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高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何
5。1。1 向量的概念
例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）
解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2
即－(a＋b）＝2
于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。图5－8
又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.
例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）
图5－11
解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为
P= A v·n.
例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理
证明注意到CB=CA+AB，故有
CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA
=ABCA
=AB(CB+BA） =ABCB
图5－15
于是得到CBCA=ABCA =ABCB
从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|
即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B
所以
5。2 点的坐标与向量的坐标
例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有
解得，故所求点为
高等数学向量代数与空间解析几何总结
x
1 cos t 2
1 2
参数方程为
y
1 2
sin
t
z
sin
t 2
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得：H ( x, y) 0
曲线在xoy面上的投影曲线为
H( z
x, 0
y)
0
yoz 面上的投影曲线 xoz面上的投影曲线
(1) 加法：
ab c
(2) 减法：
ab d
b
a
a
b
c
a
b
d
(3) 向量与数的乘法：
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, (2) 0,
aa与a0同向，| a | | a |
(3) 0, a与a 反向， | a || | | a |
3、向量的表示法
向量的分解式：
a
axi ay j azk
在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk
向量的坐标表示式： a {ax , a y , az }
向量的坐标： ax , a y , az
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b
≤+，向量与数的乘法
a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速
向量A B ''在轴上的投影，记为投影
AB 。
向量在轴上的投影性质：
性质1（投影定理）
=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。)=Prj 1a +Prj 2a 。性质可推广到有限个向量的情形。：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =
+a
cos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。2
a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos a
b θ所以2cos x
a b a b
a θ∙=
=
+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y z
i j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
向量代数与空间解析几何
1.2 向量的线性运算
特别地，当 a b 时，有 a a a ( a) 0 ．
根据向量的三角形法则，总有 AB AO OB OB OA ．
因此，若把向量 b 与 a 移到同一起点 O ，则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向
量 AB 便是向量 b 与 a 的差 b a ，如图所示． 由三角形的性质，有 |ab| |a||b|及|ab| |a||b|， 其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立．
本章先介绍向量的概念、性质与运算，然后建立空间直角坐标系，利用坐 标讨论向量的运算，进而研究空间中的平面、直线、曲面、曲线及其方程．
1.1 向量的概念
既有大小又有方向的量称为向量，也称为矢量，如位移、速度、加速度、力、 力矩等．在数学上，通常用一条带箭头的线段来表示向量．例如，如图所示，以 A 为起点， B 为终点的向量记作 AB ，有时也用粗体字母或在字母上面加箭头来表示 向量，如 a 或 a ．
向量的加法满足下面运算规律． （1）交换律： a b b a ； （2）结合律： (a b) c a (b c) ． 以上运算规律可以应用三角形法则进行验证． 向量的减法是利用负向量来定义的．设有向量 a ，与 a 的模相同而方向相反的 向量称为 a 的负向量，记作 a ．我们规定向量 b 与 a 的差就是向量 b 与 a 的和，即 b a b (a) ，如图所示．
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.
第一节空间直角坐标系
平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的
正向以π
2
角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐
标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.
图7-1
三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.
高等数学第七章空间解析几何与向量代数
x2 11， x2 2.
x2 11 2 x2 2 x 1, 故点P的坐标为(1，0，0)，(1，0，0).
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第七章 空间解析几何与向量代数 第二节 向量及其运算
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一、向量概念 1、向量：具有长度和方向的线段称为向量.
a
B
记为a 或AB( A表示起点，B表示终点). 2、模：向量的长度称为向量模. 记为a 或
说明：三维向量与空间上的点建立了一一对应的关系. 7、模的计算公式：设a {a，b，c}，则a a2 b2 c2 .
例1、设A(1， 1，2)、B(3，0，4)为空间两点，求 AB.
B
8则 、 解向不 ：量超 夹A过 B角 的：{在2，空A1，O间 2B}，取 称点 为AOBa,与作bO的2A2 夹1角 a2 ，.O记2上B2为页(a3b下， . ,bO页b)
P o
N y
x
又 M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
所以 M1 M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .
1、距离公式：d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 . 特别，点M ( x，y，z)到原点O(0，0，0)的距离为
A AB
.
3、零向量：模为零的向量称为零向量. 记为0
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别称为o面、o面和o面．
三个坐标平面将空间分为八个卦限（如图所示）。
2. 空间上的点与数组之间的关系
1.二元极限定义
设为空间上的一点，过点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与轴、
轴、轴的交点依次为、、。这三点在轴、轴、轴上的坐标依次为
2 2 1
2
a
b
b
注意 旋转椭球面不是“椭球面”，椭球面的方程
是：
x2 y 2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
课程小结
本节课我们学习了
曲面方程及其图形
思考题
练习：已知点 A(1, 2, 2) 、B(3, 2, 4) ，
求以线段 AB 为直径的球面的方
程。
空间解析几何
空间直角坐标系
t
在方程（2）中，令
m
n
p
即可得到直线的参数方程：
x x0 mt ,
y y0 nt , （ t 为参数) (3)
z z pt .
0
该方程过点
M 0 ( x0 , y0 , z0 )，且方向向量为
= , ,
例题
1.二元函数极限
例 1 求下列直线的方程．
出了平面平行或垂
直的判定方法。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
练习 2 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐 标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
化简得 1 1 1 , 令 1 1 1 t 6a b 6c 6a b 6c
a 1 , b 1, c 1 ,
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 6 6t t 6t
3. 向量与数的乘法 是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作
规定 :
总之:
运算律 : 结合律 分配律
可见
因此
定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
三角形法则:
运算规律 : 交换律 结合律
三角形法则可推广到多个向量相加 .
2. 向量的减法 三角不等式
(
A,
B,C),
已知点
平面上的点都满足上方程， 不在平面上的点都不满足上方程．
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
定义8.3
实数与向量a 的乘积是一个向量，称为数乘向量，记作a.
a的模是 | || a |，方向：当 0时，a 与a 同向；当 0 时，
a与a反向；当 0时，a 0.
20
四、 向量的线性运算
若和为实数，向量的数乘满足以下运算法则. (1)()a (a)； (2) ( )a a a，(a b) a b.
点到平面的距离
3
向量代数与空间解析几何
四、空间的直线
直线的方程 两直线的位置关系
直线与平面的位置关系
曲面与曲线方程的一般概念
五、曲面与曲线
曲线在坐标面的投影 特殊的曲面及其方程
柱面 旋转曲面
二次曲面
本章主要在在空间直角坐标系下,利用向量代数的知识研究几何问题,刻 画空间中直线与平面的位置关系,建立许多重要的空间曲线和曲面的方程,为 后面多元函数微积分的学习做好准备.
设有k (k 3) 个向量，当它们的起点放在同一点时，如果k 个终点和 公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面.
15
本讲内容
01 空间直角坐标系 02 空间两点间的距离 03 向量的概念 04 向量的线性运算 05 向量的坐标 06 向量的数量积和方向余弦 07 向量的向量积与混合积
四、 向量的线性运算
x1x2 y1 y2 z1z2
；
| a || b |
高数(空间解析几何与向量代数)
第一节 空间解析几何与向量代数
一、空间直角坐标 （一）空间直角坐标系
在空间取定一点O ，和以O 为原点的两辆垂直的三个数轴，依次记作x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），构成一个空间直角坐标系（图1-1-1）。通常符合右手规则，即右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2
π角度转向正向y 轴时，大拇指的指
向就是z 轴的正向。并设i
、j 、k 为
x
轴、y 轴、z 轴上的单位向量，又称为O xyz 坐标系，或[i
,j
,
k
]坐标系。
（二）两点间的距离
在空间直角坐标系中，M 1(x 1,y 1,z 1)与M 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为
()()()221221221z z y y x x d -+-+-=
（1-1-1）
（三）空间有向直线方向的确定
设有一条有向直线L ，它在三个坐标系正向的夹角分别
为α、β、γ
（πγβα≤≤,,0），称为直线L 的方向角；{γβαcos ,cos ,cos }称为直线L 的方向余弦，三个方向余弦有以下关系
1cos cos cos 222=++γβα （1-1-2）
二、向量代数 （一）向量的概念
空间具有一定长度和方向的线段称为向量。以A 为起点，
B 为终点的向量，记作AB ,或简记作a 。向量a 的长记作a ，
又称为向量a 的模,两向量a
和b 若满足：①b a =，②b a //，③
b a ,指向同一侧，则称b a
=。
与a
方向一致的=单位向量记作0a ，则0a =a
a
。若0
a
={γβαcos ,cos ,cos }，也即为a
的方向余弦。
高等数学向量代数与空间解析几何总结(中小学堂)
a
b
,
| a || b |
cos
axbx a yby azbz
ax 2 a y2 az 2 bx 2 by2 bz 2
课堂特制
11
请归纳向量的数量积和向量积 在几何中的用途（续）
（1）数量积 ③求一个向量在另一个向量上的投影：
Pr
jba
a
b
|b|
3.
④两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
5
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a
{a
x
,
ay,
az }
b {bx , by , bz }
a b {ax bx , ay by , az bz }
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
|表示以a
和b
为邻边
a
b
的平行四边形的面积.
③ (2)
a //b
a
b
0.
(a
0,
b
0)
课堂特制
14
（二）空间解析几何 空间直角坐标系
一般方程 参数方程 一般方程
曲线
直线
曲面
平面
旋转曲面 柱面 二次曲面
参数方程 对称式方程 点法式方程 一般方程
《高等数学》向量代数和空间解析几何
垂直： sn0
m n p ABC
平行： sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin sn
sn
结束语
谢谢大家聆听！！！
35
方程特点:
设有平面曲线L:
f
(x, y) z 0
0
(1) 曲线L绕 x 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f (x, y2 z2 ) 0 (2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲方面程为
f ( x2 z2 , y) 0
（2） 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L
所形成的曲面. 这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
a x 2 a y2 a z2 b x 2 b y2 b z2
1 ,
3 .
( 3 ) a b |b |P 2 j b a r Pjrba 4a |b b | 3.
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
二、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
（1）结合律：
(
a
)
(
a)
(
)a
（2）分配律：((a
)a b)
aa
a
b
四、向量的坐标
（一） 向量在轴上的投影
设有两个非零向量α，β，任取空间一
点O，作OA=α,OB=β，规定不超过π的
∠AOB(设φ=∠AOB，O≤φ≤π)称为向量
α与β的夹角 .
B
记作 ( , ) ( , ) (0 )
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间
解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要
内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！
向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研
究向量的各种运算进行分析与求解问题。空间解析几何则是研究点、线、
面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。在向量代
数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。向量的加
法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四
边形法则确定的。向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。数量乘法是
指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向
与原向量相同或相反。点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角
为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。向量代数的运算法则包括
交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。空间解析几何主
要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。其中，点是
空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。直线是由无数个点组成
的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方
向向量确定一条直线。平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可
以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。空间
解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数
教学目的：
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：
1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；
2、两个向量垂直和平行的条件；
3、平面方程和直线方程；
4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；
5、点到直线以及点到平面的距离；
6、常用二次曲面的方程及其图形；
7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：
1、向量积的向量运算及坐标运算；
2、平面方程和直线方程及其求法；
3、点到直线的距离；
4、二次曲面图形；
5、旋转曲面的方程；
§7. 1 向量及其线性运算
一、向量概念
向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有
方向. 例如力、力矩、位移、速度、加速度等, 这一类量叫做向量.
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
3
如果两个向量模相等，方向相反，则这两个向量互 为负向量，如图 7.2所示。 把两个向量 a→，b→所形成的夹角θ（0≤θ≤π）称 为两向量的夹角（如图7.3所示）
4
7.1.2 向量的运算 （1）向量的加法 定义1 设有两个向量a，b，平移向量b使b的起点与 a的终点重合，此时从a的起点到b的终点的向量c称为向 量a与b的和，记作a+b，即c = a+b 上述定义也称为向量加法的三角形法则，如图 7.4 所示。
5
向量三角形法则可以推广到多个向量相加的情形， 即：求向量a1，a2，…，an的和，就是把这n个向量首 尾相连，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点所 构成的向量就是a1，a2，…，an的和
定义2 设有两个不平行的向量a，b，平移向量使得 a与b的起点重合，以a，b为邻边作平行四边形，从公共 起点到对角顶点的向量就等于向量a与b的和a+b，如图 7.6所示
11
（4）向量线性运算规律 假设下述所涉及的向量都是同维的，所涉及的数都是同 一个数域的，则下述规律成立。 ①向量的加法. 交换律：a +b =b +a； 结合律：（a +b）+c=a +（b +c）。 ②数与向量的乘法. 结合律：λ（μa）= μ（λa）=（λμ）a； 分配律：（λ + μ）a =λa + μa；λ（a +b）=λa +λb.
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第七章空间解析几何与向量代数
第一节空间直角坐标系
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空
间解析几何的意义和目的。
教学重点： 1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
教学难点：空间思想的建立
教学内容：
一、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系
（三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指
从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2
间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组
一一对应起来。
注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：
d 2
222 M1M 2M1NNM 2
222
M 1 p pNNM 2
而
M 1 P x 2
x 1
PN
y 2
y 1
NM 2 z 2 z 1
所以
d M 1M 2
(x 2
x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2
特殊地：若两点分别为
M ( x, y, z) ， o(0,0,0)
d oM
x 2 y 2 z 2
例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。
2
( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14
证明 :
M 1M 2
M 2M 3
2
7) 2
(2
1)2 (3 2)2
6
(5
2
4) 2 (2 3) 2
(3 1) 2 6
M 3M 1(5
由于
M 2M 3
M 3 M 1 ，原结论成立。
例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0,
2 ,3)
的距离为到点
P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍，
1
求点 P 的坐标。
解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0)
PP 1 x 2 2
PP 2
x
2
1
2
x 2 11
32 2
x 2
2
12
PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2
2
x
1
所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)
小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式
作业：
第二节向量及其运算
教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点： 1.向量的概念 2.向量的运算
教学难点：向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度
表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由
向量（以后简称向量）。
量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。
向量相等 a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完
全重合的向量）。
量的模：向量的大小，记为 a 、OM。
模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量
都平行。
负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a
二、向量的运算
1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交
换率和结合率见图7－ 4
2．a b c即a( b) c b c
a
3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为(1)0 时，a 与a同向，| a || a |
(2)0 时，a0
(3)0 时，a 与a反向，| a | ||| a |
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位
向量，那么 a 0a
a
定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ ，使b＝a
例 1：在平行四边形ABCD中，设
AB a ，AD b ，
试用 a 和b表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－ 5）
图 7－4
解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1
(a b)
1 (a 2
由于 MC MA ，于是 MC b)
2
1
又由于a b BD 2 MD ，于是 MD(b a)
2
1
由于MB MD ，于是 MB a)
(b
2
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。
作业：