第三章-表示力学量算符-习题答案

第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）

[证] 由厄米算符的定义

**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰

厄米算符ˆF

的平均值 *ˆF F

d ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ *

*

*ˆ[

]F

d ψψτ=⎰

**ˆ[()]F

d ψψτ=⎰

**

ˆ[

]F d ψψτ=⎰ *

F =

即厄米算符的平均值都是实数

2. 判断下列等式是否正确

（1）ˆˆˆH

T U =+ （2）H T U =+

（3）H E T U ==+

[解]：（1）（2）正确 （3）错误

因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。

3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF

的本征函数，且 ()()k k

k

x c x ψϕ

=∑

（1）试推导k C 表示式

（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2

k k k

F c F =∑

（3）说明2

k c 的物理意义。

[解]：（1）给()x ψ左乘*

()m x ϕ再对x 积分

*

*()()()()m

m k k k x x dx x c x dx ϕ

ϕϕτϕ=⎰⎰*

()()k m k k

c x x dx ϕϕ=∑⎰

因()x ψ是ˆF

的本函，所以()x ψ具有正交归一性

**()()()()m

k m k k k k

k

x x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰

（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为k

F 则 ˆk k k

F F ϕϕ= **ˆˆm k m k k k

F F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰

*

*()m m

k k k k

c x F c dx ϕ

ϕ=∑∑⎰

**m k k

m

k

x mk

c c F d

ϕϕ=∑⎰

*m k k mk mk

c

c F δ=∑

2

k k k

c F =

∑

即 2

k k k

F c F =

∑

（3）2

k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2

k c 。

4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中

（1） 势能的平均值221

2

U x μω=

（2） 动能的平均值2

2p T μ

=

（3） 动量的几率分布。

解：(1) ⎰

∞

∞

--==dx e

x x U x 2

22

2222121απ

αμωμω

μωμωαμωαπαπ

αμω ⋅==⋅=

2

2

222241212121221 ω 4

1

=

（

2

210

2n ax n n x e dx a ∞

-+=

⎰

(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122

*2ψψμ

μ ⎰∞∞

----=dx e dx

d e x x

2

22

221

2

22

21

)(21αα

μ

πα ⎰∞

∞

---=

dx e x x 2

2)1(22222αααμ

πα ][22

22

22222⎰⎰∞∞

--∞∞---=

dx e x dx e x x

ααααμ

πα ]2[23222απ

ααπαμ

πα⋅-=

μω

μαμαπαμπ

α⋅

===442222222 ω 4

1

= 或 ωωω 4

1

4121=-=-=U E T

(3) ⎰=

dx x x p c p )()()(*

ψψ

21

2

2

21

⎰∞

∞

---=

dx e

e Px i x

απ

απ

⎰

∞

∞

---=

dx e

e

Px i x

222

1

21απ

απ

⎰

∞

∞

--+-=

dx e

p ip x 2222222)(21 21

αααπ

απ

⎰

∞

∞

-+--

=

dx e

e ip x p 2222

22)(212 21

αααπ

απ

πα

π

α

πα2

212

222

p e -

=

2

2221

απ

αp e

-

=

动量几率分布函数为 2

22

1

)

()(2

απ

αωp e

p c p -

=

=