2.2 函数的基本性质(含解析)

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天津版高考理科数学 2.2 函数的基本性质

2.2 函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性,求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考知识点,常与函数单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握应用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,分值为5分左右,属中低档题.也与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.破考点【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( )A.y=B.y=-x3C.y=lo xD.y=x+答案B2.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是( )A.[-5,0]B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案A考点二函数的奇偶性与周期性3.下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上递减的是( )A.y=(x-2)2B.y=ln|x|C.y=xcos xD.y=e-|x|答案D4.若函数f(x)定义域为(-∞,+∞),则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B5.下列函数中为偶函数的是( )A. f(x)=2x-B. f(x)=xsin xC. f(x)=e x cos xD. f(x)=x2+sin x答案B6.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1答案D炼技法【方法集训】方法1 判断函数单调性的方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a+b>0,b+c>0,a+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值( )A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定答案B2.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式-->0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.∞B.∞C.∞D.∞答案D方法2 判断函数奇偶性的方法3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=( )A.-2B.0C.1D.2答案D4.对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2答案D方法3 函数周期的求法及应用5.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则f(8)= .答案2-ln 2方法4 函数性质的综合应用6.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( )A. f(x)=sin xB. f(x)=|x+1|C. f(x)=-xD. f(x)=cos x答案C7.设函数f(x)=-(a>0,且a≠1).(1)若a=,则函数f(x)的值域为;(2)若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.答案(1)-∞(2)[2,+∞)方法5 函数值域的求法8.下列函数中,值域为[0,1]的是( )A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y=-答案D过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组考点一函数的单调性及最值(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C2.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.答案B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案D2.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是. 答案(-1,3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A.-50B.0C.2D.50答案C2.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .答案-23.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 1C组教师专用题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )A. B.-∞∪(1,+∞) C.- D.-∞-∪∞答案A考点二函数的奇偶性与周期性1.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C2.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .答案 3【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017天津十二区县一模,7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,若对于任意x∈R, f(log2a)≤f(x2-2x+2)恒成立,则a的取值范围是( )A.(0,1]B.C.(0,2]D.[2,+∞)答案B2.(2019届天津一中月考,6)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数x满足f(lo|x+1|)<f(-1),则x的取值范围是( )A.--∪-B.(-3,1)C.--∪(-1,1)D.--答案A3.(2018天津河北一模,7)已知奇函数f(x)在R上是增函数,设a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c之间的大小关系为( )A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a答案A4.(2017天津五校联考(2),6)已知函数f(x)=log a(4-ax)在[0,2]上是单调递减函数,则实数a的取值范围为( )A.(0,1)B.(1,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)答案C>-1,且f(1)=1,则不等式5.(2017天津塘沽三模,7)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1<x2,有--f(log2|3x-1|)<2-log2|3x-1|的解集为( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,0)∪(0,1)答案D二、填空题(每小题5分,共25分)6.(2018天津河东一模,12)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= .答案07.(2017天津河西一模,13)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,若实数a满足f<f-,则a的取值范围是.答案∪(,+∞)8.(2017天津和平一模,13)已知f(x)=x3+3x2+6x, f(a)=1, f(b)=-9,则a+b的值为.答案-29.(2017天津河北二模,14)设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-2 017,2 017]上的值域为.答案[-4 030,4 044]10.(2017天津十二区县二模,13)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且对于任意x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,均有->0.若f-=,2f(lo x)<1,则x的取值范围为.-答案∪(2,+∞)。

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2对数函数2.2.2第一课时对数函数的图象及性质aa高一数学

1．对数函数的概念函数 y＝ logax (a＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 (0，＋∞) ．
[点睛] 形如 y＝2log2x，y＝log2 x3都不是对数函数，可称其为对数型函数．
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2．对数函数的图象及性质
a 的范围

0＜a＜1
4．已知 y＝ax 在 R 上是增函数，则 y＝logax 在(0，＋∞)上是 ________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
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对数函数(duìshù hán shù)的概念
[例 1] 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.
[活学活用] 1．函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实数 a＝________.
解析：a2－a＋1＝1，解得 a＝0 或 1. 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，∴a＝1. 答案：1
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求对数(duìshù)型函数的定义域
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(1－x); (2)y＝log(1－x)5； (3)y＝lnx4－－3x； (4)y＝ log0.54x－3.
2.2.2 对数函数及其性质
第一课时对数函数的图象及性质
预习课本 P 70～73，思考并完成以下问题
(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
(3)反函数的概念是什么？
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最新-高二数学知识点：函数基本性质总结

高二数学知识点：函数基本性质总结高二数学知识点：函数基本性质总结知识点概述关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌握.知识点总结(一)函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x) x A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充2.能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零(2) 偶次方根的被开方数不小于零(3) 对数式的真数必须大于零(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同②定义域一致 (两点必须同时具备)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) y= f(x) , x A }图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1) 、直观的看出函数的性质 2) 、利用数形结合的方法分析解题的思路。

2.2 函数的基本性质-5年3年模拟北京高考

2.2 函数的基本性质五年高考考点1 函数的单调性1．（2013安徽，4，5分）”“0≤a 是“函数|)1(|)(x ax x f -=在区间),0(+∞内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2013福建．10.5分）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从．S 到T 的函数)(x f y =满足：)(};|)({)(ii s x x f T i ∈=对任意,,21S x x ∈当21x x <时，恒有),()(21x f x f <那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是 ( )N B N A A =∈*,.}1008|{},31|{.≤<-==≤≤-=x x x B x x A B 或R B x x A C =<<=},10|{. Q B Z A D ==,.3．（2012陕西．2,5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 ( )1+=⋅x y A 3x y B -=⋅ xy C 1=⋅ ||x x y D =⋅ 4．（2011课标，2，5分）下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是 ( )3x y A =⋅ 1||+=⋅x y B 12+-=⋅x y C ||2x y D -=⋅5．（2011辽宁．11,5分）函数)(x f 的定义域为,2)1(,=-f R 对任意,2)(,>∈x f R x 则42)(+>x x f 的解集为 ( ))1,1.(-A ),1.(+∞-B )1,.(--∞c ),.(+∞-∞D6．（2012上海．7,4分）已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是7．( 2011江苏．2,5分)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是8．（2009山东．16，4分）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足),()4(x f x f -=-且在区间[0，2]上是增函数．若方程=)(x f )0(>m m 在区间[ -8，8]上有四个不同的根,,,,4321x x x x 则=+++4321x x x x考点2 函数的奇偶性1．（2013山东，3,5分）已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，,1)(2xx x f +=则=-)1(f ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D2．（2013广东，2，5分）定义域为R 的四个函数y y x y x ,2,3==x y x sin 2,12=+=中，奇函数的个数是 ( )4.A 3.B 2.C 1.D3．（2012福建．7，5分）设函数⎩⎨⎧=,,0,,1)(D 为无理数为有理数x x x 则下列结论错误的是 ( )A ．D （x ）的值域为10，1} B.D(x)是偶函数C.D （x ）不是周期函数D.D(x)不是单调函数4．（2011湖北，6，5分）已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)()(x g x f +xxaa --=⋅=/>+)1,0(2Ra a 若)2(g ,a =则=)2(f ( ) 2.A 415.B 417.C 2.a D 5．（2011广东．4，5分）设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( )|)lg()(x x f A +⋅是偶函数 |)lg()(x x f B -⋅是奇函数 )(|)(|.x g x f C +是偶函数 )(|)(|.x g x f D -是奇函数6．（2012上海，9，4分）已知2)(x x f y +=是奇函数，且.1)1(=f 若,2)()(+=x f x g 则=-)1(g7．（2011浙江．11,4分）若函数||)(2a x x x f +-=为偶函数，则实数a=智力背景习惯路线有一户人家 ,父女二人在同一所学校工作．如图，这两个人从家走到学校，各有自己的习惯路线，父亲喜欢尽量少拐弯；女儿却喜欢一路穿街走巷，不放弃每次拐弯的机会，如果国中每一条路都是沿着南北或东西的方向，那么父亲和女儿谁走的路短一些？答案是：两条路的长短相同.解读探究知识清单一、函数的单调性1．定义域为I 的函数f （x ）的增减性2．函数单调性与单调区间如果函数)(x f y =在区间D 上是⑥ ，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的⑦ 二、函数的奇偶性与周期性 1．偶函数和奇函数2．奇偶性3．周期性(1)周期函数：对于函数),(x f y =如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数)(x f y =为周期函数，T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数)(x f 的所有周期中存在一个，那么这个就叫做它的最小正周期，【知识拓展】1．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数=y )(x f 在给定区间上的单调性反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质，函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．2．对函数奇偶性定义的理解不能只停留在)()(x f x f =-和)()(x f x f -=-这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有),()(x f x f =-)()(x f x f -=-的实质是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有)()(x a f a x f -=+成立．，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 3．熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数以及形如xx y 1+=的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律． 4．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于)(x f 的方程，从而可得)(x f 的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用0)()(=-±x f x f 产生关于字母参数的恒等式，由系数的对等性可得字母参数的值．5．求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的增减区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质．知识清单答案智力背景“六一七四”问题美国数学家马丁在上世纪80年代发表文章指出，任何不同的四位数字通过从大到小和从小到大的排列，得到差后再重复上述运算，至多7次，得到的答案都是“6174”，国际数学界称之为“马丁猜想-6174问题”．如果战争爆发，一方得到敌方的某行动密码，要破译它就需要“6174”理论，它还具有巨大的民用价值，在通讯领域，它可以给加密和保密传输带来方便，还可以运用于电子产品、工业设备等并能解决电压的稳定性问题.突破方法方法1 函数单调性、单调区间的判断方法判断函数单调性的方法很多，常见的有定义法、复合函数法、导数法及图象法等．例1 （2012山西太原一模．14,5分）函数-+=22(log x y )13+x 的递减区间为( )),1.(+∞A )43,.(-∞B ),21.(+∞C ),43[+∞⋅D解题思路解析由,01322>+-x x 得函数的定义域为⋅+∞-∞),1()21,(令,1322+-=x x t 则,log t y +=,81)43(213222--=+-=x x x t1322+-=∴x x t 的单调增区间为⋅+∞),1(又 ),1(log +∞+=在t y 上是减函数，∴ 函数)132(log 2+-+=x x y 的单调减区间为⋅+∞),1( 答案 A【方法点拨】求复合函数))((x g f y =的单调区间的步骤： (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：).(),(x g u u f y == (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增同减，则))((x g f y =为增函数；若一增一减，则))((x g f y =为减函数，即“同增异减”．例2 （2012江西六校二模．16，12分）讨论函数=)(x f )0(12>-a x ax在)1,1(-∈x 上的单调性. 解题思路可根据定义，先设,1121<<<-x x 然后作差、变形、定号、判断．解析设,1121<<<-x x 则 11)(.)(22221121---=-x ax x ax x f x f （4分）)1)(1(222122121221--+--=x x ax x ax ax x ax )1)(1()1)((22212112--+-=x x x x x x a （8分） -<->+>-∴<<<-2221211221)1(,01,0,11x x x x x x x x .0)1> （10分）又 ,0)()(,021>-∴>x f x f a∴ 函数)(x f 在)1,1(-上为减函数．（12分）【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法主要是定义法（在解决选择题或填空题时有时可用图象法），利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：方法2函数单调性的应用函数单调性的应用非常广泛，它常与函数的其他性质如奇偶性、周期性、对称性等结合用于解不等式、求参数范围等．例3（2012云南大理二模．17,12分）已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有)()(y f x f +),(y x f += 且当0>x 时，<)(x f ⋅-=32)1(,0f (1)求证：)(x f 在R 上是减函数；(2)求)(x f 在[ -3，3]上的最大值和最小值，解题思路解析 (1)证法一：∵ 函数)(x f 对于任意R y x ∈,总有),()()(y x f y f x f +=+ ∴ 令,0==y x 得.0)0(=f再令,x y -=得⋅-=-)()(x f x f （2分）智力背景数学史上的一场论战公元1505年，意太利的费洛宣布自己找到了三次方程公式解，并把它传给得意门生佛罗雷都斯．塔塔里亚自学成才但受到一些习惯势力的歧视公元1530年，有人向塔塔里亚提出两道三次方程的问题，塔塔里亚赢得了挑战，从此名声大振！佛罗雷都斯无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！1535年2月22日，在意大剥的米兰，二人公开举行数学竞赛．塔塔里亚在不到两小时的时间内，解完了佛罗雷都斯的全部问题而佛罗雷都新望题兴叹，终于以0:30败下阵来！在R 上任取,21x x >则,021>-x x).()()()()(212121x x f x f x f x f x f -=-+=-又 ∵ x>0时，,0)(<x f 而,0)(,0212<-∴>-x x f x x l 即).()(21x f x f < （6分）因此R x f 在)(上是减函数．（7分）证法二：设,21x x > 则)()(21x f x f -)()(2221x f x x x f -+-= )()()(2221x f x f x x f -+-=⋅-=)(21x x f （3分）又 ∵ x>O 时，.0)(<x f 而,0)(,02121<-∴>-x x f x x 即),()(21x f x f < （6分）)(x f ∴在R 上为减函数．（7分）)()2(x f 在R 上是减函数，)(x f ∴在[ -3，3]上也是减函数，)(x f ∴在[ -3，3]上的最大值和最小值分别为)3(-f 与).3(f （9分）而.2)3()3(,2)1(3)3(=-=--==f f f f （11分）)(x f ∴在[ -3，3]上的最大值为2，最小值为-2．（12分）【方法点拨】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意21,x x 在所给区间内比较)()(21x f x f -与0的大小，或)()(21x f x f 与1的大小，有时根据需要，需作适当的变形：如2121.x xx x =或121x x x +=2x -等.方法3 函数奇偶性的判一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．例4（2012山东日照三模，14,4分）函数+=x x f （2log )())(12R x x ∈+与|2|lg )(-=x x f 分别为和函数．（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）解题思路解析 (1)解法一：易知)(x f 的定义域为R 又11log ]1)([log )(2222++=+-+-=-⋅x x x x x f),()1(log 22x f x x -=++-=)(x f ∴是奇函数．解法二：易知)(x f 的定义域为R又+++-+-=<+-x x x x f x f (log ]1)([log ))(222 ,01log )122==+x 即),()(x f x f -=-)(x f ∴为奇函数．(2)由,0|2|>-x 得.2=/x)(x f ∴的定义域为}.2|{=/x x)(x f 的定义域关于原点不对称，)(x f ∴为非奇非偶函数，答案奇；非奇非偶【方法点拨】 1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．-些重要类型的奇偶函数 (1)函数xxaa x f -+=)(为偶函数，函数xx aa x f --=)(为奇函数；(2)函数)10(11)(22=/>+-=+-=-a a a a a a a a x f x x x x 且为奇函数；(3)函数xxx f a+-=11log )(为奇函数);10(=/>a a 且 (4)函数)1(log )(++=x x x f a 为奇函数).10(=/>a a 且方法4 函数奇偶性的应用函数的奇偶性的应用之一是求值、参数的值和求函数解析式，有时也与函数的其他性质结合求解，解不等式等问题，例5 (1)（2012江苏徐州二模．10.5分）设=>)(,0x f a x x e aa e +是R 上的偶函数，则a=(2)（2012吉林长春一模，13.5分）已知)(x f y = 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f -=则)(x f 在R 上的解析式=)(x f解题思路 (1)利用偶函数定义域特值法如=-)1(f )1(f 求a ．(2)令,0<x 求)(x f -的解析式，利用偶函数这一性质得)(x f 在)0,(-∞上的解析式．解析 (1)解法一：)(x f 是R 上的偶函数，)()(x f x f =-∴在R 上恒成立，即,x x x x eaa e e a a e +=+--01)1(222=-+-a e a x 对任意的x 恒成立，⎩⎨⎧>=-∴,0,012a a 解得.1=a 解法二：)(x f 是R 上的偶函数，),1()1(f f =-∴,1.1e a a e ae e a +=+∴ ,0)1(1)1(=-+-a a e e a a.01,0)1)(1(2=-∴=--∴aa e a a又.1,0=∴>a a经验证，当1=a 时，有.1.),()(=∴=-a x f x f (2)设,0<x 则,0>-x.2)(2)()(22x x x x x f +=---=-∴又)(x f y =是定义在R 上的偶函数，),0(2)(),()(2<+=∴=-∴x x x x f x f x f⎩⎨⎧<+≥-=∴.0,2,0,2)(22x x x x x x x f答案 1)1( ⎩⎨⎧<+≥-0,20,2)2(22x x x x x x智力背景检票问题（一）旅客在车站候车室等候检票，并且排队的旅客按照一定的速度在增加，捡票速度一定，当车站开放一个检票口，需用半小时可将待检旅客全部捡票进站；同时开放两个检票口，只需十分钟便可让旅客全部进站．现有一班增开列车过境载客，必须在5分钟内使旅客全部检票进站，问此车站至少要同时开放几个检票口？分析：①本题是一个贴近实际的应用题，给出的数量关系具有一定的隐蔽性仔细阅读后发现涉及的量为：原排队人数，旅客按一定速度增加的人数，每个检票口检票的速度等.【方法点拨】利用奇函数的图象关于原点对称，在原点两侧的单调性相同，偶函数的图象关于，，轴对称，在y 轴两侧的单调性相反，以及奇偶函数解析式的特点，解决与之有关的问题．方法5函数周期性的应用函数的周期性反映了函数在整个定义域上的规律性变化，解决与函数周期性有关的问题，其核心是充分利用已知条件探寻得到函数的周期，如结合式子的特点、奇偶性与对称性等．再利用周期解决求值、求零点个数、求函数解析式等相应问题．例6 (1)（2011全国．9,5分）设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，),1(2)(x x x f -=则=-)25(f ( )21.-A 41.-B 41.C 21.D(2)（2012山东济南，14,4分）设定义在R 上的函数)(x f 满足,13)2()(=+⋅x f x f 若,2)1(=f 则=)99(f解题思路解析 )()1(x f 是周期为2的奇函数，212)21()21()225()25(⨯-=-=-=+-=-∴f f ⋅-=-⨯21)211((2)由13)2()(=+⋅x f x f 得,)(13)2(x f x f =+ ),()2(13]2)2.()4(x f x f x x f =+=++=+∴)(x f ∴是以4为周期的周期函数，⋅==-=-⨯=∴213)1(13)1()1425()99(f f f f 答案 A )1( ⋅213)2( 【方法点拨】 1．求函数周期的方法2．对称性与周期函数的关系(1)若函数)(x f 关于直线a x =和直线b x =对称，则函数)(x f 必为周期函数，||2b a -是它的一个周期．(2)若函数)(x f 关于点（a ，O ）和点(b ，0)对称，则函数)(x f 必为周期函数，||2b a -是它的一个周期．(3)若函数)(x f 关于点（a ，0）和直线b x =对称，则函数)(x f 必为周期函数，4︱a –b ︱是它的一个周期．三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试一、选择题（每题5分，共30分）1．（2013天津河西一模．2）设a ，b 都是非零向量，若函数=)(x f ))(()(R x xb a b xa ∈-⋅+是偶函数，则必有 ( )b a A ⊥. b a B //. ||||.b a C = ||||.b a D =/2．（2013山东枣庄一模．9）若)(x f y =既是周期函数，又是奇函数，则其导函数)(x f y =( )A ．既是周期函数，又是奇函数B ．既是周期函数，又是偶函数C ．不是周期函数，但是奇函数D ．不是周期函数，但是偶函数3．（2013河北沧州二模，4）已知函数x a b x x f )4()(:22--+=b a -+2是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是( )4.-A 2.B 3.C 4.D4．（2012江西盟校二联．8）设)(x f 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有0)1()1(=++-x f x f恒成立，如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧<-++->,0)8()236(,322n n f m m f m 那么2m 2n +的取值范围是( ) )7,3.(A )25,9.(B )49,13.(C )49,9.(D5．（2012江西盟校二联，6）已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是),,](,[z b a b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b)共有( )A.2个B.5个C.6个 D ．无数个智力背景检票问题（二）②给分析出的量一个代表符号：设检票开始时等候检票的旅客人数为x 人，排队队伍每分钟增加y 人，每个检票口每分钟捡票z 人，最少同时开放n 个检票口，就可在5分钟内使旅客全部进站，把本质的的内容翻译成数学语言：开放一个检票口，需半小时检完，则;3030z y x =+开放2个检票口，需10分钟检完。

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《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的______两()y f x =A I A ⊆I 个值，，当<时，都有_____，那么在区间上是单调增1x 2x 1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I 函数，称为的单调_____区间. 如果对于区间内的______两个值，，当I ()y f x =I 1x 2x <时，都有_____，那么在区间上是单调减函数，称为1x 2x 1()f x 2()f x ()y f x =I I 的单调_____区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，()y f x =()y f x =I 那么函数在区间上具有________.()y f x =I 点评单调性的等价定义：①在区间上是增函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21<-x f x f ；0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ②在区间上是减函数当时，有)(x f M ,,21M x x ∈∀⇔21x x <0)()(21>-x f x f ；0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设且，12[]x x a b ∈，，12x x ≠那么在区间上是增函0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数；在区间上是减函0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔],[b a 数。

§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式

(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零． ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__. R { x | x R且x k π , k Z} π ⑤y＝tan x的定义域为________________________. 2 0的定义域为_________________． ⑥函数f(x)＝x {x|x∈R且x≠0}
R
{ y | y R且y 0}
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x 主页
(0, ) R [1, 1] R
要点梳理
忆一忆知识要点
3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式, 通常是令g(x)＝t，从中解出x＝ (t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f(x), f ( 1 ) 或 f(x), f(－x) x 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
对称性
函数的基本性质奇偶性周期性最值函数常见的几种变换基本初等函数复合函数抽象函数函数与方程函数的应用常见函数模型
函数
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换. 正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;

2020年高考数学(理)函数与导数专题02 函数的基本性质(解析版)

函数与导数02函数函数的基本性质【考点讲解】一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__.8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论：对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<，【真题分析】故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为123⎡⎢⎣⎭，. 【答案】123⎡⎢⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e 2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

江苏版高考数学 2.2 函数的基本性质

2.2 函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读函数的基本性质是研究函数的基础,是高考的重点和热点.通常会考查函数的单调性及其应用,填空和解答题都会涉及.对于奇偶性,则会结合单调性和周期性一起进行考查.破考点【考点集训】考点一函数的奇偶性与周期性1.(2019届江苏宝应中学检测)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x+m,则f(-2)= . 答案-32.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m的值为.答案 13.(2018江苏盐城上学期期中,11)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log220)= .答案-考点二函数的单调性与最值1.若函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则a的取值范围为.答案-2.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知函数f(x)=-满足对任意x1≠x2,都有--<0成立,则a的取值范围是.答案0<a≤3.(2019届江苏扬州中学检测)函数f(x)=-的最大值为.答案 24.若函数f(x)=在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为,则a= .答案 4炼技法【方法集训】方法一用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.(2018江苏南京高三年级学情调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在(- ,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x的取值范围是.答案x≤22.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为.答案-方法二利用单调性求最值的策略1.(2019届江苏南京外国语学校检测)设函数f(x)=-在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则= .答案2.函数f(x)=-在[-2,0]上的最大值与最小值之差为.答案方法三已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-,当2≤x≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= .答案 2.52.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)=---若g(x)=f(x)+ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a= .答案-过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的奇偶性与周期性1.(2018课标全国Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= .答案-22.(2018课标全国Ⅱ理改编,11,5分)已知f(x)是定义域为(- ,+ )的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= .答案 23.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 14.(2017课标全国Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(- ,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .答案125.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f-+f(1)= .答案-2考点二函数的单调性与最值1.(2018北京理,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.答案f(x)=sin x,x∈[0,2](答案不唯一)2.(2017课标全国Ⅰ理改编,5,5分)函数f(x)在(- ,+ )单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是.答案[1,3]3.(2017课标全国Ⅱ文改编,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是.答案(4,+ )4.(2015课标Ⅱ改编,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是. 答案5.(2017天津文改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为.(用“<”连接)答案c<b<aC组教师专用题组1.(2014湖北改编,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为.答案-2.(2015天津改编,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为.答案b>a>c3.(2011全国改编,9,5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f-= .答案-【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共50分)1.(2019届江苏邗江中学检测)函数y=x2+x+1(x∈R)的递减区间是.答案--2.(2019届江苏扬中高级中学检测)偶函数y=f(x)的定义域为[t-4,t],则t= .答案 23.(2019届江苏教育学院附属中学检测)如果函数y=-是奇函数,则f(x)= .答案2x+34.(2019届江苏木渎中学检测)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .答案-5.(2019届江苏宜兴高级中学检测)函数f(x)=-在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b= . 答案 66.(2018江苏姜堰中学高三期中)若函数f(x)=-(a∈R)为奇函数,则f(a)= .答案07.(2017江苏镇江高三检测)若函数f(x)=--(a>0且a≠1)在R上单调递减,则实数a的取值范围是.答案8.(2019届江苏武进高级中学检测)已知f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时, f(x)=2x2,则f(2 019)= . 答案 29.(2019届江苏羊尖高级中学检测)定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+ )上递增,且f=0,则满足f(x)>0的x 的集合为.答案-或10.(2019届江苏苏大附中检测)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)= . 答案 2二、解答题(共30分)11.(2019届江苏沙溪高级中学检测)已知函数f(x)=-(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+ )上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.解析(1)设任意x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0.因为f(x2)-f(x1)=---=-=->0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+ )上是增函数.(2)因为f(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是单调增函数,所以f=, f(2)=2,易知a=.12.(2019届江苏启东检测)已知函数f(x)=-的定义域为R.(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)是奇函数,①求a的值;②解不等式f(3-m)+f(3-m2)>0.解析(1)当a=2时, f(x)=-=1-,又3x+2>2,所以0<<,所以-1<1-<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).(2)①因为f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即-+---=0,化简得a=±1.因为f(x)的定义域为R,所以a=1.②由①知, f(x)=-=1-,所以f '(x)=>0,所以f(x)在R上是增函数.又因为函数f(x)是奇函数, f(3-m)+f(3-m2)>0, 所以f(3-m)>f(m2-3),所以3-m>m2-3,即m2+m-6<0,解得-3<m<2.。

第二章2.2 函数的基本性质

答案 D 本题主要考查复合函数的单调性. 由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2, 所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令u=x2-2x-8, 则u=x2-2x-8在x∈(-∞,-2)上单调递减, 在x∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D. 易错警示本题易忽略定义域而错选C.
3 2
,
ln
3 4
.由于f
3 2
=ln
3 4
,故点
3 2
,
ln
3 4
不在y=f(x)的图象上,从而排除选项D,故选C.
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3
3.(2017课标全国Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞)
林老师网络编辑整理
10
2.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.y= 1
1 x
B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x
答案 D 选项A中,y= 1 = 1 的图象是将y=- 1 的图象向右平移1个单位得到的,故y=
1 x (x 1)
x
1 在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,
五年考
A组统一命题·课标卷题组
考点一函数的单调性及最值
1.(2019课标全国Ⅲ,12,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 ( )

2.2函数的基本性质(课件)《中职数学》同步教学(劳保版第七版)

情景导入探索新知例题解析巩固练习归纳总结
布置作业
2.用定义判断函数f(x)=-2x+1在R的单调性。
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增函数Βιβλιοθήκη 减函数情景导入探索新知作业
例题解析
巩固练习
归纳总结
布置作业
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
函数的单调性
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布置作业
下图是某市某天气温y (℃)是时间x(时)的函数图像，记这个函数为 y = f(x) .
观察图像，当自变量x变化时，函数f(x)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？
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布置作业
1.定义在(a, b)上的函数f x ，若存在两点x1, x2 ∈
a, b ，使得x1 < x2 时有f(x1) < f(x2)，则f x 在(a, b)上为增函数。
(x2, f(x2)) (x1 ，f(x1))
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布置作业
设函数y = f x 在区间 a, b 内有意义，如果对任意的x1 ，x2 ∈ a, b ，当x1 < x2 时，都有f x1 > f x2 成立，
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例1
定义在[-5，5]上的函数y = f x ，根据函数图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上是增函数还是减函数？
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2.2函数的基本性质

为函数的单调减区间；
在[0,+∞)上是增函数,
区间[0,+∞)为函数的单
调增区间。
例1 试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性：
(1)f(x)=3x-6;(2)f(x)=2,x∈(0,+∞).
解:(1)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且
x1<x2,则
f(x1)=3x1-6
f(x2)=3x2-6
…
x
-3
1

-1
0
1
2
3
…
…
…
f(x)=
-2
…
-3
-2
-1
0
/
1
2
3
…
…
相应的两个函数值对应表是如何
体现这些特征的?
当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一
对相反数。
对于函数f(x)=x,有：
f(-3)=-f(3);f(-2)=-f(2);f(-1)=-f(1).
函数f(x)=x2对于R内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x).

1 2
因为x2-x1>0,x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)>0.
即f(x1)>f(x2)
2
因此，函数f(x)= 在(0,+∞)上是

减函数.
例3 画出下列函数的简图,指出函数的单调区间,并说明在每个单调区
间上，函数是增函数还是减函数。
(1)f(x)=-13x+6;(2)f(x)=-x2+4x+1
大值。
一般地,设函数y=f(x)的定
义域为 D. 如果对于任意的

函数的性质知识点总结

函数的性质知识点总结函数的性质是数学中非常重要的概念之一，它描述了数与数的映射关系。

函数的性质有很多，包括定义域与值域、奇偶性、周期性、单调性、最值、连续性等，下面我将对函数的这些性质进行一一介绍。

首先，函数的定义域与值域是函数的基本性质之一。

函数的定义域是函数自变量可以取的值的集合，而值域则是函数因变量取值的集合。

例如，对于函数f(x) = 2x+1，其定义域是全体实数集，值域也是全体实数集。

其次，函数的奇偶性是指函数关于y轴对称还是关于原点对称。

若对于定义域内任意的x值，有f(-x) = f(x)，则函数是关于y轴对称的，即为偶函数；若对于定义域内任意的x值，有f(-x) = -f(x)，则函数是关于原点对称的，即为奇函数。

例如，y =x^2 是一个关于y轴对称的偶函数，而y = x^3 是一个关于原点对称的奇函数。

函数的周期性是指函数在某一区间内具有相同的性质，如图像的重复性。

若存在一个正数T，使得对于定义域内任意的x值，有f(x+T) = f(x)，则函数是周期函数。

例如，y = sin(x) 是一个周期为2π的正弦函数，y = 2^x 是一个无理指数函数，没有周期。

函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

若对于定义域内的任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≤ f(x2)，则函数是递增函数；若对于定义域内的任意的x1和x2（x1<x2），有f(x1)≥ f(x2)，则函数是递减函数。

例如，y = x^2 是一个递增函数，y = -x^3 是一个递减函数。

函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

若存在x0使得对于定义域内的任意的x，有f(x)≤ f(x0)，则f(x0)称为函数的最大值；若存在x0使得对于定义域内的任意的x，有f(x)≥ f(x0)，则f(x0)称为函数的最小值。

例如，y = -x^2+1 的最大值是1，最小值为无穷大。

函数的连续性是指函数在定义域内没有间断点。

函数的基本性质老师版(部分含答案)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

）3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加；当0<a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

练习：讨论函数()2-21f x ax x =+在（-1，1）内的单调性。

4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；⑵作差：)()(21x f x f -；⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；⑸根据定义下结论。

例2、判断函数1()x f x x +=在)0,(-∞上的单调性并加以证明.练习：判断函数2()1x f x x +=-在（-∞，0）上的单调性并加以证明。

[例3] 求证函数f (x )＝x ＋xa (a .,>0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．分析利用定义证明，证明函数单调性的关键在于作差变形．证明 (1)设0<x 1<x 2≤a ,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x a －x 2－2x a ＝(x 1－x 2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ．因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a .，所以\21x x a >1，所以211x x a -<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )在(0，\r(a .,)]上为减函数．(1) 设a ≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211x x a ．因为x 1－x 2<0，x 1x 2>a .,，所以\21x x a <1，所以211x x a ->0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。

如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。

如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。

3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。

2.2 函数的基本性质

x1 x2
①正确.②③④均不正确,故选B. 答案 B
栏目索引
考向二函数单调性的应用例2 (2017江西新余月考,10)已知函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且对任意的x1,x2>1(x1≠x2), 1 关系为 ( A.c<b<a ) B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c
2
函数,故选B.
答案 B
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方法3
函数值域的求解方法
1.基本函数法对于基本函数的值域问题,可通过基本函数的图象、性质直接求解. 2.配方法对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a[f 2(x)+bf(x)+c](a≠0)类的函数的值域问题,可用配方法求解. 3.换元法利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y=
3 =f 3 =f 5 ,又f(2)<f 5 <f(3),∴b<a<c,故选D. 1 1 2 2 2 2
答案 D
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考点二
考向基础 1.函数的奇偶性
奇偶性偶函数定义
函数的奇偶性
图象特点关于② y轴对称
a 2 x 1 a 2 x a 2 x a 2 x 即 x =- x ,整理可得 x = x , a 2 1 a 2 a2 a2
即(a2-1)· 2x=0,则a2=1,∴a=±1.
1 2x 当a=1时,函数的解析式为f(x)= x , 1 2 1 21 1 f(a)=f(1)= 1 =- ; 1 2 3 1 2 x 当a=-1时,函数的解析式为f(x)= x , 1 2 1 21 f(a)=f(-1)= 1 =3. 1 2 1 或3. 综上可得, f(a)的值等于- 3