三角形的内角和(提高)知识讲解

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三角形的内角和公式

三角形的内角和公式
三角形是平面上的一种基本的几何图形，其内部有三个角。

三角形的
内角和是指三个角度的和。

对于任意一个三角形，其内角和总是恒定的，
即180度。

对于任意一个三角形，我们可以用三边的长度或者三个角度来描述它。

根据三角形的性质，我们知道三角形的三个内角和总是等于180度。

设三角形的三个内角分别为A、B、C，则有：
A+B+C=180°
其中A、B、C分别代表三角形的三个内角的度数。

这个公式可以适用
于任意一个三角形，不论是等边三角形、等腰三角形还是普通三角形。

三角形的内角和公式还有一种更广泛的应用，即在几何题中求解三角
形的内角和，从而确定三角形的性质和关系。

通过内角和公式，我们可以
判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，从而解决各
种与三角形相关的问题。

在解决三角形问题时，我们经常会用到三角形的内角和公式。

通过合
理应用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种三角形问题，提高我们
的数学水平和解题能力。

总之，三角形的内角和公式是解决三角形问题的基础，通过掌握和应
用这个公式，我们可以更好地理解和解决各种与三角形相关的问题。

希望
大家能够认真学习和应用这个公式，提高自己的数学水平和解题能力。

三角形及其性质(提高)知识讲解

三角形及其性质（提高）知识讲解撰稿：常春芳责编：康红梅【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．6. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点五、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号1．AD 是△ABC 的高．1．AD 是△ABC 的中1．AD 是△ABC 的角平语言2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°)线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝BC 124．点D 是BC 边的中点．分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°)因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝∠BAC ．12用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．要点六、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)

专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒，直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒，即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解．【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论；（3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务．三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩，即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。

与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

青岛版小学数学四年级下册《三角形的内角和》的说课稿

青岛版小学数学四年级下册《三角形的内角和》的说课稿一、教材分析《三角形的内角和》是青岛版小学数学四年级下册的内容，是在学生已经初步认识了三角形的基础上进行教学的。

教材中首先让学生通过测量、撕拼、折叠等方法，发现三角形的内角和是180度，然后通过这一结论解决实际问题。

通过学习，可以进一步发展学生的空间观念，提高逻辑推理能力和解决简单问题的能力。

二、学情分析四年级的学生已经掌握了一定的几何知识和方法，能够初步认识和理解几何图形。

同时，他们也具备了一定的探究能力和小组合作意识，能够在教师的引导下，通过观察、实验、推理等方式，自主探究几何图形的性质和规律。

三、教学目标1. 通过实验、操作、观察等方式，发现三角形的内角和是180度。

2. 能够运用这一结论解决实际问题。

3. 培养学生的空间观念、逻辑推理能力和解决简单问题的能力。

4. 培养学生的探究意识和合作精神。

四、教学重难点1. 教学重点：通过实验、操作、观察等方式，发现三角形的内角和是180度。

2. 教学难点：能够运用这一结论解决实际问题。

五、教具准备多媒体课件、实物投影仪、量角器、剪刀、三角形纸片若干。

六、教学过程1. 导入新课：通过复习旧知，引导学生回忆关于三角形的基本知识，为学习新知做好铺垫。

2. 探究新知：通过实验、操作、观察等方式，引导学生发现三角形的内角和是180度。

具体包括以下步骤：（1）引导学生用量的方法测量三角形的内角，并计算它们的和。

（2）引导学生用撕的方法将三角形纸片的三个内角撕下来，拼成一个平角，观察是否等于180度。

（3）引导学生用折的方法将三角形纸片折叠成平角，观察是否等于180度。

3. 巩固练习：通过多种形式的练习，让学生进一步巩固所学知识，提高解题能力。

具体包括以下步骤：（1）基础练习：让学生完成教材中的练习题，进一步巩固所学知识。

（2）提高练习：让学生用今天所学的知识解决实际问题，如计算多边形的内角和等。

4. 课堂小结：引导学生总结本节课的收获和不足之处，加深对知识的理解和记忆。

四年级数学教案《三角形的内角和》(精选10篇)

四年级数学教案《三角形的内角和》〔精选10篇〕四年级数学教案《三角形的内角和》〔精选10篇〕四年级数学教案《三角形的内角和》篇1教学目的⑴探究并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。

⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的才能。

⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。

教学重点：检验三角形的内角和是180°。

教学难点：引导学生通过实验探究得出三角形的内角和是180度。

教学环节：问题情境与老师活动：学生活动媒体应用设计意图目的达成导入新课一、复习旧知，导入新课。

1、复习三角形分类的知识。

师出示三角形，生快速说出它的名称。

2、什么是三角形的内角？我们通常所说的角就是三角形的内角。

为了便于称呼，我们习惯用∠A、∠B、∠c来表示。

什么是三角形的内角和？三角形“三个内角的度数之和”就是三角形的内角和。

用一个含有∠A、∠B、∠c的式子来表示应该如何写？∠A+∠B+∠c。

3、今天这节课啊我们就一起来研究三角形的内角和。

〔揭题：三角形的内角和〕由三角形的内角引出三角形的内角和，“∠A+∠B+∠c”的表示形式形象的表达出三内角求和的关系二、动手操作，探究新知1、出示三角板，猜一猜。

师：这个三角形的内角和是多少度？熟悉这副三角板吗？请拿出形状与这块一样的三角板，并同桌互相指一指各个角的度数把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。

是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？我们得想个方法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？3.学生测量4.汇报的测量结果除了我们这节课大家想到的方法，还有很多方法也能验证三角形的内角和是180°到初中我们还要更严密的方法证明三角形的内角和是180°5、稳固知识。

一个三角形中能不能有两个直角？能不能有2个钝角？三、应用所学，解决问题。

三年级三角形的内角和教案

三年级三角形的内角和教案一、教学目标1.让学生通过观察、操作、推理等方法，探索三角形的内角和。

2.使学生理解三角形的内角和是180度，并能运用这个性质解决一些简单的问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

二、教学重难点【重点】探索三角形的内角和。

【难点】理解三角形的内角和是180度。

三、教学准备1.教学课件2.三角形模型3.量角器四、教学过程1.导入新课师：同学们，我们学过了三角形，谁能告诉我三角形有什么特点？生：三角形有三条边，三个角。

师：很好！那么，你们想知道三角形的内角和是多少吗？今天我们就来研究这个问题。

2.探索三角形的内角和（1）观察三角形的内角师：请同学们拿出一个三角形模型，观察三角形的三个角。

师：谁能告诉我在三角形中，哪个角最大？哪个角最小？生：∠A最大，∠C最小。

（2）猜测三角形的内角和师：根据我们观察到的，你们能猜测一下三角形的内角和是多少吗？生1：我觉得三角形的内角和应该是180度。

生2：我也觉得是180度，因为三角形的三个角加起来应该是一个平角。

师：很好！那我们一起来验证一下。

（3）验证三角形的内角和师：请同学们拿出量角器，分别测量三角形的三个角的度数，然后相加。

生：经过测量，我发现∠A是60度，∠B是70度，∠C是50度。

它们的和是180度。

师：很好！还有其他同学也测量了吗？结果是多少？生：是的，我也测量了，结果是180度。

师：通过大家的测量，我们发现三角形的内角和确实是180度。

3.应用三角形的内角和（1）解决问题师：现在我们知道了三角形的内角和是180度，那么我们可以用这个性质来解决一些问题。

题目1：已知一个三角形的两个内角分别是40度和70度，求第三个内角的度数。

生：根据三角形的内角和是180度，第三个内角的度数是180度减去40度和70度，即70度。

（2）巩固练习师：请同学们完成课本P35的练习题。

师：通过今天的学习，我们知道了三角形的内角和是180度，并且能运用这个性质解决一些问题。

三角形的内角与教案

三角形的内角与教案一、教学目标1. 让学生理解三角形内角的概念及性质。

2. 掌握三角形内角和定理，并能运用其解决实际问题。

3. 培养学生的观察、分析、推理能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：三角形内角的概念、性质及三角形内角和定理。

2. 教学难点：三角形内角和定理的证明及应用。

三、教学准备1. 教师准备：三角板、多媒体课件。

2. 学生准备：笔记本、文具。

四、教学过程1. 导入：通过复习平面几何的基本概念，引导学生回顾角度的概念，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课讲解：（1）讲解三角形内角的概念，引导学生通过观察三角板上的角度标记，了解三角形内角的特点。

（2）介绍三角形内角的性质，如内角和定理，并通过多媒体课件展示证明过程。

（3）举例说明三角形内角和定理的应用，让学生尝试运用所学知识解决实际问题。

3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成，检验对三角形内角概念、性质及内角和定理的理解。

（2）挑选几名学生的作业进行讲解、点评，纠正错误，巩固所学知识。

4. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调三角形内角的概念、性质及内角和定理的重要性。

5. 作业布置：布置课后作业，要求学生巩固三角形内角的知识，为下一节课的学习做好准备。

五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

关注学生在课堂上的参与程度，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维。

六、教学拓展1. 引导学生思考：除了三角形，其他多边形的内角和有什么规律？2. 学生分组讨论，探索四边形、五边形等多边形的内角和规律。

3. 各组汇报讨论成果，教师进行点评、总结。

七、实践操作1. 让学生用三角板拼出不同的三角形，观察它们的内角和是否符合定理。

2. 学生分组进行实践操作，记录数据，进行总结。

3. 选取几组数据进行讲解，强调实践操作在几何学习中的重要性。

八、课堂提问1. 提问：三角形内角和定理的证明过程是否困难？为什么？2. 学生回答，教师点评，引导学生思考如何简化证明过程。

三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

人教版八年级上册数学教案：11.2.1三角形的内角和

4.通过实际操作和练习，培养学生观察、分析、推理和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养，通过探索三角形内角和定理的证明过程，理解数学概念的形成和发展。
2.强化学生几何直观和空间想象能力，通过观察、操作和思考，把握三角形内角和的性质，提高解决几何问题的能力。
3.培养学生数学建模和问题解决的核心素养，运用三角形内角和定理解决实际问题，增强数学知识的应用意识。
-在实际问题中灵活运用三角形内角和定理，特别是当角度信息不完整时，如何确定未知角度。
举例：
-难点突破：在证明三角形内角和定理时，可引导学生通过折纸或拼接等方法，将三角形的三个内角拼在一起，形成一条直线，从而直观感受内角和为180°。
-在解决综合问题时，例如一个三角形有两个内角分别为60°和80°，要求学生求第三个角的度数。此时，教师需要引导学生运用内角和定理，即180° - 60° - 80° = 40°，并解释如何将问题转化为求未知角的问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形内角和定理和如何应用这个定理解决实际问题这两个重点。对于难点部分，比如定理的证明，我会通过动画演示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形内角和相关的实际问题，如如何根据已知的两个角度计算第三个角度。
4.培养学生合作交流的能力，通过小组讨论和分享，提升团队协作和表达自己观点的能力，促进数学思维的碰撞与提升。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°，这是本节课的核心内容，是后续学习三角形性质的基础。
-学会运用三角形内角和定理解决实际问题，如已知两个角的度数，求第三个角的度数等。

四年级数学教案三角形的内角和

四年级数学教案三角形的内角和一、教学目标1.让学生理解三角形内角和的概念。

2.使学生掌握三角形内角和为180度的性质。

3.培养学生运用三角形内角和的性质解决实际问题的能力。

二、教学重难点重点：理解三角形内角和为180度。

难点：运用三角形内角和的性质解决实际问题。

三、教学准备1.教具：三角形模型、直尺、圆规、三角板。

2.学具：三角形纸片、剪刀、胶水。

四、教学过程（一）导入新课1.教师出示一个三角形，提问：“同学们，你们知道三角形有什么特点吗？”（二）探究三角形内角和1.教师提问：“同学们，你们知道三角形的内角和是多少度吗？”2.学生猜测，教师给出提示：我们可以通过实验来验证。

3.学生分组实验，用三角板测量三角形的内角和。

（三）三角形内角和的性质1.教师提问：“同学们，你们知道三角形的内角和为什么是180度吗？”2.学生思考，教师给出提示：我们可以通过画图来理解。

3.学生画图，发现三角形的内角和可以拼成一个平角。

（四）巩固练习1.教师出示练习题，让学生运用三角形内角和的性质解决问题。

2.学生独立完成，教师点评。

（五）拓展延伸1.教师出示三角形模型，提问：“同学们，你们知道三角形的内角和与边长有什么关系吗？”2.学生思考，教师给出提示：我们可以通过观察三角形的形状来理解。

3.学生观察，发现三角形的内角和与边长有关。

（六）课堂小结1.教师提问：“同学们，本节课我们学习了什么内容？”五、作业布置1.完成课后练习题。

2.收集生活中的三角形，观察并记录三角形的内角和。

六、教学反思本节课通过实验、观察、讨论等方式，让学生理解三角形内角和的概念，掌握三角形内角和为180度的性质，并培养学生运用三角形内角和的性质解决实际问题的能力。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与，激发学生的学习兴趣，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识。

同时，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到提升。

重难点补充：一、教学重点1.理解三角形内角和为180度的概念。

教案：《三角形的内角和》

教案：《三角形的内角和》一、教学目标1.让学生理解三角形的内角和定理，掌握三角形内角和的计算方法。

2.培养学生运用三角形内角和定理解决实际问题的能力。

3.激发学生对几何学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学重点与难点1.教学重点：三角形内角和定理的理解与应用。

2.教学难点：三角形内角和定理的证明过程。

三、教学过程（一）导入1.利用多媒体展示三角形图片，引导学生观察三角形的特征。

2.提问：同学们，你们知道三角形有什么特征吗？3.学生回答：三角形有三条边、三个角。

（二）新课讲解1.引导学生回顾已学的角的分类知识，如直角、锐角、钝角等。

2.提问：同学们，你们知道三角形的内角和是多少吗？3.学生回答：不知道。

4.教师讲解三角形内角和定理：三角形内角和等于180度。

5.利用多媒体展示三角形内角和定理的证明过程，让学生直观地感受定理的正确性。

（三）案例分析1.展示案例1：一个等边三角形，求它的内角和。

2.学生独立思考，尝试运用三角形内角和定理解决问题。

3.学生回答：等边三角形的内角和为180度。

4.展示案例2：一个直角三角形，求它的内角和。

5.学生独立思考，尝试运用三角形内角和定理解决问题。

6.学生回答：直角三角形的内角和为180度。

（四）课堂练习1.布置练习题，让学生独立完成。

2.练习题包括：求不同类型三角形的内角和、运用三角形内角和定理解决实际问题等。

3.学生完成后，教师批改并讲解答案。

2.提问：同学们，你们还能想到哪些与三角形内角和有关的问题？3.学生回答：四边形的内角和、多边形的内角和等。

4.教师布置课后作业：研究四边形、五边形等图形的内角和。

四、课后作业1.复习三角形内角和定理，理解其证明过程。

2.完成课后练习题，巩固所学知识。

3.研究四边形、五边形等图形的内角和，尝试运用所学知识解决实际问题。

五、教学反思本节课通过多媒体展示、案例分析、课堂练习等多种教学方法，使学生掌握了三角形内角和定理，并能够运用该定理解决实际问题。

人教版八年级数学上册第11章《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)含习题答案

要点三、三角形的内角和与外角和
1.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形
2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
3.三角形的外角和：三角形的外角和等于 360°.
举一反三：
【变式】已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．
【答案】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，
=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c =2b． 2.如图，O 是△ABC 内一点，连接 OB 和 OC．
类型三、与三角形有关的角
4.已知△ABC 中，AE 平分∠BAC （1）如图 1，若 AD⊥BC 于点 D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE 的度数；（2）如图 2，P 为 AE 上一个动点（P 不与 A、E 重合，PF⊥BC 于点 F，若∠B＞∠C，则
∠EPF=
是否成立，并说明理由．
【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1 的度数，进而得到∠3 的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3 计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图 1，∵∠B=72°，∠C=36°，
解：如图(1)，设 AB＝x，AD＝CD＝ 1 x ． 2

四年级数学第八册教材知识全解三角形的内角和

3 三角形的内角和(教材85—89页)课标要求全解.目标指南1．通过实验，操作活动，推理归纳出三角形内角和是180°。

2．能运用三角形的内角和知识解决实际问题。

3．通过摆拼，感受数学的转化思想。

重点难点重点：理解掌握三角形内角和是180°。

难点：运用三角形的内角和解决实际问题。

教材知识全解知识讲解知识点一三角形的内角和问题导入画几个不同类型的三角形。

量一量、算一算，三角形三个内角的和各是多少度? 过程讲解1．理解内角及内角和：三角形的内角是指三角形里面的角，三角形的内角和就是这三个内角的度数之和。

2．量一量、算一算三角形的内角和。

∠1+∠2+∠3＝50°+60°+70°＝110°+70°＝180°∠1+∠2+∠3＝90°+40°+50°＝130°+50°＝180°∠1+∠2+∠3＝45°+105°+30°＝150°+30°＝180°通过量一量、算一算，发现三角形的内角和是180°。

但是测量时往往会出现误差，不能肯定三角形的内角和就是180°，所以还要用实验的方法加以验证。

用量角器测量角的度数时，有时会出现误差。

3．验证三角形内角和是180°。

(1)剪一剪，拼一拼。

把三角形的三个内角剪下来拼一拼，如果拼成一个平角，则证明三角形内角和是180°。

(如下图)书写提示书写度数时不要将“°”或“度”丢掉。

通过剪拼，发现三角形的三个内角和正好拼成一个平角。

因为平角是180°，所以验证三角形的内角和是180°。

要点提示运用剪、拼的方法时，原三角形中每个内角一定要标上记号，以防拼时用错角。

(2)折一折。

先把∠2沿横的虚线折过来，使它的顶点落在底边上，再把∠1和∠3分别沿竖的虚线折过来，使三个角正好拼在一起。

四年级数学下册《三角形的内角和》教案、教学设计

（五）总结归纳
1.知识梳理：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如三角形的定义、内角和性质等，帮助学生巩固记忆。
2.归纳总结：让学生谈谈自己在学习三角形内角和过程中的收获和体会，以及遇到的困难和解决方法。
3.情感升华：教师强调数学学习的意义和价值，激发学生对数学的热爱和追求，为后续学习奠定基础。
五、作业布置
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入生活实例：展示一些生活中常见的三角形物体，如自行车的三角架、衣架等，引导学生观察并思考这些物体的共同特征，从而引出三角形的概念。
2.提出问题：让学生回顾已学的平面图形，提问：“我们学过哪些平面图形？它们有什么特点？”通过这个问题，让学生将新旧知识联系起来，为新课的学习做好铺垫。
4.设计丰富多样的练习题，帮助学生巩固所学知识，形成技能，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学习的兴趣，使学生感受到数学的趣味性和挑战性，培养良好的学习习惯。
2.培养学生的探究精神，让学生在探索三角形内角和的过程中，体验到数学发现的乐趣，增强自信心。
3.培养学生的团队合作意识，让学生在小组活动中学会倾听、尊重他人意见，提高人际交往能力。
3.导入新课：在学生对三角形有了初步的认识后，提出本节课的核心问题：“三角形的内角和是多少度？如何验证？”激发学生的好奇心和求知欲，为新课的学习营造良好的氛围。
（二）讲授新知
1.概念讲解：通过黑板演示和实物展示，让学生明确三角形的定义，了解三角形的基本组成元素，如顶点、边、内角等。
2.探索内角和：教师引导学生运用量角器测量三角形的内角度数，让学生观察、思考、总结三角形内角和的特点。在此过程中，教师给予适当的提示和指导，帮助学生发现内角和的性质。

2024版《三角形内角和》数学教案(精选)

2024/1/29
23
关键知识点回顾总结
01
三角形内角和定理
任意三角形的内角和等于180度。
02
三角形内角和定理的证明方法
通过平行线的性质或角的平分线的性质进行证明。
2024/1/29
03
三角形按角分类
锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，以及它们各自的内角和特点。
24
学生自我评价报告
我已经理解了三角形内角和定理，并能够运用它解决相关问题。
情感目标
通过探究三角形内角和的性质，激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的数学素养和审美情趣。
5
课程安排与时间
知识讲解（15分钟）
详细讲解三角形内角和的定义、性质及推导过程，引导学生理解并掌握相关知识。
范例分析（10分钟）
通过分析典型例题，帮助学生巩固所学知识，提高学生的解题能力。
课堂练习（10分钟）
解。
2024/1/29
26
THANKS
感谢观看
2024/1/29
27
直角三角形
在直角三角形中，一个角为90度。因此，我们可以利用三角形内角和定理来求解直角三角形的另外两个角。例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，则另一个锐角为180度 - 90度 - 30 度 = 60度。
14
04
拓展延伸：多边形内角和计算
2024/1/29
15
多边形划分为三角形方法
2024/1/29
《三角形内角和》数学教案(精选 2024)
2024/1/29
1
目录
• 课程介绍与目标 • 基础知识回顾 • 探究三角形内角和定理 • 拓展延伸：多边形内角和计算 • 巩固练习与提高 • 课堂小结与作业布置

西师大版四年级数学下册第四单元《三角形的内角和》(教案+作业设计)

《三角形的内角和》【教材版本】西师版四年级下册第四单元《三角形的内角和》【教学目标】1.理解和掌握三角形的内角和是180°；运用三角形的内角和知识解决实际问题和拓展性问题。

2.通过逻辑推理和实验操作的方法，探索和发现三角形的内角和是180°；知道三角形两个角的度数，能求出第三个角的度数；3.发展学生动手操作、推理思考和抽象概括的能力。

【教学重点】经历三角形内角和的探究过程，运用三角形的内角和知识解决实际问题。

【教学难点】运用逻辑推理的方法探索三角形的内角和是180度。

一、复习旧知引新知我们知道，三角形有三个顶点，三条边，和三个角。

每两条边所夹的角叫做三角形的内角。

∠1 、∠2 、∠3就是三角形的内角。

每个内角都有自己的度数，而三角形三个内角度数的和，就叫做三角形的内角和。

那三角形的内角和是多少呢？二、探索证明三角形内角和是180度1.利用长方形推理证明同学们，你们还记得这两块三角尺每个角的度数吗？这个三角尺的内角分别是90°、60°、30°，这个三角尺的三个内角分别是90度和两个45度。

通过计算，我们发现，每个三角尺的内角和都是180度。

那是不是所有的三角形内角和都是180度呢？怎样来进行验证呢？请同学们开动脑筋想一想。

2.测量证明通过测量的方法，有的刚好等于180度的，有的比180度大一点，或比180度小一点，结果都在180度左右。

操作中有时难免会存在一些误差，那除了量有没有其他的办法验证呢？想一想，如果没有量角器，还有什么办法找出三角形三个内角的和是多少呢？3.剪拼证明先把锐角三角形的三个锐角剪下来，再拼一拼，看，正好拼成了一个180度的平角。

说明这个锐角三角形的内角和是180度。

我再拿了一个钝角三角形，同样的，我把它的三个角剪下来，再拼一拼，也刚好拼成一个180度的平角，说明这个钝角三角形的内角和也是180度。

最后拿一个直角三角形，再来剪一剪，然后拼一拼，又拼成了一个180度的平角。

人教版八年级数学：与三角形有关的角(提高) 知识讲解

与三角形有关的角（提高）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．【思路点拨】由∠A＝12∠B＝13∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和∠C的度数，从而判断三角形的形状．【答案与解析】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．故△ABC是直角三角形．【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【答案】60.【变式2】（2015春•新沂市校级月考）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．【答案】40°.解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，。