求极限的常用方法

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求极限的12种方法

求极限的方法
1、利用极限的四则运算和幂指数的运算法则
2、利用函数的连续性
3、利用变量替换
4、利用等价无穷小
5、利用洛必达法则
6、分别求左右极限
7、把数列极限转化为函数极限
8、利用夹逼定理（极限存在两定理之一）
1）利用简单的放大、缩小函数法
2）利用不等式的性质进行放大或缩小【根据定义不等式求极限】
3）对积分的极限可以利用积分的性质进行放大缩小
9、利用递归数列先证明极限的存在（常用单调数列必有界），
再利用递归关系求出极限。

10、利用定积分求和式求极限
11、利用泰勒公式
12、利用导数定义求极限
附加：
1、利用函数极限求数列极限 Example:
(1) n n
n ln lim +∞
→ 解：记：x x
n n x n ln ln lim lim +∞→+∞→= =0。

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ；（ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。

2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。

要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件是它的全部子数列均收敛于 a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则（ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理）（ vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限 limf ( x) 存在的充分必要条件是：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。

只好在乘除时候使用。

例题略。

．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。

其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导，不行直接用洛必达法例。

此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。

洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。

求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法极限是数学中一个非常重要的概念，在计算和分析各种数学模型或问题时经常会遇到。

求极限的方法有很多种，我们来看一下其中几种常用的方法。

1.代入法代入法是求解极限的最基本方法。

当直接代入极限的值会导致不确定形式（比如0/0或无穷大/无穷大）时，可以尝试将这个函数做一些化简或变形，然后再进行代入。

2.夹逼准则夹逼准则也叫夹逼定理，是一种常用的求解极限的方法。

当我们要求解f(x)在x=a处的极限时，如果能够找到两个函数g(x)和h(x)，使得g(x)≤f(x)≤h(x)，且当x趋近于a时，g(x)和h(x)的极限都等于L，那么根据夹逼准则，f(x)的极限也等于L。

3.分别极限法当一个函数可以拆解为多个子函数的和、积或商时，可以使用分别极限法进行求解。

即求出每个子函数的极限，然后再根据所涉及的运算性质来得到整个函数的极限。

4.换元法换元法也是求解极限的一种常用方法。

当求解一个复杂函数的极限时，我们可以进行变量的替换，将原函数转化为一个更加简单的函数，从而更容易求解极限。

5.泰勒展开泰勒展开是一种利用泰勒公式来近似表示函数的方法。

通过将一个函数近似展开为多项式的形式，可以用这个多项式来计算函数在其中一点的极限。

当需要计算给定点附近的极限时，泰勒展开是一种常用的方法。

6.渐近线性当极限存在且无穷大或无穷小时，可以利用函数的渐近线性来求解极限。

根据函数在无穷远处的性质和斜率，可以通过观察渐近线的特征来判断极限的结果。

7.收敛性对于数列来说，如果数列的极限存在，那么我们可以通过观察数列的性质和规律来判断极限的结果。

一般可以利用单调有界原理、数列的递推关系、数列的特征和规律等方法来判断极限的收敛性。

8. L'Hopital法则L'Hopital法则是一种用于求解0/0或无穷大/无穷大形式的极限的方法。

根据这个法则，如果一个函数的极限形式为0/0或无穷大/无穷大，可以通过对分子和分母同时求导再次进行极限计算，直到得到极限的结果。

高数求极限的10个方法

详解高数求极限的方法极限主要包括数列极限和函数极限，两者的求法大同小异，如果分开讨论，比较麻烦，其实数列也可以看作是以正整数n为自变量的函数，所以它们也是可以综合起来的。

接下来介绍求极限的常用方法：一、求极限最常用到的方法，还是利用极限的四则运算法则。

它是基于一些常见的极限，再根据下面的法则求极限，包括：１、相反的收敛数列极限相反；２、互为倒数的收敛数列极限也互为倒数，其中除数不为零；３、和差积商的极限等于极限的和差积商，前提是这些数列的极限都存在，且作为除数的数列及极限非0；４、收敛的正项数列的幂的极限等于极限的幂，不论是乘方还是开方；５、以及收敛数列的绝对值收敛于极限的绝对值等。

二、利用极限的单调有界定理。

其中有界性是数列收敛的必要条件，如果数列无界，就一定发散，但有界数列却不一定收敛。

三、利用两个常见的极限求极限，就是当x趋于0时，sinx/x 的极限和1的无穷次方类型的极限。

四、等价无穷小替换，要熟记常见的等价无穷小的类型。

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!五、用洛必达法则，针对０/0型或无穷/无穷型，对分子分母同时求导后求极限的方法。

主要分三种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方：对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)六、利用泰勒公式求极限的方法。

(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。

求极限lim的常用公式

求极限lim的常用公式1、lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）；2、lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）；3、lim（f（x）×g（x））=limf（x）×limg（x）；4、lim（f（x）/g（x））=limf（x）/limg（x）limg（x）不等于0；5、lim（f（x））^n=（limf（x））^n。

注意：limf（x）limg（x）都存在时才成立。

lim是极限，是微积分中的基础概念，指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

极限可分为数列极限和函数极限。

lim的基本计算公式：话务量公式为:a=c x t.a是话务量,单位为erl(爱尔兰),c是呼叫次数,单位是个,t是每次呼叫平均占用时长,单位是小时.一般话务量又称小时呼,统计的时间范围是1个小时.求极限的常见公式； (x^3+3x^2)^(1\3)-(x^4-2x^3)^(1\4)=x[(1+3\x)^(1\3)-(1-2\x)^(1\4)] 1\x→0 在0处泰勒公式有(1+x)^(1\m)=1+x\m+o(x) ∴原式为x[(1+3\3x+o(1\x))-(1-2\4x+o(1\x))]=3\2+xo(1\x) ∴极限为3\2求极限的4个重要公式；这个应该不难吧.是不是这个.lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n极限有哪些运算公式；lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n 注意条件:以上limf(x) limg(x)都存在时才成立高等数学极限的几个重要公式；两个重要极限:来设{xn}为一源个无穷实数数列2113的集合.如果存在5261实数a,对于任意正4102数ε (不论其多1653么小),都N>0,使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立,那么就称常数a是数列{xn} 的极限,或称数列{xn} 收敛于a.如...“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)

（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设，
P（x）= ,
(i) （ii）若，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B

求极限的几种常用方法

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限，本例中当时，，表明与1无限接近，但 ,所以这一因子可以约去。

二、分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

?三、分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。

五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。

此方法在各种求极限的方法中应作为首选。

例：例：求极限?七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。

如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。

也就说，极限号与可以互换顺序。

例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。

洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。

如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：（i ）“00”“∞∞”时候直接用(ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

求极限的常用方法

2 求极限的常用方法 2.1 定义法该方法在求极限的过程中很适于证明题.定义 1 在此我们用ε-δ定义极限,即设函数()f x 在0x 的某个空心邻域001(;)U x δ内有定义,A 为定数,若对任给的ε>0,存在正数δ（<1δ）使得当0<∣x -0x ∣<δ时有∣()f x -A ∣<ε,称函数()f x 当x 趋于0x 时以A 为极限,记作 0lim ()x x f x A →=.例1 证明 0lim 1(1)x x a a →=>.证任给0(1)εε><不妨设，为使1x a ε-<，（*）即11x a εε-<<+，利用对数函数㏒a x （当1a >时）的严格增性，只要㏒(1)a x ε-<<㏒(1)ε+, 于是，令{}min log (1),log (1)a a δεε=+--，则当0<︱x ︱< δ时，就有（*）式成立，从而证得结论.注：本题是直接运用定义法进行证明极限的一类典型例题，解题中关键是δ值的确定是有技巧的，在以后的解题中要注意这一点. 2.2 利用单调有界原理求极限定理1 在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设).(211nn n x ax x +=+其中a >0,00>x ,求n n x ∞→lim .解因为nn n n n x ax x a x x .)(211≥+=+=a ，所以｛n x ｝有下界．又1)1(21)1(21221=+≤+=+aax a x x n n n ，有}{n x 单减,然后对两边求极限，有⎪⎭⎫⎝⎛+=l a l l 21，则a l ±=()0>l ，a l =，故a x n n =∞→lim .注：本题要求的是数列项极限问题，于是我们很自然的联想到单调有界定理；但是我们首先要根据题中已知的递推关系式来判定该数列的有界性和单调性，经判定符合定理条件之后即可对其运用定理来求解，这也是解此类题的一般思路和方法.2.3 通过连续求极限在高等数学中,极限是继函数概念的有一个最重要最基本的概念,极限可以进一步阐明函数的连续性,而函数连续性也可以应用于极限的求解.我们知道f 在0x 连续等价于0lim ()x x f x →=0(lim )x x f x →,利用这个原理我们可以得到下面的定理.定理2 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，0u =0()f x ，则复合函数g f 在点0x 连续.公式表示即：00lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==.这也是我们求极限的一种方法——连续函数法,我们看一道例题: 例3 求极限21limsin (1)x x →-.解 2sin(1)x -可以看作函数()sin g u u =与2()1f x x =-的复合.由公式可得，2211limsin(1)sin(lim(1))sin 00x x x x →→-=-==.注：若复合函数gf 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而0()a f x ≠或f 在0x 无定义（即0x 为f 的可去间断点），又外函数g 在u a =连续，则我们仍可以用上述定理来求复合函数的极限，即有lim (())(lim ())x x x x g f x g f x →→=.2.4 利用迫敛性定理求极限定理3 设0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x → =A ,且在某空心邻域00;()U x δ'内有()f x ≤()h x ≤()g x ,则0lim ()x x h x →=A .[]1例4 求01lim []x xx →.解当x >0时有，1-x <x [1x]≤1, 而0lim(1)x x +→-=1，故由迫敛性得， 01lim []x x x+→=1. 另一方面，当x <0时有1≤x [1x]<1-x ,故由迫敛性又可得, 01lim []x x x-→=1. 综上我们可得 01lim []x xx →=1.注：运用迫敛性定理来解题时,要求我们有一点构造思想,正如本题中1-x <x [1x]≤1这个关系式的构造;然后就是运用相关知识来证明极限的值,再由迫敛性定理即可求得结果.2.5 依据四则运算法则求极限[]2若极限0lim ()x x f x →与0lim ()x x g x →都存在,则函数f ±g , f •g 当x →0x 时极限也存在,且⑴0lim[()()]x x f x g x →±=0lim ()x x f x →±0lim ()x x g x →;⑵0lim[()()]x x f x g x →=0lim ()x x f x →0lim ()x x g x →;又若0lim ()x x g x →≠0,则f ／g 当x →0x 时极限存在,且有⑶0()lim()x x f x g x →=0lim ()x x f x →／0lim ()x x g x →.利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.例5 求4lim(tan 1)x x x π→-.解由tan x x = sin cos xθθ则有，44lim sin sinlim cos 42x x x x πππ→→===，由四则运算法则有，4lim(tan 1)x x x π→-=4444lim sin lim lim11lim cos 4x x x x xxxπππππ→→→→-=-.注：本题是相对简单的，即直接运用四则运算法则中的减法和除法，把原极限式展开分别求极限即可；其实运用四则运算求解极限时，一般的解题思路就是展开、分别求解极限.。

数学中常用极限方法总结

【1】忽略高阶无穷小方法。

很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2再比如斐波那契数列，忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+√5)/2再比如lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小所以lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞) sinh(x)/2Cosh(x)= lim(x->∞) (e^x-e^(-x)) / 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞) e^x / 2e^x=1【2】取对数与洛必达法则洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

比如这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了lim(x->∞) x^2*ln(1+1/x) - x再做代换t = 1/x=lin(t->0) (ln(1+t)-t) / t^2再用洛必达法则= lim(t->0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2所以原式极限为e^(-1/2)再比如tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限这个极限是0^∞的形式直接取对数得ln(tanx) / lnx ，现在是∞/∞的形式用洛必达法则得= x / ( sinx cosx) = x/sinx * 1/cosx = 1所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e【3】常用等价无穷小经常用到的等价无穷小有(1) tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x) ~ acsinh(x) ~ x (x->0)(2) 1-cosx ~ x^2/2 (x->0)(3) e^x - 1 ~ x (x->0)(4) ln(1+x) ~ x (x->0)(5) (1+x)^a - 1 ~ ax (x->0)(6) e - (1+x)^(1/x) ~ ex / 2 (x->0)【4】极限存在准则有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解).

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设，（i）若A，则有，使得当时，；（ii）若有使得当时，。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i）数列是它的所有子数列均收敛于a。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”（ii）(iii(iv单调有界准则（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限存在的充分必要条件是：二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除时候使用。

例题略。

2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）洛必达法则（定理）设函数f(x）和F(x）满足下列条件：⑴x→a时，lim f(x=0,lim F(x=0;⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;⑶x→a时，lim(f'(x/F'(x）存在或为无穷大则x→a时，lim(f(x/F(x=lim(f'(x/F'(x注：它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。

洛必达法则分为3种情况：（i）“”“”时候直接用(ii“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后，就能变成(i中的形式了。

即；(ii i“”“”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。

3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）；cos=ln（1+x）=x-(1+x=以上公式对题目简化有很好帮助4.两多项式相除:设，P（x）=,(i（ii）若，则5.无穷小与有界函数的处理办法。

大一高数求极限的方法总结

大一高数求极限的方法总结大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。

在学习求极限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。

下面是对一些常用的求极限方法进行总结。

一、无穷小量代换法当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的无穷小量来代替，从而简化计算。

例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1二、夹逼定理夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。

当我们无法直接计算一个函数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限也为L。

三、洛必达法则洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型的极限。

当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。

具体做法是对分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。

四、泰勒展开法当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数的值。

泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼近函数的值。

这样可以大大简化我们的计算过程。

五、换元法有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更容易求解极限。

例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。

六、分数的极限当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可以进行有理化来方便我们的计算。

有理化的方法有分子分母同时乘以一些适当的因式、差化积等。

七、级数化积当我们计算一个函数的极限时，通常可以将函数展开为一个级数，然后进行计算。

例如，当我们计算lim(x->0)(e^x-1)/x时，可以将e^x展开为一个级数，再进行计算。

八、寻找特殊点有时候我们可以通过找到一些特定的点来计算极限。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的常用方法附例题和详解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

求极限常用公式范文

求极限常用公式范文（1）求极限的基本公式：即如果非负定理：当x趋向于a时，函数f(x)趋向于L：lim f(x) =L when x→a这里a∈R，L也可以是无穷大或无穷小。

（2）极限的三条基本法则：1.加法法则：lim(f(x) + g(x)) = limf(x) + limg(x) when x→a2.乘法法则：lim(f(x)g(x)) = limf(x)limg(x) When x→a3.幂函数法则：lim[f(x)]^n = [limf(x)]^n When x→a（3）极限的泰勒展开式：只要f(x)是在x=a处可导的，那么f(x)可以用如下泰勒展开式表示：f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)^2/2+f’’’(a)(x-a)^3/3!+…+f(n）(x-a)^n/n!+o(x-a)^n令x→a，则有：limf(x) = f(a)（4）极限type类型：1.0/0（除以零）：当x→π/2时，sinx/x = 0/0此时，求limsinx/x When x→π/2，可以使用limf(x) = limg(x) when x→a即limsinx/x = limsinx/sin(π/2) when x→π/22.0x∞（零乘以无穷大）：当x→∞时，x^2/2x=1/2x→0此时，求limx^2/2x when x→∞，可以使用limf(x) = 0 when x→∞3.∞/∞：当x→1时，1/x+1/x^2=1/x+x/(x^2)=∞/∞此时，求lim1/x+1/x^2 When x→1，可以使用分子分母同时分别求极限，即limf(x) = lim1/xlim1/x^2 when x→14.无穷大乘以无穷大当x→1时，∞x∞=(x^2+2x+1)/x∞=∞x∞此时，求lim∞x∞ When x→1，可以使用limf(x) = limg(x)limh(x) when x→1。

求极限的常用方法(精髓版)考试必备

求极限的常用方法（精髓版）初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。

极限方法就是研究变量的一种基本方法。

极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。

1．直接代入数值求极限例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111x x →-=⋅-=2．约去不能代入的零因子求极限例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1)lim lim lim(1)(1)411x x x x x x x x x x x →→→--++==++=--3．分子分母同除最高次幂求极限例3 求极限13lim323+-∞→x xx x 解3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 0110114．分子(母)有理化求极限例4 求极限)13(lim 22+-++∞→x x x解13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x132lim22=+++=+∞→x x x例5求极限x →解01)2x x x →→→===5．应用两个重要极限的公式求极限两个重要极限是1sin lim0=→x xx 和1lim(1)x x ex →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。

例6 求极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim解 2221212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x xx x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∞→+∞→+∞→6．用等价无穷小量的代换求极限这可以称之为求极限最简便的方法。