常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法
下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时
()t f p D -1对应的特解为()dt t f e
e
X pt
pt
⎰
-=,
即 ()()t f e
D
e
t f p
D pt
pt
-=-11； （21）
B 、p 为s 重根时()t f p D s
)
(1-对应的特解为()()s
pt
s
pt
s
dt t f e e
X
-⎰⎰⎰=
,
即
()()t f e
D
e
t f p D pt
s
pt
s
-=-1)
(1。 （22）
注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()
t
t e
e x D D
22
6-+=--； 2）()
t x D
sin 12
=+；
3) ()
2
2
1t x D D
+=+； 4) (
)
t
e
e
x D D
=+-232
。
解：设特解为X 1) 解1：
()()()t
t
t
t
t
t
e
e
D e e
D e
e
D D 2222
2
1
51315161
---++-
+-=+--
()()dt
e
e
e
e dt
e e
e
e
t
t
t
t
t
t
t
t
⎰
⎰
----+-
+=
2222335
151
t
t
t
t
t
t
t
e
te e te e e
e 222225
15
16
15
115
125
1
10
1-----
-
-
=-
--
-
=
取t
t
te
e X 25
常系数非齐次线性微分方程
解的稳定性
01
定义
解的稳定性是指当微小扰动作用 于方程时，其解的性态是否会发 生变化。
02
03
判断方法
应用
通过分析方程的特征根来判断， 如果特征根实部为负，则解是稳 定的。
在物理、工程等领域中，解的稳 定性对于预测系统的行为至关重 要。
解的唯一性
定义
解的唯一性是指对于给定的初始条件，方程是 否只有一个解。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方 程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
实例2
求解方程$y'' - 4y = 2x$，通过变量代换法得到通解 $y = (C_1 + C_2x^2)e^{2x}$。
实例3
求解方程$y'' - y = sin x$，通过积分法得到 通解$y = (C_1 + C_2x) + frac{1}{2}sin x$。
常系数非齐次线性方程解法
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铃
例1 求微分方程y2y3y=3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y=0的特征方程为r22r3=0 因为f(x)=Pm(x)ex=3x1 =0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b1=3x1
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二、f(x)=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型
结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx] 有形如 y*=xkex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=max{l n} 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
一、 f(x)=Pm(x)ex 型
设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为y*=Q(x)ex 则得 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) ——(＊)
提示
y*py*qy* =[Q(x)ex][Q(x)ex]q[Q(x)ex] =[Q(x)+2Q(x)+2Q(x)]exp[Q(x)+Q(x)]ex+qQ(x)ex =[Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)]ex
118常系数非齐次线性微分方程
19
dk dtk
(k
2, 3, ),则由上述计算可知:
xy Dy
x2 y D2 y D y D(D 1) y
用归纳法可证 xk y(k) D(D 1)(D k 1) y
于是欧拉方程
xn y(n) p1xn1y(n1) pn1x y pn y f (x)
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
2020年1月21日星期二
(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)
5
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
2020年1月21日星期二
(Spring,2012,14ppt,L.G.YUAN)
4
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
对非齐次方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
42常系数线性微分方程的解法-精品文档
( K K ) t K t K t 1 2 1 e e e2 ( 乘积 )
de Kt Ke dt
Kt
( 微分 )
Kt dne n Kt K e ( 高阶微分 ) n dt
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
5、复值解的定义
定义于a t b区间上的实变量复值函数 x z(t) 称为方程 （4.1）的复值解。如果
( 4 . 2 )
问题：讨论（4.1）-（4.2）的通解？ 于是有下面两个重要定理
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
4.2 常系数线性微分方程的解法
齐次线性微分方程通解结构定理
( t ), x ( t ), ,x ( t ) 定理6 如果 x 是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方 1 2 n
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
1、复值函数在点连续的定义
如果对于区间 a ( t ) ( t ) i ( t ) t b 中的每一实数t，有复数 z 与它对应，其中 ( t ) 和 (t ) 是在区间 a 上定义的实函数，i t b
是虚单位，就说在区间 a 上给定了一个复值函数z ( t ) 。如果 t b
程（4.2）的通解可表为：
x c x ( t ) c x ( t ) c x ( t ) （4.11） 1 1 2 2 n n
常系数非齐次线性微分方程-2022年学习资料
例2求方程y"-3y'+2y=xe2的通解-特征方程r2-3r+2=0,-特征根-r1=1,r2=2,-对 齐次方程通解Y=c,e+c2e2,-©入=2是单根，设y=xAx+B,-代入方程，得2Ax+B+2A=x是-x2-e-B=-1-原方程通解为y=C,e+C,e2r+xx-1e2-正页-氨回
例3求方程2y”+5y'=5x2-2-1的通解-上页-下页-返回
-、fx=ePmx型-y"+py'+qy=fx-设非齐方程特解为y=Qxex代入原方程-Q"x+22+p2 x+2+p2+q2x=Pmx-1若2不是特征方程的根，入+p2+q≠0，-可设0r=2nx,y=2mxe; 2若2是特征方程的单根，-2+p2+q=0,-22+p≠0，-可设x=x2nx,y=x2nxe;-上页-返
三、小结-待定系数法-1fx=ePnx,2可以是复数-y=xe"e.x;-2f x=e"[Pxcosa+P xsin aux],-y=x'e[Rxcosax+Rxsinax];-只含上式一项解法：作辅助方程，求特wk.baidu.com 取-特解的实部或虚部，得原非齐方程特解.-上页-返回
常微分方程pdf
常微分方程
常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程
我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：
$$
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
$$
其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出
$y=y(x)$的解。这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。通常我们使用分离变量法。具体步骤如下：
1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到
$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\int
dx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程
二阶常微分方程的一般形式为：
$$
y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
$$
其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：
1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程
$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
常系数非齐次线性微分方程
第52讲常系数非齐次线性微分方程一一常系数非齐次线性微分方程
微分方程y 〃 + py' + qy = ea^Pm^^^fix + R(x)sin/?x]的特解 可设 为
y* = %ke，x[&，i)(x)cos/?x + /?^2\x)sin/?x]
其中n = max(m, Z) , R^\x)和応2)3)均为次数不超过「的多项 式， k的值为0或1. 当a +於不是特征方程r 2 + pr + q = 0的根时,k = 0 ； 当a +於是特征方程r 2 + pr + q = 0的根时，k = 1 .
y* = e"*Qm(x) (QmQc)为血次多项式)
蜀 _________
遍二丿第52讲常系数非齐次线性微分方程一一常系数非齐次线性微分方程
Q''(x) + (2A + p)Q'(x) + (乃 + 似 + q)Q(x) = %(x)
⑵若人是特征方程乃+眼+ q = 0的单根，艮卩 乃 + 似 + q = 0 但 24 + p A 0 Q”(x) + (2A +
第52讲常系数非齐次线性微分方程一一常系数非齐次线性微分方程
Q〃(x) + (22 + 0)Q'(x) + (乃 + 0人 + q)Q(x) = Pm(x) (1)若人不是特征方程人2 +財+ q = 0的根，即
常系数非齐次线性微分方程组的初等解法
Ａ ０ Ｐｒ ＡＰ — Ｆ — ０ Ａ， … … ０ ０
状 时， 非齐 次 方程 （ ）的特 解 可用 待定 系 数法求 解 ． １ 现在 我们 考虑 ，元 一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性微 分 ｚ
方 程 组
ｄｘ
下
—
０
０
… Ａ一
Ａｘ＋ 厂 （）
（） ３
ｄｔ
其 中 Ｆ是 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ 准 型 ， ｒｂ ｎｕ 标
ｒ １＋ ｒ ２＋ … ＋ ｒ 一 ”，
Ｏ Ｏ Ａ， 一 ０
一百度文库
其 中
Ｘ （ １ Ｌ２ … ， － ， ， ｚ ｚ － ） ｚ
非 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 （ ）化 为 若 干 个 相互 独 立 的 ３
警
ｄＪ ｎ！＋ Ｔ
＋・“警 —（ （ 的求解 问题转 化 为 高 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性微 分方 程 ． Ｉ ｆ）１ ． 十 ｔ ）
的求解 问题．
高 阶常 系数非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ， 而 将 方程 组 （ ） 从 ３
Ｖ０ ． ３， ． Ｉ １ ＮＯ ３
Ｍａ ｙ，２ ０ ０１
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ ＣＯＬＬ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
高 等 数 学 研 究
常系数非齐次线形微分方程
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
03 微分方程的解的性质
解的存在性
存在性定理
对于给定的常系数非齐次线性微分方程，如果其系数满足一定条件，则该方程在某个区 间内至少存在一个解。
证明方法
利用常数变易法和反证法等数学工具进行证明。
解的唯一性
唯一性定理
在给定初始条件和初值的情况下，常系数非 齐次线性微分方程的解是唯一的。
证明方法
利用微分方程解的唯一性定理和常数变易法 等数学工具进行证明。
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以用来描述信号的滤 波、调制和解调等过程。
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解学习资料
此时2+p+q0 2+p0
要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xm+b1xm1+ +bm1x+bm
下页
❖结论
二阶常系数非齐次线性微分方程
有形如
y+py+qyPm(x)ex
y*xkQm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征
特解wenku.baidu.com式
例2 求微分方程y5y+6yxe2x的通解
解 齐次方程y5y+6y0的特征方程为r25r +60
其根为r12 r23
因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根
所以非齐次方程的特解应设为
y*x(b0x+b1)e2x 把它代入所给方程 得
2b0x+2b0b1x
比较系数
得b0
1 2
b11
故 y* x( 1 x 1)e2x 2
因此所给方程的通解为
y
C1e2x
+
C2e3x
1 2
(x2
+
2x)e2x
特解形式
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二、
❖结f(论x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型 二阶常系数非齐次线性微分方程
常数非齐次线性常微分方程的迭代解法
解 常 系数非 齐次 线性 微分方 程 时 ，方 程 的特 解 通常 是借 助于传 统 的待 定系 数法 求得 的 ．但 这 种 方法计 算 较繁 ，容 易 出错 ，下面 给 出一个新 的 方 法—— 迭 代法 ，用 这种 方法求 常 系数 非齐 次线
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第１ ８卷 第 １ 期
２０ ０ ２年 ３月
天 津 理 工 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＩ ＡＮＪ Ｎ ＮＳ ＴＵＴ ＯＦ ＴＥ １ Ｉ ＴＩ Ｅ ＣＨＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １ １ ．
。
Ｐ Ｄ （ ） ｎ （ （ ） ＝邑 — ｅ ｅ ）
（ ＋ Ｄ （） ２
ｅ ＝
， ） 即 （ ，
ｋ ｙ
Ｐ（ ） ＝ｆ（ Ｄ ｚ）
再 来证 明两 个定 理 ，它是 迭代 法 的依据 ．
收 稿 日期 ：２ ０ —１ —１ ０１ ２ ７ 作 者 ：郏 光 华 （９ ３ ） １４ 一 ，男 ，副 教 授
ｅ
ｎ 一
（） １
ｔ（ ＋ ） ＋ｅ （ ＋ ） ＝ ．Ｄ Ｄ
于是 阶线性微 分 方程
常系数非齐次线形微分方程
收敛速度
02
03
收敛性判定
收敛速度描述了解趋向于零或常 数的快慢程度，通常用收敛阶数 来描述。
通过分析微分方程的解在时间趋 于无穷大时的行为，可以判定其 是否具有收敛性。
04
微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡现象，如弹簧振荡器、电磁振荡 器等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项 无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或 者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次 项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方 程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解 得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过 求解对应的齐次线性微分方程得到， 即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因 此，该常系数非齐次线性微分方程的 通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述电流、电压等的变化规律。
常系数非齐次线性方程解法
例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 >>> −2b0x+2b0−b1=x. 比 系 , 得b =−1 , b1=−1, 故y*=x(−1 x−1 e2x . 较 数 ) 0 2 2 提示: −2b0=1, 2b0−b1=0. 齐次方程y′′−5y′+6y=0的通解为Y=C1e2x+C2e3x .
比 两 同 项 系 , 得>>> 较 端 类 的 数 得a=−1 , b=0, c=0, d=4 . 3 9 因 所 方 的 解 y*=−1 xcos2x+ 4sin 2x . 此 给 程 特 为 3 9
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例2 求微分方程y′′−5y′+6y=xe2x的通解. 解 齐次方程y′′−5y′+6y=0的特征方程为r2−5r +6=0, 其根为r1=2, r2=3. 因为f(x)=Pm(x)eλx=xe2x, λ=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0x+b1)e2x. 把它代入所给方程, 得 −2b0x+2b0−b1=x. 比 系 , 得b =−1 , b1=−1, 故y*=x(−1 x−1 e2x . 较 数 ) 0 2 2 因此所给方程的通解为 y=Ce2x +C2e3x −1(x2 +2x)e2x . 1 2
常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常
广东广州 华南师范大学
（郑海珍20052201323 李璇20052201333）
『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它
在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；
『正文』：
常系数非齐次线性微分方程形如：
)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)
的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组
)(),(),(21t x t x t x n ，
再设法求出方程（1）的一个特解
)
(~t x ，则方程（1）的通解易得为
),(~)()(1
t x t x c t x n
i i i +=∑=
n i c i ,,2,1, =为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容
易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。下面将一一介绍几种求方程(1)
的特解的方法。
首先给出本文常用符号：
n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ
为方程（1）的特征方程。k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为
k u u u ,,21。)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法
常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法
雷凤生
【摘要】本文简要分析常系数线性非齐次微分方程组求解的常数变易法、拉普拉斯变换法、比较系数法和初等解法,并对这四种解法分别进行求解举例.
【期刊名称】《吕梁学院学报》
【年(卷),期】2015(005)003
【总页数】3页(P12-14)
【关键词】常数变易法;拉普拉斯变换法;比较系数法;初等解法
【作者】雷凤生
【作者单位】吕梁学院数学系,山西离石033000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
线性微分方程组，是微分方程理论中非常重要的一部分内容.因此，研究线性微分方程组的解也尤为重要.当前，对于齐次线性微分方程组x'=Ax 的研究已经非常成熟.而对于常系数非齐次线性微分方程组的初值问题的解法，各文献中的记载都是比较单一笼统的，没有系统的论述.
通过查阅相关论著和文献，本文总结了常系数非齐次线性微分方程组的四种基本求解法，并用这四种解法对同一个方程组的例子进行求解.
1 常数变易法
定理1.1［1］常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)(A 是n×n 常数矩阵，f(t)是连续向量函数，其中x(t0)=η)的特解为
证明:齐次线性微分方程组基解矩阵为Φ(t)=expAt，由［1］可知.方程组满足初值条件x(t0)=η的解为:
又Φ－1(s)=exp(－sA)，Φ(t)Φ－1(s)=exp［(t－t0)A］η，可得二元常系数非齐次线性微分方程组的初值问题x'=Ax+f(t)的特解(1.1).证毕.
例1 利用常数变易法求常系数非齐次线性微分方程组，满足条件x(0)=的特解x(t). 解:特征方程为0，特征值为λ=3，可得
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常系数线性微分方程复习
一、常系数线性微分方程的形式和名词解释
1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数
2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。初值问题的解是即满足
微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法
01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零
1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，
k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
011
1=++++−−n n n n a a a λλ
λL
2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形
式不同，解的形式也不同）。 (1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t t
c c c y n 21e e e
21λλλ+++=L
例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解
特征方程
0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ
方程的通解 t t
c c y −+=e e
231
(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为
t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L
例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解
特征方程0432
3
=−+λλ 求出特征方程的根21
321−===λλλ
方程的通解为 t t
t t c c c y 23221e e
e −−++=
(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）
a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
方程的通解为 t n t t t
c c t c t c y n 3e e sin e cos e
321λλ++++=L ββαα
例 求齐次微分方程05832=−′+′′+′′′y y y y 的通解
特征方程058322
3
=−++λλλ
求出特征方程的根2j 12/1321±−===λλλ
方程的通解为 t c t c c y t t t 2sin e 2cos e e
322
/1−−++=
b. 存在2对重复的复数根 a ± j β ，n -4个互异的实根。
方程的通解为
t
n t
t t t t c c t t c t t c t c t c y n 5e
e
sin e cos e sin e cos e 54321λλ++++++=L ββββαααα
例 求齐次微分方程的通解04444)2()3()4()
5(=+′++++y y y y y y
特征方程
0)2)(1(0
4444222
345=++=+++++λλλλλλλ
求出特征方程的根 （二重根）2j 1321±==−=λλλ
方程的通解为
)2sin 2cos (2sin 2cos e 54321t c t c t t c t c c y t ++++=−
三、常系数线性非齐次微分方程的解法
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数 解的形式为 )()(t Y t y y +=
其中：
0)(1)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y t y n n n n L 性微分方程是方程所对应的齐次线
的通解。
的任一特解。是非齐次线性微分方程)(t Y
求解步骤：
第1步：求方程对应的常系数线性齐次微分方程的通解（称作自由分量）； 第2步：求常系数线性非齐次微分方程的任一个特解（称作强制分量）； 第3步：将自由分量与强制分量相加，得到待求微分方程方程的一般解；
第4步：根据初始条件确定一般解中的待定系数，从而得到方程初值问题的解（最终解答）。
求常系数线性非齐次微分方程的一个特解（强制分量），可用待定系数法。 待定系数法：
根据方程等式右端自由项f (t )的函数类型，猜想它的特解是何种函数类型（包括常数），然后将其代入方程来确定所猜的函数中的系数。
例 求方程66)2()3(2
+−=−′−+′′−t t y y t y t 的一个特解。
通过观察可知，c bt at y ++=2
可能是上述方程的一个特解，将其代入方程得
6
6)()2)(2()2)(3(22+−=++−+−+−t t c bt at b at t a t 66)26(622+−=−−+−t t c b a at at
b c a 2,1−==⇒
取 b = 0，则 c = 0，于是 y = t 2 是方程的一个特解
常见函数 f (t ) 所对应的特解函数类型
f (t )（自由项） 特解的函数类型 C （常数） C 1（常数） at
e 特征根）≠α(e at
C at sin ，at cos
特征根）
（≠±+αj at
C at C cos sin 21
k t 11
21+−++++k k k k
C t C t
C t C L
求特解也可用常数变易法，可参考线性微分方程的相关资料。
在求解电路问题时，电路的稳态响应是描述该电路动态响应所对应的微分方程的一个特解。