完全平方公式

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完全平方公式

指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
解: (1) 第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍错了符号; 第二数的平方这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
例2. 利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972
解：（1）1022=（ 100+2 ）2
= 1002+2×100×2+22
（2）1972=（200-3）2 200-3 =2002-2×200×3+32
练习. ⑴ 1012，982； ⑵ 632，4982
？？
例2.计算：
⑴ (x+3)2-x2
练习 2 1,利用乘法公式计算:
(a b 3)(a b 3)
解:
(a b 3)(a b 3) [( a b) 3][( a b) 3]

完全平方公式(完整知识点)

完全平方公式

完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

必须注意的：

①漏下了一次项

②混淆公式（与平方差公式）

③运算结果中符号错误

④变式应用难于掌握。

学会用文字概述公式的含义:

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

这两个公式的结构特征：

1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方

和，加上或减去这两项乘积的2倍；

2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右

边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.

完全平方公式口诀

前平方，后平方，二倍乘积在中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来）

即 (a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）

公式变形（习题）

变形的方法

（一）、变符号：

例1：运用完全平方公式计算：

（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2

分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

解答：

(1)原式=16x2-24xy+9y2

完全平方公式大全

1.完全平方公式是一个数学名词，即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

2.两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。（a+b）²=a²﹢2ab+b²

3.两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

完全平方公式

完全平方公式的变形与应用

一、完全平方公式的变形：

完全平方公式222222()2,()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+在使用时常作如下变形：

(1) 222222()2,()2a b a b ab a b a b ab +=+-+=-+

(2) 2222()()4,()()4a b a b ab a b a b ab +=-+-=+-

(3) 2222()()2()a b a b a b ++-=+ (4) 2222221[()()()]2

a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- (5) (a a 1+)2=2122++a

a 1、已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？

2、已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积.

3、若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和.

4、将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？

5、已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

6、已知α=x+1,b=x+2,c=x+3.求：α2+b 2+c 2－αb －bc －cα的值.

二、完全平方公式的应用例析

（一）根据公式的特点求字母的值

已知36442++mx x 是完全平方式，则m 的值为（）

（二）构造完全平方公式：

1、x 4+6x 2+______=（ ___ + ___ ）2 ；m 2+3m+____=（m+___）2

完全平方公式

第三讲完全平方公式

【基础知识精讲】

1．完全平方公式

（1）（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2 右边是三项

（2）公式特征

左边：二项式的平方

右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．

注意：公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab 取“＋”，若这两项异号，则2ab 的符号为“－”．

（3）公式中字母可代表的含义

公式中的a 和b 可代表一个字母，一个数字及单项式．

（4）几何解释

图1－5

图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a ＋b ）2 ②a 2＋2ab ＋b 2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2

因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．

2．三个数的完全平方式

（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc

【学习方法指导】

［例1］计算

（1）（3a ＋2b ）2 （2）（mn －n 2）2

［例2］计算

（1）（－m －n ）2 （2）（－5a －2）（5a ＋2）

［例3］计算

（1）（x －2y ）2－（x －y ）（x ＋y ）

（2）（m －n ）（m 2－n 2）（m ＋n ）

［例4］计算：（x ＋2y ）2－（x －2

y ）2

［例5］计算：（a －2b ＋1）（a ＋2b －1）

［例6］利用公式计算：1962

例7］某正方形边长a cm ，若把这个正方形的边长减小3 cm ，则面积减少了多少？

完全平方公式练习

1．填空：

完全平方公式

完全平方公式
…
2.计算:
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
解: (1) (a+b)2 = (a+b) (a+b)
= a2 +ab+ab+b2 = a2 +2ab +b2 (2) (a-b)2 =(a-b) (a+b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
你能用面积的方法得出上式吗？
15:37
8
例1.运用完全平方公式计算:
(1) (4a-b)2
1 2 (2)(y+ 2)
哪一部分相当于公式里的a，哪一部分相当于公式里的b 呢？
15:37
9
例1.运用完全平方公式计算:
(1) (4a-b)2
1 2 (2)(y+ 2)
解:(1)(4a-b)2 =(4a)2-2‧4a‧b+b2
=16a2-8ab+b2
15:37
10
例1.运用完全平方公式计算:
(1) (4a-b)2
1 2 (2)(y+ 2)
哪一部分相当于公式里的a，哪一部分相当于公式里的b 呢？
解:(1)(4a-b)2 =(4a)2-2‧4a‧b+b2
=16a2-8ab+b2
15:37
11

完全平方公式

教学目的
使学生理解完全平方公式,掌握完全平方公式的结构特征 ,并会用这两个公式进行计算.
重点、难点、关键
重点 .完全平方公式的结构特征及公式直接运用难点 .对公式中字母a,b的广泛含义的理解与正确应用 .
教学过程:
17:42
1
公式的结构特征
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
(2x-3y)2= (2x)2-2∙2x∙3y+(3y)2 =4x2-12xy+9y2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 由上可以看出应用公式的关键是：（一）是否能用
17:42 （二）确定题目中谁是a,谁是b 3
.
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左边:两数和(或差)的平方右边:这两数的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
公式中的字母a,b可以是数, 也可以是单项式或多项式.
17:42
2
例如:计算 (x+2y)2,(2x-3y)2. (x+2y)2 =x2+2∙x∙2y+(2y)=2 x2+4xy+4y2
(a +b )2 = a2+Hale Waihona Puke Baidu a b + b2

完全平方公式（完整知识点）

完全平⽅公式（完整知识点）

完全平⽅公式

完全平⽅公式即(a±b)2=a2±2ab+b2

该公式是进⾏代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常⽤到的公式。该知识点重点是对完全平⽅公式的熟记及应⽤。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的⼀次项系数的理解）。

必须注意的：

①漏下了⼀次项

②混淆公式（与平⽅差公式）

③运算结果中符号错误

④变式应⽤难于掌握。

学会⽤⽂字概述公式的含义:

两数和（或差）的平⽅，等于它们的平⽅和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平⽅公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平⽅公式，后者叫做两数差的完全平⽅公式。

这两个公式的结构特征：

1、左边是两个相同的⼆项式相乘，右边是三项式，是左边⼆项式中两项的平⽅

和，加上或减去这两项乘积的2倍；

2、左边两项符号相同时，右边各项全⽤“+”号连接；左边两项符号相反时，右

边平⽅项⽤“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这⾥说项时未包括其符号在内）.

完全平⽅公式⼝诀

前平⽅，后平⽅，⼆倍乘积在中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来）

即 (a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后⾯⼀定是加号）

公式变形（习题）

变形的⽅法

（⼀）、变符号：

例1：运⽤完全平⽅公式计算：

（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2

分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第⼆⼩题为例，处理该问题最简单的⽅法是将这个式⼦中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套⽤公式计算。

解答：

(1)原式=16x2-24xy+9y2

完全平方公式

2 2 a-b ___ a+b () ( ) = 两数和的完全平方公式
当所给的二项式的符号相反时，就用
两数差的完全平方公式
(-a+b)2 ___ = (b-a)2 ___(a-b)2
=
例2: 计算：(1) 10022 ; (2) 9992 .

观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ±2ab+b2 把10022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a、b怎样确定？
证明方法二：
(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
图形法验证
两数差的完全平方公式：
a
b a
b
ab
b² a
ab b
2
a²
b
a
2
(a b)2 a 2 ab b(a b)
a 2 ab b 2
2
(a b) a ab ab b 2 2 a 2ab b
(a±b) =a ±2ab+b
2
2
2
“想一想”：
有一个财主家有一块边长为(a+b)的正方形土地，阿凡提有三块土地，一块是边长为 a 的正方形土地，一块是边长为b的正方形土地，一块是长为a、宽为 b 的长方形土地，阿凡提提出愿意用三块土地换财主的一块土地，财主一听，大喜过望。”请问：财主真的占了便宜吗？

完全平方公式

纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正：指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2a −2a (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (2a (3) (−a−1)2＝−a2−2a−1. 第一数被平方时未添括号; 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
（a-
2=a2b)
2 2ab+b
口诀：首平方，尾平方，口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首尾两倍在中央。加减看前方，同加异减。前方，同加异减。
计算: 计算（x+2y)2 = x2+2 • x • 2y +(2y)2 = x2+4xy+4y2
(a+b)2 = a2 +2 a
b + b2
计算：（a+b)2 , (a-b)2 （a+b)2= （a+b) （a+b) = a2 +ab+ab+b2 = a2 +2ab+b2 （a-b)2= （a-b) （a-b) = a2 -ab-ab+b2 = a2 -2ab+b2
完全平方公式
2=a2+2ab+b2 （a+b)
（a-
2=a2b)
2 2ab+b

完全平方公式6种变形

在学习数学的过程中，学生们会遇到完全平方公式。它是一种经典的数学概念，可以通过数学运算容易地计算出一个数的完全平方值。本文将对完全平方公式的六种变形进行详细讨论。

首先，什么是完全平方公式？它是一种描述数的完全平方的特定的数学结构。例如，完全平方公式为：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2。它表明，通过将一个数的完全平方和两个数伴随的系数相乘，就可以得到一个数的完全平方。

其次，完全平方公式有六种变形，它们分别是：

1.方差公式：(x - y)2 = x2 - 2xy + y2

2.方和公式：(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

3.方和差的和：(x + y)(x - y) = x2 - y2

4.方和差的差：(x - y)(x + y) = x2 + y2

5.方差和的和：(x - y)[2xy = x2 + y2

6.方差和的差：(x - y)[2xy = x2 - y2

第一种变形就是平方差公式。它表明，只要x和y值相减，系数相乘就可以得到两数之间的平方差值。第二种变形是平方和公式，它表明，只要x和y值相加，系数相乘就可以得到两数之间的平方和值。第三种变形是平方和差的和，它表明，当x与y的和乘以x与y的差时，就可以得到平方和差的和。第四种变形是平方和差的差，它表明，当x与y的差乘以x与y的和时，就可以得到平方和差的差。第五种变形是平方差和的和，它表明，当x与y的差乘以2xy时，就可以得

到平方差和的和。最后，第六种变形是平方差和的差，它表明，当x 与y的差乘以2xy时，就可以得到平方差和的差。

完全平方公式

( -3x)2__2(-3x)(4y)+( 4y)2
-
-
结论*首尾平方总得正； **中间符号看首尾，同号得正，异号得负 ***中间两倍要记牢
例2: 用完全平方公式计算
(1) (-2s+t)2
=(-2s)2+2(-2s)t+t² =4s2-4st+t2
(2) (-3x-4y)2
=(-3x)2-2(-3x)(4y)+(4y)² =9x2+24xy+16y²
2ab 填空：（1）a² +b ² + ______=( a+b)²
（2）a² + b² + (-2ab) _____ =( a – b ) ²
x+2y （3) x² +4xy +4 y² = (________) ²
x-2y (4) x² - 4xy +4 y²= (________) ²
例2：运用完全平方公式计算：
5y
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 y)
(2x5 y)
2
是 2X 与
2
差的平方
2
=（ (2x)）－ 2 （ 2x）（ 5y ）+（ (5 y) ）
(a+b)²=a²+2ab+b² (a–b)²=a²-2ab+b²

完全平方公式

注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．
源自文库
完全平方公式的结果是三项， 2＝a2+2ab+b2; 即 (a+b) 结果不同：平方差公式的结果是两项，即 (a+b)(a−b)＝a2−b2. 在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、2ab时不少乘2；第一(二)数被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
时间到了！
(a + b) = a + 2ab + b
2
2
2
就是说，两数和的平方等于这两个数的平方和加上它们乘积的2倍。
•
•
两数差的平方
2 (a－b) =?
探
究
(a－b)2 =[a＋(－b)]2 = a 2 ＋2a(－ b ) ＋(－ b)2 2－2ab＋b2 =a 两数差的平方，等于这两数的平
2
2
原式=
2
mn a
2
2
3 y 2 3 y x x
9 y 6 xy x
mn 2 mn a a 2
m n 2amn a
2 2
2
练习2： ① -5x+2y
2
1 ② -4y- 4
•
2
•
例3、运用完全平方公式计算：

完全平方公式

运用公式法分解因式应满足的问题：运用公式法分解因式应满足的问题： ①任何多项式分解因式时首先考虑提公因式，然后运用任何多项式分解因式时首先考虑提公因式，公式法，就要观察项数。若是两项考虑用平方差公式；公式法，就要观察项数。若是两项考虑用平方差公式；若是三项式，考虑用完全平方公式。若是三项式，考虑用完全平方公式。其次观察所需分解的多项式的各项与相应公式中的各项如何对应，的多项式的各项与相应公式中的各项如何对应，什么是公式中的“ ，什么是公式中的“ ，公式中的“a”，什么是公式中的“b”，然后才能运用公式进行分解因式。进行分解因式。分解因式一定要彻底。 ②分解因式一定要彻底。公式中的字母“ 和可以表示数， ③公式中的字母“a”和“b”可以表示数，或字母，或可以表示数或字母，单项式，多项式。使用公式时要注意符号的使用，单项式，多项式。使用公式时要注意符号的使用，但分解后的结果中不能含有中括号。后的结果中不能含有中括号。 ④合理变形，巧妙运用公式。合理变形，巧妙运用公式。
完全平方公式的特征：完全平方公式的特征：
①左边必须是一个三项式且可以看成某个式子的二次三项式。左边必须是一个三项式且可以看成某个式子的二次三项式。
Baidu Nhomakorabea
②其中两项的符号是同号，且能写成某两个数或两个式子其中两项的符号是同号，的平方形式，的平方形式，而另一项必须是这两个数或这两个式子乘积的2倍。倍右边分解的结果是这两个数或两个式子的和（的平方。右边分解的结果是这两个数或两个式子的和（差）的平方。其和（与左边中间项的符号一致。其和（差）与左边中间项的符号一致。注意：公式中的字母“a”和“b”可以表示数，或字母，可以表示数，注意：公式中的字母“ 和可以表示数或字母，或单项式，多项式。单项式，多项式。

完全平方公式

（y－5）
2、计算
2
（-x＋-y）
2
3、判断对错 1）（x＋y）＝x ＋y
2
2 2 2 2
2）（x＋2）＝x ＋2x＋4
3）（x－1）＝x ＋2x＋1 4）（2y－x）＝2y －4xy＋x
2 2
2 2 2 2
2
5）（2a－2b）＝4a －8ab＋4b
2
4、把相等式子连接起来
（x－5）（x＋6）
2 2
25-20x+4x
2 2
2
x y ＋10xy＋25
(x－y)(x＋y) （5－2x）
（xy＋5）
2 2
x －10x＋25 x -y
2 2 2
2
x +12x＋36
例4：运用完全平方公式计算
1、101 ＝？ 2、99 ＝？
Biblioteka Baidu2 2
5、计算 1、63 ＝？
2
2、98 ＝？
2
我领会了什么？
1、完全平方公式就是为了方便整式的运算。
2、熟记2个公式
两数和：（a＋b）＝a ＋2ab＋b 两数差：（a－b）＝a －2ab＋b
2 2 2 2 2 2
口诀：首平方、尾平方、首尾2倍中间放，加减看前方，同号用加法，异号用减法。
想一想2：
a
a-b

完全平方公式

【学习目标】

1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】

要点一、公式法——完全平方公式

两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即()2

222a ab b a b ++=+，()2

2a ab b a b -+=-.

形如222a ab b ++，22

2a ab b -+的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或

减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以

是单项式或多项式.

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——完全平方公式

1.下列各式是完全平方式的是（

）． A ．4

-x x

B ．21x +

C ．1++xy x

D ．122-+x x

举一反三：

【变式】（2015春•临清市期末）若x 2