11、相似三角形的性质及其应用

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1

1

1

1111111

1

11旋转变换型

将EAD 绕点A 旋转

BD AC 向下平

移DE 对称交

换型

交换AD 与AE A

E D D E D D E

D

E D

E C

B A

A

B C

A B

C C

B

A

C B(E)A

C B C

B

A B

C

D E D A 老师姓名 学生姓名 教材版本 北师大版

学科名称

年级

上课时间

课题名称

相似三角形的性质及其应用

教学目标

及重难点

教 学 过 程

知识点回顾： 一、相似三角形：

1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似

2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边

⑵相似三角形对应高线的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于

3、判定：⑴两角 的两三角形相似

⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶三组对应边的比 的两三角形相似 【提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在“方格”三角形中】 4、直角三角形射影定理：

5、相似的常见基本图形：

【经典例题】

例1、如图，DE ∥BC ，S ΔDOE ∶S ΔCOB =4∶9，求AD ∶BD.

例2、在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得

D A B C

到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

例3、如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.

(1)如图(1)，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长.

(2)如图(2)，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.

(3)如图(3)，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，求正方形的边长.

(4) 如图(4)，三角形内有并排的n个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请写出正方形的边长.

相似三角形的应用：

知识点1:利用阳光下的影子

例1、某同学的身高为1.66米，测得他在地面上的影长为2.49米，如果这时测得操场上旗杆的

影长为42.3，那么该旗杆的高度是多少米?

知识点2：利用标杆

例2、某小组的同学利用标杆测量某旗杆的高度,将一条5米高的标杆竖在某一位置,有一名同学

站在一处

,与标杆、旗杆成一条直线，另外一名同学测得站立的同学离标杆

3米，离旗杆30米，如果站立的同学高1.6米，求旗杆的高度？

知识点3：利用镜子反射

例3、雨后，一学生在操场上从他前面2米远有一块小积水处，看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼睛高度为1.5米，那么旗杆的高度是多少米？

【经典练习】

一、选择题

1、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为1.5米的测竿的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（）

A.20米.

B.18米

C.16米

D.15米

2、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）

A.∠B=∠C

B.∠ADC=∠AEB

C.BE=CD，AB=AC

D.AD∶AC=AE∶AB

3、如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD∶BD=2，那么SΔADE

∶S四边形DBCE=（）

(A)

3

2

(B)

4

3

(C)

5

4

(D)

9

4

4、在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）

(A)ΔADE∽ΔAEF (B)ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D)ΔAEF∽ΔABF

(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第6题图)

5、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）

①②③④

A.①和②

B.②和③

C.①和③

D.②和④

6、如图是圆桌正上方的灯泡O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡O距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）D

C

E

N

F B

M

A

D

B

E

A

C

A.0.36

πm

2 B.0.81πm2 C.2πm2 D.3.24πm2

7、如图，直线l1∥l2，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是（）

A.5∶2

B.4∶1

C.2∶1

D.3∶2

8、小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )

A．9米B．28米C．()3

7+米 D.()32

14+米

9、如图，DE∥BC，EF∥AB，S△ADE=1，S△EFC=4，则四边形BFED的面积为（）

A．2 B．4 C．8 D．9

10、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）

A．10B．13C．210D．213

二、填空

1、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面

积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2.

2、如图，DE与BC不平行，当

AC

AB

= 时，ΔABC与ΔADE相似.

(第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图)

3、如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ= .

4、如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，ΔAED与N，M，C为顶点的三角形相似.

5、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为时，使得由点B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似。

三、解答题

1、一位同学利用树影测量树高，他在某一时刻，测得长为1m的竹竿影长m

9.0，但当他马上测量树影时，且树靠近一建筑物，树影不会落在地面上，有一部分的影子在墙上，他先测得留在墙上的影高为m

2.1，又测得地面部分的影长为m

7.2，这棵树有多高呢？

2、小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24米处立了一根高为2米的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27米时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶在同一条直线上．已知小明身高1.6米，求树的高度．

D

C

B

A

C

B

A

D

E

F