求极限的常用方法
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法
极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问
题时经常会遇到。求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的
方法。
1.代入法
代入法是求解极限的最基本方法。当直接代入极限的值会导致不确定
形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简
或变形，然后再进行代入。
2.夹逼准则
夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。当我们要求
解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得
g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那
么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。
3.分别极限法
当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极
限法进行求解。即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质
来得到整个函数的极限。
4.换元法
换元法也是求解极限的一种常用方法。当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更
容易求解极限。
5.泰勒展开
泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。通过将一个函
数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的
极限。当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。
6.渐近线性
当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判
断极限的结果。
7.收敛性
对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞→⇔=∞→lim lim lim )()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=
→⇔
=→+
-
lim
lim
lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
洛必达法则（定理）
设函数f(x ）和F(x ）满足下列条件： ⑴x→a 时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a 的某去心邻域内f(x ）与F(x ）都可导，且F(x ）的导数不等于0; ⑶x→a 时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大 则 x→a 时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
高数求极限的10个方法
详解高数求极限的方法
极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。
接下来介绍求极限的常用方法：
一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。
它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；
２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。
二、利用极限的单调有界定理。
其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。
三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x 的极限和1的无穷次方类型的极限。
四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果
就出来了!
五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。主要分三种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方：对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)
最新求极限常用方法及常见题型攻略
求极限常用方法及常见题型攻略
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求极限原则：
(1)先判断类型,再用相应的方法；
(2)能用等价无穷小代换的先用等价无穷小代换；(3)有些极限可能需要几种方法才能求出。1.分子分母的极限均为0，含有根号方法：含有根号的零因子有理化
例1求极限x
x x x 1lim 2
1。
分析：1 x 时，分子02 x x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘2x x 同理1 x 时，分母01
x ，且含根号，故有理化时分子分母需同时乘x 1。
解：x x x x 1lim 21)
)(1)(1()
1)()((lim
2221x x x x x x x x x x ))(1()1)((lim
241x x x x x x x )
)(1()1)(1(lim
231x x x x x x x )
)(1()1)(1)(1(lim 221x x x x x x x x x 221)1)(1(lim x
x x x x x x 3 。2.无穷小乘以有界量还是无穷小
例101
sin
lim 0
x
x x 。3.无穷的过程( x x x ,,)，分子分母均为x 的多项式。
方法：看分子分母最高次幂，套公式
00 b a
n m n m n
m b a a x a x b x b a x a x a x a n n n n m m m m
x ,,0,/lim 00111011
10 。注：上面公式对数列极限同样成立。
例1求极限14
9
5)85()37()32(lim x x x x 。
分析：分子分母用二项式定理打开，再乘开后均为多项式，且是无穷的过程。分子分母最
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
=
9.利用 极限相同求极限。例如：
（1）已知 ，且已知 存在，求该极限值。
解:设 =A，（显然A ）则 ，即 ，解得结果并舍去负值得A=1+
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设
解：（i）显然 （ii）假设 则 ，即 。所以， 是单调递增数列，且有上界，收敛。设 ，（显然 则 ，即 。解方程并舍去负值得A=2.即
例:设 存在，求
解：原式=
=
导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章函数及其特性
1.1集合
一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）
元素a，b，c……（小写字母）
A=｛a，b，c｝
元素的排列无重复，无顺序。
a属于A记作a A，1不属于A记作1 A或1 A
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设 ， ，求
解：由于 ，由夹逼定理可知
（2）求
解：由 ，以及 可知，原式=0
(3)求
解：由 ,以及 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
极限的定义和常用方法
极限的定义和常用方法
极限在数学中是一个重要的概念，它是微积分学的基础。极限是一个数列或函数趋于某个值时的极端状态，它是微积分的理论基础，也是许多重要定理的前提条件，如泰勒公式、微分中值定理等。
极限的定义
极限的定义是指数列或函数在某一个点内的行为趋于特定值的过程。具体来说，对于一个数列 {an}，若存在一个实数 a，使得对于任意小的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n>N时，满足|an − a|
常用方法
下面介绍一些常用的求极限的方法。
1. 代入法
当极限表达式可以通过直接代入计算的时候，我们可以使用代入法。这种方法虽然简单易用，但是只有在表达式比较简单或已经简化的情况下才能使用。
2. 差分法
差分法是一种计算无穷小量的方法。对于一个函数 f(x)，若存在 a∈R，那么 a+h 与 a 之间的差值可以表示为 f(a+h) − f(a)。如果这个差值可以表示为 h 乘以无穷小量，则我们称该函数在 a 点上是可导的。
3. 极限换元法
当直接计算极限比较困难的时候，可以使用极限换元法。这种方法常常运用到一些常用极限关系式，如sinx/x→1，ln(1+x)/x→1等等。
4. 夹逼定理
夹逼定理也是一种比较常见的求极限的方法，它是利用数列的单调有界性来求极限。具体来说，对于一列数 {an}，若对于所有的 n，满足a1≤an≤b1，同时 b1、b2 等都收敛到同一个实数 b，则有 lim a_n = b。
5. L'Hôpital 规则
除了以上方法之外，当求解极限结果为 0/0 或∞/∞ 时，我们可以使用 L'Hôpital 规则。该规则是指当一个极限存在数学上的控制权的时候，可以将原始极限同等转化成另一个在相同控制权下的形式。因此，我们只需要对极限的导数进行求解即可。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法
一、 约去零因子求极限
例如求极限
，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这
一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限
求极限
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。?
三、 分子(母)有理化求极限
例:求极限 ??
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 例：求极限
30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=
()
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim
30+++-→ =
300
sin tan lim sin 1tan 11lim
x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2
130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限
两个重要的极限
在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑
，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限
无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求
因为,,所以
六、用等价无穷小量代换求极限
常见等价无穷小有：
当时,，
，
等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：
例：求极限
?
七、利用函数的连续性求极限
这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
常用的极限公式大全
常用的极限公式大全
极限是数学中重要的概念，它表示某个变量取得特定值时的特定状态。极限状态的概念可以为我们在数学中求解问题提供有用的信息。极限的计算也是数学学习的内容之一，它也是用于定义函数和分析函数性质的重要工具。本文将介绍常用的极限公式，为您提供有用的参考。
一、无穷小极限
无穷小极限可以被定义为某个变量取值趋近于零时，另一变量的取值也趋近于某个数字。其公式可以表示为：
lim (x 0) = L
其中，L表示当变量x趋近于零时，另一变量的取值。
二、无穷大极限
无穷大极限可以被定义为某个变量取值趋近于无穷大时，另一变量的取值也趋近于某个数字。其公式可以表示为：
lim (x) = L
其中，L表示当变量x趋近于无穷大时，另一变量的取值。
三、连续极限
连续极限意味着在某个连续函数中，某个变量改变时另一变量会趋向无限接近某个数值。其公式可以表示为：
lim (x a) = f(a)
其中，a表示变量x取值时，另一变量的数值，而f(a)表示当变量x接近a时，另一变量的取值。
四、函数极限
函数极限表示某个函数改变时另一变量的变化情况，即当某个函数取值接近某个数值时，另一变量的取值也会趋向于某个数值。其公式可以表示为：
lim (f(x) L) = L
其中，L表示当函数f(x)趋向于某个数值时，另一变量取值也会趋向某个数值。
五、无穷级数极限
无穷级数极限可以被定义为无限多项的级数和对应的极限。其公式可以表示为：
lim (∑an) = S
其中，an为级数的每一项，S表示级数的极限值。
六、极限的性质
在计算极限时，有一些重要的性质值得我们注意。其中一些性质如下：
求极限的常用方法
求极限的常用方法
求极限是数学分析中一个重要的概念，它可以帮助我们理解函数在一
些点处的行为，并在许多数学领域中发挥重要作用。下面是一些常用的方
法和技巧，来帮助我们求解各种类型的极限。
1.代入法：当函数在其中一点的极限存在时，我们可以尝试直接将该
点的值代入函数中，看看是否会得到一个有意义的结果。如果代入的结果
是有限的，那么说明极限存在并等于该有限值。然而，这种方法只适用于
简单的函数和特定的极限问题。
2.分母有理化：当我们遇到含有分母中包含根式或其他不便计算的因
素时，可以尝试将其有理化。常用的方法有利用平方差公式或者乘法公式，以及通过分子分母同乘共轭式等。
3.分子有理化：类似于分母有理化，当我们遇到函数中含有根式时，
可以尝试将其有理化。常用的方法有利用平方差公式，乘方差公式以及平
方和公式等。
4.拆分分数项：对于复杂的分式函数，我们可以尝试将其分解成简单
的分式项，然后对各项求极限，再根据极限的性质进行求解。
5.极限的性质和定理：除了直接计算极限，我们还可以利用一些常见
的极限性质和定理来简化问题。例如，极限的四则运算法则、复合函数的
极限、极限的保号性等都可以帮助我们更好地理解和求解极限。
6.夹逼定理：夹逼定理是求解一些复杂极限的常用方法之一、该定理
的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，然后利
用这两个函数对待求函数进行夹逼，从而确定待求函数的极限。这个方法
常用于求解无穷大和无穷小的极限。
7.泰勒展开：泰勒展开是求解一些复杂函数的极限的重要方法。该方法利用了泰勒级数的定义，将复杂的函数近似为一个无穷级数，然后通过截断级数来计算近似的极限值。
数学中常用极限方法总结
【1】忽略高阶无穷小方法。
很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。
比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2
再比如斐波那契数列，
忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，
可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+√5)/2
再比如lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))
当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小
所以lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))
= lim(x->∞) sinh(x)/2Cosh(x)
= lim(x->∞) (e^x-e^(-x)) / 2(e^x+e^(-x))
= lim(x->∞) e^x / 2e^x
=1
【2】取对数与洛必达法则
洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。
比如
这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了
lim(x->∞) x^2*ln(1+1/x) - x
再做代换t = 1/x
=lin(t->0) (ln(1+t)-t) / t^2
再用洛必达法则= lim(t->0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2
求极限的常用方法
摘要 极限思想是大学课程中微积分部分的基本原理，这显示出极限在高等数学中的重要地位。同时，极限的计算本身也是一个重要内容。 关键词 极限；计算方法
初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。
1．直接代入数值求极限
例1 求极限1
lim(21)
x x →-
解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=
2．约去不能代入的零因子求极限
例2 求极限11
lim
41--→x x x
解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)4
11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限
例3 求极限13lim 3
2
3+-∞→x x x x
解
3131lim 13lim 3
11323=+-=+-∞→∞→x x
x x x x x
注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n
n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1
4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限)
13(lim 22+-++∞
→x x x
解
1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2222222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
1
32lim
2
2
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
初等数学求极限的14种办法之邯郸勺丸创作
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
,
（i ）若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f .
2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限.要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a.经常
使用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=
-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim )()(
(iii)A x x x x A x f x x =→=
→⇔
=→+
-
lim
lim
lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）.极限)(lim 0
x f x x →存在的充分需
要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的办法如下：
1.等价无穷小代换.只能在乘除时候使用.例题略.
2.洛必达（L’hospital）法例（大题目有时候会有暗示要你使用这个办法）
它的使用有严格的使用前提.首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不成能是负无穷.其次,必须是函数的导数要存在,假如告知f （x ）、g （x ）,没告知是否可导,不成直接用洛必达法例.另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不克不及为0.洛必达法例分为3种情况：
极限常用的9个公式
极限常用的9个公式
1、无穷小的极限公式：lim(x→a )f(x)=L（x向a极限时，f(x)的极限为L）；
2、无穷大的极限公式：lim(x→a+∞)f(x)=∞（x向正无穷大极限时，
f(x)的极限为无穷大）；
3、求极限的公式：lim(x→a) f(x)= lim(x→a+) f(x)= lim(x→a−) f(x)（用正、负无穷可以求出极限）；
4、无穷小的连续的极限公式：
lim(x→a)f(x)=lim(x→a−)f(x)=lim(x→a+)f(x)（x接近a时，f(x)的极限是连续的）；
5、极限运算法则公式：lim(x→a)[f(x)+g(x)]= lim(x→a)f(x)+
lim(x→a)g(x)（极限的运算需要符合运算法则）；
6、极限结合法则公式：lim(x→a)f(g(x))=lim(g(x)→b)f(g(x))（即
先求极限再结合）；
7、极限唯一性定理公式：对于任意x0，若存在f(x0)=L且L为有限数，当x→x0时，f(x)必要极限为L（极限只有唯一的计算结果）；
8、无穷小计算公式：lim(x→a)f(x)=L 时(除外0除以0情况），
lim(x→a)f(-x)= -L（做无穷小计算时，系数可以乘以-1）；
9、极限定义公式：lim(x→a)f(x)= L 如果对于任意epsilon（给定正数）存在delta（给定正数）,使得当0<| x-a |<delta 时，则有|
f(x)-L |<epsilon（存在满足极限定义的正数delta）。
大一高数求极限的方法总结
大一高数求极限的方法总结
大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。在学习求极
限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。下面是对一些常用的
求极限方法进行总结。
一、无穷小量代换法
当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的
无穷小量来代替，从而简化计算。例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1
二、夹逼定理
夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。当我们无法直接计算一个函
数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限
也为L。
三、洛必达法则
洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型
的极限。当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者
∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。具体做法是对
分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。
四、泰勒展开法
当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数
的值。泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼
近函数的值。这样可以大大简化我们的计算过程。
五、换元法
有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更
容易求解极限。例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令
y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。
六、分数的极限
当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的14种⽅法
⼀、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→?=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→?=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
⼆．解决极限的⽅法如下：
1.等价⽆穷⼩代换。只能在乘除．．
时候使⽤。例题略。 2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）
它的使⽤有严格的使⽤前提。⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种
高数：总结求极限的常用方法
总结求极限的常用方法，详细列举，至少4种
极限定义法
泰勒展开法。
洛必达法则。
等价无穷小和等价无穷大。
极限的求法
1. 直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求
1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下
1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他法则
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是X趋近而不是N趋近！！！！！
必须是函数的导数要存在！！！！！！！！
必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷时候直接用
2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）
3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
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六、利用罗比达法则求极限 例12
tan x − x lim 2 . x →0 x tan x
x →0
解：原式 = lim tan x − x 3 sec 2 x − 1 = lim x →0 3x 2
x
1 x − ). 例13 lim( x →1 ln x x −1 x − 1 − x ln x 解：原式 = lim x →1 ( x − 1) ln x
x→ 0
x→ 0
2 sin x
1 2x 4x sin x
解：原式 = lim [(1 + 2 x )
]
= e4
注：两个重要极限
tan x − sin x lim 例8 x →0 sin 3 x sin x − sin x 原式 = lim cos x 3 x →0 sin x 1 − cos x = lim 2 x →0 sin x cos x
esin x ( x − sin x) = lim =1 x →0 x − sin x
注：如果出现指数差，先提出 如果出现指数差， 一个因子， 一个因子，再寻求求极限的 方法． 方法．
(e − 1) x − sin x
x −sin x
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四、利用两个重要极限求极限 例7
lim (1 + 2 x )
x →∞
例4
lim
n→ ∞
n sin n! n3 + n
解：原式
1 1 1 = lim 2sin[ ln(1 + )]cos[ ln( x 2 + x)] x →∞ 2 x 2 = 0.
注：有界量×无穷小=无穷小 有界量×无穷小=
解：原式
lim
n n3 + n
=0
n →∞
sin n !
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sin 2 x 1 (− x 2 ) 1 解：原式 = lim 2 =− 2 x →0 8 (2 x) tan x − sin x 例10 lim x →0 sin 3 x tan x(1 − cos x) = lim x →0 x3 1 2 x⋅ x 2 =1 = lim x →0 x3 2
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x x →0
=e
x→0+
lim x ln x
lim 2ln x −x
−1
2
=e
x→0+
lim
ln 2 x x −1
=e
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x→0+
= e =1
0
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=e
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−2 lim x ln x
x→0+
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六、利用罗比达法则求极限 例16
x →0
lim (cot x) +
lim
1 ln x
.
例17 lim( x + e )
1 − ln x − 1 x ln x = lim = − lim x →1 x →1 x ln x + x − 1 x −1 ln x + x
tan 2 x 1 = lim = 2 x →0 3 x 3
0 ∞ 注： ， 型不定式极限可直 0 ∞
接使用罗比达法则． 接使用罗比达法则．
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x 2x x→0+
+e
3x
= 2
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七、利用Taylor展开式求极限 利用 展开式求极限 例19
cos百度文库x − e lim x →0 x4
x2 − 2
x2 x4 x2 x4 1 − + + o( x 4 ) − (1 − + + o( x 4 )) 解：原式 2! 4! 2 4 ⋅ 2! lim x →0 x4
0 ∞ 注： ， 型不定式极限可直 0 ∞
接使用罗比达法则． 接使用罗比达法则．
1 e x + e 2 x + e3 x 而 lim ln( ) 3 + x x→0
ln( e x + e2 x + e3 x ) − ln 3 = lim x x→0+
= lim e x + 2 e 2 x + 3 e3 x e +e
∞ 方法：用最大项除分子分母） 一、x → ∞时， 型（方法：用最大项除分子分母） ∞
(2 x + 3)２( x − 2)3 例１ lim x →∞ (2 x + 1)5
解：分子、分母除以x5 例2 lim
4 x2 + x − 1 + x + 1 x 2 + sin x
x →−∞
.
解：分子、分母除以-x，得
ln x + 1 1 = − lim =− x →1 ln x + 1 + 1 2
注： ∞ − ∞ 型不定式极限可
0 ∞ 通过通分变为 ， 之一． 0 ∞ 之一．
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六、利用罗比达法则求极限 例14 lim x ln x +
x →0
例15
−1
x ln x 解：原式 = lim e 解：原式 = lim −1 = lim −2 x→0+ + + x →0 − x x →0 x ( ex ln x −1)ln x
1 2 (2 + )２(1 − )3 x x 原式 = lim x →∞ 1 (2 + )5 x 1 = 8
原式
= lim
x →−∞
1 1 1 4 + − 2 −1− x x x sin x 1+ 2 x
1 = 2
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二、利用无穷小的性质 例3 lim[sin ln( x + 1) − sin ln x ]
sin x (1) lim =1 x →0 x
1 x (2) lim(1 + ) = e x →∞ x
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= . 2
x 2sin 2 = lim x →0 2 x 2 x 4sin cos 2 2 1
2
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五、利用无穷小量等价代换求极限 例9 lim 1 − x − 1 2
2 x →0
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三、通过代数变形求极限 例5 lim x →0 解：原式
x
2
1 + x2 − 1 − x2
e x − esin x 例6 lim x →0 x − sin x
解：原式
x ( 1+ x + 1− x ) = lim x →0 2 x2 =1
2 2 2
= lim
x →0
e
sin x
注：如果出现根式差，先通过 如果出现根式差， 有理化化简，再求极限． 有理化化简，再求极限．
x →0
1 x x 1 ln( x + e x ) x
解：原式 =
e
1 ln cot x + ln x x →0
解：原式 = lim e
x →0
1 而 lim ⋅ ln(cot x) x →0+ ln x 1 1 − ⋅ 2 = lim cot x sin x x → 0+ 1 x
=e
=e
1 lim ln( x + e x ) x→0 x
1+ e x
x→0 x + e x
lim
=e
2
−x = lim ＝-1 + x → 0 cos x ⋅ sin x
故， 原式 = e −1.
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六、利用罗比达法则求极限
e x + e 2 x + e3 x 1 例18 lim( )x. x →0 3 x 2x
解：原式=
e
1 e + e + e3 x lim ln( ) +x 3 x →0
x →0
lim x +
x x −1
( x x −1)ln x
= lim (− x) +
x →0
= lim e +
x→0
=0
注(1) 0 ⋅ ∞ 型不定式极限可通 过把一项的倒数放到分母上变
=e
x→0+
lim ( e x ln x −1)ln x
0 ∞ 之一． 为 ， 之一． 0 ∞
(2) lim x = 1. +
例11 lim 解：原式
3 −1 x →0 1 − cos x
x2
x 2 ln 3 = lim = 2 ln 3 x →0 1 2 x 2
注：常用等价无穷小量
sin x ~ x
ln(1 + x) ~ x a − 1 ~ x ln a
x
n
tan x ~ x
x2 1 − cos x ~ 2
x 1+ x −1 ~ n
1 1 o( x 4 ) 1 = lim[( − )+ 4 ]= . x → 0 4! 4 ⋅ 2! x 4
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