2.2 函数的基本性质(含解析)

§2.2 函数的单调性与最值

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称． 2．奇、偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)若奇函数f(x)在x ＝0处有定义，则f(0)＝0.

(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 4.周期性的拓展

(1).若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。 (2).若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。

（3）周期函数的一些隐含条件 ①()()f x a f x +=-；②1()()f x a f x +=

；③1

()()f x a f x +=-

；（经常出现）

④

()1

()()1f x f x a f x ++=

-；⑤

1()()1()f x f x a f x -+=

+；⑥()()f x a f x a +=-

则()f x 是周期函数，2a 是它的一个周期。 5、函数的轴对称性

（1）、如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。 （2）、如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称

（3）、如果函数()x f y =满足()()2f a x f x -=或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称

（4）、如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线

2b

a x +=

对称。

6、函数的点对称

（1）、如果函数()x f y =满足()()()()=-0f x f x f x f x -+-=或，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称 （2）、如果函数()x f y =满足()()()()=-0f a x f a x f a x f a x +-++-=或，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称 （3）、如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.

（4）、若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点

对称。

区别：

性质1：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质2：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 7．对称性、奇偶性与周期性的关系：

（1）、若()f x 的图象有两条对称轴x a =和()x b a b =≠，则()f x 必为周期函数，且2b a -是它的一个周期；即：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2b a - 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.

（2）、若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)()b a b ≠，则()f x 是一个以2b a -为周期的周期函数；即：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期

2b a

-.

特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。 （3）、若()f x 的图象有一个对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b ≠，则()f x 是一个以

4b a

-为周期的周期函

数。即：若函数f(x)满足f(a －x)= f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期4b a - 8．函数的单调性 (1)单调函数的定义

(,)22

a b c

+

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 4．函数的最值

题型一 函数的奇偶性

例1 （1）(2014·新课标全国Ⅰ，文5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数

解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C. 答案 C

（2）(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2 答案 A

解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.

（1）(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．

A ．f(x)＋|g(x)|是偶函数

B ．f(x)－|g(x)|是奇函数

C ．|f(x)|＋g(x)是偶函数

D ．|f(x)|－g(x)是奇函数