新人教版必修四 第六讲 三角函数的诱导公式(第二课时)
5.3诱导公式：诱导公式公式五和公式六课件(人教版)
)
A．－23 2
B．－13
C．2 3 2
D．13
C 解析：∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋3si8n2α 2 ＝1，
整理可得 9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得 sin2α＝89 或 sin2α＝－8(舍去). 又∵α 是第四象限角，∴sinα＝－2 3 2 ， ∴cos α＋2 0221π ＝cos α＋1 010π＋2π ＝cos α＋π2 ＝－sin α＝2 3 2 .
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
右边＝tanta（n 8（ππ＋＋πθ＋）θ－）1＋1
＝tan tan
（π＋θ）＋1 （π＋θ）－1
＝tan tan
θ＋1 θ－1
，
左边＝右边，所以等式成立．
经典例题
题型三 给值求值
例 3 已知 cosπ6－α＝13，求 cos56π＋α·sin23π－α的值．
解：cos56π＋α·sin23π－α ＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α ＝－cos6π－α·sin3π＋α ＝－cos6π－α·sin2π－π6－α ＝－cos6π－α·cosπ6－α ＝－13×13＝－19.
经典例题
题型三 给值求值
跟踪训练3
(2)已知 cosα＝－45，且
α
为第三象限角．求
f(α)＝tanπ－α·csoinsππ－＋αα·sinπ2－α的值．
解：(2)因为 cosα＝－45，且 α 为第三象限角，
所以 sinα＝－ 1－cos2α＝－ 1－－452＝－35.
所以 f(α)＝－tan－α·csionsαα·cosα＝tanαsinα＝csoinsαα·sinα
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
人教版高中数学必修4A版三角函数的诱导公式课件
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
任意角
公式一
0°～360°角
其中锐角的三角函数容易计算.而对于 900～3600范围内的三角函数值，如何转 化为锐角的三角函数值呢？
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
a cos( ) sin 2 c
思考4：若α 为一个任意给定的角，那么 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 的终边 y 2 系？
y=x
α 的终边 O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
思考6：设角α 的终边与单位圆的交点 为P1（x，y），则 2 的终边与单 位圆的交点为P2（y，x），根据三角函 数的定义，你能获得哪些结论？
x
sin( ) sin 公式三： cos( ) cos t an( ) t an
思考4：利用π －α ＝π ＋(－α )，结 合公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin 公式四：cos( ) cos tan( ) tan
公式六：
sin(
2
) cos ) sin
cos(
2
思考6：正弦函数与余弦函数互称为余函 数，你能概括一下公式五、六的共同特 点和规律吗？ 公式五：
sin(
2
) cos ) sin
cos(
2
sin(
2
) cos ) sin
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数与α的三角函数之间 的关系
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
π
2
− θ ) D. sin(
2
4 在第四象限， cos( + α ) = α在第四象限， 2 5 3π 则 sin( + α )的值是 2
牛刀小试
π
A
3 3 3 4 A. − B . C . ± D. 5 5 5 5
牛刀小试
sin 280 = m , 则 cos 10 等于
B
A : m B : −m C : 1 − m D : − 1 − m
4 10、 α + π ) = 且 sin α ⋅ cos α < 0, 求 sin( 5 2 sin(α − π ) + 3 tan( 3π − α ) 4 cos(α − 3π )
1 6.已知 sin( 7π + α ) = − ,求tan(π 已知 求 3
1 17π cos( − ) 3
+ α ) 的值 的值.
π 1 7.已知 cos α = ,且 − < α < 0 ,求 已知 且 求 3 2 sin( 2π + α ) 的值. 的值 cos( −α ) tan α tan( −α − π )
2π 3π 4π 5π 4 : cos + cos + cos + cos + cos + cosπ 6 6 6 6 6
π
π
巩固练习 1 利用公式求下列三角函数值 利用公式求下列三角函数值.
(1) cos 750
0
11π ( 2) sin( − ) 6 (4) cos( −14100 )
的值是_______. 的值是
8.已知 tan α = −3 ,求sin(π + α ) cos(π − α ) 的值 已知 的值. 求
最新人教A版必修四高中数学1.3 三角函数的诱导公式(二)公开课课件
π π ∴sin2＋α＝cos α，cos2＋α＝－sin α.
思考3 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？
3 3 sin2π－α＝－cos α，cos2π－α＝－sin α， 3 3 sin2π＋α＝－cos α，cos2π＋α＝sin α.
.
异名 锐角时原函数值的符号 函数名改变，符号看象限
探要点·究所然 情境导学
探究点一 诱导公式五
思考1 如图，在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义有
π b a b sin α＝c，cos α＝c，sin2－α＝c， π a cos2－α＝c. 根据上述结论，你有什么猜想？
答
3 π sin2π－α＝sinπ＋2－α
π ＝－sin2－α＝－cos α； 3 π cos2π－α＝cosπ＋2－α
π ＝－cos2－α＝－sin α；
3 π sin2π＋α＝sinπ＋2＋α
π 3 α－ 的值. 跟踪训练 1 ，求 cos 3 3 π π π π 解 ∵cosα－3＝cos3－α＝cos2－6＋α
π ＝sin6＋α＝
π 已知 sin6＋α＝
3 . 3
2π π π 解 ∵α＋ 3 ＝α＋6＋2，
π π π 3 2π ∴sin(α＋ 3 )＝sinα＋6＋2＝cosα＋6＝5.
反思与感悟 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通 π π 已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意6＋α 与3－α， π π － α 与 ＋ α 等互余角关系的识别和应用 . 4 4
《三角函数的概念(第二课时)》示范教学方案
《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》教学设计1．掌握三角函数值的符号；2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性．教学重点：函数值的符号、诱导公式一．教学难点：对诱导公式的发现与认识．PPT课件．资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解（一）创设情境引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导．（二）新知探究1．三角函数值的符号问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？预设的师生活动：由学生独立完成．★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．预设答案：用集合语言表示的结果是：当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果．设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等．例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性．因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立．设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力．★资源名称：【知识点解析】对三角函数值符号的理解★使用说明：本资源展现“对三角函数值符号的理解”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂展示．注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．诱导公式一问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你有发现什么？ 师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现诱导公式一．追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？（2）你认为诱导公式一有什么作用？预设答案：（1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现诱导公式一及其体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看待问题，发展直观想象等素养．例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：（1）cos 250°；（2）sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π； （3）tan (－672°)； （4）tan 3π．解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos 250°＜0；（2）因为4π-是第四象限角，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4π＜0； （3）因为tan (－672°)＝tan (48°－2×360°)＝tan 48°，而48°是第一象限角， 所以tan (－672°)＞0；（4）因为tan 3π＝tan (π+2π)=tan π，而π的终边在x 轴上，所以tan π=0．例3 求下列三角函数值：（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）；（2）cos4π9； （3）tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π11． 解：（1）sin 1480°10′=sin (40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645；（2）9πππcos cos(2π)cos 4442=+==；（3）11πππtan()tan(2π)tan 6663-=-==． 师生活动：以上都是教科书中的例题，难度不大，可以由学生独立完成，并作课堂展示．教师可以鼓励学生采用不同的变形方法得出答案．在用计算器验证时，提醒学生注意角度制的设置．（三）课堂练习教科书练习第1，2，3，4，5题．（四）布置作业教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．（五）目标检测设计1．求下列三角函数的值：（1）cos （－23π6）； （2）tan 25π6． 设计意图：考查诱导公式一，特殊角的三角函数值．2．角α的终边与单位圆的交点是Q ，点Q 的纵坐标是12，说出几个满足条件的角α． 设计意图：考查正弦函数的定义，诱导公式一．3．对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：（1）角θ为第二象限角的充要条件是________；（2）角θ为第三象限角的充要条件是________．设计意图：考查三角函数值的符号规律．。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时课件新人教A版必修4
右边=ttaann������������+-11
=
csoins������������+1 csoins������������-1
=
ssiinn������������+-ccooss������������,
∴左边=右边.故原等式成立.
探究一
探究二
探究三
思想方法
三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或 从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义 法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌 握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.
“×”.
(1)角 α 的正弦值等于其余角的余弦值.
(2)cos
3π 2
-������
=-sin α.
(3)tan
π 2
+
������
=-ta1n������.
(4)当 α 是第二象限角时,cos
π 2
-������
=-sin α.
() () () ()
(5)sin α+32π =cos α. (6)sin 95°+cos 175°=0.
(������为奇数).
方法二 原式=((--11))������������ssiinn������������+·((--11))������������csoisn������������ = 2c(o-1s���)���������.
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
探究一
探究二
高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)
2
2
cos x
1
1
2
3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=
2 2
;(2) sin 10
=
3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。
新人教版必修41.3三角函数的诱导公式(2)
sin (− α ) = − sin α cos(− α ) = cos α
sin (π + α ) = − sin α cos(π + α ) = − cos α tan (π + α ) = tan α
− α ) = cos α − α ) = sin α
0
α
P(x,y) x
cos(
公式五: 公式五
公式六: 公式六
sin(
π π
2 2
− α ) = cos α − α ) = sin α
sin(
π π
2 2
+ α ) = cos α + α ) = − sin α
cos(
π
2
cos(
± α 的正弦(余弦 函数值,分别等于 的余弦 的正弦 余弦)函数值 分别等于α的余弦 余弦 函数值 分别等于
sin (π + α ) = − sin α cos (π + α ) = − cos α tan (π + α ) = tan α
sin (π − α ) = sin α cos (π − α ) = − cos α tan (π − α ) = − tan α
sin(
sin(
π
2
+ α ) = cos α
sin (α + 2 k π ) = sin α
cos (α + 2 k π ) = cos α tan (α + 2 k π ) = tan α
三角函数的诱导公式(第二课时)
三角函数的诱导公式学案（第二课时）一、 教学目标1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）。
2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，从中体会未知到已知，复杂到简单的转化过程。
二、 重点与难点重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法。
难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。
三、 教学过程1、旧知复习 公式一：公式二：公式三：公式四：2、新知探究（1）对称性研究①终边对称：角α与角2πα-的终边关于y=x 对称（可将α看成在第一象限，利用几何知识加以证明）②坐标对称：设任意角α与单位圆的交点的坐标为（x,y ），则2πα-的终边与单位圆的交点的坐标为 （可借助反函数的坐标性质得到） （2）三角函数诱导公式的研究（公式五、公式六） 1、公式五的推导 由②可知第一组：sin α= ；cos α= ；tan α= ； 第二组：sin(2πα-) = ； cos(2πα-) = ；tan(2πα-) = ；探究一：比较第一组和第二组的结果，你可以得到α与2πα-的三角函数的关系吗？ 结论一：（公式五） sin(2πα-) = ； cos(2πα-) = ；tan(2πα-) = ；2、公式六的推导 问题：2πα+与α的三角函数值的关系是怎样的？分析：观察2πα+与2πα-的数量关系，可以得到2πα+= -（2πα-），利用公式四即可得到2πα+与2πα-的三角函数值的关系，从而得到2πα+与α的三角函数值的关系。
整理：sin （2πα+）= sin [ -（2πα-）] sin （2πα-）=cos α（公式五） cos （2πα+）= cos [ -（2πα-）] -cos （2πα-）=-sin α（公式五）结论：（公式六） sin （2πα+）= ；cos （2πα+）= 。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(二)课件新人教A必修4
sin2x°+sin2(90°－x°)=sin2x°+cos2x°=1 (1≤x≤44,
x∈N)，
所以原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)
+…+(sin244°+sin246°)+sin290°+sin245°
(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°-α及
-α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
(4)善于发现类似 －与 间的互余关系， －与 2
3 6 3 3
间的互补关系，利用角的变换结合诱导公式做题 .
【变式训练】(2013·广东高考)已知 sin( 5 ) 1 ， 那么
2 cos( －) . 6 3 2 (2) sin(－ ) sin[－ －( －)] 3 2 6 －sin[ ( －)] 2 6 2 －cos( －) － . 6 3 3 2 6
【拓展提升】角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正 角的三角函数.若转化了以后的正角大于360°，再利用诱导 公式一，化为0°到360°间的角的三角函数. (2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°-α的 诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数.
所以 tan( ) － 1 ，即tan( )与tan 互为负倒数.
2 tan 2
【知识点拨】 1.三角形中的诱导公式 由于A+B+C=π,所以A+B=π－C,所以 所以sin(A+B)=sin(π－C)=sin C； cos(A+B)=cos(π－C)=－cos C；
高中数学 1.3 三角函数的诱导公式(第2课时)课件 新人教A版必修4
sin( 2
)
x
cos
s
in(
2
)
cos
cos( ) y sin cos( ) sin
2
2
sin(3 ) cos
3
sin(
)
cos
2
2
cos(3 ) sin
2
3
cos(
)
sin
2
共同点： 函数名改变,符号与前面值的正负一至.
※记忆方法：
奇变偶不变，符号看象限．
说明：
奇 偶 指k的 中k是 的 奇 偶 性 ；
2 符 号 指 的 是 前 数面 的三 符 (由角 号 象函 限)
规律探索
1:sinsi2 n si3 n si2n
22 2
2 :s i n s2 in s3 in s4 in s i5 n s2 in 3 3 3 1 3 3 3
1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用解决 简单的求值、化简与证明问题．
2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出 六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的 数学推理意识和能力．
3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程， 培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
复习初中知识
sin30 cos60 即 s in 3 0 c o s ( 9 0 3 0 ) sin45 cos45 即 s in 4 5 c o s ( 9 0 4 5 ) sin60 cos30 即 s in 6 0 c o s ( 9 0 6 0 )
1.3三角函数的诱导公式
第2课时
本节课在上一节课的基础上学习公式五，公式六， 最后六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变 ，符号看象限”，即诱导公式左边的角可统一写成 k·±α(k∈Z)的形式，当k为奇数时公式等号右边的三角函 数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时， 公式符号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边 的三角函数之前的符号，则把α当成锐角，看k·±α为第几 象限角.
《三角函数的诱导公式第2课时》人教版数学高一下册PPT课件
第一章 三角函数
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在 sin[32π－(π4－α)] 中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)， 特别是诱导公式右边的符号要记准．
第一章 三角函数
[正解] ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4，∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2 π4－α ＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[π＋(π4＋α)] ＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4－α)] ＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2. [误区警示] 在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以单角，也可以是一个复角．
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前面加上一
个把 α 看成___锐_角____时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式
第一章 三角函数
[知识点拨]1.对诱导公式五、六的两点说明 (1)诱导公式五、六反映的是角π2±α 与 α 的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函 数名改变，符号看象限”来记忆． (2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角， 应用时要注意整体把握，灵活变通． 2．对诱导公式一～六的两点说明 (1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
sinα－cosα
＝
＝
－sinα－2cosα －
3－ 10 3－
1 10 2
＝－25.
10 10
∴选 A．
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高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4
∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用 【例 3】 在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状． 思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式 解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章 三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式 第2课时 三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱 数学运算核心素养.
人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.3三角函数的诱导公式(第2课时)
第2课时 诱导公式五、六1.理解和掌握诱导公式五、六的内涵及结构特征，掌握这两个诱导公式的推导和记忆方法.2.会初步运用诱导公式五、六求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦.“符号看象限”是把α看成锐角时原三角函数值的符号.【做一做1－1】 已知sin 25.7°＝m ，则cos 64.3°等于( )A.mB.－mC.m 2D.1－m 2【做一做1－2】 已知cos 10°＝a ，则sin 100°＝________.答案：cos α sin α cos α －sin α 锐角【做一做1－1】 A【做一做1－2】 a1.对诱导公式五、六的认识剖析：(1)公式五和公式六可概括如下：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名改变(正余互变)，符号看象限”.(2)把α看成锐角，实际上α可以为任意角.(3)公式五或公式六的作用：可以实现正弦函数与余弦函数的转化，在三角恒等变化中，起到改变函数名称的作用.2.记忆六组诱导公式剖析：因为任意一个角都可以表示为k ·π2＋α(其中|α|＜π4，k ∈Z )的形式，所以六组诱导公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0～π4之间角的三角函数求值问题.2k π＋α＝4k ·π2＋α，－α＝0·π2－α，π±α＝2·π2±α，π2±α＝1·π2±α，则这六组诱导公式也可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k ·π2±α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k 的奇偶性.如sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α中的k ＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以sin ⎝⎛⎭⎫11π2＋α＝－cos α.题型一 求值【例1】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫π3－α的值. 分析：由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2，所以考虑用公式五化简求值. 反思：已知关于α的三角函数值，求其他三角函数时，通常利用角的整体代入.由于⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝π2,则借助于诱导公式,且6πα+表示3πα-,从而顺利解决.若2k παβ±=()k ∈Z ,则已知α与β中任意一个角的三角函数值,就可利用整体代入求出另一个角的三角函数值.题型二 化简三角函数式【例2】 化简cos ⎝⎛⎭⎫52π－αcos(－α)sin ⎝⎛⎭⎫32π＋αcos ⎝⎛⎭⎫212π－α＝__________. 题型三 证明三角恒等式【例3】 求证：tan(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos(6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α. 分析：解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行化简推出右边．题型四 易错辨析易错点 诱导公式的使用【例4】 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝a,0＜α＜π2，求sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α. 错解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2.错因分析：对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不好，在sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π4－α中，要把“π4－α”看成锐角来确定三角函数值符号． 反思：诱导公式共有六组16个公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．答案：【例1】 解：∵π6＋α＋π3－α＝π2， ∴π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 【例2】 －1原式＝cos ⎣⎡⎦⎤2π＋⎝⎛⎭⎫π2－αcos αsin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎣⎡⎦⎤10π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos α－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin αcos α－cos αsin α＝－1. 【例3】 证明：左边＝tan (－α)(－sin α)cos (－α)－cos αsin α＝(－tan α)(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边， ∴原等式成立．【例4】 正解：∵0＜α＜π2，∴－π4＜π4－α＜π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＞0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－a 2，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－1－a 2.1．已知πsin 2α⎛⎫+⎪⎝⎭＝34，则πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝__________. 2．化简15ππsin cos()229π3πsin cos 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝__________. 3．已知πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35， 那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是__________． 4．求证：πsin cos(π)2πsin sin(π)2θθθθ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭＝21tan θ-. 5．已知角α的终边经过点P (－4,3)，求πcos sin(π)211π9πcos sin 22αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．答案：1.34 ∵πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝34， ∴πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos α＝34. 2．－1 原式＝ππsin 8πcos 22ππsin 4πcos π22αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ＝πsin sin 2ππsin cos 22αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝cos sin cos [(sin )]αααα---＝－1. 3．35- ∵ππ44αα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝π2， ∴α＋π4＝ππ24α⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∴πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ππcos 24α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝πsin 4α⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝35-. 4．证明：左边＝cos cos cos sin θθθθ+-＝2cos cos sin θθθ-＝21tan θ-＝右边，∴原等式成立． 5．解：∵角α的终边经过点P (－4,3)，∴tan α＝y x ＝34-. ∴原式＝sin sin sin cos αααα-⋅-⋅＝tan α＝34-.。
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第六讲 三角函数的诱导公式(第二课时
)
题型一 利用诱导公式化简求值
(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α是第二象限角，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2的结果是( )
A.45 B ．－45 C ．±45 D.3
5
(2)化简：sin (2π＋α)cos (π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫7π2－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.
(3)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2
3
，求下列各式的值：
①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.②sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3.
[跟踪训练]
已知sin10°＝k ，用cos620°的值等于( ) A ．k B ．－k C ．±k
D ．不能确定
题型二 利用诱导公式证明三角恒等式
求证：tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－αcos (6π－α)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.
[跟踪训练] 求证：tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π2＋α＝－cos αsin α.
题型三 诱导公式的综合运用
已知cos α＝－4
5
，且α为第三象限角．
(1)求sin α的值．
(2)求f (α)＝tan (π－α)·sin (π－α)·si n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－αcos (π＋α)
的值．
[跟踪训练]
已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (－π－α).
(1)化简f (α)；
(2)若α为第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；
(3)若α＝－31π
3，求f (α)的值．
1．sin165°等于( )
A ．－sin15° B
．
cos15°
C
．
sin75°
D ．cos75°
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α的值为( )
A.
22
3 B ．－223 C.13
D ．－1
3
3．已知cos31°＝m ，则sin239°tan149°的值是( )
A.1－m
2
m
B.1－m 2
C ．－1－m 2
m
D ．－1－m 2
4．sin 95°＋cos 175°的值为( )
A ．sin 5°
B ．cos 5°
C ．0
D ．2sin 5°
5．已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )
A.13
B.23 C ．－13 D ．－23
6．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝
( )
A ．－4
3
B.43
C.34 D ．－34
7．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A ．cos(A ＋
B )＝cos
C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos
A ＋C
2
＝sin B
D ．sin
B ＋C
2＝cos A
2
8．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )
A.6
5
B ．1 C.35 D.1
5
9．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________． 10．已知cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)＝________．
11．sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
45°＋sin 2
88°＋sin 2
89°＝________．
12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋α的值为________．
13．若sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2＋θ＝35
，则cos 2θ－sin 2θ＝________.
14．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2＋αsin （π＋α）
.
15．(1)已知sin α＝1
4
，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；
(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．
16．设tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .
求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.。