离散时间系统状态方程和输出方程的求解
K3.05-离散系统状态方程和输出方程
f
p
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X (k 1)
A
X (k)
B
f (k)
矩阵形式： X (k 1) AX (k) Bf (k)
离散系统状态方程和输出方程
(5)输出方程：描述系统输出、输入、状态之间关系的 代数方程组。
一般形式：n阶系统，n个状态，p个输入，q个输出。
y1(k) c11
y2
(k)
c21
yq(k) cq1
离散系统状态方程和输出方程
知识点K3.05
离散系统状态方程和输出方程
主要内容：
1.状态变量 2.状态方程 3.输出方程
基本要求：
掌握离散系统状态方程和输出方程的基本概念
1
离散系统状态方程和输出方程
K3.05 离散系统状态方程和输出方程 (1)初始状态： 定义：离散系统在k0时刻的状态是最少数目的一组数， 知道了这组数和区间[k0,k]上的输入，就可以完全确定系 统在k时刻的输出，该组数即为初始状态，表示为：
状态变量：x1(k), x2 (k)......, xn (k)
(3) 状态矢量、状态空间：
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k) 。
x1(k)
X
(k
)
x2
(k
)
xn (k)
状态空间：状态矢量X(k) 所在的空间。
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法:
下面分别针对
线性定常连续系统和 线性时变连续系统
讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即
研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的 一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方 法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。
近似离散化方法(3/6)—例3-12
由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精 度越高。 但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜 太小。 例3-12 试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性离散系统状态方程的解
x(k0 1) G(k0 ) x(k0 ) H (k0 )u(k0 ) x(k0 2) G(k0 1) x(k0 1) H (k0 1)u(k0 1)
线性时变离散系统状态方程的解(6/6)
将状态响应代入输出方程,得到系统的输出为,
k 1
y(k) C(k)(k , k0 ) x(k0 ) C(k) (k , i 1)H (i)u(i) D(k)u(k)
ik0
➢ 可见,系统的输出响应也是由 ✓ 零输入响应、 ✓ 零状态响应和 ✓ 直接传输部分
z 0.2 z 0.8 z -1
Z变换法(7/7)—例3-14
x(k )
Z
1{X
( z )}
1 18
- 51(-0.2)k 10.2(-0.2)k
44(-0.8)k - 35.2(0.8)k
25 7
令k=0,1,2,3代入上式,可得 x(k) 11, 1.084,
20.8.844,
0.16 1.386
输出方程的解(1/2)
3. 输出方程的解
将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k)
中,可得输出y(k)的解为
(第8讲)离散系统状态方程及解
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , t0 ) Φ(t2 , t0 )
u * (t ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
有零阶采样保持的离散化过程
离散时间系统 x x u u 系统 系统 * x* u x(t ) Ax(t ) bu(t ) x(t ) Ax(t ) bu* (t ) t At 0 t nT, x(t ) e x(0) e A(t )bu* ( )d x(nT )
注1：离散时间系统状态方程的解由两部分组成：一部 分是初始状态所引起的自由响应；另一部分是控制所 引起的强迫响应。 注2：第k个采样时刻的状态只取决于之前的(k-1)个输 入采样值，与第k个及以后的采样值无关。 注3：可以很好的与连续系统状态方程的解作对照。
tgq77@126.com
连续和离散系统的状态转移矩阵
第2章 状态方程与输出方程
第2章 状态方程与输出方程
2.1 状态空间描述的概念
系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求 解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏 变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函 数，基于传递函数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递 函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解 分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种 外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函 数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向 复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、 输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之 利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理 复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数 法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内 部进行描述的新方法——状态空间分析法。
现代控制理论
第2章 状态方程与输出方程
二、状态空间描述的建立
通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想， 同时说明状态变量的特点。 例题2.2 如图2.2所示的机械系 统，外力u(t)为系统的输入 量，位移y(t)为系统的输出 量，试求其数学描述。 解：根据牛顿第二定律分析可得
ma m dV u Ky fV dt V
由此可见，状态变量选择的不同，则系统的状态空间 描述的表达形式也是不同的。但它们描述的都是同一个物 理过程，所以在它们之间一定存在某种坐标变换关系，即 可以通过一个变换矩阵来相互转化。
离散时间状态空间模型模型预测控制
离散时间状态空间模型模型预测控制
1. 简介
离散时间状态空间模型模型预测控制（Discrete-Time State-Space Model Predictive Control，简称DT-SSMPC）是一种在离散时间下对系统进行建模和控
制的方法。它基于状态空间模型和模型预测控制的原理，通过对系统状态的预测和优化求解，实现对系统的控制。
2. 状态空间模型
状态空间模型是描述动态系统行为的数学模型。它包括状态方程和输出方程两部分。
状态方程描述系统状态的演化过程，通常采用差分方程表示。对于离散时间系统，状态方程可以表示为：
x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
其中，x(k)表示系统在时刻k的状态，u(k)表示在时刻k的控制输入，A和B分别
是状态转移矩阵和输入矩阵。
输出方程描述系统输出与状态之间的关系，通常采用线性方程表示。对于离散时间系统，输出方程可以表示为：
y(k) = Cx(k) + Du(k)
其中，y(k)表示系统在时刻k的输出，C和D分别是输出矩阵和直接转移矩阵。
3. 模型预测控制
模型预测控制（Model Predictive Control，简称MPC）是一种基于模型的控制方法。它通过对系统未来状态的预测，通过优化求解来选择最优的控制输入，从而实现对系统的控制。
MPC的基本思想是，在每个时刻上，根据当前的状态和模型，预测未来一段时间内
系统的行为，然后通过优化求解，选择使得性能指标最优的控制输入。然后，只应用当前时刻的控制输入，等待下一个时刻再次进行预测和优化求解。
MPC的优点是可以灵活地处理系统的约束和非线性特性，能够在控制过程中考虑系
控制系统状态方程求解
第三章控制系统状态方程求解
3－1 线性连续定常齐次方程求解
所谓齐次方程解，也就是系统的自由解，是系统在没有控制输入的情况下，由系统的初始状态引起的自由运动，其状态方程为：
………………………………………………………(3－1)
上式中，X是n×1维的状态向量，A是n×n的常数矩阵。
我们知道，标量定常微分方程的解为：
(3)
2〕
与〔3－2〕式类似，我们假设〔3－1〕的解X(t)为时间t的幂级数形式，即：
………………………………(3－3) 其中为与X〔t〕同维的矢量。
将〔3－3〕两边对t求导，并代入〔3－1〕式，得：
上式对任意时间t都应该成立，所以变量t的各阶幂的系数都应该相等，即：
即:
……………………………………………〔3－4〕
将系统初始条件代入〔3－3〕，可得。代入〔3－4〕式可得：
…………………………………………………………………〔3－5〕代入〔3－3〕式可得〔3－1〕式的解为：
(3)
6)
我们记：
(3)
7〕
其中为一矩阵指数函数，它是一个n×n的方阵。所以〔3－6〕变为：……………………………………………………………………〔3－8〕当〔3－1〕式给定的是时刻的状态值时，不难证明：
………………………………………………………………〔3－9〕从〔3－9〕可看出，形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将时刻的系统状态矢量转移到t时刻的状态矢量，也就是说它起到了系统状态转移的作用，所以我们称之为状态转移矩阵(The State Transition Matrix)，并记：
第八章 状态方程
d dt
k
t
ak11 t
ak22 t bk1e1t bk
akkk t 2e2 t bkmem
t
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t
d12e2 t d1mem t
r2
t
c211t
d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
通常选择动态元件的输出作为状态变量， 在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为 直接法和间接法两类：
直接法——主要应用于电路分析、电网络 （如滤波器）的计算机辅助设计；
间接法——常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量， 有时也选电容电荷与电感磁链。
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
第八章 状态方程
引言 §8.1 连续时间系统状态方程的建立 §8.2 连续时间系统状态方程的求解 §8.3 离散时间系统状态方程的建立 §8.4 离散时间系统状态方程的求解 §8.5 状态矢量的线性变换 § 8.6 系统的可控制性与可观测性
ssch8_3离散时间系统状态方程和输出方程的建立
1 x[k ] 1
3
x[k]
z1 0.5 z1 0.4
q1[k]
0.5
y[k]
输出方程的矩阵形式
q1[ k ] 0.5 2.8 y[k ] 3x[k ] q [ k ] 2
q2[k]
2.8
由系统函数建立状态方程和输出方程
由系统函数画出离散系统的模拟框图； 由模拟框图建立系统的状态方程和输出方程。 不同结构的模拟框图，得到的状态方程和输出方程不同。
输出方程的矩阵形式:
q1[ k ] y[k ] 1.2 3.3 +3 x[k ] q2 [k ]
由系统函数建立状态方程和输出方程
(2) 级联型框图
x[k]
3 0.6 z 1 1 z 1 H ( z) 1 1 0.5 z 1 0.4 z 1
y[k ] q1[k ] q1[k +1] 1.4q1[k ]- 0.9q2[k ] 3x[k ]
由系统函数建立状态方程和输出方程
(2) 级联型框图
x[k] 3 1
z
1
q2[k]
0.6
z
1
q1[k]
1
y[k]
0.5
0.4
状态方程的矩阵形式:
q1[ k 1] 0.4 0.9 q1[ k ] 3 x[k ] q [ k 1] 0 0.5 q2 [ k ] 1 2
现代控制理论之离散状态方程求解
现代控制理论之离散状态方程求解
求解状态方程：X(k+1)=GX(k)+Hu(k)
1. G=⎪⎭⎫
⎝⎛--116
.010, H=⎪⎭⎫ ⎝⎛11, X(0)=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-11 求：(a). u(k)=1(k)
(b). u(k)=k
e
2-
(c). u(k)=2sin(0.01k) 时，X(k), k=1,2,…,200
程序：
(a). u(k)=1(k)时
G=[0 1;-0.16 -1]; H=[1;1]; X(:,1)=[1;-1];
n=200;
u=ones(1,n); for k=1:n
X(:,k+1)=G*X(:,k)+H*u(k); end
figure(1)
plot([0:n],X(1,:)) grid
xlabel('k');ylabel('x1(k)')
title('状态变量x1的变化趋势') figure(2)
plot([0:n],X(2,:))
grid
xlabel('k');ylabel('x2(k)')
title('状态变量x2的变化趋势')
运行结果如下图所示
e2
(b). u(k)=k
G=[0 1;-0.16 -1];
H=[1;1];
X(:,1)=[1;-1];
n=200;
u=exp(-2*[0:n-1]);
for k=1:n
X(:,k+1)=G*X(:,k)+H*u(k); end
figure(1)
plot([0:n],X(1,:))
grid
xlabel('k');ylabel('x1(k)')
title('状态变量x1的变化趋势')
figure(2)
plot([0:n],X(2,:))
第三章状态方程的解课堂课资
s
1
s
2
2
s
11 s 1 s 2
1 s 1
s
2
2
s
1
s
2
s
1s
2
2et e2t
et e2t
2et 2e2t
et
2e2t
(3) 标准型法：
当 A 可以转化成对角阵时，即 T 1 AT , 则
e 1t 0 0
e At
(t
)
T
0
e 2t
0
T 1
0
– 定性分析主要包括研究系统的结构性质，如 » 能控性、能观性、稳定性等。
本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题，即状态 空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。
– 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程组，通常是 很容易的。可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易事。
– 状态转移矩阵的引入，从而使得定常系统和时变系统的求解公式 具有一个统一的形式。
xt Axt
sxs x0 Axs xs sI A 1 x0
xt
L1
sI
A 1
x0
A
0 2
1 3
解：
sI
A
s 2
1 s 3
有：e At
L1
sI
A 1
实验一离散时间信号通过线性时不变系统
实验一、 离散时间信号通过线性时不变系统
一、 实验目的
1、 加深对离散现行时不变系统的理解。
2、 掌握利用线性卷积求解离散线性时不变系统输出的方法。
3、 掌握利用差分方程求解离散线性时不变系统输出的方法。
二、 实验原理
1、 线性卷积求解离散线性时不变系统输出原理
对LTI 系统，设系统的单位脉冲响应为()h n ，则该系统的输入输出满足线性卷积关系：
()()()()()i y n x n h n h i x n i +∞
=∞=*=-∑ （1）
即线性时不变系统的输出等于输入序列与系统单位脉冲响应的线性卷积。
2、 差分方程求解离散线性时不变系统输出原理
LTI 系统的输入输出关系可以用一个N 阶线性常系数差分方程来表示：
01()()()M N
i i i i y n b x n i a y n i ===---∑∑ （2）
当0,1,2,,i a i N ==时，式（1）与（2）等价，即此时系统的输入输出满足线性卷积关系。
三、 实验输入输出图形（实验步骤见实验代码）及结果分析
结果分析：
1、 单频信号()a x n 过系统1和系统2输出结果的频率相同，但过系统1存在过冲，系统2效果更好。
2、 ()b x n 信号有两个频率分量1f 和2f ，1f 与()a x n 频率相同，过系统1和系统2后，输出结果与()a x n 过系统1和系统2类似，但()b x n 过系统后有毛刺，曲线不光滑，且过系统1曲线比过系统2曲线光滑。说明，这两个系统相当于一个低通滤波器。
离散时间系统状态方程的求解
§9.6 离散时间系统状态方程的求解
概述：离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似，包括时域和变换域两种方法。 矢量差分方程的时域求解；An 的计算；离散系统状态方程的Z 变换解
一．矢量差分方程的时域求解
离散系统的状态方程表示为
（1）
此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 设给定系统的起始状态为：在 ， 则按式(1)有 以下用迭代法，求 时刻的值：
对于任意n 值，当 可归结为 (2)
上式中，当 时第二项不存在，此时的结果只由第一项决定，即 本身，只有
当 时，式(2)才可给出完整的 之结果。
如果起始时刻选 ，并将上述对 值的限制以阶跃信号的形式写入表达式，于是有
还可解得输出为
()()()
n n n Bx A λλ+=+10
n n =()0λn ()()()
0001n n n Bx A λλ+=+()()n
n n ,,3,200 ++()()()0001n n n Bx A λλ+=+()()()()()()
1 112000000+++=+++=+n n n n n n Bx ABx λA Bx A λλ2()()()
()()()()
21 2230000000+++++=+++=+n n n n n n n Bx ABx Bx A λA Bx A λλ230
n n >()()()
()()()
()
()()∑-=--------+
=-+++++=-+-=1
100
02
00
1000 1 1 1
1n n
i i
n n
n n n n n n n i n n n n n n n n Bx A λA
自动控制第三章系统分析-状态方程的解
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
x(t ) e At x(0)
确定的，状态向量在任意时刻t1的取值可由
x(t1 ) e x(0)
At1
获得。并可以在以x（t）向量为坐标系的n维状态空间 里绘制系统状态随时间运动的轨迹，称为状态轨迹。
返回
3. 状态转移矩阵的引出
系统由初始条件引起的运动的规律及特性主
要取决与eAt，eAt是由系统矩阵A唯一确定的。系
返回
1阶齐次微分方程的解
返回
( s a ) X s x ( 0 ) 1 X s x ( 0) (s a) x(t ) e x(0)
at
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解-离散化
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1 - e 2T ) / 2 G (T ) (T ) 2T e 0 H (T ) (t )dtB
0 T T 0
1 (1 - e 2t ) / 2 0 1 2T - (1 - e 2T ) dt 2t 2T 1 4 e 0 2(1 - e )
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为 G(T)=(T)=eAT
H (T ) Φ(t )dtB e At dtB
0 0
T
T
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
下面分别针对
线性定常连续系统和 线性时变连续系统
讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即
研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。 主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
于是该连续系统的离散化状态方程为
来自百度文库
1 (1 - e 2T ) / 2 T/ 2 - (1 - e 2T ) / 4 x(k 1) x( k ) u( k ) 2T 2T e 0 (1 - e ) / 2
信号与系统课件--§8.5 离散系统状态方程的求解
解 Φ(z)=[zI-A]-1z=
2 z 5z ( z 2)( z 3) 6z ( z 2)( z 3)
X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]=
1 k [1 (3) ] x( k ) 2 ( k ) 1 k [1 3(3) ] 2
§8.5 离散系统状态方程的求解
状态方程和输出方程的一般形式为 x(k 1) Ax (k ) Bf (k ) 用z 变换法求解状态方程 y(k ) Cx (k ) Df (k ) zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z)
X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z)
■
第 1页
例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为
x1 (k 1) 0 x 2 (k 1) 6 1 x1 (k ) 0 f (k ) 5 x 2 (k ) 1
y1 (k ) 1 y 2 ( k ) 2
■ 第 2页
y1 (k ) 1 y2 ( k ) 2
1 x1 (k ) 1 1 x2 (k ) 2
1 2(3) k ( k ) 1 k [1 (3) ] 2
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y[k] Cq[k] Dx[k]
其中
0 1
A
1
5
6 6
B
0
1
C
1
2
5
0
D
0 0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解状态方程： q[k +1] Aq[k] Bx[k]
k=0代入得：
q[1] Aq[0] Bx[0]
便于计算机迭代求解
1
2
5
0
3
19 6
77
6
6
y[2] Cq[2] Dx[2]
19
1 2
5 0
1613
36
451
1396
3
C
1
q[k] = Akq[0] + ( Ak1i Bx[i])u[k 1]
i=0
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
将上式代入系统的输出方程得：
y[k] Cq[k] Dx[k]
k 1
CAkq[0] ( CAk1i Bx[i])u[k 1] Dx[k] i0
CAkq[0] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]
在z域求解该系统的完全响应。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
k=1代入得：
0
1
6
1 5 6
2 3
0
1
1
3
19
6
q[2] Aq[1] Bx[1]
k=2代入得：
0
1
6
1 5 6
3
19 6
0
1
1
19
1613 36
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
求解输出方程： y[k] Cq[k] Dx[k]
k=0代入得：
y[0] Cq[0] Dx[0]
k=1代入得：
1
2
5 2
0
3
13
4
y[1] Cq[1] Dx[1]
k=2代入得：
y[k] Cq[k] Dx[k]
将上式两边取z变换，得:YzQ(z()z)CzQq[(0z])
AQ(z) DX (z)
BX
(z)
H(z)
整理得
Q(z) (zI A)1 zq[0] (zI A)1 BX (z)
Y
(
z)
C ( zI
A)1
zq[0]
[C (
zI
A)1
B
D]X
(
z)
Yzi (z)
Yzs ( z)
然后再对Q(z)和Y(z)进行z反变换即可得到q[k]和y[k]。
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k
1] 1]
0
1
6
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
状态空间变量分析
※ 系统状态变量分析的基本概念和普遍形式 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的建立 ※ 连续时间系统状态方程和输出方程的求解 ※ 离散时间系统状态方程和输出方程的求解
离散时间系统状态方程和输出方程的求解
※ 时域求解状态方程和输出方程 ※ z域求解状态方程和输出方程 ※ 状态方程和输出方程的Matlab求解
1
5
6
q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
y1[k]
y2
[k
]
1
2
5 q1[k]
0
q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2
3
x[k] u[k]
yzi [k ]
yzs [k ]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
q[0]=0时，系统的零状态响应为：
yzs[k] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k]
h[k ]
离散系统的状态方程和输出方程的z域求解
状态方程和输出方程：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
[例] 已知描述某离散系统的状态方程和输出方程为
q1[k q2[k
1] 1]
0
1
6
1
5
q1[k ] q2 [k ]
0 1
x[k ]
6
Байду номын сангаас
y1[k ] y2 [k ]
1
q[3] Aq[2] Bx[2]
便于计算机迭代求解
0
1
6
1 5 6
19
1613 36
0 1
1
113
36 667
216
0
A
1
6
1
5
6
B
0
1
2 q[0] 3
A2q[k0 ] ABx[k0] Bx[k0 1]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
q[k0 k] = Aq[k0 k 1] + Bx[k0 k 1]
∑k 1
= Akq[k0 ] + Ak1i Bx[i]
i=0
k k0
若初始时刻k0=0，则有:
∑k 1
2
5 q1[k]
0
q2 [k ]
系统状态变量的初始状态及系统输入为：
q1[0] q2[0]
2
3
x[k] u[k]
在时域求解该系统的状态变量和输出。
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
解：状态方程和输出方程写成矩阵形式：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
2
5
0
D
0 0
q[0]
2 3
x[k] u[k]
离散系统的状态方程和输出方程的时域求解
离散系统的状态方程为：
q[k +1] Aq[k] Bx[k]
在给定系统的初始状态q[k0]后，可直接用迭代法进行求解。
q[k0 1] Aq[k0] Bx[k0] q[k0 2] Aq[k0 1] Bx[k0 1]