二阶导数的几何意义
判断极值点的第三充分条件
判断极值点的第三充分条件判断极值点的第三充分条件引言在数学中，我们经常需要判断函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
其中，第一充分条件是判断极值点的必要条件，而第三充分条件则是判断极值点的额外条件。
本文将介绍判断极值点的第三充分条件及其应用。
第三充分条件的描述判断函数的极值点的第三充分条件可以通过二阶导数来表示。
具体而言，设函数f(x)在某区间上连续，且在该区间的某一点x=a处存在一阶导数f’(a)=0。
若函数在x=a处满足以下条件，则极值点的第三充分条件成立：1.如果f’’(a) > 0，则f(x)在x=a处取得极小值。
2.如果f’’(a) < 0，则f(x)在x=a处取得极大值。
第三充分条件的证明为了了解第三充分条件的证明过程，我们可以回顾二阶导数的几何意义。
二阶导数表示函数曲线的变化率，即曲线的弯曲程度。
当二阶导数为正时，函数曲线在该点凹向上，此时函数取得局部极小值。
反之，当二阶导数为负时，函数曲线在该点凹向下，此时函数取得局部极大值。
因此，第三充分条件能够通过二阶导数的正负确定极值的类型。
应用举例判断函数 f(x)=x3-3x2+4x 的极值点的第三充分条件：1.首先，求导数f’(x)=3x^2-6x+4。
2.求得导数f’(x)=0 的零点，即解方程3x^2-6x+4=0。
求解得x=1±√3/3。
3.然后，求导数的二阶导数f’’(x)=6x-6。
4.将零点x=1±√3/3 代入二阶导数f’‘(x) 中，得到f’’(1±√3/3)=±2√3-6。
5.根据第三充分条件的描述，我们可以得出以下结论：–当f’’(1+√3/3) = 2√3-6 > 0 时，函数 f(x) 在x=1+√3/3 处取得极小值。
–当f’’(1-√3/3) = -2√3-6 < 0 时，函数 f(x) 在x=1-√3/3 处取得极大值。
结论通过判断极值点的第三充分条件，我们可以更准确地确定函数的极值类型。
二阶导数
二阶导数二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。
一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f‘(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
1代数记法二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=(y')'。
[1]例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
2几何意义(1)切线斜率变化的速度(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)3应用如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
4相关补充二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。
定理：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
一阶导数和二阶导数的关系
一阶导数和二阶导数的关系一阶导数和二阶导数是微积分中非常重要的概念，它们有着千丝万缕的关系。
本文旨在通过具体的例子来说明一阶导数和二阶导数之间的关系。
首先，介绍一阶导数。
一阶导数是一个函数f(x)在x点处的斜率，可以用导数f(x)表示。
从几何意义上来说，一阶导数表示的是函数f(x)的图像上任意一点处的斜率，也就是函数f(x)在该点处的切线的斜率。
接下来，介绍二阶导数。
二阶导数是函数f(x)在x点处的二阶导数，可以用f(x)表示。
它表示的是函数f(x)的图像在某一点处的切线的斜率，从几何意义上来看，它表示的是函数f(x)在该点处的切线的斜率的变化率。
从理论上来看，一阶导数和二阶导数之间存在着细微的关系。
在函数f(x)的单调递减区间内，二阶导数f(x)为负值，此时一阶导数f(x)必然也是负值；在函数f(x)的单调递增区间内，二阶导数f(x)为正值，此时一阶导数f(x)也必然是正值。
这就是一阶导数和二阶导数之间的紧密关系。
下面举一个具体的例子，来阐述一阶导数和二阶导数之间的关系。
以函数f(x)=x^3+3x^2-4 为例，其一阶导数f(x)=3x^2+6x，其二阶导数f’’(x)=6x+6。
从函数f(x)的图像上可以看出，f(x)从x=0点开始呈现单调递减，此时二阶导数f’’(x)为负值，一阶导数f’(x)也应该是负值，从f’(x)=3x^2+6x可以看出，当x在x<-2时，f’(x)为负值，与我们预期一致；而当x<2时，f(x)随着x的增大而增大，从而表明f(x)为单调递增，同时f(x)也为正值，从f’’(x)=6x+6可以看出，当x>0时，f’’(x)为正值，即f’(x)也为正值，与我们预期一致。
从上面的具体例子可以看出，一阶导数和二阶导数之间存在着千丝万缕的关系，只有熟悉了其关系，才能让我们在计算和解决函数f(x)的问题时能更准确，更精确地应用它们。
本文通过具体的例子阐述了一阶导数和二阶导数之间的关系，在实际应用中，我们更多的是引用后者，也就是二阶导数来判断函数的性质，从而解决难题，但不可忽视的一阶导数的作用，只有把它们有机地结合起来，我们才能有效地解决问题。
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理
二阶导数怎么用拉格朗日中值定理二阶导数怎么用拉格朗日中值定理一、引言二阶导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了函数曲线的凹凸性。
而拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它联系了函数的导数和函数值。
本文将通过深入理解二阶导数以及它如何与拉格朗日中值定理相结合，帮助读者更好地理解这些概念和方法。
二、二阶导数的定义和性质1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数在某一点的导数的导数，可以理解为对函数曲线进行两次微分得到的结果。
在一元函数的情况下，二阶导数可以通过对原函数的一阶导数再次求导得到。
若函数f(x)的一阶导数存在，则f(x)的二阶导数可表示为f''(x)或d^2y/dx^2。
2. 二阶导数的凹凸性二阶导数可以描述函数曲线的凹凸性。
如果在一个区间内，函数的二阶导数大于零，则函数曲线在该区间内凸; 如果二阶导数小于零，则函数曲线在该区间内凹。
如果二阶导数恒大于零或者恒小于零，则函数曲线称为严格凸或严格凹。
三、拉格朗日中值定理1. 什么是拉格朗日中值定理？拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它建立了函数导数与函数值之间的联系。
定理表述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，则存在一个c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
这个定理的物理几何意义是：在曲线上至少存在一点，该点的切线与曲线上两点间的连线平行。
2. 二阶导数与拉格朗日中值定理的关系由拉格朗日中值定理可知，函数在开区间(a,b)上可导，则在该区间内一定存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
如果再对该等式两边同时求导，由于导数的连续性，我们可以得到f''(c)=0。
这说明了二阶导数在满足特定条件下的应用，即当函数在两点间的变化率恒为常数时，存在某一点的二阶导数为零。
四、二阶导数在实际问题中的应用1. 函数的拐点二阶导数可以告诉我们函数曲线上的拐点。
二阶导数的意义
二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（如物理上的加速度等）（2）函数的凹凸性。
（3）判断极大值极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
驻点和拐点的区别在驻点处的单调性可能改变，而在拐点处凹凸性肯定改变。
拐点：二阶导数为零。
（且三阶导不为零）驻点：一阶导数为零。
二阶导数为零时，一阶不一定为零；一阶导数为零时，二阶不一定为零。
（拐点不一定是驻点） （驻点也不一定是拐点）一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设)(x f 在0x 二阶可导，且0)(,0)(00≠''='x f x f ．(1) 若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值； (2) 若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值．例 试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．解x x a x f 3cos cos )(+='． 由假设知0)3(='πf ，从而有012=-a ，即2=a ． 又当2=a 时，x x x f 3sin 3sin 2)(--=''，且03)3(<-=''πf ，所以x x x f 3sin 31sin 2)(+=在3π=x 处取得极大值，且极大值3)3(=πf ． 例 求函数593)(23+--=x x x x f 的极大值与极小值． 解 )(x f 在]4,2[-上连续，可导．令0)3)(1(3963)(2=-+=--='x x x x x f ，得 1-=x 和3=x ，思考： )(x f 在1-=x 取得极大还是极小值？在3=x 取得极大还是极小值？ '()66f x x '=--1代入二阶导数表达式为-12，)(x f 在1-=x 取得极大值3代入二阶导数表达式12，在3=x 取得极小值二、函数图像凹凸定理若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凹曲线的充要条件是0)(≥''x f ，),(b a x ∈．曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凸曲线的充要条件是0)(≤''x f ，),(b a x ∈。
二阶导数对时间求导
二阶导数对时间求导
d²r/dt²涉及到高等数学里的知识，它表示变量r对变量t求二阶导，即d²r=dt²=d(dr/dt)/dt.在大学物理运动学中，r表示位矢，t表示时间，那么r对t求一阶导就是速度v,求二阶导就是dv/dt，即加速度。
二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。
（1）切线斜率变化的速度
（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）这里以物理学中的瞬时加速度为例:
根据定义有a=（v'-v）/Δt=Δv/Δt
可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：
a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)
又因为v=dx/dt 所以就有
a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数
将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数
f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）
f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)。
二阶导数怎么求
二阶导数怎么求
d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)=d/dt(dy/dx)/(dx/dt)。
1.二阶导数是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
二阶导数的推导公式=d(dy)/dx*dx=dy/dx，dy是微元，书上的定义dy=f'(x)dx，因此dy/dx就是f(x)，即y的一阶导数，dy/dx也就是y对x求导，得到的.一阶导数，可以把它看做一个新的函数。
d(dy/dx)/dx，就是这个新的函数对x 求导，也即y的一阶导数对x求导，得到的就是二阶导数。
2.函数y=fx的导数y=fx仍然是x的函数，则y=fx的导数叫做函数y=fx的二阶导数。
二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性，函数是向上突起的，还是向下突起的。
3.在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
如果一个函数
f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x，y，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
二阶导数
二阶导数二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
1代数记法二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=（y'）'。
[1]例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
2几何意义（1）切线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性（例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧）这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有a=（v'-v）/Δt=Δv/Δt可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数）f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)3应用如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
4相关补充二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。
定理：设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
2阶导数的几何意义
2阶导数的几何意义
二阶导数的几何意义主要包括两个方面：
1.表示切线斜率变化的速度，即一阶导数的变化率。
当函数在某点的二阶导数大
于0时，表示该点处的切线斜率在增加，即函数图像在该点处向上突起；反之，当二阶导数小于0时，切线斜率在减小，函数图像在该点处向下突起。
2.反映函数的凹凸性。
二阶导数大于0时，函数图像是凹的，即函数在该点处的
加速度方向指向轨迹曲线的凹侧；二阶导数小于0时，函数图像是凸的，即加速度方向指向轨迹曲线的凸侧。
因此，二阶导数可以用来判断函数的凹凸性和拐点，以及确定函数的极值点。
需要注意的是，二阶导数本身并没有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率，而一阶导数本身才有明显的几何意义，即表示切线斜率。
二阶导数的几何意义
能力. 通过列举反例可使学生澄清对某些概念的模
糊认识, 深刻的理解知识, 增强思维的严谨性.
在驻点处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 有
| f (x0 ) | = ( x0). 综上, 从几何角度讲, 函数 y = f ( x ) 的二阶导 数 f ( x ) 是描述曲线 y = f ( x ) 的曲率的一个重要 指标. 二阶导数的绝对值 | f ( x ) | 与曲率 ( x ) 的大 小成正比; 在驻点 x 0 处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 二阶导 数的绝对值 | f ( x 0 ) | 与曲率 ( x 0 ) 相等.
在数学这个领域中, 肯定一个命题需要严格的 逻辑推理证明, 否定一个命题只需举出一个例子予 以否定, 这种例子通常称为反例. 构造反例的过程 与正向逻辑推理的过程恰好是反向的, 所以可通过 举反例、启发学生构造反例来培养学生的逆向思维
收稿日期: 2008 - 05 - 25; 修改日期: 2008 - 07 - 06. 作者简介: 宁雪梅( 1979 - ) , 女, 内蒙古通辽人, 博士, 讲师, 主要从事
[ 3] 盛祥耀. 高等 数学: 上册 [ M ] . 北京: 高等教 育出 版社, 1992: 73; 163 166.
第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
多元函数二阶偏导数
多元函数二阶偏导数研究多元函数的偏导数是数学中最重要的基础，了解它的历史演变历程和它的运用方法也可以帮助我们更好的理解它的科学性。
本文将首先对一元函数的偏导数、二阶偏导数作出介绍，并通过实例来说明多元函数二阶偏导数的计算过程，之后还会介绍多元函数二阶偏导数的几何意义，最后总结归纳多元函数二阶偏导数的应用。
一、一元函数和偏导数在一元函数中，函数f(x)是定义在实数域D内的函数，其中自变量x一个以上定义域，一般写作：f(x)=f(x1,x2,...xn)它表示以矢量x=(x1,x2,...xn)为输入变量的函数，其中x1、x2、…、xn分别表示实数的函数。
由此可以推论出一元函数的定义域，即在实数域R上。
关于一元函数，它的偏导数及概念是研究多元函数过程中非常重要的基础。
一般地，如果函数f(x)=f(x1,x2,……xn)那么其首先定义出f的偏导数，即f的极限，它表示原函数在极限点发生变化朝向某个方向时，函数值以极小量积累变化的率，可以用以下公式表示： $$ frac{partial f(x)}{partial x_i} = lim_{h to 0}frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h}. $$对于一元函数，偏导数可以使我们了解到函数在某个特定点处的变化率及曲线的泰勒展开部分等信息。
二、多元函数二阶偏导数在多元函数中，除了定义一元函数的偏导数外，还可以定义多元函数的二阶偏导数。
以三元函数f(x, y, z)为例，它的二阶偏导数是变量x和y的函数f(x, y，z)的二阶偏导数，它可以用如下公式表示：$$ frac{partial^2 f(x,y)}{partial x partial y} = lim_{h to 0} frac{partial left( frac{partial f(x,y)}{partialx}right)}{partial y}. $$其中，$frac{partial f(x,y)}{partial x}$表示函数在点(x, y)处x方向的偏导数，$frac{partial^2 f(x,y)}{partial x partial y}$表示函数在点(x, y)处的二阶偏导数。
导数的几何意义
导数的几何意义导数的几何意义几何意义一阶导就是曲线的斜率代数意义一阶导就是函数的变化率。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数derivative由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f （t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是，当t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数y＝f(x )在x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f （x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，记作，称之为f在x0点的导数（或变化率)。
若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：，表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
二阶导数的几何意义意义如下：（1）斜线斜率变化的速度（2）函数的凹凸性。
关于你的补充：二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。
应用：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
二阶导数 行列式
二阶导数行列式二阶导数是微积分中的一个重要概念，用来描述函数的曲率和变化率。
在这篇文章中，我们将探讨二阶导数的概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、二阶导数的概念在微积分中，函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。
而二阶导数则描述了函数变化率的变化率，或者说描述了函数曲线的曲率。
二阶导数的定义为函数f(x)的导函数f'(x)的导数，通常表示为f''(x)或者d²f(x)/dx²。
二、二阶导数的性质1. 二阶导数的存在性：若函数f(x)在某一点x处可导，则f''(x)存在。
2. 二阶导数的对称性：若函数f(x)的二阶导数存在，则f''(x)=f''(-x)。
3. 二阶导数与函数的性质：若函数f(x)的二阶导数存在且连续，则函数f(x)在某一区间内的凹凸性由f''(x)的正负号确定。
三、二阶导数的应用1. 曲线的凹凸性：通过计算函数的二阶导数，我们可以确定函数在某一区间内的凹凸性。
若二阶导数大于零，则函数在该区间内为凸函数；若二阶导数小于零，则函数在该区间内为凹函数。
2. 极值点的判断：对于函数的极值点，我们可以通过计算函数的一阶导数和二阶导数来判断。
若一阶导数为零且二阶导数大于零，则该点为函数的极小值点；若一阶导数为零且二阶导数小于零，则该点为函数的极大值点。
3. 弹簧振动的分析：在物理学中，弹簧的振动可以通过二阶导数来描述。
弹簧的位移关于时间的二阶导数正比于弹簧的刚度系数和质量，可以用二阶导数来表示弹簧的加速度。
4. 曲线拟合与插值：在数据分析和图像处理中，二阶导数可以用于曲线的拟合与插值。
通过计算数据点的二阶导数，我们可以找到曲线的拐点或者确定曲线的形状。
二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数的曲率和变化率的变化率。
通过计算二阶导数，我们可以判断函数的凹凸性、确定极值点，以及分析实际问题中的振动和曲线拟合。
二阶导数
二阶导数二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。
一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f‘(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
1代数记法二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=(y')'。
[1]例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
2几何意义(1)切线斜率变化的速度(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)3应用如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
4相关补充二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。
定理：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
导数与函数的凹凸性与拐点
导数与函数的凹凸性与拐点函数是数学中的重要概念，在分析和应用领域有着广泛的应用。
函数的性质研究是函数分析的核心内容之一。
其中，导数的概念与函数的凹凸性以及拐点有着密切的联系。
本文将介绍导数的定义和几何意义，并讨论函数的凹凸性以及拐点的相关概念。
一、导数的定义和几何意义导数是函数微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
设函数y=f(x)，则在点x处的导数可以用以下定义表示：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗导数的几何意义是函数曲线在某一点上的切线斜率。
直观地讲，在点x上的导数表示了函数曲线在该点的附近局部变化趋势。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是研究函数曲线的形状和变化趋势的重要性质之一。
考虑函数f(x)在某个区间上的凹凸性，可以通过它的导数来判断。
1. 凹函数和凸函数若在区间I上的函数f(x)满足：对于I上的任意两点a和b，以及a < b，都有f((a+b)/2) ≤ (f(a)+f(b))/2，则称f(x)在区间I上是凹函数。
相应地，若不等号反向，则称f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸性与导数的关系若函数f(x)在区间I上两阶导数存在且恒大于等于零（f''(x) ≥ 0），则f(x)在区间I上是凹函数；若不等式反向（f''(x) ≤ 0），则f(x)在区间I上是凸函数。
三、拐点的判定拐点是函数曲线上由凹变凸或者由凸变凹的点，它是函数凹凸性变化的关键点。
通过导数的相关性质，可以判断函数曲线上的拐点。
1. 拐点的存在条件若函数f(x)在某一点x处存在拐点，则必须满足以下两个条件：一是f(x)在x点有定义；二是f''(x)在x点发生变号。
2. 拐点的判定方法拐点的判定可以通过对函数f(x)的二阶导数f''(x)的分析来实现。
具体方法如下：- 若f''(x) > 0，则f(x)在x点凹；若f''(x) < 0，则f(x)在x点凸；- 若f''(x)发生变号，则x点为拐点；- 若f''(x) = 0，且左右导数f''(x-)和f''(x+)存在且异号，则x点为拐点；- 若f''(x) = 0，且f'''(x) ≠ 0，则x点不是拐点。
高三数学二次求导知识点
高三数学二次求导知识点● 高三数学二次求导学问点一.二阶导数定义二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍旧是x的函数，则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
几何意义1、切线斜率改变的速度，表示的是一阶导数的改变率。
2、函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。
函数凹凸性设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
(2)若在(a,b)内f’‘(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
返回名目●高三数学二次求导学问点二.一阶导数与二阶导数简洁来说，一阶导数是自变量的改变率，二阶导数就是一阶导数的改变率，也就是一阶导数改变率的改变率。
连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。
一阶导数大于0，则递增;一阶倒数小于0，则递减;一阶导数等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反映图象的凹凸。
二阶导数大于0，图象为凹;二阶导数小于0，图象为凸;二阶导数等于0，不凹不凸。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为微小值点;当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
返回名目●高三数学二次求导学问点三.一次求导函数1.y=c(c为常数) y=02.y=x^n y=nx^(n1)3.y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4.y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=sinx7.y=tanx y=1/cos^2x8.y=cotx y=1/sin^2x9.y=arcsinx y=1/√1x^210.y=ar ccosx y=1/√1x^211.y=arctanx y=1/1+x^212.y=arccotx y=1/1+x^2返回名目●高三数学二次求导学问点四.求导的意义1.导数的实质：导数是函数的局部性质。
高三数学二次求导知识点
高三数学二次求导知识点目录二阶导数一阶导数与二阶导数一次求导函数求导的意义● 高三数学二次求导知识点一.二阶导数定义二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
一般的，函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数，则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
在图形上，它主要表现函数的凹凸性。
几何意义1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。
2、函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。
函数凹凸性设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
●高三数学二次求导知识点二.一阶导数与二阶导数简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。
连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。
一阶导数大于0，则递增;一阶倒数小于0，则递减;一阶导数等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反映图象的凹凸。
二阶导数大于0，图象为凹;二阶导数小于0，图象为凸;二阶导数等于0，不凹不凸。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。
当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点;当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
●高三数学二次求导知识点三.一次求导函数1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2●高三数学二次求导知识点四.求导的意义1.导数的实质：导数是函数的局部性质。
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收稿日期: 2008 - 05 - 25; 修改日期: 2008 - 07 - 06. 作者简介: 宁雪梅( 1979 - ) , 女, 内蒙古通辽人, 博士, 讲师, 主要从事
混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域D
内连续,
那么在
该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
该定理是说, 在连续的条件下二阶混合偏导数
与求导的次序无关. 更一般地, 在连续的条件下,
多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.
我们知道, 如果一元函数在某点具有导数, 则
它在该点必定连续, 但对于多元函数, 即使各偏导
第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
二阶导数的几何意义
白克志
( 柳州职业技术学院 公共基 础部, 广西 柳州 545006)
摘 要 对一元函数二阶导数的几何 意义进行阐释, 认为一元函数的二阶导数是描述函数 对应曲线的曲率的
函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处导数的几何意义是曲 线y = f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率[ 3] : 73 . 若曲线 y = f ( x ) 在点( x , f ( x ) ) 处的切线与 x 轴正
向的夹角为 , 则有
f ( x) = tan .
运筹学研究. Email: ningxu emei@ bjf u. edu. cn. 徐凤琴( 1965 - ) , 女, 北京人, 博士, 副教授, 主要从事数理 统计研究. Email: fqxu@ b jfu. edu. cn .
能力. 通过列举反例可使学生澄清对某些概念的模
糊认识, 深刻的理解知识, 增强思维的严谨性.
通过反例培养学生的逆向思维
宁雪梅1 , 徐凤琴1 , 张 旭2
( 1. 北京林业大学 理学院 数学系, 北京 100083; 2. 南京航空航天大学 理学院 数学系, 江苏 南京 210014)
摘 要 针 对二 元函 数混 合偏 导数 存在 且相 等, 但 未必 连 续的 命 题, 给 出反 例 说 明. 寻找 反 例 的 具体 过
( 1)
上式两边对 x 求导, 可得
f ( x) =
sec2
d dx
=
(1+
tan2
)
d dx
=
[1+
f
2(x)]
d dx
.
想要由此来说明二阶导数的几何意义是很牵强的.
为了给二阶导数的几何意义一个合理的说明, 还需作进一步的讨论.
设曲线上点 A 处的切线与x 轴正向的夹角为 ,
曲线上点 B 处的切线与x 轴正向的夹角为 + , 弧
[ 3] 盛祥耀. 高等 数学: 上册 [ M ] . 北京: 高等教 育出 版社 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
2
=
1+ f 2(x) .
dx ds
=
1
.
1+ f 2( x)
将上式代入( 2) 式, 可得
d ds
=
[
1
+
f f
( x) 2( x)]
3 2
.
曲率 ( x ) 通常取正数, 故有
或改写为
( x) =
|f [1+ f
(x) | 2(x)]
3 2
,
|
f
(x) | =
[ 1+
f
2(
x
)
]
3 2
( x).
数在某点都存在, 也不能保证函数在该点是连续.
这时, 自然会想到一个问题, 同时学生也会提出这
The Geometrical Meaning of Second Derivatives
BAI Ke zhi
( Depar tment o f Basics, L iuzhou Vo cat ional & T echnical College, L iuzhou 545006, P RC)
AB 的长度为 s, 则称 s 为弧 A B 的平均曲率. 若点 B 沿曲线无限趋近于点A , 即 s 无限趋近于零时, 称
d ds
为曲线在点
A
处的曲率[ 3] : 163- 166 , 记为
( x).
将( 1) 式改写为
= arctanf ( x ) .
上式两端对变量 s 求导, 可得
收稿日期: 2010 - 03 - 19; 修改日期: 2010 - 12 - 27. 作者简介: 白克志( 1956 - ) , 男, 广西永福 人, 副教授, 从事高 等数学
历史上最著名的反例是魏尔斯特拉斯的一个点
点连续却点点不可微的例子, 从而严格弄清了函数
连续性与可微性的关系[ 1] .
以下通过一个实际反例说明, 寻找反例的过程
就是对学生的逆向思维进行培养和训练的过程.
在多元函数偏导数的学习过程中, 常常会接触
到如下定理:
定理 1[ 2] 如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶
参考文献
[ 1] 刘玉 琏, 傅 沛仁, 林 玎, 等. 数 学分 析讲 义: 上 册 [ M ] . 4 版. 北京: 高等教育出版社, 2003: 197 198.
[ 2] 盛骤, 吴迪光, 张光天. 高等数学[ M ] . 3 版. 杭州: 浙江 大 学出版社, 1999: 112 113; 198.
一个重要指标: 二阶导数的绝对值与曲线曲率成 正比; 在驻点处, 二阶导数的绝对值与曲率相等.
关键词 二阶导数; 几何意义; 曲率
中图分类号 O172. 1
文献标识码 A
文章编号 1008 1399( 2011) 01 0094 02
关于一元函数二阶导数的物理意义, 一般教科 书上都会有比较清晰的说明[ 1] , 而它的几何意义则 从未被提及. 通过确定一元函数二阶导数在某区间 内是大于零或小于零, 可以判定相应曲线在该区间 的凹凸方向[ 2] : 112- 113 . 这说明一元函数二阶导数与相 应曲线的弯曲程度存在某种关系. 下面尝试给出一 元函数二阶导数的几何意义的说明.
程启 示: 在 数学 教学 中, 可 以通 过有 意识 的列 举 反 例, 启 发 学 生构 造 反 例, 来培 养 学 生 的逆 向 思 维 能力 , 从
而提 高教 学质 量.
关键词 反例; 逆向思维; 二阶混合偏导数; 连续
中图分类号 O13
文献标识码 A
文章编号 1008 1399( 2011) 01 0095 02
与数学模型的教学与研究. Email: bkz 0130@ 126. com.
d ds
=
1+
1 f
2
(
x
)
f
(x)
dx ds
.
( 2)
由于[ 2] : 198
( ds) 2 = ( dx ) 2 + ( dy ) 2 ,
所以
ds =
( dx ) 2 + ( dy ) 2 ,
ds dx
=
故有
1+
dy dx
Keywords: second derivative, geomet rical meaning , curvat ur e
数学是思维的体操, 通过数学课教学可以提高 学生的思维能力, 进而提高学生的数学素养, 有利 于培养和开发学生的创造性活动.
逆向思维的培养是提高学生思维能力的一个重 要方面. 逆向思维是一种发散思维, 是从原问题的 相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思 考的一种思维, 即 由果索因、知本求源 . 那么, 如 何在高等数学的教学过程中将知识的传授与逆向思 维能力的培养很好地结合在一起, 从而提高数学课 的教学质量, 这一直是众多老师关心的问题.
Abstract: Ex pounding on t he g eo metr ical sig nif icance of t he second derivat ive of a o ne variable f unction, t his paper regards t he second derivative as an im por tant t ool for describing the curvat ure of the co rresponding curve, since t he magnit ude o f t he second derivative is pro port ional to t he curvat ur e, and is equal t o the curv at ure, in part icular, at t he st at ionary point .
在驻点处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 有
| f (x0 ) | = ( x0). 综上, 从几何角度讲, 函数 y = f ( x ) 的二阶导 数 f ( x ) 是描述曲线 y = f ( x ) 的曲率的一个重要 指标. 二阶导数的绝对值 | f ( x ) | 与曲率 ( x ) 的大 小成正比; 在驻点 x 0 处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 二阶导 数的绝对值 | f ( x 0 ) | 与曲率 ( x 0 ) 相等.