常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
7.8 常系数非齐次线性微分方程
第四步 分析原方程特解的特点
7.8常系数非齐次线性微分方程 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
i x i x i x i x e e ~ e e f ( x) e Pl ( x) Pn ( x) 2 2 i ~ ~ Pl ( x) Pn ( x) ( i ) x P ( x) P ( x ) ( i ) x l n e e 2 2 i 2i 2 令 m max n , l , 则
x
f ( x) Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e ( i ) x Pm ( x) e
( i ) x
Pm ( x) e ( i ) x
7.8常系数非齐次线性微分方程 第二步 求如下两方程的特解
y p y q y Pm ( x) e ( i ) x
比较系数 , 得
3a 1 3b 4 c 0 3c 0 3d 4 a 0
4 9
a
1 3
, d
bc0
于是求得一个特解
7.8常系数非齐次线性微分方程 例5设下列高阶常系数非齐次线性方程的特解形式
解 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
7.8常系数非齐次线性微分方程
O
x x
7.8常系数非齐次线性微分方程 h sin p t x A sin ( k t ) 2 2 k p
自由振动
强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振幅 2 将很大 ! 2 k p • 当 p = k 时, 非齐次特解形式: x t ( a sin k t b cos k t )
高阶常系数非齐次线性微分方程的解法
且 ， ， ，一 … 为方程 （ ） 对应 的齐 次方 程 的特 ４ 所 征根． 由归 纳假 设 ， 程 （ ） 方 ４ 可转 化 为 一１ 个一 阶线 性微 分 方程
—
收 稿 日期 ： ０ １ １ 一 ８ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ５ ２ １—Ｏ１ ； ２ １ — ３０
（ １ ＋ ２
（ ）（ 一１
若 令
∑
ｉ ≤ ｋ
… 一＋…＋ ）”
（） ３
１ １ ２＜ … ≤ ＜
ｊ－ ｆ． Ａ 一
一
（ １ Ａ … ． 一 ） ２ ｙ一 厂（ ． ）
（ ２）
， 、
一
’
Ｊ………
证 明
ｌ＝ Ｙ ＝ ：
Ａｂ ｔａｔ Ｕｓｎ ｈｅ ｃ ａ ａ ｔｒｓｉ ａ ｕ ｓ ｏ ｉ ｈ ｒ ｏ ｄ ｒ ｈ ｍｏ ｅ ｏ ｓ ｌ ａ ｉｆｒ ｎｔ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓｒ ｃ ： ｉ ｇ ｔ ｈ ｒ ｃｅ ｉｔｃｖ ｌ ｅ ｆａ ｈ ｇ ｅ ｒ ｅ ｏ ｇ ｎｅ ｕ ｉ ｒ ｄｆｅ ｅ ｉ ｑ ａ ｉｎ ｎｅ ａ ｗｉ ｏ ｓａ ｔｃ ｅｆｃｅ ｔ ，ｗｅ ｃ ｎ ｔａ ｆ ｒｔ ｅ ｈ ｇ ｒｏ ｄ ｒｎ ｎ ｈ ｔ ｃ ｎ ｔ ｎ ｏ ｆｉｉｎ ｓ ｈ ａ ｒ ｎｓｅ ｈ ｉ ｈｅ ｒ ｅ ｏ － ｏｍｏ ｅ ｅ ｕｓｌ ｅ ｒｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉｎ ｇ ｎ ｏ ｉ ａ ｉｆ ｒ ｎ ｉｌｅ ｕ ｔｏ ｎ
征根 ， 用 降阶法 ， 出 当非齐 次项 为任 意连续 函数 利 给 时， ｎ阶常 系数 非 齐次线 性微 分 方程 的特 解求 法 ， 即 阶常 系数 非齐 次线 性微 分 方程 的求 解 问题 可 归结 为 个一 阶线 性微 分 方程 的求 解 问题． 定理 １ 设 １阶常 系数非 齐次 线性 微分 方程
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分子解法的若干示例
关于非齐次线性常系数微分方程特解的微分算子解法的若干示例一、表示符号把某函数对于自变量x 的导数写成D ，即D=dxd 。
例如，函数y 对x 的一阶导数为y dxdy '=，可以表示成Dy ，同理，y ''可以写成2D y ，三阶、四阶….以此类推D1则代表着求积分，如D1x ，就是⎰xdx ，参看复习指导二、 微分方程的表示如果非齐次方程按降阶写成：)x (f y a y a ya y a n 1n )1n (1)n (0=+'+++-- (1)当然，你也可以写成：)x (f y p y p y p y n 1n )1n (1)n (=+'+++-- ，本质都一样，这种形式相当于（1）方程两边同时除以a 0（0≠）。
这里我们以（1）式为准。
用微分子形式表示方程（1）：)x (f y a Dy a y D a y D a n 1n 1n 1n 0=++++-- 方程左边把公因子y 提出来：f(x))y a D a D a D (a n 1n 1n 1n 0=++++--上式中，把)a D a Da D (a n 1n 1n 1n0++++-- 看作关于D 的一个函数表达式，表示成F （D ）即F （D ）=)a D a Da D (a n 1n 1n 1n 0++++--则方程（1）最终可以写成：F （D ）y=f （x ）三、 相关结论 F （D ）kxe=kxe·F （k ）甲也可以写成：)F(k ee )D (F 1kxkx=，（分母不为零时），若分母为零，参见指导书表格内的公式证明：F （D ）kxe =kxn 1n 1n 1n0)ea D a Da D (a ++++--=)(ea )(ea )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++--=kxn kx1n kx1-n 1kxn 0ea kea eka e k a ++++-kxn 1n 1-n 1n0-kx=F （k ）kxe甲注意此处方程左右两端的写法，表达的意义是不一样的，左边F （D ）是求导，具体来说左边是kxn 1n 1n 1n0)ea D a D a D (a ++++-- ，即)(ea )(e a )(ea )(ea kxn kx1n )1n (kx1)n (kx0+'+++-- ，而方程右边则是)(ekx乘于多项式F （k ）其中，左边的带下划线的部分的函数形式与F （D ）一样，因此写成F （k ）形式，只是字母 是常数k ，而不是求导了，意义也就不同了，它只是个关于k 的多项式了。
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种简单有效的求解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的数值解法。
首先，根据给定的n阶非齐次线性微分方程，确定它的一组特权根以及其置换的相应特权向量。
其次，利用以上n项特权向量构造n阶特权伴随矩阵，然后解出该伴随矩阵的方程组，就可以确定该特解的系数基向量和整体解。
最后，使用前面求得的系数基向量和特权根构造出特解，即可得到n阶常系数非齐次线性微分方程特解要求的解。
另外，关于n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法有一个重要的常用结论，即当方程组有多个特权根时，特解就是由各自特权向量的乘积组成的。
这一定理可以使解决非齐次线性微分方程特解简便许多，算法的复杂度也降低了很多。
总的来说，n阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便解法是一种非常有效、简单易操作的数值求解方法，可以帮助我们更加因材施教、快速有效地确定并获得满足特解要求的解。
常系数非齐次线性微分方程
其中
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
例4.
的一个特解 .
解: 本题
特征方程
故设特解为
不是特征方程的根,
代入方程得
比较系数 , 得
于是求得一个特解
例5.
的通解.
解:
特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
比较系数, 得
因此特解为
常系数非齐次线性微分方程
第九节
一、
二、
第十二章
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
根据解的结构定理 , 其通解为
非齐次方程特解
齐次方程通解
求特解的方法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
①
— 待定系数法
一、
为实数 ,
设特解为
其中 为待定多项式 ,
时,
代入原方程得
故原方程通解为
时,
代入原方程得
故原方程通解为
3. 已知二阶常微分方程
有特解
求微分方程的通解 .
解: 将特解代入方程得恒等式
比较系数得
故原方程为
对应齐1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 6
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
从而得到特解
形式为
为 m 次多项式 .
Q (x) 为 m 次待定系数多项式
(2) 若 是特征方程的单根 ,
为m 次多项式,
故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 ,
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
常系数非齐线性微分方程的解法
目录
• 引言 • 分离变量法 • 积分因子法 • 参数法 • 幂级数法
01 引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
解决微分方程是理解和预测复杂系统 行为的关键，对于解决实际问题具有 重要意义。
03 积分因子法
积分因子法的原理
积分因子法的基本思想是通过引入一个积分因子，将非齐线性微分方程转化为齐线性微分方程，从而 简化求解过程。
积分因子是一个非零的函数，乘以原方程的每一项后，能够使新方程的每一项都含有未知函数的一次导 数项。
通过求解新方程，可以得到原方程的解。
积分因子法的应用步骤
1
确定原方程的形式，并求出其积分因子。
2
根据积分因子的定义，将原方程转化为齐线性微 分方程。
3
利用已知的求解方法，求解新方程，得到原方程 的解。
积分因子法的实例分析
01
考虑常系数非齐线性微分方程 $y'' + p(t)y' + q(t)y = f(t)$，其中 $p(t)$、$q(t)$ 和 $f(t)$ 是已知函数。
02
首先求出该方程的积分因子 $M(y, t) = e^{int p(t) dt}$。
确定幂级数解的形式
根据微分方程的特征，选择适当的幂级数形 式作为解的表达式。
建立递推关系式
将微分方程转化为递推关系式，以便求解幂 级数的系数。
求解递推关系式
通过求解递推关系式，得到幂级数的系数， 进而得到微分方程的解。
验证解的正确性
将得到的解代入原微分方程进行验证，确保 解的正确性。
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
I 上的通解为 x = xc + ~x 。
2 求 n 阶非齐次线性方程特解的几种方法
2.1 比较系数法 通常情况下求特解 x~ 的方法是比较系数法，这种解法的基本思想是猜 x~ 的形
式，这里 x~ 受到 f (t)的影响.这种方法只能适用于满足如下条件的形如（1）的非
齐次线性方程：
（1） 系数 ai (i = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, n) 都是常数；
tdt2tetcos和?tdt2tetcos这样的积分我们无法通过初等运算求出其原函解法解法3333算子法原方程可化为22cost222cos1ttttxx???此方程的算子表示式为22cost212ttxd??所以特解为???????????????????????22cost112211222cost2112tdtdttdx要求????????22cost112tdx先求???????????????????????????????225451254121122222tdietdideetdxititit????????????252102sini2cos252102itttiteit从而????????22cost112tdx的解为tttittitx2sin2522cos10252102sin2cosre1?????????????又221122ttdx????????故原方程的特解为txtttttt2xx2sin2522cos10121??
+
a1 (t
)
dx dt
+
a0
(t
)x
=
0
（2）
为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1) 且不带任何参数的函数 ~x 称为方程 (1)的特解，已有下述
求解定理： 定理1 若 x~ 为 n 阶非齐次线性方程
高数常系数非齐次线性微分方程
边值问题具有唯一性、存在性和稳定性等重 要性质。在适当的条件下，边值问题的解是 存在且唯一的，同时解对边界条件的微小变 化具有稳定性。
边值问题的求解方法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
分离变量法
对于某些具有特殊形式 的常系数非齐次线性微 分方程，可以通过分离 变量的方法将其转化为 可解的常微分方程或偏 微分方程进行求解。
积分变换法
利用积分变换（如傅里 叶变换、拉普拉斯变换 等）将边值问题转化为 等价的积分方程或常微 分方程进行求解。这种 方法适用于具有特定性
质的边值问题。
有限差分法
将边值问题的定义域离 散化，构造差分方程近 似代替微分方程，从而 将边值问题转化为线性 代数方程组进行求解。 这种方法适用于求解复 杂区域上的边值问题。
02
常系数非齐次线性微分方程的基本解
法
分离变量法
分离变量法的基本思想
将非齐次线性微分方程中的未知函数和自变量进行分离， 使得方程两边分别只含有未知函数和自变量的函数，然后 通过积分求解。
分离变量法的适用条件
适用于一阶常系数非齐次线性微分方程，且方程中的非齐 次项可以表示为自变量的函数与未知函数的乘积。
数值解法的应用举例
要点一
物理学中的应用
在物理学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述物体的运动规律， 如振动、波动等现象。通过数值解法 ，可以对这些现象进行模拟和预测。
要点二
工程学中的应用
在工程学中，常系数非齐次线性微分 方程经常用来描述系统的动态特性， 如控制系统的稳定性、电路的响应等 。通过数值解法，可以对这些系统的 性能进行分析和优化。
常数变易法的求解步骤
先设出与原方程对应的齐次方程的通解，然后将通解中的常数替换为新的未知函数，代入原方程求解得 到新未知函数的方程，最后解出新未知函数并代回通解得到原方程的解。
n阶常系数非齐次线性微分方程的通解
设方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r1 , r2 , L , rn
n 方程(1)的通解为 y = ∑ k =1
则
e
rk x
当 r1 , r2 , L , rn 互不相等时
n ≥ i ≥ 1, i ≠ k
∏
( r k − ri )
∫e
−rk x
f (x) d x
( n ≥ 2)
2
当 r1 = r2 = L = rn = r 时
∏ (ri − rj ) + L + (−1) k −1
1≤ i < j ≤ n, i, j ≠k ,
∏
( ri − r j ) + L + ( −1) n−2
1≤ i < j ≤ n, i , j ≠ n −1
∏
(ri − rj )
1≤ i< j≤n
∏ (ri − rj )
可 以 确 定 常 数 a = ( −1) n−2 所以
则方程(1)的通解为 y = e rx ∑
n −1 (−1) i x n −1−i i =0
x i −rx ∫ e f ( x) d x (n − 1 − i)! i!
3 当方程(1)所对应的齐次方程的特征根为 r1 , r2 , L , rk (1 < k < n ) 互不相等时 则方程(1)的通解为
1
f ( x) d x) d x [1] 现设论断当 n − 1 时成立 即 n − 1 阶常系数非齐次线性微分方程的
由变换
一 个 通 解 为 y n−1 = e rn −1x ∫ e ( rn −2 −rn −1 ) x ( ∫ e ( rn −3 − rn −2 ) x ( ∫ L( ∫ e ( r1 −r2 ) x (∫ e − r1 x f ( x ) d x) d x ) L d x ) d x) d x
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解方法
3 例子
例1 求方程 x″ - x = t sin t 的特解 .
t ( 1 - cos2 t ) t t cos2 t t 2 解法 1 ( 比较系数法) 原方程右端 f ( t ) = t sin t = = ,对 f 1 ( t ) = , 设特 2 2 2 2
2
解为 x 1 ( t ) = A + B t ,将 x 1 ( t ) 代入方程 x″ - x=
e c′ 1 ( t ) + t e c′ 2 ( t) = 0
- t - e c′ 1 ( t ) + (e
t
- t
- t
- t - t e ) c′ 2 ( t ) = 3e
t
t +1
,
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1
L 1 ( D) L 2 ( D)
[
1
f ( t) ] =
1
L 2 ( D) L 1 ( D) f 2 ( ( D)
[ f 1 ( t) + f 2 ( t) ] =
1
L ( D)
f 1 ( t) +
1
L ( D)
( 3) 逆算子的运算法则 1 kt kt ① 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) ≠ 0 ,则 f ( t) = e L ( D) L 1 kt kt ② 若 f ( t ) = e ,且 L ( k ) = 0 ,则 ( ) f ( t ) = e L D L 1 ; ( k) 1 ; (D + k )
1 引 言
常系数非齐次线性微分方程的特解简单解法
常系数非齐次线性微分方程的特解简单解法
经常系数非齐次线性微分方程（Nonhomogeneous Linear Equation with Constant Coefficient，简称NLCC）是数学分析中一类数学模型，应用广泛，有
着丰富的实际应用价值。
其特解的简单解法尤为重要，为解决NLCC特解提供了一
种有效的方法。
特解是NLCC的一种解法思想，即采用分析相应特征根以确定其特解解析式，
同时应用解析法去求解。
首先，根据模型特征系数确定特征方程，而特征方程常可先用单根定理求得特征根；其次，将特征函数形式成一系列有联系的特征方程；最后根据求出的特征根，用解析法求解特征函数的线性组合，即可解出特解。
NLCC的解决思路，在解析类型或者数值类型上均可有效应用，可以存在多种
解决方案和思路。
特解的简单解法是其中的一种，使用概率化的手段，可以有效地减少 NLCC的解法过程、加快实际解答。
特解的简单解法在求解特征方程是，重点
考虑特征根的具体内容，从复数空间分布和解析特征方程开始，可以为求解NLCC
提供有益的支持。
特解的简单解法不仅能够快速准确地求出特解，而且同时避免了NLCC解法过
程中不必要的工作，从而大大加快了解题速度，同时也可以减少解题复杂程度。
其思想由古老，但仍将在当下的数学应用中发挥有效的支撑作用，是值得积极发展的一门技术。
回顾至今，特解的简单解法甚至成为处理NLCC方程的重要组成部分，为后世
学者提供了有用的解决框架。
未来，将有更多的研究面向进一步发展特解简单解法，使其在快速精准地求解NLCC特解方面拥有更强的能力。
常系数非齐次线性微分方程
d2 dt
x
2
k
2
x
h
sin
p
t
④
• 当p ≠ k 时, 齐次通解:
O
X C1 sin k t C2 cos k t Asin ( k t )
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt
x
代入④可得:
a k2
h
p
2
,
b0
x
因此原方程④之解为
x
Asin ( k t
)
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
b0
1 ,
b1
1 3
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xk e xRm cos x R~m sin x
其中
上述结论也可推广到高阶方程的情形.
例4.
的一个特解 .
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
不是特征方程的根, 故设特解为
一、 f (x) e x Pm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
常系数非齐次线性微分方程
非齐次线性方程的 一个特解
对应齐次线性方程 的通解
对应齐次线性方程 的通解为
y′′ + py′ + qy = 0
Y = C1 y1 + C 2 y2
通解
Y = C1e r1 x + C 2 e r2 x
Y = ( C1 + C 2 x ) e r1 x
αx
特征根
( 1)
r1 ≠ r2 ，
( 2 ) r1 = r2 ( 重根 )
2x
λx
因Pm ( x ) = x , λ = 2是特征单根，
故应设特解 y = x ( b0 x + b1 ) e
* 2x
1 代入原微分方程，确定 b0 = , b1 = 1, 2 1 2x * 特解 y = x x 1 e 2 1 2x x 2x 所 求 通 解 为 y = C1 e + C 2 e + x x 1 e 2
解 P = x , λ = 0, ω= 1,特征方程 r + 1 = 0,
2
特征根 r1 = i , r2 = i
Q λ + iω = i 是特征根， ∴ k = 1.
特解形式为
y = x ( a0 x + a1 ) cos x + ( b0 x + b1 ) sin x
*
y =x e
Q λ + iω = 2i 不是特征根，
∴ y2 = cos 2 x 于是 y′′ + y = 3 3cos 2 x的特解为
代入 y′′ + y = 3cos 2 x，得a = 1, b = 0,
设y2 = a cos 2 x + b sin 2 x
常系数非齐次线形微分方程
波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、电磁波等 的传播规律。
热传导方程
在物理中，热传导方程也是一种典型的常系 数非齐次线性微分方程，可以用来描述热量 在物体中的传递规律。
在工程中的应用
1 2
控制工程
常系数非齐次线性微分方程在控制工程中有着广 泛的应用，如控制系统分析、设计等。
通解的求解
通解的定义
通解是指满足齐次线性微分方程的解，它与非齐次项 无关。
通解的求解方法
通解可以通过求解对应的齐次线性微分方程得到，或 者通过待定系数法、常数变易法等求解。
通解的性质
通解具有与非齐次项无关的特性，即通解不受非齐次 项的影响。
举例说明
• 举例：考虑常系数非齐次线性微分方 程$y''+y=x^2$，其中非齐次项为 $x^2$。通过设特解为 $y_1=ax^2+bx$，代入原方程求解 得到特解$y_1=x^2$。通解可以通过 求解对应的齐次线性微分方程得到， 即$y_2=c_1\cos t+c_2\sin t$。因 此，该常系数非齐次线性微分方程的 通解为$y=y_1+y_2=x^2+c_1\cos t+c_2\sin t$。
电路分析
在电路分析中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述电流、电压等的变化规律。
3
信号处理
在信号处理中，常系数非齐次线性微分方程可以 用来描述信号的滤波、调制等处理过程。
在经济学中的应用
消费模型
常系数非齐次线性微分方程可 以用来描述经济学中的消费模
型，如凯恩斯消费函数等。
投资模型
在经济学中，投资模型也可以 用常系数非齐次线性微分方程 来描述，如资本存量-时间滞
高数第八节 常系数非齐次线性微分方程
y*
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xkexQm ( 于是 y*
A 10,,
x) , k 1 x2e3x 2
12, 2,
不是特征根, 是单特征根, 是重特征根.
原方程通解为
y
(C1
C2 x)e3 x
1 2
x 2e 3 x
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
y py qy f ( x)
( x) e x
x
t (t)dt x
x
(t)dt
求 (x)
0
0
解
对积分方程两边求导 '( x) e x
x
(t)dt
0
再求导得 ''( x) ( x) e x
初始条件为 (0) 1, '(0) 1
特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解：( x) C1 cos x C2 sin x
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程为 r2 1 0, 特征根为 r i ,
对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 方法二、作辅助方程 y y 4eix ,
sin x 是 ei x 的虚部, Pm ( x) 4, i
i 是单根, 故 y* Axeix ,
综上讨论，方程的特解总可设为
0 不是根
y* xkexQm ( x) , k 1 是单根,
2 是重根
其中： Qm ( x) b0 xm b1 xm1 bm b0 , b1,, bm 可用待定系数法确定。
一. f ( x) ex Pm ( x) 型 y py qy e x Pm ( x)
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
比较两端同类项的系数 得a>>>1 b0 c0d 4 3 9 同类项的系数 得a 1 b0 c0d 4 3 9 因此所给方程的特解为 y* 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
特解形式 结束
因此所给方程的通解为
y C1e 2 x + C2e3x 1 ( x 2 + 2 x)e 2 x 2
特解形式 首页
二、 结论 f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型
二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx] 有形如 y*xkex[R(1)m(x)coswx+R(2)m(x)sinwx] 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按+iw(或iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 >>>
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例3 求微分方程y+yxcos2x的一个特解 解 齐次方程y+y0的特征方程为r2+10 因为f(x)ex[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]xcos2x +iw2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 y*(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x 把它代入所给方程 得 >>> (3ax3b+4c)cos2x(3cx+4a+3d)sin2xxcos2x
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结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2
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常系数线性微分方程复习
一、常系数线性微分方程的形式和名词解释
1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数
2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足
微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法
01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零
1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，
k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
011
1=++++−−n n n n a a a λλ
λL
2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形
式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t t
c c c y n 21e e e
21λλλ+++=L
例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解
特征方程
0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ
方程的通解 t t
c c y −+=e e
231
(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为
t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L
例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解
特征方程0432
3
=−+λλ 求出特征方程的根21
321−===λλλ
方程的通解为 t t
t t c c c y 23221e e
e −−++=
(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）
a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
方程的通解为 t n t t t
c c t c t c y n 3e e sin e cos e
321λλ++++=L ββαα
例 求齐次微分方程05832=−′+′′+′′′y y y y 的通解
特征方程058322
3
=−++λλλ
求出特征方程的根2j 12/1321±−===λλλ
方程的通解为 t c t c c y t t t 2sin e 2cos e e
322
/1−−++=
b. 存在2对重复的复数根 a ± j β ，n -4个互异的实根。
方程的通解为
t
n t
t t t t c c t t c t t c t c t c y n 5e
e
sin e cos e sin e cos e 54321λλ++++++=L ββββαααα
例 求齐次微分方程的通解04444)2()3()4()
5(=+′++++y y y y y y
特征方程
0)2)(1(0
4444222
345=++=+++++λλλλλλλ
求出特征方程的根 （二重根）2j 1321±==−=λλλ
方程的通解为
)2sin 2cos (2sin 2cos e 54321t c t c t t c t c c y t ++++=−
三、常系数线性非齐次微分方程的解法
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数 解的形式为 )()(t Y t y y +=
其中：
0)(1)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y t y n n n n L 性微分方程是方程所对应的齐次线
的通解。
的任一特解。
是非齐次线性微分方程)(t Y
求解步骤：
第1步：求方程对应的常系数线性齐次微分方程的通解（称作自由分量）； 第2步：求常系数线性非齐次微分方程的任一个特解（称作强制分量）； 第3步：将自由分量与强制分量相加，得到待求微分方程方程的一般解；
第4步：根据初始条件确定一般解中的待定系数，从而得到方程初值问题的解（最终解答）。
求常系数线性非齐次微分方程的一个特解（强制分量），可用待定系数法。
待定系数法：
根据方程等式右端自由项f (t )的函数类型，猜想它的特解是何种函数类型（包括常数），然后将其代入方程来确定所猜的函数中的系数。
例 求方程66)2()3(2
+−=−′−+′′−t t y y t y t 的一个特解。
通过观察可知，c bt at y ++=2
可能是上述方程的一个特解，将其代入方程得
6
6)()2)(2()2)(3(22+−=++−+−+−t t c bt at b at t a t 66)26(622+−=−−+−t t c b a at at
b c a 2,1−==⇒
取 b = 0，则 c = 0，于是 y = t 2 是方程的一个特解
常见函数 f (t ) 所对应的特解函数类型
f (t )（自由项） 特解的函数类型 C （常数） C 1（常数） at
e 特征根）≠α(e at
C at sin ，at cos
特征根）
（≠±+αj at
C at C cos sin 21
k t 11
21+−++++k k k k
C t C t
C t C L
求特解也可用常数变易法，可参考线性微分方程的相关资料。
在求解电路问题时，电路的稳态响应是描述该电路动态响应所对应的微分方程的一个特解。
例 已知：i L (0)=2A ，u C (0)=0，R =50Ω ，L =0.5H ， C =100μF 。
求：i L (t ) 。
解
以 i L 为变量列出微分方程
442
2
102102d d 200d d ×=×++L L
L i t i t
i (1) 求通解(自由分量)
020*******=++P λ特征方程
特征根 λ = -100 ± j 100
)100sin(100cos 100sin )(10010021001θ+=+=−−−t Ke t e C t e C t i t t t L 通解
(2) 求特解（强制分量，稳态解）A 1=L i (3) 全解
)100sin(1)(100θ++=−t Ke t i t L 全解
(4) 由初值定积分常数
i L (0+
)=2A , u C (0+
)=0 （已知）
0)0(1)0(1d d 0===++
+C L
L u L u L t i )100cos(100)100sin(100d d 100100θθ+++−=−−t Ke t Ke t
i t t L
⎪⎩⎪⎨⎧=+−→==+→=++ 0cos 100sin 1000
2sin 12)0(0θθθK K dt
di K i L
L o 452==θK 得
0A )45100sin(21)(100≥++=∴−t t e t i t L o
50 V
u C。