第十六章二次根式知识树
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
第16.17.18章知识点归纳
第十六章二次根式知识点归纳一、形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．三、二次根式（）的双重非负性：1、被开方数非负。
2、a的值非负。
四、二次根式的化简。
1、化简2a时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.2a=∣a∣①若a是正数，则∣a∣等于a本身；②若a是负数，则∣a∣等于a的相反数-a,③若a是0，则∣a∣等于0.2、()2a=a (a≥0).3、被开方数是乘积用ab =a ·b（a≥0，b≥0）化，4、被开方数是商的形式用ab=ba（a≥0，b>0）或ba=b1ab5、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中的因数或因式不能再开方。
（五）二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算 1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身。
构成()2a 化去分母中的根号。
分母有理化有两种方法I.分母是单项式 II.分母是多项式 要利用平方差公式注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。
第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
第十六章 二次根式知识点归纳及应用(精品)
第十六章二次根式出处何海平名师工作室 QQ：1322798146（欢迎加入交流）一、知识梳理1．二次根式：式子)0(≥aa叫做二次根式。
2．最简二次根式若二次根式满足：被开方数不含分母；分母不含根号；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
3. 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果分母含根号，利用分母有理化进行化简。
（3）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
5. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）6. 函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（2）二次根式根号下被开方数≥07.【公式】：（1）√a·b=√a×√b；√a×√b=√a·b（2）√ab=√a√b√a√b=√ab（3）(√a)2=a （４）√a²=|a|={a (a≥0)–a (a≤0)被开方数是乘除关系根号可以拆开，被开方数是加减关系根号不可以拆开。
比如：91691675734916525916916916+≠+∴≠=+=+==++≠+1625162513145162539162516251625-≠-∴≠=-=-==--≠-分数与二次根式相乘结果中分数要写成假分数。
比如：413√2（×）；133√2（√）1.填空（1）√8=________；（2）√18=________；（3）√32=________；（4）√50=________；（5）√12=________；（6）√27=________；（7）√48=________；（8）√75=________；（9）√20=________；（10）√45=________；（11）√80=________；（12）√125=________；2.填空；（1）√4x=________；（2）√9x=________；（3）√16x=________；3.填空；（1）√2x²=________；（2）√3x²=________；（3）√4x2=________；（4）√8x2=________；（5）√2x³=________；（6）√3x3=________；（7）√4x3=________；（8）√8x3=________；4.填空（1）√12=________；（2）√13=________；（3）√18=________；（4）√19=________；（5）√23=________；（6）√25=________；（7）√35=________5.填空（1）√1x=________；（2）√12x=________；（3）√1x²=________；（4）√12x²=_______；（5）√1x³=________；（6）√12x³=_______6、计算:(1)√16x+√9x (2)√80−√45(3) 5√2+√8−7√18 (4)√80+√8−√45−7√18 (5)√32−√12−2(√18+√27) (6) 2√8+12√18−14√32(7)√12−(√13−√127) (8) 3√40−√25−2√110(9) 2√12−4√127+3√48 (10)√24−√12+2√23−√18−√6 7．计算：（1）(√8+√3)×√6（2）(5√8+3√3)×2√3（3）(4√2−3√6)÷2√2（4）2√3(4√2−3√6＋5√12−√8)（5）(7√2+2√6)(2√6−7√2)（6）(√7−7√3)²（7）已知x=√3+2，y=√3−2，求x2-y2的值二、函数中自变量的取值范围要使式子有意义，必须保证：（1）分母≠0；（∵分母为零没有意义）（2）二次根式根号下被开方数≥0（∵负数没有平方根）例1 求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x﹣2 （2）y=1x﹣2（3）y=5x﹣2-1x+3（4）y =x﹣2（5）y=1x﹣2（6）y=1√x−2（7）y =x+5x﹣2（8）y=x﹣2+2﹣x解：（1）x取任意实数【∵题目中没有分母也没有根号∴x取任意实数】（2）x≠2【∵由分母x-2≠0得x≠2】（3）x≠2并且x≠﹣3 【由{分母x−2≠0分母x+3≠0解之得{x≠2x≠−3即x≠2并且x≠﹣3】（4）x≥2【∵由被开方数x-2≥0得x≥2】（5）x＞2【由{被开方数x−2≥0分母√x−2≠0解之得{x≥2x≠2∴x＞2】（6）x≥0并且x≠4【由{被开方数x≥0分母√x−2≠0解之得{x≥0x≠4∴x≥0并且x≠4】（7）x≥﹣5并且x≠2【由{被开方数x+5≥0分母x−2≠0解之得{x≥−5x≠2∴x≥﹣5并且x≠2】（8）x=2【由{被开方数x−2≥0被开方数2−x≥0解之得{x≥2x≤2∴x=2】二、函数中自变量的取值范围1.求下列函数中自变量的取值范围（1）y=x+3（2）y=1x+3（3）y=1x﹣2﹣1x+3（4）y=x+3（5）y=1x+3（6）y=√x−3（7）y=x+3x﹣2（8）y=x-3 +3-x11. (武汉)式子x-1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x <1 B ． x ≥1 C ． x ≤－1 D ．x <－111.（鞍山）要使式子2-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≥2D ．x ≤211.（江苏盐城）有意义，则x 的取值范围是 .11.（湖北随州）函数x 的取值范围是_________。
人教版八年级数学下册-第十六章 二次根式 知识清单
第十六章二次根式思维导图【二次根式】(1)二次根式的概念一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号,“a”称为被开方数.(2)二次根式概念的理解①“2”中一般把根指数2省略,写作“”,但不要误认为根指数是1或没有.②二次根式a中的a可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等。
③a≥0是a为二次根式的前提条件,如2，9，a2+b2，x-y (x>y)是二次根式，而-2，-(x+1) (负数没有算术平方根)不是二次根式。
④形如b a (a≥0)的式子都是二次根式，如56是二次根式.【二次根式有意义的条件】(1)对于二次根式a 来说,被开方数a 必须是一个非负数,即a≥0,当a 是一个代数式时，可根据二次根式的概念来确定a 中字母的取值范围，如2-x 是一个二次根式，则2-x≥0，∴x≤2. (2)①如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是使各个二次根式中的被开 方数都必须为非负数。
例如:要使x-1 +3-x 有意义,则x-1≥0且3-x≥0, ∴1≤x≤3②如果所给的式子中含有分母,那么式子有意义的条件是除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不能为零。
典例1 (中考)二次根式x-3中,x 的取值范围为 。
解析: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.则x-3≥0,解得x≥3 答案: x≥3典例2 (中考)使代数式2x-13-x 有意义的x 的取值范围是 。
解析: 若要使代数式2x-1有意义,则x 需要满足2x-1≥0且3-x≠0,解得x≥12且x≠3 答案: x≥12且x≠3 【二次根式的性质】点拨：(a)2(a≥0)既可正向应用,也可逆向应用,如(5)2=5,反过来5=(5)2.在实数范围内分解因式或有关化简求值中应用此式较多,例如:分解因式a2-5=a2-(5)2=(a+5)(a-5)。
典例(中考)若实数x,y满足|x-4|+y-8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为。
2019人教版八年级数学下册第十六章 二次根式 二次根式知识点归纳及题型总结
2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。
2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。
3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。
4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。
5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。
6.若a≥0，则√a²=a。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。
8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。
3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。
第十六章 二次根式章节复习知识点
5、
5、二次根式相关运算的结果必须化成最简形式。
6、二次根式的化简求值常把二次根式的运算与分式运算联系起来，一般先将分式进行化简，
再代入所给字母的值，最后进行二次根式的运算。
7、两个二次根式比较大小：将根号外的系数进行平方在与被开方数相乘，例如： 与
逆运算： = （a≥0，b＞0），商的算术平方根等于被除数的“算”除以除数的“算”。
7、分母有理化：把分母中的根号化去的过程。两种方法，如下所示：
① = （a≥0，b＞0）；② = = （平方差公式）
8、最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不能含开方开得尽的因数或因式。
二次根式运算中，最后结果为最简二次根式。利用二次根式乘除法法则逆运算进行化简。
在运算过程中，每个根式可以看做一个单项式。分母中含有根式的，要先进行分母有理化。
类型题总结：1、判断二次根式；二次根式有意义的条件；二次根式性质的两种用法：已知
取值再化简、给你化简过程，判断未知数的取值范围。2、几个非负数之和为0，则每个非
负数都得0（平方、绝对值、二次根式）。3、判断最简二次根式必须满足两个基本条件。
来的式子叫做代数式。例如：3；x；x+y； （x≥0）；-ab；x 都是代数式。
5、二次根式乘法法则： · = （a≥0，b≥0），把被开方数相乘，根指数不变。
逆运算： = · （a≥0，b≥0），积的算术平方根等于积中各因式的算数平方根的积。
6、二次根式除法法则： = （a≥0，b＞0），把被开方数相除，根指数不变。带先化假。
被开方数：是带分数要化成假分数、是小数要化成分数、是多项式要先进行因式分解。
9、二次根式加减：将几个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。
2019年八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结新版新人教版
第十六章 二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a ≥0，b ≥0）；=b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a ≤b4、比较数值（1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<。
例1、比较与的大小。
（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
例2、比较（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例3（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例4（5）、倒数法例5-的大小。
（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
八年级下册数学第十六章知识点
八年级下册数学第十六章知识点八年级下册数学第十六章的知识点主要包括：
1.二次根式的概念：二次根式是一种特殊的数学表达式，它表示一个数的平方根。
例如，√4表示4的平方根，即2。
2.二次根式的性质：二次根式具有一些基本的性质，如非负性、唯一性等。
这些性质在解题过程中非常重要。
3.二次根式的运算：二次根式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
在进行这些运算时，需要遵循一些基本的运算法则和步骤。
4.最简二次根式：最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。
化简二次根式时，需要将其化为最简形式。
5.二次根式的乘法和除法：二次根式的乘法和除法运算有一定的法则和步骤。
例如，在进行乘法运算时，需要将被开方数相乘，并将根指数相加；在进行除法运算时，需要将被开方数相除，并将根指数相减。
6.二次根式的加减法：对于同类二次根式，可以直接进行加减运算。
但对于不同类的二次根式，需要先进行通分或化简，然后再进行加减运算。
以上是八年级下册数学第十六章的主要知识点。
在学习过程中，需要充分理解这些概念和性质，掌握基本的运算法则和步骤，并通过大量的练习来巩固和提高自己的数学能力。
(完整word)第十六章二次根式知识点归纳,推荐文档
第十六章二次根式知识点归纳一、形如▼（:工：）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是•二为二次根式的前提条件,二次根式成立应满足两个条件：第一，有二次根号“J ”；第二，被开方数是正数或0.三、二次根式「■'（二兰「）的双重非负性：1被开方数卫⑺非负2、,a的值非负。
四、二次根式的化简。
1化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数或0.\ a2= I a I①若a是正数，贝UI a I等于a本身；②若a是负数，贝UI a I等于a的相反数-a,③若a是0,贝UI a I等于0.2、V a =a （a > 0）.3、被开方数是乘积用• ab = a• '、b（a》0，b>0）化，4、被开方数是商的形式用£ =芈（a》0，b>0）或i医=丄JabVb v b b5、最简二次根式应满足的条件：（五）二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
（六）二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化（七）分母有理化分母有理化：利用分式的基本性质，分子与分母同时乘以分母根号本身注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式第十七章勾股定理知识总结1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c,那么a2+ b2=c2。
或者：直角三角形的两条直角的平方和等于斜边的平方勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C 90，则c . a2 b2， b C_a2,a ..c2~b2)(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+ b2=c2。