第3章 刚体力学基础2
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第三章刚体力学基础
2.定轴转动（n=1） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。
z
O
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
3.平面平行运动（n=3）
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
三、 刚体运动的几种形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移） （n=3）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 当 O
棒处在下摆角时，重力矩
C
为：
M 1 mgl cos
2
mg
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml 2
2l
3
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd 代入M＝1 mgl cos
2
1 mgl cosd Jd
第3章刚体力学 (2)
l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io
1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
14
(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2
m
R
2
2rdr
1 2
dt
z
k o
j
i
y
L r (m ) mr
x
m(acosti bsintj ) (asinti bcostj )
mabsin2tk mabcos 2tk
mabk
i i 0 j i k
i jk j j0 28
质点所受的力矩:
M=rF
r
=acos dr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t i+bsin t j
对比： 角动量守恒定律是：M外=0， 则 L =常矢量。
动量守恒定律是： F外=0 ，则 p =常矢量。
30
角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，
它不仅适用于宏观体系， 也适用于微观体系，
而且在高速低速范围均适用。
03刚体力学基础
1. 陀螺
设陀螺质量为m，以角速度自转。
重力对固定点o的力矩：
绕自身轴转动的角动量：
由角动量定理的微分式：
显然， o
mg
时刻改变方向而大小不变——进动。
dj 进动角速度：
o
说明
1. Ω(或ωp)与ω 有关，与θ无关。 2. 进动轴通过定点且与外力平行。
3. 进动方向决定于外力矩和自转角速度的方向。
2 2
J
L
2
m
Lz L sin a 2mb sin a 2mR
结论：
a
b
b
R
1、角动量和角速度一般并不在同一个 方向上
2、角动量与角速度在数值上也并不是 以转动惯量为比例系数的正比关系
m
三、刚体定轴转动定律
由质点系的角动量定理： 对刚体的定轴转动，有： 而且 设转动过程中J不变， 则有： 刚体定轴转动定律： 刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。 得到：
L (t )
M
o dj L(t dt )
dL
回转效应的应用：飞机，轮船，导弹中的指向仪， 炮筒内的旋转式来复线。
§3.7 刚体的平面平行运动
平面平行运动 自由度：3 平动（ 2）+ 转动（1）
第03章 刚体力学基础
l O
l/2 C mg
1 2 2 l ml mg sin 0 3 2
3g sin l
例 3-7 如图，滑轮质量为 m，半径为 R，物块质量 m0， 弹簧屈强系数 k， 斜面倾角 均为已知。 开始时扶住物块， 使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。设绳子与滑轮 间无相对滑动，不计转轴和斜面的摩擦力，求： （1）物块下滑距离为 x 时的速度为多少？ （2）下滑距离 x 为多大时，物体的速度为最大，最大速 度为多少？ （3）物体下滑的最大距离为多大？
m R m2
m1
F
解：
t
0
M 外dt L L0
m1 v
N
m R
v m2
M 外 FR m2 gR m1 gR sin
L m1vR m2vR J L0 0
t
m1g F
m2g
( F m2 g m1 g sin ) Rdt m1vR m2vR J 0 v R, J mR 2 / 2
L：系统的总角动量： L m1vR m2vR J
例 3-4 如图， 已知 m1 4kg ，m2 1kg ，m 2kg ，
30 0 ， F 9.8 6t 18t 2 ( N ) ，t=0 时系统保持
大学物理第3章-刚体力学基础
t
0
dt
3R d
0
0 4 g
则有：J＝JC＋md2。
d
C mO
这个结论称为平行轴定理。
*叠加原理：对某一转轴的总转动惯量＝各部分物 体对同一轴的转动惯量之和
J=JA+JB+JC＋…
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例4、 右图所示刚体对经 过棒端且与棒垂直的轴的转
mL
动惯量如何计算？(棒长为L、
圆半径为R）
J L1
FT1 mAa
mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J
a R
FN
PmA AO
FT1
x
大学物理学A
第3章 刚体力学基础
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
a
mB g
mA mB mC 2
解得：
FT1
mA
mAmB g mB mC
单位 ∶ kg m2
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
第三章_刚体力学基础讲解
J mi ri
对于单个质点
质点系
2
单位：千克· 米2（kg· m2）
J mr
n i 1
2
J mi ri 2
若物体质量连续分布，
J r dm
2 m
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注意： (1)刚体的转动惯量
与刚体的质量有关， 与刚体的质量分布有关， 与轴的位置有关。 (２)质量元的选取： 线分布 dm dx(或dl) 面分布 dm ds 体分布 dm dv
9 首 页 上 页 下 页退 出
２、力对轴的矩： 力矩在x,y,z轴的分量式，或称力对 轴的矩。例如上面所列Ｍx,My,,Mz,即 为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。
Mz
F r //
·
F
F
若设力Ｆ的作用点到Ｚ轴的位矢为r，则力对Ｚ轴的 力矩为
r sin F F M z rF sin rF sin rF
dl
R
dJ R dm
2
因所有质元到轴心的距离均为Ｒ，
J R dm MR
2 M
2
18 首 页 上 页 下 页退 出
例3 －4 求质量为M，半径为Ｒ的均质圆盘（或圆柱 ）对过质心且与盘面垂直的转轴的转动惯量。 解：设圆盘厚为 h,则整个圆盘可看成是由无穷多个 半径为r，宽为dr的圆环所组成， 设体密度为
3-第3章 刚体力学基础
特征：所有质元角量相同；线量各不相同，并正
i ri
比于距轴的距离r。
角量
2 1
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
标量关系
i ri
ai ri ain ri 2
矢量关系
i ri
ain i
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“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材
大学物理学（第5版）
注意：与功率的比较（
P
F
dt
）
dt
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大学物理学（第5版）
三、刚体定轴转动的动能定理
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
W 2 Md 2 J d 2 J d d 2 Jd
1
1
1
dt
1
W
1 2
J 22
1 2
J 12
2 Md ( 1 J 2 )
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四、定轴转动定律的应用
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
解题思路
(1) 选物体 (2) 看运动 (3) 查受力（注意:画隔离体受力图） (4) 列方程（注意:建立坐标）
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i ri
比于距轴的距离r。
角量
2 1
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
标量关系
i ri
ai ri ain ri 2
矢量关系
i ri
ain i
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注意：与功率的比较（
P
F
dt
）
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三、刚体定轴转动的动能定理
§3-3 刚体定轴转动的动能定理
W 2 Md 2 J d 2 J d d 2 Jd
1
1
1
dt
1
W
1 2
J 22
1 2
J 12
2 Md ( 1 J 2 )
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四、定轴转动定律的应用
§3-2力矩 刚体定轴转动的转动定律
解题思路
(1) 选物体 (2) 看运动 (3) 查受力（注意:画隔离体受力图） (4) 列方程（注意:建立坐标）
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力矩+刚体定轴转动的转动定律
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节Hale Waihona Puke Baidu
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第2节
大学物理学(力学和电磁
•10
学)
例3.1 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直.
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m dm dx
l
dJ x2dm x2dx
第3章 刚体力学基础
•4
学)
二 刚体定轴转动的转动定律
作用在
mmi i上dd的vti 外 力Fi
Fi
，内力
fi
fi
θi
φi
在圆轨迹切线方向,
Fi sini fi sini Fi fi miai miri
Firi sini firi sini (miri2 )
Firi sini firi sini (miri2 )
第3章刚体力学基础
• 矢量式为：
2、角动量定理
对刚体上的第i个质点有：
意义：刚体所受的合 外力矩，等于其角动 量对时间的变化率。
此式为角动量定理的微分形式，积分得：
3、角动量守恒定律
即刚体不受外力或外力矩之和为零时，其角动量守恒。
有两种情况：a ：J 、ω均不变； b : J 、ω均改变，但其积不变。 举例说明
v = 2gh
(1)
碰撞 D t 极小，对 粘土块和盘组成的系统，冲力远大于重 力，故粘土的重力对O的力矩可忽略，角动量守恒： mvR cosq = Jw o (2) (3)
1 2 2 2 MR + mR = 2 mR 2 w o = 2 gh cosq 由 (1)(2)(3) 得： 2R
J= 例：如图已知ω0 ，J1 、J2 求啮合后各自的角速度。 解：啮合点的线速度相等即满足：
解得:
应用型问题研究：门碰装在何处才能使开门时对门轴的冲击 力最小？
设门为匀质的平板，开门时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
设啮合的时间为△t 且此过程中的 摩擦力大小为 f 。 由角动量定理： f’
f
第3章 刚体力学基础汇总
第3章 刚体力学基础
一、基本要求
1．理解质点及刚体转动惯量、角动量的概念，并会计算质点及刚体（规则形状刚体）的转动惯量、角动量； 2．理解刚体绕定轴转动的转动定律，并应用它来求解定轴转动刚体力矩和角加速度等问题； 3．会计算力矩的功、刚体的转动动能、刚体的重力势能，会应用机械能守恒定律解答刚体定轴转动问题；
4．掌握刚体的角动量定理和角动量守恒定律，并会分析解决含有定轴转动刚体系统的力学问题(质点与刚体碰撞类问题等)。
二、基本内容
（一）本章重点和难点：
重点：刚体绕定轴转动定律及角动量守恒定律。
难点：刚体绕定轴转动系统的角动量守恒定律及其应用。 (二) 知识网络结构图：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧角动量守恒定律定轴转动定律基本定律转动动能角动量冲量矩转动惯量力矩基本物理量
（三）容易混淆的概念：
1.转动惯量和质量
转动惯量反映刚体转动状态改变的难易程度，即刚体的转动惯性大小的量度；质量反映质点运动状态改变的难易程度，即质点的惯性大小的量度。
2.平动动能和转动动能
平动动能是与质量和平动速度的平方成正比；转动动能是与转动惯量和角速度的平方成正比。
（四）主要内容：
1．描述刚体定轴转动的角位置θ，角位移θ∆、角速度ω和角加速度α（β）等物理量
t t d d ,d d ωαθω==
角量与线量的关系：
2n t ωαω
θr a r a r v r s ====
2．转动惯量--转动质点对转轴的转动惯量，等于转动质点的质量m 成以质点到转轴的距离r 的平方。2J
m r =⋅
（1）质量连续分布的刚体：
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
• 匀质薄圆盘对心垂轴的转动惯量J
面密度
m R2
取圆环作为质量元，dm
J
r 2dm
2 rdr
R
r 2 2 rdr
R4 1 mR2
– 常0 见转动惯量表(理解转2 动惯量2的意义, 不要死记硬
背)
四 平行轴定理
在上个例题中 J A mL2 / 3 JC mL2 /12
其中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示 相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。
可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 3
mL2
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴(JC )平行，
相距为d，刚体对该任一轴的转动惯量为J，则有：z' z
J＝JC＋md2。 这个结论称为平行轴定理。
第3章 刚体力学基础
三、转动定律的应用
M J J d
dt
例3-2:如图所示，质量均为m的两物体A，B.A放在倾 角为θ的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳 与B相连．定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m.物 体运动时，绳与滑轮无相对滑动．求绳中张力T1和T2 及物体的加速度a(轮轴光滑)．
-------------------------------------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------
例3-1: 求质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量： (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一 端并与棒垂直。
dm dx
l 2
一、刚体的引入
1.刚体 形状和大小完全不变的物体．
•研究刚体力学时，通常把刚体分成许多部分，每一 部分都小到可看作质点，叫作刚体的质元．
•由于刚体不变形，各质元间距离不变，质元间距离 保持不变的质点系叫作不变质点系．
• 刚体力学的基本方法:把刚体看作不变质点系并运 用已知的质点系的运动规律去研究
-------------------------------------------------------------------------------
第3章 刚体力学基础
如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Jb 再联立求解。
细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
m
R
m
R （B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 b 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
J = m R2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
J=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
J=
mR 2
2
2 m R2 J= 3
四 平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 J C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
d
C
m
O
J O J C md
定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
第03章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述
§3-2 转动定律
§3-3 刚体定轴转动的的功和能
§3-4 角动量定理角动量守恒定律
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物体，即运动过程中不发生形变的物体。
刚体是实际物体的一种理想的模型
二. 刚体的运动
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动
1.平动：运动过程中刚体内任意一条直线在运动过
程中始终保持方向不变。
特点：刚体内所有点具有相同的位移、速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
2. 转动：刚体上所有质点都绕同一轴线作圆周运动。若转轴固定不变，则称为定轴转动。
特点：刚体内所有点具有相同的角位移、角速度和角加速度。－－刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴转动的规律。
z
O
三. 刚体定轴转动的描述角位置：1. 定轴转动的角量描述
θθ=()t 角位移：)()(0t t θθθ
∆-=角速度：ωθ=d dt
角加速度：22
dt d dt d θωβ==
角速度和角加速度均为矢量，定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则。
2. 角量和线量的关系ωr v =⎩⎨⎧==2ωβτr a r a n
矢量表示：r r a r v 2ωβω-⨯=⨯=
一. 力对转轴的力矩⊥⨯=F r M z
||F r ⊥F ϕd F
P
O 大小：d F r F M ⊥⊥==ϕsin 方向： 沿⊥⨯F r 方向。定轴转动中沿转动轴的方向。
二. 定轴转动定律
O ϕi
图26
i
r
i
F
i
f
i
θ
i
m
∆
Z
ω
sin M r F i
第3章刚体力学基础
第3章刚体力学基础
第3章刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关
系。
2．确切理解和掌握力矩、转动惯量的概念及计算方法，掌握刚体定轴转动的动力学方
程，熟练应用刚体定轴转动定律求解刚体定轴转动及与质心联动问题。
3．理解刚体转动动能概念。掌握力矩的功，刚体的重力势能，刚体的动能定理和机械
能守恒定律。
4．确切理解角动量概念，并能对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量定理及
角动量守恒定律。
5．了解进动现象和基本描述。
二、内容提要
1．刚体的基本运动
刚体的平动：刚体运动时，在刚体内所作的任一条直线始终保持和自身平行。其特点为：
对刚体上任两点A 和B ，它们的运动轨迹相似，B A v v =，B A a a =。因此描述刚体的平动时，可用其上任一质点的运动来代表。刚体的定轴转动：刚体内各质元均作圆周运动，且各圆心在同一条固定不动的直线上。刚体的平面平行运动：刚体上每一质元均在平行于某一固定平面的平面中。 2．力矩和转动惯量
力矩：使刚体产生角加速度的外来作用
F r M ?=
转动惯量：刚体转动惯性大小的量度
∑=i
i i r m J 2
对于质量连续分布的刚体
=V
m r J d 2
转动惯量的平行轴定理：2
md J J c z += 转动惯量的垂直轴定理：y x z J J J +=
3．刚体定轴转动定律：刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和等于刚体对该轴的转动
惯量与刚体的角加速度的乘积
βω
J t
J
M ==d d M 、β、J 均相对于同一转轴。
第三章刚体力学基础(大学物理)
3.1.1 刚体的运动形式
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组。)
⑴ 说明： 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的。 刚体的运动形式：平动、转动。
兰州城市学院
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同。 特点：各点运动 状态一样，如： 、a v 等都相同。
M,
( 或 、 等)
(2)解题思路
确定研究对象； 描写状态特点； 隔体受力分析； 规定转动正向； 列方程求解；
兰州城市学院
例4: 一轻绳跨过定滑轮C，滑轮视为匀质圆盘，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体A和物体B，如图所示，设滑轮 的质量为m3，半径为R，滑轮与轴承间的摩擦力可略去不 计．绳与滑轮之间无相对滑动， 求: 物体的加速度和绳中的张力 解 由题意可知，物体A和物体B是做平动，它们的加速度a的大 : 小取决于每个物体所受的合力，首先将三个物体隔离出来， 并做如图所示的示力图．分别列出滑轮及重物的动力学方程 和辅助方程
3.3.2 转动定律 1.推导
(2).应用牛顿第二定律
Fi fi mi ai 切向式 Fi sin 1 fi sin 1 mi ai ri Fi sin 1 ri fi sin 1 mi ri 2 ai 2 矢量式 ri Fi ri fi mi ri . (式中 ) ri
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组。)
⑴ 说明： 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的。 刚体的运动形式：平动、转动。
兰州城市学院
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同。 特点：各点运动 状态一样，如： 、a v 等都相同。
M,
( 或 、 等)
(2)解题思路
确定研究对象； 描写状态特点； 隔体受力分析； 规定转动正向； 列方程求解；
兰州城市学院
例4: 一轻绳跨过定滑轮C，滑轮视为匀质圆盘，绳的两端分别 悬有质量为m1和m2的物体A和物体B，如图所示，设滑轮 的质量为m3，半径为R，滑轮与轴承间的摩擦力可略去不 计．绳与滑轮之间无相对滑动， 求: 物体的加速度和绳中的张力 解 由题意可知，物体A和物体B是做平动，它们的加速度a的大 : 小取决于每个物体所受的合力，首先将三个物体隔离出来， 并做如图所示的示力图．分别列出滑轮及重物的动力学方程 和辅助方程
3.3.2 转动定律 1.推导
(2).应用牛顿第二定律
Fi fi mi ai 切向式 Fi sin 1 fi sin 1 mi ai ri Fi sin 1 ri fi sin 1 mi ri 2 ai 2 矢量式 ri Fi ri fi mi ri . (式中 ) ri
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回顾：质心运动定理及质点系动量定理
设质点系各质点质量分别为 m1 , m2 ,
各质点对某一坐标原点的位矢分别为 对各质点由牛顿第二定理有： d 2 r2 d 2 r1 F2外 +f2内 =m1 2 F1外 +f1内 =m1 2 dt dt
d 2 r1 FN外 +f N内 =m1 2 dt
mi , r1 , r2 ,
m
h
受力分析： 以m为研究对象
M ,R
(1)
mg T ma
以M为研究对象
TR J
物体从静止下落时满足
(2)
T
h at /2
2
(3)
补充方程：
T
h
a R
(4) 2 2 mR ( gt 2 h ) J 2h
mg
即：F外 =m0 ac 质心运动定理
2、刚体的机械能守恒定律
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守 内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
1 2 E J mghC 常量 2
比较：
A外 +A非保内=E
例、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴。最初棒静止在水平位置，求 它由此下摆 角时的角加速度和角速度。 用机械能守恒定律解 O
dW Md 力矩的瞬时功率 p M dt dt
P F
三、刚体定轴转动的动能定理
1 2 ) 刚体定轴转动动能定理 对比： M J ( 2 0 2 1 2 F r m( 2 0 ) 平动动能定理 2
1 1 2 2 W J 2 J 1 2 2
L 1 2 mg sin J 2 2
l
3 g sin L
dm dl gdm
d dt
3 g sin L d 3 g cos d 3 g cos 2
2
2L
dt
L
dt
用动能定求解
1 1 2 2 1 M d 2 J 2 2 J 1 1 J mL2 3 1 代入M＝ mgL cos 2 1 1 1 2 2 J J 0 2 mgL cosd 2 2 2 1
dm dl gdm
L
0
gl cos dl
1 mgLcos 2
d d d d dt d t d d
1 M 2 mgLcos 3 g cos 1 J 2L mL2 3
1 M mgLcos 2
O
l
dm dl gdm
R1
O
m1
1 R1
3 1 1 Ek mii2 mi Ri2 2 2 i 2 i 1
R3
R2
m2
2 R2
m3
1 J2 2
3 R3
1 2 比较： E k J 2
1 2 E k mv 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方成绩的一半。
刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转 动动能的增量。
四、刚体的机械能守恒定律
1、质点系重力势能的计算
（地面附近）
EP mi ghi g mi hi
i
i
m mi
c
hc
m h
i
hi
hc
势能零点
i i
m
EP mgh c
结论：计算刚体的重力势能只要把刚体的质量全 部集中于质心处，当一个质点处理即可（无论平 动或转动）。
2
1 1 mgL sin J 2 2 2
mgL sin J
3g sin L
用刚体定轴转动转动定律 O 解：外力矩为重力对O的力矩。
取质元dm, 当棒处在下摆角时， l
元力矩: dM l cos gdm gl cos dl 合力矩: M ＝ dM
m1r1 m2 r2 令： r0 m1 m2
mi ri mN rN mi mN
mi ri
i 1
N
r0 ：质心的位矢
C ：质点系的质心
m1
mN
d 2 r0 故有 F外 = Fi m0 2 m0ac dt i
m0
rN r1
mi
ri
r2
m2
C
d d
3 g sin L
0
d d
0
14
练习 例3：测轮子的转动惯量用一 根轻绳缠绕在半径为 R、质量 为 M 的轮子上若干圈后，一 端挂一质量为 m 的物体，从静 止下落 h 用了时间 t ,求轮子的 转动惯量 J。 绳轮间无相对滑动，绳不可伸长
M ,R
第三章
刚体力学基础
3.3刚体定轴转动的动能定理
百度文库
复习回顾
用角量描述定轴转动：
1) 角位移：
转动惯量 J :（刚体转动惯性的量度）
J mi ri2 m1r12 m2r22
i
d = lim 2) 角速度 ： t 0 t dt
3) 角加速度 ：
二、力矩的功
1 dW Fdr Frd m 2 2 1 2 2 1 1 2 mr J J( 2 02 ) 2 2 2
1 J 2 J M 2
v
F
d
dr
dW Md
力矩的功
o
r
x
W Md
1
2
比较：dW Fdr
mN ri , rN
mi
mN
m1
rN r1
ri
r2
m2
由牛顿第三定律可知内力之和为零，即
f i , j f j ,i ,
f
i, j
0
回顾： 质心运动定理及质点系动量定理
求和： Fi (m1 m2
i 1
N
d 2 m1r1 m2 r2 mN rN mN ) 2 ( ) dt m1 m2 mN
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
J r 2dm
平行轴定理:
力矩： 1、力 F 对任意点O的力矩定义为
M r F
J J C md 2
M J
—— [刚体]定轴转动定律
常 见 形 状 转 动 惯 量
3.3 刚体定轴转动的动能定理 一、刚体的转动动能