1.1 1.2 1.3
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.1 Jacobi迭代公式
• 设方程组 AX=b , 通过分离变量的过程建立 Jacobi迭代公式，即
•由此我们可以得到 Jacobi 迭代公式：
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•➢ 雅可比迭代法的矩阵表示
•写成矩阵形式：
•A
•U
•D
= •L
•Jacobi 迭代阵
•B
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.2 高斯-塞德尔迭代法 (AX=b)
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•2. SOR算法的构造 (基于G-S迭代)
• •解方程组AX=b的逐次超松弛迭代公式：
•
，。
•假设 非奇异，则方程组有唯一解.
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.0 引 言
分类： 线性方程组的解法可分为直接法和迭代法两种方法。
(a) 直接法： 对于给定的方程组，在没有舍入误差的假设下， 能在预定的运算次数内求得精确解。最基本的直接法是 Gauss消去法，重要的直接法全都受到Gauss消去法的启发。 计算代价高.
5 1.095098 1.195099 1.294138
6 1.098338 1.198337 1.298039
7 1.099442 1.199442 1.299335
8 1.099811 1.199811 1.299777
9 1.099936 1.199936 1.299924
10 1.099979 1.199979 1.299975
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•2. SOR算法的构造
• 设方程组AX=b, 其中，A=(aij) 为非奇异阵，
x=(x1, x2, …, xn)T, b=(b1, b2, …, bn)T. 假设已算出 x(k) ，•利用高斯-塞德尔迭代法得:
•ω称为松弛因子
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•
•据此建立迭代公式：
•取迭代初 值
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•迭代结果如下表：
迭代次数 x1
x2
x3
0
000
1
0.72 0.83 0.84
2 0.971 1.07 1.15
3 1.057 1.1571 1.2482
4 1.08535 1.18534 1.28282
•注意到利用Jacobi迭代公式计算 •时，已经计算好了
•的值，而Jacobi迭代公式并不利用这些最新的近似值计算， •仍用
• 这启发我们可以对其加以改进,即在每个分量的计算中尽量 利用最新的迭代值，得到
•上式称为 Gauss-Seidel 迭代法.
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.2 高斯-塞德尔迭代法
电力系统迭代法高斯迭 代法迭代法的收敛性
2020/11/27
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.0 引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商
业经济中的各种问题。
• 求解线性方程组 的求解方法，其中
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
•迭代法的基本思想
•• 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
• 其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特 别适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices) 的方程组。
•… … … …
•写成矩阵形式：
•GaussSeidel • 迭代阵
•B
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•高斯-塞德尔迭代法算例
•考虑解方程组
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•高斯-塞德尔迭代格式
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
迭代次数 0 1 1.1644 2 1.282054 3 1.297771 4 1.299719 5 1.299965 6 1.299996
•§8.3 超松驰迭代法SOR方法
•1. SOR基本思想
• 逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation
Method，简写为SOR)可以看作带参数ω的高斯-塞德 尔迭代法，是 G-S 方法的一种修正或加速，是求解大 型稀疏矩阵方程组的有效方法之一。
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•3.1Jacobi迭代法
• (1)
•其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
•
•建立与式(1)相等价的形式：
• (2)
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•2 例题分析:
•考虑解方程组
•建立与式(1)相等价的形式：
(b) 迭代法：基于一定的递推格式，产生逼近方程组精确解的 近似序列.收敛性是其为迭代法的前提，此外，存在收敛速 度与误差估计问题。简单实用, 诱人。
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
➢ 一、迭代法的基本思想 ➢ 二、例题分析 ➢ 三、 Jacobi迭代公式
x1 0 0.72
x2
x3
0
0
0.902
1.04308 1.167188
1.09313 1.195724
1.099126 1.199467
1.09989 1.199933
1.099986 1.199992
电力系统迭代法高斯迭代法迭代法的 收敛性
•Biblioteka Baidu始
•T •F
•T •T •F
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