随机过程期末题

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随机过程试题及答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e t

t X ,

3)(，则这个随机过

程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)

(n)ij

P (p )=，二者之间的关系为。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率

{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。 8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______P X X ===

9．更新方程()()()()0t

K t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

东南大学概率统计与随机过程期末练习(附答案)

东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）

期末练习解答

(某)某12et2/2dt表示标准正态分布的分布函数，

(1.645)0.05；(0)0.5；(1)0.8413(1.3)0.9032；(1.96)0.975；

(2)0.9772一、填充题

1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)=0.16;P(AUB)=0.362)一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二

次取到黑球的概率为0.6，取到两个球颜色相同的概率为2/53)设随机变量某服从正态分布N(1,4),P(某1)_0.5___。4)设W(t)是参数为的Wiener 过程，则随机过程某(t)21tW(t),t0的一

维概率密度函数f(某；t)_____12e某p{某2/2}________。

5)随机变量某，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(某-Y>22)=0.1587__。6)随机变量某，Y的联合分布律为：P(某

=0,Y=0)=0.2;P(某=0,Y=1)=0.3;

P(某=1,Y=0)=0.3;

P(某=1,Y=1)=0.2.

则

某+Y

分

布

律

为

p(某+Y=0)=0.2;P(某+Y=1)=0.6;P(某+Y=2)=0.2。E[某Y]=0.2

7)随机变量某，Y的相关系数为0.5，则5-2某，和Y-1的相关系数

为-0.58)设随机变量序列{某n,n=1,2,…}独立同分布，E某1=2,D某1=2,则

1222p(某1某2...某n)6n9)设总体某服从正态分布N(1,2),某1,某2,...,某10是来此该总体的样本，某,S分别

西安邮电大学研究生随机过程期末试题

1单选(2分)随机过程的数学期望，是随机过程的( )平均，而非( )平均。 [单选题] *

A.时间平均，统计平均

B.集合平均，统计平均

C.统计平均，集合平均

D.统计平均，时间平均(正确答案)

2单选(2分)随机过程X(t)的互相关函数，描述了( )个随机过程任意( )个不同时刻状态之间的相互关系(相关程度) [单选题] *

A.1,2

B.2,1

C.2,2(正确答案)

D.1,1

3单选(2分)如果两个随机过程相互独立，则这两个随机过程之间没有( )关系。如果两个随机过程互不相关，则这两个随机过程之间没有( )关系 [单选题] *

A.任何，任何

B.任何，线性(正确答案)

C.线性，线性

D.线性，任何

4单选(2分)实现遍历过程时间自相关的三部曲正确的顺序是( )，( )和( ) [单选题] *

A.平移、点对点相乘、相加2.00/2.00(正确答案)

B.相加、点对点相乘，平移

C.相加、平移、点对点相乘

D.点对点相乘、平移、相加

5单选(2分)实现卷积运算的的四部曲( )，( )，( )和( ) [单选题] *

A.点对点相乘、平移、反转、相加

B.点对点相乘、平移、相加、反转

C.反转、相加、点对点相乘，平移

D.反转、平移、点对点相乘、相加(正确答案)

6单选(2分)若平稳随机过程含有一个周期分量，则其自相关函数则含有一个( )的周期分量。 [单选题] *

A.0.5倍周期

B.1倍周期(正确答案)

C.3倍周期

D.2倍周期

7单选(2

分)。 [单选题] *

A.20.00/2.00

西安邮电大学研究生随机过程期末试题

考试时间：120分钟，总分100分。

一、选择题（每题4分，共24题，选择一

个正确答案）

1．下列哪项是随机过程的基本要素？（）A．偏微分方程组 B．随机事件

C．协方差函数 D．重复试验

2．已知随机过程X(t)的均值函数为μ(t) =2t，方差函数为σ2(t) =t，它是__常数均值过程，__广义平稳过程。（）

A．非 B．非

C．是 D．是

3．设离散时间随机过程X(n)，其自相关函数为R(k) =α|k|，其中α为一实常数，则该过程是__平稳过程，__宽平稳过程。（）A．弱 B．弱

C．强 D．强

4．设离散时间随机过程X(n)，其自相关函数为R(k) =αne|k|，其中αn为与n有关的正实常数，则该过程是__平稳过程，__宽平稳过程。（）

A．弱 B．弱

C．强 D．强

5．连续时间白噪声B(t)的自相关函数为（）A．0 B．t

C．δ(t) D．cos(t)

6．设离散时间随机过程X(n)，其平均能量

为2，则它的能量谱密度为（）

A．1 B．exp(-2πf)

C．2 D．-2lnf

二、计算题（每题16分，共6题）

1．已知随机过程X(t)的均值函数为μ(t) = t，方差函数为σ2(t) = t2，试求出其自协方差

函数R(τ)。（）

2．已知连续时间随机过程X(t)的自相关函数R(τ) = 4e-2τ，试判断它是否是广义平稳过程，并求出其平均功率。（）

3．连续时间平稳随机过程X(t)的光谱密度为S(f) = 2exp(-2|f|)，试求出其自协方差函数

R(τ)。（）

4．离散时间随机过程X(n)的均值函数为μ(n) = n，方差函数为σ2(n) = n(n+1)，试求出其自协方差函数R(k)。（）

随机过程期末复习题

的状态空间
，，
，一步转
移概率矩阵
.
44. 假设明天下雨的机会只依赖于前一天的天气条件，即今天是否下雨，而不依赖过去的天
气条件．再假设如果今天下雨，那么明天下雨的概率为；如果今天没有下雨，那么明
天下雨的概率为．以记第天的天气情况，则马尔可夫链
的状态空间
下雨，不下雨
，一步转移概率矩阵
.
45. 的概率解释是：为从出发经步首次到达的概率.
15. 在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均
值为
的同一指数分布.
16. 设
是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函
数为
.
17. 设
是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则
．
18. 设
是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则
20. 设
，
是速率为的泊松过程. 则对于
，
.
21. 设
，
是速率为的泊松过程. 对于
，
.
解对于
，有
增量
与独立
22.
是强度为的泊松过程，
生的时间间隔.则对
，
表示第
个事件与第个事件发 .
解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．

(完整版)12-13随机过程试题B卷答案

院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

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概率统计随机过程-期末试卷-参考答案

7. 1
8. 1 1
4. ，
2
数理统计
57 33 e 30 154 e 15 9. , 8 24
n
数理统计
对
min xi , L( , ) 0,
且是的增函数

取其它值时，L( , ) 0.
故使 L( , )达到最大的 , 即的MLE 是
min xi
* 1 i n
于是
n 1 * xi * n i 1 即 * , *为 , 的MLE .
1 i n
n
对数似然函数为: ln L( ) n ln( 1) ln xi
i 1
求导并令其为0: 从中解得
n d ln L( ) n ln xi 0 d 1 i 1
θ
n
ln x
i 1
n
1
i
θ
n
即得的最大似然估计量为
ln X
对 , 分别求偏导并令其为0,
ln L( , ) n 1 n 2 ( xi )=0 i 1 ln L( , ) n =0 (2) 1 n 由(1)得 xi n i 1
(1)
1 ( xi ) 1 e i 1 , min xi L( , ) n 0, 其它

随机过程期末试题及答案(2)

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为 α ，而今天无雨明天有雨的概率为 β ；规定有雨天气为状态 0，无雨天气为状态 1。设
α = 0.7, β = 0.4 ，求,今天有雨且第四天仍有雨的概率。
解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为 P= ⎢
⎡ p00 ⎣ p10
（2）一维分布函数 F(x;0),F(x;1) 。求（1） {X(t),t ∈ ( −∞, +∞)} 的样本函数集合；解：（1）样本函数集合为 {cosπ t,t}, t ∈ (-∞,+∞) ；（2）当 t=0 时， P {X(0)=0} = P {X(0)=1} =
1 ， 2
⎧0 ⎧0 x<0 x<-1 ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪1 故 F(x;0)= ⎨ 0 ≤ x<1 ；同理 F(x;1)= ⎨ −1 ≤ x<1 ⎪2 x ≥ 1 ⎪2 x ≥ 1 1 ⎪ ⎪1 ⎩ ⎩
7．设 {X n , n ≥ 0} 为马氏链，状态空间 I ，初始概率 pi = P(X 0 =i) ，绝对概率 p j (n) = P {X n = j} ，
(n) n 步转移概率 p(n) ij ，三者之间的关系为 p j (n) = ∑ p i ⋅ p ij 。 i∈I
8．在马氏链 {X n , n ≥ 0} 中，记 f ij = P X v ≠ j,1 ≤ v ≤ n-1,X n = j X 0 = i , n ≥ 1,

(完整版)应用随机过程试卷

湖南科技学院二○一年学期期末考试

数学与应用数学专业年级应用随机过程试题

考试类型：闭卷试卷类型：C 卷考试时量： 120分钟

一、填空题（每空4分共24分）

1、过程12{()cos sin ;0}X t Z at Z at t =+≥，其中1Z ，2Z 独立同分布，其共同分布为2(0,)N σ，

a 为常数，则均值函数(())E X t = ，方差函数

(())Var X t = ，协方差函数

(,)s t γ= ．

2、计数过程

{}

(),0N t t ≥为参数为2的泊松过程，则

{}(20)(18)2P N N -== ，((3))=E N ．

3、()1

()N t i i S t Y ==

∑

是复合Poisson 过程，其中{}(),0N t t ≥为参数为3的泊松过程，

1Y 服从正态分布(1,4)N ，则[(5)]E S = ．

二、判断题（小题2分，共16分）

1、设{}(),0N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，n T 为第n 次泊松事件发生的等待时间，则

{}{}()n N t n T t <⇔>．（） 2、{}(),0N t t ≥是更新过程，则对0t

≤<+∞，有()EN t <+∞．（）

3、Poisson 过程具有独立增量性．（）

4、{}n Z 是马尔可夫链，则2

02(,)()n n n n P X j X i X k P X j X i ++======．

题号一

二

三

四

五

总分统分人

得分阅卷人

复查人

（）

5、Brown 运动的样本路径()B t ，0t T ≤≤具有连续性．（）

随机过程期末试题及答案

一、选择题

1. 随机过程的定义中，下列哪个是错误的？

A. 属于随机现象。

B. 具有随机变量。

C. 具有时间集合。

D. 具有马尔可夫性质。

答案：D

2. 下列哪个不是连续时间的随机过程？

A. 泊松过程。

B. 布朗运动。

C. 维纳过程。

D. 马尔可夫链。

答案：D

3. 关于时间齐次的描述，下列哪个是正确的？

A. 随机过程的概率分布不随时间变化。

B. 随机过程的均值不随时间变化。

C. 随机过程的方差不随时间变化。

D. 随机过程的偏度不随时间变化。

答案：A

4. 下列哪个是离散时间的随机过程？

A. 随机游走。

B. 指数分布过程。

C. 广义强度过程。

D. 随机驱动过程。

答案：A

二、填空题

1. 马尔可夫链中，状态转移概率与当前状态无关，只与前一个状态有关，这个性质被称为（马尔可夫性质）。

2. 在某一区间内，随机过程的均值是时间的（函数）。

3. 两个随机过程的相互独立性是指它们的（联合概率）等于各自概率的乘积。

4. 利用（随机过程）可以模拟无记忆的随机现象。

三、解答题

1. 试述随机过程的定义及其要素。

随机过程是描述随机现象随时间演化的数学模型。它由两个基本要

素组成：时间集合和取值集合。时间集合是指随机过程所涉及的时间轴，可以是离散的或连续的。取值集合是指随机过程在每个时间点上

可能取到的值的集合，可以是实数集、整数集或其他集合。

2. 什么是时间齐次随机过程？请举例说明。

时间齐次随机过程是指随机过程的概率分布在时间上不变的特性。

即随机过程在任意两个时间点上的特性是相同的。例如，离散时间的

随机过程期末试题答案A卷(10年12月)

一．填空题（每空2分，共20分）

1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为

itb

ita

i(b-a)t

-。

2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:

则X (t)的数学期望为2sint 。

3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量

n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。 4．设{}n W ,n 1≥

是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，

则n W 服从参数为n 与λ的

___Γ___分布。

5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且

12P ()=

ω，21P ()=

ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步

转移概率(n)

ij p ，则j p (n )=

(n)i

i I

p p

∈∑

7．设{}

n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p

8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥

大学专业课随机过程期末试卷

一、判别是否：(对的打√，错的打×)

1. 若n X X X ,,,21 相互独立，则)(,,,21n m X X X m < 相互独立。 ( √ )

2. 设),,,(21n X X X X =服从]1,0[上的均匀分布，则n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为它们两两不相关。

( × )

3. 设),,,(21n X X X X =服从正态分布，则n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为它们两两不相关。

( √ )

4. 若随机变量序列{n X }几乎肯定收敛于X 与Y ，则1}{==Y X P 。 ( √ )

5. 若随机变量序列{n X }几乎肯定收敛于X 与Y ，则Y X ≡。 ( × )

6. 定义在概率空间),,(P F Ω上的一个与时间t 有关的随机变量),(t X ω称之为随机过程，它是一个随机变量族组成的集合。 ( √ )

7. Wiener 过程一定正态过程。 ( √ )

8. 定义在概率空间),,(P F Ω上的一个与时间t 有关的随机变量),(t X ω称之为随机过程，而)(ωX 由于与时间t 无关，因而它不是随机过程。 ( × )

9. 均方可积的随机过程一定是均方连续的。 ( × ) 10. 宽平稳过程一定是严平稳过程，反之不一定成立。 ( × ) 11. 若相关函数)(τX R 在点0=τ处连续，则)(τX R 处处连续。 ( √ ) 12. 任一单调不减的右连续的有界函数都可以作为某个平稳过程的谱函数。 ( √ ) 13. C-K 方程对任意随机过程均成立。 ( × ) 14. 如果状态子集}{i 是闭集，则状态i 一定为吸收状态。 ( √ ) 15. 如果状态i 为吸收状态，则状态子集}{i 一定是闭集。 ( √ ) 16. 马尔可夫链}0,{≥n X n 的有限维分布由其初始分布和一步转移概率所完全确定，反之亦然。( √ ) 17. 对于S j i ∈,，若 j i ≠，则 )()(j S i S ≠。 ( × ) 18. 对于S j i ∈,，若 )()(j S i S ≠，则j i ≠。 ( √ )

期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷

》

1设随机变量X 服从参数为的泊松分布，贝U X 的特征函数为。 2 •设随机过程

X(t)二Acos( t+ )，-

P j (n) P X n j , n 步转移概率 p j n )

，三者之间的关系为。 8•设｛X(t),t

0｝是泊松过程，且

对于任意 t 2 t i 0 则

P ｛ X (5) 6|X (3) 4｝

—

正常数，A 和是相互独立的随机变量，且A 和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3. 强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。 9. 更新方程

K t H t K t sdF s 解的

0 一般形式为。 10. 记

EX n ,对一切a 0,当t 时，M

。

4道小题，每题8分，共32分)

列，则W n 服从分布

5. 袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变

则这个随机过程的状态空间。 6. 设马氏链的一步转移概率矩阵

P=(P ij )，n 步转移矩阵 P (n) (p (n))，

二者之间的关系为。

7. 设X n ,n 0为马氏链，状态空

1. 设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(B A)P(C AB)。

2. 设｛X(t), t 0｝是独立增量过程，且

X(0)=0,证明｛X(t), t 0｝是一个马尔科夫过程。

3. 设X n ,n 0为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数 n 0,1 l

4. 设N(t),t 0是强度为的泊松

期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程

X(t)=Acos( t+),-

常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则

X (t

的数学期望

的同一指数分布。 4．设{}n W ,n 1

≥

是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，

则n W 服从分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量

⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球

如果时取得红球如果t t t e t t X ,

)(，则这

个随机过程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵

ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)

ij P (p )=，二

者之间的关系为。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间

I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。 8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于

任意

12≥>t t 则

{(5)6|(3)4}______

P X X ===

．

更

新方程

()()()()0

t K t H t K t s dF s =+-⎰解的一

般形式为。

10．

记

()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→

对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：

P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分）分）

1．设随机变量X 服从参数为l 的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1)

l 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<w F ¥¥ 其中w 为正常数，A 和F 是相互独立的随机变量，且A 和F 服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为

(sin(t+1)-sin t)2

w w 。 3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1

的同一指数分布。的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1³是与泊松过程{}X(t),t 0³对应的一个等待时间序列，则n W 服从G 分布。分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t

对应随机变量ïîïíì=时取得白球

如果时取得红球如果t t t

e t

t X ,

3)(，则这个随机过程的状态空间

212t,t,;e,e 33ìü

íýîþ

。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)

(n)

P (p )=，

二者之间的关系为(n)n

P P =。

7．设{}n X ,n 0

³为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，

n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)

j i ij i I

p (n)p p Î=×å。

8．在马氏链{}

n X ,n 0³中，记中，记 {}

(n)

ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=¹££==³ (n)ij ij n=1

最新华中师范大学随机过程试题a卷附答案

n
的联合分布。所以可计算 E[ k
k 1
|
N (t )
n]
n
E[ Uk ]
k 1
n
t x 1 dx 0t
nt 2
E(S(t))
nt
t
(nt )P{N(t) n}
nP{N(t) n} t2
n1
2
2 n1
2
11．设河流每年的 BOD（生物耗氧量）浓度为齐次 Markov 链，状态空间 I={1，2，3}，是按 BOD 浓度为低，中，高分别表示的，BOD 浓度高时河流视为被污染，其一步转移概率矩阵（以一年为单位）为
5分
EX n
1 , DX n
n 2
(s) s 1 1 s 1 s2 , 解得消亡概率为 s 1 42 4
10 分
得分评阅人
四、综合题：（共 2 题，每题 12 分）
12 机器维修问题。用状态 0 表示机器正常工作，用状态 1 表示机器出现故障。正常工作时间
(寿命)服从参数为的指数分布，维修时间同样服从参数为的指数分布。求 Q 矩阵，分别求
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P{X1(t ) X1(t) X 2 (t ) X 2 (t) n}
n
= P{X 2 (t ) X 2 (t) n i}• P{X1 (t ) X1 (t) i} i0