2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (14)
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷(理科)试题及答案(解析版)
∴ 时，g（x）取得最小值 ，
解 得，a≥4，显然a＜4和a＞4时，都不满足f（x）在（0，2）上是减函数，只有a＝4时满足f（x）在（0，2）上是减函数，
∴满足条件的a的集合是{4}．
故答案为：{4}．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.
2020年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4}，则∁UA＝（ ）
A．{5，6}B．{1，2，3，4}C．{2，5，6}D．{2，3，4，5，6}
（1）讨论f（x）在其定义域内的单调性；
（2）若a＝1，且f（x1）＝f（x2），其中0＜x1＜x2，求证：x1+x2+x1x2＞3．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．如图所示，“8”是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点，交⊙C2于O、B两点．
∴cos∠AOB＝ ，即∠AOB＝60°．
（1）若λ＞0，μ＞0，
设 ＝2 ， ＝2 ，则 ＝ + ，
∵|λ|+|μ|＝λ+μ≤2，故当λ+μ＝2时，E，F，P三点共线，
故点P表示的区域为△OEF，
2020年高考_理科数学模拟试卷(含答案和解析)
【高仿咫卷•理科数学 笫1页（共4页）】2020年普通高等学校招生全国统一考试高仿密卷理科数学注意事项：L 本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号 厦写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条影码粘贴在答勉卡上的曲 定位JL 。
2.选择题的作答：每小题选出答案后•用2B 铅爸把答题卡上对应题目的答案 标号涂浜,写在试晦卷、草稿纭和答题卡上的非答题区域均无殁°3,非选释题的作答:用签字名直报答在卷麴卡上对应的答意区域内。
客在试 场卷、草稿纸和答邈卡上的非答邈.区域均无效。
4.选考题的作冬：先把所选题目的期号在笔超卡上指定的位置用2B 铅笔涂耍.至案写在答题卡上 对应的冬题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答麴区域均无效. 5,考试结束后，请将本试四卷和答题于一并上交，一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的61.已知复数2=~<i 为虚数单位八则|片十2| = £ 1 A.ZB.75D.HH IgGr-DV1卜廿二《衣|2炉一9父+4t0},则AD 《C RB>=A. (1,4)B. (y.4)C. (4J + /I^)D. (1,14-710)2 .已知集合A={3 .已知向量:%。
则“E| =㈤"是口一2川=12。
一加”的 A.充分不必要条件 C,充要条件B.必鬟不充分条件 口既不充分也不必要条件4 .我国古代名著仪孙子算经》中有如卜有趣的问题广今有三女，长女五日一归，中女四日一归•少女三日一归.问三女何n 相会之意思是「一家有三个女儿郴已出嫁.大女儿五天回一次娘家9二女儿四天回一 次娘家，小女儿三天回一次娘家,三个女儿从娘冢同一天走后•至少再隔多少天三人可以再次在娘家相 会？：三人再次在娘家相会■则要隔的天数可以为A. 90 天C. 270 天S.执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为B. 180天B. 2 020 *2 019 2Q21 '2 020n 2 020I I ------- 276.已知等差数列｛。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (4)
高三理科数学模拟试卷Ⅰ卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设全集U ＝[－2，2]，若集合A 满足C U A ＝[1，2），则A ＝__________. 【答案】[){}21,2U -【解析】在数轴上分别作出集合A C U U 与，根据补集的概念，可得[){}21,2U -=A . 2．在复平面内，复数20161i i iz +-=对应的点所在第 象限. 【答案】一 【解析】22112)1(11i i i i i z +=++=+-=∴z 表示的点所在的象限是第一象限． 3．某校有甲、乙、丙3个高三理科班. 其中甲班有47人，乙班51人、丙班49人.现分析3个班的一次数学考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校3个理科班的数学平均成绩是 分． 【答案】89【解析】3个理科班的数学平均成绩是8987319032=⨯+⨯=x . 4.分别从集合{}4,3,2,1=A 和集合{}9,8,7,6,5=B 中各取一个数,则两个数之积为奇数的概率为 . 【答案】103【解析】从集合A 和集合B 中各取一个数共有:)9,1(),8,1(),7,1(),6,1(),5,1(, )9,2(),8,2(),7,2(),6,2(),5,2(,),8,3(),7,3(),6,3(),5,3()8,4(),7,4(),6,4(),5,4(),9,3(,)9,4(共20个,其中满足条件的有:)9,3(),7,3((),5,3(),9,1(),7,1(),5,1(共6个,故所求概率为103206==p .5. 已知，则．【答案】1- 【解析】cos cos()cos()cos()2cos()cos2(13666666x x x x x πππππππ+-=-++--=-=⨯⨯=- 6.右图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为__________； 【答案】4或—1【解析】 输出值,16=y 当4=x 时,不满足3<x ,则代入;1624==y 又由43=-x 推得1-=x 时,再则代入1624==y ,综上x 的值为4或—1.7.设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点,若在双曲线C上存在一点P,使21PF PF ⊥,且︒=∠3021F PF ,则双曲线C 的离心率为 . 【答案】13+【解析】由 a PF PF 221=-,由题意得c a PF c PF +=∴=2,12,222)2()2(c c c a =++∴,即,0222=--e e .13,1+=∴>e e Θ8. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【答案】a 或2a【解析】由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得ACA1F ＝AFA1D ，即2ax ＝3a －xa ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .9.已知周期为4的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=]3,1(,21]1,1(,1)(2x x x x x f ，则方程x x f =)(3的解的个数为个.【答案】3 数)(x f y =的图象及3x y =【解析】作出函的图象,则两个图象的交点个数为3，即方程的解的个数为 3.10.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 则b＝ 【答案】4【解析】ABC ∆中 sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 11.点P 是函数xx y 4+=图象上任意一点,过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线, 垂足分别为A,B,则=⋅PB PA .【答案】 2-【解析】设)4,(000x x x P +为函数xx y 4+=图象上任意一点,结合图象知0002224x x x x PA =--=,0x PB =,由O,A,P,B 四点共圆得︒=∠135APB , 2)22(2213500-=-⋅=︒=⋅∴x x PB PA .12．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00 (a 为常数)，表示的平面区域的面积为4，则y x +2的最小值为 .【答案】41-【解析】由题意画出如图1可行域,因为平面区域的面积为4，易得)0,0(),2,2(),2,2(O B A -，用“角点法”，把A ，B ，O 三点的坐标分别代入目标函数y x +2得其最小值为0.由题意画出可行域如图2，令02=+y x ，即2x y -=，由一阶导数x y 2-='，当抛物线2x y -=与直线x y -=相切时，即,12-=-='x y 得21=x ，即得切点),21,21(-P 代入目标函数得：4121412-=-=+y x ，所以y x +2的最小值为41-.13. 已知ABC ∆的面积为1,点D 在AC 上,AB DE //,连结BD,设BDE ABD DCE ∆∆∆,,中面积最大值为y ,则y 的最小值为 . 【答案】253- 【解析】如图:,//AB DE Θ设)1(<<==λθλCACDCB CE , ∴又1=∆ABC S2λ=∆∴∆ABCECD S S ，即2λ=∆CDE S ，又BED ∆与DCE ∆等高，面积之比为λλ=-=)1(:EC BE即：λλ)1(-=∆∆DCE BDE S S λλλλλ+-=⋅-=∴∆221BDE S ,则CDE BDE ABC ABD S S S S ∆∆∆∆--=λλλλ-=-+-=1122,xyO )2,2(A)2,2(-BC图1OC图2O M记：21λ==∆CDE S y)10(22<<+-==∆λλλBDE S yλ-==∆13ABD S y在同一个坐标系中画出图象, 取三个图象的上边沿，如图，由⎩⎨⎧=-=21λλy y 得λλ-=12，012=-+λλ求得:251±-=λ,即215-=λ时 y 取最大值25321511-=--=-=λ. 14.关于x 的不等式x 2－ax －a 2＋1＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】]16,1()1,61[-⋃--.【解析】因为不等式0122<+--a ax x 的解集为A ,且集合中恰好有两个整数,则表明方程0122=+--a ax x 有两个不相等的实数根,即：045)1(4)(222>-=---=∆a a a ,可得：542>a . 设1)(22+--=a ax x x f 的两根为22121211,.,a x x a x x x x -=⋅=+.当012<-a 时,得：1-<a 或1>a .① 当1>a 时,由01,022121<-=⋅>=+a x x a x x （一正一负两实数根）. 结合图象,解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为1,0.则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<0)2(0)1(0)1(0)0(f f f f ，可得a 的解集为]16,1(-；②当1-<a 时,由01,022121<-=⋅<=+a x x a x x （一正一负两实数根）.结合图象：解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为0,1-，则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<-0)1(0)2(0)0(0)1(f f f f ,可得a 的解集为)1,61[--，③当012≥-a 时,即1542≤<a ,得：5521<≤-a 或1552≤<a . （1） 当1=a 时,不等式02<-x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （2） 当1-=a 时,不等式02<+x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （3） 当1552<<a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （4） 当5521<<-a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以,不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. 综上所述,a 的取值范围为]16,1()1,61[-⋃--.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分）已知为坐标原点，，．（1）求的最小正周期；（2）将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且 O 2(2sin ,1),(1,23sin cos 1)OA x OB x x ==-+u u u r u u u r 1()12f x OA OB =-⋅+u u ur u u u r )(x f y =()f x 6π()g x ()π2π5π,,,,6363παβ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦B CA 1B 1C 1M N A，求的值．【解析】（1）由题设有， ，∴函数的最小正周期为．（2）由题设有，又，即，因为所以，∴∴所以16．（本小题14分）如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【解析】 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1． 因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CNAN ＝CMBM ．因为M 为AB 的中点，所以CNAN ＝1，所以N 为AC 中点． (2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3， 故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o，即A 1N ⊥AC ． 在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ． 又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．34(),()55g g αβ==-cos2()1αβ--21()sin 3sin cos 2f x x x x =-++cos23sin 21sin(2)26x x x π+==+)(x f y =22ππ=()sin()3g x x π=+34(),()55g g αβ==-()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ()π2π5π,,,,6363⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ()()π4π3cos ,cos .3535+=-+=αβ()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ()()33447,555525=⋅--⋅-=-()22798cos2()12sin ()2.25625--=--=-⨯-=-αβαβ17.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD ，m ， m ，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？【解析】（1）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）， 当时，即时，.（2）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）.令得，当时，即时.答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短.18. （本小题满分16分）已知椭圆C;221(04)4x y b b+=<<的左右顶点分别为A 、B ，M 为椭圆上的任意一点，A 关于M 的对称点为P ，如图所示，（1）若M 的横坐标为12，且点P 在椭圆的右准线上，求b 的值； （2）若以PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，求b 的取值范围. 【解析】（1）Q M 是AP 的中点， 1,22M A x x ==-，3P x ∴=103AB =33CD =33CFD θ∠=331331tan cos sin cos y θθθθ+==+002πθθ<<<0tan 7θ=2233cos sin sin cos y θθθθ-'=+tan 3θ=34=BE min 8y =CFD θ∠=()33331cos sin sin cos y θθθθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭00θθ<<012333tan 333θ-==()()223333cos sin 331sin cos cos sin sin cos sin cos y θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-'=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y '=sin cos θθ=π4θ=36=BE ()min 6322y =+34=BE 36=BE A ED C B F AE D C BF 图1 图2Q P在椭圆的右准线上，3=，解得209b =. （2）设点P 的坐标为（00,x y ），点M 的坐标为（11,x y ）， 又因为P 关于M 的对称点为A ，所以00112,22x yx y -== 即010122,2x x y y =+=Q PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，∴OM OP ⊥，∴0=*OP OM ，即01010x x y y +=，所以1111(22)20x x y y ++=，即22111y x x =--又因为点M 在椭圆221(04)4x y b b+=<<上，所以221114x y b +=，即221122114414y y b x x ==--， 所以2111122211111144144[1]4[1]4[1]1244(4)8(4)12(4)84x x x x b x x x x x x +++==+=+=+--+-++++-+，因为122x -<<，所以1246x <+<， 所以1112484x x ≤++<+， 所以11112(4)84x x ≤++-+111(12(4)84x x ∈-∞++-+所以(,4(1b ∈-∞+，即(,2b ∈-∞-又因为04b <<，所以(0,2b ∈-19. （本小题满分16分）已知数列}{,32}{2n n n b n n S n a 数列项和的前-=是正项等比数列，满足.)(,112311b a a b b a =--=（1）求数列}{}{n n b a 和的通项公式；（2）记M c N n M b a c n n n n ≤∈⋅=,,,*使得对一切是否存在正整数恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）数列{a n }的前n 项和n n S n 322-=，)2,(541≥∈-=-=∴-n N n n S S a n n n …2分又11-==S a n ，)(54}{*N n n a a n n ∈-=∴的通项公式为数列}{n b 数列Θ是正项等比数列，41,4,131211=∴=-=-=b a a a b ， 公比21=q ，数列)(21}{*1N n b b n n n ∈=-的通项公式为（2）解法一：1254--=⋅=n n n n n b a c ， 由2,024925421411≤≥-=---=--+n nn n c c nn n n n 得123c c c >>∴，当Λ>>><≥+5431,,3c c c c c n n n 即时，又473=c 故存在正整数M ，使得对一切,,*恒成立M c N n n ≤∈M 的最小值为2. （2）解法二：1254--=⋅=n n n n n b a c ，令21ln )21()54()21(4)(,254)(111⋅⋅-+⋅='-=---x x x x x f x x f ，由69.22ln 1450)(≈+<>'x x f 得，函数.),2ln 145(;)2ln 145,()(上单调递减在上单调递增在+∞++-∞x f对于.}{,,47)3(;23)2(,33232*c c c c f c f c N n n 的最大项是即数列<∴====∈故存在正整数M ，使得对一切M c N n n ≤∈,*恒成立，M 的最小值为2.20、（本小题满分16分） 设函数b a x x x f +-=||)((1) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是022=+b a ；(2) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（I ）充分性：若.||)(,0,022x x x f b a b a ====+所以即时)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立，)(x f ∴是奇函数 必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即.||||b a x x b a x x ---=+---令.0,,0=-==b b b x 所以得 再令.0,0,0||2,22=+=∴==b a a a a a x 即得（II ）a x b ,0,0322时当=∴<-<Θ取任意实数不等式恒成立， 故考虑(].,||,1,0xbx a x b x x b a x x -<<+-<-∈即原不等式变为时(]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+>∈∴)2(.)()1(,)(,1,0min max x b x a xb x a x 满足只需对对（1）式，由b < 0时，在(]xbx x f +=)(,1,0上为增函数， .1)1()(max b f xbx +==+∴ .1b a +>∴ （3）对（2）式，当(].2,1,0,01b xbx x b x b -≥-+=-<≤-上在时当min ,()b bx x x x x =-=∴-= .2b a -<∴ （4）由（3）、（4），要使a 存在，必须有.2231.01,21+-<≤-⎩⎨⎧<≤--<+b b b b 即∴当.21,2231b a b b -<<++-<≤-时 当(]xbx x f b -=-<)(,1,0,1上在时为减函数，（证明略）min ()(1)1.1,11.bx f b b b a b x∴-==-∴<-+<<-当时综上所述，当a b ,3221时-<≤-的取值范围是)2,1(b b -+； 当a b ,1时-<的取值范围是).1,1(b b -+解法二：.||,322],1,0[,0||)(b a x x b x b a x x x f -<--<∈<+-=即恒成立 由于b 是负数，故.,22b ax x b ax x >--<-且（1）b ax x x g b x b ax x +-=-<∈-<-22)(,322],1,0[设恒成立在，则⎪⎩⎪⎨⎧><+-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<)3(.4)2(,01)1(,0.044,0)1(,0)0(22b a b a b a b g g 即，其中（1），（3）显然成立，由（2），得.1b a +>（*）…10分 （2）b ax x x h b x b ax x --=-<∈>--22)(,322],1,0[0设恒成立在，①.0,0)0(,02<⎪⎩⎪⎨⎧><a h a 即 综合（*），得a b a b b ,3221;01,1时时-<≤-<<+-<值不存在②.22,20.044,1202⎩⎨⎧-<<--≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤b a b a a b a 即 综合（*），得.21,3221;20,1b a b b a b -<<+-<≤-≤<-<时时③⎩⎨⎧-<>⎪⎩⎪⎨⎧>>.1,2.0)1(,12b a a h a即综合（*），得a b b a b ,3221;12,1时时-<≤--<<-<不存在 . 综上，得.11,1;21,3221b a b b b a b b -<<+-<-<<+-<≤-时时数学Ⅱ附加题21.选做题，本题包括A,B,C 三小题，请选其中两小题作答。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
湖南省永州市2020年高考第三次模拟考试试卷数学(理科)试题及答案解析完整版
，得
h m
c
a
a
（2）
(1),(2)两式相乘得
1 2
c c
a a
，即
c
3a
，离心率为
3.选
B.
11．解析： x 0, ，
x
3
3
,
3
，令
z
x
3
，则
z
3
,
3
由题意， sin
z
1 2
在
3
,
3
上只能有两解
z= 5 6
和
z
13 6
13 6
17 36
，（*）因为在
z
3
CE = AE = 3 ，OE 1
则D(0,
2,1) ， E(0, 0,1) ， A(
2, 0, 0) ， C(0,
2, 0) ，
AD ( 2, 2,1) ， AE ( 2, 0,1) ， CA ( 2, 2, 0)，
则 CA ( 2, 2, 0) 为平面 ABD的一个法向量，
设平面
ADE
即四边形 GFDE 为平行四边形，故 GE / /DF
2分
CE = AE ， GE AC ，又 GE / / DF ，则 DF AC
4分
（2） 平面 BCED 平面 ABC ，平面 BCED 平面 ABC = BC , DB BC ， DB 平面 ABC ，又 AC 平面 ABC ， DB AC ，又 DF AC BD DF D ， BD ， DF 平面 ABD ∴AC⊥平面 ABD
13．解析：展开式通项 C5r (
x )5r
(
2)r x
C5r
(2)r
x
2020年高考理科数学模拟卷及答案详细解析
日平均睡眠时间分组
[4，5）
[5，6）
[6，7）
[7，8）
[8，9）
[9，10]
频数
13
28
49
56
42
12
（1）填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为给市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；
年龄在区间[20，40）
绝密★启用前
2020年高考理科数学模拟卷及答案解析
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一．选择题（共12小题）
1．已知集合A={x|x2﹣4x+3≤0}，B={x∈N|﹣1＜x＜3}，则A∩B中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2的一个根，则实数m的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
3．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面ACC1A1；
（2）求平面AB1C1与平面ADE所成角二面角的余弦值．
2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (14)
5 23．22．选修 4－1：几何证明选讲
如图：四边形 是边长为 的正方形，以 为圆心， 为半径的圆弧与以 为直径的圆 交 于点 ，连接 并延长 交于 点 （1）求证： 是 的中点 （2）求线段 的长 【参考答案】 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。）
12
4
故选： D
【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形
和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求
解.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
x
x
1 x3 (1 2x)
1 1 x3
1 (1 2x)
,分别根据
1 1 2x 4x2 1 2x
5 ，求 CQ 的值．
5
CP
19．在数列 an
中，已知
a1
1 3
,
an1
1 3
an
2 3n1
,
n
N*
，设
Sn
为 an
的前
n
项和．
(1)求证：数列 3n an 是等差数列；
(2)求 Sn ； (3)是否存在正整数 p, q, r( p q r) ，使 S p , Sq , Sr 成等差数列？若存在，求出 p, q, r 的值；若 不存在，说明理由．
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)
2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．22．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．33．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．102410246．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣21012．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．2【分析】推导出3是方程x2﹣x+m＝0的一个根，从而32﹣3+m＝0，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜8}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以32﹣3+m＝0，解得m＝﹣6，故选：A．2．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a 值．解：∵（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（a+2）i＝5+4i，∴，解得a＝3，故选：D．3．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解a，即可求解双曲线的离心率．解：椭圆的焦点坐标为（2，4），（﹣2，0），所以4＝a+a﹣2，解得a＝5，离心率，故选：A．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）【分析】先判断括号内的大小关系，再借助于单调性即可得到结论．解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，由可得，故选：C．5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．10241024【分析】根据乘法原理解题．解：每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，根据乘法原理可得表示出不同图案的个数为2×2×…×2＝21024，故选：B．6．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．【分析】利用等差数列的求和公式、不等式的解法即可得出．解：∵S5＝5a2+d＝5a1+10d＝2（2﹣d）+10d＝10+5d，∴15＜5d+10＜25，解得1＜d＜3．故选：C．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．解：由题意建立如图所示直角坐标系，，设，所以，解得．所以解得故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可知，n＝1，；n＝7；；n＝5，，n＝7，S＝0；n＝9，；所以周期为8，又2020＝8×252+4，故选：D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线EF与BG所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则E（1，0，1），F（0，2，2），G（0，0，1），B（1，4，0），，所以，故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故选：D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣210【分析】先把原式化简，再根据二项式的特点，求解即可．解：因为，a4即为（x﹣1）7展开式中x4的系数，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，方程方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，等价于y＝f （x）与y＝mx+m﹣恰有4个交点，求出直线y＝mx+m﹣与y＝lnx相切时m的值及过原点时m的值，即可求出m的取值范围．解：画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，而是斜率为m，过定点的直线，设切点坐标为（a，ln（a+1）），＝，又点在切线上，代入可解得a＝﹣2，当直线过原点，即图中l2，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内的点与原点连线的斜率，，k OB＝3，点B不在可行域内，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为±1．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．解：因为，其中，所以f（x）的最大值为，解得a＝±1．故答案为：±1．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝n2．【分析】由S n+1＝4S n+2，可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2，两式相减可得a n+1＝4a n（n ≥2）．利用等比数列的通项公式可得a n，进而得出b n，利用等差数列的求和公式即可得出T n．解：由S n+1＝4S n+2①可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2②，①﹣②得S n+1﹣S n＝4•（S n﹣S n﹣1），即a n+3＝4a n（n≥2）．又a1＝5，所以a2＝3S3+2＝3a1+2＝8，则a5＝4a1，所以，b n＝log3a n＝2n﹣1，故答案为：n2．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为﹣1；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆的半径，利用二次函数求最值可得圆的半径的最大值，即可得到圆面积最大时的a值；再由圆心在直线上可得关于m与n的等式，然后利用基本不等式求最值．解：圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+8a2＝0的方程可化为[x+（a﹣1）]2+（y﹣6）2＝﹣a8﹣2a+37，当a＝﹣1时，﹣a2﹣2a+37取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大；∵圆C关于直线l：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞8）对称，又m＞0，n＞0，当且仅当时，即时取等号，即的最大值为．故答案为：﹣1；．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，再根据余弦定理即可求出BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝sin（2θ+30°）﹣，结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S△BCD的最大值，即可求出四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）在△ABD中，因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，则：BD8＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝9+7﹣2×3×2×＝2在△BCD中，因为BD＝，CD＝1，∠BCD＝120°，即7＝BC8+1+BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．所以S△BCD＝BD•BC•sin∠CBD＝sin（60°﹣θ）sinθ＝（cosθ﹣sinθ）sinθ＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝sin（7θ+30°）﹣，∴S△BCD≤，∴四边形ABCD面积的最大值为+＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，证明BD⊥平面POA，从而可得BD⊥PA；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（1）证明：设BD的中点为O，连接OP，OA．因为△ABD，△PBD为等边三角形，所以BD⊥AO，且BD⊥PO．所以BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，（2）解：因为△ABD，△PBD的边长为2，所以，又因为PO⊥BD，AO⊥BD，故OA，OB，OP两两垂直，则，，B（0，1，0），D（0，﹣1，8），C（﹣1，0，0），，设平面BMD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，设平面BMD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴cos＜＞＝＝＝，所以平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P 到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，【解答】．因为，所以，则，．所以，所以k1k2为定值．由（1）知切线PA的方程为①①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），因为点P到直线AB的距离．因为k2+3≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（2）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（3）先求出前7种情况，总结规律，得出结论．解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件M，则．（2）甲在第一轮胜出的概率为；故甲在第二轮胜出的概率为×（××）×＝＝；（3）由（2）知；＝；P3＝×＝．…．当n＝3k+1（k∈N*）时，；同理可得，当n＝3k（k∈N*）时，；当n＝3k+2（k∈N*）时，．当n＝3k+2（k∈N*）时，P n＜Q n．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）代入a的值，求出f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）结合a，b的范围，问题转化为可证e x＞ln（x+2）成立，设h（x）＝e x﹣ln（x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x．因为f'（x）＝e x，所以f'（0）＝1，f（2）＝1．即x﹣y+1＝0．当b≤2时，ln（x+b）≤ln（x+2），设h（x）＝e x﹣ln（x+2），则，又因为，，即．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．又因为，ln（x0+2）＝﹣x0，所以当x∈（﹣2，+∞）时h（x）＞0，即e x＞ln（x+7）．所以当a≥1，b≤2时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x﹣3y﹣8＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y2＝2x（x≠0）．所以点P在曲线C1上．将曲线C6的参数方程（t为参数）代入y2＝2x，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，．所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）≤2，利用零点分段法，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max＞|a+2|，得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由题意得|x﹣1|﹣2|x+2|≤2．①当x≥1时，不等式|x﹣2|﹣2|x+1|≤2可化为x﹣1﹣2x﹣4≤2，解得x≥﹣5，所以x≥1．②当﹣1≤x＜1时，不等式|x﹣1|﹣5|x+1|≤2可化为1﹣x﹣2x﹣2≤7，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜1．③当x＜﹣1时，不等式|x﹣1|﹣2|x+3|≤2可化为1﹣x+2x+2≤2，解得x≤﹣2，所以x＜﹣1．（2）由（1）知，对于任意x∈R，f（x）≤2，且当x＝﹣1时取等号，关于x的不等式f（x）＞|a+7|的解集不是空集，所以实数a的取值范围为（﹣4，0）．。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C. 110D. 310【答案】D【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A. 14230.1,0.4p p p p ====B. 14230.4,0.1p p p p ====C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C 【解析】 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t KI t K e**--==+，则()0.235319t e *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （14，0） B. （12，0） C. （1，0） D. （2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件OD OE ⊥，结合抛物线的对称性，可知4COx COx π∠=∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,C D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx π∠=∠=，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ）A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值.【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B. 13C. 12D.23【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222cos 2AB BC AC B AB BC+-=⋅，即可求得答案.【详解】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB ===∴ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：632=⨯++.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 9.已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2B. –1C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 10.若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +12C. y =12x +1 D. y =12x +12【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x -=-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.11.设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.【详解】5ca=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由题意可知a、b、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，则z =3x +2y 的最大值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决. 【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯= 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项. 【详解】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅ 1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】 【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，的其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点， 设内切圆的圆心为O ，由于AM ==，故122S =⨯⨯=△ABC， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOCS S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()13322r =⨯++⨯= 解得：22r，其体积：343V r π==.. 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连接1C E 、1C F ，证明出四边形1AEC F 为平行四边形，进而可证得点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系1C xyz -，利用空间向量法可计算出二面角1A EF A --的余弦值，进而可求得二面角1A EF A --的正弦值. 【详解】（1）在棱1CC 上取点G ，使得112C G CG =，连接DG 、FG 、1C E 、1C F ，在长方体1111ABCD A B C D -中，//AD BC 且AD BC =，11//BB CC 且11BB CC =，112C G CG =，12BF FB =，112233CG CC BB BF ∴===且CG BF =，所以，四边形BCGF 为平行四边形，则//AF DG 且AF DG =， 同理可证四边形1DEC G 为平行四边形，1//C E DG ∴且1C E DG =，1//C E AF ∴且1C E AF =，则四边形1AEC F 为平行四边形，因此，点1C 在平面AEF 内；（2）以点1C 为坐标原点，11C D 、11C B 、1C C 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系1C xyz -，则()2,1,3A 、()12,1,0A 、()2,0,2E 、()0,1,1F ，()0,1,1AE =--，()2,0,2AF =--，()10,1,2A E =-，()12,0,1A F =-，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，由0m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11110220y z x z --=⎧⎨--=⎩取11z =-，得111x y ==，则()1,1,1m =-，设平面1A EF 的法向量为()222,,n x y z =，由1100n A E n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取22z =，得21x =，24y =，则()1,4,2n =，3cos ,3m n m n m n⋅<>===⨯⋅， 设二面角1A EFA --的平面角为θ，则cos θ=，sin θ∴==因此，二面角1A EF A --. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52. 【解析】 【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m +=<<，可得5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【详解】（1）222:1(05)25x y C mm +=<<∴5a =，bm =，根据离心率c e a ====， 解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥，90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒，90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”， 可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y+=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或(3,1)-，①当P 点为(3,1)时， 故532MB =-=，PMB BNQ ≅△△， ∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)， 画出图象，如图(5,0)A -,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：d =， 根据两点间距离公式可得：AQ ==，∴APQ面积为：1522⨯=；②当P 点(3,1)-时，故5+38MB ==，PMB BNQ ≅△△， ∴||||8MB NQ ==，为可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A-,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400x y-+=，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=，根据两点间距离公式可得：AQ ==∴APQ面积为：1522=，综上所述，APQ面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.设函数3()f x x bx c=++，曲线()y f x=在点(12，f(12))处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若()f x有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b=-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到'1()02f=，解方程即可；（2）由（1）可得'2311()32()()422f x x x x=-=+-，易知()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可.【详解】（1）因为'2()3f x x b=+，由题意，'1()02f=，即21302b⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭则34b=-；（2）由（1）可得33()4f x x x c=-+，'2311()33()()422f x x x x=-=+-，令'()0f x>，得12x>或21x<-；令'()0f x<，得1122x-<<，所以()f x在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c-=--=+=-=+，若()f x所有零点中存在一个绝对值大于1的零点x，则(1)0f->或(1)0f<，即14c>或14c<-.当14c>时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=-++=-<，由零点存在性定理知()f x在(4,1)c--上存在唯一一个零点x，即()f x在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c<-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c-=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c-=++=->，由零点存在性定理知()f x在(1,4)c-上存在唯一一个零点x'，即()f x (1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾； 综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点． （1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+=【解析】 【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A .令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)ABk -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=， ()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. ,,a b c 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.在祝福语祝你考试成功!。
2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)
2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b|D．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x|D．f（x）＝e2x 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4B．5C．10D．155．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4B．.2C．.1D．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为（）A．1B．2C．ae﹣1D．1﹣2ae10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A．y＝0.25x B．y＝1.002xC．y＝log7x+1D．11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2D．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1B．C．3D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．16．若函数有且仅有一个零点，则实数m的取值范围．三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．20．已知函数．（1）求函数f（x）在区间[1，+∞）上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足，求f（x1x2）的最小值．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若，求证：f（x）＞ax（lnx﹣x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|+5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{x∈N*|x≤3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．（0，3]D．（3，4]【解答】解：由题意得：A＝{x∈N*|x≤3}＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1，2，3}，故选：A．2．若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A．B．ab＞a2C．|a|+|b|＞|a+b|D．【解答】解：∵b＜a＜0，∴＜，ab＞a2，由函数y＝在R上单调递增，可得：＜．设a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|+|b|＝|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．故选：C．3．下列函数中的定义域为R，且在R上单调递增的是（）A．f（x）＝x2B．C．f（x）＝ln|x|D．f（x）＝e2x【解答】解：由f（x）＝的定义域为[0，+∞），不符合题意，C：函数的定义域x≠0，不符合题意，A：y＝x2在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增，不符合题意，故选：D．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，S3＝3，则a6＝（）A．4B．5C．10D．15【解答】解：由题意得，解得a1＝0，d＝1，∴a6＝a1+5d＝5．故选：B．5．已知函数，若f（﹣m）＝2，则f（m）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【解答】解：∵，∴f（﹣x）+f（x）＝+＝＝1，∵f（﹣m）＝2，∴f（m）＝﹣1．故选：B．6．已知命题p：函数的最小值为；命题q：若向量，，满足•＝•，则＝．下列正确的是（）A．￢p∧q B．p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：由题意得：命题p：函数，由基本不等式成立的条件，y≥2＝2，知等号取不到，所以p命题是假的；命题q：若向量，，满足＝，∴，，有可能是零向量或者，所以q是错误的．∴￢p∧q，p∨q，p∧￢q，是假命题，￢p∧￢q为真命题；故选：D．7．若，b＝3﹣0.8，c＝ln3，则a，b，c的大小关系（）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：由指数函数y＝在R上单调递减，又，b＝3﹣0.8＝，∴1＞a＞b．c＝ln3∈（1，2）∴c＞a＞b．故选：B．8．已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．.4B．.2C．.1D．【解答】解：先根据x，y满足线性约束条件画出可行域，平移直线0＝2x+y，当直线z＝2x+y过点B（0，1）时，z取最小值为1．故选：C．9．设函数f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l 在y轴上的截距为（）A．1B．2C．ae﹣1D．1﹣2ae【解答】解：由f（x）＝ae x﹣lnx，得，∴f′（1）＝ae﹣1，又x＝1时，f（1）＝ae，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（ae）＝（ae﹣1）（x﹣1），取x＝0，得在y轴上截距y＝（ae﹣1）（0﹣1）+ae＝1．故选：A．10．某数学小组进行社会实践调查，了解某公司为了实现1000万元利率目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：1.0021000≈7.37，lg7≈0.845）（）A．y＝0.25x B．y＝1.002xC．y＝log7x+1D．【解答】解：由题意得：有两个条件①奖金y≤5；②奖金y≤0.25x．且10≤x≤1000．A选项，当x≥20时，y≥5，不符合题意．B选项，当x＝1000时，1.0021000≈7.37，也超出了5，不符合题意．D选项，当x＝1000时，＝y＝tan（2）是一个负数，不符合题意．故选：C．11．函数在上单调递增，且图象关于x＝﹣π对称，则ω的值为（）A．B．C．2D．【解答】解：要使函数的递增，则，化简得：，已知在单增，所以．又因为图象关于x＝﹣π对称，，所以，因为ω＞0，此时k＝﹣1，所以，故选：A．12．在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是（）A．1B．C．3D．【解答】解：由λ＝﹣可得：＝λ+，∵B，C，D三点共线，故λ+＝1，即λ＝．∴＝+．以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D（3，），设B（m，0），C（n，n），由＝+得：，解得m＝3，n＝3．故B（3，0），∴在上的投影为|AB|cos30°＝．故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，则f（7）＝e．【解答】解：因为f（x）＝f（x+2），周期T＝2，当x∈[0，2]时，f（x）＝e x，∴f（7）＝f（1）＝e．故答案为：e．14．已知向量＝（﹣2，2），向量的模为1，且|﹣2|＝2，则与的夹角为．【解答】解：由已知得：||＝2，||＝1，|﹣2|＝2，2﹣4+42＝4，∴设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，＝2＝2•1•cosθ，∴cosθ＝，θ＝，故答案为：．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，则直升机飞行的高度为（结果保留根号）．【解答】解：如图由题上条件可得线AC平行于东西方向，∠ABD＝60°，∠CBD＝75°；AC＝72；∴∠ABC＝135°；∠BAC＝30°；在△ABC中，＝⇒＝⇒BC＝＝72．如图D1C⊥平面ABC，在直角△BD1C中，tan∠D1BC＝＝⇒h＝BC•tan∠D1BC＝72×tan∠30°＝．故答案为：．16．若函数有且仅有一个零点，则实数m的取值范围{m|m＝﹣或m≥0}．【解答】解：令u（x）＝x﹣lnx，x＞0；则u'（x）＝，∴0＜x＜1时，u'（x）＜0；x＞1时，u'（x）＞0；于是u（x）＝x﹣lnx在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；最小值为u（1）＝1＞0，∴∀x∈（0，+∞），x﹣lnx＞0；由f（x）＝0，即+m（lnx﹣x）﹣x＝0，解得：m＝；设g（x）＝，y＝m；由于函数有且仅有一个零点；所以直线y＝m与函数g（x）有且只有一个交点；由g'（x）＝，此时不能完全判断导函数值的正负；再令h（x）＝x+2﹣2lnx，得h'（x）＝，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0；于是，h（x）在（0，2）上递减，（2，+∞）上递增．那么h（x）≥h（2）＝2（2﹣ln2）＞0．由此，g'（x）的正负只同x﹣1有关，由此得g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，且g（x）的极小值为g（1）＝﹣；又x→0时，g（x）→0；x→+∞时，g（x）→+∞；g（x）图象大值如图所示，结合g（x）的图象，得m≥0或m＝﹣．故答案为：{m|m＝﹣或m≥0}．三、填空题：共70分．17．已知函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）若f（x0）＝﹣1，且，求x0的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝（cos x﹣sin x）2﹣2sin2x＝1﹣2sin x cos x﹣2•＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，又函数y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）若f（x0）＝﹣1，则cos（2x0+）＝﹣1，即cos（2x0+）＝﹣，再由，可得2x0+∈（﹣，﹣）；所以2x0+＝﹣，解得x0＝﹣．18．已知数列{a n}满足，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}满足，可得a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d＝＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；数列{b n}的前n项和，可得b1＝S1＝4﹣2＝2；n≥2时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1﹣2﹣2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N*；（2）＝22n﹣1+n，则前n项和T n＝（2+8+…+22n﹣1）+（1+2+…+n）＝+n（n+1）＝（4n﹣1）+（n2+n）．19．已知△ABC中三个内角A，B，C满足．（1）求sin B；（2）若，b是角B的对边，，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵．sin（A+C）＝sin B，∴cos B＝sin B+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sin B﹣1＝0，1＞sin B＞0．联立解得sin B＝．（2），又A+B+C＝π，可得：2A＝﹣B，C为钝角．∴sin2A＝cos B．又，∴＝＝＝3，∴a＝3sin A，c＝3sin C，B为锐角，∴cos B＝．∴△ABC的面积S＝ac sin B＝×3sin A×3sin C×＝sin A sin（+A）＝sin A cos A＝sin2A＝cos B＝×＝．∴∴△ABC的面积S为．20．已知函数．（1）求函数f（x）在区间[1，+∞）上的值域；（2）若实数x1，x2均大于1且满足，求f（x1x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝，由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，∴0＜，即﹣2≤﹣，∴﹣1≤1﹣＜1，∴f（x）的值域为[﹣1，1）．（2）f（x1）+f（x2）＝1﹣+1﹣＝，所以，又x1＞1，x2＞1，∴lnx1x2＝lnx1+lnx2＝lnx1+2+lnx2+2﹣4＝，＝≥，当且仅当，即x1＝x2时，取“＝”，故（x1x2）min＝e，∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴f（x1x2）min＝．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2，a∈R，x∈（0，+∞）．（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若，求证：f（x）＞ax（lnx﹣x）．【解答】解：（1）：∵f′（x）＝e x﹣2ax＝x（﹣2a），令H（x）＝，则H′（x）＝，当0＜x＜1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减，且x→0时，H（x）→+∞，当x＞1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增，且x→+∞时，H（x）→+∞，∴H（x）min＝H（1）＝e，①当2a≤e即a时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有极值，②当a＞时，存在0＜x1＜1＜x2，使得f′（x1）＝f′（x2）＝0，当x∈（0，x1），（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴x2是f（x）的极小值，综上可得，a（2）要证f（x）＞ax（lnx﹣x），即证e x＞axlnx，①当0＜x≤1时，e x＞1，axlnx≤0，显然成立，②当x＞1时，xlnx＞0，结合已知0＜a可得，0＜axlnx，于是问题转化为，即证，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2e x﹣2（x﹣1）﹣x，则h′（x）＝2xe x﹣2﹣1，且在（0，+∞）上单调递增，∵＜0，h′（2）＝3＞0，存在x0∈（1，2）使得h（x0）＝0，即＝1，∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，又h（1）＝﹣1＜0，h（2）＝0，故当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）≥g（2）＝1﹣ln2＞0，故g（x）＞0，得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）由，两边平方作和得，，∴曲线C的普通方程为x2+y2＝4．∵x2+y2＝ρ2，∴ρ2＝4，则ρ＝2；（2）把代入，可得，解得．即B点的极径为．由（1）得ρA＝2，∴|AB|＝|ρA﹣ρB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣m|+|x+1|+5（m∈R）．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≥﹣2，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+1|＝5，当x≤﹣1，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）﹣5≥0，解得x≤﹣2；当﹣1＜x＜2，f（x）＝﹣（x﹣2）+x+1﹣5≥0，无解；当x≥2时，f（x）＝x﹣2+x+1﹣5≥0，解得x≥3；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．（2）由f（x）＝|x﹣m|+|x+1|﹣5≥|（x﹣m）﹣（x+1）|﹣5＝|m+1|﹣5≥﹣2，所以|m+1|≥3，即m≥2或者m≤﹣4．。
2020年河南省洛阳市高考(理科)数学三模试卷 (解析版)
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√24．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√27．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973． A ．2.718 B ．6.827C ．8.186D ．9.5459．（2x +1）（x 3√x）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．1010．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3] B ．（1，√3] C ．（√32，32）D ．（12，√32）11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√312．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x +lnx+1x，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为 ．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 ．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF →=2FB →，则直线l 的斜率为 ．16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD =√3，BC ＝AD =√5，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC ，AD ，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为−3 4．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝a（x﹣1）．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）设x n＝n2（n∈N*），点A n（x n，f（x n）），点A n+1（x n+1，f（x n+1）），直线A n A n+1的斜率为k n，求证：k1+k2+…+k n＜2（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点A（2，1），点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．（1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a2+b2+c2≥16．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（ ）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[﹣3，﹣2）． 故选：A ．2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（ ） A ．−23B ．−43C ．25D ．45【分析】根据两直线垂直求出sin α与cos α的关系，计算tan α的值，再求tan2α的值． 解：直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0， 若l 1⊥l 2，则sin α﹣2cos α＝0， 即sin α＝2cos α， 所以tan α＝2， 所以tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43． 故选：B ．3．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．√3D ．√2【分析】满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，再利用数形结合法即可求出结果． 解：满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，如图所示：由OA ＝2，利用点圆的位置关系，|z ﹣1+√3i |的最小值为2﹣1＝1， 故选：B ．4．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（ ） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案． 解：对于A ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m 与n 相交时，才有结论α∥β，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α∥β或α与β相交，故C 错误； 对于D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又α∥β，则n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（ ） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x 4﹣2x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝x 4﹣2x 2＝f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）＝4x 3﹣4x ＝4x （x 2﹣1），在区间（0，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，不符合题意；对于B ，f （x ）=e x +e −x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）=e x +e −x2=f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）=e x −e −x2，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，符合题意；对于C ，f （x ）＝x sin x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），是偶函数，有f （π2）=π2＞0，但f （3π2）=−3π2＜0，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D ，（x ）=13x 2+cos x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）=13（﹣x ）2+cos （﹣x ）=13x 2+cos x＝f （x ），是偶函数，有f （0）＝1，f （π3）=π227+12＜1，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意； 故选：B ．6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2【分析】根据题意，分析圆C 的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4的半径r ＝2，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离为2，直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d =√2−2−(−4)|1+1=2+√2，又由圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交，则圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离d ′=√2，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为2×√4−2=2√2； 故选：D ．7．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（ ） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数【分析】求出函数f （x ）的导函数g （x ），再分别判断f （x ）、g （x ）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．解：函数f （x ）＝sin x +cos x ，∴g （x ）＝f '（x ）＝cos x ﹣sin x ，对于A ，f （x ）=√2sin （x +π4），g （x ）=−√2sin （x −π4），两函数的值域相同，都是[−√2，√2]，周期也相同；A 正确；对于B ，若x 0是函数g （x ）的零点，则x 0−π4=k π，k ∈Z ； 解得x 0＝k π+π4，k ∈Z ；，f （x 0）=√2sin （k π+π4+π4）＝±√2， ∴x 0也是函数f （x ）的极值点，B 正确； 对于C ，把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，得f （x +π2）＝sin （x +π2）+cos （x +π2）＝cos x ﹣sin x ＝g （x ），∴C 正确； 对于D ，x ∈（−π4，π4）时，x +π4∈（0，π2），f （x ）是单调增函数，x −π4∈（−π2，0），g （x ）是单调递减函数，D 错误． 故选：D ．8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973．A ．2.718B ．6.827C ．8.186D ．9.545【分析】先根据已知数据，求出P （500＜X ≤1500）和P （0＜X ＜2000），然后利用正态分布曲线的特点得P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.8186，而随机变量ξ～B （10，0.8186），最后由二项分布的数学期望求解即可． 解：∵X ～N （1000，5002），∴P （500＜X ≤1500）＝0.6827，P （0＜X ＜2000）＝0.9545，∴P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.6827+0.9545−0.68272=0.8186， 而随机变量ξ～B （10，0.8186）， ∴E （ξ）＝10×0.8186＝8.186． 故选：C ． 9．（2x +1）（x √x ）5的展开式中x 3系数为（ ） A ．180B ．90C ．20D ．10【分析】求出（x x ）5展开式的含x 2与x 3项的系数，再计算（2x +1）（x x）5的展开式中x 3的系数． 解：（x x）5展开式的通项公式为 T r +1=∁5r •x r•（√x）5﹣r ＝35﹣r •∁5r •x3r−52；令3r−52=2，解得r ＝3； 令3r−52=3，解得r 不存在；故（2x +1）（x √x）5的展开式中x 3系数为：2×∁53•35﹣3＝180． 故选：A ．10．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（ ） A ．（0，√3]B ．（1，√3]C ．（√32，32）D ．（12，√32）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sin A ，进而可求A ，结合锐角三角的条件可求B 的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ， 因为sin B ≠0， 故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6， 由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π， 解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）=√32sinB +32cosB=√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ． 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（ ） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√3【分析】设PF 2＝m ，根据条件得PQ =√3m ，QF 2＝2m ，结合双曲线性质PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ，进行整理可得m ＝2（√3−1）a ，再由勾股定理PF 12+PF 22＝F 1F 22，得到（7﹣2√3）a 2＝c 2即可．解：因为PF 1⊥PF 2，∠PQF 2＝30°，所以PQ =√3PF 2，QF 2＝2PF 2， 不妨设PF 2＝m ，则PQ =√3m ，QF 2＝2m ， 根据双曲线定义：PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ， 由PF 1﹣PF 2＝2a 得PF 1＝2a +m ，由QF 2﹣QF 1＝2a ，得QF 1＝2m ﹣2a ，又因为QF 1＝PF 1﹣PQ ， 即有2m ﹣2a ＝2a +m −√3m ， 所以m ＝2（√3−1）a ，在Rt △PF 1F 2中，PF 12+PF 22＝F 1F 22，即（2a +m ）2+m 2＝4c 2，代入得[2a +2（√3−1）a ]2+4（√3−1）2a 2＝4c 2， 整理得（7﹣2√3）a 2＝c 2，则e 2=c 2a2=7﹣2√3，故选：A ．12．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x+lnx+1x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）【分析】利用导数得到函数f （x ）的单调性和极值，画出函数f （x ）的大致图象，令t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0，由△＞0可知方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m 的取值范围． 解：当x ≤0时，f （x ）＝3x ﹣x 3，则f '（x ）＝3﹣3x 2＝3（1﹣x ）（1+x ）， 令f '（x ）＝0得：x ＝﹣1，∴当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（﹣1，0）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，且f （﹣1）＝﹣2，f （0）＝0， 当x ＞0时，f （x ）=x e x +lnx+1x ，则f '（x ）=1−x e x +−lnx x2，显然f '（1）＝0， ∴当x ∈（0，1）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＜0，f（x ）单调递减，且f （1）=1e+1， 故函数f （x ）的大致图象如图所示：，令t ＝f （x ），则关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0化为关于t 的方程t 2﹣mt ﹣1＝0， ∵△＝m 2+4＞0，∴方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2， 由韦达定理得：t 1+t 2＝m ，t 1t 2＝﹣1＜0，不妨设t 1＞0，t 2＜0， ∵关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根， ∴由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0， 设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{ g(−2)＞0g(0)＜0g(1+1e )＞0，解得：−32＜m ＜2e+1e 2+e， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为π4．【分析】根据平面向量的数量积，求出向量a →、b →夹角的余弦值，再求夹角大小． 解：a →=（1，√3），所以|a →|=√12+(√3)2=2，又|b →|=√2，（a →−b →)⊥b →⊥b →，所以a →•b →−b →2=0， 所以a →•b →=b →2=2， 设向量a →，b →的夹角为θ，则cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=2×2=√22， 又θ∈[0，π]， 所以θ=π4． 故答案为：π4．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 58．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z =y+1x+1的几何意义进行求解即可． 解：z =y+1x+1的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA 的斜率最大，由{x −y −1=02x +y −4=0，解得A （53，23）则PA 的斜率k =23+153+1=58，k 的最大值为58， 故答案为：58．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF→=2FB→，则直线l的斜率为﹣2√2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得y1，y2的关系，消去y1，y2，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．解：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2（y1＜0，y2＞0），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①又AF→=2FB→，可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2，②由①②可得m＜0，y1＝8m，y2＝﹣4m，﹣32m2＝﹣4，解得m=−√24，则直线l的斜率为﹣2√2，故答案为：﹣2√2．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√3，BC＝AD=√5，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为√32．【分析】把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．解：把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，如图，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且平面MNPQ ⊥EF ， 可知MN ∥PQ ，PN ∥QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形， 再由平行线截线段成比例，可得|PN |+|PQ |＝|AB |＝2．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为60°，则∠NPQ ＝60°．∴S 四边形MNPQ ＝|PN |•|PQ |•sin60°≤√32⋅(|PN|+|PQ|2)2=√32．当且仅当PN |＝|PQ |＝1时上式等号成立． ∴四边形MNPQ 面积的最大值为√32． 故答案为：√32． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足S n +1＝2S n +n +1． （1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）令b n ＝n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由S n +1＝2S n +n +1⇒S n ＝2S n ﹣1+n ，两式相减得a n +1＝2a n +1，进而证明结论；（2）由（1）可得a n +1＝2n ，∴b n ＝n •2n ，再利用错位相减法求出T n 即可． 解：（1）证明：∵S n +1＝2S n +n +1①， ∴当 n ≥2 时，S n ＝2S n ﹣1+n ②， 由①一②得，a n +1＝2a n +1，n ≥2，∴a n +1+1＝2a n +1+1，n ≥2，即a n +1+1＝2（a n +1），n ≥2． 又a 1+a 2＝2a 1+2，a 1＝1，∴a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1）也适合，∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知a n+1＝2n，∴b n＝n•2n．∴T n＝1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n③，∴2T n＝1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）•2n+n•2n+1④，由③﹣④得：﹣Tn＝1×21+1×22+1×23+…+1×2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．【分析】（1）先根据勾股定理可得BE⊥B1E，结合长方体的性质可得BE⊥B1C1，进而可证BE⊥平面B1C1E，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CB1E及平面B1C1E的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：∵AE＝1，A1E＝2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1E=√A1E2+A1B12=√6，BE=√AE2+AB2=√3，∴B1B2=B1E2+BE2，即BE⊥B1E，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面A1ABB1，BE⊂平面A1ABB1，∴BE⊥B1C1，又B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1C1E，又无论点F位置如何，EF⊂平面B1C1E，∴BE ⊥EF ；（2）如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1（√2，√2，3），E （√2，0，1），C （0，√2，0），B （√2，√2，0），CB 1→=（√2，0，3），EB 1→=（0，√2，2），设平面CB 1E 的法向量为n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅CB 1→=0n →⋅EB 1→=0，即{√2x +3z =0√2y +2z =0，令z =√2，则x ＝﹣3，y ＝﹣2，可得平面CB 1E 的一个法向量为n →=(−3，−2，√2)， 由（1）可知，BE ⊥平面B 1C 1E ，所以平面B 1C 1E 的一个法向量BE →=(0，−√2，1)， ∴cos ＜BE →，n →＞=BE →，⋅n→|BE →|⋅|n →|=3√23×√15=√105，即二面角C ﹣B 1E ﹣C 1的余弦值√105．19．已知平面内动点P 与点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率之积为−34． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F （1，0）的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34可得关于x ，y 的关系式，得到动点P 的轨迹E 的方程；（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD 方程，求得M ，N 的坐标，结合根与系数的关系得到|MN |，求出线段MN 中点的坐标，可得以MN 为直径的圆的方程，求出以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．验证当PQ ⊥x 轴时成立，可得以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）． 解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34，得y x+2⋅yx−2=−34，整理得x 24+y 23=1（ x ≠±2）， 即动点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1（ x ≠±2）；证明：（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 与曲线E 的方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x ﹣4k 2﹣12＝0． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2．直线AP 的方程为y y 1=x+2x 1+2，令x ＝4，得y =6y 1x 1+2，即M(4，6y 1x 1+2)，同理N(4，6y 2x 2+2)． ∴|MN|=6y2x 2+2−6y1x 1+2 ＝6|k[(x 2−1)(x 1+2)−(x 1−1)(x 2+2)]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=18|k(x 2−x 1)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|，|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√64k2(3+4k 2)2−4×4k 2−123+4k2=12√1+k 23+4k 2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=|4k 2−123+4k 2+2×8k 23+4k 2+4|=36k 23+4k 2． ∴|MN |=6√1+k 2|k|．线段MN 中点的纵坐标为12（6y 1x 1+2+6y 2x 2+2）=3k ⋅(x 1−1x 1+2+x 2−1x 2+2）=−3k．故以MN 为直径的圆的方程为：（x ﹣4）2+(y +3k )2=9(1+k 2)k2． 令y ＝0得：（x ﹣4）2＝9，解得x ＝1或x ＝7． 此时以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．当PQ ⊥x 轴时，P(1，32)，Q(1，−32)，M(4，3)，N(4，−3)． 则以MN 为直径的圆的方程为（x ﹣4）2+y 2＝9，也过点D ，E ． ∴以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．【分析】（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较E（X），E（Y），推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解：（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则P(A)=16，P(B)=16×16+16×16=118，P(C)=16×16×16=1216，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A+B+C，其概率为P（A+B+C）=16+118+1216=49216．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，P（x＝3）=18，P（x＝1）=78，则X的分布列为：X31P187 8E（X）＝3×18+1×78=54．方案二：设获得奖励畅销书的本数为YP（X＝5）=18，P（x＝0）=78，则Y的分布列为：Y 5P1878E （Y ）＝5×18+0×78=58，∵E （X ）＞E （Y ），∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励． 21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈一、选择题*），点A n （x n ，f （x n ）），点A n +1（x n +1，f （x n +1）），直线A n A n +1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．【分析】（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a 的取值即可； （2）求出k n ，结合ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2，得到k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ，不等式放缩证明即可．解：（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）， F （x ）＝lnx ﹣a （x ﹣1），F ′（x ）=1x −a =1−axx，……（1分） 若a ≤0时，当x ＞1 时，lnx ﹣a （x ﹣1）＞0，不符合题意…… 若a ＞0，F ′（x ）＞0得0＜x ＜1a，F ′（x ）＜0得x ＞1a， ∴F （x ）在(0，1a)上递增，在（1a，+∞）上递减……∴F （x ）max ＝F （1a）＝ln 1a−a(1a−1)=−lna +a −1≤0⋯⋯令ϕ（x ）＝﹣ln x +x −1，ϕ′(x)=−1x +1=x−1x， ∴ϕ（x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增 ∴ϕ（x ）≥ϕ（1）＝0，∴ϕ（a ）≥0…… ∴ϕ（a ）＝0，a ＝1， 故a 的取值集合为{1}……（2）由题意知，点A n （n 2，lnn 2），点A n +1（（（n +1）2，ln （n +1）2）， k n =ln(n+1)2−lnn 2(n+1)2−n 2=ln(1+2n+1n2)2n+1⋯⋯由（1）知，当a ＝1时，lnx ≤x ﹣1（x ＞0），∴ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2⋯⋯ ∴k n ＜2n+1n 22n+1=1n 2，∴k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ⋯⋯ 而112+122+132+⋯+1n 2≤11+11×2+12×3+⋯+1(n−1)n＝1+（1−12）+（12−13）+…+（1n−1−1n）＝2−1n ＜2，……∴k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√3cosαx =sinα（α为参数），可得x3=cosαy =sinα两边平方相加得：(3)2+y 2＝1，即曲线C 的普通方程为：x 23+y 2＝1．由ρsin(θ+π6)=12可得√32ρsinθ+12ρcosθ=12即直线l 的直角坐标方程为x +√3y −1=0．（2）A （2，1），设点B (√3cosα，sinα)，则点M (2+√3cosα2，1+sinα2)，点M 到直线l 的距离d =|2+√3cosα2+√3(1+sinα)2−1|2=|√32cosα+√32sinα+√322=|√62sin(α+π4)+√32|2． 当sin(α+π4)=1时，的最大值为√6+√34． 即点M 到直线l 的距离的最大值为√6+√34，此时点的坐标为(√62，√22）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． （1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a 2+b 2+c 2≥16．【分析】（1）根据a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1，可得1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ），然后利用基本不等式求出1a+1b+1c的最小值即可；（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2，再结合a +b +2c ＝1，即可证明a 2+b 2+c 2≥16成立．解：（1）∵a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1． 所以1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ）=b a +a b +2c a +a c +2c b +bc+4≥6+4√2， 当且仅当a =b =√2c ，即a =b =2−√22，c =√2−12时等号成立，∴1a+1b+1c的最小值为6+4√2．（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2＝1， 即a 2+b 2+c 2≥16，当且仅当1a=1b=2c，即a =b =16，c =13时等号成立，∴a 2+b 2+c 2≥16成立．。
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析14
2020届新高考数学模拟试卷及答案解析14本文为2020届新高考数学模拟试卷第14套的内容及答案解析。
试卷均按照新高考改革的要求和考试大纲进行设计，旨在帮助同学们更好地适应新高考的考试形式。
一、选择题1. A2. C3. B4. D5. A6. B7. C8. D9. B 10. C二、填空题11. 15 12. 16 13. 42 14. 63 15. 9 16. 8 17. 区间不相交 18. 4 19. 60 20. 3三、解答题21. 解：因为直线l1 ∥平面π，所以直线l1与平面π的任意一条交线在平面π上也垂直于直线l2，所以我们只需找到一个点，使其满足这个条件即可。
22. 解：首先我们可以通过列向量的加法和数乘来计算同一个矩阵A的平方A²。
然后使用矩阵A和A²的乘法来计算所需结果。
计算完毕后，我们可以将结果写成列向量的形式。
23. 解：由已知条件得到方程组：x + y + z = 22x + 3y + z = 33x + 4y + z = 4利用高斯消元法解方程组，得到：x = 1y = 1z = 0所以方程组的解为x = 1, y = 1, z = 0。
24. 解：利用绝对值的性质，我们可以将给定方程进行分类讨论：当x > 2时，原方程变为 x - 2 = x - 2，方程有无数解。
当x = 2时，原方程变为 0 = 0，方程有无数解。
当x < 2时，原方程变为 2 - x = x - 2，化简后得到 -2 = -2，方程无解。
25. 解：根据题意，设小猫的体重为x，小狗的体重为y，则有：x + y = 30y = 2x将第二个等式代入第一个等式，得到：x + 2x = 30解得x = 10，代入第一个等式可得y = 20。
所以小猫的体重为10千克，小狗的体重为20千克。
26. 解：根据题意，事件A表示“小明早上迟到”，事件B表示“小刚早上迟到”。
已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(A∪B) = 0.5。
2020届高考全国卷1数学(理)模拟试卷含答案详解-202全国卷1数学
第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。
2020年四川省成都市高考数学一诊考试(理科)试题Word版含解析
2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣207．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣311．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣112．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．18．（12分）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（I）若直线l1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2020年四川省成都市高考数学一诊考试（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=（）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，A={x|﹣1≤x≤2}，则∁U故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．故选：A．【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题．3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案，属于基础题．4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，∴|PF1|=13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，故选C．【点评】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，∵sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，故选B．【点评】本题考查二倍角的正弦函数，平方关系，以及三角函数值的符号，属于基础题．6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意球、四棱锥、几何体的三视图的性质及构造法的合理应用．8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）=2sin（x﹣+）=2sin（x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z．令k=0，可得g（x）图象的一条对称轴方程是x=，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1BlC1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A【点评】本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣1【分析】由f（x）是偶函数说明函数图象关于y轴对称，由f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f（x）的图象，只要找出函数f（x）的图象与y=|cosπx|在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f（x）与y=|cosπx|在[﹣，]上图象，交点依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，∴x1+x7=﹣2，x2+x6=﹣2，x3+x5=﹣2，x4=﹣1，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=﹣2×3﹣1=﹣7，故选：A【点评】本题考查了函数与方程的综合应用以及函数图象的对称性与奇偶性等知识点，数形结合是解决本题的关键，属中档题12．已知曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，则tln的值为（）A．4e2B．8e C．2 D．8【分析】利用曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+1﹣1也相切，求出t的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣1，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ﹣2 ．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．【点评】此题考查了梯形的面积公式，还考查了学生空间的想象能力及计算技能．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC 中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD 中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，求∠ACB 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列； （Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．【分析】（I ）数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，a n+1+4=2（a n +4），即可得出．（II ）由（I ）可得：a n +4=2n ，可得a n =2n ﹣4，当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0，可得n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n ．【解答】（I ）证明：∵数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4，∴a n+1+4=2（a n +4），∴数列{a n +4}是等比数列，公比与首项为2．（II ）解：由（I ）可得：a n +4=2n ，∴a n =2n ﹣4，∴当n=1时，a 1=﹣2；n ≥2时，a n ≥0， ∴n ≥2时，S n =﹣a 1+a 2+a 3+…+a n =2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n ﹣4） =﹣4（n ﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴S n =2n+1﹣4n+2．n ∈N *．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•云南一模）云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D 的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，甲校的合格率P1乙校的合格率P==96%．2可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=0+1×+2×+3×=．【点评】本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G 为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴λ=，∴存在正实数λ=，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，考查向量方法的运用，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F 与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．且斜率为k的直线l1（I）若直线l的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．【分析】（I ）由题意，直线l 1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k AM =k MN ，A ，M ，N 三点共线．【解答】解：（I ）由题意可知：右焦点F （1，0），E （5，0），M （3，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由直线l 1的倾斜角为，则k=1，直线l 1的方程y=x ﹣1，即x=y+1， 则，整理得：9x 2+8﹣16=0．则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，△ABM 的面积S ，S=•丨FM 丨•丨y 1﹣y 2丨=丨y 1﹣y 2丨==，∴△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）证明：设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1）， 则，整理得：（4+5k 2）x 2﹣10k 2x+5k 2﹣20=0．则x 1+x 2=，x 1x 2=，直线BN ⊥l 于点N ，则N （5，y 2）， 由k AM =，k MN =，而y 2（3﹣x 1）﹣2（﹣y 1）=k （x 2﹣1）（3﹣x 1）+2k （x 1﹣1）=﹣k[x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5]， =﹣k （﹣3×+5），=0， ∴k AM =k MN ，∴A ，M ，N 三点共线．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于a＞，令h（x）=，x≥0，唯一转化为求出a＞h（x），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的最小值min即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=（x+1）ln（x+1）+（1﹣a）x+2﹣a，（x＞0），∴g′（x）=ln（x+1）+2﹣a，当2﹣a≥0即a≤2时，g′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，此时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间，当2﹣a＜0即a＞2时，由g′（x）＞0，得x＞e a﹣2﹣1，由g′（x）＜0，得0＜x＜e a﹣2﹣1，此时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，综上，a≤2时，g（x）在（0，+∞）递增，无递减区间；a＞2时，g（x）在（0，e a﹣2﹣1）递减，在（e a﹣2﹣1，+∞）递增，（Ⅱ）由f（x）＜0，得（x+1）a＞xln（x+1）+x+2，当x≥0时，上式等价于a＞，令h（x）=，x≥0，，由题意，存在x≥0，使得f（x）＜0成立，则只需a＞h（x）min∵h′（x）=，令u （x ）=ln （x+1）+x ﹣，显然u （x ）在[0，+∞）递增，而u （0）=﹣＜0，u （1）=ln2﹣＞0，故存在x 0∈（0，1），使得u （x 0）=0，即ln （x 0+1）=﹣x 0，又当x 0∈[0，x 0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，当x ∈[x 0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，故x=x 0时，h （x ）有极小值（也是最小值），故h （x ）min =，故a ≥=，x 0∈（0，1），而2＜＜3，故a 的最小整数值是3．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α≠）的直线l 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣4sin θ=0．（I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （1，0）．若点M 的极坐标为（1，），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为Q ，求|PQ|的值．【分析】（Ⅰ）直线l 的参数方程消去参数t ，能求出直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l 的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法及应用，考查两点间距离公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，涉及基本不等式的性质与应用，关键是正确求出函数f（x）的最小值。
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A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】 【分析】 结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60°角的异面直线一一列出，即得答案． 【详解】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 A1B 异面且夹角成 60°的直线有： AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条． 故选 B．
3
2
故选 D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《 九章算术注》 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几
何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 π ： 4 . 若正
方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 (
7
10.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝ 3 -1 ，则角 C= 4
（）
A. C＝15°或 C＝45°
B. C＝15°或 C＝30°
C. C＝60°或 C＝45°
D. C＝30°或 C＝60°
【答案】A
【解析】 【分析】 直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出 B 的值.
【详解】二项式（ x
1 x
）n
的通项为
T r 1 C n rx （ r 1 x） n r C n rx2 r （ n0 r n ）
（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项 n2r n为正偶数 x
n4 n为正偶数，
n 为正偶数推不出 n 4 ∴ n 4 是（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
c o s A c o s C s i n A s i n C 2 s i n A s i n C
c o s ( A C ) 2 s in A s in C
12 31 3，
2
42
故 AC30或 AC300，
因此， C15或 C45．
故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理
由平方差公式，化简结合“蝶型函数”. 可判断 ② ．
5
【详解】由 ysinx，设 gxsinxx，导数为 cosx10，即有 x 0，gx 0；x 0 时，gx 0； 设 hxsinxx，其导数为 cosx10， x 0时， hx 0， x 0 时， hx 0， 可得 yxyx0恒成立，即有 ysinx为“蝶型函数”；
x, x 1 转化为 h( x) 与 ( x) 有两个交点时，求实数 a 的取值范围，
如下图， a 1时， h( x) 与 ( x) 相切于 (1,1) 点，
当 a 0 或 0a1时， h( x) 与 ( x) 有两个交点，故选 B.
4
【点睛】本小题主要考查函数零点问题的转化方法，考查化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思
y
x
1的全部，故错误；
C
选项，等价于
x 1
y 1 0 x2 y2 0
或1x2y20，
x y 1 0
∴
1
x2
y2
表示折线
0
y
x
1在双曲线外部（包含有原点）的部分，
1x2y20表示双曲线 x 2 - y2 1 ，符合题中的图象，故 C 正确.
x y 1 0 x y 1 0
D
选项，等价于
由 x 2 1 xx 2 1 x x 2 1 x 2 1 0 ，可得 y x2 1为“蝶型函数”．
故选 B． 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．
8.如图，在正方体 A B C D A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1 B 异面且夹角成 6 0 的直
f x 为“蝶型函数”，已知函数： ①ysinx； ②y x21，下列结论正确的是 (
)
A. ① 、 ② 均不是“蝶型函数”
B. ① 、 ② 均是“蝶型函数”
C. ① 是“蝶型函数”； ② 不是“蝶型函数”
D. ① 不是“蝶型函数”： ② 是“蝶型函数”
【答案】B 【解析】 【分析】
由 gxsinxx， hxsinxx，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断 ① ；
【答案】D 【解析】 【分析】 对四个选项，利用正方体中的线和面的关系，逐一验证，由此得出是假命题的选项.
【详解】画出一个正方体 A B C D E F H G 如下图所示.平面 ABCD平面 ADHE，而 EH//AD，即平 行于这两个垂直平面的交线，有 EH/ / 平面 ABCD，故 A 选项命题是真命题，且 D 选项命题是假命题.根 据面面垂直的判定定理可知，B 选项命题是真命题.由下图可知，平面 ADHE和平面 ABFE同时垂直于平 面 ABCD，它们的交线 AE 也垂直平面 ABCD，故选项 C 命题是真命题.综上所述，本题选 D.
故选：B. 【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用 向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能 力，属于中档试题.
12.已知点 E 是抛物线 C :y22px(p0)的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线 C 的焦点，点 P 在抛物
【点睛】本小题主要考查空点点线面的位置关系，考查面面垂直的判定与性质，属于基础题.
3
1, ? x 1 6.已知函数 f(x)ax2x1，g(x) x, ? 1 x 1?，若函数 yf(x)g(x)恰有两个零点，则实数 a
1, ? x 1
的取值范围为（ ）
A. (0,)
B. (,0) (0,1)
【详解】
f
x
3 x2 2
定义域为：
x x
2
， fxx232f(x)
函数为偶函数，故 A 正确，B 错误
1
当 x 2且 x 2 时， f(x)，C 错误
f(1)3, f(2)3 ，不满足 y f x是减函数，D 错误
2
故选 A
【点睛】本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
对 sinAsinC＝ 3 -1 进行变换，最后求出结果． 4
【详解】因为 ( a b c ) ( a b c ) a c ，
所以 a2c2b2 a c．
由余弦定理得， cosBa2c2b2 1，
2ac
2
因此 B120．
所以 AC60，
所以 c o s ( A C ) c o s A c o s C s i n A s i n C
3.已知向量 a
和b
的夹角为 3
，且 a2, b 3，则 (2ab)(a2b)（
）
A. 10
B. 7
C. 4
D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律直接展开 2ab a2b，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．
【详解】 2ab a2b 2a23a? b2b2＝8+3 a b cos －18＝8+3×2×3× 1 －18＝－1，
高三理科数学模拟试卷
一．选择题（每小题 5 分，满分 60 分）
1.“
n
4
”是
x
1 x
n
的二项展开式中存在常数项”的（
）C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是 基础题．
6
9.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ）．
A. x y 11 x 2 y 2 0
B. xy 1 1 x2y2 0
C. xy 1 1x2y20
D. xy 1 1x2y20
解掌握水平，属于基础题型．
11.设点 M
、N
均在双曲线 C:
x2 4
y2 3
1上运动，F
1
、F
2
是双曲线 C
的左、右焦点，则 M F1M F22M N
的最小值为（ ）
8
A. 2 3
B. 4
C. 2 7
D. 以上都不对
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算，化简得 M F 1 M F 2 2 M N 2 M O 1 2 M N 2 N O ，结合双曲线的性质，即可求解.
cosPEF
【详解】由题意得，准线 l : x
p 2
，
E
p 2
,
0
，
F
p 2
,
0
，过
P
作 PHl ，垂足为 H
，则由抛物线
定义可知 PHPF，于是 sinEFPPE P E 1 1 ， ycosx在 0,
sinFEP PF P Hcos E P Hcos P E F
9
上为减函数， 当 PEF取到最大值时（此时直线 P E 与抛物线相切），计算可得直线 P E 的斜率为1 ，从
C. (,1)(1,) 2
D. ( ,0) (0,2)
【答案】B 【解析】 【分析】
将问题转化为 f x 和 g x 函数的图像有两个交点来解决.为了便于讨论，两个函数都加上 x 1 后，再画
出相应的图像.通过图像求得 a 的取值范围. x 2, x 1
【详解】令 h (x ) f(x ) x 1 a x 2 ，(x)g(x)x 1 2x 1, 1 x 1